S S S S c Wichtige Anwendungen: • Auflösen der Formel a2 + b2 = c2 nach c bzw. a: √ √ a = c 2 − b2 c = a2 + b 2 (Diese Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a + b bzw. c − b) • Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen: Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A = 12 chc eine weitere Formel für die Fläche des Dreiecks: A = 21 ab c b • Anwendung in der Physik: t S SFN FG S w S F H = ? s a In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s, FH kt, FN ⊥t und FG ⊥r. Im großen äußeren Dreieck gilt r2 + s2 = t2 . Im kleinen inneren Dreieck ist FN ⊥FH und daher FG2 = FN2 + FH2 . r • Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen: Beispiel (Abbildung links): Gegeben sind der Kreisradius r = 5,3 m und J J der Abstand a = 2,8 m. Gesucht ist q. J J Lösung (Abbildung rechts): J r p Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der J r J Länge a ein und erhält damit ein rechtwinkliges √ J 2 2 2 2 − a2 = r Dreieck mit p + a = r , also p = J q J a 2 2 J (5,3 m) − (2,8 m) = 4,5 m. q Damit ist q = r − p = 0,8 m. q q a a • Diagonale im Quadrat • Höhe im gleichseitigen Dreieck T 2 2 2 d = a +√ a h2 + ( a2 )q2 = a2 Ta √ a 2 d h T ⇒ d = 2a ⇒ h = a2 − a4 = 23 a aT 2 T a J J J J J r J r J J J J J • Raumdiagonale im Quader H 2 a2 2 2 B Betrachte zunächst ∆ABD: Dort ist DB = + b . 2 Betrachte dann ∆HDB: Dort ist HB = DB + h2 . 2 Also ist HB = a2 + b2 + h2 . B B h B B B D b • Abstand der Punkte P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ): P1 P2 = q (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 A @ B @B @B B a a2 + b 2 = c 2 (die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber). S a S Satz von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c gilt b S 9 03 www.strobl-f.de/grund93.pdf 9. Klasse TOP 10 Grundwissen Pythagoras