Theoretische Festkörperphysik WS 2002/03

Stichworte und Formeln zur Vorlesung
Theoretische Festkörperphysik
Heinz Horner
Institut für Theoretische Physik
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
WS 2002/2003
Inhalt
I GRUNDLAGEN
1
1
Lehrbücher
1
2
Ziele und Methoden
1
3
Beschreibung idealer Kristallstrukturen
3.1 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bragg Streuung, reziprokes Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
II EINTEILCHENZUSTÄNDE UND
ELEMENTARANREGUNGEN
4
5
Elektronen im periodischen Potential
4.1 Bloch Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Fast freie Elektronen . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Stark gebundene Elektronen . . . . . . . . . . .
4.4 Orthogonalisierte ebene Wellen, Pseudopotentiale
I
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5
5
6
7
9
5
6
Phononen in harmonischer Näherung
5.1 Adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Phononen im Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lineare Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Langwelliger Grenzfall, Schall . . . . . . . . . . . .
5.6 Inelastische Streuung von Neutronen oder γ-Quanten
5.7 Inkohärente Streuung, Mössbauer-Effekt . . . . . . .
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Spinwellen in Ferromagneten
10
10
11
12
15
16
17
20
21
III STATISTISCHE PHYSIK VON QUASITEILCHEN
22
7
Phononen (Bosonen)
7.1 Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Zustandssumme, Freie Energie, Spezifische Wärme . . . . . . . . . . . .
7.3 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
25
8
Elektronen (Fermionen)
8.1 Besetzungszahldarstellung für Fermionen .
8.2 Großkanonische Gesamtheit, Grundzustand
8.3 Spezifische Wärme bei tiefen Tempeaturen
8.4 Elektrische Leitfähigkeit, Wärmeleitung . .
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31
31
32
33
35
Halbleiter
9.1 Intrinsische Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Dotierte Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 p-n-Übergang, Diode, Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
42
9
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10 Tieftemperatureigenschaften von Gläsern
47
IV WECHSELWIRKENDE ELEKTRONEN IN METALLEN
50
11 Hartree-Fock Theorie
11.1 Variationsrechnung, Hartree-Fock Gleichungen
11.2 Elektronen in einem homogenen Potential . . .
11.3 Abschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) . . .
11.4 Optische Eigenschaften, Plasmaschwingungen .
11.5 Fermi-Flüssigkeit (Landau-Theorie) . . . . . .
50
50
52
54
55
56
II
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12 Supraleitung
12.1 Phononinduzierte Wechselwirkung
12.2 BCS-Grundzustand . . . . . . . .
12.3 Angeregte Zustände, Quasiteilchen
12.4 Ginzburg-Landau Theorie . . . . .
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58
58
59
62
64
13 Elektronen im Magnetfeld
13.1 Einteilchenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Hall Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Quantisierter Hall Effekt, von Klitzing Effekt . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
71
71
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III
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I GRUNDLAGEN
1
Lehrbücher
N. Ashcroft, D. Mermin: Solid State Physics (Holt, Rinchard, Winston)
C. Kittel: Introduction to Solid State Physics (John Wiley / Oldenurg)
C. Kittel: Quantum Theory of Solids (John Wiley / Oldenurg)
O. Madelung: Fesrkörperthheorie I+II (Springer)
J. Ziman: Electrons and Phonons (Oxford Clarendon Press)
J. Ziman: Principles of the Theory of Solids (Cambridge Univ. Press)
W. Ludwig: Festkörperphysik I+II (Akademie Verlagsges. Frankfurt)
S. Hunklinger, C. Enss: Festkörperphysik (Skriptum)
F. Wegner: Theoretische Festkörperphysik (Skriptum)
2
Ziele und Methoden
Festkörper:
Kristalle (ideal, gestört, ungeordnet, polykristallin)
Gläser, Polymere, amorphe Substanzen
Niedrigdimensionale Systeme (Schichten, quasi-eindimensionale Systeme)
Mesoskopische Systeme
Flüssige Kristalle, Gele ...
Eigenschaften:
Mechanisch (Elastizität, Plastizität, Härte, Sprödigkeit, Ultraschall)
Optisch (Transparent, absorbierend, reflektierend ...)
Elektrisch (Isolator, Ferroelektrikum, Halbleiter, metallischer Leiter, Supraleiter)
Magnetisch (Diamagnet, Paramagnet, Ferromagnet, Antiferromagnet, Spinglas)
Thermisch (Spezifische Wärme, Wärmeleitung)
Phasenumwandlungen (Schmelzen, Erstarren, magnetische Phasenumwandlung ...)
Oberflächen, Grenzflächen, mesoskopische Systeme, Defekte (Farbzentren) ...
Theorie:
Quantenmechanik (nichtrelativistisch)
Statistische Physik (klassisch und quantenmechanisch, Transporttheorie)
Spezielle Modelle zur Beschreibung von Teilaspekten
Vereinfachungen, Idealisierungen
Kristallsymmertien (Translationen)
Zeitskalen (Elektronen ∼ 10−16 sec, Ionen ∼ 10−13 sec, Transport 1 · · · 10−6 sec)
Tiefe Temperaturen (Schwach wechselwirkende Quasiteilchen)
1
3
3.1
Beschreibung idealer Kristallstrukturen
Gitter
Periodische Anordnung
identischer Objekte.
R
a2
Gittervektor:
i =
R
3
ni,α aα
(3.1)
α=1
a1
ni,α ganzzahlig
Basisvektoren: a1 a2 a3
Beachte:
Die
Wahl
der
Basisvektoren
ist
nicht
eindeutig, in nebenstehender
Figur ist z.B. a 2 = a2 − a1
auch möglich.
Voronoi Zellen (für eine beliebige Menge von Punkten in d-dimensionalem Raum):
i so daß für alle r ∈ Zi : |r − R
i | < |r − R
| für alle = i.
Zelle Zi um Punkt am Ort R
Primitives Gitter: Jede Voronoi Zelle hat die gleiche Form und Orientierung.
Sie wird als Wigner-Seitz Zelle bezeichnet.
Volumen der Wigner-Seitz Zelle: v = |a1 · a2 × a3 |
Deckoperationen: Translationen um Gittervektor, Spiegelungen, Drehungen.
Nichtprimitives Gitter:
Beispiel hexagonales Gitter. Es entspricht einem primitiven Gitter mit zwei
Punkten pro Elementarzelle.
Deckoperationen:
Translationen um
Gittervektor, Spiegelungen, Drehungen,
zusätzlich Gleitspiegelungen ...
a2
a1
a2
Beispiel N aCl-Struktur:
Zwei Atome pro Elementarzelle.
a1
Allgemein:
Gitter mit L Atomen pro
Elementarzelle
1 14.10.02
Position eines Atoms “
” in der Zelle “i”:
i, =
R
3
ni,α aα + s
α=1
2
(3.2)
Beispiel:
Kubisch flächenzentriertes Gitter (dichteste
Kugelpackung)
kubisch raumzentriertes Gitter
3.2
Bragg Streuung, reziprokes Gitter
Typischer Wert für Gitterkonstante ∼ 0.3 · · · 1 nm =
ˆ 3 · · · 10 Å
Streuung von Licht (γ) oder Teilchen zur Bestimmung der Kristallstruktur
Wellenlänge λ und Wellenvektor k
100
λ [nm]
λ=
Elektronen
10
Licht (γ)
(3.3)
Energie: Licht
Neutronen
1.0
2π
|k|
E(k) = h̄ω = h̄ c |k|
0.1
(3.4)
Teilchen:
0.01
0.1
1
1 10 100
meV
1
10 100
eV
10 100 1000
ºK
1
10 100
KeV
h̄2 k 2
E(k) =
2m
E(k)
(3.5)
Elastische Streuung an einem Potential:
Energieerhaltung:
h̄2 k 2
h̄2 k 2
=
2m
2m
|k| = |k |
Detektor
(3.6)
Quelle
k´
k
Einlaufende Welle
ϕ(r) = ei k·r
ϑ
(3.7)
Gestreute Welle in Born’scher Näherung, mit k = |k| und r = |r|
eikr
ψ̂(ϑ)
r
Streuquerschnitt:
ψ(r) = −
ψ̂(ϑ) =
m 3 i(k−k )·r dr e
V (r )
2πh̄2
2
dσ
(ϑ) = ψ̂(ϑ)
dΩ
3
(3.8)
(3.9)
Streuung an einem Kristall:
s-Wellen Streuung an einem Einzelatom “
” mit Streulänge b .
V (r ) =
i, − r )
b δ(R
(3.10)
i,
Mit (3.2)
ψ̂(ϑ) =
m i ni,α (k−k )·aα e α
b ei(k−k )·s
2
2πh̄ i
(3.11)
Konstruktive Interferenz für (k − k ) · aα = 2 n π mit ganzzahligem n.
Reziprokes Gitter:
Konstruiere Basisvektoren b1 b2 b3 so daß
aα · bβ = 2πδαβ
b1 = 2π a2 × a3 = 2π a2 × a3
a1 · a2 × a3
v
···
(3.12)
Brillouin Zone: Entspricht Wigner-Seitz Zelle im reziproken Gitter.
Konstruktive Interferenz für
k − k = τn =
nα bα
(3.13)
α
Elastischer Streuquerschnitt
dσ
δ(k − k − τn ) Fn
(ϑ) ∼ δ(|k| − |k |)
dΩ
n
Formfaktor:
Fn = 2
b eiτn ·s (3.14)
(3.15)
Beachte: τn hängt nur von der Orientierung des Kristalls ab, Fn hängt nicht von der
Orientierung des Kristalls ab.
Anwendung: Monochromator (ϑ fest vorgegeben).
Strukturbestimmung: Messung der Formfaktoren Fn und Rekonstruktion der Positionen
der Atome innerhalb der Einheitszelle.
Problem: Die Rekonstruktion ist nicht eindeutig (inverses Problem), da die Information
über die Phasen der Summe in (3.15) fehlt.
Hilfsmittel:
Variation der individuellen Streulängen z.B. durch Verwendung
verschiedener Isotope bei Neutronenstreuung oder Röntgenstreuung mit Energien in der
Nähe atomarer Absorbtionskanten.
2 16.10.02
4
II EINTEILCHENZUSTÄNDE UND
ELEMENTARANREGUNGEN
4
4.1
Elektronen im periodischen Potential
Bloch Theorem
Hamilton Operator für ein Elektron
p2
+ V (r)
2m
H=
(4.1)
Gitterperiodisches Potential (primitives Gitter)
n)
V (r) = V (r + R
(4.2)
Translationsoperator:
n ) = e h̄i R n ·p
T (R
n ) f (r) T † (R
n ) = f (r + R
n)
T (R
n ) = T (−R
n)
T † (R
n ), p ] = 0
[ T † (R
(4.3)
(4.4)
Ortsdarstellung: p ⇒ −ih̄∇
Übung: Zeige mit Hilfe der Ortsdarstellung, daß (4.3) gilt.
Invarianz des Hamiltonoperators
Gittertranslationen:
mit
periodischem
Potential
gegenüber
2
p2
n ) = p + V (r) = H
+ V (r + R
(4.5)
2m
2m
Dies gilt in einem unendlichen Kristall (Vernachlässigung von Randeffektem) oder bei
periodischen Randbedingungen.
n ), H] = 0 und [T (R
n ), T (R
n )] = 0 können simultane Eigenfunktionen
Wegen [T (R
n ) unitär ist, sind seine Eigenwerte von der Form eiϕ und
gefunden werden. Da T (R
n ) T (R
n ) = T (R
n + R
n ) sind die simultanen Eigenfunktionen von der Form
wegen T (R
n ) H T † (R
n) =
T (R
n ) = eiκ·R n ϕκ (r)
n ) ϕκ (r) = ϕκ (r + R
T (R
(4.6)
Bloch Theorem:
1
ϕκ (r) = √ ei κ·r uκ (r)
V
mit
n ) = uκ (r)
uκ (r + R
(4.7)
n = κ · R
n
κ kann innerhalb der ersten Brillouin Zone gewählt werden, da (κ + τ ) · R
mod 2π.
5
Beispiel: κ = 0, eindimensional.
Stationäre
Schrödingergleichung
für
uκ (r), ist innerhalb der Wigner-Seitz Zelle
mit periodischen Randbedingungen (4.7)
zu lösen.
uk,3(r)
(p + h̄κ)2
+ V (r) uκ, (r) = +κ, uκ, (r)
2m
(4.8)
wobei eine zusätzliche Quantenzahl
(Bandindex) darstellt.
4.2
uk,2(r)
uk,1(r)
Fast freie Elektronen
Beispiel:
fcc–Gitter:
Brillouin Zone =
ˆ
Wigner-Seitz Zelle
des bcc–Gitters
Freie Elektronen in Bloch Darstellung
Wellenvektor k = κ + τ
+κ, =
h̄2 (κ + τ )2
2m
κκκ
κοο
(4.9)
6
5
ϕκ, (r) = ei(κ+τ )·r
1
uκ, (r) = √ eiτ ·r
v
4
(4.10)
3
( 0, 0, 0 )
( 1, 1, 1 )
( 1, 1,-1 ) ( 1,-1, 1 ) (-1, 1, 1 )
( 1,-1,-1 ) (-1, 1,-1 ) (-1,-1, 1 )
(-1,-1,-1 )
( 2, 0, 0 ) ( 0, 2, 0 ) ( 0, 0, 2 )
( -2, 0, 0 ) ( 0,-2, 0 ) ( 0, 0,-2 )
( 2, 2, 0 ) ( 2, 0, 2 ) ( 0, 2, 2 )
2
1
Fast freie Elektronen:
0
Lösungsansatz:
uκ, (r) = eiτ ·r +
( κ, κ, κ )
-0.5
( 0, 0, 0 )
(-1, ±1, ±1 )
( -2, 0, 0 )
( 1, ±1, ±1 )
( 0,±2, 0) ( 0, 0,±2)
( 2, 0, 0)
( -2,±2, 0) ( -2, 0,±2)
(-3, ±1, ±1 )
0
0.5
a,m eiτm ·r
( κ, 0, 0 )
1
(4.11)
m (=)
Berechne Matrixelement mit (4.8)
+ κ)2
1 3 −iτn ·r h̄2 (−i∇
d re
+ V (r) − +κ, uκ, (r) = 0
v v
2m
Mit
Vn,m
1 3 −i(τn −τm )·r
=
d re
V (r)
v v
(4.12)
(4.13)
und (4.11)
h̄2
(κ + τn )2 − +κ, δ,n + a,n + V,n +
a,m Vm,n = 0
2m
m (=)
6
(4.14)
Störungsrechnung für schwaches Potential (nicht entartet):
0. Ordnung:
(0)
a,n
(0)
+κ,
=0
h̄2
(κ + τ )2
=
2m
(4.15)
1. Ordnung:
V,n
(1)
a,n =
(0)
+κ,
−
2. Ordnung:
(2)
+κ,
=
(1)
+κ,
+
(1)
(0)
+κ, = +κ, + V,
(0)
+κ,n
(1)
a,m Vm,
=
(1)
+κ,
−
m(=)
(4.16)
|V,m |2
m(=)
+κ,m − +κ,
(0)
(0)
(4.17)
Entartete Störungsrechnung (2-fach entartet oder fast entartet)
Es sei +κ, ≈ +κ, . m = , werde vernachlässigt.
(1)
(1)
Gl.(4.14) für n = b.z.w. n = :
(1)
+κ, − +κ, + a, V , = 0
(1)
V, + +κ, − +κ, a, = 0
(4.18)
Lösung:
(1)
(1)
(+κ, − +κ, )(+κ, − +κ, ) − |V, |2 = 0
(1)
(1)
+κ, = 12 (+κ, + +κ, )
(4.19)
(4.20)
±
1 (1)
(+
4 κ,
(1)
− +κ, )2 + |V, |2
(κ,κ,κ)
Aufhebung der Entartungen.
4.3
(κ,0,0)
3 22.10.02
Stark gebundene Elektronen
LCAO (Linear combination of atomic orbitals)
Freies Atom:
◦ ◦
◦ ◦
p2
(4.21)
+ V (r)
H ϕn,µ (r) =E n ϕn,µ (r)
2m
Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl µ = {l, m, s}.
Entwicklung der Blochfunktionen nach Atomorbitalen an jeweiligen Gitterpunkten.
= 0) bilden
Beachte: Die Lösungen des atomaren Problems an einem Gitterpunkt (z.B. R
bereits eine vollständige Basis, allerdings unter Einbeziehung von Kontinuumszuständen.
In der LCAO werden nur gebundene Zustände berücksichtigt, dafür aber solche an jedem
◦
H=
7
Gitterpunkt.
iκ·
r
ϕκ,n,λ (r) = e
aκ,n,λ,µ
◦
i)
ϕn,µ (r − R
µ
+
i
bκ,n,m,λ,µ
m(=n) µ
◦
i)
ϕm,µ (r − R
(4.22)
i
Berechne Matrixelement von (4.8) mit atomaren Zustand:
3
dr
◦∗
ϕn,µ
mit
p2
i ) − +κ,n ,λ ϕκ,n ,λ (r) = 0
(r)
V (r − R
+
2m
i
◦
p2
i ) =H +
i)
V (r − R
V (r − R
+
2m
i
i(=0)
Es sei
◦∗
d3 r ϕn,µ (r)eiκ·r
(4.23)
(4.24)
◦
i ) = δn,n δµ,µ + Sκ,n,n ,µ,µ
ϕn ,µ (r − R
(4.25)
i
und
◦∗
d3 r ϕn,µ (r)eiκ·r
j)
V (r − R
◦
i ) = Wκ,n,n ,µ,µ
ϕn ,µ (r − R
(4.26)
i
j(=0)
Stark lokalisierte Elektronen (innere Schalen):
◦
Sκ,n,n ,µ,µ 1
Wκ,n,n ,µ,µ E n
(4.27)
Beschränkung auf ein Band: bκ,n,m,λ,µ aκ,n,λ,µ
Eigenwertgleichung für +κ,n,λ :
◦
E n −+κ,n,λ
δµ,µ + Sκ,n,n,µ,µ + Wκ,n,n,µ,µ aκ,n,λ,µ = 0
(4.28)
µ
Speziell für ein nicht entartetes Band:
◦
+κ,n =E n +
Wκ,n,n
1 + Sκ,n,n
(4.29)
2p
Schwache
Dispersion
für
stark
lokalisierte atomare Orbits (z.B. f Elektronen
in
Übergangsmetallen),
Starke Dispersion z.B. für s-Orbitale.
2s
1s
0
8
κ
BZ
4.4
Orthogonalisierte ebene Wellen, Pseudopotentiale
Leitungsbänder (LCAO ist hierfür nicht brauchbar)
Ebene Welle: | κ Core Zustände (LCAO): |ϕ̄n (κ)
OPW-Ansatz:
|ϕ (κ) = | κ −
|ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)| κ (4.30)
n(<)
ϕl(k,r)
r
Energie:
+ (κ) = ϕ (κ)|H|ϕ (κ) ≈
h̄2 κ2
:
2m
h̄2 κ2 ◦
+ E
2m
(4.31)
◦
Beitrag der “glatten” Bereiche E : Beitrag im “Core”-Bereich.
Pseudopotentiale:
Verallgemeinerter OPW-Ansatz mit zunächst freien Parametern bn :
|ϕ (κ) = | κ −
bn |ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)| κ (4.32)
n(<)
Stationäre Schrödinger-Gleichung:
H |ϕ (κ) = H | κ −
bn H |ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)| κ n(<)
= H | κ −
bn +n (κ) |ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)| κ n(<)
= + (κ) | κ −
bn |ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)| κ (4.33)
n(<)
Äquivalente Schrödinger-Gleichung:
H + Vc + (κ)
| κ = + (κ) | κ (4.34)
mit nichtlokalem energieabhängigen“Pseudopotentialen”
Vc (+) =
bn + − +n (κ) |ϕ̄n (κ) ϕ̄n (κ)|
(4.35)
n(<) ◦
i
Näherung: Lokale Atomorbitale | ϕ n(i) am Gitterplatz R
Vc (+) ≈
◦
bn +− E n
◦
◦
ϕ (i)
| ϕ (i)
n n )|
(4.36)
i
n(<)
bn können angepaßt werden, Pseudopotentiale sind “atomare Eigenschaft”.
Anwendung z.B. Legierungen.
Mit (4.34) und (4.36) erhält man “fast freie Elektronen” auch für Leitungselektronen.
4 24.10.02
9
5
5.1
Phononen in harmonischer Näherung
Adiabatische Näherung
Problem: Separation der elektronischen Freiheitsgrade und der Vibrations- (Rotations-)
Freiheitsgrade in Festkörpern und Molekülen.
i
Kerne (Ionen): Masse Mi , Impuls Pi , Ort X
Elektronen: Masse m, Impuls p , Ort x
Beachte: Mi m i.e. bei gleicher Energie ist die typische Geschwindigkeit der
Elektronen groß gegen die der Kerne.
Hamiltonoperator von Elektronen und Kernen
H =
i
+
Pi2
i − X
j)
+ 12
V (X
2Mi
i,j
p2
i − x ) + 1
W (X
v(x − x )
+
2
2m
i
,
(5.1)
“Elektron-Hamiltonoperator” mit Kernpositionen als Parameter:
Hel (p, x; X) =
p2
i − x ) + 1
+
W (X
v(x − x )
2
2m
i
,
(5.2)
Schrödingergleichung für Elektronen (bei festen X)
Hel (p, x; X) ϕn (x; X) = +(X) ϕn (x; X)
(5.3)
Zeitabhängige Schrödingergleichung für zeitabhängige X(t)
∂
ϕ(x, t) = Hel (p, x; X(t))ϕ(x, t)
∂t
(5.4)
ϕ(x, t) ≈ e− h̄ n (X(t))t ϕn (x; X(t))
(5.5)
ih̄
Ansatz:
i
Zeitabhängige Schrödingergleichung
ih̄
∂ − i n (X(t))t
e h̄
ϕn (x; X(t)) =
∂t
d
i
Xi (t) · ∇Xi e− h̄ n (X(t))t ϕn (x; X(t))
= +n (X(t)) + ih̄
dt
i
≈ Hel (p, x; X(t)) e− h̄ n (X(t))t ϕn (x; X(t))
i
(5.6)
Abschätzung des Fehlers:
h̄2 k2
Typische Wellenlänge der Elektronen: λel = 2π/kel . Typische Energie: +el ≈ 2mel .
Typische Geschwindigkeit ẋel ≈ h̄kmel . Korrektur ∼ mẋẊ +el für Ẋ ẋ.
Typische Energie der Kernbewegung EK ≈ 12 M Ẋ 2 . Adiabatische Näherung ist
m
gut für +el M
EK . Die adiabatische Näherung ist nicht gut für (fast) entartete
Elektronenzustände (konische Durchschneidungen in Molekülsystemen).
10
Ansatz für Gesamtwellenfunktion:
Ψ(x, X) = ϕn (x; X) Φ(X)
(5.7)
Schrödingergleichung:
H Ψ(x, X) =
i
Pi2
i − X
j ) + Hel (p, x; X) ϕn (x; X) Φ(X)
+ 12
V (X
2Mi
i,j
= ϕn (x; X)
i
−
h̄2 i
Mi
Pi2
i − X
j ) + +n (X) Φ(X)
+ 12
V (X
2Mi
i,j
X Φ(X) +
X ϕn (x; X) · ∇
∇
i
i
1
2
∇X2i
ϕn (x; X) Φ(X)
≈ ϕn (x; X)Hph (P, X) Φ(X)
Korrektur in (5.8) ist klein für +el m
M
(5.8)
EK .
Effektiver Hamiltonoperator für Kernbewegung (Phononen)
Hph (P, X) =
i
mit
1
2
W (X) =
Pi2
+ W (X)
2Mi
(5.9)
i − X
j ) + +n (X)
V (X
(5.10)
i,j
5.2
Harmonischer Oszillator
1-dimensionale Bewegung in einem Potential V (x)
V(x)
2
H=
p
+ V (x)
2m
(5.11)
Entwicklung des Potentials um Ruhelage R
V (x)
V (R) = V0
x=R
=0
V (x)
x=R
=Φ
(5.12)
x
R
Auslenkung u = x − R. Harmonische Näherung: O(u3 ) vernachlässigt:
H=
p2
+ V0 + 12 Φ u2
2m
(5.13)
Auf- und Absteige-Operatoren:
a=
mω
i
p
u+ √
2h̄
2h̄m ω
Mit [p, u] = −ih̄
†
a =
[a, a† ] = 1
11
mω
i
p
u− √
2h̄
2h̄m ω
(5.14)
(5.15)
Mit (5.14)
u=
Mit ω =
h̄ †
a +a
2m ω
p=i
Φ/m
h̄m ω †
a −a
2
(5.16)
H = h̄ ω a† a + 12 ) + V0
(5.17)
Grundzustand: |0 mit H|0 = E0 |0 mit E0 > V0 .
Betrachte den Zustand a|0:
H a |0 = a H − h̄ω |0 = E0 − h̄ω a |0
(5.18)
Damit wäre |0 nicht mehr Grundzustand, es sei denn a|0 ist nicht physikalisch. Dies
ist der Fall für a|0 = 0, da dieser Zustand dann keine endliche Norm besitzt.
Grundzustand:
H |0 =
1
h̄ ω
2
+ V0 |0
Angeregte Zustände
E0 = 12 h̄ ω + V0
|n = cn a†
Mit (5.15)
n
|0
H a† = a† H + h̄ ω
und
(5.19)
(5.20)
(5.21)
H |n = En |n = (n + 12 )h̄ ω + V0 |n
Besetzungszahloperator: n̂ = a† a
(5.22)
n̂ |n = n |n
Normierung:
n|n = c2n 0|an a† n |0 = n c2n 0|an−1 a† n−1 |0 = n
c2n
c2n−1
n − 1|n − 1
(5.23)
√
n|n = 1 für cn = 1/ n!
√
1
a† |n = |n + 1
n+1
1
√ a|n = |n − 1
n
(5.24)
5 28.10.02
5.3
Phononen im Kristall
Mehratomiger Kristall:
i : Zelle
µ : Atom in Zelle
α : Raumrichtung
Ortskoordinaten:
i
X αµ
i
= Rα + s αµ +
sµ
i
u αµ
(5.25)
i
Impulse: p αµ
12
Ri
Hamiltonoperator:
i 2
Hph =
p αµ
2mµ
i,µ,α
Harmonische Näherung:
W
i
X αµ
≈ W0 +
+W
i
i
X αµ
1
2
i,j µ,ν αβ
= W
Translationsinvariante Kräfte: W X αµ
Ordnung in ū
ij i
1
µν uµ ūβ = 0
Φαβ
2
α
i
j
p αµ , u βν = −i h̄ δi,j δµ,ν δα,β
i
(5.26)
ij
i
i
X αµ + ūα
j,ν
j
j
µν uµ u ν
Φαβ
α β
i,j µ,ν αβ
Vertauschungsrelation:
(5.27)
. Entwicklung in erster
ij
µν = 0
Φαβ
p αµ , p βν = 0
i
(5.28)
j
u αµ , u βν = 0
1. kanonische Transformation (nur für mehratomige Gitter notwendig)
i
i
i
i
ij
ij
√
1
µν = √ 1
p αµ
ξ αµ = mµ u αµ
Ψαβ
Φ µν
π αµ = √m
mµ mν αβ
µ
i
j
π αµ , ξ βν = −i h̄ δi,j δµ,ν δα,β
···
(5.29)
(5.30)
(5.31)
Hamiltonoperator (mit W0 = 0)
Hph =
1
2
i 2
i,µ,α
π αµ
+
1
2
i,j µ,ν αβ
ij
i
j
µν ξ µ ξ ν
Ψαβ
α β
(5.32)
2. kanonische Transformation
Betrachte einen Kristall mit N = L3 Elementarzellen (periodische Randbedingungen).
Mögliche Wellenvektoren (na ganzzahlig):
nα
k =
bα
nα = − 12 L · · · 12 L
(5.33)
L
α
Kanonische Transformation
π(k, λ) =
√1
N
i,µ,α
i
ηαµ (k, λ) eikRi π αµ
ξ(k, λ) =
√1
N
i,µ,α
i
ηαµ (k, λ) eikRi ξ αµ
(5.34)
Mit λ = 1 · · · 3z für einen Kristall mit z Atomen in der Elementarzelle (µ = 1 · · · z)
und unitärem ηαµ (k, λ)
ηαµ (k, λ)∗ ηαµ (k, λ ) = δλ,λ
(5.35)
µ,α
Vertauschungsrelation:
Mit
i
π αµ =
√1
N
k,λ
π † (k, λ), ξ(k , λ ) = −ih̄ δk,k δλ,λ
ηαµ (k, λ)∗ e−ik·Ri π(k, λ)
i
ξ αµ =
13
√1
N
k,λ
···
(5.36)
ηαµ (k, λ)∗ e−ik·Ri ξ(k, λ) (5.37)
Hamiltonoperator
Hph =
1
2
π † (k, λ)π(k, λ)
k,λ
+
1
2
Dαµ νβ (k)ηαµ (k, λ) ηαν (k, λ )∗ ξ † (k, λ) ξ(k, λ )
(5.38)
k,λ,λ µ,ν,α,β
mit “dynamischer Matrix”
Dαµ νβ (k) =
1
N
ik·(Ri −Rj )
e
i,j
ij
µν
Ψαβ
(5.39)
Eigenwertgleichung:
Dαµ νβ (k) ηβν (k, λ) = ω 2 (k, λ) ηαµ (k, λ)
(5.40)
ν,β
Damit
Hph =
1
2
π † (k, λ)π(k, λ) + ω 2 (k, λ)ξ † (k, λ)ξ(k, λ)
(5.41)
k,λ
Der Hamiltonoperator ist eine Summe aus zN unabhängigen harmonischen Oszillatoren.
Phononen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
†
a (k, λ) =
ω(k,λ)
2h̄
ξ † (k, λ) + √ i
ω(k,λ)
2h̄
ξ(k, λ) − √ i
2h̄ω(k,λ)
π † (k, λ)
a(k, λ) =
Hamiltonoperator
Hph =
π(k, λ)
2h̄ω(k,λ)
h̄ω(k, λ) a† (k, λ) a(k, λ) +
1
2
(5.42)
(5.43)
k,λ
Grundzustand: a(k, λ) |0 = 0
Angeregte Zustände sind durch Besetzungszahlen
|{n} =
n(k, λ)
charakterisiert
n(k,λ)
1
a† (k, λ)
|0
n(k, λ)!
k,λ
Hph |{n} =
h̄ω(k, λ) n(k, λ) +
1
2
|{n}
(5.44)
(5.45)
k,λ
Die Besetzungszahldarstellung, i.e. die Angabe mit wieviel Quanten jeder mögliche
Zustand besetzt ist, ist eine Darstellung der Quantenmechanik, die für Vielteilchensysteme
(oder auch Quantenfeldtheorien) besonders geeignet ist.
6 30.10.02
14
5.4
Lineare Kette
Einatomige lineare Kette
Φi,i±1 = −Φ
Φi,i = 2Φ
Φi,j = 0 für |i − j| ≥ 2
(5.46)
Dynamische Matrix (5.39): Gitterkonstante a: Ri = i a
D(k) = ω 2 (k) =
1 i k (Ri −Rj ) ij 2Φ e
Φ =
1 − cos(ka)
m j
m
(5.47)
ω (k)
Brillouin-Zone: |k| ≤
π
a
(1 − cos(ka))Φ/2m
ω(k) =
= 2 Φ/m sin( 12 ka)
(5.48)
k
π
a
0
π
a
Zweiatomige lineare Kette
1
a
i, i
Ψ1, 1 =
i, i
i, i + 1
2, 1
i, i
i, i
Φ1, 2 = Φ
2
= −Φ
Φ1, 1 = Φ2, 2 = 2 Φ
2Φ
m1
i, i
Ψ2, 2 =
2Φ
m2
i, i
Dynamische Matrix:
Dµ, ν (k) =

= −√
1 i k(Ri −Rj ) i, j
e
Ψµ, ν
N i,j
2Φ
m1
{1 + ei k a } √m−Φ
1 m1
{1 + e−i k a } √m−Φ
1 m1
2Φ
m2

D(k) = 

i, i + 1
2, 1
Ψ1, 2 = Ψ
Φ
m1 m2
(5.49)
(5.50)
(5.51)




(5.52)
Eigenwertgleichung: D(k) − ω 2 (k) = 0
m1 + m2
ω (k) = Φ
±
m1 m2
2
m1
cos2 ( 12 k a)
− m 2 2
+4
m1 m2
m1 m2
ω (k)
optisch
akustisch
k
π
a
0
π
a
15
(5.53)
5.5
Langwelliger Grenzfall, Schall
Einatomiger Kristall mit Inversionssymmetrie:
1 −i k·R i,j
Dα,β (k) =
e
− 1 Φi,j
α,β
m j (=i)
=
1 ✏0
i,j
i,j i,j
4
1
i
k✏γ ✏
R✏
−
k
k
R
R
Φi,j
γ
δ
γ
γ
δ
α,β + O(k )
2
m j (=i)
γ
γδ
=
1 Zα,β,γ,δ kγ kδ
m γ,δ
(5.54)
i − R
j . Der Beitrag linear in k verschwindet wegen R
i,j = −R
i,−j .
i,j = R
mit R
Zα,β,γ,δ = −
1 i,j i,j i,j
Φ R R
2m j (=i) α,β γ δ
(5.55)
Schallgeschwindigkeit: ω(k, λ) = c(nk ,λ ) |k| mit nk = k/|k|. Eigenwertgleichung:
β
1
m
Zαβ γδ nγ nδ ηβ (n, λ) = c2 (n, λ) ηα (n, λ)
(5.56)
γδ
Symmetrie:
Zα,β,γ,δ = Zβ,α,γ,δ = Zα,β,δ,γ = Zβ,α,δ,γ
(5.57)
Rotationsinvarianz: Betrachte Auslenkungen
uiα =
ηα,γ + ωα,γ Rγij
(5.58)
γ
mit “Verzerrung” ηα,γ = ηγ,α und “infinitesimalen Rotation” ωα,γ = −ωγ,α .
Die potentielle Energie darf nur von η und nicht von ω abhängen, also z.B.
ij ij
Φi,j
α,β Rγ Rδ ωα,γ ηβ,δ = 0
(5.59)
j (=i) α,β,γ,δ
Daraus folgt als weitere Symmetrie
Zα,β,γ,δ = Zγ,β,α,δ = Zα,δ,γ,β = Zγ,δ,α,β
(5.60)
Weitere Einschränkungen folgen aus Kristallsymmetrien (Spiegelungen, Drehungen um
2π/n für Drehung um eine n-zählige Symmetrieachse).
Kubischer Kristall:
Z1111 = Z2222 = Z3333 = Z11
Z1122 = Z1133 = Z2211 = · · · = Z12
Z1212 = Z1221 = Z1313 = · · · = Z44
Zαβγδ = 0
sonst
16
(5.61)
Dynamische Matrix D(k), Polarisationsvektoren ηα (k λ) und Eigenwerte c2
für k = (1, 0, 0) k


Z11 0 0


D(k) =  0 Z12 0 
0 0 Z12
√
für k = (1, 1, 0)/ 2 k
1
(Z11 + Z12 )
0
2
1
0
(Z11 + Z12 )

2
0
Z11 /m
Z12 /m
Z12 /m
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
L
T
T
(5.62)

0
0 

0
Z12
√
(Z11 + Z12 + 2Z44 )/2m
( 1 1 0 )/√2
(Z11 + Z12 − 2Z44 )/2m
( 1 −1 0 )/ 2
Z12 /m
(0 0 1)
L
T
T
(5.63)
L
T
T
(5.64)
√
für k = (1, 1, 1)/ 3 k
1
2
(Z11 + 2Z12 )
Z
3 44
3
1
2
Z
(Z11 + 2Z12 )

3 44
3
2
Z
3 44
2
Z
3 44

2
Z
3 44
2
Z
3 44
1
(Z11
3
√
( 1 1 1 )/√3
( 1 −1 0 )/√2
( 2 −1 −1 )/ 6


+ 2Z12 )
(Z11 + 2Z12 + 2Z44 )/3m
(Z11 + 2Z12 − 2Z44 )/3m
(Z11 + 2Z12 − 2Z44 )/3m
κκκ
ω (k)
κοο
Phononenspektrum
z.B. Argon (kubisch flächenzentriert)
k
0
(1 0 0)
(1 1 0)
0 (1 1 1)
7
5.6
4.11.02
Inelastische Streuung von Neutronen oder γ-Quanten
Detektor
Quelle
k´
ϑ
k
E
Energie:
E´
17
Neutron
Kristall
vor dem Stoß:
2
h̄2 kn
2m
E
nach dem Stoß:
2
h̄2 kn
2m
E
Hamiltonoperator (einatomiger Kristall)
H = Hn + Hph +
2πh̄2
mn
i − u i )
bi δ(rn − R
(5.65)
i
Inelastische Streuung mit Energieübertrag h̄ω =
2
h̄2 kn
2mn
−
2
h̄2 kn
2mn
= E − E
Differentieller Streuquerschnitt:
|k |
Wkn ,kn
|k|
h̄
d2 σ
=
dΩdω
4π
(5.66)
Streuwahrscheinlichkeit (Bornsche Näherung):
Wkn ,kn =
=
E
E
E
E
P (E) Wkn E, kn E P (E) δ
2
h̄2 kn
2mn
2
×kn , E | 2πh̄
mn
2
h̄2 kn
2mn
+E −
− E
i − u i )|kn , E2
bi δ(rn − R
(5.67)
i
Kohärente Streuung: bi = b
Übergangsamplitude:
kn , E |
i − u i )|kn , E = d3 r ei(kn −kn )·r E |
δ(rn − R
i
i − u i )|E
δ(r − R
i
=
i
eiκ·R E |eiκ·u |E
i
κ = kn − kn
mit
(5.68)
i
Phonon Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:
uiα
=
√1
N
k,λ
e−ik·R
ηα (k, λ) a† (k, λ) + a(−k, λ)
2mω(k, λ)
i
(5.69)
Kristallzustand
|E = |{n}
n̂(k λ)|{n} = n(k λ)|{n}
E=
{n(k λ)+ 12 }h̄ω(k λ) (5.70)
k λ
Entwicklung nach 0-, 1- und Mehrphonon Prozessen
e
iκ·
ui
= 1+
−
1
2N
√i
N
i
κ · η (k, λ) e−ik·R † a (k, λ) + a(−k, λ)
k,λ
2mω(k, λ)
i
κ · η (k, λ) κ · η (k , λ ) e−i(k+k )·R
k,λ k ,λ
2m ω(k, λ)ω(k , λ )
× a† (k, λ) + a(−k, λ)
+ ···
a† (k , λ ) + a(−k , λ )
(5.71)
18
0-Phonon Prozeß: (Bragg-Streuung)
E = E
κ = kn − kn = τ
(0)
n ,k n
= b2 δ
Wk
2
h̄2 kn
2mn
−
|kn | = |kn |
h̄2 k2
δ κ − τ
n
2mn
(5.72)
(5.73)
1-Phonon Prozeß:
“Stokes”-Beitrag
†
a (k λ)|{n} =
n(k λ) + 1 |E E = E + h̄ω(k λ)
2
h̄2 kn
2mn
κ = kn − kn = k + τ
“Anti Stokes”-Beitrag
a(k λ)|{n} =
n(k λ) |E 2
h̄2 kn
2mn
Mit thermischen Erwartungswert
2
a† (
k, λ) E P (E) E a(k, λ)
(±1)
n ,k n
= b2
h̄2 k2
n
δ
2mn
−
+ h̄ω(k λ)
=
2
h̄2 kn
2mn
2
h̄2 kn
2mn
=
− h̄ω(k λ)


 n(
k, λ) + 1 


n(k, λ)
Übergangswahrscheinlichkeit für 1-Phonon Prozeß:
Wk
2
h̄2 kn
2mn
(5.74)
E = E − h̄ω(k λ)
κ = kn − kn = −k + τ
E,E
=
(5.76)
∓ h̄ω(k, λ)
(5.75)
δ κ − τ ∓ k
k,λ


2
κ · η (k, λ)  n(k, λ) + 1 
×

n(k, λ)
2mω(k, λ) 
2 2
Messung der Phononenergie: h̄ω(k, λ) = h̄2mknn −
(5.77)
2 h̄2 kn
2mn
Messung der Polarisation: κ · η (k, λ) mit κ = k + τ :
τ = 0: longitudinal.
τ = 0: longitudinal oder transversal.
2-Phonon Prozeß:
Elastischer 2-Phonon Prozeß: k = −k und λ = λ in (5.71):
w=
(2,el)
n ,k n
ist Wk
Mit
2
1 κ · η (k, λ) n(k, λ) + 12 = 13 |u i |2 |κ|2
N 2 m ω(k, λ)
k,λ
(5.78)
(0)
.
n ,kn
= − 13 |u i |2 |κ|2 Wk
Entsprechende Beiträge in elastischen 4-, 6- und höheren 2n-Phonon Prozessen können
aufsummiert werden: Debye-Waller Faktor
(0)
n ,k n
Wk
1
i 2
2
= b2 e− 3 |u | |κ| δ
2
h̄2 kn
2mn
−
2
h̄2 kn
2mn
δ κ − τ
(5.79)
Entsprechende Korrekturen existieren auch für die 1-Phonon und höheren Prozesse.
Entsprechend ist der Debye-Waller Faktor auch in (5.77) einzufügen.
19
1- und Mehrphonon Streuung:
Inelastische 2-Phonon Beiträge:
κ + τ = ±k ± k 2
h̄2 kn
2mn
h̄ω =
−
Wk,k´
(5.80)
2
h̄2 kn
2mn
(5.81)
= ±h̄ω(k, λ) ± h̄ω(k , λ )
L
TT
TT
hω
L
8
5.7
7.11.02
Inkohärente Streuung, Mössbauer-Effekt
Die Streulänge bi kann von Kern zu Kern variieren, z.B falls verschiedene Isotope
vorhanden sind oder bei magnetischer Streuung an Ionen mit Spin, der nicht ausgerichtet
ist. Es sei
bi = b
und
(bi − b)(bj − b) = b2inc δi,j
(5.82)
Inkohärenter Streuquerschnitt, mit (5.67):
(inc)
n ,k n
Wk
=
E
P (E) δ
E
× b2inc
2
h̄2 kn
2mn
+E −
kn , E | δ(rn
2
h̄2 kn
2mn
− E
i − u i )|kn , E2
−R
i
=
E
E
P (E) δ
2
h̄2 kn
2mn
+E −
2
h̄2 kn
2mn
− E b2inc
(5.83)
2
i
E | ei(k−k )·u |E
i
Beiträge zu 0-, 1- und Mehrphonon Prozessen wie für kohärente Streuung, aber ohne
κ − τ − · · ·).
δ(
Aus dem 0-Phononprozeß erält man den Debye-Waller Faktor, aus dem 1-Phononprozeß
die Zustandsdichte longitudinaler Phononen.
Beim Mössbauer-Effekt wird ein γ-Quant von einem radioaktiven Kern emittiert. Ein Teil
◦
der ursprünglichen Energie h̄ ω γ kann als Rückstoßenergie an den Kristall abgegeben
werden. Die Rechnung entspricht der obigen für inkohärente Streuung mit k = 0 und
◦
einer δ-Funktion für Energieerhaltung δ(E + h̄ ω −E − h̄ c |k |). Der 0-Phononprozeß
entspricht einer rückstoßenergiefreien Emission des γ-Quants.
20
6
Spinwellen in Ferromagneten
Hamilton-Operator eines isotropen Heisenberg-Ferromagneten:
H = − 12
Ji,j σi · σj
(6.1)
i,j
z.B. mit Ji,j = J > 0 für nächste Nachbarn und Ji,j = 0 sonst.
Pauli-Spinmatrizen
σx =
0 1
1 0
σy =
0 −i
i 0
σz =
1 0
0 −1
(6.2)
mit
σx σy = −σy σx = iσz
σy σz = −σz σy = iσx
σz σx = −σx σz = iσy
(6.3)
Eigenzustände zu σz
σz | ↑ = | ↑ Spinflip-Operatoren σ± =
1
2
σ+ | ↓ = | ↑ σz | ↓ = −| ↓ (6.4)
σx ± iσy
σ+ | ↑ = 0
σ− | ↓ = 0
σ− | ↑ = | ↓ (6.5)
Hamilton-Operator
H = − 12
i j
i j
Ji,j σzi σzj + 2σ+
σ− + 2σ−
σ+
(6.6)
i,j
Grundzustand für N Spins auf einem Gitter mit z nächsten Nachbarn (entartet)
| 0 = ↓↓↓ · · · ↓↓
i
σ−
|0 = 0
H| 0 = E0 | 0 = −zN J | 0 (6.7)
Spinwellen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
σ± (k) =
√1
N
i
eik·R σ i
(6.8)
±
i
Mit obigen Relationen:
2 ik·R i i i j
j j
H, σ+ (k) = √
e
σ+
Ji,j σzi σzj − eik·(R −R ) 1 − 2σ+
σ−
N i
j
(6.9)
j j
Damit ist für einen 1-Spinwellenzustand mit σzi σzj | 0 = | 0 und (σ+
σ) | 0 = 0
Hσ+ (k)| 0 = σ+ (k)H| 0 + H, σ+ (k) | 0 = E0 + +(k) σ+ (k)| 0 (6.10)
mit einer Anregungsenergie
+(k) = 2
ij
Ji,j 1 − cos k · R
(6.11)
j
Die 1-Spinwellen Anregungen sind Eigenzustände zu H. Dies ist für Mehr-SpinwellenZustände nur näherungsweise erfüllt.
21
III STATISTISCHE PHYSIK VON QUASITEILCHEN
7
7.1
Phononen (Bosonen)
Besetzungszahldarstellung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
a(k, λ), a(k , λ ) = 0
a† (k, λ), a† (k , λ ) = 0
(7.1)
a(k, λ), a† (k , λ ) = δk,k δλ,λ
(7.2)
n̂(k, λ) = a† (k, λ) a(k, λ)
(7.3)
Besetzungszahloperator
Hamilton-Operator
H=
h̄ω(k, λ) n̂(k, λ) +
1
2
(7.4)
k,λ
Grundzustand, angeregte Zustände
a(k, λ)| 0 = 0
|{n} =
n(k,λ)
1
a† (k, λ)
|0
n(k, λ)!
k,λ
(7.5)
Eigenzustände zu den Besetzungszahloperatoren
n̂(k, λ) |{n} = n(k, λ) |{n}
H |{n} =
h̄ω(k, λ) n(k, λ) +
1
2
(7.6)
|{n}
(7.7)
k,λ
Die Zustände |{n} bilden eine vollständige Basis.
9
7.2
11.11.02
Zustandssumme, Freie Energie, Spezifische Wärme
Zustandssumme: (β = 1/kB T )
Z = Tr e−β H
∞
=
···
n(k1 ,λ1 )=0
n(kN ,λ(3 z) )=0
∞
∞
=
···
n(k1 ,λ1 )=0
=
∞
∞
k,λ
e
{n} e−β H {n}
−βh̄
k,λ
ω(k,λ){n(k,λ)+ 12 }
n(kN ,λ(3 z) )=0
e
−βh̄ω(k,λ){n+ 12 }
n=0
=
k,λ
22
e− 2 βh̄ω(k,λ)
1 − e−βh̄ω(k,λ)
1
(7.8)
Freie Energie
F = −kB T ln Z =
1
h̄ω(k, λ)
2
+ kB T ln 1 − e−βh̄ω(k,λ)
(7.9)
k,λ
Entropie
S=−
βh̄ω(k, λ) ∂F
ln 1 − e−βh̄ω(k,λ) −
= −kB
∂T
eβh̄ω(k,λ) − 1
k,λ
Energie
E = F + TS =
1
eβh̄ω(k,λ) − 1
k,λ
+
1
2
h̄ ω(k, λ)
(7.10)
(7.11)
Spezifische Wärme
C=
e−βh̄ω(k,λ)
∂E
β 2 h̄2 ω 2 (k, λ) = kB
2
∂T
1 − e−βh̄ω(k,λ)
(7.12)
k,λ
Es ist zweckmäßig die Zustandsdichte (pro Elementarzelle) einzuführen
g(+) =
1
N
δ + − h̄ω(k, λ) = v
B.Z.
k,λ
d3 k k, λ)
δ
+
−
h̄ω(
(2π)3 λ
(7.13)
mit v: Volumen der Einheitszelle und vB.Z. = (2π)3 /v : Volumen der Brillouin-Zone.
Pro Elementarzelle gibt es 3z Freiheitsgrade: Normierung:
d+ g(+) = 3 z
(7.14)
Spezifische Wärme (pro Elementarzelle)
C
e−β
c=
= kB d+ g(+)β 2 +2 2
N
1 − e−β
(7.15)
Für hohe Temperaturen β+max 1: Klassischer Gleichverteilungssatz
c = 3 z kB
(7.16)
Für tiefe Temperaturen: ω(k, λ) → k cλ (Ω)
g(+) =
=
v dΩ 2
dk
k
δ
+
−
h̄
k
c
(Ω)
λ
2π 2 4π
λ
v +2 dΩ 1
2
v +2 1
+
≈
2π 2 h̄3 4π λ c3λ (Ω)
2π 2 h̄3 c3L c3T
(7.17)
Spezifische Wärme bei tiefer Temperatur, mit x = β+ in (7.15)
4
T3
c = kB
=
v 11
e−x
2 ∞
4
+
dx
x
2
2π 2 h̄3 c3L c3T 0
1 − e−x
4
1
2π 2 kB
2 3
v
+
T
15 h̄3
c3L c3T
23
(7.18)
Debye Näherung (einatomiger Kristall)
g(+) =
v 1
2 2
+
+
2π 2 h̄3 c3L c3T
=0
für
+ < kB ΘD
für
+ > kB ΘD
(7.19)
Die Debye-Temperatur ΘD = h̄ωD /kB wird aus der Normierung (7.14) bestimmt:
ΘD =
3
( c13
L
18 π 2 h̄3
3
+ c23 ) v 2 kB
(7.20)
T
Damit ist
g(+) =
3
kB
9
+2
3
ΘD
für
+ < kB ΘD
=
9 kB
g(+) = 0 für
+ > kB ΘD
(7.21)
Spezifische Wärme
c
−→
T ΘD
T 3 ΘD /T
e−x
4
dx
x
2
Θ3D 0
1 − e−x
12 4 T 3
π 3 kB
5
ΘD
−→ 3 kB
(7.22)
T ΘD
g(ε )
Al
Debye Temperatur:
He
Pb
Na
N aCl
Al
Si
C (Diamant)
1013 sec-1
0
2
Aluminium
ΘD = 394 K
4
ωD 6
ε/h
ΘD [K]
20
88
127
281
394
674
1860
ωD = 5.2 · 1013 sec−1
c/3kB
1
0.5
0
0
0.5
1 T/ΘD
10
24
13.11.02
7.3
Wärmeleitung
Transportvorgänge auf makroskopischer Skala, Boltzmanngleichung
Feldoperatoren (Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren) für Wellenpakete
mit Breite ∆ (Gitterkonstante ∆ makroskopische Skala)
a† (r, k, λ) =
a(r, k, λ) =
∆
2π
∆
2π
3 d3 κ e− 2 ∆
2
(k−κ)2
ei(k−κ)·r a† (κ, λ)
d3 κ e− 2 ∆
2
(k−κ)2
e−i(k−κ)·r a(κ, λ)
1
2
3 1
2
(7.23)
Besetzungszahloperator
n̂(r, k, λ) = a† (r, k, λ) a(r, k, λ)
(7.24)
Hamilton Operator
◦
◦
H =H +V
H=
h̄ω(k, λ) a† (k, λ) a(k, λ) +
1
2
(7.25)
k,λ
Heisenberg-Bewegungsgleichung
d
Â
dt
=
i
h̄
[H, Â]
◦
Ungestörtes Problem: H ≈H
◦
◦
Mit [H , a† (k, λ)] = h̄ω(k, λ) a† (k, λ) und [H , a(k, λ)] = −h̄ω(k, λ) a(k, λ)
i
h̄
◦
†
H , a (r, k, λ) = i
∆
2π
3 2
d3 κ e− 2 ∆
1
2
(k−κ)2
ei(k−κ)·r ω(κ, λ) a† (κ, λ)
(7.26)
Entwicklung:
ω(κ, λ) = ω(k, λ) + (κ − k) · v (k, λ) · · ·
ω(k, λ)
v (k, λ) = ∇
k
mit
(7.27)
Damit:
i
h̄
◦
i
h̄
†
r a† (r, k, λ)
H , a (r, k, λ) = i ω(k, λ) − v (k, λ) · ∇
◦
H , a(r, k, λ) =
und
i
h̄
◦
r a(r, k, λ)
− i ω(k, λ) − v (k, λ) · ∇
r n̂(r, k, λ)
H , n̂(r, k, λ) = −v (k, λ) · ∇
(7.28)
(7.29)
Verteilungsfunktion (Boltzmann-Verteilung)
f (r, k, λ, t) = n̂(r, k, λ)
t
(7.30)
∂ r f (r, k, λ, t)
f (
r, k, λ, t) = −v (k, λ) · ∇
∂t 0
Energiedichte
ρE (r, t) =
h̄ ω(k, λ) f (r, k, λ, t)
k,λ
25
(7.31)
(7.32)
Energiestromdichte
jE (r, t) =
v (k, λ) h̄ ω(k, λ) f (r, k, λ, t)
(7.33)
k,λ
Kontinuitätsgleichung (Energie Erhaltung)
∂ r · jE (r, t)
ρE (
r, t) = −∇
∂t 0
Zeitliche Änderung der Energiestromdichte
(7.34)
mit
πE,α,β (r, t) =
∂ jE,α (
r
,
t)
=
−
∇β πE,α,β (r, t)
∂t 0
β
(7.35)
vα (k, λ)vβ (k, λ) h̄ ω(k, λ) f (r, k, λ, t) ≈ 13 v 2 δα,β ρE (r, t)
(7.36)
k,λ
Zeitliche Entwicklung des gestörten Problems: Fermi’s goldene Regel:
◦
Anfangszustand | i , Endzustand | f (Eigenzustände zu H ), Störung V
Übergangsrate
2
◦
◦
Wi,f = h̄1 δ(E i − E f ) f | V | i Zeitliche Entwicklung des Erwartungswertes einer Observablen
A(t) = i i |A| i Pi (t):
(7.37)
d A(t) =
f
|A|
f
−
i
|A|
i
Pi (t) Wi,f
dt V
i,f
(7.38)
Elastische Streuung an Verunreinigungen: (z.B. nicht isotopenreine Kristalle)
Verunreinigung am Ort r
w(k , λ , k , λ ) a† (r, k , λ ) a(r, k , λ )+a(r, k , λ ) a† (r, k , λ )
V =
(7.39)
k ,λ ,k ,λ
In der folgenden Rechnung werden wir das Argument “ r ” weglassen.
Es sei A = n̂(k, λ), | i = |{n} und | f = |{n }.
Nicht verschwindende Beiträge in (7.38) für n (k, λ) = n(k, λ) ± 1 und für einen
weiteren Zustand {k , λ } mit ω(k , λ ) = ω(k, λ) n (k , λ ) = n(k , λ ) ∓ 1. Damit
∂ 1 k, λ) w(k , λ , k, λ)2
n̂(
k,
λ)
=
δ
ω(
k
,
λ
)
−
ω(
t
∂t V
h̄2 k ,λ
11
a† (k , λ )a(k, λ)n̂(k, λ)a† (k, λ)a(k , λ )
t
+ a(k , λ )a† (k, λ)n̂(k, λ)a(k, λ)a† (k , λ )
†
†
t
− a (k , λ )a(k, λ)a (k, λ)a(k , λ )n̂(k, λ)
1
δ
h̄2 k ,λ
t
− a(k , λ )a† (k, λ)a(k, λ)a† (k , λ )n̂(k, λ)
=
18.11.02
t
2
ω(k , λ ) − ω(k, λ) w(k , λ , k, λ)
n̂(k, λ) + 1 n̂(k , λ )
26
t
(7.40)
− n̂(k, λ) n̂(k , λ ) + 1
t
∂ k, λ, t) = 1
k , λ ) − ω(k, λ) w(k , λ , k, λ)2
f (
r
,
δ
ω(
∂t V
h̄2 k ,λ
f (r, k , λ , t) − f (r, k, λ, t)
Stationäre Lösung:
(7.41)
f (r, k, λ, t) = f0 (ω(k, λ)
(7.42)
Abweichung vom lokalen Gleichgewicht:
f (r, k, λ, t) = f0 (ω(k, λ) + g(r, k, λ, t)
(7.43)
mit f0 (ω) so daß
δ ω − ω(k, λ) f (r, k, λ, t) = f0 (ω)
k,λ
δ ω − ω(k, λ)
(7.44)
k,λ
und damit
δ ω − ω(k, λ) g(r, k, λ, t) = 0
(7.45)
k ,λ
Stoßzahlansatz:
Für w(k , λ , k, λ) = w0 verschwindet der Beitrag ∼ g(r, k , λ , t) in (7.41), damit
∂ 1
g(
r, k, λ, t) = − g(r, k, λ, t)
∂t V
τ
(7.46)
mit der mittleren Stoßfrequenz
2
1 1
δ ω(k , λ ) − ω(k, λ) w(k , λ , k, λ)
= 2
τ
h̄ k ,λ
(7.47)
Die Annahme einer konstanten Stoßfrequenz ist nicht notwendig, vereinfacht aber die
folgende Rechnung deutlich.
Energiedichte (7.32)
∂ ρE (
r, t) = 0
∂t V
(7.48)
Zeitliche Änderung der Energiestromdichte in Relaxationszeitnäherung
jE (r, t) =
v (k, λ) h̄ ω(k, λ) g(r, k, λ, t)
k,λ
∂ 1
jE (
r
,
t)
=
−
jE (r, t)
∂t V
τ
(7.49)
Wärmeleitung
Kontinuitätsgleichung
∂
r · jE (r, t)
ρE (r, t) = −∇
∂t
27
(7.50)
Energiestrom (Wärmestrom)
∂
ρE (r, t) −
jE (r, t) = − 13 v 2 ∇
∂t
Stationärer Fall mit ( Spezifische Wärme c )
1
jE (r, t)
τ
(7.51)
δρE (r) = c δT (r)
(7.52)
Wärmeleitung
T (r)
jE (r) = −κ ∇
Anharmonische Wechselwirkung
V =
1
12
κ = 13 v 2 τ c
i
j
Φi,j
α,β,γ uα − uα
uiβ − ujβ
(7.53)
uiγ − ujγ
(7.54)
i,j α,β,γ
mit
h̄
1 j −ik·Ri
−ik·R
√
−
=
ηα (k, λ) e
−e
a† (k, λ) + a(−k, λ)
N k,λ
2mω(k, λ)
(7.55)
Damit erhält man
V3 = 1
w(k, λ, k , λ , k , λ )
δ(k + k + k − τ )
(7.56)
uiα
ujα
3!
k,λ,k ,λ ,k ,λ
× a† (k, λ) + a(−k, λ)
a† (k , λ ) + a(−k , λ )
a† (k , λ ) + a(−k , λ )
und entsprechend der vorherigen Rechnung
∂ 1 n̂(k, λ) = 2
t
∂t V3
h̄ δ ω(k, λ) − ω(k , λ ) − ω(k , λ )
k"
k ,λ ,k ,λ
2 ×w(k, λ, −k , λ , −k , λ )
×
δ(k − k − k + τ )
k"
k
t
+δ ω(k, λ) − ω(k , λ ) + ω(k , λ )
×
k
− n̂(k, λ) n̂(k , λ ) + 1 n̂(k , λ )
Faktorisierungsnäherung
n̂(k, λ) n̂(k , λ ) n̂(k , λ )
t
k'
− k + k + τ )
n̂(k, λ) + 1 n̂(k , λ ) n̂(k , λ ) + 1
k"
t
2 ×w(k, λ, −k , λ , +k , λ )
δ(k
k'
− n̂(k, λ) n̂(k , λ ) + 1 n̂(k , λ ) + 1
k'
n̂(k, λ) + 1 n̂(k , λ ) n̂(k , λ )
k
k"
k
k'
t
t
= f (r, k, λ, t) f (r, k , λ , t) f (r, k , λ , t)
(7.57)
(7.58)
12
28
20.11.02
Damit ist
∂ k, λ, t)= 1
k, λ) − ω(k , λ ) − ω(k , λ )
f (
r
,
δ
ω(
∂t V3
h̄2k ,λ ,k ,λ
2
×w(k, λ, −k , λ , −k , λ )
δ(k − k − k + τ )
× f (r, k, λ, t) + 1 f (r, k , λ , t) f (r, k , λ , t)
−f (r, k, λ, t) f (r, k , λ , t) + 1 f (r, k , λ , t) + 1
+δ ω(k, λ) − ω(k , λ ) + ω(k , λ )
2
×w(k, λ, −k , λ , +k , λ )
δ(k − k + k + τ )
× f (r, k, λ, t) + 1 f (r, k , λ , t) f (r, k , λ , t) + 1
−f (r, k, λ, t) f (r, k , λ , t) + 1 f (r, k , λ , t)
(7.59)
Stationäre Verteilung: Langsam veränderliche Temperatur T (r, t)
f0 (k, λ) =
1
eβ(r,t)h̄ω(k,λ) − 1
f0 (k, λ) + 1 =
eβ(r,t)h̄ω(k,λ)
eβ(r,t)h̄ω(k,λ) − 1
(7.60)
Relaxationszeitnäherung
∂ 1
g(
r, k, λ, t) = − g(r, k, λ, t) (7.61)
∂t V3
τ
f (r, k, λ, t) = f0 (k, λ) + g(r, k, λ, t)
Normalprozesse: τ = k − k ± k = 0
Umklapprozesse: τ = k − k ± k = 0.
Temperaturabhängigkeit der Relaxationszeit für Umklapprozesse:
Typische Wellenzahl der beteiligten Phononen |k| + |k | + |k | ≥ |τ |.
Typische Frequenz h̄ω ∼ kB ΘD . Damit ist
104
τU ∼ eΘD /T
κ
(7.62)
103
102
B
i.e. für tiefe Temperaturen verschwindet der Beitrag
der Umklapprozesse und die mittlere freie Weglänge
= v τU wächst bei tiefen Temperaturen ebenfalls
stark an. Die Wärmeleitung (7.53) wächst bei tiefen
Temperaturen ebenfalls ∼ T 3 eΘD /T stark an.
Bei sehr tiefen Temperaturen ist die Wärmeleitung
durch Streuung an Verunreinigungen oder durch
Streuung an den Oberflächen des Kristalls begrenzt,
und damit κ ∼ c ∼ T 3 .
101
100
~ T3
10-1
100
Für T ΘD ist τU ∼ T −2 und c konstant. Damit wird κ ∼ T −2 .
29
101
~ T-2
102
T
103
An Normalprozessen können Phononen beliebiger Wellenzahl teilnehmen, sie sind damit
bei tiefen Temperaturen nicht stark unterdrückt. Für τV τN und τU τN ist auch
die Summe der Wellenvektoren erhalten und
(0)
fu (k, λ) =
1
eβh̄{ω(k,λ)−u·k} − 1
= f0 ω(k, λ) − u · k
(7.63)
ist stationär.
Für kleine u ist
(0)
fu (k, λ)
∂
≈ 1 − u · k
f0 (ω) ω(k,λ)
∂ω
(7.64)
und mit (7.27)
(0)
v (k, λ) fu (k, λ)
f0 ω(k, λ)
≈ v (k, λ) − u · k ∇
k
(7.65)
Mit (7.33) erhält man nach partieller Integration die Energiestromdichte
jE,α = −
uβ
β
k,λ
◦
= u α ρE +
β
≈
4
3
∂
h̄ ω(k, λ) kβ
f0 ω(k, λ)
∂ kα
uβ
h̄ vα (k, λ) kβ f0 ω(k, λ)
k,λ
◦
uα ρE
(7.66)
wobei die letzte Zeile für tiefe Temperaturen gilt, da hier nur langwellige Phononen mit
ω(k, λ) ≈ k · v (k, λ) beitragen. Unter Vernachlässigung von Verunreinigungsstreuung
und Streuung durch Umklapprozesse kann ein Energiestrom (Wärmestrom) ohne
Temperaturgradient auftreten, i.e. der Wärmeleitungskoeffizient κ divergiert.
Für die Verteilung (7.63) verschwindet der Beitrag aufgrund der Störung und (7.35) gilt
für die gesamte zeitliche Änderung. Mit (7.34) erhält man eine Wellengleichung für die
Energiedichte
∂2
ρE (r, t) = 13 v 2 ∆ρE (r, t)
(7.67)
∂t2
Dieses Phänomen, 2.Schall, konnte in N aJ beobachtet werden, und tritt auch in superfluidem He4 auf.
13 25.11.02
30
8
8.1
Elektronen (Fermionen)
Besetzungszahldarstellung für Fermionen
Einteilchenzustände k, n, s
mit Wellenvektor k, Bandindex n, Spin s
Einteilchenenergien H1 k, n, s = +(k, n, s) k, n, s
Vielteilchenzustand (k1 , n1 , s1 ), (k2 , n2 , s2 ), · · · , (kN , nN , sN )
Energie für nicht wechselwirkende Teilchen
H (k1 , n1 , s1 ), (k2 , n2 , s2 ), · · · , (kN , nN , sN )
=
N
+(ki , ni , si ) (k1 , n1 , s1 ), (k2 , n2 , s2 ), · · · , (kN , nN , sN )
(8.1)
i=1
Fermi Statistik
· · · , (
ki , ni , si ), · · · , (kj , nj , sj ), · · · = − · · · , (kj , nj , sj ), · · · , (ki , ni , si ), · · ·
(8.2)
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen c† (k, n, s) und c(k, n, s)
Vakuum (Kein Fermion)
c(k, n, s) | 0 = 0
(8.3)
Vielteilchenzustand
(k1 , n1 , s1 ), (
k2 , n2 , s2 ), · · · , (kN , nN , sN )
= c† (k1 , n1 , s1 ) c† (k2 , n2 , s2 ) · · · c† (kN , nN , sN ) | 0 (8.4)
Fermi-Statistik (Pauli Prinzip)
c† (k, n, s) c† (k , n , s ) = −c† (k , n , s ) c† (k, n, s)
Antikommutator {c, c } = c c + c c
c† (k, n, s), c† (k , n , s ) = 0
(8.5)
c(k, n, s), c(k , n , s ) = 0
c† (k, n, s), c(k , n , s ) = δk,k δn,n δs,s
(8.6)
Speziell für (k , n , s ) = (k, n, s): Pauli Prinzip
c† (k, n, s) c† (k, n, s) = 0
Besetzungszahloperator
n̂(k, n, s) = c† (k, n, s) c(k, n, s)
c(k, n, s) c(k, n, s) = 0
(8.7)
1 − n̂(k, n, s) = c(k, n, s) c† (k, n, s)
(8.8)
Eigenwerte des Besetzungszahloperators: n(k, n, s) = { 1 , 0 }
Hamilon-Operator für nicht wechselwirkende Fermionen
+(k, n, s) n̂(k, n, s)
H=
(8.9)
k,n,s
Gesamtteilchenzahl
N̂ =
n̂(k, n, s)
k,n,s
31
(8.10)
8.2
Großkanonische Gesamtheit, Grundzustand
Zustandssumme (Temperatur T , Volumen V , chemisches Potential µ)
Z(T, V, µ) = Tr e−β (H−µ N̂ )
=
(8.11)
1
{n}| e−β (H−µ N̂ ) |{n} =
n(k,n,s)=0
k,n,s
1 + e−β{(k,n,s)−µ}
k,n,s
Großkanonisches Potential
J(T, V, µ) = −kB T ln Z(T, V, µ) = −kB T
ln 1 + e−β{(k,n,s)−µ}
(8.12)
k,n,s
Teilchenzahl
N =−
∂J
1
k, n, s)
=
n̂(
=
∂µ eβ{(k,n,s)−µ} + 1 k,n,s
k,n,s
(8.13)
Energie
E =J −T
+(k, n, s)
∂J
k, n, s) n̂(k, n, s)
+ µN =
=
+(
β{(k,n,s)−µ} + 1
∂T
k,n,s e
k,n,s
(8.14)
< n ( ε) >
Mittlere Besetzungszahl
n̂(k, n, s) =
1
eβ{(k,n,s)−µ}
(8.15)
+1
µ
Grundzustand: T → 0: Fermienergie µ = +F



n̂(k, n, s) −→ 
T →0 

1 

für

0 





+(k, n, s) < µ 






+(k, n, s) > µ 
ε

(8.16)
Fermiflächen:
ε(k,n)
6
5
4
3
2
1
Metall
2
Metall
3
Isolator
4
Metall
5
Metall
6
Metall
1
(k,k)
(k,0)
14
32
27.11.02
8.3
Spezifische Wärme bei tiefen Tempeaturen
Zustandsdichte pro Volumen
g(+) =
1 δ + − +(k, n)
V (8.17)
k,n,s
Energie
Teilchenzahl
d+ g(+)
E=V
+
eβ(−µ)
N =V
+1
Grundzustandsenergie
E0 = V
Es sei
d+ g(+)
d+ g(+) + Θ(µ − +)
N0 = V
1
eβ(−µ)
(8.18)
+1
d+ g(+) Θ(µ − +)
(8.19)
f(x)
1
f (x) = x
− Θ(−x)
e +1
(8.20)
0
mit
∞
dx f (x) = 0
−∞
∞
dx x f (x) =
−∞
π2
6
(8.21)
0
x
Entwicklung für tiefe Temperaturen:
g(+) = g(µ) + (+ − µ) g (µ) + · · ·
Damit:
N − N0 ≈ V
(8.22)
d+ g(µ) + (+ − µ) g (µ) f β(+ − µ)
π2
(kB T )2 V g (µ)
6
π2
(kB T )2 V g(µ) + µg (µ)
E − E0 ≈
6
Beachte: Bei fester Teilchenzahl ist µ = µ(T ) µ(0) = +F
=
N0 (µ) ≈ N0 (+F ) + V g(+F )(µ − +F )
E0 (µ) ≈ E0 (+F ) + V +F g(+F )(µ − +F )
(8.23)
(8.24)
Mit N = N0 (+F )
N = N0 (µ)+
π2
π2
(kB T )2 V g (µ) = N +V g(+F ) (µ−+F )+ (kB T )2 V g (+F )
6
6
g (+F )
π2
µ − +F = − (kB T )2
6
g(+F )
Damit
Spezifische Wärme
π2
V g(+F ) (kB T )2
E(T, V, N ) = E(0, V, N ) +
6
1 ∂E
c=
N ∂T
=
N,V
33
π2 V
2
T
g(+F ) kB
3 N
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
Suszeptibilität:
In einem Magnetfeld B: (Gyromagnetisches Verhältnis gel = 2.02,
Bor’sches Magneton µB , magnetisches Moment m = gel µB s)
+(k, n, s) = +(k, n) − gel µB s B
(8.29)
Magnetisierung, Suszeptibilität
M=
1
(N↑
2
− N↓ )gel µB B
χ=
∂M
∂B
(8.30)
T,N,V
Für T = 0
χ = 14 (gel µB )2 V g(+F )
(8.31)
Damit hat man eine zweite Methode zur Bestimmung der Zustandsdichte g(+F ) an der
Fermikante.
Zustandsdichte
d3 k δ
+(
k,
n)
−
µ
B.Z. (2π)3 n,s
g(µ) =
(8.32)
n(k)
Betrachte Schicht im k-Raum mit µ < +(k, n) < µ + δµ
+(k, n) δk. Damit ist
Dicke der Schicht δµ = n(k)· ∇
k
g(+F ) = 2
n
Fn
d2 k
1
3
+(k, n)
(2π) n(k)· ∇
k
(8.33)
Freie Elektronen
h̄2 k 2
+(k) =
2m
+F =
h̄2 kF2
2m
2
+(k, n) = h̄ k
n(k)· ∇
k
m
√
km
2m3 √
g(+) = 2 2 = 3 2 +
π h̄
h̄ π
(8.34)
(8.35)
Elektronendichte
F
2
1 4π 3
N0
=
d+ g(+) = g(+F ) +F
=
k
F
3
V
(2π) 3
3
0
(8.36)
Fermitemperatur: ΘF = +F /kB Spezifische Wärme
c=
Beispiel: Natrium: ΘF = 37 700 K
π2 N
T
kB
2 V
ΘF
Aluminium: ΘF = 136 000 K
34
(8.37)
8.4
Elektrische Leitfähigkeit, Wärmeleitung
◦
Darstellung eines Einteilchenoperators Â (z.B. Einteilchenenergie H )
Â =
c† (k, n, s) k, n, s A k , n , s c(k , n , s )
(8.38)
k,n,k ,n
Speziell: Funktion des Ortes
Φ̂ =
k, n, s Φ(x) k , n , s = d3 r ϕ∗ (r)Φ(r)ϕ (r) δs,s (8.39)
k ,n
k,n
Φ(xi )
i
Lokale Feldoperatoren, mit (4.7)
ψ † (r, s) =
ϕ∗k,n (r) c† (k, n, s) =
k,n
e−ik·r u∗k,n (r) c† (k, n, s)
k,n
ψ(r, s) =
ϕk,n (r) c(k, n, s) =
k,n
ik·
r
e
uk,n (r) c(k, n, s)
(8.40)
k,n
Antikommutatoren
ψ † (r, s), ψ † (r , s ) = 0
ψ(r, s), ψ(r , s ) = 0
ψ † (r, s), ψ(r , s ) = δ(r − r ) δs,s
Damit
Φ̂ =
d3 r
(8.41)
(8.42)
ψ † (r, s)Φ(r)ψ(r, s)
(8.43)
s
Darstellung eines Zweiteilchenoperators Ŵ (z.B. Wechselwirkung)
Ŵ =
1
2
W (xi − xj )
i,j
=
dr dr
1
2
ψ † (r, s)ψ † (r , s )W (r − r )ψ(r , s )ψ(r, s)
(8.44)
s,s
15
2.12.02
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Wellenpakete, siehe (7.23) und (4.7)
†
c (r, k, n, s) =
∆
2π
3 2
ik·
r
=e
∆
2π
d3 κ e − 2 ∆
1
3
2
≈ (2π∆)− 2
3
c(r, k, n, s) =
∆
2π
3 2
d κe
d3 r e− 2∆2 (r−r
1
1
(k−κ)2
ei(k−κ)·r c† (κ, n, s)
− 12 ∆2 (k−κ)2
d3 κ e − 2 ∆
− 32
≈ (2π∆)
3
2
2
(k−κ)2
d3 r e− 2∆2 (r−r
1
wobei uκ,n (r ) ≈ uk,n (r ) gesetzt wurde.
35
)2
d3 r e−iκ·(r−r ) uκ,n (r )ψ † (r , s)
eik·r uk,n (r )ψ † (r , s)
e−i(k−κ)·r c(κ, n, s)
)2
e−ik·r u∗k,n (r )ψ(r , s)
(8.45)
Besetzungszahloperator:
n̂(r, k, n, s) = c† (r, k, n, s) c(r, k, n, s)
(8.46)
Hamiltonoperator in Gegenwart eines langsam veränderlichen Potentials Φ(r)
◦
H=
†
c (k, n, s)+(k, n)c(k, n, s) +
d3 r
ψ † (r, s)Φ(r)ψ(r, s)
(8.47)
s
k,n,s
◦
Zur Berechnung von [H , n̂(r, k, n, s)]:
Für langsam veränderliches Potential (Skala L ∆ wird Φ(r ) um Φ(r) entwickelt
†
3
Φ̂, c (r, k, n, s) = (2π∆)− 2
i
h̄
d3 r e− 2∆2 (r−r
1
)2
eik·r uk,n (r )ψ † (r , s) Φ(r )
·∇
r Φ(r) c† (r, k, n, s)
≈ Φ(r) − r + i∇
k
·∇
r Φ(r) c(r, k, n, s)
Φ̂, c(r, k, n, s) ≈ − Φ(r) − r − i∇
k
Φ̂, n̂(r, k, n, s) =
i
h̄
(8.48)
Φ̂, c† (r, k, n, s) c(r, k, n, s) + c† (r, k, n, s) Φ̂, c(r, k, n, s)
r Φ(r) · ∇
n̂(r, k, n, s)
≈ h̄1 ∇
k
(8.49)
Damit erhält man in Analogie zu (7.29) mit f (r, k, n, s, t) = n̂(r, k, n, s) und
t
+(k, n) ≈ h̄k
v (k, n) = h̄1 ∇
k
m∗
den “Driftterm” der Boltzmann-Gleichung (Effektive Masse m∗ )
(8.50)
∂ r f (r, k, n, s, t)+ 1 ∇
f (r, k, n, s, t)
r Φ(r)· ∇
f (
r, k, n, s, t) = −v (k, n)· ∇
k
h̄ ∂t 0
(8.51)
r).
r Φ(r) = −q E(
Für geladene Teilchen im elektrischen Feld: ∇
Lokale Gleichgewichtsverteilung
f0 (r, k, n, s, t) =
1
eβ(r,t) ((k,n)−F )
(8.52)
+1
Relaxationszeitansatz
f (r, k, n, s, t) = f0 (r, k, n, s, t) + g(r, k, n, s, t)
∂ ∂t Stationärer Fall
(8.53)
1
g(r, k, n, s, t) = − g(r, k, n, s, t)
τ
V
∂
f (r, k, n, s, t)
∂t
(8.54)
=0
r f0 (r, k, n, s) + 1 q E(
r)· ∇
f0 (r, k, n, s)
g(r, k, n, s) = −τ v (k, n)· ∇
k
h̄
≈ −τ β v (k, n)·
r T (r) − q E(
r)
+(k, n) − +F βkB ∇
× f0 (k, n, s) 1 − f0 (k, n, s)
36
(8.55)
Elektrische Stromdichte
j(r) = q 1
V
v (k, n) f (r, k, n, s) = q
k,n,s
1 v (k, n) g(r, k, n, s)
V k,n,s
r) − P ∇
T (r)
= σ E(
(8.56)
Elektrische Leitfähigkeit (Fermigeschwindigkeit vF =
σ = τ βq 2
h̄kF
m∗
)
1 v (k, n) ⊗ v (k, n)f0 (k, n, s) 1 − f0 (k, n, s)
V k,n,s
≈τβ
q 2 13
vF2
g(+F )1 d+ eβ(−F )
eβ(−F )
2
+1
= τ q 2 31 vF2 g(+F )1
(8.57)
Peltier Koeffizient
σP ≈ τ qβ
=τq
2
π2
9
kB 13
vF2 1
d+ g(+) (+ − +F ) eβ(−F )
2
eβ(−F ) + 1
2
vF2 g (+F ) kB
T1
(8.58)
Wärmestromdichte (Q = E − µN )
jQ (r) = 1
v (k, n) +(k, n) − +F g(r, k, n, s)
V k,n,s
r T (r) + σ P E(
r)
= −κ∇
(8.59)
Wärmeleitfähigkeit
κ = τ β 2 kB
2
1 v (k, n) ⊗ v (k, n) +(k, n) − +F f0 (k, n, s) 1 − f0 (k, n, s)
V k,n,s
≈τ
π2
9
2
vF2 g(+F ) kB
T1=
2
T
π 2 kB
σ
3 q2
Wiedemann-Franz Gesetz κ ∼ T σ.
(8.60)
16
4.12.02
Relaxationszeit für Verunreinigungsstreuung
Entsprechend (7.47)
2
1 1
g(r, k, n, s, t) =
δ +(k , n ) − +(k, n) w(k , n , k, n) g(r, k, n, s, t)
τv
h̄ (8.61)
k ,n
mit +(k, n) ≈ +F , da g(r, k, n, s, t) → 0 für |+(k, n) − +F | kB T und kB T +F
37
Relaxationszeit für Elektron-Phonon Streuung
Normalprozesse: (Nur ein Band, fast freie Elektronen)
1 g(r, k, n, s, t) =
δ +(k, n) − +(k − κ, n ) − h̄ω(κ, λ)
τel−ph
h̄ κ,n ,λ
1
k-κ
κ
k
2
×w(k, n, −k + κ, n , −κ, λ)
(ph)
× 1 − f0 (k − κ, n ) + f0 (κ, λ)
+δ +(k, n) − +(k + κ, n ) + h̄ω(κ, λ)
k+κ
κ
k
2
×w(k, n, −k − κ, n , κ, λ)
× f0 (k + κ, n ) +
(8.62)
(ph)
f0 (κ, λ)
g(r, k, n, s, t)
Temperaturabhängigkeit:
(ph)
Für T ΘD ist f0
(κ, λ) ≈ kB T /h̄ω(κ, λ) 1, also
ρ=
1
1
∼T
∼
σ
τel−ph
(8.63)
Für T ΘD tragen vorwiegend κ-Werte mit h̄ω(κ, λ) < kB T bei, also für eine
kugelförmige Fermifläche κ < κT = kB T /h̄cph .
Wegen h̄ω(κ, λ) < kB ΘD +F ist +(k, n) ≈ +(k − κ, n ) ≈ +F .
Wegen a† (κ, λ) + a(κ, λ) ∼
√
ω(κ, λ) u(κ, λ) ist w(k, n, −k ∓ κ, n , ±κ, λ) ∼ κ.
Damit ist
ρ∼T
κT
0
d2 κ
κ
cph κ
∼ T3
(8.64)
Umklapprozesse bringen keine qualitative
Veränderung, da der “Quasiimpuls” der
Elektronen auch für Normalprozesse nicht
erhalten ist.
Für sehr tiefe Temperaturen dominiert die
temperaturunabhängige Verunreinigungsstreuung (Restwiderstand).
38
log ρ
~T
~ T3
logΘD
log Τ
9
Halbleiter
9.1
Intrinsische Halbleiter
Beispiele: Ge, Si, GaAs (Diamantstruktur)
Kovalente Bindung: s, p3 Hybridorbitale
Bindungszustand: Symmetrische Superposition von Orbitalen benachbarter Ionen.
Antibindungszustand: Antisymmetrische Superposition von
Orbitalen benachbarter Ionen.
& 11 600 K
Energielücke: ∼ 1eV =
Energie für Elektronen und Löcher (vereinfacht)
h̄2 |k − k0 |2
+e (k) ≈ +L +
2m∗e
Si
1.1 eV
h̄2 |k|2
+p (k) ≈ +V −
2m∗p
(9.1)
Effektive Massen (Si): me ≈ (1.0−0.2)m mp ≈ (0.5−0.2)m
Zustandsdichte, siehe (8.35)
m∗e,p 3/2
h̄3 π 2
2 |+ − +L,V | für + > +L b.z.w. + < +V
(9.2)
Mittlere Besetzungszahlen
ge,p (+) =
[κκκ ]
0
[κ 00 ]
ne (+) =
1
eβ(−µ)
np (+) = 1 −
+1
1
eβ(−µ)
(9.3)
+1
17
Für +L − µ kB T und µ − +V kB T
ne (+) ≈ e−β(−µ) für + > +L
np (+) ≈ e−β(µ−) für + < +V
9.12.02
(9.4)
Gesamtzahl der Leitungselektronen und Löcher
Ne
=
V
∞
L
d+ ge (+) e
m∗e kB T
=2
2πh̄2
m∗p kB T
Np
=2
V
2πh̄2
−β(−µ)
=
3/2
√ 2 kB T m∗e
3/2
h̄3 π 2
e
−β(L −µ)
e−β(L −µ) =
2
e−β(L −µ)
3
λe (T )
e−β(µ−V ) =
2
e−β(µ−V )
3
λp (T )
3/2
Thermische de Broglie Wellenlänge λx (T ) =
Beispiel: T = 300 K: λ(300) ≈ 5 nm
39
2πh̄2 /m∗x kB T
∞
dx
√
x e−x
0
(9.5)
Beachte: Ne Np hängt nicht von µ ab:
Massenwirkungsgesetz, gilt auch für dotierte Halbleiter.
Ne Np = Ni = 2 N mit v = V /N (N Gitterplätze)
Beispiel: Si (Zimmertemperatur)
−3/2
v · λe (T ) λp (T )
v
3/2
e− 2 β(L −V )
1
(9.6)
λe (T ) λp (T )
Ne Np /V = 1.5 · 1010 cm−3 ,
≈ 3 · 10−4
Ladungsneutralität: µ so daß Ne = Np
µ=
1
2
+L + +V
m∗p
+ kB T ln
m∗e
3
4
(9.7)
Leitfähigkeit:
Entsprechend (8.57) mit ve (k) ≈ h̄k/m∗e und |ve (k)|2 ≈ (+e (k) − +L )/m∗e
√ ∗
∞
3/2
2me
2
−β(L −µ)
σe = 2 τe q
e
dx x3/2 e−x
3 2 kB T
0
3h̄ π
= 2 τe q
2
σp = 2 τp q
2
kB T
2πh̄2
kB T
2πh̄2
3/2
3/2
m∗e e−β(L −µ) =
m∗p e−β(µ−V ) =
τ e q 2 Ne
m∗e V
τp q 2 Np
m∗p V
(9.8)
Die Leitfähigkeit wächst mit steigender Temperatur, im Gegensatz zu Metallen. Auch bei
moderaten Temperaturen geringe Leitfähigkeit.
Typische Werte (Zimmertemperatur): Metalle ρ ∼ 10−6 Ω cm, Isolatoren ρ ∼ 1022 Ω cm,
Halbleiter ρ ∼ 10−3 · · · 109 Ω cm.
9.2
Dotierte Halbleiter
Donatoren (5 Valenzelektronen): P, As, Sb, Bi
Akzeptoren (3 Valenzelektronen): B, Al, Ga, In, T l
Donor:
Überschußladungadung e, Dielektrizitätskonstante +, Beispiel Si: +Si ≈ 20.
Coulombwechselwirkung in einem Dielektrikum: V (r) = q 2 /+ r
√
Donorsystem: Wasserstoffatom mit effektiver Ladung e/ +:
Bohr’scher Radius a = h̄2 +/m∗e e2 Beispiel Si: a ≈ 20 Å
Bindungsenergie E0 = m∗e e4 /h̄2 +2 Beispiel Si: E0 ≈ 0.05 eV ≈ kB · 600 K
Entsprechendes gilt für das Akzeptorsystem.
40
Einfaches Modell:
Jeweils nur ein gebundener Donor- b.z.w. Akzeptorzustand
Ladungsneutralität:
Elektronen im Leitungsband + Elektronen auf
Donatorplätzen - Donatoren = Löcher im Valenzband
+ Löcher auf Akzeptorplätzen - Akzeptoren.
(v = V /N , N Gitterplätze, mit (9.5))
εL
εD
+
+
+
+
εA
εV
1
1
v −β(L −µ)
v −β(µ−V )
e
−
c
=
2
e
−
c
D
A
λ3e
1 + e−β(D −µ)
λ3p
1 + e−β(µ−A )
gilt für +L − µ kB T und µ − +V kB T .
2
(9.9)
Es sei µi das chemische Potential des undotierten Halbleiters, (9.7). Dann ist mit (9.6)
Np = e−β(µ−µi ) Ni
Ne = eβ(µ−µi ) Ni
n-dotierter Halbleiter: cD cA . Damit sind die Beiträge
der rechten Seite von (9.9) vernachlässigbar.
◦
Mit ne = 2v/λ3e , ne = Ne /N und nD = Zahl der an
Donatoren gebundenen Elektronen pro Gitterplatz:
◦
ne =ne e−β(L −µ) = cD − nD =
log ne
µ
log ne
log cD
log cD
(9.11)
εL
εD
µ
◦
Für cD <ne e−β(L −D ) sind die Donatorniveaus
unbesetzt und ne = cD . Bei sehr hohen
Temperaturen dominiert die Eigenleitung.
cD
εL
εD
1+
cD
−β(
D −µ)
e
log (cD-nD )
log ne
(9.10)
Figur: ne und µ als Funktion von β.
+
+
+
εA - - εV
+
+
+
- - 1/T
Entsprechende Rechnung gilt für p-dotierte Halbleiter
(cD cA )
Ladungskompensierte Halbleiter mit cD ≈ cA verhalten sich wie intrinsische Halbleiter.
18
11.12.02
Leitfähigkeit (9.8):
σe =
τe q 2
ne
m∗e v
(9.12)
Diffusion: Mit µ = µ(r) und (8.55)
r µ(r) fe(0) (k)
ge (r, k) = −τ β ve (k) · ∇
(9.13)
für +L − µ kB T . Teilchenstromdichte
1 jne = 1
ve (k)ge (r, k) = −τ β
ve (k) ve (k) · ∇r µ(r) fe(0) (k)
V V k,s
k,s
41
(9.14)
r ne (r). Diffusionskonstante:
Diffusionsgleichung: jne = −De ∇
De = τe
kB T
m∗e
σe = β q 2 De ne
(9.15)
Gesamter Teilchenstrom (Elektronen) mit j(r) = −q jne (r)
r) − De ∇
r ne (r)
jne (r) = − β q De ne (r) E(
t)
f)
(r) + jn(dif
(r)
= jn(drif
e
e
(9.16)
Entsprechende Rechnung für p-dotierte Halbleiter.
9.3
p-n-Übergang, Diode, Transistor
Räumliche Inhomogenitäten auf einer Längenskala L a.
Wellenpakete der Breite a ∆ L.
Elektrisches Potential Φ(r). Einteilchenenergien
h̄2 |k − k0 |2
+e (r, k) = +L − q Φ(r) +
2m∗e
2
2
h̄ k
+p (r, k) = +V + q Φ(r) −
2m∗p
(9.17)
Elektrochemisches Potential
µe (r) = µ + q Φ(r)
(9.18)
i.e. die vorher hergeleiteten Relationen gelten für µ → µe (r).
◦
Im Gleichgewicht ist, (9.11), ne (r) =ne e−β(L −µe (r)) .
r) = −∇Φ(
r) verschwindet also der Gesamtstrom jne,p (r) = 0, (9.16).
Mit E(
p-n-Übergang (y-z-Ebene): cD (x) = Θ(x) cD und cA (x) = Θ(−x) cA .
Gleichgewicht: Für x → ∞ : ne (x) → ne ; µe (x) → µn = µ + q Φn
Für x → −∞: np (x) → np ; µe (x) → µp = µ + q Φp
Elektrisches Potential, Poissongleichung:
µe(x)
d2
4π
Φ(x)
=
−
ρ(x)
dx2
+
(9.19)
Ladungsdichte
µ
ρ(x) = q np (x)−ne (x)−cA (x)+cD (x)
(9.20)
Vereinfachtes Modell:
ρ
p
-
ρ(x) = −q cA für − dp < x < 0
+
-dp
ρ(x) = q cD für
x
dn
ρ(x) = 0
n
42
sonst
0 < x < dD
(9.21)
Potential:
2
2π
für − dp < x < 0
q cA dp + x
+
2
2π
für
0 < x < dn
Φ(x) = Φn −
q cD dn − x
+
Φ(x) = Φp +
Abschätzung: Φn ≈
− +V );
1
(+
2q L
dn =
Beispiel: +L − +V ≈ 1 eV:
(9.22)
1
Φp ≈ − 2q
(+L − +V ); Φ(0) ≈ 0
+L − +V
4πcD q 2 /+
dp =
+L − +V
4πcA q 2 /+
(9.23)
√
dn,p ≈ 3000/ cD,A cm.
Für c = 1014 · · · 1018 : d ≈ 104 · · · 102 Å
(Verarmungsschicht)
19
p-n-Übergang mit angelegter Spannung:
V> 0
V< 0
µe(x)
∆Φ -V
p
-
+
-dp
ρ
-dp
ρ
x
dn
∆Φ -V
+
µe(x)
16.12.02
-
n
dn
p
Durchgangsrichtung
x
n
Sperrichtung
Dicke der Verarmungsschicht für Φn,p →: Φn,p ∓ 12 V , mit ∆Φ = Φn − Φp
dn,p (V ) = dn,p (0) 1 −
Vq
∆Φ
(9.24)
Beachte: Der Widerstand in der Verarmungsschicht ist viel größer als für x > dn oder
x < −dp . Damit ist Φ(dn ) ≈ Φn − 12 V und Φ(−dp ) ≈ Φp + 12 V .
Mit (9.11) und ne (dn ) ≈ ne b.z.w. np (−dp ) ≈ np
ne (−dp ) ≈ e−βq(∆Φ−V ) ne
np (dn ) ≈ e−βq(∆Φ−V ) np
(9.25)
Damit ist für V > 0 (V < 0) die Zahl der Minoritätsladungsträger (Löcher im nBereich, Elektronen im p-Bereich) größer (kleiner) als im Gleichgewicht, und thermische
Anregung und Rekombination von Elektron-Loch Paaren sind nicht mehr ausgeglichen.
43
Rekombination von Elektron-Loch Paaren:
Bei Rekombinationsprozessen dind Energie und Quasiimpuls (k-Vektor) erhalten.
Beispiel: Rekombination unter Aussendung eines Photons (bei 1ev λ ∼ 1.2µ), Photon
+ Phonon (vorwiegend bei indirekter Lücke), strahlungsloser Übergang (Ausendung
mehrere Phononen), ”Rekombinationszentren“ (Verunreinigungen mit Zuständen in der
Mitte der Bandlücke), e.t.c.
◦
Relaxationszeitansatz: (Gleichgewichtsverteilung ne,p (x))
∂ 1
∂ ◦
◦
ne (x) =
np (x) = −
n
e (x) np (x) − ne (x) ne (x)
∂t rec
∂t rec
τr
(9.26)
Typische Werte für τr,e = τr /np oder τr,p = τr /ne ∼ 10−3 · · · 10−8 sec.
Zum Vergleich: Stoßzeiten für Elektronen oder Löcher τe,p ∼ 10−12 · · · 10−13 sec.
Kontinuitätsgleichung für Elektronen, x < −dp (entsprechend für Löcher, x > dn ):
Mit (9.16) und (9.26) und δnp (x) np
1
∂
∂ ∂2
δne (x) = −
δne (x) =
jn ,x (x) = −De 2 δne (x)
∂t rec
τr,e
∂x e
∂x
(9.27)
mit δne (x) = ne (x) − ne e−βq∆Φ und (9.25)
δne (−dp ) = e−βq∆Φ eβqV − 1 ne
(9.28)
und für x < −dn
δne (x) = e−βq∆Φ eβqV − 1 e(dp +x)/Le ne
Le =
τr,e De
(9.29)
Entsprechende Rechnung für δnp (x) und x > dn .
Beispiel: Si bei Zimmertemperatur, Le ∼ 0.08 mm Lp ∼ 0.03 mm.
Stromdichte: Mit (9.27)
jne ,x (−dp ) = −
ne
e−βq∆Φ eβqV − 1
Le τr,e
np
jnp ,x (dn ) =
e−βq∆Φ eβqV − 1
Lp τr,p
20
j
(9.30)
j = js e
βqV
15
10
Strom-Spannungscharakteristik
(mit j ≈ −q jne ,x (−dp ) + q jnp ,x (dn ))
js
5
−1
(9.31)
0
Sättigungsstrom in Sperrichtung:
js =
ne
np
+
q e−βq∆Φ
Le τr,e Lp τr,p
(9.32)
44
-5
-3
-2
-1
0
1
qV
k BT
2
3
n-p-n Bipolartransistor
– +
JE
–
+
JB
VE
n
U
p
xEB
Emitter
n
VK
xBK
Basis
R
JK
Kollektor
Dicke der Basis L = (xBK − xEB ) Le (Diffusionslänge).
Dotierung der p-Schicht sei klein (vernachlässigbare Löcherleitung)
Gleichgewicht: VE = 0, U = 0, Je = 0, JB = 0, Jk = 0
ne (x) = ne(B)
für
xEB < x < xBK
(9.33)
(E)
für
x < xEB
(K)
für
x > xBK
(9.34)
∆ΦBK = ∆ΦBK + VK
(9.35)
ne (x) = ne(E) = eβq∆ΦEB ne(B) ≈ cD
ne (x) = ne(K) = eβq∆ΦBK ne(B) ≈ cD
Funktionsweise: VE,B = 0, U = 0
∆ΦEB = ∆ΦEB − VE
VK = U − R JK
(9.36)
Elektronendichte im Basisbereich:
ne (xBK ) = e−βqVK n(B)
e
ne (xEB ) = eβqVE ne(B)
(9.37)
Rekombinationsstrom = Basisstrom JB (Querschnitt F , Länge L der Basis)
JB ≈ qF L
1
1
βqVE
δne (xEB ) = qF L n(B)
e
−
1
τr
τr e
Diffusionsstrom in der Basis
(für JB JK i.e. L Le )
(9.38)
U–VBK
F De ne (xEB ) − ne (xBK )
L
F De (B) βqVE
=q
ne e
− e−βqVK
L
1
=
U − VK
(9.39)
R
JK = q
VBK
–VEB –VEB
U
20
45
18.12.02
Zur weiteren Rechnung: Widerstand der Basis:
F
1
F
= σ = β q 2 De ne(B)
RB
L
L
Thermische Spannung
kB T
UT = 0.026 V für T = 300 K
UT =
q
Damit ist
U
U − VK
T
=
JK = eVE /UT − e−VK /UT
RB
R
und
U
τe L2 VE /UT
T
JB =
e
−
1
τr,e L2e
RB
Verstärkung:
δJK
τr,e L2e
∼
δJB
τe L2
(9.40)
(9.41)
(9.42)
(9.43)
(9.44)
MOSFET (metal-oxyde-semiconductor field effect transistor)
Sperrbereich:
Gatespannung VG < (+L − µ)/q
Verarmungsschicht (Löcher), mit (9.23)
Gate
n
p
(d − x)2
Φ(x) =
VG
d2
n
Drain
Source
für x < d und
d=
εL
(9.45)
VG
4πcA q/+
(9.46)
Es existieren Oberflächenzustände im Leitungsband mit Energie +o (κ) < +L
VGate
µ
ϕκ (r) ≈ ei(κy y+κz z) ϕγ (x)
(9.47)
ϕγ (x) ∼ e−γ x für x > d
(9.48)
d
mit
Metall
Oxyd
und
h̄2 (κ2y + κ2z − γ 2 )
+o (κ) = +L +
2m∗e
(9.49)
Durchlaßbereich: VG > (+L − µ)/q
Die Oberflächenzustände werden bis zur Fermienergie +F = µ besetzt und bilden hier
ein zweidimensionales entatetes Fermigas mit metallischer Leitfähigkeit. Die Dicke der
Schicht ist etwa
D ∼ 12 qVqVGG−µ d
(9.50)
Sie bestimmt die Leitfähigkeit im Durchlaßbereich. Bei schwacher Dotierung im pBereich wird d und damit D groß, und man erhält eine gute Leitfähigkeit.
46
10
Tieftemperatureigenschaften von Gläsern
Spezifische Wärme
101
Wärmeleitfähigkeit
101
µJ/gK]
C [µ
100
100
10-1
κ [W/cm K]
Quarzglas
10- 1
~T
Quarz
Kristall
~T3
10- 2
10-2
Quarz Kristall
~T 3
10- 3
10-3
Quarzglas
10- 4
10-4
0.01
0.1
T [K]
~T2
10- 5
0.1
1
1
10 T [K] 100
Tunnelmodell:
In Gläsern existieren (meta-)stabile Konfigurationen, die durch quantenmechanisches
Tunneln von wenigen Teilchen ineinander übergehen können (Tunnelzentren).
Tunnelaufspaltung (für ∆ = 0):
∆0 = h̄Ωe−λ
λ=
ε
V
1
2
∆
hΩ
d
2
(10.1)
2mV
h̄2
(10.2)
Hamiltonoperator (Zweizustandsmodell, Spin 12 )
H=
d
1
2
∆ ∆0
∆0 −∆
=
∆0
σ
2 x
+ ∆2 σz
(10.3)
Tunnelaufspaltung für asymmetrisches Doppelpotential:
+=
∆20 + ∆2
(10.4)
Erwartungswert der Energie und spezifische Wärme eines Tunnelzentrums
E(+) = − 12 + tanh
1
β+
2
c(+) =
1
+2
2 1
2
4kB T cosh ( 2 β+)
(10.5)
Angenommene Verteilung der Tunnelparameter ∆, λ b.z.w. +, λ
P (∆, λ) = P
P (+, λ) =
d∆
+
P
P (∆, λ) = d+
+2 − (h̄Ωe−λ )2
(10.6)
für ∆/kB ∼ 1 K b.z.w. + > h̄Ωe−λ und λ < λmax . Ein Maximalwert λmax ist
notwendig um Singularitäten zu vermeiden. Tunnelsysteme mit sehr großem λ haben
47
eine sehr kleine Tunnelfrequenz. Durch Wechselwirkung mit Phononen oder anderen
Freiheitsgraden wird die Kohärenz für diese sehr langsamen Tunnelsysteme zerstört, und
sie tragen damit nicht mehr bei.
Zustandsdichte:
λmax
g(+) =
λmin
dλ P (+, λ) = 1 artanh 1 −
h̄Ω
2
λmax
e−2λ (10.7)
λmin
). Für λmax ln( h̄Ω
)
mit λmin = ln( h̄Ω
g(+) ≈ P λmax − ln
h̄Ω
2
+ O(e−2λmax ) ≈ λmax P
(10.8)
x2
π2
2
dx
T
= λmax P kB
2
3
cosh (x)
(10.9)
Spezifische Wärme
c = d+ g(+) c(+) =
2
2kB
T λmax P
∞
0
Typischer Wert für die Zahl der Tunnelzustände kB λmax P ∼ 1016 [K−1 cm−3 ].
21
8.1.03
Wärmeleitung
Wechselwirkung zwischen Tunnelsystem und elastischen Verzerrungen η
Hint = γ · η σz
Verzerrungstensor
ηα,β (r) =
ηα,β (k) =
λ
1
2
∂uα (r) ∂uβ (r)
+
∂rβ
∂rα
(10.10)
(10.11)
h̄
a† (k, λ) + a(k, λ) 12 kα ηβ (k, λ) + kβ ηα (k, λ) (10.12)
2mω(k, λ)
Mit ω(k, λ) ≈ cλ k und
γλ =
1
2
γα,β nα (k)ηβ (k, λ) + nβ (k)ηα (k, λ)
(10.13)
α,β
wobei n(k) ein Einheitsvektor in k-Richtung ist, erhält man
γ · η(k) ≈
λ
γλ
h̄ k † a (k, λ) + a(k, λ)
2mcλ
(10.14)
Berechnung der Relaxationszeit für Phononen: g(k, λ) = f (k, λ) − f0 (k, λ)
2 1 1
(0)
Pi − Pi δ(Ei − Ef )Wi,f ni (k, λ) − nf (k, λ)
g(k, λ) =
h̄ i,f
τ (k, λ)
48
(10.15)
a) Resonante Absorption eines Phonons mit Energie h̄ω(k, λ) = + und Anregung eines
Tunnelsystems mit Energie +:
(0)
Pi − Pi
= g(k, λ)
1
1 + e−β
ni (k, λ) − nf (k, λ) = 1
(10.16)
b) Relaxation eines Tunnelsystems mit Energie + und Anregung eines Phonons mit
Energie h̄ω(k, λ) = +:
(0)
Pi − Pi
= g(k, λ)
eβ
1
+1
ni (k, λ) − nf (k, λ) = −1
Matrixelement
Wi,f
Damit ist
∆
= γλ
+
h̄k
2mcλ
1
τ (k, λ) ∼
k
(10.17)
(10.18)
(10.19)
Hauptbeitrag zur spezifischen Wärme von Phononen mit Energie h̄ω(k, λ) ≈ kB T und
Wellenzahl k ≈ kh̄cB T . Damit ist τ ∼ T −1 und mit (7.53) und (7.22) ist κ ∼ T 2 für
tiefe Temperaturen. Bei Temperaturen T > 1 K werden andere Prozesse, z.B. lokalisierte
Phononzustände, wichtig.
49
IV WECHSELWIRKENDE ELEKTRONEN IN METALLEN
11
Hartree-Fock Theorie
11.1
Variationsrechnung, Hartree-Fock Gleichungen
Einteilchenzustände
ϕk,n (r)
(11.1)
Feldoperatoren (Fermionen), siehe (8.40)
ψ † (r, s) =
ϕ∗k,n (r) c† (k, n, s)
ψ(r, s) =
k,n
ϕk,n (r) c(k, n, s)
(11.2)
k,n
Hamiltonoperator mit Zweiteilchenwechselwirkung
H = H0 +
1
2
W (xi − xj )
i,j
=
c† (k, n, s) k, n, s H0 k , n , s c(k , n , s )
k,n,s,k ,n ,s
+ 12
ψ † (r, s)ψ † (r , s )W (r − r )ψ(r , s )ψ(r, s)
s,s
=
c† (k, n, s) k, n, s H0 k , n , s c(k , n , s )
k,n,s,k ,n ,s
1
2
=
k,n,s,k ,n ,s
k ,n ,s ,k ,n ,s
c† (k, n, s) c† (k , n , s )
(11.3)
× k, n, s; k , n , s W k , n , s ; k , n , s c(k , n , s ) c(k , n , s )
mit
k, n, s H0 k , n , s = δs,s
3
dr
ϕ∗k,n (r)
h̄2 ∆
−
+ V (r) ϕk ,n (r)
2m
(11.4)
k, n, s; k , n , s W k , n , s ; k , n , s =
= δs,s δs ,s
d3 r d3 r ϕ∗k,n (r)ϕ∗k ,n (r )W (r − r )ϕk ,n (r )ϕk ,n (r)
(11.5)
Rietz’sche Ungleichung, Variationsrechnung
E0 ≤ Φ| H0 + W |Φ
Φ|Φ = 1
mit
(11.6)
Variationsrechnung mit Nebenbedingung Φ|Φ = 1 ( Lagrangeparameter +)
δΦ| H0 + W − + |Φ = 0
Testwellenfunktion
|Φ =
n(k,n,s)
c† (k, n, s)
k,n,s
50
|0
(11.7)
(11.8)
Erwartungswert
Φ| H0 + W − + |Φ =
n(k, n, s) k, n, s H0 k, n, s
k,n,s
1
2
k,n,s;k ,n ,s
+
n(k, n, s) n(k , n , s ) ×
k, n, s; k , n , s W k , n , s ; k, n, s −
×
− k, n, s; k , n , s W k, n, s; k , n , s
Variation: δΦ| → δϕ∗k,n (r).
Mit (11.4) und (11.5) erhält man die “Hartree-Fock Gleichungen”
−
h̄2 ∆
+V (r)+W (r) ϕk,n (r)− d3 r Wex (r−r )ϕk,n (r ) = +(k, n)ϕk,n (r)
2m
(11.9)
22
13.1.03
(11.10)
wobei
W (r) =
2
d3 r W (r − r )ϕk ,n (r ) n(k , n , s )
k ,n ,s
Wex (r − r ) =
W (r − r ) ϕk ,n (r) ϕ∗k ,n (r ) n(k , n , s)
(11.11)
k ,n
Die Hartree-Fock Gleichungen sind vom Typ einer Einteilchen-Schrödingergleichung,
allerdings mir selbstkonsistent zu bestimmenden nichtlokalen Potentialen.
Erwartungswert der Energie:
E = Φ| H |Φ =
1
2
k, n, s H0 k, n, s + +(k, n) n(k, n, s)
(11.12)
k,n,s
Besetzungszahlen: n(k, n, s) = {0, 1} so daß E minimal und k,n,s n(k, n, s) = N .
Angeregte Zustände, e.g.
Ψ(k, n, s; k , n , s )
= c† (k, n, s) c(k , n , s ) |Φ
(11.13)
mit n(k, n, s) = 0 und n(k , n , s ) = 1.
Anregungsenergie
δE = Ψ(k, n, s; k , n , s ) H0 + W Ψ(k, n, s; k , n , s ) − Φ| H0 − W |Φ
= +(k, n) − +(k , n , s ) −
k, n, s; k , n , s W k , n , s ; k, n, s −
− k, n, s; k , n , s W k, n, s; k , n , s
≈ +(k, n) − +(k , n , s )
(11.14)
51
11.2
Elektronen in einem homogenen Potential
Ladungshintergrund V (r) = V0
Wellenfunktion
ϕk (r) =
Besetzungszahlen
√1
V
ei k·r
n(k, s) =
(11.15)
1
0
für
3 k < kF
k > kF
(11.16)
Hartree Potential
W (r) =
n(k, s) V1
d r W (r − r ) =
d3 r W (r ) = W
N
V
(11.17)
k,s
Austauschpotential
d3 r Wex (r −r ) √1V ei k·r = d3 r Wex (r )e−i k·r
√1
V
ei k·r = Wex (k) √1V ei k·r (11.18)
mit
Wex (k) =
1
V
n(k , s) d3 r W (r) e−i (k−k )·r =
k
und
W (k) =
Für V0 = −W
k <kf
d3 k W (k − k )
(2π)3
d3 r W (r) e−i k·r
(11.19)
(11.20)
h̄2 k 2
+(k) =
− Wex (k)
2m
(11.21)
Coulomb Wechselwirkung:
W (r) =
q2
|r|
∆W (r) = −4π q 2 δ(r)
1 3
1 3
2 −i k·
r
= − 2 d r W (r) ∆ e−i k·r
W (k) = 2 d r W (r) k e
k
k
1
4π q 2
= − 2 d3 r e−i k·r ∆ W (r) =
k
k2
Mit (11.19)
(11.23)
q 2 kF
1 − (k/kf )2 k + kF Wex (k) =
1+
ln π
2 k/kf
k − kF 52
(11.22)
(11.24)
Wex (k) →
2
π
q 2 kF
für
k→0
Wex (k) =
1
π
q 2 kF
für
k = kF
für
k kF
Wex (k) → 0
0.5
ε (k)
ε (k)
k2/2m
(11.25)
0.0
Effektive Masse
h̄2 kF
=
m∗
d +(k) dk Wex (k)
-0.5
(11.26)
k=kF
q 2 dWex (k)
−→ − ln k − kF |
d k k→kF π
3
g(ε)
(11.27)
-1.0
0.0
0.5
1.0
k/kF
1.5
Effektive Masse in Hartree-Fock Näherung für
Coulomb Potential m∗ → 0, und mit (8.35) gilt für
die Zustandsdichte g(+F ) → 0.
2
Für Potentiale mit endlicher Reichweite ist m∗ und
g(+F ) endlich.
1
0
0.0
1.0 k/kF 1.5
0.5
23
15.1.03
Grundzustandsenergie (11.12)
E
3 h̄2 kF2
3 2
=
−
q kF
N
5 2m
4π
(11.28)
Gleichgewicht:
∂ E/N
=0
∂ kF
kF =
Dichte
ρ=
5 m q2
5
2 =
4π h̄
4π aB
(11.29)
1
N
= 3 kF3
V
3π
(11.30)
Mit aB = 0.529 · 10−8 cm: kF ≈ 0.75 · 108 cm−1 .
Vergleich Li : 1.1 · 108 N a : 0.9 · 108 K : 0.73 · 108 Cu : 1.35 · 108 Ag : 1.2 · 108
Korrelationsfunktion
g(r − r ) =
Φ| ψ † (r, s)ψ † (r , s )ψ(r, s)ψ † (r , s )ψ(r, s) |Φ
s,s
=ρ
2
'
3 sin(kF |r − r |) − kF |r − r | cos(kF |r − r |)
1−
3
2
kF |r − r |
53
(2 (11.31)
F
1.0
Energie
g(r)
3 h̄2 kF2
E
=
+ d3 r W (r) g(r) − 1
N
5 2m
E0 Wc
=
−
(11.32)
N
N
0.5
Ferromagnet
0.0
0
2
4
Intrinsischer Ferromagnetismus:
√
√
kF,⇓ = 3 1 − x kF
kF,⇑ = 3 1 + x kF
kF r 8
6
ρ⇓ = 12 (1 − x)ρ
ρ⇑ = 12 (1 + x)ρ
Energie
E(x) = 12 E0 (1 + x)5/3 + (1 − x)5/3 − 12 Wc (1 + x)7/3 + (1 − x)7/3
Für Wc <
Für Wc >
11.3
5
E:
14 0
5
E:
14 0
(11.33)
E(x) ist für x = 0 minimal: Paramagnet
E(x) ist für x = 0 minimal: Intrinsischer Ferromagnet.
Abschirmung (Thomas-Fermi-Näherung)
Testladung −Z q am Ort r = 0.
Positive Überschussladung durch verringerte
Elektronendichte in der Nähe der negativen
Testladung.
Potential Vs (r)
ρ (r)
++ + + +
+
∆ Vs (r) = −4πq 2 Zδ(r) − ρ(r) + ρ
(11.34)
Einteilchenenergien für Elektronen mit
effektiver Masse
m∗ in einem langsam
veränderlichen Potential Vs (r)
r
h̄2 k 2
+ Vs (r)
+(k, r) =
2m∗
Lokaler Fermiimpuls kF (r)
(11.35)
h̄2 kF2
h̄2 kF (r)2
+
V
(
r
)
=
+
=
s
F
2m∗
2m∗
(11.36)
kF (r)3
kF2 m∗
≈
ρ
+
k
(r)
−
k
≈
ρ
−
Vs (r)
F
F
3π 3
π3
π 2 h̄2 kF
(11.37)
Lokale Dichte
ρ(r) =
Lösung der Poissongleichung (11.34)
Vs (r) =
Z q 2 −r/s
e
|r|
54
(11.38)
Abschirmlänge (Bohr’scher Radius aB = h̄2 /mq 2 )
s =
+F
=
6πρq 2
πaB
4kF
(11.39)
Mittlerer Elektronenabstand
r0 =
3
3
4πρ
3
=
9π
4
1
kF
s =
1
2
3
√
π
3
aB r0
(11.40)
Typische Werte für Metalle: s ∼ r0 ∼ aB .
Hartree-Fock Rechnung mit abgeschirmtem Potential, (11.23)
4πq 2
W (k) = 2
k + κ2s
κs =
1
s
(11.41)
Mit (11.19)
q 2 kF
W ex (k) =
π
(k + kf )2 + κ2s
k 2 − k 2 + κ2s
1+ F
ln
4kkF
(k − kf )2 + κ2s
κs
2kF κs
−
arctanh 2
kF
kF + κ2s − k 2
(11.42)
Damit sind W ex (k) und seine Ableitungen für k = kF nicht singulär, und die effektive
Masse und die Zustandsdichte an der Fermikante sind endlich. Typischerweise findet
man m∗ ≈ m.
24 20.1.03
11.4
Optische Eigenschaften, Plasmaschwingungen
0 (r, t), Polarisation P (r, t).
Äußeres elektrisches Feld E
Kraft auf ein Elektron
0 (r, t) + 4π P (r, t)
r, t) = −q E
K(
Poissongleichung
· P (r, t) = −q n(r, t) − n
∇
(11.43)
(11.44)
Kontinuitätsgleichung
∂
· j(r, t)
n(r, t) = −∇
∂t
∂
Newton’sches Gesetz: m ∂t
v (r, t) = K(r, t), Strom j(r, t) = v (r, t) n(r, t)
∂
q j(r, t) = −
E0 (r, t) + 4π P (r, t) n(r, t)
∂t
m
Mit (11.44) und (11.45)
∂ · j(r, t)
∇ · P (r, t) = q ∇
∂t
Mit (11.46)
∂ P (r, t) = q j(r, t)
∂t
∂2 q2 n (r, t)
(
r
,
t)
+
4π
P
P
(
r
,
t)
≈
−
E
0
∂t2
m
55
(11.45)
(11.46)
(11.47)
(11.48)
0 (ω)
Frequenzabhängige Dielektrizitätskonstante: 4π P (ω) = {+(ω) − 1} E
ω2
+(ω) = 2
ω − ωP2
ωP =
4πq 2 n
m
(11.49)
Plasmafrequenz ωP .
Plasmaschwingungen (kollektive Anregungen) für ω = ωP .
Lichtgeschwindigkeit:
c20
(11.50)
+(ω)
Keine Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen für ω < ωP (totalreflektierend),
transparent für ω > ωP .
c2 (ω) =
11.5
Fermi-Flüssigkeit (Landau-Theorie)
Betrachte
H(λ) =
i
p2i
+ 12 λ
W (xi − xj )
2m
i,j
(11.51)
λ = 0: freies Fermigas, λ = 1: wechselwirkendes Fermigas.
Bei adiabatischem Einschalten der Wechselwirkung erhält man eine eindeutige
Zuordnung von Zuständen des freien Systems zu Zuständen des wechselwirkenden
Systems
◦
| Φn ↔ |Φn (λ) ↔ |Ψn (11.52)
z.B. Grundzustand
◦
◦
| Φ0 ↔ |Ψ0 E 0 ↔ E0
◦
| Φ0 =
mit
c† (k, s) | 0 (11.53)
|k|<kF ,s
Einquasiteilchenzustand (|k| > kF )
◦
◦
c (k, s)| Φ0 = | Φk,s ↔ Ψk,s = c̃† (k, s) |Ψ0 †
Quasiteilchen:
(11.54)
Einquasilochzustand (|k| < kF )
◦
◦
c(k, s)| Φ0 = | Φk,s ↔ Ψk,s = c̃(k, s) |Ψ0 Impuls: P =
(11.55)
pi . Wegen [P, W ] = 0
i
P Ψk,s = h̄k Ψk,s
◦
◦
P | Φk,s = h̄k | Φk,s (11.56)
Energie (großkanonisch) für |k| > kF
◦
H − µN | Φk,s =
H
− µN Ψk,s
h̄2 k 2
◦
◦
− µ+ E 0 −µN | Φk,s 2m
= +(k) − µ + E0 − µN Ψk,s
56
(11.57)
Entsprechend für Quasilochzustand mit |k| < kF .
Für |k| → kF +(k) → +F = µ und für |k| ≈ kF ist
h̄2 kF (|k| − kF )
+(k) ≈ +F +
m∗
(11.58)
Zweiquasiteilchenzustand (|k| > kF ; |k | > kF )
Ψk,s;k ,s
= c̃† (k , s ) c̃† (k, s) |Ψ0 (11.59)
Energieerwartungswert
Ψk,s;k ,s H − µN Ψk,s;k ,s − Ψ0 | H − µN |Ψ0 = +(k) + +(k ) − 2 µ + f (k, s; k , s )
(11.60)
Entsprechend für Quasiteilchenlochzustand und Zweiquasilochzustand.
Für |k| ≈ kF und |k | ≈ kF hägt f (k, s; k , s ) nur vom Winkel ϑ zwischen k und
k und vom gemeinsamen Spinzustand (Singulet oder Triplet) ab. Entwickelt man die
Wechselwirkungsparameter nach Potenzen von cos ϑ,
f (k, s; k , s ) =
()
fsingulet/triplet cos (ϑ)
(11.61)
kann man die führenden Koeffizienten aus Experimenten, z.B. zur Kompressibilität und
magnetischer Suszeptibilität bestimmen. Aus diesen Parametern, die auch die Streuung
von Quasiteilchen beschreiben, lassen sich dann auch Transportkoeffizienten berechnen.
57
12
12.1
Supraleitung
Phononinduzierte Wechselwirkung
Elektron Phonon Wechselwirkung: Ortskoordinate eines Elektrons xi ;
n ; Auslenkung
Gitterions R
n − R
n =
n = X
U
√1
N
η (q, λ)e
n
−i
q ·R
q,λ
Ruhelage eine
h̄
a† (q, λ) + a(−q, λ)
2M ω(q, λ)
(12.1)
Elektron Phonon Wechselwirkung
Wel,ph =
i,n
=
√1
N
k – 12 q
k – 12 q
n ) − W (xi − R
n)
W (xi − X
q
F (q, λ)c† (k − 12 q, s)c(k + 12 q, s)
k,s,
q ,λ
× a† (q, λ) + a(−q, λ)
mit
N
F (q, λ) =
V
–q
k + 12 q
(12.2)
h̄
(r)
d3 r ei q·r η (q, λ) · ∇W
2M ω(q, λ)
k + 12 q
(12.3)
25
22.1.03
Störungsrechnung für Zeitentwicklungsoperator:
◦
◦
◦
Es sei H =H +W und H |A =E A |A = h̄ωA |A.
Zeitentwicklungsoperator
◦
U (t) = e− h̄ H t
i
◦
− h̄i H t
U (t) = e
(12.4)
Störungsrechnung:
◦
U (t) = U (t) −
◦
it ◦
dt U (t − t ) W U (t )
h̄ 0
◦
◦
1 t t ◦
− 2 dt
dt U (t − t ) W U (t − t ) W U (t ) + · · ·
0
h̄ 0
(12.5)
Mit WA,B = A| W |B
A| U (t) |B = e
−
−iωA t
C
i t −iωA (t−t )
δA,B −
dt e
WA,B e−iωB t
h̄ 0
(12.6)
1 t t −iωA (t−t )
dt
dt e
WA,C e−iωC (t −t ) WC,B e−iωB t + · · ·
2
0
h̄ 0
Fouriertransformierte
A| U (ω) |B = −i lim
γ→0
∞
0
58
dt e(iω−γ)t A| U (t) |B
(12.7)
A| U (ω) |B =
+
1
δA,B
1
+
WA,B
ω − ωA + iγ ω − ωA + iγ
ω − ωB + iγ
C
1
1
1
WA,C
WC,B
+ ···
ω − ωA + iγ
ω − ωC + iγ
ω − ωB + iγ
Effektive Wechselwirkung Weﬀ (Fröhlich): Weﬀ (ω)
so daß 1.Ordnung in Weﬀ ≈ 2.Ordnung in Wel,ph
Weﬀ,A,B (ω) =
(12.8)
Wel ph,A,C
C
k – 12 q
1
Wel ph,C,B
ω − ωC + iγ
(12.9)
k'+ 12 q
k'+ 12 q
k – 12 q
–q
q
k + 12 q
k'– 12 q
k + 12 q
k'– 12 q
Für die gezeigten Diagramme ist Wel ph,A,C = F (q, λ)
und h̄ωC = +(k − 12 q) + +(k − 12 q) + h̄ω(q, λ) b.z.w.
h̄ωC = +(k + 12 q) + +(k + 12 q) + h̄ω(−q, λ) und h̄ωA = +(k + 12 q) + +(k − 12 q) sowie
h̄ωB = +(k − 12 q) + +(k + 12 q).
Für die Supraleitung entscheidend ist, wie gezeigt wird, die Wechselwirkung von
Elektronen mit |+(k) − µ| ∼ ∆ mit ∆ ∼ kB Tc kB ΘD . Damit ist für |h̄ω − 2µ| ∼ ∆
mit (12.2)
F (
q , λ)2
Weﬀ (q) ≈ − N1
(12.10)
q , λ)
λ ω(
12.2
BCS-Grundzustand
Hamiltonoperator (Großkanonisch)
H − µN =
c† (k, s) +0 (k) − µ c(k, s)
(12.11)
k,s
+
1
c† (k
2
k,k ,
q ,s,s
− 12 q, s)c† (k + 12 q, s )W (k, k , q)c(k − 12 q, s )c(k + 12 q, s)
mit W (k, k , q) < − V1 G < 0 für |+0 (k ± 12 q) − µ| < h̄ωD und |+0 (k ± 12 q) − µ| < h̄ωD .
Es sei Hartree-Fock Grundzustand |Φ0 , Hartree-Fock Einteilchenenergien +0 (k)
Fermienergie +0 (kF ) = µ.
Betrachte Hartree-Fock Grundzustand + ”gebundenes Paar” mit Gesamtimpuls 0 und
Gesamtspin 0 (Cooper)
|Ψ =
v(k)c†↑ (k)c†↓ (−k)
(12.12)
k
mit v(k) = ṽ(|k| − kF ) und ṽ(κ) = 0 für κ < 0 oder κ > K, wobei K ∼
sei.
2
Energiedifferenz, mit +0 (k) − µ ≈ h̄ k∗F (|k| − kF )
m
mωD
h̄kF
kF
∆E = Ψ| H − µN̂ |Ψ − Φ0 | H − µN̂ |Φ0 =2
k
v(k)2
h̄2 kF
m∗
(|k| − kF ) +
v(k + 12 q) v(k − 12 q) W (k, −k, q)
k,
q
59
(12.13)
Abschätzung für K kF
1
V
2
K
h̄2 kF3 K
G
2
∆E < 2 ∗
dκ κ ṽ(κ) −
dκ ṽ(κ)
π m 0
(2π)6 0
(12.14)
Durch geeignete Wahl von ṽ(κ), z.B. ṽ(κ) ∼ κ−1+η mit η → 0, kann man erreichen,
daß ∆E < 0 ist. Damit ist gezeigt, daß der Hartree-Fock Grundzustand für attraktive
Wechselwirkung (G > 0) nicht der tatächliche Grundzustand ist.
BCS-Testwellenfunktion (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957):
Gebundene Paare (Cooper-Paare)
|Ψ0 =
u(k) + v(k)c†↑ (k)c†↓ (−k) | 0 (12.15)
u(k)2 + v(k)2 = 1
(12.16)
k
Normierung:
Mittlere Teilchenzahl
N̂ =
Ψ0 | c†↑ (k)c↑ (k) + c†↓ (−k)c↓ (−k) |Ψ0 = 2
k
Varianz
v(k)2
(12.17)
N
(12.18)
k
N̂ 2
− N̂
2
=
v(k)2 − v(k)4 ∼
4
√
k
Damit sind die relativen Schwankungen der Teilchenzahl im thermodynamischen
Grenzfall vernachlässigbar.
26
Erwartungswert der Energie: Zur Berechnung von W betrachte
Ψ0 | c† (k − 12 q, s)c† (k + 12 q, s )W (k, k , q)c(k − 12 q, s )c(k + 12 q, s) |Ψ0 27.1.03
(12.19)
Nichtverschwindende Beiträge nur für k = −k und s = −s. In |Ψ0 , (12.15), ist der
Beitrag ∼ v(k + 12 q) u(k − 12 q), in Ψ0 | ist der Beitrag ∼ u(k + 12 q) v(k − 12 q) zu wählen.
E − µN = 2
v(k)2
h̄2 kF
m∗
(|k| − kF )
k
+
u(k + 12 q) v(k + 12 q) u(k − 12 q) v(k − 12 q) W (k, −k, q)
(12.20)
k,
q
Vereinfachtes Modell:
W (k, −k, q) =
− V1 G
0
1
V
G
|+0 (k ±
für
Variationsrechnung mit u(k) =
∆=
1
q)
2
− µ|
<
h̄ωD
>
(12.21)
1 − v(k)2 , Zustandsdichte g(+) und
u(k)v(k) = G d+ g(+) u(+) v(+)
k
60
(12.22)
wobei + =
h̄2 kF
m∗
(|k| − kF ) + µ und u(k) → u(+); v(k) → v(+).
Variationsgleichung
1 − 2 v(+)2
δ (E − µN )
= 4 (+ − µ) v(+) − 2 ∆=0
δv(+)
1 − v(+)2
(12.23)
Lösung:
u(+) v(+) = Mit (12.22):
1
2
G
1
∆
2
µ−h̄ωD
g(+)
d+ (+ − µ)2 + ∆2
µ−h̄ωD
(12.24)
(+ − µ)2 + ∆2
=1
(12.25)
Für h̄ωD µ = +F kann man g(+) ≈ g(µ) setzen, und
h̄ωD
h̄ω 2
d+̂
D
√
=
2
arcsinh
=
2
2
g(µ) G
∆
−h̄ωD
+̂ + ∆
(12.26)
Für schwache Kopplung g(µ G) 1 ist ∆ h̄ωD und arcsinh(x) −→ ln(x).
x1
Damit ist
1.0
∆ = 2h̄ωD e−1/g(µ)G
(12.27)
und
v(+)
u(+)
=
1 1 ∓ 2
+−µ
(+ −
µ)2
+
0.5
u (ε )
(12.28)
∆2
0.0
-10
v (ε )
-5
5 (ε−µ)/∆ 10
0
Alternative Darstellung des BCS-Grundzustands
Es sei
c̃†s (k)
=
c†s (k)
c−s (−k)
ũ(k) =
u(k)
v(k)
ṽ(k) =
v(k)
u(k)
ũ(k) +
ṽ(k)c̃†↑ (k)c̃†↓ (−k)
=
für
k > kF
k < kF
(12.29)
u~ (k )
~
v (k )
u~ (k )
|Φ0 k
1.0
BCS-Grundzustand
|Ψ0 =
0.5
ũ(k) e
ṽ(
k)
k ũ(
k)
c̃†↑ (k) c̃†↓ (−k)
~
v (k )
(12.30)
k
0.0
-10
-5
0
5 (k-kF)/κ 10
Quasiteilchen-Feldoperatoren
ψ̃s† (r)
=
√1
V
e
−i k·
r †
c̃ (k)
†
c̃ (k) =
k
61
√1
V
d3 r ei k·r ψ̃s† (r)
(12.31)
Damit ist
k
ṽ(k) † † ρ) ψ̃↑† (r + 12 ρ) ψ̃↑† (r + 12 ρ)
c̃↑ (k) c̃↓ (−k) = d3 r d3 ρ ϕ(
ũ(k)
(12.32)
mit der ”Paarwellenfunktion”
ϕ(
ρ) =
1
V
k
ṽ(k) ik·ρ
e
ũ(k)
(12.33)
Damit ist der BCS-Grundzustand aus dem Hartree-Fock Grundzustand durch gebundene
Teilchen-Teilchen- b.z.w. Loch-Loch-An1.0
regungen hervorgegangen.
ϕ (r)
ṽ(k)
Die Paarwellenfunktion im k-Raum ũ(
k)
∗
0.0
B
hat eine typische Breite κ = h̄m2 k∆F kF .
Die Paarwellenfunktion im Ortsraum
ϕ(
ρ)
osziliert mit der Wellenzahl
kF , ihre Einhüllende zerfällt mit der
”Kohärenzlänge” ξ0 = 2π
.
κ
2π / κ
-1.0
0
5
10
15
kF r / 2π
20
Der BCS-Grundzustand kann nicht mittels Störungsrechnung in der Stärke der Wechselwirkung G gefunden werden, wie man an der wesentlichen Singularität von ∆, (12.27),
als Funktion von G sieht.
Nicht berücksichtigt wurde die (abgeschirmte) Coulomb-Abstoßung der Elektronen.
Diese ist für kurze Abstände stark, allerdings ist ihre Reichweite s ξ0 . Ihr Effekt
ist deshalb klein, sie kann jedoch dazu führen, daß in bestimmten Metallen keine
Supraleitung auftritt.
27 29.1.03
12.3
Angeregte Zustände, Quasiteilchen
Definiere ”Quasiteilchenoperatoren” (s = ±1)
b†s (k) = u(k) c†s (k) − s v(k) c−s (−k)
bs (k) = u(k) cs (k) − s v(k) c†−s (−k) (12.34)
so daß
b†s (k), bs (k ) = δk,k δs,s
b†s (k), b†s (k ) = 0
bs (k), b†s (k ) = 0
(12.35)
und
bs (k) |Ψ0 = 0
(12.36)
i.e. der BCS-Grundzustand ist ”Quasiteilchenvakuum”.
Der Hamiltonoperator, ausgedrückt durch Quasiteilchenoperatoren, ist
H − µN̂ = E0 − µN +
b†s (k) +(k) bs (k) + WQ
(12.37)
k,s
Diesen Ausdruck erhält man durch Einsetzen von (12.34) in (12.11) und
”Normalordnung”, i.e. Vertauschung der Quasiteilchenoperatoren so daß die Erzeuger
62
b† (· · ·) jeweils links von den Vernichtern b(· · ·) stehen. Die ”Quasiteilchenwechselwirkung” WQ enthält 4 Quasiteilcheoperatoren und ist bei tiefen Temperaturen,
i.e. geringer Zahl von Quasiteilchen, vernachlässigbar.
Die resultierende Quasiteilchenenergie ist
+(k) =
+0 (k) − µ
2
1.5
+ ∆2
(12.38)
{ε (k) - µ }/µ
Das Anregungsspektrum hat also eine
Energielücke ∆. Sie kann z.B. aus der
Spannungsabhängigkeit des Tunnelstroms
durch einen Normalleiter-Supraleiter-Kontakt
gemessen werden. Die spezifische Wärme ist
für tiefe Temperaturen
c∼e
− k2∆T
B
1.0
0.5
{εo (k) - µ }/µ
0.0
0.0
0.5
k / kF 1.5
1.0
(12.39)
∆ hängt von der Debyefrequenz ab. Diese zeigt einen Isotopeneffekt δωD ∼ −δM ,
damit ist δ∆ ∼ −δM und auch δTc ∼ −δM .
Experimentelle Bestimmung von ∆ durch Tunnelkontakt zwischen Supraleiter und
Normalleiter: Kein Strom für Spannung V q < ∆.
Endliche Temperaturen
Man kann im Hamiltonoperator (12.11) die Feldoperatoren durch die Quasiteilchenoperatoren (12.34) ersetzen. Für die folgenden Überlegungen ist es ausreichend,
nur die Beiträge zu berücksichtigen, die in der Besetzungszahldarstellung für Quasiteilchen diagonal sind
H − µN = 2
k
+
k,s
−
G +0 (k) − µ v(k)2 −
u(k)v(k)u(k )v(k )
2V G
2V
k,k
G
+0 (k) − µ u(k)2 − v(k)2 + u(k)v(k)
u(k )v(k ) ñ(k, s)
V
k
u(k)v(k)u(k )v(k ) ñ(k, s) ñ(k , s ) + · · ·
(12.40)
k,s,k ,s
wobei ñ(k, s) = b̃† (k, s)b̃(k, s) der Besetzungszahloperator für Quasiteilchen ist. Die
Einteilchenenergien erhält man, in Analogie zur Hartree-Fock Rechnung, indem man im
letzten Term obiger Gleichung einen der beiden Besetzungszahloperatoren durch seinen
Erwartungswert ersetzt
1
(12.41)
ñ(k, s) =
eβ(k) + 1
Eine Rechnung entsprechend der für den Grundzustand liefert
+(k) =
+0 (k) − µ
63
2
+ ∆(T )2
(12.42)
mit der modifizierten Gapgleichung, (12.26)
h̄ωD
2
2
d+̂
√2 2
1−
=
g(µ) G
−h̄ωD
+̂2 + ∆2 (T )
1 + eβ ˆ +∆ (T )
∆ (T) / ∆
1
(12.43)
Eine Lösung existiert nur für T < Tc = 0.57 ∆/kB , i.e.
bei Tc findet man einen kontinuierlichen Phasenübergang in einen
normalleitenden Zustand.
12.4
T / Tc
0
0
1
Ginzburg-Landau Theorie
Stromführender BCS-Zustand
|ΨK =
+ k)c† (K
− k) | 0 u(k) + v(k)c†↑ (K
↓
(12.44)
k
mit elektrischer Stromdichte (n = N/V )
je = Ψ | −eh̄
K
mV
k,s
kc† (k)cs (k) |Ψ = −e n h̄K
s
K
m
(12.45)
Feldoperatoren
ψs† (r) =
√1
V
e−i k·r c† (k)
c† (k) =
k
√1
V
d3 r ei k·r ψs† (r)
(12.46)
Damit
|ΨK =
v(k) 3 2iK·
R
+ 1 ρ)ψ † (R
− 1 ρ) | 0 (12.47)
u(k) +
d Re
d3 ρ eik·ρ ψ↑† (R
↓
2
2
V
k
oder verallgemeinert, für langsam veränderliche ”Kondensatwellenfunktion” Ψ(R)
|ΨK =
v(k) 3
+ 1 ρ)ψ † (R
− 1 ρ) | 0 (12.48)
u(k) + d R Ψ(R) d3 ρ eik·ρ ψ↑† (R
↓
2
2
V 12 n
k
mit Elektronendichte
= 2Ψ∗ (R)Ψ(
R)
n(R)
(12.49)
und elektrischer Stromdichte
= − e Ψ∗ (R)
h̄ ∇Ψ(
R)
je (R)
i
m
ist für alle Paare identisch (Bosonen).
Die Kondensatwellenfunktion Ψ(R)
(12.50)
Mit Magnetfeld: Vektorpotential
R)
=∇
× A(
R)
B(
· A(
R)
=0
∇
Eichung
(12.51)
Klassische Hamiltonfunktion für ein Teilchen der Ladung Q und Masse M
2
1 Q P − A(R)
H=
2M
c
64
(12.52)
Geschwindigkeit
1 Q V =
P − A(R)
M
c
Quantenmechanisch P →
(12.53)
h̄ ∇.
mi
Elektrische Stromdichte für Paare mit Masse 2m, Ladung −2e
und Dichte n/2 = Ψ∗ (R)Ψ(
R)
= − e Ψ∗ (R)
h̄ ∇Ψ(
R)
+
je (R)
i
m
2e R)
A(R)Ψ∗ (R)Ψ(
c
(12.54)
28
3.2.03
Phänomenologische Theorie für Kondensatwellenfunktion:
Ginzburg-Landau Funktional (1950):
FGL =
d3 R
1 1 h̄ i∇
2 2m
+
2e A(R)
c
2
Ψ(R)
2 + 1 bΨ(R)
4 −
− 12 aΨ(R)
4
1
8π
2 (R)
B
(12.55)
= 0:
Ginzburg Landau Gleichungen: δFGL /δΨ∗ (R)
1
2m
h̄ ∇
i
+
2
2e A(R)
c
2 Ψ(R)
=0
− a + b Ψ(R)
(12.56)
R)
= 0: (Maxwell Gleichung)
und δFGL /δ A(
4π je (R)
c
wobei angenommen wird, daß Oberflächenbeiträge verschwinden.
R)
=∇
× B(
R)
=
−∆A(
(12.57)
Die Ginzburg-Landau Theorie ist auch auf endliche Temperaturen anzuwenden, wobei
der Parameter a = a(T ) (und im Prinzip auch b) temperaturabhängig ist. Für die
Elektronendichte ist nur der supraleitende Anteil ns = n ∆(T )/∆(0) zu verwenden. Der
normalleitende Anteil n − ns hat einen endlichen Widerstand und trägt keinen Strom
R)
= 0: Mit (12.56):
= Ψ B(
Beispiel: Ψ(R)
|Ψ|2 = 12 ns = a/b
(12.58)
Beispiel: Halbraum, Normalleiter-Supraleiter Grenzfläche
= Ψ(x); Ψ(x < 0) = 0; B(
R)
= 0:
Ψ(R)
h̄2 d2
−
− a + b Ψ2 (x) Ψ(x) = 0
2
2m dx
Lösung:
Ψ(x) = tanh
x
ξ0
Ψ
mit
ξ0 = √
(12.59)
h̄
ma
Kohärenzlänge ξ0 entspricht der Kohärenzlänge der BCS-Theorie.
65
(12.60)
< 0) = (0, 0, B0 ), A(x
< 0) = (0, xB0 , 0): Ψ(x > 0) = Ψ
Beispiel: B(x
Mit (12.54) und (12.57): London-Gleichungen ( F. & H. London, 1935 )
2
= − 2e ns A(
R)
j(R)
mc
R)
R)
= 1 B(
∆B(
λ2
R)
R)
= 1 A(
∆A(
λ2
λ=
mit
mc2
4πe2 ns
(12.61)
Speziell für obige Randbedingung
> 0) = (0, 0, B0 e−x/λ )
B(x
(12.62)
λ: London’sche Eindringtiefe
Thermodynamisches Kritisches Feld
0
FGL stationär: Äußeres Magnetfeld H
= 0; FGL /V = −a2 (T )/4b
a) Supraleitender Zustand: Ψ = Ψ = a(T )/b; B
=H
0 ; FGL /V = −H
2 /8π
b) Normalleitender Zustand: Ψ = 0; B
0
(a)
(b)
Koexistenz falls FGL = FGL . Kritisches Feld
Hc (T ) =
2π a2 (T )
≈
b
2π a2 (0) Tc − T
b
Tc
(12.63)
Phasenübergang 1.Ordnung für B0 = Bc (T ). Supraleitung nur für B0 < Bc (T ).
Flußquantisierung
Zylinder mit Loch, Dicke λ, Fläche SC mit Rand C.
C
Im Inneren ( z.B. auf C ):
C )| = Ψ oder Ψ(RC ) = Ψ eiϕ(R C ) .
|Ψ(R
C) = 0
Mit (12.56) und (12.54): je (R
2e R(
)
−h̄ d
t(
) · ∇ϕ R(
) = 2nπh̄ =
d
t(
) · A
c C
C
2e
2e 2
) = 2e ΦC
R(f
=
d f n(f ) · ∇ × A R(f ) =
d2 f n(f ) · B
c SC
c SC
c
(12.64)
i.e. der magnetische Fluß ΦC ist quantisiert
ΦC = nΦo
mit
Φo =
2πh̄c
2e
(12.65)
wobei der Nenner 2e der Ladung eines Paars entspricht.
Experimenteller Nachweis von Cooperpaaren: Doll & Näbauer (1961), Deaver &
Fairbank (1961)
66
SQID: Superconducting Quantum Interferrometer Device
Teilströme I = I1 + I2 .
In den Tunnelkontakten ist j1,2 = I1,2 /f , wobei f
der Querschnitt des Tunnelkontaktes ist. Die supraleitende
Dichte im Tunnelkontakt ist nt ns , die Länge sei a. Es
sei
Ψ1,2 (
) = 12 ns,t eiϕ()
(12.66)
C1
I
A
Φ
B
C2
Änderung von ϕ in den Tunnelkontakten
δϕ1,2 ≈ −
2ma
I1,2
nt ef
(12.67)
mit maximalem Strom |I1,2 | < Ic .
Änderung von ϕ in den restlichen Teilen, entsprechend der Rechnung zur Flußquantisierung (j = 0)
2e
∆ϕ1 − ∆ϕ2 = Φ
(12.68)
h̄c
Eindeutigkeit von Ψ:
2e
2ma I1 − I2
(12.69)
∆ϕ1 + δϕ1 − ∆ϕ2 − δϕ2 = 2πn = Φ −
h̄c
nt qf
nt eπf Φ
−n
ma Φo
Maximaler Strom Imax so daß I1 = Ic ,
oder I2 = Ic , I1 < Ic
I1 − I2 =
Imax
(12.70)
I2 < Ic
1
0
Typ II Supraleiter (Abrikosov 1957)
2
Φ/Φ0
29
Φ
B
0: B
=H
0 + ∇
×A
Äußeres Feld H
Supraleiter mit ξ0 λ
Betrachte Wirbel mit Radius r0 und Länge L.
Für r < r0 − ξ0 : Ψ(r) = 0, B(r) = Bc
∆FGL = 0
5.2.03
(12.71)
ro
Für r0 − ξ0 < r < r0 + ξ0
∆FGL /L ≈
h̄2 ns πr0
mξ0
r
(12.72)
Für r > r0 + ξ0 , mit (12.61)
d2
1 d
1 +
B(r)
−
H
−
0 = 0
dr2 r dr λ2
(12.73)
Lösung: Modifizierte Hankelfunktion
B(r) − H0 = Bc − H0
67
K0 (r/λ)
K0 (r0 /λ)
(12.74)
mit
K0 (x) =
ln(1/x)
√1 e−x
x
für
x1
x1
(12.75)
Fluß um Wirbel, für r0 λ und H0 Bc :
Φ = 2π
∞
0
dr rB(r) ≈
Bc λ2
ln(λ/r0 )
(12.76)
Keine Beiträge ∼ A2 in ∆FGL /L. Damit für r > r0 + ξ0
∆FGL /L = −
Φ H0
4π
(12.77)
Minimaler Radius: r0 ≈ ξ0 , minimaler Fluß Φ = ϕ0 .
Kritisches Feld Hc1 : Für ∆FGL ≤ 0 bilden sich spontan Wirbel
Hc1 ≈
Oberes kritisches Feld:
linearisiert:
ξ0
Hc
λ
→ 0.
Ψ(R)
(12.78)
(12.56)
B-H0
2e 2 1 h̄ h̄2
∇+ A
Ψ(
R)
=
Ψ(R)
0
2m i
c
mξ02
(12.79)
Dies ist die Schrödingergleichung eines Teilchens im
Magnetfeld. Eigenwerte (siehe nächstes Kapitel)
(n + 12 ) 2eh̄H/mc. Niedrigster Eigenwert für n = 0,
i.e.
h̄c
λ
H = HC2 ≈
= Hc
(12.80)
eξ0
ξ0
68
H
HC1
HC
HC2
13
Elektronen im Magnetfeld
13.1
Einteilchenzustände
= (0, 0, B)
Homogenes Magnetfeld in z-Richtung: B
=∇
× A,
z.B. A
= (−B y, 0, 0)
Vektorpotential B
Hamiltonoperator für Teilchen mit Ladung q im Magnetfeld
H=
1
2m
p − qc A
2
+ V (x) =
1
2m
px − qc y B
2
+ p2y + p2z + V (x)
(13.1)
Freie Teilchen im Magnetfeld: V (x) = 0
ψk (x) = ei{kx x+kz z} ϕk (y)
Hψk (x) =
1
2m
h̄kx +
2
q
By
c
(13.2)
d2
2 2
− h̄
+
h̄
k
ei{kx x+kz z} ϕk (y)
z
2
dy
2
(13.3)
Schrödingergleichung
− h̄2
d2
+
dy 2
m
2
qB 2
y
mc
+
h̄c
k
qB x
2 ϕk,n (y) = +k,n −
h̄2 kz2
2m
ϕk,n (y)
(13.4)
Eindimensionaler harmonischer Oszillator mit Frequenz ωc (klassische Zyklotronfrequenz), Eigenwert
h̄2 kz2
|qB|
+k,n =
ωc =
+ (n + 12 ) h̄ ωc
(13.5)
2m
mc
x
und
1 und y = − h̄ck
qB
)
y − y
2 *
= 12 d2 =
h̄
h̄c
=
2mωc
2|qB|
y = −sign(qB)d2 kz
(13.6)
2π
n
l x
(13.7)
Zustände für festes n: ”Landau-Band”
Zustandsdichte: Volumen V = l b h
Für
h̄k c x < 12 b
|kx | <
qB 1
2d2
b
kx =
kz =
2π
n
h z
z
Zustandsdichte
g(+) =
2 δ + − +k,n
V kx ,kz ,n
(13.8)
y
Mit
kx
bl
=
2πd2
h̄ kz →
dkz
2π
(13.9)
69
x
Zustandsdichte
g(+) =
=
g(ε )
1
2π 2 d2
dkz
2π 2 d2 h̄
m
2
h̄2 kz2
− (n + 12 ) h̄ ωc
2m
δ +−
n
1
Θ + − (n + 12 ) h̄ ωc
+ − (n + 12 ) h̄ ωc
n
(13.10)
1
2
ε
hωc 32 hωc 52 hωc
g(µ) oszilliert als Funktion von B: Zyklotronresonanzen, de Haas-van Alphen Effekt
(Oszillationen des Widerstands, Suszeptibilität · · · als Funktion des Magnetfeldes)
30
10.2.03
Randzustände: V (x) = V (y). Schrödingergleichung (13.4):
2
h̄2 kz2 d2
2
2
1
− h̄
+ mωc y + sign(qB)d kx + V (y) +
ϕk,n (y) = +k,n ϕk,n (y) (13.11)
dy 2 2
2m
2
εk,n
V(y)
k
ϕk,0 (y)
-d2k
x
y
-b/2d2
b/2d2
Stromoperator im Magnetfeld
r)n(r)
jB (r) = j0 (r) − q A(
mc
Beitrag zur x-Komponente des Stroms von Zustand ϕk,n
(13.12)
y
ϕk,n jx ϕk,n =
dy
h̄k
x
m
+
= sign(qB) ωc
Für |kx | <
b
2d2
Für |kx | >
b
2d2
2
qB y ϕk,n (y)
mc
2
dy y + sign(qB)d2 kx ϕk,n (y)
2
(13.13)
ist ϕk,n (y) symmetrisch um −sign(qB)d2 kx , also ϕk,n jx ϕk,n ≈ 0
ϕk,n jx ϕk,n ≈ ωc d2 kx − 12 b sign(kx )
(13.14)
jx
B
Diamagnetische Abschirmströme
Entartungsgrad: Länge l, Breite b
2πn
kx =
|k|d2 < 12 b
l
klassisch
Nn (l, b) =
70
1 lb
|qB|
=
lb
2
2π d
2πh̄c
(13.15)
13.2
Hall Effekt
Probe mit Volumen l b h. Elektrisches Feld in y-Richtung: VE (r) = q E y;
qB > 0
Schrödingergleichung
−
2
h̄2 d2
m 2
h̄2 kz2
2
+
y
+
d
k
+
V
(y)
+
ϕk,n (y) = 0
ω
−
+
x
c
k,n
2m dy 2
2
2m
(13.16)
Minimum der potentiellen Energie
mωc2 y0 + d2 kx ) + V (y0 ) = 0
y0 = −d2 kx +
V (y0 )
mωc2
(13.17)
Beitrag zum Strom von Zustand ϕk,n , (13.13)
ϕk,n jx ϕk,n = ωc
2
dy y + d2 kx ϕk,n (y) ≈ ωc y0 + d2 kx ) =
V (y0 )
mωc
(13.18)
i.e. jeder besetzte Zustand liefert den gleichen Beitrag.
Elektrischer Strom für V (y0 ) = qE = qU/b (U : angelegte Spannung in y-Richtung,
n: Dichte der Elektronen)
Jx = q n jx b h = q c n h
U
B
(13.19)
Spezifische Leitfähigkeit: J = bh σ · E
Hall Leitfähigkeit
qcn
σx,y =
B
i.e. die Hall Leitfähigkeit unterscheidet Elektronen und Löcher.
(13.20)
Füllfaktor: Zahl der Elektronen in einem Landau-Band, mit (13.15)
Nn = h Nn (l, b)
13.3
η=
N
Nn
σx,y = sign(q)
q2
η
2πh̄
(13.21)
Quantisierter Hall Effekt, von Klitzing Effekt
Metall-Oxyd-Halbleiter Struktur (MOS)
Metall Oxyd
Halbleiter
µ
Experiment
Raumladungsschicht
an Oberfläche.
N
∼ η ∼ UGate
lb
(13.22)
5
σxy
q2
2π h
4
3
2
σxx
1
UGate
UGate
71
Störstellen: Potential W (x, y), langsam veränderlich auf Skala d:
+n (k) ≈ n +
1
2
h̄ωc + q E y(k, x) + W x, y(k, x)
(13.23)
V(y)+W(x,y)
lokalisierte
Zustände
y
-b/2
Im ungestörten Bereich existieren nur
ausgedehnte Zustände, im gestörten Bereich
ausgedehnte und lokalisierte Zustände.
Lokalisierte Zustände tragen nicht zum Strom
bei. Da der Strom Jx erhalten ist, kann er im
ungestörten Bereich berechnet werden.
Falls µ im Bereich der ausgedehnten Zustände
ist, ändert sich der Füllfaktor, i.e. die HallLeitfähigkeit ändert sich ebenfalls.
Falls µ im Bereich der lokalisierten Zustände
ist, werden bei Änderung von µ b.z.w. UGate
keine ausgedehnten Zustände aufgefüllt, η ist
ganzzahlig und
σxy = n
g(ε)
b/2
ungestörter Bereich
ε
g(ε)
ausgedehnte Zustände
lokalisierte Zustände
ε
q2
2πh̄
Aus dem Abstand der Plateaus in σx,y (UGate ) läßt sich
bestimmen.
(13.24)
q2
2πh̄
mit großer Präzision
Ausgedehnte Zustände an der Fermikante existieren nur, wenn µ im Bereich der
ausgedehnten Zustände ist. Dies erklärt die verschwindende Leitfähigkeit σxx im
Bereich der Plateaus.
Nicht berücksichtigt wurde hier eine weitere Feinstruktur aufgrund der StarkWechselwirkung.
n
Für η < 1 wurden weitere Plateaus bei η = 2m+1
gefunden (gebrochenzahliger
Quanten-Hall-Effekt, Störmer et.al. 1982). Hierfür ist die Wechselwirkung der Elektronen
wichtig, so daß sich Gruppen von 2m + 1 Elektronen korelliert bewegen (Laughlin
1983).
31 12.2.03
FIN IS
72

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Theoretische Festkörperphysik WS 2002/03

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