Der fraktionale Quanten-Hall

Quantenhalleffekt ganzzahlig und fraktional
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Outline
• Phänomen
• Landauniveaus und Entartung
• Ganzzahliger Quantenhalleffekt (IQHE)
• Störstellen und Lokalisierung
• Fraktionaler Quantenhalleffekt (FQHE)
• Laughlin-Wellenfunktion
• Verbundteilchen
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Phänomen der Halleffekte
Versuchsaufbau (schematisch)
Voraussetzungen:
• 2D Elektronengas
• T ∼ 1, 0 K
• B ∼ 150 kG
• reine Proben
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Klassisch
~j = σ ( B)~E
~E = ρ( B)~j
Ohmsches Gesetz:
⇒
Leitfähigkeitstensor:
σ ( B) =
Widerstandstensor:
ρ( B) =
σ xx σ xy
−σ xy σ xx
ρ xx
−ρ xy
ρ xy
ρ xx
=
1
2 +σ 2
σ xx
xy
σ xx
σ xy
−σ xy
σ xx
Klassische Erwartung:
Kräftegleichgewicht:
⇒
⇒
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Ey =
vx
c B
−ρ xy
= ρ0Bec j x
= ρB0⊥ec
ρ xy ∼
B
ρ0
Quantenhalleffekt
Beobachtung
• Der Hallwiderstand auf den Stufen beträgt EXAKT R H = −ρ xy =
• Plateau in ρ xy ⇒ Minimum in ρ xx ;
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1 h
ν e2
Leitfähigkeit σ verhält sich wie Widerstand ρ
Quantenhalleffekt
Landau-Niveaus
Freies Elektronengas in 2D im homogenen Magnetfeld ~B = B⊥ ebz
~ (~r) = (0, B⊥ x, 0)
Vektorpotential A
Hamiltonian: H
1
~ )2
p + ce A
2me (~
1
1
2
2
2
2
2me p x + 2 me ωc ( x + l B k y )
⊥
ωc = eB
me c Zyklotronfrequenz;
=
=
lB =
}c
eB⊥
magnetische Länge
⇒ Harmonischer Oszillator mit Energieniveaus En = }ωc (n + 12 )
unabhängig von p y ⇒ bezüglich p y entartet:
periodische Randbedingungen: p y =
Entartung: g =
W
max
2π } ( p y
2π }
W
· s, s ∈ Z
− pmin
y )
Teilchen eingeschlossen in Kasten mit Seitenlängen L und W:
⇒ − L2 ≤ x ≤ L2
⇒ x + eBc p y − L2 ≤ eBc p y ≤ x + eBc p y + L2
⊥
⊥
⊥
⇒ Entartung für jedes Landauniveau: g( B⊥ ) =
=
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eLW
2π }c B⊥
e
hc Φ
=
Φ
ΦD
= NΦ
Quantenhalleffekt
Füllfaktor und Inkompressibilität
Füllfaktor:
ν
=
Anzahl Elektronen
Anzahl Pl ätze pro Landauniveau
=
N
g
=
N
NΦ
⇒ Füllfaktor gibt an, wieviele magnetische Flußquanten auf ein Elektron fallen
ν = n, n ∈ N ⇒ n Landauniveaus komplett gefüllt
⇒ für Anregung Energie }ωc benötigt
⇒ Inkompressibilität
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Quantenhalleffekt
Ganzzahliger Quantenhalleffekt
Randbedingung 1
Responsefunktion: ~E = σ~j
Strom j x in x-Richtung
kein Abgriff des Hallstromes ⇒ Hallspannung ⇒ Kräftegleichgewicht
ν magisch
⇒ σ xx
⇒ Ey
⇒ Ex
=
0
= − j x /σ xy
=
0
d.h. kein Feld in x-Richtung zur Aufrechterhaltung des Stromes nötig ⇒ Stromfluß ideal
Erklärung:
Landauniveaus komplett gefüllt oder leer ⇒ Inkompressibilität ⇒ keine Streuung möglich
Kräftegleichgewicht
⇒ keine Elektronen durch Magnetfeld abgelenkt
⇒ Stromfluß erfolgt in x-Richtung ideal
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Quantenhalleffekt
Ganzzahliger Quantenhalleffekt
Randbedingung 2
Responsefunktion: ~j = ρ~E
Feld E x in x-Richtung
Abgriff des Hallstromes ⇒ keine Hallspannung ⇒ kein Kräftegleichgewicht
ν magisch
⇒ σ xx
⇒ jy
⇒ jx
=
0
= − E x /σ xy
=
0
d.h. bei angelegtem Feld E x nur Stromfluß in y-Richtung ⇒ Stromfluß ideal
Erklärung:
Landauniveaus komplett gefüllt oder leer ⇒ Inkompressibilität ⇒ keine Streuung möglich
⇒ alle Elektronen durch Magnetfeld abgelenkt
⇒ kein Stromfluß in x-Richtung
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Plateaus
ν∼
1
B⊥
⇒ R H ∼ B⊥
⇒ R H linear in B⊥
⇒ keine Stufen!
Lokalisierung durch Störstellen:
Nur Elektronen in ausgedehnten Zuständen tragen zum Strom bei
⇒ für ν ≈ n ist der Strom der gleiche wie für ν = n
⇒ Plateau um ν = n
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Quantenhalleffekt
Fraktionaler Quantenhalleffekt
Füllfaktor :
ν=
1
m,
⇒ Landauniveau nur zu
m ∈ N,
1
m
m ungerade
gefüllt
⇒ es gibt genug Zustände, in die gestreut werden kann
⇒ keine Inkompressibilität
Aber man sieht dennoch Stufen
Lösung:
Die Wechselwirkung zwischen den Elektronen spielt eine Rolle
⇒ Entartung aufgehoben
⇒ Inkompressibilität
2 Modelle:
1. Laughlin-Wellenfunktion und Plasma-Analogon
2. Verbundteilchen
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Quantenhalleffekt
Elektronen mit Wechselwirkung
1
~ )2
Ein Elektron in 2D im Magnetfeld:
H = 2m
(~p + ce A
e
~ = B⊥ ( yebx − xeby )
symmetrische Eichung:
A
q 2
}c = 1
Einheiten, in denen
l B = eB
⊥
Eigenzustände von H:
1
1
1
exp( ( x2 + y2 ))(∂ x − i∂ y )m (∂ x + i∂ y )n exp(− ( x2 + y2 ))
4
2
2m+n+1 π m!n!
Im niedrigsten Landauniveau mit z = x − iy
|m, ni = √
|m, n = 0i ≡ |mi = √
2 Elektronen:
H=
1
2m+1 πm!
1
· zm exp(− | z|2 )
4
1
e~ 2
1
e~ 2
e2
( p~1 + A
( p~2 + A
1) +
2) +
2me
c
2me
c
r12
Separation in Schwerpunktskoordinaten z =
Hint =
z1 + z2
2
und Relativkoordinaten z a =
z1√
− z2
:
2
1
e~ 2
1
(~
pa + A
a) + √
2me
c
2r a
Eigenfunktion im niedrigsten Landauniveau: Ψ = ( z1 − z2 )m exp(− 14 (| z1 |2 + | z2 |2 ))
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Quantenhalleffekt
Laughlins Wellenfunktion
Laughlin generalisierte auf N Teilchen wie folgt:
N-Teilchen Hamiltonian:
N
H=
e
∑ {|~p j + c A~ j |2 + V (z j )} + e2 ∑
j=1
k< j
1
| z j − zk |
N-Teilchen Wellenfunktion im Grundzustand:
Ψ = { ∏ f ( z j − zk )} exp(−
j<k
1
4
∑ | zl |2 )
l
Minimierung der Energie bezüglich f liefert:
• Elektron im niedrigsten Landauniveau ⇒ f ( z) ist Polynom in z
• Antisymmetrie der Wellenfunktion ⇒ f ( z) ist ungerade
• Drehimpulserhaltung ⇒
∏ j<k f ( z j − zk ) ist homogenes Polynom vom Grad M =
⇒ f ( z) = zm
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m
2 N(N
− 1)
mit m ungerade
Quantenhalleffekt
Plasmaanalogon
|Ψm |2 = |{ ∏ ( z j − zk )m } exp(−
j<k
mit
1
4
∑ |zl |2 )|2 ≡ exp(−βHm )
l
Hm = − ∑ j<k m2 ln | z j − zk | + 14 m ∑l | zl |2
und
β=
2
m
Potential eines Systems mit
• N identischen Teilchen der Ladung q
• einem einheitlichen, neutralisierenden Hintergrund der Ladungsdichte σ =
1
2πl B2
• Wechselwirkung untereinander über logarithmisches Potential
VOCP (r) = −q2
1
∑ ln r jk + 2 πσq ∑ r2j
j
j<k
Vergleich von Hm und VOCP ⇒
Hm ist Hamiltonian eines 2D Plasmas mit Ladungsdichte
Monte-Carlo ⇒ OCP=
b
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hexagonaler Kristall
Flüssigkeit
σ=
für
m
>
<
1
2πl B2
70
Quantenhalleffekt
Quasiteilchen
Laughlin:
Das 2D Elektronengas ist eine inkompressible Quantenflüssigkeit deren elementare Anregungen Quasiteilchen der Ladung ± me sind.
m−mal
z
}|
{
Ψm = {∏ j<k ( z j − zk ) · . . . · ( z j − zk )} exp(− 14 ∑l | zl |2 )
| {z }
1
m − Elektron
Verändere Magnetfeld:
schicke bei z0 durch einen unendlich dünnen Solenoid adiabatisch ein Flußquant Φ D =
(−)
Ψm
= ∏( z j − z0 ) ∏ ( z j − zk )m exp(−
j
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j<k
1
4
hc
e
∑ | zl |2 )
l
Quantenhalleffekt
Quasilöcher
(−)
(−)
|Ψm |2 = exp(−βHm )
mit
(−)
Hm
= Hm − m ∑ j ln | z j − z0 |
Hamiltonian eines OCP mit extra repulsiver Phantompunktladung bei z0
Ladung: m1 -faches der Ladungen des Plasmas
⇒ Plasma neutralisiert Phantom durch Abziehen von
1
m
Ladung nahe z0
Ladung der Plasmateilchen: −e ⇒ Phantom hat Ladung + me
⇒ elementare Anregung ist Quasiloch mit fraktionaler Ladung
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Quantenhalleffekt
Quasielektronen
Schicke bei z0 Flußquant Φ D = − hc
e durch Flüssigkeit
Schwieriger, da man ein Flußquant rausnehmen muß:
(+)
Ψm
N
=
1
∏ (exp(− 4 |z j |2 )(2∂ j − z∗0 )) ∏(zl − zk )m
j=1
l <k
− me
⇒ Phantom hat Ladung
⇒ elementare Anregung ist Quasielektron mit fraktionaler Ladung
Quasiteilchen geladene Objekte ⇒ werden an Störstellen gefangen ⇒ Plateau
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Quantenhalleffekt
Anyons
Austausch zweier identischer Teilchen ⇒ Wellenfunktion erhält Phasenfaktor:
Ψ (~
r2 , r~1 ) = eiαπ Ψ (~
r1 , r~2 )
Zweifaches Tauschen ⇒ geschlossener Loop
In 3D: stetiges Schrumpfen auf einen Punkt möglich, Eindeutigkeit ⇒ e2iαπ = 1
In 2D: Teilchen IM Loop ⇒ stetiges Schrumpfen nicht möglich ⇒ Phase α beliebig: Anyon
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Statistische Transmutation
Lagrangian von N Fermionen/Bosonen :
L0 =
M
2
N
d~xr
∑ ( dt )2 − V (~x1 , . . . , ~x N )
r=1
Teilchen → Anyons: Einführen einer statistischen Wechselwirkung:
L = L0 − α } ∑
r<s
~pr =
d
dt
Θ (~xr − ~xs )
| {z }
=^(~xr −~xs , x− Achse)
δL
~ (~xr )
= M~x˙ r − eC
δ~x˙ r
mit
Ck (~xr ) =
α}
e
∑s ∂k Θ (~xr − ~xs )
⇒
H
≡ ∑rN=1 ~pr · ~x˙ r − L
=
1
2M
~ (~xr ))2 + V (~x1 , . . . , ~x N )
∑rN=1 (~pr + ce C
~ (~x) und Ladung e
d.h. minimale Kopplung mit Chern-Simons-Feld C
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Verbundteilchen
in Analogie zur Elektrodynamik:
H
R 2
1
~ − eC
~ + eC
~ )φ† ( x)(−i}∇
~ )φ( x) + V (~x)φ† ( x)φ( x))
d x( 2M
(−i}∇
1 R 2 R 2
†
†
=
+
2
d x d yφ ( x)φ ( y)U (|~x − ~y|)φ( x)φ( y)
mit φ( x) Verbundboson-/Verbundfermionfeld
Constraint:
2απ } †
jk ∂ j Ck ( x) =
φ ( x)φ( x)
e
zugehöriger Lagrangian:
1
L =
d2 x[φ† ( x)(i}∂t + eC0 ( x))φ( x) − 2M
φ† ( x)(i}∂k − eCk ( x))2φ( x)]
R 2 †
1 R 2 R 2
−
d xφ ( x)V ( x)φ( x) − 2 d x d yφ† ( x)φ† ( y)U (|~x − ~y|)φ( x)φ( y)
R
e2
− 4απ } µνλ d2 xCµ ( x)∂ν Cλ ( x)
R
kanonische Kommutatorrelationen:
[φ(t, ~x), φ(t, ~y)]± = [φ† (t, ~x), φ† (t, ~y)]± = 0
[φ(t, ~x), φ† (t, ~y)]± = δ (~x − ~y)
d.h. wir haben eine Feldtheorie für Anyons konstruiert, durch Benutzung des Verbundteilchenfeldes und des Chern-Simon-Feldes.
⇒ Anyon ist ein Verbundteilchen mit Chern-Simons-Fluß
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Elektronen und Verbundteilchen
Elektronen in 2D sind Anyons ⇒
Elektron: gebundener Zustand von Verbundteilchen und Chern-Simons-Fluß
⇒ System von Elektronen im Magnetfeld ist System von Verbundteilchen in magnetischem
und Chern-Simons Fluß
⇒ Verbundteilchen erfahren effektives magnetisches Feld:
ef f
B⊥ ≡ B⊥ − m̃Φ D ρ0
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
FQHE und Verbundbosonen
Füllfaktor ν =
1
2p+1
d.h. auf ein Elektron fallen 2p + 1 magnetische Flußquanten
Elektron: Verbundboson mit m̃ = 2p + 1 Chern-Simons-Flußquanten
ef f
⇒ B⊥ = (2p + 1)Φ D ρ0 − (2p + 1) Φ D ρ0 = 0
|
{z
} | {z }
B⊥
m̃
⇒ Verbundbosonen erfahren kein Magnetfeld
⇒ Bose-Kondensat
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
FQHE und Verbundfermionen
Füllfaktor ν = 2p1+1 d.h. auf ein Elektron fallen 2p + 1 magnetische Flußquanten
Elektron: Verbundfermion mit m̃ = 2p Chern-Simons-Flußquanten
ef f
⇒ B⊥ = (2p + 1)Φ D ρ0 − (2p)Φ D ρ0 = ρ0Φ D =
⇒ νe f f =
2π }ρ0
ef f
eB⊥
B⊥
2p + 1
= (2p + 1)ν = 1
⇒ auf ein Verbundfermion fällt ein magnetisches Flußquant
⇒ der FQH-Zustand von Elektronen bei ν = 2p1+1 ist
der IQH-Zustand von Verbundfermionen bei νe f f = 1
⇒ fettes “Elektron besetzt (2p + 1)-Landauplätze
”
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt
Zusammenfassung
Quantisierung des Widerstandes in Einheiten
h
:
e2
• Ganzzahliges Vielfaches ⇒ IQHE ⇒ gefüllte Landaulevel ⇒ inkompressibles System
⇒ idealer Stromfluß
• fraktionales, ungerades Vielfaches ⇒ FQHE ⇒
1. Laughlins Wellenfunktion ⇒ Plasmaanalogon ⇒ elementare Anregungen sind
geladene Quasiteilchen mit fraktionaler Ladung
2. Verbundbosonen ⇒ effektives magnetisches Feld = 0 ⇒ Bosekondensat
3. Verbundfermionen ⇒ IQHE mit fetten “Elektronen
”
Sinn und Zweck
• von Klitzing-Konstante:
RK = eh2 ≈ 25812, 80700 Ω
Widerstandsnormal mit einer Genauigkeit von über 10−9
• Präzessionsmessung der Feinstrukturkonstanten α =
⇒ dient seit 1990 als
e2
2hc
• Technische Systeme immer kleiner ⇒ Quanteneffekte spielen immer größere Rolle
Elisabeth Jambor
Quantenhalleffekt