imaginäre quadratische zahlkörper und die nullstellen der

Algebra und Zahlentheorie
the Riemann zetafunction including the famous hypothesis. The result (i) means
2
that when n = 3 , Z (s) has no nontrivial zeros with R (s) ^>
f- s for arbitrary
e > o and sufficiently large p, while (2) implies that the zeros are on R (s) = — .
My methods can be seen from a proof of a theorem of a type well known in
connection with Fermat's last theorem by the work of Dickson, Hurwitz and Schur.
Theorem. If N is the number of solutions of the congruence in x, y,
axm -)- byn -f- c == o (mod p),
where abc^o
modp,
loss of generality)
then
and m, n are positive integers dividing^»—/, (this is no
\N—p\*^pmn
(m -\- 1) (n-\- l).
IMAGINÄRE QUADRATISCHE ZAHLKÖRPER UND
DIE NULLSTELLEN DER RIEMANNSCHEN ZETA
FUNKTION
Von MAX DEURING, Leipzig
Die Frage nach den imaginären quadratischen Zahlkörpern mit der Klassenzahl
Eins ist bekanntlich mit der Frage nach der Nullstellenverteilung der diesen Körpern
zugehörigen L-Reihen eng verknüpft (siehe z. B. E. Landau: Ueber die Klassenzahl
imaginär-quadratischer Zahlkörper, Gott. Nachr. 1918, S. 285—295). Man kann
diese Frage aber auch mit den Nullstcllen der Riemannschen Zctafunktion Ç (s) in
Verbindung bringen. Man kann folgendes beweisen:
Wenn es unendlich viele imaginäre quadratische Körper mit der Klassenzahl Eins
gibt, so folgt daraus, daß die nichtreellen Nullstellen von Ç (s) den Realteil y 2 haben
und einfach sind.
Jedenfalls kann also von den beiden Vermutungen: daß Ç (s) außer bei s = — 1,
— 2,. . . bloß auf der Geraden 0= V2 Nullstellen hat, und: daß es bloß endlich viele
imaginäre quadratische Körper mit der Klassenzahl Eins gibt, höchstens eine falsch
sein.
Dqr Beweis beruht auf einer asymptotischen Entwicklung der Zetafunktion der
Hauptklasse eines imaginären quadratischen Körpers mit der Diskriminante — 4 d:
Zo (s) = Ç (2 j) + //'/• - - U ^
S
-
'j, ^
-
1/2)
+ 0{e-<*hd^-°), c>0
Algebra und Zahlentheorie
für große d, deren Beweis verwandt ist mit den Entwicklungen von Mordell zum
Beweis der Kroneckerschen Grenzformel.
Diese Formel erlaubt für eine Nullstelle y 2 + it von £ (s) den Schluß, daß für
einen Körper k (J/—4 d) mit der Klassenzahl Eins
_è(2s-i)r(s-ytl
<Cie
<*-K—mr^)—\
-cd'
gilt. Hieraus läßt sich eine Ungleichung der Form
für die Folge — 4 dv — 4 d2, — 4 d3, . . . der Diskriminantcn mit der Klassenzahl
Eins gewinnen, welche das Hauptresultat der obengenannten Arbeit von E. Landau
für die einklassigen Körper in gewisser Weise verschärft.
ÜBER DIE LÖSBARKEIT DER GLEICHUNG
x
2_Dy2 =
_ l
Von TRIGVE NAGELL, Uppsala
Eine ganze positive Zahl, die als Summe von zwei teilerfremden Quadratzahlen
darstellbar ist, aber keine Quadratzahl ist, wird eine A-Zahl genannt. Für die Lösbarkeit der Gleichung
(1)
x2 — Dy2 = — 1
in ganzen Zahlen x und y, ist dann offenbar notwendig, daß D eine A-Zah\ ist. Dies
ist aber nicht hinreichend, wie man aus dem Beispiele D = 34 ersieht; die Periode
der Kettenbruchentwicklung von V34 hat nämlich eine gerade Anzahl von Gliedern,
und folglich ist die Gleichung (1) unlösbar für £ = 3 4 . Eine A-Zahl D wird eine
B-Zcihl oder C-Zahl genannt, je nachdem die Gleichung (1) lösbar ist oder nicht,
Seit Legendre weiß man, daß z. B. alle Primzahlen von der Form 4% -f- 1 5-Zahlen
sind. Hieraus folgt speziell, daß die Anzahl der ^-Zahlen unterhalb x wenigstens
1 x
von der Größenordnung — ,
ist. Ueber die C-Zahlen wußte man bisher nichts.
2 log;r
In diesem Vortrage wird u. a. bewiesen, daß die Anzahl der C-Zahlen < x größei
4
als c\x
ist, wo c eine positive Konstante ist.