¨Ubungen zur Festkörperphysik WS2010 v.Issendorff 21.1.2011 22
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Übungen zur Festkörperphysik WS2010 v.Issendorff 21.1.2011 22.) Clausius-Mossotti Die Herleitung der Clausius-Mossoti-Formel ist ziemlich verblüffend. Hier werden mikroskopische und makroskopische Betrachtungen auf scheinbar widersprüchliche Weise verknüpft. Also: dielektrische Materie in einem äußeren elektrischen Feld Eext wird polarisiert; makroskopisch nimmt man eine auf atomarer Skala homogene Polarisationsdichte P an (vernachlässigt also mikroskopische Struktur) . Durch die Polarisation erhält man im Inneren der Materie ein reduziertes Feld Eint : Eint = Eext − EP ol Eint ist das Feld, welches für die (mittleren) Kräfte auf geladene Teilchen im Inneren des Körpers verantwortlich ist - also das E-Feld, wie es in den Maxwell-Gleichungen erscheint: D = εε0 Eint = ε0 Eint + P Damit ist die homogene Polarisationsdichte proportional zum mittleren inneren Feld: P = (ε − 1)ε0 Eint Eine homogene makroskopische Kugel wird in einem homogenen äußeren Feld homogen polarisiert; unten werden wir zeigen, dass diese Polarisationsdichte ein Feld erzeugt der Größe: 1 EP ol = P 3ε0 Andererseits ist die makroskopische Polarisationsdichte direkt mit der mikroskopischen Größe verknüpft (Dichte der atomaren Dipole): P = N pAt V Mikroskopisch wird jedes Atom durch das an seinem Ort wirkende Feld Eloc polarisiert: pAt = αAt Eloc Dieses lokale Feld ist aber nicht das mittlere Feld Eint , da man hier den Beitrag des betrachteten Atoms herausrechnet! (Eint ist das mittlere durch alle Ladungen bzw. Dipole erzeugte Feld plus dem äußeren Feld; für Eloc entfernt man ein Atom und berechnet dann an seinem Ort das durch sämtliche Nachbardipole erzeugte Feld und addiert das äußere Feld - damit fehlt der Beitrag des Atoms selbst, außerdem ist das so berechnete Feld nicht homogen). Unten werden wir zeigen, dass in einem kubischen Gitter dieses Feld aller Nachbaratome exakt Null ist (!). Damit ist Eloc = Eext 1 Fragen/Aufgaben: a) Leiten Sie aus den oben gegebenen Gleichungen her, dass gilt: ε=1+ N V αAt ε0 − 13 N V αAt (also die Clausius-Mossoti-Formel) b) Es fehlen noch die beiden Behauptungen. Wir berechnen erst das el. Feld EP ol in einer homogen polarisierten Kugel. Man kann sich diese so vorstellen, als wäre sie aus einer positiv und einer negativ geladenen Kugel aufgebaut (Ladungsdichte ρ = ± N V e). Bei Polarisation wird eine der Kugeln um +δ/2, die andere um −δ/2 verschoben. Wie gross ist dann das elektrische Feld am ursprünglichen Mittelpunkt beider Kugeln? (Tip: das elektrische Feld innerhalb einer homogen geladenen Kugel im Abhängigkeit vom Radius ist E = 3ε10 ρR; elektrische Felder sind additiv, also kann man den Beitrag der positiven und negativen Kugel separat berechnen und addieren). Da die Dipoldichte bei dieser Verschiebung gegeben ist durch P = N V eδ, wie lautet damit die Beziehung zwischen EP ol und P ? c) Zur Berechnung des Felds Eloc muss man die Felder aller Dipole (der polarisierten Gitteratome) aufaddieren. Wenn alle Atome in z-Richtung polarisiert sind, kann man davon ausgehen, dass auch Eloc in z-Richtung zeigt (bei Summation über ein unendliches Gitter oder über einen kugelförmigen Ausschnitt). Die z-Komponente des elektrischen Felds eines Dipols im Gesamtabstand r und mit Abstand in z-Richtung z ist: p 3z 2 − r2 EZ = 4πε0 r5 aufsummiert also X pj 3zj2 − rj2 p X 3zj2 − rj2 = EZ = 4πε0 4πε0 rj5 rj5 j j Was ergibt sich im kubischen Gitter bei Summation über die nächsten bzw. die übernächsten Nachbarn? (nehmen wir das mal als Beweis fürs ganze Gitter) 23.) Paramagnetismus In der Vorlesung haben wir die temperaturabhängige Ausrichtung eines Systems aus einfachen Spins (s=1/2) berechnet. Jetzt betrachten wir ein System aus magnetischen Bahnmomenten, mit l = 1 (also drei Einstellungen mit ml = +1, 0, −1) und zugehörigem magnetischen Moment µl = µB . Man erhält nun drei Subensemble mit Dichten n−1 , n0 , n1 , mit Magnetisierung M = −n−1 µl , 0, n1 µl Die Energien für die drei Zustände sind E = −µl B, 0, +µl B Wie lauten damit die normierten Boltzmannfaktoren für die drei Zustände, was ergibt sich für die Temperaturabhängigkeit der Gesamtmagnetisierung? Wie stark unterscheidet sich diese Kurve von der für das Zwei-Niveau-System berechneten? Bei welchen Temperaturen kommt man bei Magnetfeldern von 0.1 T, 1 T, 10 T nah an die Sättigungsmagnetisierung? 2
