Lernhilfe zur Diplomprüfung Thermodynamik

Lernhilfe zur Diplomprüfung Thermodynamik
Diese Zusammenfassung wurde für die Vorbereitung auf meine
Diplomprüfung erstellt. Bei Fehlern bitte ich um Korrekturhinweise.
Inhaltsverzeichnis
I
Thermodynamik
4
1 Grundbegriffe
4
2 Temperatur (0. Hauptsatz)
5
3 1. Hauptsatz
3.0.1 Arbeitsterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.0.2 Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 pVT-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Prozesse für pVT-Systeme . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Klassiches ideales Gas als einfachstes pVT-System
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5
5
5
6
6
6
6
4 2. Hauptsatz
4.1 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Reversible Ersatzprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
5 Thermodynamische Potentiale
5.1 Potentialfunktionen . . . . . .
5.1.1 Potentialfunktionen im
5.2 Ideales Gas . . . . . . . . . .
5.3 Van der Waals-Gas . . . . . .
5.4 Photonengas . . . . . . . . . .
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pVT-System
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8
9
9
9
10
10
6 Nernstsche Wärmetheorem / 3. Hauptsatz
11
6.1 Thermodynamische Koeffizienten für T → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.1.1 Wärmekapazitäten für T → 0 und Entropieberechnung . . . . . . 11
1
7 Systeme mit veränderlicher Teilchenzahl
7.1 pVT-Systeme . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Homogene Mischungen . . . . . . . . .
7.2.1 echten Mischung . . . . . . . .
7.3 Reale Mischungen . . . . . . . . . . . .
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8 Gleichgewicht und Stabilität
8.1 pVT-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Phasengleichgewichte . . . . . . . . . .
8.1.2 Stabilitätsbedingungen . . . . . . . . .
8.2 Gibbssche Phasenregel . . . . . . . . . . . . .
8.3 Osmotischer Druck . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Siedepunkterhöhung, Gefrierpunkterniedrigung
8.5 Chemisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . .
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12
12
12
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13
13
14
14
14
14
14
15
9 Phasenübergänge
15
9.1 Phasenübergänge 1.Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.2 Phasenübergänge n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.3 Phasenübergänge 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II Statistische Physik
17
10 Klassische kinetische Gastheorie
17
10.1 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10.2 Boltzmanngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11 Mikrozustand, Makrozustand, Entropie
11.1 Mikrozustand . . . . . . . . . . . . .
11.2 Makrozustand . . . . . . . . . . . . .
11.3 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 klassisches ideales Gas . . . . . . . .
11.5 harmonische Oszillatoren . . . . . . .
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17
17
17
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18
18
12 Mikrokanonische Verteilung
18
12.1 Liouville-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.2 Entropiemaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13 Kanonische Verteilung
13.1 Zustandssumme und -integral, freie Energie . . . . .
13.2 Zusammenhang mit der mikrokanonischen Verteilung
13.3 Energie- und Entropieverteilung . . . . . . . . . . . .
13.4 Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Nichtwechselwirkende Teilchen . . . . . . . . . . . . .
13.5.1 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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19
19
20
20
20
20
20
13.5.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
14 Großkanonische Verteilung
21
14.1 Zustandssumme, großkanonisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14.2 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15 Grundlagen der Quantenstatistik
15.1 Der statistische Operator . . . . . . .
15.2 Verteilungen in der Quantenstatistik
15.3 N harmonische Oszillatoren . . . . .
15.4 Paramagnetismus . . . . . . . . . . .
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16 Ideale Quantengase
16.1 Identische Teilchen . . . . . . . . . . .
16.1.1 Ideales Maxwell-Boltzmann-Gas
16.1.2 Ideales Bose- und Fermi-Gas . .
16.1.3 Entartetes Fermi-Gas . . . . . .
16.1.4 Entartetes Bose-Gas . . . . . .
3
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23
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24
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26
Teil I
Thermodynamik
1 Grundbegriffe
Thermodynamische Systeme sind Systeme mit einer sehr großen Anzahl mikroskopischen Freiheitsgrade (makroskopische Systeme)
Zustand eines thermodynamischen Systems: Gesamtheit der Zustandsgrößen oder
Zustandsvariablen, die das System zu einem Zeitpunkt charakterisiert.
Äußere Zustandsgrößen: Durch Umgebung bestimmte Größen (z.B. Volumen, Kraftfelder von außen).
Innere Zustandsgrößen: Durch innere Wechselwirkung bestimmte Größen (z.B. Dichte, Druck, Temperatur, innere Energie, Polarisation, Magnetisierung)
Vollständiger Satz von Zustandsgrößen: Ein kleinstmöglicher Satz von Zustandsgrößen, der zur vollständigen Charakterisierung des Zustands notwendig ist.
Zustandsänderung: Prozess, der das System von einem Zustand zur Zeit t1 in einen
Zustand zur Zeit t2 überführt.
Kreisprozess: Anfangs- und Endzustand stimmen überein, d.h. alle Zustandsgrößen
nehmen wieder ihre Ausgangswerte an.
Gleichgewichtszustand: Nach hinreichend langer Zeit geht ein sich selbst überlassenes
System in einen Gleichgewichtszustand (GGW) über, den es von selbst nicht wieder
verlässt. (kleinerer vollständiger Satz reicht zur vollständen Charakterisierung aus)
Ein System im stabilen Gleichgewicht relaxiert auch nach einer kleinen Störung
zurück ins Gleichgewicht (Relaxation)
Reversibilität: Ein Prozess Z1 → Z2 heißt irreversibel, wenn bei einem nachfolgenden
Prozess Z2 → Z1 in der Umgebung Veränderungen zurückbleiben. Sonst reversibler
Prozess.
Phasen: Phasen sind in physikalischer Hinsicht homogene Bereiche eines thermodynamischen Systems. Die Zustandsgrößen innerhalb einer Phase hängen nicht vom Ort
ab, sondern sind dem ganzen Raumbereich zugeordnet.
Extensive Zustandsgrößen Xi sind der Substanzmenge (Masse) einer Phase proportional. Sie verdoppeln sich beim Aneinanderfügen zweier gleicher Phasen. (Beispiele:
Masse, Volumen, Energie)
4
Intensive Zustandsgrößen yi sind unabhängig von der Substanzmenge einer Phase. Sie
bleiben beim Aneinanderfügen zweier gleicher Phasen erhalten. (Beispiele: Temperatur, Druck)
2 Temperatur (0. Hauptsatz)
Für jedes thermodynamische System existiert eine intensive (skalare) Zustandsgröße, die
Temperatur genannt wird. Ihre Gleichheit ist notwendige und hinreichende Voraussetzung für das thermische Gleichgewicht zweier Systeme oder zweier Teile des gleichen
Systems.
A
T̃ = 273, 16K
Atripel
mit beliebiger Zustandsgröße A. Die Kelvin-Skala ergibt sich dabei als Grenzfall für
verschwindenden Druck eines idealen Gasses (ideale Gastemperatur).
3 1. Hauptsatz
Jedes thermodynamische System besitzt eine extensive (skalare) Zustandsgröße U , die
innere Energie. Ein Energieaustausches mit umliegenden Systemen ist durch Arbeit δW
und Wärme δQ möglich. Dabei trifft man die Vereinbarung, dass negative Terme für
einen Energieverlust und positive für eine Energiezufuhr stehen. Wärme und Arbeit
sind keine Zustandsgrößen, da es sich nicht um vollständigen Differentiale handelt.
dU = δQ + δW
Analoge Formulierung: Es ist unmöglich ein perpetuum mobile 1.Art zu konstruieren,
d.h. eine periodisch arbeitende Maschine, die Arbeit abgibt, ohne Energie in irgendeiner
Form aufzunehmen.
3.0.1 Arbeitsterme
Allgemein mit intensiven Zustandsgrößen yi und extensiven Zustandsgrößen Xi .
X
δW = −
yi dXi
Beispiele hierfür sind die Volumenarbeit δW = −pdV , die Magnetisierung δW =
HdM oder die Polarisation δW = EdP .
3.0.2 Wärmekapazitäten
δQ = CdT
Der Index an C beschreibt dabei, welche Zustandsgröße konstant gehalten wurde. Zum
Beispiel CV wenn δQ bei konstantem Volumen zugeführt wurde
5
3.1 pVT-Systeme
Der erste Hauptsatz liefert mit der intensiven Zustandsgröße Druck p und der extensiven
Größe Volumen V einen Arbeitsterm δW = −pdV und somit eine Bilanz für die innere
Energie
dU = δQ − pdV
Für ein pVT-System sagt die Erfahrung, dass ein vollständiger Satz von Zustandsgrößen
bereits durch zwei Zustandsgrößen gebildet wird. Die dritte Zustandsgröße lässt sich über
die thermische Zustandsgleichung
f (p, V, T ) = 0
festlegen. Die innere Energie ist folglich eine Funktion von zwei Zustandsgrößen. Die
folgende Gleichung wird kalorische Zustandsgleichung genannt.
U = U (V, T )
3.1.1 Wärmekapazitäten
XXX S 36
3.1.2 Prozesse für pVT-Systeme
isotherm: T = const
isochor: V = const
isobar: p = const
polytrop: C = const XXX S 38
adiabatisch: C = 0 (von der Umgebung thermisch isoliert ablaufender Prozess)
3.1.3 Klassiches ideales Gas als einfachstes pVT-System
Das Boyle-Mariotte-Gesetz dient als thermische Zustandsgleichung
pV = N kT
das Gesetz von Gay-Lussac als kalorische Zustandsgleichung
U = CV T + const
mit CV = const
Mit diesen Zustandsgleichungen erhält man
∂V
∂U
+p
= Nk
Cp − CV =
∂V T
∂T p
XXX
6
4 2. Hauptsatz
Jedes thermodynamische System besitzt eine extensive (skalare) Zustandsgröße S, die
Entropie. Ihre Änderung dSe bei reversiblen Zustandsänderungen (dSi = 0, abgeschlossenes System) berechnet man, indem man die zugeführte Wärmemenge δQ durch die
Temperatur T dividiert. Bei allen irreversiblen Zustandsänderungen wird im Inneren des
Systems Entropie produziert (dSi > 0).
dS = dSe + dSi
dSe =
mit
δQ
T
und dSi > 0
Analoge Formulierung: Es ist nicht möglich ein perpetuum mobile 2. Art zu konstruieren,
d.h. eine periodisch arbeitende Maschine, die weiter nichts bewirkt als das Heben einer
Last (Arbeitsleistung) und Abkühlung eines Reservoirs.
4.1 Carnot-Prozess
Kreisprozess aus isothermer Expansion (T1 ), adiabatischer Expansion (T1 → T2 ), isothermer Kompression (T2 ), adiabatischer Kompression (T2 → T1 )
XXX Herleitung ausführlicher
−Q1 Q2
+
>0
T1
T2
W
T1 − T2
=
=
Q1
T1
∆S =
⇒
ηCarnot
mit Q1 = W + Q2
Alle reversiblen Kreisprozesse zwischen zwei Wärmereservoirs, bei denen unter Abgabe
von Arbeit nach außen dem Reservoir der höheren Temperatur T1 eine Wärmemenge
entzogen und dem der tieferen Temperatur T2 eine (kleinere) Wärmemenge zugeführt
wird, besitzen den Carnot-Wirkungsgrad.
Jeder irreversible Kreisprozess zwischen zwei Wärmereservoirs bestitzt einen Wirkungsgrad η, der kleiner ist als ηCarnot
η < ηrev 6 ηCarnot
4.2 Reversible Ersatzprozesse
Betrachtet man einen Prozess zwischen zwei gehemmten Gleichgewichtszuständen Z1
und Z2 , so ist die Entropieänderung ∆S = S2 − S1 unabhängig von der Art des durchlaufenenen Prozesses. Die Entropieänderung eines irreversiblen Prozesses kann durch
einen beliebigen reversiblen Prozess beschrieben werden, der die gleichen Anfangs- und
Endzustände besitzt.
7
Irreversible Gasexpansion von V zu V + ∆V bei T = const
⇒
dU = T dS − pdV
1
p
Cv
Nk
dS =
dU + dV =
dT +
dV
T
T
T
V T2
V2
∆V
∆S = CV ln
+ N k ln
= N k ln 1 +
T1
V1
V
Wärmeleitung für das Gesamtsystem dS > 0 im Nichtgleichgewichtszustand, Teilsysteme im GGW dSi1 = dSi2 = 0
δQ
δQ
und dS2 = dSi2 +
dS1 = dSi1 −
T1
T2
1
1
−
⇒ dS = δQ
T2 T1
5 Thermodynamische Potentiale
Gibbsche Fundamentalgleichung liefert die Entropie S(U, Xi ) in Abhängigkeit von
der inneren Energie und den extensiven Zustandsvariablen
dS =
1X
1
dU +
yi dXi
T
T
mit
1
∂S
=
∂U
T
und
∂S
yi
=
∂Xi
T
Kalorische Zustandsgleichung
T = T (U, Xi )
Thermische Zustandsgleichungen
yi = yi (T, Xj )
Maxwell-Beziehungen resultieren aus der Gleichheit der zweiten Ableitungen, z.B. intensive yi = p und extensive Xi = V
T
∂yi
∂U
=
+ yi
∂T
∂Xi
Wärmekapazitäten: Für Gleichgewichtszustände gilt CdT = T dS und mit S(T, Xi )
erhält man
X ∂yi ∂Xi Cyi − CXi = T
∂T Xi ∂T yi
Thermodynamische Koeffizienten werden neben den Wärmekapazitäten zur Systemcharakterisierung herangezogen
8
5.1 Potentialfunktionen
durch Legendre-Transformationen können verschiedene Potentiale konstruiert werden
Freie Energie F = U − T S, Abnahme von F entspricht der abgegebenen Arbeit (bei
isothermen Prozessen) dF = δW
X
X
dU = T dS −
yi dXi = d(T S) − SdT −
yi dXi
i
dF = d(U − T S) = −SdT −
X
yi dXi
i
Freie Enthalpie Gk = F + yk Xk = U + yk Xk −T
S
| {z } | {z }
Enthalpie freie
dF = −SdT − d(yk Xk ) + Xk dyk −
X
yi dXi
i6=k
dGk = d(F + yk Xk ) = −SdT + Xk dyk −
X
yi dXi
i6=k
5.1.1 Potentialfunktionen im pVT-System
Innere Energie U (S, V )
dU = T dS − pdV
Freie Energie F (T, V ) = U − T S
dF = −SdT − pdV
Enthalpie H(S, p) = U + pV
dH = T dS + V dp
Freie Enthalpie G(T, p) = H − T S = F + pV = U − T S + pV
dG = −SdT + V dp
5.2 Ideales Gas
Die Gibbsche Fundamentalgleichung liefert mit der thermischen und kalorischen Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases
dS =
Nk
CV
dT +
dV
T
V
Durch Integration erhält man die Entropie
" #
CV
Nk
T
V
S − S0 = ln
T0
V0
9
und durch Umformung erhält man die innere Energie als Potential
" #
−N k/CV
V
U (S, V ) − U0 = CV T0
e(S−S0 )/CV − 1
V0
Das ideale Gas verliert in dieser Näherung seine Gültigkeit für kleine Temperaturen, da
bereits die Zustandsgleichungen divergieren.
5.3 Van der Waals-Gas
Das Van der Waals-Gas ist die einfachste Verbesseung des Modells des idealen Gases. Es
fügt eine Wechselwirkung der Gasteilchen durch den inneren Druck mit Faktor aN 2 /V 2
und das Eigenvolumen der Teilchen durch die Korrektur N b hinzu. Auf diese Weise
kann ein qualitativ richtiger Übergang zwischen der gasförmigen und flüssigen Phase
beschrieben werden.
N2
p + 2 a (V − N b) = N kT
V
Man erhält die kalorische Zustandsgleichung für das Van der Waals-Gas
1
1
2
−
U (T, V ) − U0 = CV (T − T0 ) − aN
V
V0
5.4 Photonengas
Als Photonengas bezeichnet man das in einem Resonator mit perfekt reflektierenden
Wänden eingeschlossene elektromagnetische Strahlungsfeld. Es zeigt sich, dass die Energiedichte nur von der Temperatur abhängt und somit U (T, V ) = u(T )V als kalorische
Zustandsgleichung geschrieben werden kann. Die thermische Zustandsgleichung ergibt
sich zu p = u(T )/3. Die Teilchenzahl steht nicht als Parameter in den Zustandsgleichungen auf, er kann somit nicht vorgegeben werden sondern richtet sich automatisch im
Gleichgewichtszustand ein. Über die Maxwell-Beziehungen (5) erhält man das StefanBoltzmann-Gesetz
1 du 1
u= T
− u
3 dT
3
⇒
du
= 4u
dT
T
⇒
u ∝ T4
und damit die kalorische und thermische Zustandsgleichung
4σ 4
4σ 4
T V
und
p=
T
c
3c
sowie die Wärmekapazität CV = ∂U
= 16σ
T 3 V und die Entropie S = 16σ
T 3 V . Mit
∂T V
c
3c
der Entropie kann nun die innere Energie in Potentialform angegeben werden
U=
4σ
U=
V
c
3cS
16σV
10
4/3
6 Nernstsche Wärmetheorem / 3. Hauptsatz
Bei Annäherung der Temperatur T an den absoluten Nullpunkt (T → 0) hängt die
Entropie eines beliebigen GGW-Systems nicht von irgendwelchen anderen thermodynamischen Zustandsgrößen Zk ab, sie nimmt einen kostanten Wert an.
∂S
= 0
T →0 ∂Zk
∂S
lim
6= 0
T →0 ∂T
lim
Achtung! i.A.
∀k
Mit dem Nernstschen Wärmetheorem kann man zeigen, dass der absolute Temperaturnullpunkt nicht erreichbar ist. Man nimmt an, dass der Nullpunkt erreichbar ist und
betrachtet einen Carnot-Prozess, der zwischen den beiden Temperaturen T1 > 0 und
T2 = 0 ablaufen soll. Der Kreisprozess muss ∆S12 + ∆S23 + ∆S34 + ∆S41 = 0 unter den
Nebenbedingungen ∆S23 = ∆S41 = 0 für die adiabatischen Prozesse sowie ∆S34 = 0
(nach dem 3. Hauptsatz) erfüllen. Somit kann im ersten Prozessschritt ∆S12 = Q/T1 keine Wärmezufuhr (Q > 0) möglich gewesen sein, es muss Q = 0 gelten. Die Nullisotherme
kann also nicht erreicht werden.
6.1 Thermodynamische Koeffizienten für T → 0
für alle Zustandsgrößen Zi gilt
∂Zi
=0
lim
T →0
∂T
Dies folgt aus der Betrachtung der freien Energie
P F für alle intensiven Zustandsgrößen
yi . Aus dem totalen Differential dF = −SdT − yi dXi folgt über die Vertauschbarkeit
∂S
i
= ∂y
und damit im Grenzfall T → 0 obige Gleichung. Für
der zweiten Ableitungen ∂X
∂T
i
die extensiven Zustandsgrößen Xi muss die freie Enthalpie G betrachtet werden.
6.1.1 Wärmekapazitäten für T → 0 und Entropieberechnung
Aus der
Entropie S(T, Zk ) folgt für die Wärmekapazitäten CdT = T dS oder C{Zk } =
∂S
T ∂T . Womit
lim C{Zk } = 0
T →0
mindestens ∝ T gegen Null streben muss. Aus den Wärmekapazitäten C{Zk } (T, Zk ) kann
man durch Integration die Entropie in Potentialform erhalten.
7 Systeme mit veränderlicher Teilchenzahl
Lässt man die Teilchenzahl als weitere Variable zu, so müssen zur Beschreibung Chemische Potentiale µ (intensive Größen) eingeführt werden.
X
X
µα
∂S
∂U
oder −
=
dU = T dS −
yi dXi +
µα dNα
mit µα =
∂Nα
T
∂Nα
11
Großkanonisches Potential gibt die Arbeitsterme
X
X
X
X
F =F−
µα Nα =
yi Xi
mit dF = −SdT −
yi dXi −
Nα dµα
α
i
Freie Enthalpie ergibt chemische Reaktionen
X
X
X
G=F+
y i Xi = U − T S +
y i Xi =
µα Nα
i
α
i
Durch die Homogenität vom Grade 1 λf (xi ) = f (λxi ) der thermodynamischen Potentiale
ist es möglich auf spezifische Größen x̄ = x/N zu wechseln
U = U (S, V, N ) = U (N
S
V
S V
, N , N ) = N U ( , , 1) = N ū(s̄, v̄)
N
N
N N
7.1 pVT-Systeme
dU = T dS − pdV +
X
µα dNα
7.2 Homogene Mischungen
7.2.1 echten Mischung
Thermodynamische Potentiale sind nur im Fall fehlender Wechselwirkung additiv. Ein
beliebtes Beispiel ist das ideale Gas, das im folgenden genutzt wird. Die Mischung aus
zwei idealen Gasen ergibt eine Mischungstemperatur TM
Vor Mischung: pV1 = N1 kT1
pV2 = N2 kT2
mit p1 = p2 = p
Nach Mischung: pV = N kTM
mit V = V1 + V2 , N = N1 + N2
N1 T1 + N2 T2
⇒ TM =
N
Man spricht von einer echten Mischung, wenn jede Gaskomponente das Gesamtvolumen
einnimmt.
X
pi = p
i
Bei der Mischung von Stoffen muss die Mischungsentropie betrachtet werden. Bei der Expansion auf das Gesamtvolumen, wächst im Falle unterschiedlicher Teilchen die Entropie
um
∆S = S1 (T, V, N1 ) + S2 (T, V, N2 ) − S1 (T, V1 , N1 ) − S2 (T, V2 , N2 )
V
V
+ N2 k ln
= N1 k ln
V1
V2
12
Bei gleicher Teichensorte ändert sich die Entropie nicht.
∆S = S(T, V, N ) − S1 (T, V1 , N1 ) − S2 (T, V2 , N2 )
= N s̄(T, V /N ) − N1 s̄(T, V1 /N1 ) − N2 s̄(T, V2 /N2 ) = 0
da aus p = f (T, V /N ) = f (T, V1 /N1 ) = f (T, V2 /N2 ) folgt
V /N = V1 /N1 = V2 /N2
7.3 Reale Mischungen
XXX
8 Gleichgewicht und Stabilität
Für ein abgeschlossenes System kann die Entropie nicht abnehmen, in einem Gleichgewichtszustand stellt sich somit ein Zustand größt möglicher Entropie ein. Das System
befindet sich in einem Gleichgewichtszustand, P
wenn bei einer mit δU = δV = δM = 0
∂S
verträglichen infinitesimalen Verrückung δS = i ∂Y
δYi = 0 gilt. Die Gleichgewichtsbei
dingung
(δS)U,V,M = 0
garantiert zunächst nur die Existenz eines Extremalwertes, erst die Stabilitätsbedingung
(δ 2 S)U,V,M < 0
garantiert, dass es sich bei dem entsprechenden Zustand um einen stabilen Gleichgewichtszustand handelt.
8.1 pVT-System
Folgende in einem pVT-System T dS > δQ = dU + pdV ablaufende Prozesse sind denkbar:
• im abgeschlossenen System: dU = 0, dV = 0
⇒
dS > 0
• dS = 0, dV = 0
⇒
dU 6 0, innere Energie
• dT = 0, dV = 0
⇒
dF 6 0, freie Energie F = U − T S
• dS = 0, dp = 0
⇒
dH 6 0, Enthalpie H = U + pV
• dT = 0, dp = 0
⇒
dG 6 0, freie Enthalpie G = U − T S + pV
Stabilität jeweils = 0 und
(δ 2 U )S,V,M
(δ 2 F )T,V,M
(δ 2 H)S,p,M
(δ 2 G)T,p,M
13
>
>
>
>
0
0
0
0
8.1.1 Phasengleichgewichte
8.1.2 Stabilitätsbedingungen
8.2 Gibbssche Phasenregel
Gleichgewicht eines Systems aus P Phasen und K Komponenten (Stoffsorten)
P 6K +2
In einem System mit K Komponenten können sich also nicht mehr als K + 2 Phasen im
Gleichgewicht befinden.
f =K +2−P
für p < 2 + K
f ist die Zahl der thermodynamischen (d.h. makroskopischen) Freiheitsgrade.
8.3 Osmotischer Druck
System mit semipermeabler Wand für Lösungsmittel N1 durchlässig, nicht für gelösten
Stoff N2 . Im GGW stellt sich ein höherer Druck (osmotischer Druck) in der Lösung
N11 , N21 , p1 ein als im reinen Lösungsmittel N12 , N22 = 0, p2 . Mit dV = 0 und dT = 0 muss
die freie Energie ein Minimum annehmen.
δF =
∂F
∂F
∂F
∂F
δN11 +
δN12 +
δN21 +
δN 2 = 0
1
2
1
∂N1
∂N1
∂N2
∂N22 2
Mit N11 + N12 = N1 = const, N21 = const und N22 = 0 folgt
∂F
∂F
∂F
∂F
δF =
−
=
= µ21
δN11 = 0 ⇒ µ11 =
1
2
1
∂N1
∂N1
∂N1
∂N12
für hinreichend verdünnte Lösungen ergibt sich mit einigen Näherungen
kT N21 = pos V 1
8.4 Siedepunkterhöhung, Gefrierpunkterniedrigung
analog berechnet sich für gelösten Stoof N21 und Lösungsmittel N11 (Wasser) ein Temperaturunterschied
kT 2 N21
kT N21
=
∆T = 2
s̄1 − s̄11 N11
q̄12 N11
Für flüssig zu dampfförmig ist q12 > 0 und damit ∆T > 0 (Siedepunkterhöhung)
Analoge Rechnung ergibt Dampfdruckerniedrigung
kT N21
kT N21
∆p = 1
≈− 2 1
v̄1 − v̄12 N11
v̄1 N1
14
8.5 Chemisches Gleichgewicht
Chemische Reaktion führt zu GGW-Zustand bei dem sich die Menge der beteiligten Stoffe nicht mehr ändert (Chemisches Gleichgewicht), stöchiometrische Gleichungen (stöchiometrische Koeffizienten να - für Anfangsstoffe, + für Endstoffe)
X
να Aα = −2H2 − O2 + 2Hs O = 0
α
Für dT = 0 und dp = 0 muss die freie Enthalpie G ein Extremum haben, so dass folgt
X
να µ α = 0
α
Massenwirkungsgesetz:
ln K(T, p) =
X
να ln n̄α
oder
α
Y
n̄ναα = K(T, p)
α
P
woraus für die Temperatur- und Druckabhängigkeit mit α να h̄α = ∆h̄ = ∆q̄ folgt
1 X
∂
ln K(T, p)
= −
να v̄α
∂p
kT α
T
1 X
∂
ln K(T, p)
=
να h̄α
∂T
kT 2 α
p
9 Phasenübergänge
9.1 Phasenübergänge 1.Art
Chemische Potential / spezifische freie Enthalpie ist stetig, spezifische Entropie zeigt
Sprung beim Phasenübergang
µ1 = ḡ1 (T, p) = ḡ2 (T, p) = µ2
und
s̄1 = −(∂ḡ1 /∂T )p 6= s̄2
Clausius-Clapeyron-Gleichung:
⇒
ḡ1 (T, p)
dḡ1 = −s̄1 dT + v̄1 dp
dp
⇒
dT
dp
T →T0
⇒
dT
= ḡ2 (T, p)
= −s̄2 dT + v̄2 dp = dḡ2
s̄2 − s̄1
=
v̄2 − v̄1
q̄12
=
T (v̄2 − v̄1 )
Für Van-der Waals Gas zeigt sich ein unphysikalisches Verhalten für T < TC (∂p/∂V >
0), nur durch Phasenübergang flüssig/gasförmig lösbar, Maxwellkonstruktion betrachtet
15
innere Energie bei isothermer Kompression, da dU vollständiges Differenzial Wegunabhängigkeit gefordert:
Z V2
pdV = −p(V2 − V1 )
Weg1: ∆U1 = −
V1
V2 − N b
1
1
2
Weg1: ∆U2 = −N kT ln
−N a
−
V1 − N b
V2 V1
gefordert: ∆U1 = ∆U2
9.2 Phasenübergänge n-ter Ordnung
∂ k ḡ1
∂T k
∂ n ḡ1
∂T n
=
p
6=
p
∂ k ḡ2
∂T k
∂ n ḡ2
∂T n
und
p
und
p
∂ k ḡ1
∂pk
∂ n ḡ1
∂pn
=
T
6=
T
∂ k ḡ2
∂pk
∂ n ḡ2
∂pn
∀k 6 n − 1
T
T
9.3 Phasenübergänge 2. Ordnung
∂ḡi
mit s̄s = −
∂T p
∂ḡi
mit v̄i =
∂p T
s̄1 = s̄2
v̄1 = v̄2
mit (∂s̄/∂T ) = c̄p /T und der Maxwell-Beziehung (∂s̄/∂p) = −(∂v̄/∂T ) = −v̄α sowie
∆c̄p = (c̄p )2 − (c̄p )1 und ∆α = α2 − α1 gilt
ds̄1 =
(c̄p )1
(c̄p )2
dT − v̄α1 dp =
dT − v̄α2 dp = ds̄2
T
T
womit die 1. Ehrenfestsche Gleichung
∆c̄p
dp
=
dT
T v̄∆α
und analog die 2. Ehrenfestsche Gleichung folgen
dp
∆α
=
dT
∆κT
16
Teil II
Statistische Physik
10 Klassische kinetische Gastheorie
Die richtige Thermodynamik kommt heraus, wenn man eine geeignete Verteilungsfunktion an die Spitze der Überlegungen stellt und nicht die konkreten Bewegungsabläufe
der Teilchen über die Newtonschen Bewegungsgleichungen erfasst.
10.1 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
mv 2
N m 3/2
exp −
σ(r, v) =
V 2πkT
2kT
10.2 Boltzmanngleichung
XXX
11 Mikrozustand, Makrozustand, Entropie
11.1 Mikrozustand
Der Mikrozustand eines Systems aus N Teilchen wird durch Angabe der (3N) Koordinaten und (3N) Impulse aller Teilchen festgelegt. Die Gesamtheit aller qα und pα spannen
einen Phasenraum Γ auf., wobei jeder Punkt einem Mikrozustand des Systems entspricht.
11.2 Makrozustand
Im Gegensatz zu den Mikrozuständen wird ein Makrozustand eines Systems durch einen
vollständigen Satz weniger makroskopischer Zustandsgrößen beschrieben. Alle Mikrozustände mit den gleichen makroskopischen Zustandsgrößen sind gleichberechtigt und
besitzen somit das gleiche statistische Gewicht im Makrozustand. Ein Gleichgewichtszustand hat eine überwältigen größere Anzahl von Mikrozuständen, als Nichtgleichgewichtszustände. Die Zahl der möglichen Mikrozustände wird mit Ω bezeichnet. Für ein
ideales Gas im Volumen V ergibt sich Ω ∝ V N .
11.3 Entropie
Die Anzahl möglicher Mikrozustände Ω zeigt eine funktionale Abhängigkeit von der
Entropie S eines Systems. Es zeigt sich, dass die Boltzmann-Konstante k die Verbindung
17
zwischen der phänomenologischen Thermodynamik und statistischer Thermodynamik
darstellt.
S = k ln Ω
Ω muss dabei aus dem Phasenraum bestimmt werden, indem man eine Energieschale im
6N-dimensionalen Phasenraum betrachtet. Man erhält somit
1
∂Γ
· ∆E
Ω = 3N ·
h
∂E V,N
Es muss dabei zwischen unterscheidbaren und ununterscheidbaren Teilchen in einem System unterschieden werden. DΓα des α-ten Teilchens enthält zwei Fälle für das Raumvolumenelement dΓα = d3 qα d3 pα
(
dΓα
unterscheidbare Teilchen
3
DΓα = h dΓα
ununterscheidbare Teilchen
h3 N !1/N
11.4 klassisches ideales Gas
XXX
"
S = Nk
"
V
5
+ ln
2
N h3
4πmE
3N
3/2 ##
11.5 harmonische Oszillatoren
System von N unterscheidbaren
harmonischen
Oszillatoren gleicher Frequenz ω mit
P
1 2
Hamilton-Funktion H = α 2m
pα + m2 ω 2 qα2 XXX
E
S = N k 1 + ln
N ~ω
12 Mikrokanonische Verteilung
Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilungsfunktion ρ = 1/Ω (Wahrscheinlichkeit
für einzelnen Zustand) erhält man die Entropie als Mittelwert
Z
S = −kln ρ = −k DΓ ρ ln ρ
Mit der δ-Funktion kann die Wahrscheinlichkeitsdichte für fest vorgegebene Energie E
auch umgeformt werden
ρ(qα , pα ) = R
δ [H(qα , pα ) − E]
δ (H − E)
=
∂Γ
DΓ δ [H(qα , pα ) − E]
∂E
Dieses Verfahren ist in der Praxis nur für sehr einfache Systeme (Kugel und Quader
im Phasenraum) praktisch umsetzbar, da die Nebenbedingungen beim Abzählen der
18
Zustände riguos beachtet werden müssen. Ferner gilt die mikrokanonische Verteilung
nur bei streng abgeschlossenen Systemen, die praktisch nicht realisiert werden können.
Abhilfe schaffen in beiden Fällen die kanonische (vgl. 13) und großkanonische Verteilung
(vgl. 14).
12.1 Liouville-Theorem
Das Konzept der Verteilungsfunktion lässt sich auch auf nicht abgeschlossene Systeme
verallgemeinern. Im thermodynamischen Gleichgewicht verschwindet die Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ̇ = 0. Die Liouville-Gleichung ergibt sich zu
∂ρ
+ {ρ, H} = 0
∂t
Für stationäre Gesamtheiten (ρ̇ = 0) muss demnach {ρ, H} = 0 gelten.
12.2 Entropiemaximierung
XXX
13 Kanonische Verteilung
13.1 Zustandssumme und -integral, freie Energie
Die Verteilung, die sich im thermischen Gleichgewicht zwischen System und Umgebung
einstellt, heißt kanonische Verteilung ρ, die entsprechende Gesamtheit kanonische Gesamtheit (kanonisches Ensemble). Dabei wird das Zustandsintegral Z eingeführt
Z
H(qα , pα )
H(qα , pα )
1
mit Z = DΓ exp −
ρ(qα , pα ) = · exp −
Z
kT
kT
oder in diskreter Form die Wahrscheinlichkeit einzelner Zustände mit der Zustandssumme Z
X
1
Ei
Ei
pi = exp −
mit Z =
exp −
Z
kT
kT
i
Es zeit sich ein einfacher Zusammenhang zur freien Energie F als thermodynamisches
Potential des Systems (im pVT-System Z(T, V, V ) und damit F (T, V, N ))
F = −kT ln Z
Die Entropie erhält man durch Ableitung der freien Energie nach T
S=−
19
∂F
∂T
Identische Teilchen: Auch bei dieser Beschreibung ist wieder auf die Unterscheidbarkeit der Teilchen geachtet werden. Handelt es sich um identische Teilchen, so führt
eine Vertauschung beliebig vieler (Permutation P ) auf den gleichen Zustand. Die
Zustandsdichte ρ, die die Teilchen unterscheidet, ist damit das die N !-fache der
Wahrscheinlichkeitsdichte identischer Teilchen (ρ = N ! · ρP )
13.2 Zusammenhang mit der mikrokanonischen Verteilung
Die Zustandsdichte und das Zustandsintegral sind über eine Laplace-Transformation
verknüpft. Es gilt mit Ω(E, ∆E) = ω(E)∆E
Z
Z(β) = dEω(E)e.βE
Die Entropie der kanonischen Gesamtheit stimmt mit der in der mikrokanonischen Gesamtheit überein, wenn die Energie als mittlere Energie angesehen wird.
13.3 Energie- und Entropieverteilung
13.4 Virialsatz
13.5 Nichtwechselwirkende Teilchen
Für nichtwechselwirkende Teilchen kann die gesamte Hamilton-Funktion H als Summe
der 1-Teilchen-Hamilton-Funktionen H (1α) geschrieben werden, die Energien und Rumintegrationen faktorisieren und somit auch das Zustandsintegral
Z
N
Y
−βH
Z = DΓe
=
Z (1α)
α
13.5.1 Ideales Gas
Das ideale Gas ist ein beliebtes Beispiel für nichtwechselwirkende Teilchen. Das 1Teilchen-Zustandsintegral ergibt sich zu
Z
Z
e
p2
3
(1α)
(1)
· d r · d3 p e− /2mkT
Z
=Z =
3
Nh
Mit der Variablensubstitution p2/2mkT = x2 erhält man
"
3/2 #N
(1) N
V 2πmkT
Z= Z
= e·
N
h2
und die freie Energie
(
F = −kT ln Z = −N kT
1 + ln
20
V
N
2πmkT
h2
3/2 !)
Insgesamt ergibt sich das gleiche Ergebnis, wie das über die mikrokanonische Gesamtheit
berechnete (vgl. 11.4).
"
"
3/2 ##
∂F
5
V
4πmE
S=−
= Nk
+ ln
∂T V,N
2
N h3
3N
13.5.2 Paramagnetismus
14 Großkanonische Verteilung
Die großkanonische Verteilung bildet eine weitere Verallgemeinerung, die neben Energieaustausch auch einen Stoffaustausch umfasst. Die Umgebung des Systems definiert nun
die Temperatur T und das chemische Potential µ. Die Energie sowie die Teilchenzahl im
System sind nun keine fest vorgebbaren Größen, sondern variieren mit T und µ.
14.1 Zustandssumme, großkanonisches Potential
Man erhält die großkanonische Verteilungsfunktion
XZ
HN (qα , pα ) − µN
1
HN (qα , pα ) − µN
mit Z =
ρN = exp −
DΓ exp −
Z
kT
kT
N
aus der sich nach bekannter Formel die Entropie S = −k ln ρN berechnen lässt. man
erhält aus der großkanonischen Zustandssumme ein Potential F, das als großkanonisches
Potential bekannt ist.
F = −kT ln Z
Aus dem großkanonischen Potential lässt sich die Entropie und die mittlere Teilchenzahl
leicht berechnen.
∂F
∂F
und
N =−
S=−
∂T µ
∂µ T
Der Zusammenhang zur mikrokanonischen Verteilung kann über Mittelung von Energie
und Teilchenzahl hergestellt werden, die gemittelten Größen entsprechen wiederum den
mikrokanonischen.
14.2 Ideales Gas
Für nichtwechselwirkende Teilchen kann die Zustandssumme als Produkt geschrieben
werden (vgl. 13.5). Somit erhält man das großkanonische Potential
3/2
2πmkT
µ
µ/kT
(1)
e /kT
F = −kT e
z = −kT V
h2
und hieraus folgt die mittlere Teilchenzahl
N =−
∂F
µ
= e /kT Z (1)
∂µ
21
über die sich die freie Energie des Systems berechnen lässt
(
3/2 !)
V 2πmkT
F = F + µN = −N kT 1 + ln
h2
N
15 Grundlagen der Quantenstatistik
15.1 Der statistische Operator
RIm klassischen Fall wird ein Mittelwert einer physikalischen Größe f definiert als f =
DΓρf , die Hamilton-Funktion H des Systems muss der Liouville-Gleichung ρ̇−{H, ρ} =
0 genügen- Im Gleichgewichtszustand gilt ρ̇ = 0, womit {H, ρ} = 0 gelten muss.
Im quantenmechanischen Fall muss zum statistischen Operator
X
ρ̂ =
pΨ |Ψi hΨ|
Ψ
übergegangen werden, dess zeitliche
h
iEntwicklung im Schrödinger-Bild durch die von−1
Neumann-Gleichung ρ̂˙ − (i~)
Ĥ, ρ̂ = 0 bestimmt wird. Die Liouville-Gleichung geht
h
i
durch den bekannten Übergang {A, B} → (i~)−1 Â, B̂ in die von-Neumann-Gleichung
über, so dass der statistische Operator als derjenige Operator angesehen werden, der der
klassischen Phasenraumdichte entspricht. Die Diagonalelemente von ρ̂in der Basis eines
vollständigen satzes von Observablen stellen gerade die Wahrscheinlichkeiten
fürdiese
D E
ˆ
ˆ
Observablen dar, die Mittelwerte erhält man durch Spurbildung f = f = Tr ρ̂f .
In Analogie zum klassischen Fall wird die Entropie definiert
S = −k hln ρ̂i = −k Tr (ρ̂ ln ρ̂)
15.2 Verteilungen in der Quantenstatistik
abgeschlossene Systeme: Der statistische Operator der mikrokanonischen Gesamtheit
nimmt formal eine Form an, wie man sie aus dem klassischen Fall kennt (vgl. 12).
ρ̂ =
δ̂(Ĥ − E)δ̂(Â1 − A1 ) . . .
h
i
Tr δ̂(Ĥ − E)δ̂(Â1 − A1 ) . . .
nichtabgeschlossene Systeme: In voller Analogie erhält man die bekannten Gleichungen, wobei ρ und H nun Operatoren sind
Kanonische Gesamtheit falls das System Energie mit der Umgebung austauschen kann (vgl. 13)
"
#
"
#
1
Ĥ
Ĥ
mit Z = Tr exp −
ρ̂ = · exp −
Z
kT
kT
22
Großkanonische Gesamtheit falls neben der Energie auch ein Stoffaustausch mit
der Umgebung möglich ist (vgl. 14)
"
#
"
#
1
Ĥ − µN̂
Ĥ − µN̂
ρ̂ = exp −
mit Z = Tr exp −
Z
kT
kT
15.3 N harmonische Oszillatoren
Mit dem 1-Teilchen-Hamilton-Operator Ĥ (1) = ~ω n̂ + 21 kann die Zustandssumme
und daraus die freie Energie berechnet werden
"
!#
!
~ω
X
exp − 2kT
Ĥ (1)
Ĥ (1)
Tr exp −
=
hn| exp −
|ni =
~ω
kT
kT
1
−
exp
−
kT
n
(
)
~ω
exp − 2kT
F = −kT ln Z = −N kT ln
~ω
1 − exp − kT
Nun lässt sich die Entropie leicht durch Ableitung bestimmen und die innere Energie als
kalorische Zustandsgleichung aufschreiben
1
1
U = N ~ω n +
mit n = ~ω/kT
2
e
−1
im Grenzfall hoher Temperaturen erkennt man hier das klassische Ergebnis U ≈ N kT ,
gleiches gilt für die Wärmekapazität C = ∂U/∂T
15.4 Paramagnetismus
16 Ideale Quantengase
16.1 Identische Teilchen
Die Zustandssumme eines Systems identischer Teilchen kann am einfachsten berechnet
werden, wenn die zu berückssichtigenden Zustände nicht durch die Nebenbedingung
einer fest vorgeschriebenen Teilchenzahl eingeschränkt werden. Daher ist der Ansatz
der großkanonischen
Verteilung vorteilhaft. Der Operator der Gesamtteilchenzahl ist
P
N̂ = n̂i .
Im Falle identischer Teilchen muss zwischen symmetrischen (Bosonen) und antisymmetrischen Zuständen (Fermionen) unterschieden werden, erst bei hohen Energien können diese Unterschiede vernachlässigt werden und man kann zur Maxwell-BoltzmannStatistik übergehen.
Bosonen: Bosonen sind mit symmetrischen Zuständen verbunden. Der 1-Teilchen-Zustand
kann beliebig oft besetzt werden. Zur Beschreibung greift man auf die BoseEinstein-Statistik zurück. Die Zustandssumme kann über eine geometrische Reihe
23
vereinfacht werden.
n
∞ X
µ − εj
1
Zi =
exp
=
kT
1 − exp
n=0
µ−εj kT
Über das großkanonische Potential Fi eines Zustandes kann die mittlere Teilchenzahl für diesen Zustand ni = −∂F/∂µ berechnet werden und man erhält
ni =
1
εj −µ kT
exp
−1
Fermionen: Die Antisymmetrie der Zustände erzwingt, dass maximal ein Teilchen einen
1-Teilchen-Zustand besetzen kann. Es wird die Fermi-Dirac-Statistik benötigt. Mit
der Zustandssumme (obere Grenze unterschiedlich)
n
1 X
µ − εj
Zi =
exp
kT
n=0
erhält man in voller Analogie die mittlere Besetzungszahl eines Zustandes
ni =
1
εj −µ kT
exp
+1
16.1.1 Ideales Maxwell-Boltzmann-Gas
µ−ε Im Grenzfall der Maxwell-Boltzmann-Statistik exp kT j 1 kann die Logarithmus
µ−ε µ−ε näherungsweise ln 1 ∓ exp kT j ≈ ∓ exp kT j ersetzt werden und damit ergibt sich
das großkanonische Potential. Aus diesem kann durch Ableitung die mittlere Teilchenzahl
N = N = −∂F/∂µ bestimmt und eingesetzt werden.
X
µ − εj
F = −kT
exp
= −N kT
kT
i
Mit der allgemeingültigen Beziehung F = −pV erhält man die thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases pV = N kT .
16.1.2 Ideales Bose- und Fermi-Gas
In (16.1) zeigte sich, dass sich das Bose- und Fermi-Gas nur durch ein wechselndes
Vorzeichen unterscheiden. Beide Fälle werden mit
ni =
1
exp
εj −µ kT
24
∓1
abgedeckt und führen zum gemeinsamen großkanonischen Potential
Z ∞
X µ−ε
µ − εj
dεν(ε) ln 1 ∓ exp
F = ±kT
ln 1 ∓ exp
= ±kT
kT
kT
0
i
Z
2 gV m3/2 ∞
ε3/2
= − √
3 2π 2 ~3 0 exp ε−µ
∓1
kT
Eine analoge Rechnung führt auf die Innere Energie, ein Vergleich zeigt F = − 32 U und
damit
2
pV = U
3
Diese Gleichung gilt für alle wechselwirkungsfreien Teilchen im nichtrelativistischen Fall
(auch für den Maxwell-Boltzman-Grenzfall).
Die thermische Zustandsgleichung lässt sich nur noch als Näherung angeben
3/2 !
1 N 2π~2
pV = N kT 1 ∓ 5/2
2 gV mkT
und zeigt für Bosonen und Fermionen qualitative Unterschiede.
Bosonen: Der Druck des Quantengases ist im Vergleich zum klassischen Gas geringer,
die quantenmechanischen Austauscheffekte führen also zu einer „Anziehung“ der
Teilchen untereinander.
Fermionen: Der Druck steigt im Vergleich zum klassischen Gas, die quantenmechanischen Austauscheffekte führen zu einer effektiven „Abstoßung“.
16.1.3 Entartetes Fermi-Gas
Eine nähere Betrachtung soll für hinreichend tiefe Temperaturen (unter praktischen
Gesichtspunkten auch relativ hoch) durchgeführt werden. Für T → 0 werden die tiefen
Zustände mit Sicherheit besetzt, die Pauli-Regel erlaubt in jedem Zustand allerdings nur
ein Teilchen, so dass man die Teilchenzahl pro Zustand erhält
(
0 εi > µ
1
T →0
ni =
−→
εj −µ 1 εi < µ
exp kT + 1
und definiert
√ die Grenzstelle als Fermi-Energie εF = µ beziehungsweise Fermi-Impuls
als pF = 2mεF . Vergleicht man die Gesamtteilchenzahl
Z
X
gV
gV p3F
3
N=
ni =
d
p
=
(2π~)3 p6pF
6π 2 ~3
i
mit der inneren Energie, so erhält man
U=
X
i
gV p5F
3
εi n i =
= N εF
2
3
20mπ ~
5
25
16.1.4 Entartetes Bose-Gas
Das Bose-Gas zeigt bei tiefen Temperaturen ein gänzlich anderes verhalten. Für T → 0
gehen alle Teilchen in den energetisch niedrigsten Zustand εi → 0 über, dieser Zustand
wird als Bose-Einstein-Kondensation bezeichnet.
26