Konvergenzkriterien

1.6 Sandwich-Kriterium
Wenn limn→∞ an = limn→∞ cn = A und an ≤ bn ≤
cn für fast alle n ∈ N ist, so ist auch (bn ) konvergent
und es ist limn→∞ bn = A.
Konvergenzkriterien
Prokop Lukas
1.7 Nullfolgen
November 16, 2010
Wenn an eine Nullfolge ist und bn beschränkt ist, so
ist (an · bn ) konvergent und ebenfalls eine Nullfolge:
limn→∞ bn = A.
1 Konvergenzkriterien für Folgen
2 Konvergenzkriterien für Reihen
1.1 Das allgemeine Konvergenzkriterium
2.1 Cauchy-Kriterium
(∀ε > 0)(∃N ∈ N :)∀n ≥ N : |an − A| < ε
Die Reihe
1.2 Cauchy-Kriterium
P∞
n=0
an konvergiert genau dann, wenn:
n+l
X
(∀ε > 0)(∃N :)(∀n > N )(∀l ∈ N) : ak < ε
Die Folge (sn )n∈N konvergiert genau, wenn
k=n+1
2.2 Satz 2.8.3
(∀ε > 0)(∃N :)(∀n > N )(∀l ∈ N) : |sn+l − sn | < ε
P∞
Seien an ≥ 0. Die dazugehörige Reihe sn = n=0 an
konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
Dies beschränkt sich jedoch auf R und C. In Q ist
nicht jede Cauchy-Folge ebenso konvergent.
1.3 Hauptsatz über monotone Zahlenfolgen
2.3 Majorantenkriterium
P∞
Eine nach oben beschränkte monoton wachsende
Sei
n=0 an eine konvergente Reihe mit positiven
Folge in K ist konvergent, ebenso eine nach unten
Gliedern und es gelte
P∞∀n : 0 ≤ bn ≤ an , dann konbeschränkte monoton fallende.
vergiert die Reihe n=0 bn .
1.4 Beschränktheit, Monotonie und Konver- 2.4 Minorantenkriterium
genz
P∞
Sei an ≥ 0 und es divergiere die ReiheP n=0 an . Sei
Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent. weiters bn ≥ an , dann divergiert auch ∞ bn .
n=0
1.5 Bolzano-Weierstrauß
2.5 Verdichtungssatz
Sei (an )n∈N0 eine beschränkte Folge, dann besitzt Sei (an )n∈N
konP∞monoton fallend und positiv.
P∞Dann
k
(an )n∈N0 eine konvergente Teilfolge (damit auch eine vergiert
a
genau
dann,
wenn
2
·
a2k
n=0 n
k=0
Häufungspunkt).
konvergiert.
1
2.6 Leibniz-Kriterium
4 Referenzreihen
Sei (an )n∈N P
eine monoton fallende Nullfolge, dann
∞
Mit k ∈ N+
konvergiert n=0 (−1)n · an .
∞
X
1
ist divergent
k·n
n=1
(
∞
X
konvergent für α > 1
1
ist
α
n
divergent
für α ≤ 1
n=1
2.7 Quotientenkriterium
Sei (bn )n∈N eine Folge reeler Zahlen, dann gilt:
∞
X
|bn+1 |
>1⇒
bn ist divergent
|bn |
n=0
(a)
∞
X
|bn+1 |
<1⇒
bn ist konvergent
|bn |
n=0
(b)
lim inf
n→∞
lim sup
n→∞
|
Wenn q = limn→∞ |b|bn+1
existiert, dann konvergiert
n|
P∞
b
,
wenn
q
<
1
und
divergiert, wenn q > 1.
n=0 n
Bei q = 1 ist keine Aussage möglich.
2.8 Wurzelkriterium
Sei (an )n∈N eine Folge reeler Zahlen, dann gilt:
Wenn lim sup
√
n
an > 1, dann divergiert die Reihe
n→∞
Wenn lim sup
√
n
(c)
an < 1, dann konvergiert die Reihe
n→∞
(d)
√
n
Wenn q = limn→∞ an existiert, so konvergiert die
Reihe, wenn q < 1, und divergiert, wenn q > 1. Bei
q = 1 ist keine Aussage möglich.
3 Referenzfolgen
1
=0
n
√
lim n a = 1
n→∞
√
lim n n = 1
n→∞
√
n
lim
n! = ∞
lim
n→∞
n→∞
an
=0
n→∞ n!
1 n
lim 1 +
=e
n→∞
n
lim
2