A 2-4_Pythagoras an ebenen Figuren

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam
2. Semester
ARBEITSBLATT 2-4
ANWENDUNG DES PYTHAGOREISCHEN LEHRSATZES AN EBENEN FIGUREN
1) Parallelogramm
Beispiel: Von einem Parallelogramm ABCD sind die Längen der Seiten
a=56 mm und b=34 mm gegeben. Außerdem weiß man die Höhe auf a,
ha = 30 mm. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen.
Lösung:
Wir fertigen uns zunächst eine Skizze an. Tragen Sie am besten alle bekannten Größen mit Farbstift ein.
Wir können uns aber noch zusätzlich im Eckpunkt C die Höhe einzeichnen:
D
m
m
Nun müssen wir versuchen mittels rechtwinkeliger Dreiecke unsere Diagonalen zu berechnen. Dazu suchen wir nach rechtwinkeligen Dreiecken, von denen wir zwei Seiten kennen.
Von dem Dreieck B,C,F2 kennen wir die Seiten b und ha, also können wir
uns das Stück m berechnen.
m 2 = b 2 −h a
2
m = 34 2 − 30 2 = 256 = 16mm
Nun können wir uns aus dem Dreieck A,C,F2 die Diagonale e berechnen:
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e 2 =h a +(a + m )
2
2
e 2 = 30 2 + 72 2 = 6084
e = 6084 = 78mm
Aus dem Dreieck B,D,F1 können wir nun f ermitteln:
f 2 =h a +(a − m )
2
2
f 2 = 30 2 + 40 2 = 2500
f = 2500 = 50mm
2) Die Raute
Noch einmal sei jene wesentliche Eigenschaft ins Gedächtnis gerufen: Die
Diagonalen stehen normal aufeinander und halbieren einander.
Beispiel: Von einer Raute kennt man die Seitenlänge a=37 mm und die Länge
der Diagonale e=70 mm. Berechnen Sie die Länge der Diagonale f und den
Flächeninhalt.
Lösung: Wir fertigen wieder eine Skizze an:
Das Dreieck A,B,M muß einen rechten Winkel bei M haben, da ja die
Diagonalen bei einer Raute stets normal aufeinander stehen. Wir kennen die Seite a und
2
f 
e
2
  =a − 
2
2
e
f
. Folglich lässt sich daraus , bzw. f berechnen.
2
2
2
f2
= 37 2 − 35 2
4
f2
= 144 /⋅ 4
4
f 2 = 576 /
f = 576 = 24mm
Für die Fläche setzen wir in unsere Formel ein:
2
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A=
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e ⋅ f 70 ⋅ 24
=
= 840mm 2
2
2
3) Das Deltoid
Auch für das Deltoid gilt, dass die Diagonalen im rechten Winkel aufeinander
stehen. Außerdem halbiert die Diagonale e die Diagonale f.
Beispiel: Von einem Deltoid kennt man die Seiten a=37 mm, b= 13 mm und
die Diagonale f=24 mm. Berechne die Diagonale e und den Flächeninhalt.
Lösung: Wir fertigen wieder eine Skizze an:
A
x
y
Vom Dreieck A,B,M kennen wir die Seiten a und
f
. Folglich können wir x
2
berechnen:
2
f 
x 2 = a2 −  
2
2
2
x = 37 − 12 2 = 1225
x = 1225 = 35mm
Aus dem Dreieck B,C,M können wir uns y ermitteln:
2
f 
y = b − 
2
2
2
y = 13 − 12 2 = 25
2
2
y = 25 = 5mm
Nun können wir e angeben:
e =x + y = 35 + 5 = 40mm
Für die Fläche setzen wir in unsere Formel ein:
A=
e ⋅ f 40 ⋅ 24
=
= 480mm 2
2
2
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4) Das Trapez
Beispiel: Von einem Trapez kennt man die Seiten a=63 mm, b=45 mm,
d= 39mm und die Höhe h=36mm. Berechne c und die Diagonalen e und f.
Lösung: Wir fertigen wieder eine Skizze an.
x
y
Aus dem Dreieck A,F1,D können wir uns das Stück x berechnen:
x 2 = d 2 − h2
x 2 = 39 2 − 36 2 = 225
x = 225 = 15mm
Aus dem Dreieck B.C,F2 berechnen wir das Stück y:
y 2 = b2 − h2
y 2 = 45 2 − 36 2 = 729
y = 729 = 27mm
Nun können wir c angeben:
c =a − x − y = 63 − 15 − 27 = 21mm
Die Diagonale e errechnen wir aus dem Dreieck A,C,F2:
e 2 = h 2 + (a − y )
2
e 2 = 36 2 + 36 2 = 2592
e = 2592 = 50,9mm
Die Diagonale f errechnen wir aus dem Dreieck B,D,F1:
f 2 = h 2 + (a − x )
2
f 2 = 36 2 + 48 2 = 3600
f = 3600 = 60mm
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