Grundwissen-Mathematik-8.Jahrgangsstufe Geometrie G9 1

Grundwissen-Mathematik-8.Jahrgangsstufe
•
Geometrie
G9
Besondere Vierecke
Parallelogramm
Eigenschaften:
Das Viereck ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt.
Je 2 Gegenseiten sind gleich lang und parallel.
Je 2 Gegenwinkel sind gleich groß.
Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Raute
Die Raute ist ein Parallelogramm.
Zusätzliche Eigenschaften:
Alle 4 Seiten sind gleich lang.
Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Die Diagonalen sind Winkelhalbierende der Innenwinkel.
Die Raute ist achsensymmetrisch bzgl. beider Diagonalen.
Rechteck
Das Rechteck ist ein Parallelogramm.
Zusätzliche Eigenschaften:
Die beiden Diagonalen sind gleich lang.
Alle Innenwinkel sind gleich groß (90°).
Die Mittelsenkrechten von jeder Seite sind Symmetrieachsen.
Quadrat
Es ist sowohl ein Rechteck als auch eine Raute.
Drachenviereck
Eine Diagonale ist Symmetrieachse.
Diese Diagonale ist Winkelhalbierende und halbiert
die andere Diagonale rechtwinklig.
Trapez
Die beiden parallelen Seiten a und c heißen Grundseiten.
Die Seiten b und d heißen Schenkel.
Die Höhe h ist der Abstand von a und c.
a+c
Für die Mittellinie m gilt: m =
2
c
h
m
d
b
a
•
Viereckskonstruktionen
Konstruiere zuerst ein Teildreieck, anschließend die vierte Ecke.
1
Grundwissen-Mathematik-8.Jahrgangsstufe
•
Geometrie
G9
Flächeninhalte
Parallelogramm
A = a · ha = b · hb
hb
D
C
ha
A
b
B
a
Dreieck
1
1
1
A = a · ha = b · hb = c · h c
2
2
2
C
hc
b
a
hb
ha
A
B
c
Trapez
1
A = (a + c) · h = m · h
2
Folgerung:
Dreiecke sowie Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, sind flächengleich.
•
Volumen
Prisma
V=G·h
G: Grundflächeninhalt
h: Höhe
h
Grundfläche
2
Grundwissen-Mathematik-8.Jahrgangsstufe
•
Geometrie
G9
Kreis und Gerade
Tangente
Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt (Kreis-)
Tangente t. Sie steht im Berührpunkt B auf dem Berührradius senkrecht.
t
M
x
B
•
Vektoren
Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile, die gleich lang, parallel und gleich gerichtet sind.
Jeder dieser Pfeile ist ein Repräsentant des Vektors.
Vektoraddition
a+b
b
a
a−b
−b
a + (−a ) = 0 ; 0 heißt Nullvektor
− a ist der Gegenvektor von a
Koordinatenschreibweise
 3
 − 7
 7 
a =   ; b =   ; − b =  
Beispiele:
 4
 5 
 − 5
Summenvektor:
 3  − 7  − 4
a + b =   +   =  
 4  5   9 
 3   − 7   10 
a + (− b) = a − b =   −   =  
 4   5   − 1
3
Grundwissen-Mathematik-8.Jahrgangsstufe
•
Geometrie
G9
Der mathematische Beweis
Es gibt verschiedene Beweisarten, z.B. Kongruenzbeweis, Beweis durch Widerspruch,
Symmetriebeweis.
Beispiel für einen Kongruenzbeweis:
Satz: Im gleichschenkeligen Dreieck werden vom Mittelpunkt der Basis die Lote auf die
beiden Schenkel gefällt. Zeige, dass die beiden Lote gleich lang sind.
Voraussetzung:
1) AC = BC
2) AM = MB
3) DM ⊥ AC
4) ME ⊥ CB
Behauptung:
DM = ME
C
D
Beweis:
Betrachte die beiden Dreiecke ∆AMD und ∆MBE
α
(Vor. 2)
1) AM = MB
A
M
2) α = β
(folgt aus Vor. 1)
3) ∢ADM = ∢MEB (Vor. 3 und 4)
⇒ ∆AMD ≅ ∆MBE (SWW-Satz)
⇒ DM = ME
(entsprechende Seiten in kongruenten Dreiecken)
•
E
β
B
Notwendige und hinreichende Bedingungen.
Man nennt die Voraussetzung eines Satzes für die Behauptung
o hinreichend, wenn der Satz wahr und sein Kehrsatz falsch ist,
o notwendig, wenn der Satz falsch ist und sein Kehrsatz wahr ist,
o notwendig und hinreichend, wenn der Satz und sein Kehrsatz wahr sind.
Beispiel:
Satz A: „Wenn ein Dreieck einen 60°-Winkel hat, dann ist es gleichseitig.“
Der Satz ist falsch.
Satz B: „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann hat es einen 60°-Winkel.“
Der Satz ist richtig.
Die Behauptung „Ein Winkel ist 60°“ ist für die Behauptung des Satzes A „Das Dreieck
ist gleichseitig“ notwendig, aber nicht hinreichend.
Satz B ist der Kehrsatz von Satz A.
4