Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre
Aufgabe 1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
{6, −2, 0} ⊆ {0, 6, −2, 4}
{5} ∈ {{5}}
{5} ⊆ {{5}}
∅∈∅
∅⊆∅
Aufgabe 2. Welche Aussagen sind wahr? Finden Sie für die falschen Aussagen
ein Gegenbeispiel.
•
•
•
•
Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element.
Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein größtes Element.
Jede nichtleere endliche Teilmenge von N hat ein größtes Element.
Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat
ein kleinstes Element.
Aufgabe 3. Berechnen Sie folgende Mengen:
{11, 2, −3} ∪ {{11}, −3}
{11, 2, −3} ∩ {{11}, −3}
{11, 2, −3} \ {{11}, −3}
Aufgabe 4. Sei A = {1, 2} und B = {1, 3}. Berechnen Sie
A∪B
(A ∪ B) \ B
(A \ B) ∩ B.
Aufgabe 5. Gelten folgende Aussagen für jede Menge A? Falls nicht, finden
Sie ein Gegenbeispiel.
A ∩ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∪ ∅ = ∅
A ∩ A = A, A ∪ A = A
A \ ∅ = A, A \ A = A, A \ ∅ = ∅, A \ A = ∅
A ⊆ A, A ⊂ A, A ⊇ A, A ⊃ A
Aufgabe 6. Überlegen Sie ob für beliebige Mengen A, B, C gilt
A ∩ (B ∩ C)
=
(A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C)
=
(A ∪ B) ∪ C
A ∪ (B ∩ C)
=
(A ∪ B) ∩ C
Falls nicht, suchen Sie ein möglichst einfaches Gegenbeispiel.
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Aufgabe 7. Finden Sie drei Mengen A, B, C so dass
A ∈ B, B ∈ C und A ∈ C.
Aufgabe 8. Finden Sie jeweils eine Zahl x so dass gilt
• x ∈ Z aber x 6∈ N
• x ∈ Q aber x 6∈ Z
• x ∈ R aber x 6∈ Q.
Aufgabe 9. Berechnen Sie die Menge A ∩ (B \ C) für
A
= {2, 5, 7}
B
= {1, 2, 7, 8}
C
= {2, 3, 8}
Aufgabe 10. Beschreiben Sie in eigenen Worten, was die Formel
∃x x ∈ A
über die Menge A aussagt. Finden Sie jeweils ein Beispiel einer Menge A,
für die die Formel erfüllt ist bzw. nicht erfüllt ist.
Aufgabe 11. Finden Sie jeweils zwei Mengen A und B so dass
• A ∈ B aber A 6⊆ B
• A ⊆ B aber A 6⊂ B
• A ∈ B und A ⊆ B
• A ⊆ B aber A 6∈ B
Aufgabe 12. Welche Aussagen sind wahr? Finden Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel.
• Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich.
• Jede Teilmenge einer unendlichen Menge ist unendlich.
• Jede Obermenge einer endlichen Menge ist endlich.
• Jede Obermenge einer unendlichen Menge ist unendlich.
Aufgabe 13. A und B seien zwei endliche Mengen mit |A| = a und |B| = b
Elementen. Geben Sie eine möglichst enge untere und obere Grenze für
die Anzahl der Elemente in |A ∪ B|, |A ∩ B| und |A \ B| an. Hinweis:
|A ∪ B| ≥ max{a, b}
|A ∪ B| ≤ a + b
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Aufgabe 14. Eine Menge A heißt echte Teilmenge von B, geschrieben A ⊂ B
wenn
A ⊆ B ∧ A 6= B.
Um auszudrücken, dass A eine unendliche Menge ist, kann man kurz
schreiben
unendlich(A).
Versuchen Sie zu verstehen, was die Formel
∀A unendlich(A) → ∃B unendlich(B) ∧ B ⊂ A
aussagt. Ist die Aussage wahr? Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, was
die Teilformel
∃B unendlich(B) ∧ B ⊂ A
über die Menge A aussagt.
Aufgabe 15. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle Mengen A und B gilt:
(A \ B) ∪ (B \ A) = A ∪ B → A ∩ B = ∅.
Hinweis: Formen Sie die Aussage zunächst so um, dass Sie im weiteren
Verlauf des Beweises annehmen können, dass A ∩ B 6= ∅.
Aufgabe 16. Beweisen Sie ausführlich dass für alle Mengen A, B gilt:
(A \ B) \ (B \ A) = (A \ B).
Aufgabe 17. Wenn x ∈ A und A = B ist, dann ist offensichtlich auch x ∈ B.
Beweisen Sie diese Aussage ausführlich, indem Sie nur die in der Vorlesung besprochenen Beweisschritte und Definitionen (Mengengleichheit,
Teilmengenbeziehung) verwenden. Schreiben Sie zuerst die zu zeigende
Aussage als Formel der Prädikatenlogik hin und machen Sie deutlich an
welcher Stelle Sie Modus Ponens verwenden.
Aufgabe 18. Beweisen Sie so ausführlich wie möglich, dass
∀a ∀b {a} = {b} → a = b.
Verwenden Sie hierbei die in der Vorlesung gezeigen Beweisschritte. Machen Sie deutlich, an welcher Stelle Sie die Definition der Mengengleichheit
verwenden.
Aufgabe 19. Beweisen Sie so ausführlich wie möglich, dass
∀a ∀b ∀c {a, b} = {c} → a = b.
Verwenden Sie hierbei die in der Vorlesung gezeigen Beweisschritte. Machen Sie deutlich, an welcher Stelle Sie die Definition der Mengengleichheit
bzw. der Teilmengenbeziehung verwenden.
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