Kapitel II Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel II
Konvergenz von
Folgen und Reihen
§7
Einführende Beispiele und Rechenregeln
für konvergente Folgen
§8
Konvergenzkriterien und Häufungswerte
von Folgen in R
§9
Konvergenz und absolute Konvergenz
von Reihen
§ 10 Kriterien für absolute Konvergenz von
Reihen
§ 11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen;
Mächtigkeitsvergleich von Mengen
§ 12 Reihen mit beliebigen abzählbaren Indexmengen
b als totalgeordnete Menge und als
§ 13 R
topologischer Raum
C1
§7
7.4
7.5
7.9
7.11
7.13
7.14
7.18
7.20
Einführende Beispiele und Rechenregeln
für konvergente Folgen
Folgen in R
Konvergenz von Folgen in R gegen ein a ∈ R
Metrische bzw. topologische Charakterisierung der Konvergenz von
Folgen
Eindeutigkeit des Grenzwertes
Vergleichssatz
Sandwich-Satz
Rechenregeln für konvergente Folgen
Umordnung von Folgen, Teilfolgen
Der Begriff der Konvergenz ist der zentrale Begriff der Analysis. In diesem Kapitel wird die Konvergenz von Folgen und Reihen untersucht. Das nächste Kapitel widmet sich dann der Konvergenz reellwertiger Funktionen. Aufbauend auf
der Konvergenz von Funktionen wird in Kapitel IV die Differenzierbarkeit von
Funktionen eingeführt und behandelt. Zunächst bringen wir drei einführende
Beispiele, die sich zum Teil an die Anschauung wenden, und bei denen einige
der vorkommenden Begriffe noch nicht exakt definiert sind.
7.1
Beispiel
√
2 ∈ R \ Q. Wie läßt sich diese Zahl nun
Nach den Sätzen 3.37 und 4.7
ist
√
konkret angeben“? Wegen 2 6∈ Q, ist eine Darstellung nicht in der√Form
”
m/n mit m ∈ Z und n ∈ N möglich. Üblicherweise verwendet man für 2 die
Darstellung:
√
(1)
2 = 1, 41421 . . .
und meint damit, daß die Folge rationaler Zahlen
4
,
a1 := 1, 4
= 1 + 10
a2 := 1, 41
= 1+
a3 := 1, 414
= 1+
a4 := 1, 4142
= 1+
a5 := 1, 41421 = 1 +
[7]–1
4
10
4
10
4
10
4
10
+
+
+
+
1
,
102
1
+
102
1
+
102
1
+
102
4
,
103
4
+
103
4
+
103
2
,
104
2
+ 1015 ,
104
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
√
√
sich immer mehr der Zahl 2 annähert, d.h. gegen 2 konvergiert. Genauer
meint man mit (1), daß gilt:
√
(2)
| 2 − an | ≤ 10−n für n ∈ N.
Somit kann man also für jedes ε ∈ R+ ein n0 ∈ N finden (welches von ε
abhängt) mit
√
(3)
| 2 − an | < ε für alle n ≥ n0 ,
denn nach 4.3(i) gibt es zunächst ein n0 ∈ N mit 1/n < ε für alle n ≥ n0 . Wegen
10−n ≤ n1 folgt aus (2) dann (3). Für (3) sagt man: Die Folge a1 , a2 , a3 , . . .
√
”
konvergiert gegen 2.“
7.2
Beispiel
Zur Berechnung des (erst in Analysis III definierten) Flächeninhaltes F des
Einheitskreises verwendet man in den Einheitskreis einbeschriebene regelmäßige
Vielecke.
a1
a2
Flächeninhalt des
regelmäßigen Vierecks
Flächeninhalt des
regelmäßigen Achtecks
Bezeichnet an für n ∈ N den Flächeninhalt des einbeschriebenen regelmäßigen
(2n−1 · 4)-Ecks, so ist
F = limn→∞ an = π ∈ R \ Q.
Es ist π nicht nur irrational, sondern, wie Lindemann 1882 bewiesen hat, sogar
transzendent.
Hierbei ist mit limn→∞ an = π wiederum gemeint:
Gibt man irgendeine Fehlerschranke ε ∈ R+ vor, so bleibt ab einer Stelle der
Fehler bei der Approximation des Flächeninhaltes π des Einheitskreises durch
an kleiner als ε, d.h. also wieder:
Für jedes ε ∈ R+ gibt es ein n0 ∈ N mit
|an − π| < ε für alle n ≥ n0 .
C1
[7]–2
Kapitel II
7.3
Konvergenz von Folgen und Reihen
Beispiel
Für eine Bakterienkultur, die keinen Alterungsprozessen unterliegt und keiner
medikamentösen Behandlung ausgesetzt sein soll, gilt für kleine Zeitspannen“
”
oftmals, daß die Anzahl der neu gebildeten Bakterien proportional zur Zeitspanne und zur Anzahl der schon vorhandenen Bakterien ist. Bezeichnet a die
Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt 0 und α den Proportionalitätsfaktor, so
ist also die Anzahl der neu entstandenen Bakterien nach einer Zeitspanne von
1/n Stunden (n groß“) durch αn a gegeben. Die Gesamtanzahl der Bakterien
”
nach 1/n Stunden ist dann
a1 = a + αn a = (1 + αn )a.
Nach einer weiteren Zeitspanne von 1/n Stunden sind αn a1 neue Bakterien entstanden. Die Gesamtanzahl aller Bakterien nach 2/n Stunden ist
a2 = a1 + αn a1 = (1 + αn )a1 = (1 + αn )2 a.
Nach k Zeitspannen 1/n, also nach k/n Stunden, sind
Bakterien vorhanden.
ak = (1 + αn )k a
Nach einer Stunde sind dann, wenn man n groß wählt, wegen 1 = n/n angenähert
an = (1 + αn )n a
Bakterien vorhanden.
Startet man z.B. mit einer Bakterienpopulation a0 = 1000 und ist α = 1, so ist
die Bakterienanzahl nach einer Stunde (wenn n groß gewählt ist)
an = 1000 · (1 + n1 )n .
Wie groß n, d.h. wie klein die Zeitspanne zu wählen ist, damit die angenommene
Proportionalität gilt, weiß man in der Regel nicht. Die Kenntnis von n ist aber
nun deshalb unwichtig, weil die Folge an sich für wachsendes n immer mehr
einem Wert annähert. Diesen Grenzwert a nimmt man dann zur Berechnung
von an , und hat damit auch erreicht, daß die Antwort auf die Frage nach der
Bakterienanzahl nicht von den willkürlich gewählten kleinen Zeitspannen 1/n
abhängt. Um dies durchführen zu können, muß man a berechnen können. Es
ist a = 1000 · e mit
e := limn→∞ (1 + n1 )n ,
d.h. es gilt auch hier wieder:
Für jedes ε ∈ R+ gibt es ein n0 ∈ N mit |(1 + n1 )n − e| < ε für alle n ≥ n0 .
Zur Berechnung von a muß also e berechnet werden. Wir werden später sehen,
daß
e = 2, 7182818284 . . .
ist. Hermite hat 1873 gezeigt, daß e nicht nur irrational, sondern sogar transzendent ist.
Zur Definition des Begriffs Folge sei erinnert an die Schreibweise:
•
[7]–3
Z≥m := {k ∈ Z : k ≥ m}
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
7.4
Folgen in R
Eine Abbildung von Z≥m in R, definiert durch n → an , heißt eine Folge
(in R).
Für Folgen schreibt man:
(an )n≥m oder (an ) oder auch am , am+1 , am+2 , . . ..
Meistens ist m = 1, also Z≥1 = N, und man schreibt dann: (an )n∈N .
7.1–7.3 sind Beispiele für Folgen mit m = 1.
Da Folgen spezielle reellwertige Funktionen sind, nämlich solche mit Definitionsbereich Z≥m ⊂ R, sind insbesondere erklärt:
(1) Die Begriffe nach unten beschränkte, nach oben beschränkte und beschränkte Folge (siehe 6.10).
(2) Die Begriffe monoton wachsende (fallende) und streng monoton wachsende
(fallende) Folge (siehe 6.11).
(3) Summe, Differenz und Produkt zweier Folgen, sowie der Absolutbetrag
einer Folge (siehe 6.1), da der Definitionsbereich dieser nach 6.1 gebildeten
Funktionen Z≥m1 ∩ Z≥m2 = Z≥max(m1 ,m2 ) ist.
Das Approximationsverhalten, das wir in den drei einführenden Beispielen vorgefunden haben, gibt Anlaß zu folgender Definition:
7.5
Konvergenz von Folgen in R gegen ein a ∈ R
Sei (an )n≥m eine Folge in R und a ∈ R. Man sagt:
(an ) konvergiert (oder strebt) gegen a,
wenn es zu jedem ε ∈ R+ ein n0 ∈ Z≥m gibt, so daß für alle n ∈ Z≥m
mit n ≥ n0 stets gilt:
|an − a| < ε.
Ist dies der Fall, so heißt a der Grenzwert oder Limes der Folge (an ).
Hierfür schreibt man auch:
an → a für n → ∞ oder an → a oder limn→∞ an = a oder lim an = a.
Der Zweck“ einer konvergierenden Folge kann sein:
”
(1) Die Glieder einer Folge an für große n durch den Grenzwert zu ersetzen.
(2) Den Grenzwert durch Folgenglieder einer Folge an mit großen n zu approximieren.
In Beispiel 7.3 lag der Fall (1) vor. Hier interessierte nicht so sehr die Folge,
sondern
√ deren Grenzwert. In den Beispielen 7.1 bzw. 7.2 dagegen wollten wir die
Zahl 2 bzw. den Flächeninhalt π durch die Glieder einer Folge approximieren.
C1
[7]–4
Kapitel II
Konvergenz von Folgen und Reihen
7.6
Beispiel
(i)
Die Folge ( n1 )n∈N , also
(ii)
(an )n∈N mit an := a für alle n ∈ N, also die konstante Folge a, a, a, . . .,
konvergiert gegen a.
1, 21 , 31 , 41 , . . ., konvergiert gegen 0.
Beweis. (i) Die Folge ( n1 )n∈N konvergiert gegen Null, denn zu ε ∈ R+ gibt
es nach 4.3(i) ein n0 ∈ N mit |1/n − 0| = 1/n < ε für alle n ≥ n0 .
(ii) Es ist |an − a| = 0 < ε für jedes ε ∈ R+ und alle n ∈ N.
7.7
Konvergente, divergente Folgen und Nullfolgen
Sei (an ) eine Folge in R.
(an ) heißt konvergent (in R), wenn es ein a ∈ R gibt, so daß (an )
gegen a konvergiert.
(ii) (an ) heißt divergent (in R), wenn (an ) nicht konvergent ist.
(iii) (an ) heißt Nullfolge, wenn (an ) gegen Null konvergiert.
(i)
Offensichtlich gilt für eine Folge (an ):
(an ) konvergiert gegen a ⇐⇒ (an − a) ist eine Nullfolge
⇐⇒ (|an − a|) ist eine Nullfolge.
Zur intuitiven Formulierung der Konvergenz einer Folge führen wir eine neue
Sprechweise ein:
7.8
A(n) gilt für fast alle n
Seien A(n) für n ∈ Z≥m Aussagen. Dann sagt man: A(n) gilt für fast
alle n (oder für genügend große n), wenn eine der beiden äquivalenten
Bedingungen zutrifft:
(i) {n ∈ Z≥m : A(n) gilt nicht} ist endlich.
(ii) Es gibt ein n0 ∈ Z≥m , so daß A(n) für alle n ∈ Z≥m mit n ≥ n0
gilt.
Beweis. (i) ⇒(ii) Sei M := {m} ∪ {n ∈ Z≥m : A(n) gilt nicht} und wähle
n0 := max(M ) + 1; M besitzt als nicht-leere endliche Teilmenge von R ein
Maximum (siehe 3.32). Es ist n0 ∈ Z≥m und für alle n ∈ Z≥m mit n ≥ n0 ist
n 6∈ M. Wegen n > m und n ∈ Z≥m gilt daher A(n) nach Definition von M.
(ii) ⇒(i) Es ist {n ∈ Z≥m : A(n) gilt nicht} als Teilmenge der endlichen
Menge {h ∈ Z : m ≤ h < n0 } selbst eine endliche Menge (siehe 3.27(ii)).
[7]–5
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
Sei (an )n≥m eine Folge in R. Wegen der Äquivalenz von 7.8(i) und (ii) sind dann
die folgenden Aussagen (A)–(D) äquivalent (betrachte hierzu für jedes n ≥ m
als Aussage A(n) die Aussage |an − a| < ε):
(A) Die Menge {n ∈ Z≥m : |an − a| ≥ ε} ist endlich.
(B) Es gibt ein n0 ∈ Z≥m , so daß für alle n ∈ Z≥m mit n ≥ n0 stets gilt:
|an − a| < ε.
Nach 7.8 sagen wir also zu diesen beiden äquivalenten Bedingungen:
(C) Es ist |an − a| < ε für fast alle n.
Da Uε (a) = {t ∈ R : |t − a| < ε} gilt, ist hierzu also auch äquivalent:
5.4
(D) Es ist an ∈ Uε (a) für fast alle n.
An Stelle von an ∈ M sagt man auch: an liegt in M . Hieraus erhalten wir die
folgenden äquivalenten Bedingungen für die Konvergenz von Folgen:
7.9
Metrische bzw. topologische Charakterisierung der Konvergenz von Folgen
Sei (an ) eine Folge und a ∈ R. Dann sind äquivalent:
(i)
(ii)
(iii)
(an ) konvergiert gegen a.
Für jedes ε ∈ R+ liegen fast alle an in Uε (a).
In jeder Umgebung von a liegen fast alle an .
Beweis. (i) ⇐⇒ (ii) Es sind (i) und die Gültigkeit von (A) für jedes ε ∈ R+
äquivalent. (A) ist aber zu (D) äquivalent. Da (ii) und die Gültigkeit von (D)
für jedes ε ∈ R+ äquivalent sind, folgt die Äquivalenz von (i) und (ii).
(ii) ⇒(iii) Jede Umgebung von a (siehe Definition 5.6 und 5.5(i)) enthält ein
Uε (a) für ein geeignetes ε ∈ R+ .
(iii) ⇒(ii) Jedes Uε (a) ist eine Umgebung von a (siehe 5.7(i)).
Veranschaulichungsmöglichkeiten für (an )n∈N konvergiert gegen a“ sind:
”
(1) Betrachte an und a als Punkte der Zahlengeraden:
Fast alle an liegen in Uε (a)
]
a−ε
|
C1
a
{z
Uε (a)
[
a+ε
}
[7]–6
Kapitel II
Konvergenz von Folgen und Reihen
(2) Darstellung der Folge (an )n∈N durch den Graphen der Funktion f ,
definiert durch f (n) := an für n ∈ N:
a+ε
a
a−ε
1
2
3
n0 n0+1 n0+2
Fast alle Punkte (n, an ) liegen in dem ε-Streifen um die auf der
y-Achse durch a gehende Horizontale.
Gleichbedeutend: Fast alle Punkte (n, an ) liegen ab einem n0
in dem ε-Streifen um die auf der y-Achse durch a gehende
Horizontale.
7.10 Seien, für m1 , m2 ∈ Z, A(n) für n ≥ m1 und B(n) für n ≥ m2
Aussagen. Dann ist A(n) ∧ B(n) für n ≥ max(m1 , m2 ) =: m eine Aussage .
Wir erhalten:
Gilt A(n) für fast alle n und B(n) für fast alle n, so gilt auch A(n) ∧ B(n)
für fast alle n.
Beweis. Setze M := {n ∈ Z≥m : A(n) ∧ B(n) gilt nicht}. Dann ist
M ⊂ {n ∈ Z≥m1 : A(n) gilt nicht} ∪ {n ∈ Z≥m2 : B(n) gilt nicht}.
Somit ist M als Teilmenge der Vereinigung zweier endlicher Mengen endlich
(siehe 3.27(iii) und (ii)).
Also gilt A(n) ∧ B(n) für fast alle n (siehe Definition 7.8).
7.11
Eindeutigkeit des Grenzwerts
Konvergiert die Folge (an ) gegen a und gegen b, so ist a = b.
Beweis. Angenommen, es ist a 6= b. Dann gibt es ein O(a) ∈ Ta und O(b) ∈ Tb
mit ∅ = O(a) ∩ O(b) (siehe 5.10) und es liegen fast alle an in O(a) und fast alle
an in O(b) (siehe 7.9). Somit liegen fast alle an in O(a) ∩ O(b) (siehe 7.10). Dies
widerspricht ∅ = O(a) ∩ O(b).
Auf Grund dieses Eindeutigkeitssatzes kann man also (ohne Mehrdeutigkeiten
befürchten zu müssen)
limn→∞ an = a oder lim an = a
(siehe 7.5) schreiben.
[7]–7
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
7.12
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis. Konvergiert (an ) gegen a, so ist |an − a| < 1 und daher |an | ≤
|an − a| + |a| < 1 + |a| für fast alle n. Nach 3.32 existiert dann
r := max({1 + |a|} ∪ {|an | : |an | ≥ 1 + |a|}).
Damit ist |an | ≤ r für alle n.
7.13
Vergleichssatz
Konvergiert (an ) gegen a, (bn ) gegen b, und ist an ≤ bn für fast alle n, so
ist auch a ≤ b.
Beweis. Angenommen, es ist a > b. Setze dann ε := a−b
2 . Für fast alle n gilt
dann
|an − a| < a−b
und |bn − b| < a−b
2
2 .
Also ist für fast alle n
a+b
a−b
bn < b + a−b
2 = 2 = a − 2 < an ,
mit Widerspruch zu an ≤ bn für fast alle n.
Im Beweis von 7.13 haben wir — und dies werden wir in der Regel auch in der
Zukunft tun — die Anwendung von 7.10 nicht gekennzeichnet. Ferner haben wir
benutzt, daß nicht sowohl A(n) für fast alle n gelten kann als auch (nicht A(n))
für fast alle n; sonst müßte, wiederum nach 7.10, auch A(n) und nicht A(n)“
”
für fast alle n gelten.
Warnung: Aus an < bn für alle n darf nicht auf limn→∞ an < limn→∞ bn
geschlossen werden: Wähle z.B. an := 0 und bn := 1/n für n ∈ N.
7.14
Sandwich-Satz
Konvergiert (an ) gegen a, (bn ) gegen a, und ist an ≤ cn ≤ bn für fast alle
n, so konvergiert auch (cn ) gegen a.
Beweis. Sei ε ∈ R+ . Es gilt a − ε < an und bn < a + ε für fast alle n. Da
an ≤ cn ≤ bn für fast alle n gilt, ist a − ε < cn < a − ε für fast alle n, d.h.
cn ∈ Uε (a) für fast alle n. Somit konvergiert (cn ) gegen a (siehe 7.9(ii)).
Eine oftmals beweisverkürzende Regel liefert:
7.15
Abschätzung mittels Nullfolgen
Sei (an ) eine Folge, a ∈ R, sowie (bn ) eine Nullfolge. Gilt |an − a| ≤ |bn |
für fast alle n, dann konvergiert (an ) gegen a.
C1
[7]–8
Kapitel II
Konvergenz von Folgen und Reihen
Beweis. Sei ε ∈ R+ . Dann gilt |bn | < ε für fast alle n. Da |an − a| ≤ |bn |
für fast alle n ist, gilt auch |an − a| < ε für fast alle n, d.h. (an ) konvergiert
gegen a.
7.16
Folgerungen aus der Konvergenz
Sei (an ) gegen a konvergent und seien α, β ∈ R, γ ∈ R+ .
(i)
(ii)
(iii)
Ist α ≤ an ≤ β für fast alle n, so gilt auch α ≤ a ≤ β.
Ist |an | ≤ γ für fast alle n, so gilt auch |a| ≤ γ.
(|an |) konvergiert gegen |a|.
Beweis. (i) Die Folge (cn ), definiert durch cn := α (für alle n) konvergiert
gegen α, also folgt α ≤ a nach 7.13. Die Folge (bn ), definiert durch bn := β (für
alle n) konvergiert gegen β, also gilt a ≤ β.
(ii) Setze α := −γ, β := γ. Dann gilt α ≤ an ≤ β für fast alle n (siehe 2.9(iii)).
Also ist α ≤ a ≤ β nach (i) und somit |a| ≤ γ.
(iii) Es ist ||an | − |a|| ≤ |an − a|. Da die Folge (bn ), definiert durch bn :=
2.8(iii)
|an − a| eine Nullfolge ist, folgt |an | → |a| nach 7.15.
7.17
Nullfolge mal beschränkte Folge ergibt Nullfolge
Sei (an ) eine Nullfolge und (bn ) eine beschränkte Folge. Dann ist (an · bn )
eine Nullfolge.
Beweis. Da (bn ) beschränkt ist, gibt es ein α ∈ R+ mit |bn | ≤ α für alle n.
Sei nun ε ∈ R+ . Da (an ) Nullfolge ist, gilt |an | < ε/α für fast alle n und somit
|an · bn | ≤ |an | · α < αε · α = ε für fast alle n; d.h. (an · bn ) ist eine Nullfolge.
7.18
Rechenregeln für konvergente Folgen
Aus an → a und bn → b folgt:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
[7]–9
an + bn → a + b;
an − bn → a − b;
an · bn → a · b;
α · an → α · a für jedes α ∈ R;
Ist b 6= 0, so ist bn 6= 0 ab einer Stelle n0 und an /bn → a/b.
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
Beweis. (i),(ii) Sei ε ∈ R+ . Dann gilt für fast alle n: |an − a| < ε/2 und
|bn − b| < ε/2. Somit ist für fast alle n
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε + 2ε = ε,
|(an − bn ) − (a − b)| = |(an − a) − (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε + 2ε = ε.
Also gilt: an + bn → a + b und an − bn → a − b.
(iii) Es sind (an − a) und (bn − b) Nullfolgen. Ferner ist (bn ) beschränkt (siehe
7.12), daher erhalten wir
an bn − ab = (an − a)bn + (bn − b)a −→ 0 + 0 = 0.
7.17+(i)
(iv) ergibt sich aus (iii): Wähle die konstante Folge (bn ) mit bn := α.
(v) Aus 7.16(iii) folgt |bn | → |b| > 0. Mit ε := |b|/2 gilt:
|bn | ≥ |b| − |bn − b| ≥ |b| −
(1)
ε
2
= |b|/2 > 0 für n ≥ n0
mit einem geeigneten n0 . Für n ≥ n0 ist daher 1/bn definiert und es gilt:
n
| b1n − 1b | = | b−b
bn b | ≤
(1)
2
|b
b2 n
− b|.
Da die rechte Seite nach (iv) gegen Null konvergiert, konvergiert (1/bn ) gegen
1/b (siehe 7.15). Nach (iii) konvergiert dann auch (an /bn ) gegen a/b.
Mit den Bezeichnungen von 6.12–6.15 läßt sich ein Teil der bisherigen Ergebnisse
wie folgt zusammenfassen:
7.19
Die konvergenten Folgen bilden eine Algebra und einen
Vektorverband
Sei C := {(an )n∈N ∈ RN : (an ) ist konvergent}. Dann gilt:
(i)
C ist eine Unteralgebra von RN mit Einselement 1N , sowie ein Vektorverband.
(ii) Für (an ) ∈ C definiere
`((an )) := limn→∞ an .
Dann ist ` : C → R eine lineare Abbildung, die außerdem positiv
und multiplikativ ist, d.h. es gelten neben der Linearität:
C 3 (an ) ≥ 0 ⇒ `((an )) ≥ 0
(Positivität);
C 3 (an ), (bn ) ⇒ `((an ) · (bn )) = `((an )) · `((bn )) (Multiplikativität).
Beweis. (i) Nach 6.14(i), angewandt auf D := N, ist RN eine Algebra mit
Einselement 1N . Mit (an ), (bn ) ∈ C sind auch (an ) + (bn ) = (an + bn ) ∈ C,
α · (an ) = (αan ) ∈ C für α ∈ R und (an ) · (bn ) = (an · bn ) ∈ C (siehe
7.18(i),(iv),(iii)).
Da ferner 0N , 1N ∈ C sind, ist C nach 6.13 eine Unteralgebra von RN mit Einselement 1N . C ist ein Vektorverband (zur Definition siehe 6.15) nach 7.16(iii).
C1
[7]–10
Kapitel II
Konvergenz von Folgen und Reihen
(ii) `(α(an ) + β(bn )) = `((αan + βbn ))
= `((αan )) + `((βbn ))
7.18(i)
=
7.18(iv)
α`((an )) + β`((bn )),
d.h. ` ist linear.
Aus (an ) ≥ 0 folgt limn→∞ an ≥ 0 , d.h. `((an )) ≥ 0. 7.18(iii) zeigt die
7.16(i)
Multiplikativität von `.
Der folgende Satz gestattet es, auf zwei verschiedene Arten aus konvergenten
Folgen neue konvergente Folgen zu bilden.
7.20
Umordnung von Folgen, Teilfolgen
Sei (an )n≥m eine Folge.
Ist ϕ : Z≥m → Z≥m bijektiv, so heißt die Folge (aϕ(n) )n≥m eine Umordnung der Folge (an )n≥m .
Ist ϕ : Z≥m → Z≥m streng monoton wachsend, so heißt die Folge
(aϕ(n) )n≥m eine Teilfolge der Folge (an )n≥m .
Ist (an )n≥m konvergent gegen a, so konvergiert auch jede Umordnung und
jede Teilfolge dieser Folge gegen a.
Beweis. Wir setzen ϕ : Z≥m → Z≥m zunächst nur als injektiv voraus. Sei
ε ∈ R+ . Dann gibt es ein n1 ∈ Z≥m , so daß an ∈ Uε (a) für jedes n ∈ Z≥m mit
n ≥ n1 ist. Dann ist aϕ(n) ∈ Uε (a) für alle n ∈ Z≥m mit ϕ(n) 6∈ {m, . . . , n1 −1},
also — da ϕ injektiv ist — für alle n bis auf endlich viele. Somit folgt die
Konvergenz jeder Umordnung. Da eine streng monoton wachsende Abbildung
injektiv ist, folgt auch die Konvergenz der Teilfolgen.
Eine Teilfolge schreibt man oft intuitiver in der Form:
(akn )n≥m mit m ≤ km < km+1 < . . . .
Man hat also hierbei nur kn an Stelle von ϕ(n) geschrieben.
Ist m = 1, so sind z.B. (a2n )n∈N bzw. (a2n−1 )n∈N Teilfolgen von (an )n∈N :
Betrachte ϕ(n) := 2n, bzw. ϕ(n) := 2n − 1 für n ∈ N.
Wir kommen nun zu einigen Beispielen konvergenter bzw. divergenter Folgen
(an )n∈N .
7.21
Beispiel
(i)
1
→ 0 für jedes k ∈ N;
nk
1
√
k n → 0 für jedes k ∈ N;
(ii)
√
n
(iii)
√
n
(iv)
q n → 0 für |q| < 1;
(v)
[7]–11
n → 1;
a → 1 für jedes a ∈ R+ ;
1 + q + q2 + . . . + qn →
1
1−q
für |q| < 1;
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
(vi)
Die Folge (n) der natürlichen Zahlen ist divergent.
(vii)
Die Folge ((−1)n ) ist divergent;
(viii)
Die Folge (an ) mit an := 1 +
1
2
+ ... +
1
n
ist divergent.
Beweis. (i) Nach 7.6(i) gilt 1/n → 0, und somit 1/nk → 0 nach 7.18(iii).
(ii) Sei ε ∈√R+ . Dann gibt es wegen 1/n →√0 ein n0 mit 1/n < εk für n ≥ n0 .
Also ist |1/ k n − 0| < ε für n ≥ n0 , d.h. 1/ k n → 0.
√
(iii) Sei ε ∈ R+ . Setze an := n n − 1. Zu finden ist ein n0 mit |an | = an < ε
für n ≥ n0 . Nach dem binomischen Lehrsatz (3.19) gilt:
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
n = (1 + an )n = 1 + n1 an + n2 a2n + . . . + nn ann ≥ 1 + n2 a2n .
3.19
√
¡ ¢
Ist n ≥ 2, so folgt hieraus, daß a2n ≤ (n − 1)/ n2 = n2 und daher an ≤ √n2 .
Nach (ii) gibt es nun ein n0 ≥ 2 mit √1n < √ε2 für n ≥ n0 . Also ist an < ε für
n ≥ n0 .
√
√
√
n. Da bn mit bn :=
Ist
a ≥ 1, so gilt: | n a − 1| = n a−1 ≤ | n n − 1| für fast alle √
√
n
ist,
folgt
a → 1 nach 7.15.
| n n − 1| eine Nullfolge nach gerade Bewiesenem
q
n 1
1
Ist 0 < a < 1, so ist a1 > 1. Also gilt: √
na =
a → 1. Somit gilt auch in diesem
√
Fall: n a → 1 (benutze 7.18(v)).
(iv) Da 0n = 0 ist, sei q 6= 0, also insgesamt 0 < |q| < 1. Daher ist 1/|q| = 1+t
mit t ∈ R+ . Nach der Bernoullischen Ungleichung (3.9) gilt:
|q n − 0| = |q n | = |q|n =
(1)
1
(1+t)n
≤
3.9
1
1+nt
<
1
nt .
Ist nun ε ∈ R+ , so gibt es ein n0 mit 1/n < tε für alle n ≥ n0 , also gilt:
|q n − 0| < 1/nt < ε für n ≥ n0 .
(1)
(v) Nach der geometrischen Summenformel (3.10) ist an := 1 + q + . . . + q n =
1
1−q
−
q n+1
1−q ,
also:
|an −
1
1−q |
|q|n+1
1−q .
mit |q|n+1
≤
Wähle nun nach (iv) zu ε ∈ R+ ein n0
Dann ist für n ≥ n0
1
| < ε.
|an − 1−q
< ε(1 − q) für alle n ≥ n0 .
(vi) Die Folge der natürlichen Zahlen ist nicht beschränkt (siehe 4.1) und
daher nicht konvergent (siehe 7.12).
(vii) Würde die Folge ((−1)n ) gegen eine reelle Zahl konvergieren, so würden
die Teilfolgen ((−1)2n ) und ((−1)2n+1 ) gegen dieselbe Zahl konvergieren (siehe
7.20). Die beiden Teilfolgen haben jedoch die Grenzwerte 1 bzw. −1.
(viii) Die Folge divergiert, weil sie unbeschränkt ist. Ist nämlich r ∈ R+ , so
gilt für jedes k ∈ N mit k ≥ 2r:
a2k +1 =
1
1 + 211 + ( 211+1 + 212 ) + ( 221+1 + . . . + 213 ) + . . . + ( 2k1+1 + . . . + 2k+1
)
>
C1
1
21
+
2
22
+
22
23
+ ... +
2k
2k+1
=
k+1
2
> r.
[7]–12
Kapitel II
Konvergenz von Folgen und Reihen
Wie im vorigen Beispiel und auch schon in 7.19 beschränkt man sich bei Konvergenz- und Divergenzbetrachtungen oft auf Folgen mit Definitionsbereich N.
Für solche Betrachtungen ist dieses keine wesentliche Einschränkung, wie die
folgenden Überlegungen zeigen:
Sei (an )n≥m eine Folge mit m ∈ Z. Ist m > 1, so wähle noch a1 , . . . , am−1 ∈ R
beliebig. Dann gilt für a ∈ R (benutze 7.9):
(an )n≥m konvergiert genau dann gegen a, wenn (an )n∈N gegen a konvergiert.
(an )n≥m ist genau dann divergent, wenn (an )n∈N divergent ist.
Zum Abschluß dieses Paragraphen benutzen wir Folgen,
– um das Supremum (und das Infimum) einer beschränkten Menge M ⊂ R
durch monotone Folgen aus M zu approximieren;
– um zu zeigen, daß jede reelle Zahl Grenzwert einer monoton wachsenden
Folge rationaler Zahlen ist.
7.22
Suprema und Infima als Grenzwerte von Folgen
Sei M eine nicht-leere Teilmenge von R.
(i)
Ist M nach oben beschränkt, so gibt es eine monoton wachsende
Folge (mn )n∈N mit
mn ∈ M für n ∈ N und mn → sup(M ).
(ii) Ist M nach unten beschränkt, so gibt es eine monoton fallende Folge
(mn )n∈N mit
mn ∈ M für n ∈ N und mn → inf(M ).
Beweis. (i) Wähle für n ∈ N induktiv mn ∈ M mit mn−1 ≤ mn für n ≥ 2
und mn > sup(M ) − 1/n :
Da M eine nicht-leere nach oben beschränkte Menge ist, folgt der Induktionsanfang nach Definition des (existierenden) Supremums.
Seien m1 , . . . , mn mit der angegebenen Eigenschaft gewählt. Dann gibt es
1
. Setze dann mn+1 := max(mn , m0n+1 ).
m0n+1 ∈ M mit m0n+1 > sup(M ) − n+1
1
. Dies beweist den
Dann ist mn+1 ∈ M, mn ≤ mn+1 und mn+1 > sup(M ) − n+1
Induktionsschritt.
Da mn ≤ sup(M ) ist, gilt also für alle n :
|sup(M ) − mn | = sup(M ) − mn < 1/n.
Daher folgt die Behauptung aus 7.15 wegen 1/n → 0.
(ii) Wähle, entsprechend dem Verfahren in (i), für n ∈ N induktiv mn ∈ M mit
mn ≤ mn−1 für n ≥ 2 und mn < inf(M ) + 1/n. Der Rest verläuft entsprechend
zu (i).
[7]–13
C1
Einführende Beispiele und Rechenregeln für konvergente Folgen
7.23
Reelle Zahlen sind monotone Limites rationaler Zahlenfolgen
Ist r ∈ R, so gibt es eine monoton wachsende Folge rationaler Zahlen qn
mit qn → r.
Beweis. Nach 4.9 ist r = sup(M ) mit M := {q ∈ Q : q ≤ r}. Die Behauptung
folgt dann aus 7.22(i).
C1
[7]–14