Formelsammlung Mathematik

Algebra
Distributivgesetz
a⋅( b+c)=a b+a c
Kommutativgesetz
a⋅b=b⋅a
Assoziativgesetz
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
(a+b)+c=a+(b+c)
Binome
(a+b) 2=a 2+2 a⋅b+b2
(a−b) 2=a 2−2 a⋅b+b2
(a−b)⋅(a 2 +a⋅b+b2 )=a3−b3
(a−b)⋅(a+b)=a 2−b2
(a+b)⋅(a 2 −a⋅b+b2 )=a3+b3
Potenzen
a−n=
a 0=1
1
n
a
n
a m⋅a n=a m +n
m
a ÷a =
an
n −m
=a
m
a
n
n
n
n
a ⋅b =(a⋅b)
n
n
n
a
a
=( )
n
b
b
n
a ÷b =(a÷b)
(a n )m=(a m )n=a m⋅n
a 1/ n= √n a
n
a m / n=√ a m=( √n a)
m
Logarithmus
b x =a ⇒ x =log b a
log 1=0
x=log b x=
a
log =log a−logb
b
ln x lg x lb x
=
=
ln b ln b lb b
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log a n=n⋅log a
lg x
log a⋅b=log a+log b
: Basis 10, lb x : Basis 2, ln x
1
: Basis e
Lineare Gleichung
x=−
0=a⋅x+b
b
a
Quadratische Gleichung
0=a⋅x 2+b⋅x +c=a⋅( x− x1 )⋅( x−x 2 )
x 1,2=
−b+ √ b 2−4 a⋅c
2⋅a
D=b2−4 a⋅c=0⇒ 1 Lösung
Satz von Vieta
2
0=x +b⋅x+c ⇒b=−( x1 +x 2) ; c=x 1⋅x 2
Analysis
Lineare Funktionen
y=a⋅x+b
a : Steigung
b : y− Achsenabschnitt
x y
+ =1
A B
A : x− Achsenabschnitt
B : y− Achsenabschnitt
a 1⋅a 2=−1⇒ Die Geraden stehen senkrecht zueinander
a 1=a 2 ⇒ Die Geraden sind parallel zueinander
Man kann die Steigung aus dem Graphen mit Hilfe
des Steigungdreiecks ablesen oder mit Hilfe zweier
Punkte P ( x 1 / y 1) und Q( x 2 / y 2 ) berechnen:
a=
y 2− y 1
x 2− x1
q , b : y− Achsenabschnitt
m , a : Steigung
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2
Quadratische Funktion
Allgemeine Form
c
= x 1⋅x 2
a
y=a⋅x 2+b⋅x+c
b
=−( x 1+x 2 )
a
Scheitelform
2
x s=−
y=a⋅( x− x S ) + y S
b
2⋅a
Nullstellenform
y=a⋅( x− x 1)⋅( x−x 2 )
x 1,2=
−b+ √b 2−4 a⋅c
2⋅a
Wachstumsfunktion
t
t
1
T
G(t )=G0⋅a =G0⋅e =G0⋅e =G0⋅( ) T =G 0⋅2
2
t
τ
k⋅t
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t
τ
1/2
3
2
2
b
y s=−
+c
4⋅a
Geometrie
Winkelfunktionen
sin α=
tg α=
Gegenkathete
Hypotenuse
sin α
cos α
φ=2
̂
π
2
cos α=
Ankathete
Hypotenuse
tg α=
Gegenkathete
Ankathete
sin 2 α+cos 2 α=1
φ
360°
φ:
̂ Bogenmass , rad
φ :Gradmass(360 ° )
2
sin α
=tg α
cos α
2
tg α=
sin α+cos α=1
Goniometrie
2
sin α+cos α=1
sin α
cos α
Pythagoras
Für
2
γ=90°
2
c =a +b
b 2=q⋅c
2
gilt:
2
a = p⋅c
h 2= p⋅q
Allgemeines Dreieck
Winkelhalbierende; Inkreis
Winkelhalbierende im Dreieck
Ist in der Dreieckslehre von Winkelhalbierenden die Rede, so bezieht sich dieser Begriff meist auf
die Innenwinkel, seltener auf die Aussenwinkel. Hier wird die Winkelhalbierende eines
Innenwinkels α oft als w α abgekürzt. Dieses Kürzel steht dann zugleich auch für die Strecke
auf der Winkelhalbierenden, die innerhalb des Dreiecks liegt, und in Konstruktionsaufgaben auch
für deren Länge.
Für diese Winkelhalbierenden gelten unter anderem folgende Sätze:
• Die drei Winkelhalbierenden (der Innenwinkel) eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises (siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im
Dreieck).
Formelsammlung.PhysMath.v24
4
• Jede Winkelhalbierende (eines Innenwinkels) im Dreieck teilt die gegenüberliegende Seite
im Verhältnis der anliegenden Seiten. (Diese Aussage lässt sich mithilfe ähnlicher Dreiecke
oder durch Anwendung des Sinussatzes beweisen.)
• Für die Länge x der Halbierenden eines Innenwinkels γ und den anliegenden Seiten der
2 cos γ/ 2 1 1
= + .
Länge a und b gilt
x
a b
• Die Halbierenden eines Innenwinkels und der zu den beiden anderen Innenwinkeln
gehörenden Aussenwinkel eines Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt. Dieser
Punkt ist der Mittelpunkt eines Ankreises.
• Die Schnittpunkte der Aussenwinkelhalbierenden mit den verlängerten Gegenseiten der
entsprechenden Innenwinkel liegen, sofern sie existieren, auf einer Geraden.
Die der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergeben den Mittelpunkt des Inkreises.
Schwerlinie, Seitenhalbierende, Schwerpunkt
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ergeben den Schwerpunkt.
Es gilt:
1
s a= ⋅√ 2(b2+c2 )– a 2
2
Höhe
Mittelsenkrechte
Umkreis
Satz des Heron
A= √ ( s⋅(s−a )⋅(s−b)⋅(s−c ))
Formelsammlung.PhysMath.v24
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Heron lebte vermutlich im 1. Jahrhundert und lehrte am Museion von
Alexandria, das berühmt für seine Bibliothek war. Seine Werke sind teilweise
nur fragmentarisch überliefert; offenbar handelt es sich zum Teil um
Vorlesungsnotizen. Sie beschäftigen sich unter anderem mit mathematischen,
optischen und mechanischen Themen.
In der Dioptra („Buch der Optik“) beschreibt er Geräte zur Feldvermessung.
Die Dioptra selbst ist ein Instrument, das die Funktion des heutigen
Theodoliten erfüllte. Für grössere Strecken auf Strassen benutzt er wie schon
Archimedes ein Hodometer. Für Distanzen über Meere hinweg empfiehlt er
astronomische Verfahren wie die Beobachtung von Mondfinsternissen.
Kreiswinkel
Beweis
δ1=180 ° −2 γ1 → φ1=180 °−δ 1=180−(180−2 γ1 )=2 γ1
Begriffe
Verbindet man die voneinander verschiedenen Endpunkte A und B eines Kreisbogens mit seinem
Mittelpunkt M und einem Punkt P auf dem Kreisbogen, so liegen folgende Winkel vor:
•Umfangswinkel oder Peripheriewinkel (Φ) nennt man einen Winkel ∢ APB , dessen Scheitel P
auf demjenigen Kreisbogen liegt, der den gegebenen Kreisbogen über [AB] zum vollständigen
Kreis (dem Umkreis des Dreiecks ABP) ergänzt.
•Mittelpunktswinkel (μ): Ist M der Mittelpunkt des gegebenen Kreisbogens, so bezeichnet man den
Winkel ∢ AMB als den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).
•Ein Sehnentangentenwinkel (τ) zum gegebenen Kreisbogen wird begrenzt von der Sehne [AB] und
der Kreistangente im Punkt A bzw. B.
Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Umfangswinkeln, Mittelpunktswinkeln und
Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf einen gegebenen Kreisbogen, sondern auf eine gegebene
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6
Kreissehne [AB]. Legt man eine solche Definition zugrunde, so muss man zwei Arten von
Umfangswinkeln unterscheiden, nämlich spitze und stumpfe Umfangswinkel. Als
Mittelpunktswinkel definiert man in diesem Fall den kleineren der beiden Winkel, die von den
Kreisradien [MA] und [MB] eingeschlossen werden. Die Formulierung der Sätze im nächsten
Abschnitt muss bei Verwendung dieser Definition ein wenig variiert werden.
Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)
Skizze zum Kreiswinkelsatz
Satz des Thales
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so gross wie einer der
zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Der Beweis dieser Aussage ist in dem rechts skizzierten Spezialfall besonders einfach. Die beiden
Winkel bei B und P sind als Basiswinkel in dem gleichschenkligen Dreieck MBP gleich gross. Der
dritte Winkel des Dreiecks MBP (mit dem Scheitel M) hat die Grösse 180 °−μ . Der Satz über
die Winkelsumme ergibt folglich ϕ+ϕ+(180 °−μ)=180° und weiter, wie behauptet, 2 ϕ=μ .
Im allgemeinen Fall liegt M nicht auf einem Schenkel des Umfangswinkels. Die Gerade PM teilt
dann Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel in zwei Winkel ( ϕ1 und ϕ2 bzw. μ1 und μ 2
), für die jeweils einzeln die Aussage gilt, da die Voraussetzungen des bewiesenen Spezialfalls
erfüllt sind. Deshalb gilt die Aussage auch für den gesamten Umfangswinkel und den gesamten
Mittelpunktswinkel. Ausserdem ermöglicht die Gültigkeit des Peripheriewinkelsatzes (siehe unten)
eine Überführung des allgemeinen Falles in den Spezialfall, ohne die Allgemeinheit des bereits für
den Spezialfall erbrachten Beweises einzuschränken.
Formelsammlung.PhysMath.v24
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Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In
diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich 180° (ein gestreckter Winkel), während die
Umfangswinkel gleich 90°, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als
Spezialfall des Kreiswinkelsatzes.
Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)
Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen sind gleich gross. Dieser
Kreisbogen heisst dann Fasskreisbogen.
Der Umfangswinkelsatz ist eine unmittelbare Konsequenz des Kreiswinkelsatzes: Jeder
Umfangswinkel ist nach dem Kreiswinkelsatz halb so gross wie der Mittelpunktswinkel
(Zentriwinkel). Also müssen alle Umfangswinkel gleich gross sein.
Allerdings ist es unter Umständen notwendig, den Peripheriewinkelsatz auf anderem Wege zu
beweisen, da er sonst nicht als Bedingung in der Beweisführung des Kreiswinkelsatzes verwendbar
ist.
Sehnentangentenwinkelsatz[Bearbeiten]
Sehnentangentenwinkel
Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so gross wie die zugehörigen
Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so gross wie der zugehörige Mittelpunktswinkel
(Zentriwinkel).
δ=γ
Sinussatz
a
b
c
=
=
=2⋅r r: Radius des Umkreises
sin α sinβ sin γ
Beweis:
hc
h
sin β sin α
=sin β , c =sin α , hc =b sin α=a sin β⇒
=
a
b
b
a
Beweis:
a /2
a
=sin α → 2⋅r=
r
sin α
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oder
zyklisches vertauschen
2⋅r =
a
b
c
=
=
sin α sinβ sin γ
Cosinussatz
c 2=a 2+b 2−2⋅a⋅b⋅cos γ → cos γ=
2
2
a +b −c
2⋅a⋅b
2
Kreis
Umfang
u=2 π r
Kreisring
A=π⋅r 22−π⋅r 21=π⋅(r 2 −r 1 )(r 2+r 1)
Fläche
A=π⋅r
Kreissektor
Bogen
φ
b=2 π⋅r⋅
= φ⋅r
̂
360 °
Fläche
A=π r 2
φ
1
= r 2⋅̂φ
360 ° 2
Kreissegment
Sehne
s=2 r⋅sin( α2 )
Fläche
1
A=π⋅r 2⋅ α − ⋅r 2⋅sin α=π⋅r 2⋅ α −r 2⋅sin α⋅cos α
360 ° 2
360 °
2
2
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2
Kugel
Oberfläche
S=4 π⋅r 2
Volumen
4
V = ⋅π⋅r 3
3
Pyramide
Oberfläche
Volumen
1
V = ⋅G⋅h
3
Pyramidenstumpf
Volumen
1
V = ⋅h ( A1+ √ A1⋅A2+ A2)
3
Kegel
Formelsammlung.PhysMath.v24
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Oberfläche
Mantel
M =π⋅r⋅s
Grundfläche
G=π⋅r 2
Volumen
1
V = ⋅π⋅r 2⋅h
3
Kegelstumpf
1
V = ⋅h⋅π⋅(r 21+r 1⋅r 2+r 22 )
3
Formelsammlung.PhysMath.v24
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Vektorgeometrie
Betrag
∣⃗a∣=√ a 2x +a 2y +a 2z
Skalarprodukt
a⋅⃗b=a x⋅b x +a y⋅b y +a z⋅b z =∣⃗
⃗
a∣⋅∣⃗b∣⋅cos γ
Koordinatengleichung einer Ebene
x y z
+ + =1
A B C
A,B,C: Schnittpunkte mit den Achsen
( A / 0 / 0 ), ( 0/ B / 0 ), ( 0 / 0 / C )
a x+b y+c y=d
()
a
b
c
d: frei wählbar
ist senkrecht auf der Ebene.
Parameterdarstellung der Geraden
()( )
Px
Q x −P x
g :⃗
OP+t⋅⃗
PQ = P y +t⋅ Q y −P y
Pz
Q z−P z
Parameterdarstellung der Ebene
()( )( )
Px
Q x −P x
R x −P x
⃗
⃗
⃗
E : OP+t⋅PQ +s⋅PR= P y +t⋅ Q y −P y +t⋅ R y −P y
Pz
Q z −P z
R z−P z
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