Impuls und Energie

Impuls und Energie
Impuls und Energie
Die Geschwindigkeit zeigt an, wie viel Impuls ein Körper bei gegebener Masse speichert. Die Geschwindigkeit steht
aber auch für die Energiebeladung des Impulsstromes, d.h. die Geschwindigkeit ist das translationsmechanische
Potenzial.
Ein unter Zug stehender Riemen transportiert umso mehr Energie, je schneller er sich bewegt und je stärker er
gespannt ist, d.h. der zugeordnete Energiestrom ist gleich Geschwindigkeit mal Stärke des Impulsstromes. Bremst
ein Auto mit blockierten Rädern, durchfällt der aus dem Auto abfliessende Impulsstrom eine
Geschwindigkeitsdifferenz. Dabei wird in der Grenzschicht zwischen Asphalt und Gummi eine Prozessleistung
freigesetzt. In treibenden Rad eines Riementriebs wird der Impuls unter Energiezufuhr geschwindigkeitsmässig
hinauf gepumpt. Sobald man einen einzelnen Körper auswählt, sobald man einen Körper freischneidet, wird die
Impulsstromstärke zur Kraft und der zugeordnete Energiestrom zur Leistung einer Kraft. Integriert man die Leistung
einer Kraft über die Zeit, erhält man die Arbeit einer Kraft.
Lernziele
In dieser Vorlesung lernen Sie
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dass die Geschwindigkeit das Energiebeladungsmass des Impulsstromes ist
wie in der Translationsmechanik die Prozessleistung zu berechnen ist
wie die kinetische Energie definiert ist und wie man sie berechnet
wie man den Energieumsatz bei einem Stoss ermittelt
wie die Leistung einer Kraft definiert ist
dass die Fläche unter dem Kraft-Weg-Diagramm der Arbeit dieser Kraft entspricht
zugeordneter Energiestrom
Steht man vor einem gespannten Seil (oder Riemen), darf die Richtung des Impulsstromes frei festgelegt werden.
Orientiert man z. B. die Bezugsrichtung nach rechts, fliesst der Impuls im gespannten Seil nach links (bei Zug fliesst
der Impuls gegen die Bezugsrichtung). Nun bewege sich das Seil selber nach rechts, also vorwärts. Wir vermuten
dann intuitiv, dass der Antrieb auch auf dieser Seite des Seils liegt. Diese Vermutung führt uns zu einem
grundlegenden Zusammenhang:
• der nach links fliessende Impulsstrom ist über die Geschwindigkeit mit einem Energiestrom beladen
• weil die Geschwindigkeit positiv ist, fliesst die Energie in die gleiche Richtung wie der Impuls, also nach links.
Bewegt sich das Seil nach links, wird die Geschwindigkeit negativ. Dann fliesst die Energie gegen den Impuls, also
nach rechts. Quantitativ ist der zugeordnete Energiestrom gleich dem Produkt aus Geschwindigkeit und Stärke des
Impulsstromes
Wie in der Elektrizitätslehre gilt dieser Zusammenhang zwischen Energie und Träger auch bei Wechselstrom.
Betrachten wir dazu einen Mann, der Holz zersägt. Zwischen Hand und Griff fliesst während des Sägens ein
Impulswechselstrom. In der Stossphase fliesst der Impuls vorwärts, beim Ziehen strömt der Impuls gegen die
Bezugsrichtung. Weil gleichzeitig die Geschwindigkeit der vom Impuls durchflossenen Teile das Vorzeichen
wechselt, fliesst die Energie immer vom Säger an die Säge weg. Schauen wir uns den Vorgang noch etwas genauer
an. Die positive Richtung zeige in Stossrichtung, also vom Mann gegen die Säge.
• Der Mann drückt mit seiner Handfläche gegen die Säge. Der Impuls strömt über Arm, Hand und Bügel bis zum
vorderen Ende der Säge. Von dort fliesst der Impuls bis zur Schnittfläche zurück und dann über das Stück Holz
weg. Sobald sich die Säge bewegt, wird der Impulsstrom in der Muskulatur des Armes mit Energie beladen. Von
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dort fliesst die Energie als zugeordneter Energiestrom zusammen mit dem Impuls bis zur Schnittfläche.
• Der Mann zieht mit den Fingern an der Säge. Der Impuls strömt vom Boden oder über den andern Arm durch das
Holzstück ins Sägeblatt. Im Sägeblatt fliesst der Impuls gegen die Hand, um dann über den Arm abgeleitet zu
werden. Sobald sich die Säge gegen den Mann, also in negative Richtung, bewegt, wird der Impulsstrom wieder
im Arm mit Energie beladen. Nur fliesst diesmal die Energie gegen den Impuls bis zur Schnittfläche.
Die Säge benötigt einen Bügel, weil das Blatt nur auf Zug belastet werden darf, weil der Impuls im Sägeblatt nur
rückwärts fliessen kann.
Prozessleistung
Ein Stossdämpfer wirkt als nichtlinearer Widerstand bezüglich des
durchfliessenden Impulsstromes. Die Relativgeschwindigkeit der
beiden Flansche des Stossdämpfers hängt direkt mit der Stärke des
Impulsstromes zusammen. Umgekehrt darf die Stärke des
durchfliessenden
Impulsstromes
als
eine
Funktion
der
Relativgeschwindigkeit angesehen werden. Das Verhalten eines
Stossdämpfers kann analog zur Elektrodynamik in einem
Kraft-Geschwindigkeitsdiagramm dargestellt werden. Das Produkt aus
Geschwindigkeitsdifferenz und Impulsstrom ergibt analog zu
Spannung mal elektrische Stromstärke die momentan umgesetzte
Leistung
Elektrodynamik:
Translationsmechanik:
Wirkweise eines Stossdämpfers
Die Prozessleistung erscheint sowohl im Strom-Spannungs-Diagramm
als auch im Impulsstrom-Geschwindigkeitsdifferenz-Diagramm als Rechteck, wobei die eine Ecke des Rechteckes
im Schnittpunkt der beiden Achsen und die gegenüberliegende Ecke auf der Kennlinie liegt.
Schneidet man den Stossdämpfer frei, ergeben sich immer zwei Kraftpfeile, die den als masselos gedachten
Stossdämpfer andauernd im Gleichgewicht halten. Auf den Dämpfer wirken somit immer zwei Kräfte ein, welche
die Stärke des gleichen Impulsstromes an zwei verschiedenen Stellen (Ein- und Austritt) beschreiben. Demnach ist
Impulsstromstärke der korrektere Begriff als Kraft. Trotzdem reden wir in Anlehnung an die Tradition meist von
Kraft und von Kraft-Geschwindigkeits-Diagramm.
kinetische Energie
Ein bewegter Körper speichert proportional zur Geschwindigkeit Impuls. Die Geschwindigkeit ist das Potenzial und
die (träge) Masse wirkt als Kapazität bezüglich der Grösse Impuls. Die kinetische Energie entspricht der kapazitiv
gespeicherten Energie der Hydrodynamik oder der Elektrodynamik
Impuls und Energie
Die kinetische Energie ist immer nur relativ zu einem Bezugssystem
definiert, d.h. die kinetische Energie ist die Grösse, die als
zugeordneter Energiestrom zusammen mit dem Impuls zugeführt und
gespeichert wird. Dieser Zusammenhang leuchtet im Flüssigkeitsbild
unmittelbar ein. In diesem Bild nimmt das Bezugssystem die Gestalt
eines riesigen Sees an, in dem alle Körper als zylinderförmige Töpfe
eingetaucht sind. Die kinetische Energie erscheint dann als potentielle
Energie der Flüssigkeit und die Zuordnung der Energie zum Impuls
wird durch Höhen (Geschwindigkeiten) sichtbar gemacht.
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Impuls und Energie im Flüssigkeitsbild
Das nebenstehende Flüssigkeitsbild zeigt links einen Körper mit einer
Masse von 5 kg, der sich mit 4 m/s vorwärts bewegt. Damit der Körper diese Geschwindigkeit erreicht, musste man
ihm von der Erde her 20 Ns Impuls zuführen. Diese 20 Ns wurden im Mittel um 2 m/s angehoben. Folglich beträgt
die kinetische Energie 20 Ns * 2 m/s = 40 J. Der rechte Topf steht für einen Körper mit einer Masse von 3 kg, der
sich mit 3 m/s in negative Richtung bewegt. Damit sich dieser Körper so bewegt, musste man ihm 9 Ns Impuls
entziehen. Dieser Impuls wurde im Mittel um 1.5 m/s angehoben, was einen Energieaufwand von 13.5 J erforderte.
Folglich besitzt dieser Körper eine kinetische Energie von 13.5 J.
Stösse
Stossen zwei Autos frontal gegeneinander, überträgt das eine Auto so lange Impuls auf das andere, bis beide
Fahrzeuge gleich schnell sind. Der durch die Frontpartien fliessende Impulsstrom ist so stark, dass die Fahrzeuge
massiv beschädigt werden. Im Flüssigkeitsbild erscheint dieser Prozess als Ausgleichsvorgang zwischen
kommunizierenden Gefässen. Einen solchen Stoss nennt man inelastisch.
Würde man die Autos mit elastischen Front-, Heck- und Seitenpartien ausstatten, könnte man eine Beschädigung der
Karosserie verhindern. Dafür wäre die Belastung der Insassen doppelt so gross. Wieder hilft und das
Flüssigkeitsbild, den Vorgang besser zu verstehen. Bei einem inelastischen Stoss fliesst nur so lange Impuls vom
schnelleren zum langsameren Auto, bis sich die Geschwindigkeiten angeglichen haben. Bei einem elastischen Stoss
wird die vom Impulsstrom freigesetzte Energie in den elastischen Materialien zwischengespeichert und dann an den
Impulsstrom zurückgegeben. Damit wird doppelt so viel Impuls übertragen wie beim inelastischen Stoss.
Dementsprechend ändern sich die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge um den doppelten Wert. Der elastische Stoss
erscheint im Flüssigkeitsbild als Überschwingen, wie man es bei einem U-Rohr beobachten kann.
Zwischen dem inelastischen und dem vollelastischen Stoss liegen alle
möglichen teilelastische Stösse. Dazu ein Beispiel. Ein reibungsfrei
gleitender Körper (Masse 5 kg) prallt mit 5 m/s gegen einen zweiten
(Masse 3 kg), der ihm mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s entgegen
kommt. Nach dem Stoss steht der schwerere Körper still. Wie bewegt
sich der zweite und was ist energetisch passiert?
In der ersten Phase gleichen sich die Geschwindigkeiten der beiden
Körper an. Mit Hilfe der Impulserhaltung kann die gemeinsame
inelastischer Stoss
Geschwindigkeit berechnet werden: Impuls des ersten Körpers (25 Ns)
plus Impuls des zweiten Körpers (-9 Ns) dividiert durch Gesamtmasse
(8 kg) ergibt 2 m/s. Folglich fliessen beim inelastischen Stoss 15 Ns vom schwereren zum leichteren Körper. Weil
dabei der Impuls im Mittel um 4 m/s hinunter fällt, werden 15 Ns * 4 m/s = 60 J Energie freigesetzt. Mit dieser
Energie könnten nochmals 15 Ns Impuls vom ersten auf den zweiten Körper übertragen werden. Dabei würde die
Geschwindigkeit des ersten Körpers nochmals um 3 m/s auf -1 m/s sinken. Der zweite Körper würde seinen
Geschwindigkeitszuwachs auf 10 m/s verdoppeln und sich mit 7 m/s vorwärts bewegen. Weil die Geschwindigkeit
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des schweren Körpers laut Aufgabenstellung nur auf null absinkt, werden in der zweiten Stossphase nur 10 Ns
Impuls hinauf gepumpt. Der zweite Körper erreicht deshalb eine Geschwindigkeit von 5.33 m/s. In dieser zweiten
Phase müssen 26.67 J Energie zugeführt werden, weil die mittlere Pumphöhe 2.667 m/s beträgt.
Das Verhältnis der vom Impulsstrom in der zweiten Stossphase
aufgenommenen Energie zur vorher freigesetzten bezeichnet man als
Stosszahl k
In unserem Beispiel beträgt die Stosszahl 26.67 J : 60 J = 0.444. Die
Stosszahl kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden. Dazu
bildet man das Quadrat des Verhältnis der Geschwindigkeitsänderung
in den beiden Stossphasen für einen der beiden Körper, also
teilelastischer Stoss
= 0.444
Diese Rechnung ist äquivalent zur Energiebetrachtung, weil die Geschwindigkeitsänderung die geflossene
Impulsmenge und zusammen mit der entsprechenden Geschwindigkeitsänderung des andern Körpers die Fallhöhe
festlegt. Oft wird eine Stosszahl definiert, die gleich Wurzel aus k ist. Diese zweite Definition der Stosszahl
beschreibt das Verhältnis zwischen hinauf gepumptem zu vorher hinunter geflossenem Impuls.
Zusammenfassend können wir festhalten, dass
• bei einem inelastischen Stoss
• sich die Geschwindigkeiten der Stosspartner angleichen
• die vom Impulsstrom freigesetzte Energie dissipiert wird
• bei einem elastischen Stoss
• sich die Geschwindigkeitsänderungen gegenüber dem inelastischen Stoss verdoppeln
• der vom Impulsstrom in der ersten Stossphase freigesetzte Energie in der zweiten wieder zurück gewonnen
wird
• bei einem teilelastischen Stoss
• die Geschwindigkeitsänderungen nach der inelastischen Phase kleiner sind
• nur ein Teil der vom Impulsstrom freigesetzten Energie von diesem wieder aufgenommen wird.
Leistung einer Kraft
Fliesst ein Impulsstrom über eine Systemgrenze, nennt man die Stromstärke bezüglich des Systems Kraft. Der
zugeordnete Energiestrom heisst dann Leistung einer Kraft. Die Leistung einer Kraft beschreibt demnach den
zugeordneten Energiestrom bezüglich eines Körpers und nicht etwa eine Prozessleistung. Zur Prozessleistung gibt es
in der Mechanik der starren Körper kein Analogon, weil man sich dort primär mit der Speicherung von Impuls und
Drehimpuls beschäftigt. Der Transport von Impuls und Drehimpulses durch ein Bauteil hindurch muss in der
klassischen Formulierung der Mechanik mühsam mit Hilfe des Schnittprinzips beschrieben werden.
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Der Kraftbegriff hat natürlich auch seine Vorzüge. Deshalb müssen Sie
den Zusammenhang zwischen Impulsstrom und Kraft durchschauen.
Sie müssen aus einem Schnittbild die drei Impulsstrombilder und
umgekehrt aus den drei Impulsstrombilder das Schnittbild entwickeln
können. Kräfte kommen ohne Koordinatensystem aus; der Kraftpfeil
ist die komponentenfreie Darstellung des Impulsstromes bezüglich
eines Körpers. Bildet man nun die zu den drei Impulskomponenten
gehörenden Energieströme, wird erkennbar, dass die Leistung einer
Kraft ebenfalls ohne Bezug zu einem Koordinatensystem zu
formulieren ist
Die Leistung einer Kraft ist das Skalarprodukt aus Kraft und
Geschwindigkeit, wobei die Geschwindigkeit bei der Angriffsfläche
der Kraft (Ort des Impulsdurchflusses) und nicht etwa im Schwerpunkt
des Körpers gemessen werden muss.
Impulsstrom, Kraft, zugeordneter Energiestrom
und Leistung einer Kraft
Wird ein Auto mit einem Seil abgeschleppt, fliessen Impuls und Energie vom ziehenden zum gezogenen Auto.
Schneidet man nun in Gedanken das Seil entzwei, kann die Stärke des durchfliessenden Impulsstromes durch zwei
Schnittkräfte dargestellt werden. Die eine Kraft beschreibt den vom ersten Fahrzeug weg fliessenden und die andere
Kraft den ins zweite Fahrzeug hinein fliessenden Impulsstrom. Die Leistungen dieser beiden Kräfte geben die
Stärken des zugeordneten Energiestromes bezüglich der beiden Systeme an.
Fährt das Auto aus eigener "Kraft" weg, muss es den dazu notwendigen Impuls aus der Erde in sich hinein pumpen.
Der vom Boden in den Pneu eintretende Impulsstrom transportiert noch keine Energie. Erst im sich drehenden Rad
wird der Impulsstrom mit Energie beladen. Schneidet man das Auto frei, wird die Stärke des zufliessenden
Impulsstromes zur Haftreibungskraft. Die Leistung dieser Haftreibungskraft ist gleich Null.
Arbeit einer Kraft
Integriert man die Leistung einer Kraft über eine bestimmte Zeit auf, erhält man die Arbeit einer Kraft
Die Arbeit einer Kraft ist im allgemeinen Fall eine nur mit grossem
Aufwand zu ermittelnde Grösse. Um die Arbeit einer Kraft zu
berechnen, muss man den Weg, den ein Körper beschreitet, in kleine
Strecken einteilen, dann das Skalarprodukt aus Kraft und zugehörige
Verschiebung (Strecke oder Distanzvektor) bilden und zum Schluss
über all diese Werte aufsummieren.
Die hier gegebene Definition der Arbeit einer Kraft ist so exakt wie
kompliziert. Deshalb wollen wir die Problematik wieder vereinfachen
und uns auf Bewegungen längs einer Geraden konzentrieren. Dann
fällt das Vektorprodukt weg und die Arbeit der Kraft wird zu einem
gewöhnlichen Integral. Der Zusammenhang zwischen Kraft und Arbeit
ist dem Kraft-Weg-Diagramm zu entnehmen
Druck-Weg-Diagramm
Die Arbeit einer Kraft entspricht der Fläche unter dem Kraft-Weg-Diagramm.
Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Druck-Weg-Verlauf des Dämpfers einer Mittelpufferkupplung.
Die Messung bezieht sich auf einen harten Kupplungsvorgang, bei dem ein Niederflurtriebzug des Typs FLIRT mit
10 km/h auf eine ruhende Komposition des gleichen Typs aufgefahren ist. Die Simulation ist mit der
Impuls und Energie
Modelica-Bibliothek DyMoRail ausgeführt worden. Multipliziert man den Druck (Impulsstromdichte) mit der
offenen Querschnittfläche des Dämpfers (Durchmesser 180 mm), erhält man die Stärke des durchfliessenden
Impulsstromes oder eben die Kraft. Der durch die Mittelpufferkupplung geflossene Impulsstrom hat eine Stärke von
fast 1.3 MN (entsprechend 130 Tonnen Gewicht) erreicht.
Der Zusammenhang zwischen Impulsstrom (Kraft), Geschwindigkeit,
Strecke, zugeordnetem Energiestrom (Leistung einer Kraft) und
übertragener Energie (Arbeit einer Kraft) lässt sich in einem einzigen
Bild, dem Impulsstrom-Geschwindigkeits-Zeit-Schaubild darstellen. In
dieser Darstellung erscheint der geflossene Impuls als Fläche unter der
Impulsstrom-Zeit-Kurve,
die
Strecke
als
Fläche
im
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, der zugeordnete Energiestrom als
Rechteck normal zur Zeitachse und die transportierte Energie als
Kraft, Impuls, Geschwindigkeit, Leistung und
Volumen des ganzen Gebildes. Das nebenstehend abgebildete
Arbeit
Schaubild zeigt die Zusammenhänge bei einem reibungsfrei gelagerten
Körper, auf den eine konstante Kraft einwirkt. Weil die
Geschwindigkeit linear mit der Zeit steigt, vergrössert sich der zugeordnete Energiestrom, die Leistung der Kraft,
ebenfalls linear mit der Zeit. Die zugeführte Energie, die in diesem Fall vom Körper als kinetische Energie
gespeichert wird, ist gleich geflossenem Impuls mal mittlere Geschwindigkeit oder eben gleich Impuls am Ende des
Vorganges mal halbe Endgeschwindigkeit.
Zwei zentralen Begriffe der Physik der dynamischen Systeme, der zugeordnete Energiestrom und die
Prozessleistung, werden in der Mechanik oft vermischt. Die Leistung einer Kraft, die dem zugeordneten
Energiestrom entspricht, wird mangels Alternativen auf die Prozessleistung ausgeweitet. So bildet man bei Impuls
leitenden Bauteilen wie Federn oder Dämpfer die Leistung aus Geschwindigkeitsdifferenz mal Wert einer möglichen
Schnittkraft und tut dann so, wie wenn nur eine Kraft auf das Bauteil einwirken würde. Auch bei der Verformung
redet man plötzlich nur noch von Arbeit, obwohl dieser Begriff nur im Zusammenhang mit einer Kraft oder einem
Drehmoment Sinn macht.
Kontrollfragen
1. Wie berechnet man den dem Impuls zugeordneten Energiestrom?
2. Bei einer Vollbremsung ohne ABS blockieren die Räder und die Gleitreibungskraft bleibt in etwa konstant. Wie
ändert sich die in der Reibschicht freigesetzte Leistung in der Zeit?
3. Wie ist die kinetische Energie definiert und wie berechnet man sie?
4. Was passiert energetisch beim inelastischen und beim vollelastischen Stoss? Wie sehen diese Stösse im
Flüssigkeitsbild aus?
5. Die Stosszahl beschreibt die Elastizität eines Stosses. Wie ist die Stosszahl definiert?
6. Auf einen Körper wirkt eine beliebige Kraft ein. Wie berechnet man die Leistung dieser Kraft?
7. Eine Tellerfeder wird mittels einer hydraulischen Presse zusammengedrückt. Wie ermittelt man die von der Feder
aufgenommene Energie aus dem gemessenen Kraft-Verformungs-Diagramm?
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Antworten zu den Kontrollfragen
1. Der zugeordnete Energiestrom ist gleich Impulsstrom mal Geschwindigkeit des Impulsleiters. Diese Formel ist
auf alle drei Komponenten des Impulses getrennt anzuwenden.
2. Die in der Reibschicht (zwischen Pneu und Strasse) freigesetzte Prozessleistung nimmt linear mit der Zeit ab,
weil die Geschwindigkeitsdifferenz bei konstantem Impulsstrom linear mit der Zeit gegen Null geht.
3. Die kinetische Energie ist die Energie, die zusammen mit dem Impuls gespeichert wird. Die kinetische Energie
ist gleich Impuls mal halbe Geschwindigkeit oder halbe Masse mal Geschwindigkeit im Quadrat. Auch diese
Beziehung ist auf jede der drei Komponenten separat anzuwenden.
4. Beim inelastischen Stoss wird der Energieüberschuss dissipiert. Beim elastischen Stoss wird die bis zum
Geschwindigkeitsausgleich frei gesetzte Energie von der Feder wieder an den Impuls zurück gegeben. Im
Flüssigkeitsbild erscheint der inelastische Stoss als Ausgleichsvorgang und der elastische als Überschwingen.
5. Die Stosszahl ist als Verhältnis zwischen dem in der zweiten Stossphase vom Impuls aufgenommenen zum von
diesem in der ersten Phase freigesetzten Energie definiert.
6. Die Leistung einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt aus Geschwindigkeit und Kraft, wobei die
Geschwindigkeit bei der Angriffsfläche der Kraft zu messen ist.
7. Die von der Feder aufgenommene Energie ist gleich der Fläche unter dem Kraft-Verformungs-Diagramm.
Materialien
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Skript [1] Seiten 7 und 8
Physik - Ein systemdynamischer Zugang für die Sekundarstufe II Seiten 104 - 107
Videoaufzeichnung [2]
Kurzfassung auf Youtube [3]
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik
Quellennachweise
[1] https:/ / home. zhaw. ch/ ~mau/ Lehre/ Skript/ TranslationT. pdf
[2] https:/ / cast. switch. ch/ vod/ clips/ 2mfkbr109p/ link_box
[3] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=eTBE8YWPC-8
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