Topologie des Rn - Mathematics TU Graz

Die Topologie von R , C und Rn
Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine
algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische
Struktur (Absolutbetrag, Abstand).
Bei vielen Untersuchungen in der Analysis kommt es nur auf die metrische
(bzw. allgemeiner topologische) Struktur an, welche es etwa ermöglicht,
konvergente Folgen zu definieren.
In R ist diese metrische Struktur durch pd(x, y) = |x − y| gegeben,
in C (= R2 ) durch d(z, w) = |z − w| = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 falls
zs= x1 + iy1 und w = x2 + iy2 , und im Rn durch d(x, y) = kx − yk =
n
P
(xi − yi )2 .
i=1
Allgemeiner nennt man ein Paar (M, d) einen metrischen Raum, wenn
M 6= ∅ eine Menge ist und d : M × M → R eine Abbildung mit folgenden
Eigenschaften ist:
(1) d(x, y) ≥ 0 ; d(x, y) = 0 ⇔ x = y
(2) d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie)
(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
(Dreiecksungleichung)
Die Abbildung d heißt Metrik, und die Zahl d(x, y) der Abstand
zwischen x und y .
Zuvor wurde schon für R , C und Rn gezeigt:
Satz. R , C und Rn sind mit den oben genannten Abstandsfunktionen
metrische Räume.
Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum und x0 ∈ M .
(i) Für jedes ε > 0 heißt die Menge Uε (x0 ) = {x ∈ M : d(x0 , x) < ε}
die (offene) ε-Kugel (oder ε-Umgebung) um x0 .
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(ii) U ⊆ M
enthält.
heißt Umgebung von x0 , wenn U eine ε-Kugel um x0
Bemerkungen. Für M = R ist eine ε-Kugel um x0 offenbar das offene
Intervall (x0 − ε, x0 + ε) , für M = C (bzw. R2 ) eine offene Kreisscheibe
mit Radius ε um z0 ∈ C (bzw. (x0 , y0 ) ∈ R2 ) , und im Falle M = R3
eine offene Kugel mit Radius ε um den jeweiligen Mittelpunkt.
Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Folge
(xn ) in M konvergent gegen x0 ∈ M , wenn in jeder ε-Kugel um x0
fast alle Folgenglieder liegen, d.h.
∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N sodass ∀ n > Nε gilt xn ∈ Uε (x0 ) .
Bemerkung. Man beachte, dass diese Definition konsistent ist mit den
vorherigen Defintionen von konvergenten Folgen für die speziellen Räume
R , C und Rn .
Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum und X ⊆ M .
(i) x0 ∈ X heißt innerer Punkt von X, wenn ein ε > 0 existiert mit
Uε (x0 ) ⊆ X .
Die Menge der inneren Punkte von X heißt das Innere von X (bzw.
offener Kern von X) und wird mit X 0 bezeichnet.
(ii) X heißt offen , wenn X = X 0 , d.h. wenn alle Punkte von X innere
Punkte sind. Per definition ist die leere Menge ebenfalls offen.
Bemerkungen.
1) Klarerweise ist M selbst eine offene Menge. Für x0 ∈ M und ε > 0
ist die ε-Kugel Uε (x0 ) auch selbst wieder eine offene Menge, weil für
y0 ∈ Uε (x0 ) gilt: d(x0 , y0 ) < ε und mit δ = ε − d(x0 , y0 ) > 0 und der
Dreiecksungleichung folgt Uδ (y0 ) ⊆ Uε (x0 ) .
(z ∈ Uδ (y0 ) ⇒ d(x0 , z) ≤ d(x0 , y0 ) + d(y0 , z) < d(x0 , y0 ) + δ = ε )
2) Man zeigt leicht, dass die beliebige Vereinigung von offenen Mengen
sowie der endliche Durchschnitt von offenen Mengen wieder eine offene
Menge ist.
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3) In R sind damit Intervalle der Form (a, b) , (−∞, b) , (a, ∞) offen,
nicht hingegen die Intervalle [a, b) , (a, b] , (−∞, b] etc.
4) Man kann zeigen, dass die zuvor definierten offenen Intervalle des Rn
ebenfalls offene Mengen sind (man veranschauliche sich die Situation im
R2 ) .
Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge X ⊆ M
heißt abgeschlossen, wenn das Komplement M \ X offen ist.
Bemerkungen.
1) M und ∅ sind stets abgeschlossen.
2) In R sind etwa [a, b] , (−∞, b] und [a, ∞) abgeschlossen.
3) Wiederum kann man zeigen, dass die zuvor definierten abgeschlossenen
Intervalle des Rn auch tatsächlich abgeschlossen sind.
Definition. Eine Teilmenge X ⊆ Rn heißt kompakt, wenn sie beschränkt
und abgeschlossen ist.
Teilmengen von R (bzw. C , Rn ) können von sehr unterschiedlicher
Natur sein.
Betrachte etwa X = {x ∈ Q : 0 < x < 1} ∪ {−5, 2} ⊆ R . Jede εUmgebung von x ∈ R ∩ (0, 1) enthält unendlich viele Punkte von X . In
einer hinreichend kleinen ε-Umgebung von x = −5 (bzw. x = 2) liegen
jedoch keine weiteren Punkte von X.
Betrachte X = {1, 12 , 13 , .., n1 , ..} ⊆ R . In einer hinreichend kleinen εUmgebung eines Punktes von X liegt kein weiterer Punkt von X mehr.
Hingegen liegen in jeder ε-Umgebung von x = 0 unendlich viele Punkte
von X .
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Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum, X ⊆ M und (xn ) eine
Folge in M .
1) x0 ∈ M heißt Häufungspunkt von X, wenn in jeder ε-Kugel um x0
unendlich viele Elemente von X liegen.
2) x0 ∈ M heißt Häufungspunkt der Folge (xn ) , wenn in jeder
ε-Kugel um x0 unendlich viele Folgenglieder liegen.
3) x0 ∈ X heißt isolierter Punkt von X, wenn es eine ε-Kugel um x0
gibt, in der keine weiteren Punkte von X liegen.
Bemerkungen.
(a) x0 ist Häufungspunkt von X ⊆ M genau dann, wenn es eine Folge
(xn ) mit Elementen aus X gibt mit xn 6= x0 und xn → x0 .
(Betrachte die Durchschnitte U n1 (x0 ) ∩ X )
(b) x0 ist Häufungspunkt der Folge (xn ) genau dann, wenn es eine
Teilfolge (xnk ) von (xn ) gibt mit xnk → x0 .
So hat etwa die reelle Folge
nämlich 1 und −1 .
1, −1, 1, −1, 1, ....
zwei Häufungspunkte,
(c) Satz. Eine Teilmenge X ⊆ M ist genau dann abgeschlossen, wenn
sie alle ihre Häufungspunkte enthält.
Beweis. Der Fall X = ∅ ist trivial. Sei also X 6= ∅ .
(i) Sei x ∈ M ein Häufungspunkt von X . Annahme: x ∈
/ X . Weil M \X
laut Voraussetzung offen ist, ∃ ε > 0 mit Uε (x) ⊆ M \ X . Da in Uε (x)
unendlich viele Elemente von X liegen, erhalten wir einen Widerspruch.
Also x ∈ X .
(ii) Annahme: X ist nicht abgeschlossen. D.h. M \ X ist nicht offen
⇒ ∃ x ∈ M \ X und keine ε-Kugel um x liegt in M \ X ⇒ jede
ε-Kugel um x schneidet M . Damit ist x ein Häufungspunkt von X .
Wegen x ∈ M \ X erhalten wir einen Widerspruch. ¤
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Satz. (Bolzano-Weierstrass)
Jede beschränkte unendliche Teilmenge X ⊆ R (bzw. C , Rn ) hat
mindestens einen Häufungspunkt.
Beweis. (für R)
Wegen der Beschränktheit ∃ K > 0 mit |x| ≤ K für alle x ∈ X . Weil X
unendlich ist, liegen in mindestens einem der Teilintervalle [−K, 0] bzw.
[0, K] unendlich viele Elemente von X .
Wähle ein derartiges Intervall aus und nenne es I1 = [a1 , b1 ] . Durch
Halbierung von I1 erhalten wir zwei Teilintervalle, von denen eines, etwa
I2 = [a2 , b2 ] , unendlich viele Elemente von X enthält.
Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge von ineinander geschachtelten Intervallen In = [an , bn ] , wobei offenbar gilt, dass (an ) monoton
K
wächst, (bn ) monoton fällt, und bn − an = 2n−1
ist.
Beide Folgen sind konvergent gegen denselben Grenzwert x . Wähle nun
K
< ε , dann liegt
ein beliebiges ε > 0 . Wird n so groß gewählt , dass 2n−1
In in der ε-Kugel um x, und damit liegen unendlich viele Elemente von X
in dieser ε-Kugel. D.h. x ist ein Häufungspunkt von X . ¤
Wir haben zuvor schon den Begriff der kleinsten oberen Schranke (Supremum) bzw. der größten unteren Schranke (Infimum) einer Teilmenge
X ⊆ R behandelt.
(Man beachte, dass hierbei die Ordnungstruktur von R eine Rolle spielt.)
Wir zeigten, dass in R jede nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum und jede nach unten beschränkte Teilmenge ein Infimum besitzt. Für
den Fall, dass X ⊆ R nicht nach oben beschränkt ist (bzw. nicht nach
unten beschränkt ist), setzen wir supX = ∞ (bzw. infX = −∞ ) .
Bemerkung. Sei X ⊆ R eine kompakte Teilmenge, also beschränkt
und abgeschlossen. Dann existieren supX, infX ∈ R und liegen in X !
( supX (bzw. infX) ist entweder ein isolierter Punkt von X oder ein
Häufungspunkt von X )
Damit hat eine kompakte Teilmenge X ⊆ R also ein größtes und ein
kleinstes Element !
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Wir betrachten nun wieder Folgen.
Satz. (Bolzano-Weierstrass für Folgen)
Jede beschränkte Folge (xn ) in R (bzw. C , Rn ) hat mindestens einen
Häufungspunkt.
Beweis. Betrachte die Menge X der Folgenglieder. Ist X endlich, dann
muß eines der Folgenglieder ein Häufungspunkt sein. Ist X unendlich, dann
hat X nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass einen Häufungspunkt x ,
welcher offenbar ein Häufungspunkt der Folge ist. ¤
Satz. (ohne Beweis)
Sei (xn ) eine Folge in R (bzw. C , Rn ) . Dann ist Hp(xn ) , die Menge
der Häufungspunkte von (xn ) , stets eine kompakte Teilmenge.
Sei nun (xn ) eine beschränkte reelle Folge. Dann ist Hp(xn ) 6= ∅ ,
und besitzt nach dem vorhergehenden Satz ein größtes und ein kleinstes
Element, welches mit
lim xn = lim sup xn
.... Limes superior von (xn ) bzw.
lim xn = lim inf xn
.... Limes inferior von (xn )
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
bezeichnet wird.
Folgerung. Ist (xn ) eine beschränkte reelle Folge, dann gibt es zu jedem
ε > 0 ein Nε ∈ N sodass für alle n > Nε gilt :
lim inf xn − ε ≤ xn ≤ lim sup xn + ε .
n→∞
n→∞
Somit ist eine beschränkte reelle Folge (xn ) genau dann konvergent, wenn
lim inf xn = lim sup xn .
n→∞
n→∞
Weitere Schreibweisen. Sei (xn ) eine reelle Folge.
1) Gilt für jedes K ∈ R dass xn > K für fast alle n , dann schreiben
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wir lim xn = +∞ bzw.
n→∞
xn → +∞ .
2) Gilt für jedes K ∈ R dass xn < K für fast alle n , dann schreiben
wir lim xn = −∞ bzw. xn → −∞ .
n→∞
3) Gibt es eine nach oben unbeschränkte Teilfolge, dann schreiben wir
lim sup xn = +∞ .
n→∞
4) Gibt es eine nach unten unbeschränkte Teilfolge, dann schreiben wir
lim inf xn = −∞ .
n→∞
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