Planetenentstehung 4. Kapitel: Protoplanetare Scheiben Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Abtlg. Computational Physics Wintersemester 2012/13 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 4. Protoplanetare Scheiben Übersicht 4.1 Sternentstehung 4.2 Scheiben: Beobachtungen 4.3 Scheiben: Theorie W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 1 4.1 Sternentstehung Die Galaxie M74 (NGC 628) Sternbild: Fische Abstand: 35 Mio. LJ. Rot: sichtbares Licht - ältere Sterne Blau/Weiß: UV Licht - jüngere Sterne ⇓ Sternentstehung in Spiralarmen (UIT, 1992) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 2 4.1 Sternentstehung Sternbild Orion M42 - Orionnebel W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 3 4.1 Sternentstehung Sternhaufen (Chandra/Spitzer) Coronet Cluster (Corona Australis) M42 - Orionnebel Massereicher Haufen über 1000 Sterne Abstand über 1500 LJ W. Kley: Offener Haufen einige Dutzend Sterne Abstand 420 LJ Planetenentstehung (WS 2012/13) 4 4.1 Sternentstehung Die Dunkelwolke Barnard 68 Molekülwolke, absobiert das visuelle Licht Sternbild Ophiuchus, Abstand 500 LJ W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 5 4.1 Sternentstehung Mechanismus Mehrzahl der Sterne (ca. 90%) entsteht in Sternhaufen - Sternentstehungsgebieten, bis zu 10,000 Sterne - aus Molekülwolkenkernen (ρ ' 10−18g/cm3, T ' 10 − 20K) - durch gravitativen Kollaps W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 6 4.1 Sternentstehung Die Freifall-Zeit I Betrachte kugelförmige Anfangswolke ohne Rotation: - mit homogener Dichte ρ0 und Radius R - ohne Gasdruck (Staub) Die Wolke kollabiert unter Ihrer eigenen Gravitation. Für jede Massenschale (mit Radius r) gilt: Gm(r) r2 Für diese Masse m(r) gilt nun r̈ = − m(r) : Masse innerhalb von r 4πρ0r03 m= , 3 (1) (2) wobei r0 der Anfangsradius der Schale ist. Nun multipliziert man Gl. 1 mit ṙ und integriert die Gleichung (Energiesatz), so folgt 1 2 4πr03 ṙ = Gρ0 + const. 2 3r Zur Lösung dieser Gleichung siehe Skript: Theoretische Astrophysik. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 7 4.1 Sternentstehung Die Freifall-Zeit II Die Lösung zeigt, dass alle Schalen zur gleichen Zeit das Zentrum erreichen ! Diese Zeit heißt: Freifall-Zeit tff tff = 3π 32Gρ0 12 (3) umgeformt q tff ' 35 min ρ/(g/cm3) (4) Typische Zeitskala für Kollaps einer Molekülwolke: 105 − 106 Jahre. Der Gasdruck verlangsamt den Kollaps. Zusätzlich wirken noch die Rotation und Magnetfelder ⇒ Verzögerung. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 8 4.1 Sternentstehung Das Drehimpulsproblem I Betrachte kugelförmige Anfangswolke mit leichter Rotation: - eine Sonnenmasse M, - Radius R = 1/4 pc (etwa 0.8 LJ) - eine Umdrehung in T = 40 Mio. Jahren Teilchen der Masse m am Äquator der Wolke hat einen Drehimpuls L = mRv mit der Bahngeschwindigkeit v = 2πR/T . (5) Für den kleinsten Radius rc, den das Teilchen erreichen kann, gilt: GMm 2 = mv c rc , 2 rc (6) (Gravitationskraft = Zentrifugalkraft) Drehimpulserhaltung während des Kollaps L = Lc = mrcvc (7) mit Gl. (6) folgt W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 9 4.1 Sternentstehung Das Drehimpulsproblem II die Drehimpulsbarriere 2 L 1 rc = . m GM j = L/m heißt auch spezifischer Drehimpuls. (8) Mit R = 1/4 pc und T = 40 Mio. Jahren folgt rc = 4370 AE. Maximale beobachtete Größe solcher Scheiben: ≈ 1000 AE Dies wird als Drehimpulsproblem der Sternentstehung bezeichnet. Mögliche Lösungen: Magnetfelder, Turbulenz, oder Ausströmungen W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 10 4.1 Sternentstehung Ablauf I Dunkle Molekülwolkenkerne 1 pc (nach Hogerheijde, 2001) Eingebetteter Protostern, Akkretions-Scheibe, Ausstrom W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) Gravitations-Kollaps 10 000 AE tt = 0 J.J. T Tauri Stern, Akkretions-Scheibe, Ausstrom 11 10 000 AE 1 pc 4.1 Sternentstehung Ablauf II Eingebetteter Protostern, Akkretionsscheibe, Ausstrom t = 0 J. T Tauri Stern, Akkretionsscheibe, Ausstrom Huelle ~ 8000 AE Akkretions-Scheibe ~ 80 AE 100 AE (Hogerheijde, 2001) W. Kley: t ≈ 104 - 105 J. Planetenentstehung (WS 2012/13) t ≈ 105 - 106 J. 12 4.1 Sternentstehung Ablauf III Vorhauptreihen-Stern, Scheibenentwicklung 100 AE (Hogerheijde, 2001) W. Kley: t ≈ 106 - 107 J. Planetenentstehung (WS 2012/13) Hauptreihen-Stern, Planetensystem 50 AE t > 107 J. 13 4.1 Sternentstehung Scheiben um junge Sterne (HST) Im Trapez-Haufen Sternbild: Orion Abstand: 1500 LJ. Masse: ca. 2000 Sterne Alter: um 1 Mio. Jahre Silhouette Scheiben W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 14 4.1 Sternentstehung W. Kley: Scheiben II Planetenentstehung (WS 2012/13) 15 4.1 Sternentstehung W. Kley: Jets Planetenentstehung (WS 2012/13) 16 4.2 Scheiben Beobachtungsmethoden Scheiben um Junge Sterne (YSO, Young Stellar Object; z.B. T Tau, Herbig Ae Sterne) Synonyme: - Zirkumstellare Scheiben - Protostellare Scheiben - Protoplanetare Scheiben Detektion durch: • SED (Spektrale Energieverteilung) - IR-Exzess −→ zirkumstellarer Staub • Direkte Abbildung (nahes IR, IR, sub-mm) - Silhouette Scheiben (Orion) - Interferometrie • Polarisations-Messungen W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 17 4.2 Scheiben Beispiel SED / Abbildung SIRTF Daten (Spitzer) HST-NICMOS (Schneider et al. 2003) System: GM Aur, klass. T Tau Stern, Alter: 2-10 Mio. Jahre Radius: 300 AE, Masse: 0.05 M, Lücke: 4 AE W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 18 4.2 Scheiben Klassifikation I nach Spektral-Index s mit νFν = λFλ ∝ λs (mit λ im Bereich: 2 − 50/100µm (K-band, N-band)) (nach Lada & Wilking, 1987) Class 0 in sub mm zeitlich vor Class I Class I s>0 eingebettet in Hülle Class II −4/3 < s < 0 zirkumstellare Scheibe Class III s ≈ −3 stellare Photosphäre Class II: Klassischer T Tau Stern (CTTS) Class III: Weak Line T Tau Stern (WTTS) Entwicklungssequenz W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 19 4.2 Scheiben W. Kley: Klassifikation II Planetenentstehung (WS 2012/13) 20 4.2 Scheiben Zusammensetzung der SED Stern Scheibe: Innerer Rand Silikat-Buckel Zentrale Scheibe Außen-Bereich (in PPV: Dullemond et al. 2007) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 21 4.2 Scheiben Beispiel für SED II (Wilner 2004) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 22 4.2 Scheiben Beispiel für SED III Spitzer Spektren Silikat-Buckel (bei 10µ) (Furlon et al. 2006) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 23 4.2 Scheiben Lebensdauer IR-Exzess vs. Alter Hfkt. der Scheiben nimmt mit Sternalter ab Lebensdauer: ca. 106-107 Jahre (Montmerle et al. 2006) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 24 4.2 Scheiben W. Kley: Lücken in der Scheibe I Planetenentstehung (WS 2012/13) 25 4.2 Scheiben W. Kley: Lücken in der Scheibe II Planetenentstehung (WS 2012/13) 26 4.2 Scheiben Charakteristika Scheiben um T Tau Sterne • Häufigkeit: um 50% der Sterne • Masse: MScheibe ≈ 10−2 MSonne • Durchmesser: 50 - 200 AE • Lebensdauer: 106 Jahre • Akkretion: 10−9 - 10−7 M /yr W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 27 4.2 Scheiben HST-Bild W. Kley: HD 100546 und Hale-Bobb Pluto Orbit Planetenentstehung (WS 2012/13) Perihel, April 1997 28 4.2 Scheiben Spektrenvergleich HD 100546 Hale-Bopp amorphes Olivin ((Mg,Fe)2SiO4), W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) kristallines Forsterit (Mg2SiO4) 29 4.2 Scheiben Chemische Zusammensetzung • Amorphe Silikate • Kristalline Silikate • Eisen-Sulfide • PAHs W. Kley: (Polycrylic Aromatic Hydrocarbons) Planetenentstehung (WS 2012/13) 30 4.2 Scheiben Planet im System TW Hya ? Scheibe & Planet HST-Bild Stern und Scheibe Stern-Alter: 10 Mio. Jahre Planetenentstehung in Scheibe Radialgschwindigkeitskurve : ⇒ Pp=3.6 Tage, mp=10 Mjup Limit an Zeitskala für Planetenentstehung (Max-Planck-Inst. für Astronomie, Heidelberg, 2008) Problem: Variation nicht in allen Wellenlängen, Sternspots ? W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 31 4.2 Scheiben Zusammenfassung Beobachtungen (Dullemond & Monnier, 2008) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 32 4.3 Scheiben:Theorie Hydrodynamische Gleichungen Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 (9) ∂t ρ: Massendichte, u: Geschwindigkeitsvektor. Impulserhaltung ∂u + (u · ∇)u = ρ(a − ∇ψ) − ∇p + ∇ · σ (10) ρ ∂t a: externe spezifische Kräfte (Beschleunigungen) ψ: Gravitationspotential, p: Gasdruck, σ: viskoser Spannungstensor. Energieerhaltung ∂ ρ + u · ∇ = −p∇ · u + (σ · ∇)u − ∇ · F (11) ∂t : spezifische innere Energie, F: Wärmetransport (Konvektion, Strahlungstransport, und Wärmeleitung). Rechte Seite: 1) Druckarbeit (durch Kompression und Expansion des Gases), 2) viskose Energieerzeugung durch Reibung (Dissipation), 3) radiativer Energietransport und Energieverlust durch Kühlung. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 33 4.3.1 Akkretionsscheiben Methodik Wähle: Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) mit Stern im Zentrum Oft weitere Annahmen: • Axialsymmetrie: ∂/∂ϕ = 0 • Oft: Stationarität ∂/∂t = 0 • Scheiben nicht selbstgravitierend: ψ = ψ∗ = −GM∗/(r2 + z 2)1/2 • Scheiben geometrische dünn: uz = 0 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 34 Vertikale Struktur I 4.3.1 Akkretionsscheiben g d M z z (Armitage) θ * r Vertikale Hydrostatik (siehe Abbildung) ∂p = ρgz ∂z ∂ ∂ψ∗ =+ ∂z ∂z Für dünne Scheiben: z 2 r2 gz = − GM∗ (r2 + z 2)1/2 (12) =− GM∗z gz = − 3 = −Ω2K z r GM∗z (r2 + z 2)3/2 (13) (14) mit Keplergeschwindigkeit r ΩK = W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) GM∗ r3 (15) 35 Vertikale Struktur II 4.3.1 Akkretionsscheiben Benötige jetzt Zustandsgleichung: p = p(ρ, T ) Vereinfachend: Isothermie in vertikaler Richtung: p = ρc2s c2s ∂ρ = −ρΩ2K z ∂z (16) mit der Lösung ρ = ρ0 2 − z 2 (r) e 2H (17) mit der Skalenhöhe (≈ Scheibendicke) H(r) = cs(r) ΩK (r) oder h(r) ≡ H cs = r VK (mit VK = rΩK ) Also: h(r) = 1/Mach inverse Machzahl in der Scheibe Typisch für Scheiben: h ≈ 0.01 − 0.1 (stark Überschall) Mit Skalierung: cs(r) ∝ r−β =⇒ h(r) ∝ r−β+1/2 Flaring für W. Kley: β < 1/2 (18) (19) d.h. T (r) ∝ r−1 oder schwächer Planetenentstehung (WS 2012/13) 36 4.3.1 Akkretionsscheiben Massenerhaltung Vertikale Integration der Kontinuitätsgleichung. Mit +∞ Z ρdz Σ≡ (20) −∞ und falls ur nicht mit z variiert (ur = ur (r)), folgt ∂Σ 1 ∂rΣur + = 0. ∂t r ∂r (21) Betrachte stationäre Scheiben, d.h. ∂/∂t = 0. Die Massenakkretionsrate [Massendurchfluss/Zeit] der Scheibe beträgt dann Ṁ = −2πrΣur . (22) Ṁ ist die konstante Massenakkretionsrate (positiv definiert). W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 37 Radiale Impulsgleichung 4.3.1 Akkretionsscheiben Mit P = R pdz und vernachlässigter Viskosität folgt ∂P ∂ψ ∂Σur 1 ∂rΣur ur + = Σ rΩ2 − −Σ ∂t r ∂r ∂r ∂r (23) Falls Evolutionszeit groß gegen Periode: r/ur 2π/Ω (langsames Einspiralen), dann ist die linke Seite sehr klein, also 2 Ω = Mit Ω2K 1 ∂P . + Σr ∂r (24) ∂P P Σc2s ≈ − ≈ − ∂r r r folgt 2 Ω = Ω2K 2 1 − O(h ) . (25) d.h. Scheibe ist keplersch! Aber: Druckgradienten, d.h. Abweichungen von ΩK spielen bei der Bewegung von Partikeln (z.B. Staubteilchen) große Rolle W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 38 4.3.1 Akkretionsscheiben Drehimpulsgleichung Zeitabhängige ϕ-Impulsgleichung ∂Σr2Ω 1 ∂ 1∂ 2 3 + (Σr Ωur ) = r Srϕ , ∂t r ∂r r ∂r wobei Srϕ = R (26) σrϕdz. Für Newtonsche Spannungen gilt Srϕ ∂Ω = Σνr ∂r mit der kinematischen Viskosität ν. Mit dem spezifischen Drehimpuls j = r2Ω folgt dann ∂Σj 1 ∂ 1∂ 3 ∂Ω + (rΣjur ) = νΣr . ∂t r ∂r r ∂r ∂r (27) (Drehimpulsgleichung) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 39 4.3.1 Akkretionsscheiben Massendiffusion Sei: Ω = ΩK , dann folgt aus Kontinuitätsgleichung (21) und Drehimpulserhaltung (27) h i ∂Σ 1 ∂ ∂ νΣr1/2 , = r1/2 (28) ∂t r ∂r ∂r eine Diffusionsgleichung für die Oberflächendichte. Beispiel zur Illustration Konstante Viskosität ν = const Ringförmige δ -Funktion der Materie Ring Spreading .6 .5 Σ(r, t = 0) = mδ(r − r0)/(2πr0) .4 (Masse m zentriert am Radius r0) ! 2 C 1+x 2x Σ(r, t) = exp − I 1/4 τ x1/4 τ τ mit x = r/r0, C = m/(πr02), τ = t/tv viskose Zeitskala tv = r02/(12ν), modifizierte Besselfunktion I1/4. .3 .2 .1 0 .5 1 1.5 Trennung von Masse und Drehimpuls (Lösung des Drehimpulsproblems) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 40 4.3.1 Akkretionsscheiben setze ∂ ∂t Stationäre Lösung = 0 in Drehimpulsgleichung (27) und integriere über Radius rΣjur = νΣr 3 ∂Ω ∂r + const. (29) mit Ṁ = −2πrΣur (hier Ṁ positiv definiert) ∂Ω J˙ = −Ṁ j − 2πνΣr3 ∂r (30) wobei J˙ der konstante Drehimpulsstrom durch die Scheibe ist, Summe aus advektiven Teil (negativ) und viskosem Teil (positiv). Der Wert (und Vorzeichen) von J˙ wird durch innere Randbedingung bestimmt. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 41 Grenzschicht 4.3.1 Akkretionsscheiben Bei verschwindender Sternrotation (Ω∗ = 0) gibt es Radius (rmax) mit ∂Ω ∂r = 0 Damit d Ω / dr = 0 (31) Ω 2 J˙ = −Ṁ j(rmax) = −Ṁ rmaxΩ(rmax) ∆r Diese Grenzschicht ∆r = rmax − R∗, in der die Geschwindigkeit abfällt ist sehr klein ∆r R∗, und es gilt approximativ Ω(rmax) = ΩK (rmax). Damit s J˙ = 2 −Ṁ R∗ stellar surface GM∗ R∗3 (Armitage) Es folgt mit Gl. (30) Ṁ νΣ = 3π r 1− R∗ r ! (32) Für große Radien Ṁ = 3πνΣ Bei magnetisierten Sternen sieht Randbedingung komplexer aus (s.u.). W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 42 Energie/Temperatur 4.3.1 Akkretionsscheiben Vertikal integrierte Energiegleichung lautet 1∂ ∂(Σ) 1 ∂ + (rΣur ) = −P (rur ) + Dv − ∂t r ∂r r ∂r Z∞ ∇ · Fdz (33) −∞ Dv = rSrϕ ∂Ω ∂r : viskose Energiedissipation, F: Strahlungsfluss R 4 mit ∇ · Fdz = 2Feff ≡ 2σTeff (Faktor 2: Ober und Unterseite der Scheibe) Im stationären Fall (mit ur ≈ 0 und Fr ≈ 0) folgt mit Srϕ = rΣν ∂Ω ∂r Σν r2 ∂Ω ∂r 2 4 = 2σTeff (34) Mit Gl. (32) für νΣ und Ω = ΩK folgt 4 Teff = 3GM∗Ṁ 8πσr3 r 1− R∗ r ! (35) Note: Teff (r) unabhängig von Viskosität, für r R∗ ist Teff ∝ r−3/4 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 43 Leuchtkraft/Spektrum 4.3.1 Akkretionsscheiben Z∞ Ldisc = 1 GM Ṁ Feff (r) 2πr dr = 2 R∗ 1 ≡ Lacc 2 (36) R∗ Nur die Hälfte der Akkretionsleuchtkraft wird in Scheibe abgestrahlt. Spektrum durch Annahme von lokalem Schwarzkörper mit Ts = Teff (r) 3 Bν (Ts) ∝ ν [exp(hν/kTs) − 1] −1 log λ F λ und nachfolgender Integration über die Scheibe Rout Z Fν ∝ Bν [Ts(r)] 2πr dr flat ‘disk’ part of SED (37) (38) R∗ wobei Rout der äußere Scheibenradius ist. Note: νFν = λFλ log λ Bisher: Aktive Scheiben durch Viskosität ’getrieben’ Aber: Auch Passive Scheiben durch Aufheizung von Stern (Irradiation) Realität: Eine Kombination W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 44 4.3.1 Akkretionsscheiben Grenzschicht - schematisch (Dullemond, 2007) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 45 4.3.1 Akkretionsscheiben Modelle I Passives Scheibenmodell (Two-Layer Model) (eg.: Chiang & Goldreich 97, D’Allesio et al. 2001) (Mit: vert.+horiz. Strahlungsdiffusion, Konvektion, stellarer Heizung) Note: Bei Scheiben mit Irradiation ist T (r) flacher, typisch Teff (r) ∝ r−1/2 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 46 4.3.1 Akkretionsscheiben Modelle II Irradiated Rim Model (2D Strahlungstransport Code) (eg.: Dullemond, Natta, Dominik 2003) Note: Evaporation durch Stern (u. kosmische Strlg.) führen zur Auflösung der Scheibe (Dissipation der Scheibe), mit innerem Loch (hole) und Rand (rim) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 47 4.3.1 Akkretionsscheiben T Tau Modell (Dullemond, Natta, Dominik 2003) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 48 4.3.1 Akkretionsscheiben Modell für GM Aur Links: NICMOS-Bild (HST) Rechts: Theor. Modell SED Schwarz: Stern-Photosphäre Weiß: Scheibenmodell (in PPV: Watson et al. 2007) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 49 4.3.2 Turbulenz Abschätzungen Molekulare Viskosität: νmol ≈ λf cs λf : mittl. freie Weglänge, cs: Schallgeschw. Für typische Werte in Scheibe bei ca. 1 AE (mit H/r = 0.05, Σ ≈ 103g/cm2): Mit λf ≈ 2.5 cm, cs = 1.5 · 105 cm s−1 =⇒ νmol ≈ 4 · 105 cm2 s−1 (39) Viskose Entwicklungszeit: τvisc ' r2/νmol ist 1013 Jahre (bei 1 AE). Vergleiche Lebensdauer der Scheiben: τdisk ' 106−7 Jahre. Diskrepanz > 106 !! Heuristischer Ansatz: (Shakura & Sunyaev, 1973) νturb = α csH (40) sog. α-Scheiben, α ist eine Konstante mit α ≈ 0.001 − 0.02. Ursache für Turbulenz: - Hydrodynamisch stabil (Rayleigh-Kriterium, Drehimpuls wächst nach außen, [siehe 63]) - Konvektion (falsche Richtung des Drehimpulstransports) - Vortizes (Wirbelbildung durch barokline Instabilität) - Eigengravitation, Spiralbildung mit Drehimpulstransport (für Mdisk/M∗ > H/r ) - Magnetfelder (Magneto-Rotational-Instability, MRI) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 50 4.3.2 Turbulenz Magnetisierte Scheiben Für Keplersche Scheiben: ΩK (r) = GM r3 1/2 Stabilitätskriterium für hydrodynamische Scheiben (Rayleigh) dJ > 0, dr (JK = ΩK r2 ∝ r1/2) −→ stabil Stabilitätskriterium für magnetisierte Scheiben (Chandrasekhar ...) dΩ > 0, dr (ΩK ∝ r−3/2) −→ instabil Magneto-Rotational-Instability - MRI (Balbus & Hawley, 1993) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 51 4.3.2 Turbulenz MRI-Prinzip Niedriger Orbit: Großes Ω, kleines J =⇒ Instabilität Feder: Übertrag von Drehimpuls von niedrigem zu hohen Orbit (lineare Instabilität) Die MRI wird in Akkretionsscheiben numerisch untersucht (Saturation) und Transport-Koeffizienten für Drehimpuls berechnet ~ Effektive Werte von α ≈ 10−3 − 10−2 (von B-Saatfeld abhängig) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 52 4.3.2 Turbulenz Ideale RMHD-Gleichungen Direkte Simulationen von Turbulenz in Scheiben ∂% + ∇ · (%v) ∂t ∂(%v) + ∇ · (%vv) ∂t ∂e + ∇ · (ev) ∂t ∂B − ∇ × (v × B) ∂t ∇·B Zustandsgleichung = 0 = −∇p − ρ∇Ψ = −p∇ · v + 1 (∇ × B) × B +∇ · Q 4π +(Q : ∇)v −∇ · F = 0 = 0 p = (γ − 1)e Ideale Hydrodynamik & Viskosität (Q) ⇒ Viskose Scheiben (s.o.) Magnetische Terme (B) ⇒ Magnetische Scheiben Strahlungs-Diffusion (F) ⇒ Thermische Struktur W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 53 4.3.2 Turbulenz Die lokale Shearing Box Effekt der Kepler-Scherströmung Numerische Implementierung Kleiner Ausschnitt aus Akkretionsscheibe in Äquatorebene (skaleninvariant) Easy: Periodische Randbedingungen in y ≡ ϕ und z Tricky: Scherperiodische in x ≡ r (Erhaltungseigenschaften) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 54 4.3.2 Turbulenz Ohne vertikale Schichtung Shearing box mit Ausdehung: x = 1.0 x y = 4.0 x z = 1.0 Numerische Auflösung: 64x128x64 ~ Ohne vertikale Gravitation, vertikales B-Feld, plasma-β=400 (Pgas/Pmag ) Animation des Magnetfeldes: y − z Schnitt, über 16 Bahnperioden Initiale zufällige Störungen der Geschwindigkeit und Temperatur (M. Flaig, Computational Physics) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 55 4.3.2 Turbulenz Mit vertikaler Schichtung Shearing box mit Ausdehnung: x = 1.0 x y = 6.0 x z = 5.0 Numerische Auflösung: 32x64x160 Mit vertikaler Gravitation: Plasma-β=100 (Pgas/Pmag ) Initiales vertikales Magnetfeld: (zero net flux) Animation von Dichte und Magnetfeld: x − z slice und zufällige Störungen der Geschwindigkeit und Dichte (R. Kissmann, Computational Physics) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 56 4.3.2 Turbulenz Struktur I 3D Magneto-hydrodynamische Turbulenz mit Strahlungstransport in Akkretionsscheibe: geschichted, Local Shearing Box, (Animation: 6 Orbits) (Finite Volumen Methode (Gitter-Auflösung 64×128×512)) Ergebnis: Saturierungslevel Transporteffizienz Vertikale Scheibenstruktur Oberflächentemperatur (Bewegung von Staubteilchen) (Markus Flaig, Tübingen) Blaue Linie: Photosphäre, W. Kley: Grün: Pmag > Pgas Planetenentstehung (WS 2012/13) 57 4.3.2 Turbulenz Struktur II Mittelwerte (über r und φ gemittelt) 1e-08 2000 I7 R7 Initial 1e-09 R6D R8 R7 R6 1800 Temperature / Kelvin Density / g cm-3 1600 1e-10 1e-11 1e-12 1400 1200 1000 800 600 1e-13 400 200 1e-14 -8 -6 -4 -2 0 2 4 Scalheights above midplane 6 -8 8 -6 -4 -2 0 2 4 Scaleheights above midplane 10 Gas pressure Magnetic pressure 1 6 8 vturb/cg vturb/cg0 vturb/ctot 10 Mach number Pressure / p0 0.1 0.01 0.001 1 0.1 0.0001 1e-05 1e-06 -8 W. Kley: -6 -4 -2 0 2 4 Scaleheights above midplane 6 8 Planetenentstehung (WS 2012/13) 0.01 -6 -4 -2 0 2 4 Scaleheights above midplane 6 58 Effizienz: Prinzip 4.3.2 Turbulenz Volumenmittel einer Variablen q ZZZ 1 hqi = q dx dy dz. (41) LxLy Lz Drehimpulstransport: brauche r − φ Komponente des Spannungstensors Hier ist x = r und y = φ Txy δBxδBy ≡ TReyn + TMaxw = ρδvxδvy − 4π (42) wobei in der lokalen Näherung gilt 3 δvy = vy + Ωx 2 Das turbulente α berechnet sich zu hαi = hTReyni/hP i + hTMaxw i/hP i ≡ hαReyni + hαMaxw i, W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) (43) 59 Effizienz: Ergebnis 4.3.2 Turbulenz Mittelwerte (über r und φ gemittelt) Numerische Auflösungsstudie 0.1 I6 I5 I7 I6D 0.025 R6 R7 R8 0.02 R6D 0.03 Mean alpha 0.01 Total stress / p0 0.035 R6D R8 R7 R6 0.001 0.0001 0.015 0.01 0.005 1e-05 0 -0.005 1e-06 -8 -6 -4 -2 0 2 4 Scaleheights above midplane 6 20 8 25 30 35 Grid cells per scaleheight 40 45 Zeitentwicklung 0.025 Alpha parameter Maxwell stress Reynolds stress Stresses / p0 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 0 W. Kley: 10 20 30 40 Orbits Planetenentstehung (WS 2012/13) 50 60 70 80 60 4.3.2 Turbulenz Layered Disks MRI verlangt mindestens Ionisierungsgrad: x ≡ ne/nH > 10−13 Mögliche Ionisierungmechanismen: - Teilchenkollisionen, Kosmische Strahlung, Stellare Heizung Möglich: nur Oberflächenschichten turbulent aktiv, innen Dead Zone Abhängig von: chemischer Zusammensetzung, Oberflächendichte, Opazität Momentan ein sehr aktives Forschungsgebiet! (Markus Flaig, ea 2012) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 61 4.3.3 • Stabilität • Analyse für flache Scheibe Gehe von (idealen) 2D-Euler-Gleichungen aus (illustrativ) Massenerhaltung ∂Σ + ∇ · (Σu) = 0 ∂t Radialer Impuls u = (ur , uϕ) ≡ (u, rΩ) ∂P ∂ψ ∂(Σu) 2 + ∇ · (Σuu) = Σ rΩ − −Σ ∂t ∂r ∂r Drehimpuls ( j = Ω r2 ) ∂[Σr2Ω] ∂P ∂ψ 2 + ∇ · [Σr Ωu] = − −Σ ∂t ∂ϕ ∂ϕ Adiabatische Zustandsgleichung P = KΣγ W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) (44) (45) (46) (47) 62 4.3.3 • Stabilität • Gleichgewicht und Linearisierung Stationäres, axisymetrisches GGW (aus radialer Gleichung) rΩ20 1 ∂P0 ∂ψ0 − − = 0; Σ0 ∂r ∂r ∂ψ0 GM∗ = 2 ∂r r (48) Betrachte kleine Störungen: f = f0 + f1 Ω = Ω0+Ω1, u = u0+u1, Σ = Σ0+Σ1, P = P0+P1, ψ = ψ0 + ψ1 Annahmen: i) Störungen klein: f1 f0 mit f ∈ {Ω, u, Σ, P, ψ} (vernachlässige quadratische Terme) ii) Störungen nur in z = 0 Ebene: f1 = f1(r, ϕ) iii) Grundzustand hat nur schwache radiale Abhängigkeit: ∂f0/∂r ∂f1/∂r (d.h. Lokale Approximation) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 63 4.3.3 • Stabilität • Linearisierte Gleichungen ∂Σ1 ∂Σ1 ∂u1 ∂Ω1 + Ω0 + Σ0 + Σ0 = 0 ∂t ∂ϕ ∂r ∂ϕ (49) c2s0 ∂Σ1 ∂ψ1 ∂u1 ∂u1 + Ω0 − 2rΩ0Ω1 = − − (50) ∂t ∂ϕ Σ0 ∂r ∂r ∂Ω1 u1 κ20 1 c2s0 ∂Σ1 1 ∂ψ1 ∂Ω1 + Ω0 + = − 2 − 2 (51) ∂t ∂ϕ r 2Ω0 r Σ0 ∂ϕ r ∂ϕ mit Epizykel Frequenz κ20 2Ω0 ∂ 2 ∂Ω0 2 ≡ r Ω0 = 4Ω0 + 2Ω0r r ∂r ∂r (52) und Schallgeschwindigkeit cs0 = W. Kley: γP0 Σ0 Planetenentstehung (WS 2012/13) 1/2 (53) 64 4.3.3 • Stabilität • Entwicklung in Zeit und Azimut Harmonische (Fourier) Analyse (in t und ϕ) mit f1 = f˜1(r)ei(mϕ−σt) (54) wobei f˜1(r) nur vom Radius abhängt. Damit wird: ∂f1 = −i σ f˜1 ∂t ∂f1 = i m f˜1 ∂ϕ (55) (56) Einsetzen in linearisierte Bewegungsgleichungen W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 65 4.3.3 • Stabilität • Setze Ansatz Dispersionsrelation I f1 = f˜1(r)ei(mϕ−σt) ein Σ̃1(σ − mΩ0) = −iΣ0ũ01 + Σ0mΩ̃1 c2s0 0 ũ1(σ − mΩ0) = i2rΩ0Ω̃1 − i Σ̃1 − iψ̃10 Σ0 c2s0 κ20 1 Ω̃1(σ − mΩ0) = −i ũ1− imΣ̃1 + 2 imψ̃1 2rΩ0 Σ0 r (57) (58) (59) Mit der radialen Ableitung ∂f f = ∂r 0 Jetzt: Keine Selbstgravitation & nur radiale Störungen ψ̃1 = 0; W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) m=0 66 4.3.3 • Stabilität • Dispersionsrelation II Σ̃1 σ ũ1 σ Ω̃1 σ = −iΣ0ũ01 (60) c2s0 0 = i2rΩ0Ω̃1 − i Σ̃1 Σ0 κ20 ũ1 = −i 2rΩ0 (61) (62) Mache radiale Entwicklung f˜1(r) = f˜c exp[ikr] mit konstanten f˜c, also f˜10 = ik f˜10 Eingesetzt in obige Gleichungen & erste und dritte Gl. in die Zweite =⇒ σ 2 = κ20 + c2s0 k 2 f ∝ exp[−iσt] d.h. κ20 > 0 =⇒ Stabilität (63) (Rayleigh-Kriterium) (Für Definition von κ0 und cs siehe: Gl. 52 und 53) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 67