4.TeilVorlesung

43
4.
Kreisgeometrie
4.1
Kreiswinkelsätze
¨
Zwei Punkte A und B auf einem Kreis k teilen diesen in zwei zueinander komplementäre
Bögen. Die Strecke AB = s heisst Sehne.
Ist b ein Kreisbogen mit Endpunkten A und B und liegt der Punkt C auf b, so heisst der
Winkel ! = "ACB Peripheriewinkel(Umfangswinkel) zum Bogen b.
Der Winkel µ = !AMB heisst Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) zum Bogen b.
Die Tangente t an den Kreis k in A steht senkrecht auf dem Berührradius AM, sie bildet mit
der Sehne AB den Sehnentangentenwinkel ! .
Satz:
a)
Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel und gleich gross wie der zugehörige Sehnentangentenwinkel.
b) Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich gross.
c)
Die Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich auf 180°.
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
44
Zwei Beweise:
1.
klassisch
Bemerkungen
a) Spezialfall: Thaleskreis
b) Sehnenviereck
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
2.
mit Geradenspiegelungen
45
Definition:
Der Kreisbogen, auf dem die Scheitelpunkte aller gleich grossen Peripheriewinkel liegen,
heisst Ortsbogen (Fasskreisbogen) über der Sehne s.
Grundkonstruktion des Ortsbogenpaares
Gegeben ist die Strecke AB der Länge s = 6 und der Winkel ! = 30°.
Konstruieren Sie das Ortsbogenpaar über AB zu ! .
Es gilt auch die Umkehrung des vorherigen Satzes.
Satz:
Sieht man die Strecke AB von einem Punkt P aus unter dem Winkel ! , dann liegt P auf dem
Ortsbogen-Paar über AB zum Winkel ! .
Beweis:
P innerhalb
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
P ausserhalb
46
Damit gelangt man zu einem neuen geometrischen Ort.
Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus eine Strecke unter dem Winkel !
erscheint, ist das Ortsbogen-Paar über der Strecke zum Winkel ! .
Aufgabe:
Konstruieren sie ein Dreieck aus folgenden Stücken.
b = 4 cm, hb = 3 cm, ! = 60°.
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
47
4.2
Sehnensätze
Sehnensatz
Haben 2 Sehnen durch einen Punkt P im Inneren eines Kreises die Endpunkte A, A’ und B,
B’, so gilt:
PA ! PA' = PB ! PB' .
Beweis?
Sekantensatz
Haben Sekanten durch einen Punkt P ausserhalb eines Kreises die Schnittpunkte A, A’ und
B, B’ mit dem Kreis, so gilt:
PA ! PA' = PB ! PB' .
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
48
Beweis?
Sekanten-Tangentensatz
Von einem Punkt P ausserhalb des Kreises berührt eine Tangente den Kreis im Punkt A und
schneidet eine Sekante den Kreis in den Punkten B, B’. Dann gilt:
2
PA = PB ! PB'
Beweis?
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
49
4.3
Flächensätze des rechtwinkligen Dreiecks
Kathetensatz des Euklid
b2 = c ! q
a = c! p
2
Satz von Pythagoras
a 2 + b2 = c 2
Höhensatz des Euklid
h2 = p ! q
Aufgabe
Beweisen Sie den Höhensatz aus dem Sehnensatz und den Kathetensatz aus dem SekantenTangentensatz und daraus schliesslich den Satz des Pythagoras.
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.
50
Anwendungen
Verwandeln Sie ein gegebenes Rechteck mit den Seitenlängen a und b in ein flächengleiches
Quadrat.
a) mit dem Kathetensatz von Euklid
x2 = a ! b
" x = a!b
x nennt man auch das geometrische
Mittel.
Vergleichen Sie.
arithmetisches Mittel: x =
a+b
2
geometrisches Mittel: x = a ! b
b) mit dem Höhensatz
x2 = a ! b
" x = a!b
Aufgabe 2
Konstruieren Sie 6 auf 4 Arten, indem Sie die beiden Gleichungen 6 = 1! 6 und 6 = 2 ! 3
verwenden und je mit dem Kathetensatz und dem Höhensatz arbeiten.
Aufgabe 3
Verwandeln Sie ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 5 cm in ein flächengleiches Rechteck
mit den Seitenlängen b, c, so dass gilt:
a) b + c = 11 cm
b) b - c = 6 cm
UNIZH MA 430 Geom1 J.S.-D.