1.6.1. Beispiel (zum unendlichfachen, unabhängigen Münzwurf mit

Werbung
1.6.1. Beispiel (zum ∞-fachen, unabhängigen Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1)) 1. Die Wahrscheinlichkeit p1 , daß beim ∞-fachen,
unabhängigen Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1) 2 nur endlich oft
Kopf“ geworfen wird, ist zu bestimmen.
”
(a) Experimentelle“ Lösung. Beim wiederholten realen Werfen der Münze oder
”
bei einer Computersimulation 3 deutet sich an 4, daß 5 p1 = 0 ist.
(b) Mathematische Lösung. Zunächst ist
#
"∞
[
N
6 7
p1 =
P
ω ∈ {0, 1} : ωk = ωk+1 = · · · = 1
(6)
k=1
∞
X
P ω ∈ Ω : ωk = ωk+1 = · · · = 1 ,
{z
}
|
k=1
= Bk
wobei mit der σ-Subadditivität von P die abzählbare“ Variante der Subadditivität
”
von P 8 benutzt wird.
Weiterhin folgt
P[Bk ] ≤ 9 P ω ∈ Ω : ωk = · · · = ωk+N = 1 = 10 pN +1 , k, N ∈ N,
≤
d.h., 11 P[Bk ] = 0, k ∈ N.
Aus (6) ergibt sich somit
12
p1 = 0.
1In Abschnitt 1.4.2 wird diskutiert, wie der ∞-fache, unabhängige Münzwurf mit Erfolgswahr-
scheinlichkeit p ∈ [0, 1] im Rahmen der Stochastik durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P) mathematisch beschrieben werden kann.
2Da p < 1, ist insbesondere die Wahrscheinlichkeit 1 − p, daß bei einem einzelnen Wurf Kopf“
”
geworfen wird, von 0 verschieden.
3
Es ist eine beliebig lange Folge von unabhängigen, {0, 1}-wertigen Zufallszahlen“, die mit
”
Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p den Wert 0 annehmen, zu
simulieren. Hinweise zur Durchführung einer solchen Simulation finden sich in Abschnitt 2.1.1(c).
4
Ein mathematisch korrekter Beweis kann mit derartigen Mitteln natürlich nicht geführt
werden.
5
Wenn die Münze lange genug geworfen wird, erscheint immer irgendwann mal“ Kopf“.
”
”
6Es wird nur endlich oft Kopf“ geworfen“ genau dann, wenn ein
k ∈ N existiert, so daß nach
”
”
dem Zeitpunkt k nur noch Zahl“ geworfen wird.
”
7
Wie in Abschnitt 1.4.2 wird Ω = {0, 1}N gewählt.
8Vgl. Abschnitt 1.6(iv).
9Wegen der Monotonie von P, vgl. Abschnitt 1.6(v).
10
Vgl. (5).
11
Beachte, daß p < 1.
12Damit ist die experimentelle“ Lösung bestätigt.
”
1
Herunterladen
Explore flashcards