ADdfL Tabellenanhang

ARITHMETISCHE DARSTELLUNG DER FORMALEN LOGIK
A2 Restklassenarithmetik Modulo 2
Tabellenanhang
Es gelte für alle a, b, c  :
Peter Jaenecke
A1 Anwendungsbereiche der Logik
Objektmenge:
Textur:
Wertebereich:
materiell
elektrische Schalter
Schaltbild
{an, aus}
ideell
Aussagen
Satz
{wahr, falsch, unbestimmt}
Tabelle 1: Gegenüberstellung von materiellen und ideellen Anwendungsbereichen der Logik. Der
Wertebereich gibt an, welche Zustände die Objekte aus Objektmenge einnehmen können, die Textur
ist ein geeignetes zeichensprachliches Gebilde zur Beschreibung der Objekte.
Ringaxiome:
R1 a + b = b + a
(kommutatives Gesetz der Addition)
R2 (a + b) + c = a + (b + c) (assoziatives Gesetz der Addition)
R3 Es gibt ein x mit a + x = b (Umkehrbarkeit der Addition)
R4 a ∙ b = b ∙ a
(kommutatives Gesetz der Multiplikation)
R5 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) (assoziatives Gesetz der Multiplikation)
R6 a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c (distributives Gesetz)
Spezielle Axiome der Restklassenarithmetik Modulo 2:
R  = {0, 1}
R+ a + a = 0
R• a∙a = a
(Festlegung des Wertebereiches)
(Nullelement)
(Idempotenz)
Tabelle 2: Axiome der Restklassenarithmetik Modulo 2.
Peter Jaenecke
Arithmetische Darstellung der formalen Logik: Tabellenanhang
Es gelte für alle a, b, c   die Sätze:
RS1
RS2
RS3
RS4
RS5
RS6
RS7
RS8
Bezeichnung
logische
Einsfunktion
Alternative, Disjunktion (Oder)
Gegenimplikation, Replikation
Transferfunktion p
Implikation (wenn-dann)
Transferfunktion q
Äquivalenz
Konjunktion (und)
SHEFFER Strich
Exklusives Oder, Autfunktion1
Negation q
Rehibition (q, aber nicht p)
Negation p
Inhibition (p, aber nicht q)
a+0=a
wenn x + a = b, dann x = a + b und umgekehrt
a∙0=0
a∙(a + 1) = 0
a∙1=a
a∙(b +a∙c) = a∙(b + c)
wenn a∙b = 1, dann a = b = 1
wenn a + b + a∙b = 0, dann a = b = 0
Tabelle 3: Charakteristische Sätze der Restklassenarithmetik Modulo 2.
A3 Wahrheitswertetafeln für die ein- und zweistelligen Junktoren
p
w
f
Verneinen
(Negation)
p
f
w
p+1
Unverändertlassen
(Identität)
p
w
f
p
Wahrmachen
(Tautologie)
p
w
w
1
NICOD Funktion (weder-noch)
Nullfunktion
OR



XNOR
AND
NAND
XOR


|, 
Y




NOR

p
q
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f
f
f
f
f
f
w
f
w
w
w
w
f
f
f
f
w
w
w
w
f
f
f
w
w
w
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
Arithmetische
Operation
1
p+q+pq
q+pq+1
p
p+pq+1
q
p+q+1
pq
pq+1
p+q
q+1
p+pq
p+1
q+pq
f
f
f
f
f
f
w
f
p+q+pq+1
0
Tabelle 5: Wahrheitswertetafeln der zweistellige Junktoren und ihr arithmetisches Gegenstück.
Falschmachen
(Kontradiktion)
#p
f
f
0
Tabelle 4: Wahrheitswertetafeln der einstellige Junktoren und ihr arithmetisches Gegenstück.
1
2
Symbol
technische
Auch: Antivalenz.
Peter Jaenecke
A4 Gesetze
p =
p|p
pp
pYw
Arithmetische Darstellung der formalen Logik: Tabellenanhang
pYq=
(p  q)  (q  p)
(p | q)  (p  q)
Tabelle 9: Gesetze über das exklusive Oder.
pq=
p  q
p | (p  q)
(p  q)
p f
(p  q)
Tabelle 6: Gesetze über die Verneinung.
[( p  p )  q ]  [( p  p )  q ]
Tabelle 10: Gesetze über die Implikation.
pq=
(p  q)
p  q
(p  p)  (q  q)
(p | q) | (p | q)
Tabelle 7: Gesetze über die Konjunktion.
pq=
(p  q)
pq=
(p  q)  (q  p)
(p  q)  (q  p)
[(p  q)  (q  p)]
Tabelle 11: Gesetze über die Äquivalenz.
pq=
p  q
(p  q)  q
(p  q)
(p  q)  (p  q)
zwar p, aber nicht q
p  q
(p | p) | (q | q)
Tabelle 8: Gesetze über die Alternative.
nicht p sondern q
p  q
Not Koimplikation
3
Peter Jaenecke
Arithmetische Darstellung der formalen Logik: Tabellenanhang
Literatur
IEEE Standard Logic 1164
U
X
0
1
Z
W
L
H
Siehe Literaturgesamtverzeichnis.
-
  Y   Y   Y   Y   Y   Y   Y   Y   Y
U
X
0
1
Z
W
L
H
-
p
p
U U U U U U 0 U U U 1 U U U U U U U 0 U U U 1 U U U U
U U U X X X 0 X X X 1 X X X X X X X 0 X X X 1 X X X X
0
U U 0
U 1
X X 0 0
U X 1
1
0 1
0
0
1 1
0
1
1
1 0
X 1
X X 0
X X 0 0
X X 1
X 0 1
0
0
1 1
0
1
1
1 0
X 1
X X
X
U U U X X X 0 X X X 1 X X X X X X X 0 X X X 1 X X X X
U U U X X X 0 X X X 1 X X X X X X X 0 X X X 1 X X X X
0
U U 0
U 1
X X 0 0
U X 1
1
0 1
0
0
1 1
0
X X 0
1
1
1 0
X 1
X X 0 0
X X 1
X 0 1
0
0
1 1
0
X X
1
1
1 0
X 1
X
U U U X X X 0 X X X 1 X X X X X X X 0 X X X 1 X X X X
U
U
X
X
0
1
1
0
Z
X
W
X
L
1
H
0
X
Tabelle 12: Wahrheitswertetabellen der neunwertigen Logik definiert als IEEE
Standard Logic 1164.
Deutsche Bezeichnung
logische Null (starker Treiber)
logische Eins (starker Treiber)
undefiniert
unbekannt (starker Treiber)
hochohmig (hohe Impedanz)
unbekannt (schwacher Treiber)
logische Null (schwacher Treiber)
logische Eins (schwacher Treiber)
unwichtig
Bezeichnung von IEEE
Logic 0 (driven)
Logic 1 (driven)
Uninitialized
Unknown
High impedance
Weak 1
Logic 0 (read)
Logic 1 (read)
Don't-care
Symbol
0
1
U
X
Z
W
L
H
-
Tabelle 13: IEEE Bezeichnung der Wahrheitswerte und ihre deutsche Entsprechung.
4
http://www.peterjaenecke.de/logik.html
11.02.14