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Potenzen und Polynome
• Für eine reelle Zahl x ∈ R und eine natürliche Zahl n ∈ N definieren wir
xn := |x · x · x{z· . . . · x}
n-mal
• Einschub über die bisher aufgetretenen mathematischen Symbole:
– Definition mittels := (die linke Seite des := wird durch die rechte definiert)
– Zahlenmengen, nämlich die Menge N der natürlichen Zahlen (bei uns
ohne 0; wenn wir die 0 dabeihaben wollen, schreiben wir N0 )
N := {1, 2, 3, . . .}
und die Menge der reellen Zahlen R, die auch die 0, die negativen ganzen
Zahlen, die Brüche und die irrationalen Zahlen enthält.
• Für die so definierten Potenzen gelten die Potenzgesetze: für beliebige Zahlen
x, y ∈ R und m, n ∈ N gilt
xm · xn = xm+n ,
(1.1)
xm · y m = (x · y)m ,
(1.2)
(xm )n = xm·n .
(1.3)
• Präziser könnten wir unsere Potenzen rekursiv definieren (wieder sei x ∈ R
und n ∈ N):
(
x
für n = 1,
xn :=
x · xn−1 für n > 1.
• Für Informatiker ist diese Definition vielleicht angenehmer, weil sie schon fast
an ein Programm erinnert — hier in Pascal aufgeschrieben unter der Annahme, dass Real und Integer geeignete Datentypen für reelle bzw. natürliche
Zahlen sind:
function Potenz ( x : Real ; n : Integer ) : Real ;
begin
i f n=1 then Potenz := x
e l s e Potenz := x∗ Potenz ( x , n−1)
end ;
Die erste Definition erinnert auch an ein Programm:
function Potenz ( x : Real ; n : Integer ) : Real ;
var
p : Real ;
i : Integer ;
begin
p := 1 . 0 ;
for i := 1 to n do p := p∗x ;
Potenz := p ;
end ;
• Die Definition“ für den Computer ist formaler. Dieser benötigt immer eine
”
Berechnungsvorschrift — unsere mathematische Definition ist das hier auch,
in anderen Fällen kann da aber z.B. auch stehen das y ∈ R, für das . . . gilt“.
”
• Brüche als Exponent — Definition: Für eine positive Zahl x ∈ R und n ∈ N
1
ist x n diejenige positive Zahl y, für die y n = x gilt.
Für n = 2 bekommen wir
die üblichen Wurzeln. Entsprechend ist die n-te
√
1
n
Wurzel definiert durch x := x n .
• Diese Definition ist auch insofern sinnvoll, weil die Regel (1.3), die ursprünglich
nur für natürliche Zahlen n und m galt, nun auch auf den Fall m = 1/n ausgedehnt werden kann.
p
• (1.3) führt somit direkt zu einer Definition von x q mit positivem x und
p, q ∈ N:
1 p
p
x q := x q .
• Negative Exponenten:
xm xn = xm+n
für m = 0 :
x0 xn = x0+n = xn
Daher muss x0 = 1 sein.
xm xn = xm+n
Daher muss x−n :=
1
xn
für m = −n : x−n xn = x−n+n = x0
sein wegen x−n xn = 1.
b
• Die Definition von
√ x für positives x lässt sich auch auf beliebige reelle Exponenten (z.B. 2) erweitern und die Potenzgesetze (1.1) bis (1.3) gelten
weiterhin.
• Wenn wir Potenzen kennen, können wir uns als nächstes daraus Polynome
zusammenbauen. Im ganzen Kapitel werden nur nichtnegative ganze Zahlen
als Exponenten vorkommen (also aus N0 ), so dass als Basis beliebige (z.B.
reelle) Zahlen zulässig sind.
• Ein Term der Form xn , x ∈ R, n ∈ N heißt Monom.
• Ein Term der Form
n
X
ai x i
i=0
mit n + 1 Zahlen ai als Koeffizienten heißt Polynom (in x).
• Das Summenzeichen dient der einfacheren Notation:
n
X
ai xi := a0 · x0 + a1 · x1 + a2 · x2 + . . . + an · xn .
i=0
• Polynom als code:
program Polynom ;
const
n = 3;
var
a : array [ 0 . . n ] of Real = ( 4 . 0 , 0 . 0 , 7 . 0 , 1 5 . 0 ) ;
x : Real = 2 . 0 ;
sum : Real ;
i : Integer ;
begin
sum := 0 . 0 ;
f o r i := 0 to n do
sum := sum + a [ i ] ∗ ( x ∗∗ i ) ;
WriteLn( sum ) ;
end .
Wer will kann sich einen effizienteren code überlegen.
• Beispiele für Polynome:
– 1 (nach 0 das Einfachste!)
– 7x + 3
– 15x3 + 7x2 + 4 (Es können auch Koeffizienten 0 sein)
• Der Grad eines Polynoms P (in Zeichen: deg(P )) ist die höchste vorkommende Potenz mit Koeffizient ungleich Null — mit Ausnahme
von deg(0) := −∞
!
n
X
( minus unendlich“). Es gilt also: deg
ai xi ≤ n (kleiner als n, wenn
”
i=0
an = 0 ist). Für die Beispiele von eben gilt: deg(1) = 0, deg(0) = −∞,
deg(7x + 3) = 1 und deg(15x3 + 7x2 + 4) = 3.
• Rechenregeln für deg: Sei pn Polynom vom Grad n.
deg(pn pm ) = n + m = deg(pn ) + deg(pm )
deg(pn + pm ) ≤ max{n, m} = max{deg(pn ), deg(pm )}
Speziell für pn = 0 soll daher auch gelten:
deg(0 · pm ) = deg(0) + m = deg(0)
deg(0 + pm ) = max{deg(0), m} = m
Also deg(0) < 0, so dass deg(0) + 1 = deg(0) → deg(0) = −∞. Manchmal
auch deg(0) = −1 in der Computeralgebra.
• Addition von Polynomen:
x2 + 2x + 1 + x2 − x + 3 = 2x2 + x + 4
Multiplikation von Polynomen:
x2 + 2x + 1 · x2 − x + 3 = x4 + x3 + 2x2 + 5x + 3.
Division (mit Rest) geht auch. Im Allgemeinen funktioniert die Division analog zum schriftlichen Dividieren ganzer Zahlen.
x4 + x3 + 2x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 x2 − x + 3 − 3x + 1
• Division mit Rest bei den natürlichen Zahlen:
Zu n, m ∈ N gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ N mit r < m,
so dass n = q · m + r. Dann ist q das Ergebnis, r der Rest der
ganzzahligen Division von n durch m.
Jetzt mit Polynomen:
Zu zwei Polynomen N und M mit Koeffizienten aus R gibt es
eindeutig bestimmte Polynome Q, R mit Koeffizienten aus R mit
deg(R) < deg(M ), so dass N = Q·M +R. Dann ist Q das Ergebnis,
R der Rest der Polynomdivision von N durch M .
• Wichtige Spezialfälle sind die Polynome von kleinem Grad. Im Fall von
deg(P ) ≤ 1 heißt P linear, ist also von der Form P = a · x + b. Diese
kommen z.B. in linearen Gleichungen vor, die die Form
ax + b = 0
haben oder sich auf diese Form bringen lassen, und dann leicht zu lösen sind
(a 6= 0 vorausgesetzt).
• Im Fall von deg(P ) ≤ 2 heißt P quadratisch, ist also von der Form P =
a · x2 + b · x + c. Dazu gehören die quadratischen Gleichungen (hier für a = 1)
x2 + px + q = 0,
mit den Lösungen
r
p2
p
x1/2 = − ±
− q,
2
4
sofern p2 ≥ 4q (andernfalls komplexe Lösungen).
• Die Nullstellen x1 und x2 eines quadratischen Polynoms liefern eine Zerlegung
in Linearfaktoren:
x2 + px + q = (x − x1 ) · (x − x2 ).
Entsprechendes gilt auch für Polynome höheren Grades: sei P ein Polynom
vom Grad n in x und x1 eine Nullstelle von P (also P (x1 ) = 0). Dann kann
man einen Linearfaktor x − x1 abspalten (z.B. durch Polynomdivision):
P (x) = Q(x) · (x − x1 )
mit einem Polynom Q(x) vom Grad n − 1.
Das ist nützlich: die Nullstellen von P sind nun x1 und die Nullstellen eines Polynoms Q von kleinerem Grad, wir haben das Problem also auf ein
kleineres zurückgeführt. Hauptsatz der Algebra: Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
P
sind wichtige Klassen von Bei• Polynome P und rationale Funktionen Q
spielfunktionen und dienen als Baukasten, um kompliziertere Funktionen
anzunähern (Potenzreihe, Computergraphik, Bildverarbeitung).
Aufgaben
1.1 Berechne 2n für n = 0 . . . 20.
Für größere Zweierpotenzen ist die Faustregel 210 oder 1000 — das ist doch
”
praktisch dasselbe“ nützlich. Gib damit Näherungen für 232 und 264 an.
1.2 Gegeben sind die beiden Funktionen f (x) = 6 · x2 und g(x) = 2 · x3 .
a) Skizziere beide Graphen.
b) Für welche x ist f (x) = g(x)? Für welche ist f (x) > g(x) und für welche
f (x) < g(x)?
1.3 Für welche ganzen Zahlen n ist 2n > n2 ? (Probieren ist hier besser als rechnen!)
1.4
a) Skizziere den Graph der Funktion x 7→ 2x für x = −1000 . . . 10 und
diskutiere den Satz die Exponentialfunktion ist ein rechter Winkel“.
”
b) Bestimme die kleinste Zahl x0 , so dass für alle x ≥ x0 gilt: 2x ≥ 16x3 .
c) Wie ändert sich die Antwort in b), wenn die rechte Seite (16x3 ) mit
213 = 8 192 multipliziert wird, also die Ungleichung 2x ≥ 131 072x3
betrachtet wird?
1.5 Wie viele verschiedene Zustände kann man mit n Bits darstellen? Speziell:
wenn wir ganze Zahlen (bei 0 beginnend) in 32 Bit speichern, wie weit können
wir damit zählen?
1.6 Vereinfache folgende Terme (dabei seien x, y, z > 0):
a)
d)
√
5
215 ,
√
3
x·
b)
p 6
y3 ,
8
125
− 13
e)
,
c)
q
√
3
x,
2
(x2 · y 3 · z 4 )
,
(x · y · z)−2
f)
√
x−y
√
x− y
1.7 Um eine Koch-Kurve zu konstruieren, beginnen wir mit einer Strecke der
Länge 1 und ersetzen nun in jeder Runde jede bis dahin erzeugte Strecke
durch vier Teilstrecken von je einem Drittel der Länge gemäß folgendem
Muster
Die Ergebnisse der Runden zwei bis fünf sehen dann so aus (die Koch-Kurve
selbst ist das fraktale Objekt, das im Grenzprozess unendlich vieler Iterationen entsteht):
Schätze die Länge dieser Streckenzüge! Wie lang sind sie wirklich?
1.8 Lineare Gleichungen — bestimme für die folgenden Gleichungen jeweils alle
x, die die Gleichung erfüllen:
a) 4 · (x − 1) = 5 · (x − 2)
b)
1
x−1
=
x+1
x−2
−1
c) (x + 2) · (x − 2) = 21
Naja, die letzte Gleichung ist nicht linear in x; wen das stört, der führt
zwischendrin ein y := x2 ein. . .
q
2
1.9 Leite die Lösungsformel x1/2 = − p2 ± p4 − q der quadratischen Gleichung
mit Hilfe der so genannten quadratischen Ergänzung her, d.h. bringe die
Gleichung x2 + px + q = 0 erst in die Form (x + α)2 + β = 0 und löse die
Gleichung dann nach x auf.
1.10 Gegeben sind die Punkte A(0|2), B(2|6) und C(−1|1.5).
a) Konstruiere eine Funktion f (x) = ax2 + bx + c, so dass ihr Graph durch
diese drei Punkte verläuft. Wie viele solcher Funktionen gibt es?
b) Bestimme y1 und y2 so, dass die Punkte D(4|y1 ) und E(−3|y2 ) ebenfalls
auf dem Graphen liegen!
1.11 Dividiere x5 − x4 + 2x3 − 2x2 − 8x + 8 durch x2 − 2 und bestimme alle
Nullstellen von x5 − x4 + 2x3 − 2x2 − 8x + 8.
!
n
X
1.12 Berechne
xi · (x − 1) und stelle damit eine geschlossene Formel (d.h.
i=0
ohne Summenzeichen) zur Berechnung von
n
X
i=0
xi für x 6= 1 auf.