Aufgabe: Umkreismittelpunkte und Kreise

Aufgabe: Umkreismittelpunkte und Kreise
Darij Grinberg
Sei ABC ein Dreieck und P ein beliebiger Punkt. Seien A0 ; B 0 und C 0 die Umkreismittelpunkte der Dreiecke P BC; P CA bzw. P AB: Man beweise:
a) Die Kreise A0 BC; B 0 CA; C 0 AB und A0 B 0 C 0 haben einen gemeinsamen Punkt.
(Siehe Fig. 1.)
b) Die Kreise AB 0 C 0 ; BC 0 A0 ; CA0 B 0 und ABC haben einen gemeinsamen Punkt.
(Siehe Fig. 2.)
Bemerkung: Die Abkürzung ”Kreis P1 P2 P3 ”bedeutet den Kreis durch drei Punkte
P1 ; P2 und P3 :
B
C'
A'
P
C
A
B'
Fig. 1
1
B
C'
A'
P
C
A
B'
Fig. 2
Lösung:
a) Siehe Fig. 3. Sei Q der von A0 verschiedene Schnittpunkt der Kreise A0 BC
und A0 B 0 C 0 : (Falls sich diese beiden Kreise berühren, setze man Q = A0 :) Nach dem
Umfangswinkelsatz gilt dann ]CQA0 = ]CBA0 und ]B 0 QA0 = ]B 0 C 0 A0 :
Damit ist ]B 0 QC = ]B 0 QA0 ]CQA0 = ]B 0 C 0 A0 ]CBA0 :
Da der Punkt B 0 der Umkreismittelpunkt des Dreiecks P CA ist, liegt er auf der
Mittelsenkrechten der Strecke AP: Analog liegt C 0 auf dieser Mittelsenkrechten. Folglich ist B 0 C 0 die Mittelsenkrechte der Strecke AP: Das heiß
t: Der Mittelpunkt A00
0 0
0 0
der Strecke AP liegt auf B C ; und AP ? B C : Analog liegt der Mittelpunkt B 00 der
Strecke BP auf C 0 A0 ; und BP ? C 0 A0 :
Damit ist
]B 0 C 0 A0 = ]A00 C 00 B 00 = 360
= 360
90
90
]C 0 B 00 P ]C 0 A00 P ]A00 P B 00
]A00 P B 00 = 180
]A00 P B 00 = 180
]AP B:
Das Dreieck BA0 C ist gleichschenklig (BA0 = CA0 ; denn A0 ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks P BC); folglich ist
]CBA0 =
180
2
]BA0 C
:
2
Der Winkel ]BA0 C ist der Mittelpunktswinkel der Sehne BC in dem Umkreis des
Dreiecks P BC: Bekanntlich ist der Mittelpunktswinkel einer Sehne stets doppelt so groß
wie der spitze Umfangswinkel über dieser Sehne. Der spitze Umfangswinkel über der
Sehne BC ist 180 ]BP C; also ist ]BA0 C = 2 (180
]BP C) = 360 2 ]BP C;
und daraus folgt
]CBA0 =
180
2 ]BP C)
(360
2
=
180 + 2 ]BP C
=
2
90 + ]BP C:
Q
B
C'
B''
A'
A'' P
C
A
B'
Fig. 3
Schließ
lich ergibt sich
]B 0 QC = ]B 0 C 0 A0 ]CBA0 = (180
]AP B) ( 90 + ]BP C)
= 180
]AP B + 90
]BP C = 270
(]AP B + ]BP C)
= 270
(360
]CP A) = 90 + ]CP A:
Das Dreieck CB 0 A ist gleichschenklig (CB 0 = AB 0 ; denn B 0 ist der Umkreismittelpunkt
des Dreiecks P CA); folglich ist
]B 0 AC =
180
]CB 0 A
:
2
Der Winkel ]CB 0 A ist der Mittelpunktswinkel der Sehne CA in dem Umkreis des
Dreiecks P CA: Bekanntlich ist der Mittelpunktswinkel einer Sehne stets doppelt so
3
großwie der spitze Umfangswinkel über dieser Sehne. Der spitze Umfangswinkel über
der Sehne CA ist 180 ]CP A; also ist ]CB 0 A = 2 (180
]CP A) = 360 2 ]CP A;
und daraus folgt
]B 0 AC =
180
2 ]CP A)
(360
2
180 + 2 ]CP A
=
2
=
90 + ]CP A:
Damit ist ]B 0 AC = ]B 0 QC: Also liegt der Punkt Q auf dem Kreis B 0 CA: Analog
beweist man (nur mit kleinen Vorzeichenänderungen bei Winkeln), daßder Punkt Q
auf dem Kreis C 0 AB liegt. Also liegt der Punkt Q auf den vier Kreisen A0 BC; B 0 CA;
C 0 AB und A0 B 0 C 0 : Damit ist Teil a) bewiesen.
B
C'
A'
P
C
A
B'
R
Fig. 4
b) Siehe Fig. 4. Sei R der von A verschiedene Schnittpunkt der Kreise AB 0 C 0
und ABC: (Falls sich diese beiden Kreise berühren, setze man R = A:) Nach dem
Umfangswinkelsatz gilt dann ]C 0 RA = ]C 0 B 0 A und ]BRA = ]BCA:
Damit ist ]BRC 0 = ]BRA ]C 0 RA = ]BCA ]C 0 B 0 A:
Wir haben im Beweis zu Teil a) festgestellt, daßdie Gerade B 0 C 0 die Mittelsenkrechte
der Strecke AP ist. Also ist ]C 0 B 0 A = ]P B 0 C 0 ; daher ist ]AB 0 P = ]C 0 B 0 A +
]P B 0 C 0 = 2 ]C 0 B 0 A: Doch der Winkel ]AB 0 P ist der Mittelpunktswinkel der Sehne
AP in dem Umkreis des Dreiecks P CA: Bekanntlich ist der Mittelpunktswinkel einer
Sehne stets doppelt so großwie der spitze Umfangswinkel über dieser Sehne. Wir haben
also ]AB 0 P = 2 ]P CA: Damit ist 2 ]C 0 B 0 A = 2 ]P CA; und ]C 0 B 0 A = ]P CA:
Analog ist ]C 0 A0 B = ]P CB:
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Wegen ]C 0 B 0 A = ]P CA ist ]BRC 0 = ]BCA ]P CA = ]P CB = ]C 0 A0 B;
also ]BRC 0 = ]BA0 C 0 : Also liegt der Punkt R auf dem Kreis BC 0 A0 : Analog beweist
man, daßder Punkt R auf dem Kreis CA0 B 0 liegt. Folglich liegt R auf den Kreisen
AB 0 C 0 ; BC 0 A0 ; CA0 B 0 und ABC: Damit ist Teil b) bewiesen.
— –Einen anderen Beweis sowie für a) als auch für b) …ndet man in [1].
Literaturhinweise
[1] Darij Grinberg: Konkurrente Kreise durch drei von sechs Punkten.
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