9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Pythagoras 09

Wichtige Anwendungen:
• Auflösen der Formel a2 + b2 = c2 nach c bzw. a:
√
√
c = a2 + b 2
a = c2 − b2
(Diese Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a + b
bzw. c − b)
• Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen:
Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A = 12 chc
eine weitere Formel für die Fläche des Dreiecks: A = 12 ab
c b
• Anwendung in der Physik:
t
S
SFN s
FG
S
w
S
F
H
=
?
a
In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s, FH kt,
FN ⊥t und FG ⊥r.
Im großen äußeren Dreieck gilt r2 + s2 = t2 .
Im kleinen inneren Dreieck ist FN ⊥FH und daher
FG2 = FN2 + FH2 .
r
• Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen:
Beispiel (Abbildung links):
Gegeben sind der Kreisradius r = 5,3 m und J
J
der Abstand a = 2,8 m. Gesucht ist q.
J
J
Lösung (Abbildung rechts):
J r
p
Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der
J
r
J
Länge a ein und erhält damit ein rechtwinkliges
√
J
2
2
2
2 − a2 =
Dreieck
mit
p
+
a
=
r
,
also
p
=
r
J
q
J
a
2
2
J
(5,3 m) − (2,8 m) = 4,5 m.
q Damit ist q = r − p = 0,8 m.
q
q
a
a
• Diagonale im Quadrat
• Höhe im gleichseitigen Dreieck
T
2
2
2
d = a +√
a
h2 + ( a2 )q2 = a2
Ta
√
a
2
d
h T
⇒ d = 2a
⇒ h = a2 − a4 = 23 a
aT
2 T
a
J
J
J
J
J r
J
r
J
J
J
J
J
• Diagonale im Quader
H
2
a2
2
2
B
Betrachte zunächst ∆ABD: Dort ist DB = + b .
2
Betrachte dann ∆HDB: Dort ist HB = DB + h2 .
2
Also ist HB = a2 + b2 + h2 .
B
B
h B
D
• Abstand der Punkte P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ):
P1 P2 =
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
b
A
B
B
@ B
@B
@B B
a
c
a2 + b 2 = c 2
(die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber).
Satz von Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und
der Hypotenuse c gilt
S
S a
S
S
S
S
S
b
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