Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel
1 Definitionen
Satz vom Umfangswinkel:
Über demselben Kreisbogen sind alle Umfangswinkel gleich groß.
Satz vom Mittelpunktswinkel:
Jeder Umfangswinkel über einem Kreisbogen ist halb so groß wie der
Mittelpunktswinkel über demselben Kreisbogen.
1 Beispiel
2 Die einzelnen Winkel werden wie folgt
bezeichnet:
C

C

48 °


M



M
96 °
A

B



A
B
3 Welche Eigenschaften hat das Dreieck AMC und welche Folgerungen ergeben
sich daraus?
C


M

A
B
Dreieck AMC ist gleichschenklig und 1 = 2 .
1 + 2 + 1 = 180°  2 2 + 1 = 180°
4 Welche Eigenschaften hat das Dreieck BCM und welche Folgerungen ergeben
sich daraus?
C

M


A
B
Dreieck MBC ist gleichschenklig und 1 = 2 .
1 + 2 + 2 = 180°  2 2 + 2 = 180°
Zusammenfassung:
Aus 2 2 + 1 = 180° und 2 2 + 2 = 180° folgt:
2 2 + 1 + 2 2 + 2 = 360° bzw. 2 (2 +  2 ) + 1 + 2 = 360°
5 Betrachte die Winkel im Mittelpunkt M.
C


M


A
B
Es gilt : 2 (2 + 2 ) + 1 + 2 = 360° .
Mit 2 +  2 =  und 1 + 2 =  haben wir gezeigt, dass gilt: 2  +  = 360°.
Am Mittelpunkt M gilt aber außerdem  +  = 360° .
Vergleicht man die beiden letzten Gleichungen so erkennt man eindeutig: 2  =  ,
mit anderen Worten:
Der Mittelpunktswinkel  ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel .