Planetenentstehung 4. Kapitel: Protoplanetare Scheiben

Planetenentstehung
4. Kapitel: Protoplanetare Scheiben
Wilhelm Kley
Institut für Astronomie & Astrophysik
Abtlg. Computational Physics
Wintersemester 2012/13
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
4. Protoplanetare Scheiben
Übersicht
4.1 Sternentstehung
4.2 Scheiben: Beobachtungen
4.3 Scheiben: Theorie
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
1
4.1 Sternentstehung
Die Galaxie M74
(NGC 628)
Sternbild: Fische
Abstand: 35 Mio. LJ.
Rot:
sichtbares Licht
- ältere Sterne
Blau/Weiß:
UV Licht
- jüngere Sterne
⇓
Sternentstehung in
Spiralarmen
(UIT, 1992)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
2
4.1 Sternentstehung
Sternbild Orion
M42 - Orionnebel
W. Kley:
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3
4.1 Sternentstehung
Sternhaufen (Chandra/Spitzer)
Coronet Cluster (Corona Australis)
M42 - Orionnebel
Massereicher Haufen
über 1000 Sterne
Abstand über 1500 LJ
W. Kley:
Offener Haufen
einige Dutzend Sterne
Abstand 420 LJ
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4
4.1 Sternentstehung
Die Dunkelwolke Barnard 68
Molekülwolke, absobiert das visuelle Licht
Sternbild Ophiuchus, Abstand 500 LJ
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5
4.1 Sternentstehung
Mechanismus
Mehrzahl der Sterne (ca. 90%) entsteht in Sternhaufen
- Sternentstehungsgebieten, bis zu 10,000 Sterne
- aus Molekülwolkenkernen (ρ ' 10−18g/cm3, T ' 10 − 20K)
- durch gravitativen Kollaps
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6
4.1 Sternentstehung
Die Freifall-Zeit I
Betrachte kugelförmige Anfangswolke ohne Rotation:
- mit homogener Dichte ρ0 und Radius R
- ohne Gasdruck (Staub)
Die Wolke kollabiert unter Ihrer eigenen Gravitation.
Für jede Massenschale (mit Radius r) gilt:
Gm(r)
r2
Für diese Masse m(r) gilt nun
r̈ = −
m(r) : Masse innerhalb von r
4πρ0r03
m=
,
3
(1)
(2)
wobei r0 der Anfangsradius der Schale ist. Nun multipliziert man Gl. 1 mit ṙ
und integriert die Gleichung (Energiesatz), so folgt
1 2 4πr03
ṙ =
Gρ0 + const.
2
3r
Zur Lösung dieser Gleichung siehe Skript: Theoretische Astrophysik.
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7
4.1 Sternentstehung
Die Freifall-Zeit II
Die Lösung zeigt, dass alle Schalen zur gleichen Zeit das Zentrum erreichen !
Diese Zeit heißt: Freifall-Zeit tff
tff =
3π
32Gρ0
12
(3)
umgeformt
q
tff ' 35 min ρ/(g/cm3)
(4)
Typische Zeitskala für Kollaps einer Molekülwolke: 105 − 106 Jahre.
Der Gasdruck verlangsamt den Kollaps.
Zusätzlich wirken noch die Rotation und Magnetfelder ⇒ Verzögerung.
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8
4.1 Sternentstehung
Das Drehimpulsproblem I
Betrachte kugelförmige Anfangswolke mit leichter Rotation:
- eine Sonnenmasse M,
- Radius R = 1/4 pc (etwa 0.8 LJ)
- eine Umdrehung in T = 40 Mio. Jahren
Teilchen der Masse m am Äquator der Wolke hat einen Drehimpuls
L = mRv
mit der Bahngeschwindigkeit v = 2πR/T .
(5)
Für den kleinsten Radius rc, den das Teilchen erreichen kann, gilt:
GMm
2
=
mv
c rc ,
2
rc
(6)
(Gravitationskraft = Zentrifugalkraft)
Drehimpulserhaltung während des Kollaps
L = Lc = mrcvc
(7)
mit Gl. (6) folgt
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9
4.1 Sternentstehung
Das Drehimpulsproblem II
die Drehimpulsbarriere
2
L
1
rc =
.
m
GM
j = L/m heißt auch spezifischer Drehimpuls.
(8)
Mit R = 1/4 pc und T = 40 Mio. Jahren folgt rc = 4370 AE.
Maximale beobachtete Größe solcher Scheiben: ≈ 1000 AE
Dies wird als Drehimpulsproblem der Sternentstehung bezeichnet.
Mögliche Lösungen: Magnetfelder, Turbulenz, oder Ausströmungen
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10
4.1 Sternentstehung
Ablauf I
Dunkle Molekülwolkenkerne
1 pc
(nach Hogerheijde, 2001)
Eingebetteter Protostern,
Akkretions-Scheibe, Ausstrom
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Gravitations-Kollaps
10 000 AE
tt = 0 J.J.
T Tauri Stern,
Akkretions-Scheibe, Ausstrom
11
10 000 AE
1 pc
4.1 Sternentstehung
Ablauf II
Eingebetteter Protostern,
Akkretionsscheibe, Ausstrom
t = 0 J.
T Tauri Stern,
Akkretionsscheibe, Ausstrom
Huelle ~ 8000 AE
Akkretions-Scheibe ~ 80 AE
100 AE
(Hogerheijde, 2001)
W. Kley:
t ≈ 104 - 105 J.
Planetenentstehung (WS 2012/13)
t ≈ 105 - 106 J.
12
4.1 Sternentstehung
Ablauf III
Vorhauptreihen-Stern,
Scheibenentwicklung
100 AE
(Hogerheijde, 2001)
W. Kley:
t ≈ 106 - 107 J.
Planetenentstehung (WS 2012/13)
Hauptreihen-Stern,
Planetensystem
50 AE
t > 107 J.
13
4.1 Sternentstehung
Scheiben um junge Sterne (HST)
Im Trapez-Haufen
Sternbild: Orion
Abstand: 1500 LJ.
Masse:
ca. 2000 Sterne
Alter:
um 1 Mio. Jahre
Silhouette Scheiben
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14
4.1 Sternentstehung
W. Kley:
Scheiben II
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15
4.1 Sternentstehung
W. Kley:
Jets
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16
4.2 Scheiben
Beobachtungsmethoden
Scheiben um Junge Sterne
(YSO, Young Stellar Object; z.B. T Tau, Herbig Ae Sterne)
Synonyme:
- Zirkumstellare Scheiben
- Protostellare Scheiben
- Protoplanetare Scheiben
Detektion durch:
• SED (Spektrale Energieverteilung)
- IR-Exzess −→ zirkumstellarer Staub
• Direkte Abbildung (nahes IR, IR, sub-mm)
- Silhouette Scheiben (Orion)
- Interferometrie
• Polarisations-Messungen
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17
4.2 Scheiben
Beispiel SED / Abbildung
SIRTF Daten (Spitzer)
HST-NICMOS
(Schneider et al. 2003)
System: GM Aur, klass. T Tau Stern, Alter: 2-10 Mio. Jahre
Radius: 300 AE, Masse: 0.05 M, Lücke: 4 AE
W. Kley:
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18
4.2 Scheiben
Klassifikation I
nach Spektral-Index s mit νFν = λFλ ∝ λs
(mit λ im Bereich: 2 − 50/100µm (K-band, N-band))
(nach Lada & Wilking, 1987)
Class 0
in sub mm
zeitlich
vor Class I
Class I
s>0
eingebettet
in Hülle
Class II
−4/3 < s < 0
zirkumstellare
Scheibe
Class III
s ≈ −3
stellare
Photosphäre
Class II:
Klassischer T Tau Stern
(CTTS)
Class III:
Weak Line T Tau Stern
(WTTS)
Entwicklungssequenz
W. Kley:
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19
4.2 Scheiben
W. Kley:
Klassifikation II
Planetenentstehung (WS 2012/13)
20
4.2 Scheiben
Zusammensetzung der SED
Stern
Scheibe:
Innerer Rand
Silikat-Buckel
Zentrale Scheibe
Außen-Bereich
(in PPV: Dullemond et al.
2007)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
21
4.2 Scheiben
Beispiel für SED II
(Wilner 2004)
W. Kley:
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22
4.2 Scheiben
Beispiel für SED III
Spitzer Spektren
Silikat-Buckel
(bei 10µ)
(Furlon et al. 2006)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
23
4.2 Scheiben
Lebensdauer
IR-Exzess vs. Alter
Hfkt. der Scheiben nimmt
mit Sternalter ab
Lebensdauer:
ca. 106-107 Jahre
(Montmerle et al. 2006)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
24
4.2 Scheiben
W. Kley:
Lücken in der Scheibe I
Planetenentstehung (WS 2012/13)
25
4.2 Scheiben
W. Kley:
Lücken in der Scheibe II
Planetenentstehung (WS 2012/13)
26
4.2 Scheiben
Charakteristika
Scheiben um T Tau Sterne
• Häufigkeit: um 50% der Sterne
• Masse: MScheibe ≈ 10−2 MSonne
• Durchmesser: 50 - 200 AE
• Lebensdauer: 106 Jahre
• Akkretion: 10−9 - 10−7 M /yr
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27
4.2 Scheiben
HST-Bild
W. Kley:
HD 100546 und Hale-Bobb
Pluto Orbit
Planetenentstehung (WS 2012/13)
Perihel, April 1997
28
4.2 Scheiben
Spektrenvergleich
HD 100546
Hale-Bopp
amorphes Olivin ((Mg,Fe)2SiO4),
W. Kley:
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kristallines Forsterit (Mg2SiO4)
29
4.2 Scheiben
Chemische Zusammensetzung
• Amorphe Silikate
• Kristalline Silikate
• Eisen-Sulfide
• PAHs
W. Kley:
(Polycrylic Aromatic Hydrocarbons)
Planetenentstehung (WS 2012/13)
30
4.2 Scheiben
Planet im System TW Hya ?
Scheibe & Planet
HST-Bild
Stern und Scheibe
Stern-Alter: 10 Mio. Jahre
Planetenentstehung in Scheibe
Radialgschwindigkeitskurve :
⇒ Pp=3.6 Tage, mp=10 Mjup
Limit an Zeitskala
für Planetenentstehung
(Max-Planck-Inst. für Astronomie,
Heidelberg, 2008)
Problem: Variation nicht in allen Wellenlängen, Sternspots ?
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31
4.2 Scheiben
Zusammenfassung Beobachtungen
(Dullemond & Monnier, 2008)
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32
4.3 Scheiben:Theorie
Hydrodynamische Gleichungen
Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)
∂ρ
+ ∇ · (ρu) = 0
(9)
∂t
ρ: Massendichte, u: Geschwindigkeitsvektor.
Impulserhaltung
∂u
+ (u · ∇)u = ρ(a − ∇ψ) − ∇p + ∇ · σ
(10)
ρ
∂t
a: externe spezifische Kräfte (Beschleunigungen) ψ: Gravitationspotential, p:
Gasdruck, σ: viskoser Spannungstensor.
Energieerhaltung
∂
ρ
+ u · ∇ = −p∇ · u + (σ · ∇)u − ∇ · F
(11)
∂t
: spezifische innere Energie, F: Wärmetransport (Konvektion, Strahlungstransport, und Wärmeleitung). Rechte Seite: 1) Druckarbeit (durch Kompression und Expansion des Gases), 2) viskose Energieerzeugung durch Reibung
(Dissipation), 3) radiativer Energietransport und Energieverlust durch Kühlung.
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33
4.3.1 Akkretionsscheiben
Methodik
Wähle: Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) mit Stern im Zentrum
Oft weitere Annahmen:
• Axialsymmetrie: ∂/∂ϕ = 0
• Oft: Stationarität ∂/∂t = 0
• Scheiben nicht selbstgravitierend: ψ = ψ∗ = −GM∗/(r2 + z 2)1/2
• Scheiben geometrische dünn: uz = 0
W. Kley:
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34
Vertikale Struktur I
4.3.1 Akkretionsscheiben
g
d
M
z
z
(Armitage)
θ
*
r
Vertikale Hydrostatik (siehe Abbildung)
∂p
= ρgz
∂z
∂
∂ψ∗
=+
∂z
∂z
Für dünne Scheiben: z 2 r2
gz = −
GM∗
(r2 + z 2)1/2
(12)
=−
GM∗z
gz = − 3 = −Ω2K z
r
GM∗z
(r2 + z 2)3/2
(13)
(14)
mit Keplergeschwindigkeit
r
ΩK =
W. Kley:
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GM∗
r3
(15)
35
Vertikale Struktur II
4.3.1 Akkretionsscheiben
Benötige jetzt Zustandsgleichung: p = p(ρ, T )
Vereinfachend: Isothermie in vertikaler Richtung: p = ρc2s
c2s
∂ρ
= −ρΩ2K z
∂z
(16)
mit der Lösung
ρ = ρ0
2
− z 2
(r) e 2H
(17)
mit der Skalenhöhe (≈ Scheibendicke)
H(r) =
cs(r)
ΩK (r)
oder h(r) ≡
H
cs
=
r
VK
(mit VK = rΩK )
Also: h(r) = 1/Mach inverse Machzahl in der Scheibe
Typisch für Scheiben: h ≈ 0.01 − 0.1 (stark Überschall)
Mit Skalierung:
cs(r) ∝ r−β =⇒ h(r) ∝ r−β+1/2
Flaring für
W. Kley:
β < 1/2
(18)
(19)
d.h. T (r) ∝ r−1 oder schwächer
Planetenentstehung (WS 2012/13)
36
4.3.1 Akkretionsscheiben
Massenerhaltung
Vertikale Integration der Kontinuitätsgleichung. Mit
+∞
Z
ρdz
Σ≡
(20)
−∞
und falls ur nicht mit z variiert (ur = ur (r)), folgt
∂Σ 1 ∂rΣur
+
= 0.
∂t
r ∂r
(21)
Betrachte stationäre Scheiben, d.h. ∂/∂t = 0.
Die Massenakkretionsrate [Massendurchfluss/Zeit] der Scheibe beträgt dann
Ṁ = −2πrΣur .
(22)
Ṁ ist die konstante Massenakkretionsrate (positiv definiert).
W. Kley:
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37
Radiale Impulsgleichung
4.3.1 Akkretionsscheiben
Mit P =
R
pdz und vernachlässigter Viskosität folgt
∂P
∂ψ
∂Σur 1 ∂rΣur ur
+
= Σ rΩ2 −
−Σ
∂t
r
∂r
∂r
∂r
(23)
Falls Evolutionszeit groß gegen Periode: r/ur 2π/Ω (langsames Einspiralen),
dann ist die linke Seite sehr klein, also
2
Ω =
Mit
Ω2K
1 ∂P
.
+
Σr ∂r
(24)
∂P
P
Σc2s
≈ − ≈ −
∂r
r
r
folgt
2
Ω =
Ω2K
2
1 − O(h ) .
(25)
d.h. Scheibe ist keplersch!
Aber: Druckgradienten, d.h. Abweichungen von ΩK spielen bei der Bewegung
von Partikeln (z.B. Staubteilchen) große Rolle
W. Kley:
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38
4.3.1 Akkretionsscheiben
Drehimpulsgleichung
Zeitabhängige ϕ-Impulsgleichung
∂Σr2Ω 1 ∂
1∂ 2
3
+
(Σr Ωur ) =
r Srϕ ,
∂t
r ∂r
r ∂r
wobei Srϕ =
R
(26)
σrϕdz. Für Newtonsche Spannungen gilt
Srϕ
∂Ω
= Σνr
∂r
mit der kinematischen Viskosität ν.
Mit dem spezifischen Drehimpuls j = r2Ω folgt dann
∂Σj 1 ∂
1∂
3 ∂Ω
+
(rΣjur ) =
νΣr
.
∂t
r ∂r
r ∂r
∂r
(27)
(Drehimpulsgleichung)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
39
4.3.1 Akkretionsscheiben
Massendiffusion
Sei: Ω = ΩK , dann folgt aus Kontinuitätsgleichung (21) und Drehimpulserhaltung (27)
h
i
∂Σ 1 ∂
∂
νΣr1/2 ,
=
r1/2
(28)
∂t
r ∂r
∂r
eine Diffusionsgleichung für die Oberflächendichte.
Beispiel zur Illustration
Konstante Viskosität ν = const
Ringförmige δ -Funktion der Materie
Ring Spreading
.6
.5
Σ(r, t = 0) = mδ(r − r0)/(2πr0)
.4
(Masse m zentriert am Radius r0)
!
2
C
1+x
2x
Σ(r, t) =
exp
−
I
1/4
τ x1/4
τ
τ
mit x = r/r0, C = m/(πr02), τ = t/tv
viskose Zeitskala tv = r02/(12ν),
modifizierte Besselfunktion I1/4.
.3
.2
.1
0
.5
1
1.5
Trennung von Masse und Drehimpuls (Lösung des Drehimpulsproblems)
W. Kley:
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40
4.3.1 Akkretionsscheiben
setze
∂
∂t
Stationäre Lösung
= 0 in Drehimpulsgleichung (27) und integriere über Radius
rΣjur = νΣr
3 ∂Ω
∂r
+ const.
(29)
mit Ṁ = −2πrΣur (hier Ṁ positiv definiert)
∂Ω
J˙ = −Ṁ j − 2πνΣr3
∂r
(30)
wobei J˙ der konstante Drehimpulsstrom durch die Scheibe ist, Summe aus
advektiven Teil (negativ) und viskosem Teil (positiv).
Der Wert (und Vorzeichen) von J˙ wird durch innere Randbedingung bestimmt.
W. Kley:
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41
Grenzschicht
4.3.1 Akkretionsscheiben
Bei verschwindender Sternrotation (Ω∗ = 0) gibt es
Radius (rmax) mit ∂Ω
∂r = 0
Damit
d Ω / dr = 0
(31)
Ω
2
J˙ = −Ṁ j(rmax) = −Ṁ rmaxΩ(rmax)
∆r
Diese Grenzschicht ∆r = rmax − R∗, in der die
Geschwindigkeit abfällt ist sehr klein ∆r R∗,
und es gilt approximativ Ω(rmax) = ΩK (rmax). Damit
s
J˙ =
2
−Ṁ R∗
stellar
surface
GM∗
R∗3
(Armitage)
Es folgt mit Gl. (30)
Ṁ
νΣ =
3π
r
1−
R∗
r
!
(32)
Für große Radien
Ṁ = 3πνΣ
Bei magnetisierten Sternen sieht Randbedingung komplexer aus (s.u.).
W. Kley:
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42
Energie/Temperatur
4.3.1 Akkretionsscheiben
Vertikal integrierte Energiegleichung lautet
1∂
∂(Σ) 1 ∂
+
(rΣur ) = −P
(rur ) + Dv −
∂t
r ∂r
r ∂r
Z∞
∇ · Fdz
(33)
−∞
Dv = rSrϕ ∂Ω
∂r : viskose Energiedissipation, F: Strahlungsfluss
R
4
mit ∇ · Fdz = 2Feff ≡ 2σTeff
(Faktor 2: Ober und Unterseite der Scheibe)
Im stationären Fall (mit ur ≈ 0 und Fr ≈ 0) folgt mit Srϕ = rΣν ∂Ω
∂r
Σν r2
∂Ω
∂r
2
4
= 2σTeff
(34)
Mit Gl. (32) für νΣ und Ω = ΩK folgt
4
Teff
=
3GM∗Ṁ
8πσr3
r
1−
R∗
r
!
(35)
Note: Teff (r) unabhängig von Viskosität, für r R∗ ist Teff ∝ r−3/4
W. Kley:
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43
Leuchtkraft/Spektrum
4.3.1 Akkretionsscheiben
Z∞
Ldisc =
1 GM Ṁ
Feff (r) 2πr dr =
2 R∗
1
≡ Lacc
2
(36)
R∗
Nur die Hälfte der Akkretionsleuchtkraft wird in Scheibe abgestrahlt.
Spektrum durch Annahme von lokalem Schwarzkörper mit Ts = Teff (r)
3
Bν (Ts) ∝ ν [exp(hν/kTs) − 1]
−1
log λ F
λ
und nachfolgender Integration über
die Scheibe
Rout
Z
Fν ∝
Bν [Ts(r)] 2πr dr
flat ‘disk’
part of SED
(37)
(38)
R∗
wobei Rout der äußere Scheibenradius ist.
Note: νFν = λFλ
log λ
Bisher: Aktive Scheiben durch Viskosität ’getrieben’
Aber: Auch Passive Scheiben durch Aufheizung von Stern (Irradiation)
Realität: Eine Kombination
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
44
4.3.1 Akkretionsscheiben
Grenzschicht - schematisch
(Dullemond, 2007)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
45
4.3.1 Akkretionsscheiben
Modelle I
Passives Scheibenmodell
(Two-Layer Model)
(eg.: Chiang & Goldreich 97, D’Allesio et al. 2001)
(Mit: vert.+horiz. Strahlungsdiffusion, Konvektion, stellarer Heizung)
Note: Bei Scheiben mit Irradiation ist T (r) flacher, typisch Teff (r) ∝ r−1/2
W. Kley:
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46
4.3.1 Akkretionsscheiben
Modelle II
Irradiated Rim Model
(2D Strahlungstransport Code)
(eg.: Dullemond, Natta, Dominik 2003)
Note: Evaporation durch Stern (u. kosmische Strlg.) führen zur Auflösung der Scheibe
(Dissipation der Scheibe), mit innerem Loch (hole) und Rand (rim)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
47
4.3.1 Akkretionsscheiben
T Tau Modell
(Dullemond, Natta, Dominik 2003)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
48
4.3.1 Akkretionsscheiben
Modell für GM Aur
Links: NICMOS-Bild (HST)
Rechts: Theor. Modell
SED
Schwarz: Stern-Photosphäre
Weiß: Scheibenmodell
(in PPV: Watson et al. 2007)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
49
4.3.2 Turbulenz
Abschätzungen
Molekulare Viskosität: νmol ≈ λf cs
λf : mittl. freie Weglänge, cs: Schallgeschw.
Für typische Werte in Scheibe bei ca. 1 AE (mit H/r = 0.05, Σ ≈ 103g/cm2):
Mit
λf ≈ 2.5 cm,
cs = 1.5 · 105 cm s−1 =⇒ νmol ≈ 4 · 105 cm2 s−1
(39)
Viskose Entwicklungszeit: τvisc ' r2/νmol ist 1013 Jahre (bei 1 AE).
Vergleiche Lebensdauer der Scheiben: τdisk ' 106−7 Jahre.
Diskrepanz > 106 !!
Heuristischer Ansatz: (Shakura & Sunyaev, 1973)
νturb = α csH
(40)
sog. α-Scheiben, α ist eine Konstante mit α ≈ 0.001 − 0.02.
Ursache für Turbulenz:
- Hydrodynamisch stabil (Rayleigh-Kriterium, Drehimpuls wächst nach außen, [siehe 63])
- Konvektion (falsche Richtung des Drehimpulstransports)
- Vortizes (Wirbelbildung durch barokline Instabilität)
- Eigengravitation, Spiralbildung mit Drehimpulstransport (für Mdisk/M∗ > H/r )
- Magnetfelder (Magneto-Rotational-Instability, MRI)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
50
4.3.2 Turbulenz
Magnetisierte Scheiben
Für Keplersche Scheiben:
ΩK (r) =
GM
r3
1/2
Stabilitätskriterium für hydrodynamische Scheiben (Rayleigh)
dJ
> 0,
dr
(JK = ΩK r2 ∝ r1/2)
−→ stabil
Stabilitätskriterium für magnetisierte Scheiben (Chandrasekhar ...)
dΩ
> 0,
dr
(ΩK ∝ r−3/2)
−→ instabil
Magneto-Rotational-Instability - MRI
(Balbus & Hawley, 1993)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
51
4.3.2 Turbulenz
MRI-Prinzip
Niedriger Orbit:
Großes Ω, kleines J
=⇒ Instabilität
Feder: Übertrag von Drehimpuls
von niedrigem zu hohen Orbit
(lineare Instabilität)
Die MRI wird in Akkretionsscheiben numerisch untersucht (Saturation)
und Transport-Koeffizienten für Drehimpuls berechnet
~
Effektive Werte von α ≈ 10−3 − 10−2 (von B-Saatfeld
abhängig)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
52
4.3.2 Turbulenz
Ideale RMHD-Gleichungen
Direkte Simulationen von Turbulenz in Scheiben
∂%
+ ∇ · (%v)
∂t
∂(%v)
+ ∇ · (%vv)
∂t
∂e
+ ∇ · (ev)
∂t
∂B
− ∇ × (v × B)
∂t
∇·B
Zustandsgleichung
= 0
= −∇p − ρ∇Ψ
= −p∇ · v
+
1
(∇ × B) × B +∇ · Q
4π
+(Q : ∇)v
−∇ · F
= 0
= 0
p = (γ − 1)e
Ideale Hydrodynamik & Viskosität (Q) ⇒ Viskose Scheiben (s.o.)
Magnetische Terme (B)
⇒ Magnetische Scheiben
Strahlungs-Diffusion (F)
⇒ Thermische Struktur
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
53
4.3.2 Turbulenz
Die lokale Shearing Box
Effekt der Kepler-Scherströmung
Numerische Implementierung
Kleiner Ausschnitt aus Akkretionsscheibe in Äquatorebene (skaleninvariant)
Easy: Periodische Randbedingungen in y ≡ ϕ und z
Tricky: Scherperiodische in x ≡ r (Erhaltungseigenschaften)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
54
4.3.2 Turbulenz
Ohne vertikale Schichtung
Shearing box mit Ausdehung: x = 1.0 x y = 4.0 x z = 1.0
Numerische Auflösung: 64x128x64
~
Ohne vertikale Gravitation, vertikales B-Feld,
plasma-β=400 (Pgas/Pmag )
Animation des Magnetfeldes: y − z Schnitt, über 16 Bahnperioden
Initiale zufällige Störungen der Geschwindigkeit und Temperatur
(M. Flaig, Computational Physics)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
55
4.3.2 Turbulenz
Mit vertikaler Schichtung
Shearing box mit Ausdehnung: x = 1.0 x y = 6.0 x z = 5.0
Numerische Auflösung: 32x64x160
Mit vertikaler Gravitation: Plasma-β=100 (Pgas/Pmag )
Initiales vertikales Magnetfeld: (zero net flux)
Animation von Dichte und Magnetfeld: x − z slice
und zufällige Störungen der Geschwindigkeit und Dichte
(R. Kissmann, Computational Physics)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
56
4.3.2 Turbulenz
Struktur I
3D Magneto-hydrodynamische Turbulenz mit Strahlungstransport
in Akkretionsscheibe: geschichted, Local Shearing Box, (Animation: 6 Orbits)
(Finite Volumen Methode (Gitter-Auflösung 64×128×512))
Ergebnis:
Saturierungslevel
Transporteffizienz
Vertikale Scheibenstruktur
Oberflächentemperatur
(Bewegung von Staubteilchen)
(Markus Flaig, Tübingen)
Blaue Linie: Photosphäre,
W. Kley:
Grün: Pmag > Pgas
Planetenentstehung (WS 2012/13)
57
4.3.2 Turbulenz
Struktur II
Mittelwerte (über r und φ gemittelt)
1e-08
2000
I7
R7
Initial
1e-09
R6D
R8
R7
R6
1800
Temperature / Kelvin
Density / g cm-3
1600
1e-10
1e-11
1e-12
1400
1200
1000
800
600
1e-13
400
200
1e-14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Scalheights above midplane
6
-8
8
-6
-4
-2
0
2
4
Scaleheights above midplane
10
Gas pressure
Magnetic pressure
1
6
8
vturb/cg
vturb/cg0
vturb/ctot
10
Mach number
Pressure / p0
0.1
0.01
0.001
1
0.1
0.0001
1e-05
1e-06
-8
W. Kley:
-6
-4
-2
0
2
4
Scaleheights above midplane
6
8
Planetenentstehung (WS 2012/13)
0.01
-6
-4
-2
0
2
4
Scaleheights above midplane
6
58
Effizienz: Prinzip
4.3.2 Turbulenz
Volumenmittel einer Variablen q
ZZZ
1
hqi =
q dx dy dz.
(41)
LxLy Lz
Drehimpulstransport: brauche r − φ Komponente des Spannungstensors
Hier ist x = r und y = φ
Txy
δBxδBy
≡ TReyn + TMaxw
= ρδvxδvy −
4π
(42)
wobei in der lokalen Näherung gilt
3
δvy = vy + Ωx
2
Das turbulente α berechnet sich zu
hαi = hTReyni/hP i + hTMaxw i/hP i ≡ hαReyni + hαMaxw i,
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
(43)
59
Effizienz: Ergebnis
4.3.2 Turbulenz
Mittelwerte (über r und φ gemittelt)
Numerische Auflösungsstudie
0.1
I6
I5
I7
I6D
0.025
R6
R7
R8
0.02
R6D
0.03
Mean alpha
0.01
Total stress / p0
0.035
R6D
R8
R7
R6
0.001
0.0001
0.015
0.01
0.005
1e-05
0
-0.005
1e-06
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Scaleheights above midplane
6
20
8
25
30
35
Grid cells per scaleheight
40
45
Zeitentwicklung
0.025
Alpha parameter
Maxwell stress
Reynolds stress
Stresses / p0
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
0
W. Kley:
10
20
30
40
Orbits
Planetenentstehung (WS 2012/13)
50
60
70
80
60
4.3.2 Turbulenz
Layered Disks
MRI verlangt mindestens Ionisierungsgrad: x ≡ ne/nH > 10−13
Mögliche Ionisierungmechanismen:
- Teilchenkollisionen, Kosmische Strahlung, Stellare Heizung
Möglich: nur Oberflächenschichten turbulent aktiv, innen Dead Zone
Abhängig von:
chemischer Zusammensetzung, Oberflächendichte, Opazität
Momentan ein sehr aktives Forschungsgebiet!
(Markus Flaig, ea 2012)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
61
4.3.3 • Stabilität •
Analyse für flache Scheibe
Gehe von (idealen) 2D-Euler-Gleichungen aus (illustrativ)
Massenerhaltung
∂Σ
+ ∇ · (Σu) = 0
∂t
Radialer Impuls
u = (ur , uϕ) ≡ (u, rΩ)
∂P
∂ψ
∂(Σu)
2
+ ∇ · (Σuu) = Σ rΩ −
−Σ
∂t
∂r
∂r
Drehimpuls ( j = Ω r2 )
∂[Σr2Ω]
∂P
∂ψ
2
+ ∇ · [Σr Ωu] = −
−Σ
∂t
∂ϕ
∂ϕ
Adiabatische Zustandsgleichung
P = KΣγ
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
(44)
(45)
(46)
(47)
62
4.3.3 • Stabilität •
Gleichgewicht und Linearisierung
Stationäres, axisymetrisches GGW (aus radialer Gleichung)
rΩ20
1 ∂P0 ∂ψ0
−
−
= 0;
Σ0 ∂r
∂r
∂ψ0 GM∗
= 2
∂r
r
(48)
Betrachte kleine Störungen: f = f0 + f1
Ω = Ω0+Ω1, u = u0+u1, Σ = Σ0+Σ1, P = P0+P1, ψ = ψ0 + ψ1
Annahmen:
i) Störungen klein: f1 f0 mit f ∈ {Ω, u, Σ, P, ψ}
(vernachlässige quadratische Terme)
ii) Störungen nur in z = 0 Ebene:
f1 = f1(r, ϕ)
iii) Grundzustand hat nur schwache radiale Abhängigkeit:
∂f0/∂r ∂f1/∂r (d.h. Lokale Approximation)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
63
4.3.3 • Stabilität •
Linearisierte Gleichungen
∂Σ1
∂Σ1
∂u1
∂Ω1
+ Ω0
+ Σ0
+ Σ0
= 0
∂t
∂ϕ
∂r
∂ϕ
(49)
c2s0 ∂Σ1 ∂ψ1
∂u1
∂u1
+ Ω0
− 2rΩ0Ω1 = −
−
(50)
∂t
∂ϕ
Σ0 ∂r
∂r
∂Ω1 u1 κ20
1 c2s0 ∂Σ1
1 ∂ψ1
∂Ω1
+ Ω0
+
= − 2
− 2
(51)
∂t
∂ϕ
r 2Ω0
r Σ0 ∂ϕ
r ∂ϕ
mit Epizykel Frequenz
κ20
2Ω0 ∂ 2 ∂Ω0
2
≡
r Ω0 = 4Ω0 + 2Ω0r
r ∂r
∂r
(52)
und Schallgeschwindigkeit
cs0 =
W. Kley:
γP0
Σ0
Planetenentstehung (WS 2012/13)
1/2
(53)
64
4.3.3 • Stabilität •
Entwicklung in Zeit und Azimut
Harmonische (Fourier) Analyse (in t und ϕ) mit
f1 = f˜1(r)ei(mϕ−σt)
(54)
wobei f˜1(r) nur vom Radius abhängt. Damit wird:
∂f1
= −i σ f˜1
∂t
∂f1
= i m f˜1
∂ϕ
(55)
(56)
Einsetzen in linearisierte Bewegungsgleichungen
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
65
4.3.3 • Stabilität •
Setze Ansatz
Dispersionsrelation I
f1 = f˜1(r)ei(mϕ−σt)
ein
Σ̃1(σ − mΩ0) = −iΣ0ũ01 + Σ0mΩ̃1
c2s0 0
ũ1(σ − mΩ0) = i2rΩ0Ω̃1 − i Σ̃1 − iψ̃10
Σ0
c2s0
κ20
1
Ω̃1(σ − mΩ0) = −i
ũ1− imΣ̃1 + 2 imψ̃1
2rΩ0
Σ0
r
(57)
(58)
(59)
Mit der radialen Ableitung
∂f
f =
∂r
0
Jetzt: Keine Selbstgravitation & nur radiale Störungen
ψ̃1 = 0;
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
m=0
66
4.3.3 • Stabilität •
Dispersionsrelation II
Σ̃1 σ
ũ1 σ
Ω̃1 σ
= −iΣ0ũ01
(60)
c2s0 0
= i2rΩ0Ω̃1 − i Σ̃1
Σ0
κ20
ũ1
= −i
2rΩ0
(61)
(62)
Mache radiale Entwicklung
f˜1(r) = f˜c exp[ikr]
mit konstanten f˜c,
also f˜10 = ik f˜10
Eingesetzt in obige Gleichungen & erste und dritte Gl. in die Zweite
=⇒
σ 2 = κ20 + c2s0 k 2
f ∝ exp[−iσt] d.h. κ20 > 0 =⇒ Stabilität
(63)
(Rayleigh-Kriterium)
(Für Definition von κ0 und cs siehe: Gl. 52 und 53)
W. Kley:
Planetenentstehung (WS 2012/13)
67