Lösung zu 1.5: a) Aus 0 0 folgt ac < bc (Monotonie der

Lösung zu 1.5: a) Aus 0 < a < b und c > 0 folgt ac < bc (Monotonie der Multiplikation).
Analog ist mit c < d und b > 0 auch bc < bd. Aus dem Transitivitätsgesetz erhalten wir
ac < bd.
b) Mit a = 1 und b = −2 folgt a − b = 3 > 1 = |1 + (−2)| = |a + b|.
c) Aus ab > 0 folgen die beiden Fälle 0 < a < b oder a < b < 0.
1. Fall 0 < a < b: Wenn wir die Eigenschaft voraussetzen, dass mit a > 0 stets auch a1 > 0
gilt, dann ergibt sich die Ungleichung, indem wir unter Verwendung der Monotonie bzgl.
Multiplikation die Ungleichung a < b mit a1 und mit 1b multiplizieren.
2. Fall a < b < 0: Wende den ersten Fall an auf −a > 0 und −b > 0, da 0 < −a < −b gilt
(s. Aussage i) unten).
Überlegen wir uns nun noch die zugrunde liegende Regel, dass a > 0 stets a1 > 0 impliziert.
Dazu stellen wir einige bekannte Rechenregeln explizit zusammen:
i) Beh.: Aus a < b folgt −b < −a.
Dies folgt, wenn wir auf beiden Seiten −a − b addieren (Monotonie der Addition).
ii) Beh.: Es gilt 0 < 1.
Es ist sicherlich 1 6= 0; denn wir haben schon gesehen, dass a·0 = 0 6= a = a·1 für alle a 6= 0
ist. Angenommen es sei 1 < 0, so gilt mit Teil i) und 0 = −0, dass −1 > 0 ist. Mit der
Monotonie würde dann aber für Zahlen mit a < b folgen, dass −a = −1 · a < −1 · b = −b
ist. Dies steht aber im Widerspruch zu Teil i). Also kann unsere ursprüngliche Annahme
1 < 0 nicht stimmen und es folgt 0 < 1.
iii) Beh.: a > 0 impliziert a1 > 0.
Dies ergibt sich wieder durch einen Widerspruch; denn die Annahme a1 < 0 führt nach
Multiplikation mit dem positiven a > 0 auf 1 = a a1 < a · 0 = 0, was nach Teil ii) falsch
ist.