Kapitel 6 Magnetismus

Kapitel 6
Magnetismus
6.1
Einleitung
Magnetismus ist eines der grundlegenden Phänomene der Festkörperphysik. Magnetische
Effekte sind u.a. für Ferro- und Antiferromagnetismus verantwortlich. Sie spielen eine
wichtige Rolle bei den Schweren Fermionen und den Hochtemperatur-Supraleitern.
Die allermeisten magnetischen Systeme können nicht durch einfache Modelle schwach
wechselwirkender Elektronen beschrieben werden, die Elektron-Elektron Abstoßung spielt
im Magnetismus eine wichtige Rolle.
6.1.1
Dipol-Dipol-Wechselwirkung
Wir schätzen zunächst die magnetostatische Energie
U =
i
1 h
m
·
m
−
3(m
·
n)(m
·
n)
1
2
1
2
r3
von zwei magnetischen Dipolen m1 und m2 ab, wobei rn der Verbindungsvektor ist.
Grössenordnungs-mässig gilt:
Udipole−dipole ≈
m1 m2
.
r3
Mit
m1 ∼ m2 ∼ gµB ∼
eh̄
,
m
und r ≈ 2 Ao , a0 ≈ h̄2 /(me2 ), erhalten wir
(gµB )2
∼
U∼
r3
e2
h̄c
!2 also ungefähr eine Grad Kelvin!
87
a0
r
3
e2
∼ 10−4 eV! ,
a0
88
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
J
Abbildung 6.1: Sowohl die Bildung lokaler magnetischer Momente wie auch die Austauschwechselwirkung (J) zwischen ihnen geht auf Coulomb-Korrelations-Effekte zurück.
6.1.2
Freie magnetische Momente
Zeeeman-Aufspaltung
Wir betrachten nun nicht-wechselwirkende Elektronen mit einem magnetischem Moment
≈ µB (L + 2 S) ,
(6.1)
wie sie typischerweise in ionischen Zuständen auftreten. In einem äusseren magnetischen
Feld B ändert sich die Energie der Momente um die Zeeman-Energie
∆E ∼ µB (L + 2S)B ∼ µB B,
µB =
eh̄
eV
∼ 5.8 × 10−5
.
2m
T
Große Magnetische Felder haben eine Feldstärke von ∼ 10T , die Zeeman-Energie beträgt
also höchstens
∆E ∼ 10−3 eV
oder
∼ kB (10o K)
(6.2)
Dieses ist eine sehr kleine Energie, oberhalb von
kB T > µB B
(6.3)
verschwindet das magnetische Moment von Bandelektronen aufgrund der thermischen
Fluktuation.
Curie-Weiss-Gesetz
Die Suszeptibilität misst die Variation des induzierten magnetischen Momentes bei einem
angelegten äußeren magnetischen Feld. Für freie Spin-1/2 Ionen finden wir mit g ≈ 2
hmi
1
1
−β gµ B
β gµ B
1 e 2 B −e 2 B
= gµB 2 e−β 12 gµB B + eβ 21 gµB B
µB B
µB
tanh(βµB B) ≈ µB
2
kB T
2
∂ hmi
µB
χ =
≈
∂B
kB T
≃ g
(6.4)
(g ∼ 2)
(6.5)
das Curie-Weiss-Gesetz ∼ 1/T , welches auch für alle anderen magnetischen Systeme
asymptotisch bei hohen Temperaturen gilt. Die typische Temperaturskala ist wieder 10◦ K!
89
6.1. EINLEITUNG
E
∼ kT/EF
D(E)
Abbildung 6.2: In einem Metall tragen nur die Elektronen in der Nähe der Fermikante zur
µ2
Suszeptibilität bei: χ ∼ EkTF kBBT ∼ µ2B D(EF ).
6.1.3
Das freie Fermi Gas
Als Wiederholung berechnen wir nun die T = 0 Suszeptibilität eines freien Fermi Gases
mit dem Hamiltonian
H =
X
ξk,σ c†k,σ ck,σ ,
ξk,σ =
k,σ
h̄2 k2
gµB
−µ+σ
B,
2m
2
σ = ±1
und der Zustandsdichte
1 √ 3
2m E
2π 2h̄3
pro Spin (Abschnitt 3.7). Das magnetische Feld entspricht daher effektiv einem Spinabhängigem chemischen Potential µσ = µ − σgµB B/2 und wir erhalten
D(E) =
g 2µ2B
gµB
D(EF ) (µ+ − µ− ) =
D(EF )B ,
hmi =
2
2
und somit
∂ hmi
= 2µ2B D(EF )
∂B
für die Suszeptibilität des freien Elektronengases.
χ =
Eisen und Nickel
Nun wissen wir aber, dass es Eisen und Nickel gibt, und andere Ferromagnete, welche bei
tausend Kelvin magnetisch ordnen. Die Curie-Temperatur von Eisen ist Tc = 1043 K. Wie
kommen diese hohen magnetischen Energien zustande? Da Eisen und Nickel Metalle sind,
ist diese Frage noch dringender, denn bei Metallen tragen, wie eben berechnet, nur ein
kleiner Teil aller Elektronen, die an der Fermikante, zum elektronischem Verhalten bei.
Diamagnetismus
Weiterhin ist zu bemerken, dass ein äusseres Magnetfeld in Metallen, aufgrund der Lenz’schen
90
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
Max S
Max L
ψ(x)
x
e-
e-
Abbildung 6.3: Hund’sche-Regel: Maximales S und L, beides um die intra-atomare
Coulomb-Energie zu minimieren.
Regel, diamagnetischen Ströme induziert. Diese Ströme erzeugen ihrerseits ein magnetisches Moment, welches dem äusseren Magnetfeld entgegensteht. Die Suszeptibilät kann
dadurch negativ werden (Band-Diamagnetismug). Darüber hinaus können auch Ionen mit
gefüllten Schalen, durch die induzierten atomaren Ströme (Lamor-Diamagnetismuns), diamagnetisch sein. Wir werden hier nicht weiter auf diese beiden Phänomene eingehen.
6.2
6.2.1
Coulomb-Korrelationen
Bildung des magnetischen Momentes
Die Relevanz der intra-atomaren Coulomb-Abstossung nimmt mit abnehmenden Radius
der atomaren Wellenfunktionen der Valenzbänder zu. Sie ist für 3d-und 4f -Elektronen in
Übergangsmetallverbindungen sehr wichtig. Eine Konsequenz sind die beiden Hund’schen
Regeln.
• Erste Hund’sche Regel
Die erste Hund’sche Regel besagt, dass der totale Spin S maximal sein soll, der Spin
der Valenz-Elektronen also parallel sein soll. Damit wird die Spin-Wellenfunktion
symmetrisch. Die antisymmetrische Orstwellenfunktion hat dann Knoten und die
Elektronen sind im Mittel weiter voneinander entfernt, was die Coulomb-Abstossung
minimiert.
• Zweite Hund’sche Regel
Nach der zweiten Hund’schen Regel ist der Bahndrehimpuls L maximal. Anschaulich
werden dann die Elektronen wie bei einer Zentrifuge nach aussen ‘geschleudert’,
damit ist ihr Abstand wiederum im Durchschnitt vergrössert. Quantenmechanisch
entspricht dies dem Term ∼ L(L + 1)/r 2 in der radialen Schrödinger-Gleichung.
Die atomaren Korrelationen implizieren also ein möglichst grosses atomares magnetisches
Moment:
≈ µB (L + 2 S) .
91
6.2. COULOMB-KORRELATIONEN
2ε+U
Γ
µ
ε
Abbildung 6.4: Ein lokales Moment wird gebildet, wenn die Bandbreite Γ der kinetischen
Bewegung viel kleiner als die inter-orbitale Coulomb-Abstossung U ist.
Elektronische Bänder
Die Hund’schen Regeln gelten für isolierte Atome. In einem Festkörper überlappen jedoch
die atomaren Wellenfunktionen und es werden Bänder gebildet. Die kinetische Energie
wirkt also der Entstehung von lokalen magnetischen Momenten entgegen.
Sei die typische Bandbreite der elektronischen Bänder an der Fermikante Γ. In einem
einfachen Modell (Hubbard-Atom) mit einem relevanten Orbital an der Fermikante haben
die einfach-besetzten Zustände jeweils die Energie ε, und der doppelt besetzte Zustand
2ε + U.
Falls die Energiedifferenz
(2ε + U) − ε >> Γ
ist, dann wird sich ein lokales Spin-1/2 Moment ausbilden.
6.2.2
Magnetische Korrelationen
Korrelationslänge
I.a. werden Ionen mit magnetischen Momenten in einem Festkörper mehr oder weniger
stark wechselwirken. Damit werden wir uns noch ausführlich beschäftigen. Diese Wechselwirkung wird bei Ferromagneten auch oberhalb der Curie-Temperatur dazu führen,
dass benachbarte Elektronen tendenziell in die selbe Richtung zeigen. Die dazugehörige
charakteristische Länge nennt man die Korrelationslänge ξ. Sie spielt bei der Theorie der
Phasenübergänge eine entscheidende Rolle.
Magnetische Korrelationen
Betrachten wir nochmals die Suszeptibilität χ und die typische Energie E
χ ≈
(mµB )2
kB T
E ≈
(mµB B)2
kB T
eines isolierten magnetischen Momentes mµB in einem äusseren Feld. Wir hatten gesehen,
dass E ≈ 10 K für ein einzelnes Moment ist.
3
korrelierter Momente als eine Einheit, dann
Betrachten wir nun die Anzahl Nc = 4πξ
3a3
erhöht sich die charakteristische magnetische Energie dramatisch. Sei z.B. aξ = 3, so dass
Nc ∼ 102 , dann erhöht sich E um einen Faktor ∼ 104!
92
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
ξ
a
Abbildung 6.5: Die Korrelationslänge ξ charakterisiert den Durchmesser eines kleinen
Volumens innerhalb dessen die magnetischen Momente tendenziell parallel ausgerichtet
sind.
Austausch-Hamiltonian
Die Wechselwirkung zwischen den Elektronen ist also relevant. Für zwei Spin-1/2 Momente (vgl. die Behandlung vom Helium-Atom und vom H2 -Molekül in de QMII) lässt
sich der Austausch-Hamiltonian folgendermassen schreiben:
H = J S1 · S2 ,
(6.6)
wobei J = Et − Es die Austausch-Aufspaltung zwischen der Energie Et des Tripletts und
der Energie Es des Singletts ist:



 

|↑ ↑i 
√ 
|↑ ↑i + |↓ ↑i / 2






|↓ ↓i
√
|↑ ↓i − |↓ ↑i / 2
6.2.3
Et =
J
4
Es = −
(6.7)
3J
4
(6.8)
Das Austauschintegral zwischen lokalisierten Spins
Am Beispiel des Wasserstoffmoleküls wiederholen wir kurz die Berechnung des Austauschintegrals J. Die beiden Kerne seien A und B, die Elektronen 1 und 2.
Der Hamiltonian ist:
H = H1 + H2 + H12
(6.9)
e2
e2
h̄2 2
∇ −
−
H1 = −
2m
r1A r1B
H12 =
e2
e2
+
.
r12 RAB
(6.10)
(6.11)
93
6.2. COULOMB-KORRELATIONEN
1
e
r1B
r1A
e
2
e
r12
+
r2A
r
2B
R
e
AB
A
+
B
Abbildung 6.6: Geometrie des Wasserstoffmoleküls, die Elektronen sind 1 und 2, die Ionen
A und B.
Molekül-Wellenfunktionen
Bezeichnen wir mit φA/B (1/2) die jeweiligen 1s-Wellenfunktionen, dann ist die nichtwechselwirkende 2-Teilchen Wellenfunktion ψ12 gleich
ψ12 =
=
h
ih
i
φA (1) + φB (1) φA (2) + φB (2) ⊗ |Spinsi
h
i
φA (1)φA (2) + φB (1)φB (2) + φA (1)φB (2) + φA (2)φB (1) ⊗ |Spinsi (6.12)
Da e2 /r12 stark ist, werden die Zustände in (6.12) mit zwei Elektronen pro Ion stark
unterdrückt und können vernachlässigt werden (Heitler-London Näherung):
i
1h
φA (1)φB (2) ± φB (1)φA (2) ⊗
2
ψ12 =
Singlett
Triplett
.
(6.13)
Die respektiven Energien sind durch E = hψ12 |H|ψ12 i / hψ12 |ψ12 i gegeben. Man erhält:
hψ12 |H|ψ12 i
e2
C± A
= 2EI +
+
,
hψ12 |ψ12 i
RAB
1±S
E =
wobei
EI =
Z
d
2
r1 φ∗A (1)
)
(
(6.14)
e2
h̄2 2
φA (1) < 0
∇1 −
−
2m
r1A
(6.15)
(6.16)
die Einteilchen-Energie ist,
2
C = e
Z
3
3
d r1 d r2
1
1
1
−
−
|φA (1)|2 |φB (2)|2
r12 r2A r1B
das Coulomb-Integral (Hartree-Term),
2
A=e
Z
3
3
d r1 d r2
1
1
1
φ∗A (1)φA (2)φB (1)φ∗B (2)
−
−
r12 r2A r1B
(6.17)
94
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
Abbildung 6.7: Antiferromagnetische Anordnung (Néel) von klassischen Spins.
das Austausch-Integral und
S =
Z
d3 r1 d3 r2 φ∗A (1)φA (2)φB (1)φ∗B (2)
(0 < S < 1)
(6.18)
das Überlapp-Matrixelement. Alle diese Integrale sind reel: EI , C, A, S ∈ Re .
Heisenberg-Modell
Das Austausch-Integral J berechnet sich somit zu
(
e2
C −A
J = Et − Es = 2EI +
+
RAB
1−S
C −A C +A
−
=
1−S
1+S
SC − A
= 2
> 0,
1 − S2
)
(
e2
C +A
− 2EI +
+
RAB
1+S
)
(6.19)
da S ≪ 1 und A < 0 ist. Der effektive Spin-Spin Hamiltonian für zwei Ionen
H = 2J S1 · S2 ,
(J > 0)
(6.20)
favorisiert antiparallele Spins (Antiferromagnetismus), siehe die Fig. (6.7) für eine Illustration. In der Tat sind die allermeisten magnetischen Isolatoren auch antiferromagnetisch.
Sie können dann in direkter Verallgemeinerung von (6.20) mit dem antiferromagnetischen
Heisenberg-Modell
X
H = 2J
Si · Sj ,
(J > 0)
(6.21)
hiji
beschrieben werden.
6.2.4
Austausch-Wechselwirkung für delokalisierte Spins
Der Austauschmechanismus favorisiert Antiferromagnetismus. Der z.B. in Eisen und Nickel
beobachtete metallische Ferromagnetismus muss daher andere physikalische Gründe haben. Es sind dies das Austauschloch aufgrund des Fermi-Prinzips und wieder die CoulombAbstossung.
95
6.2. COULOMB-KORRELATIONEN
Zwei Elektronen
Wir betrachten zunächst die Paar-Wellenfunktion von zwei Elektronen mit zwei verschiedenen Wellenzahlen k1 und k2 in einem Volumen V,
o
1 n iki ·ri ikj ·rj
= √
e
e
± eiki ·rj eikj ·ri
2V
o
n
1
= √
eiki ·ri eikj ·rj 1 ± ei(ki −kj )·(ri −rj )
2V
ψij
(6.22)
wobei wir den Spin-Anteil der Wellenfunktion (Singlett/Triplett) unterdrückt haben. Die
Wahrscheinlichkeit die Elektronen in den jeweiligen Volumina d3 ri und d3 rj zu finden ist
o
1 n
1
±
cos
[(k
−
k
)
·
(r
−
r
)]
d 3 ri d 3 rj .
(6.23)
i
j
i
j
V2
Gemäß dem Pauli-Prinzip verschwindet die Paaramplitude für ri = rj im Triplett-Zustand.
Für ri ≈ rj ist die Paaramplitude reduziert, man spricht vom Austausch-Loch. Wie bei der
ersten Hund’schen-Regel favorisiert die Elektron-Elektron-Abstossung daher den Triplett
Zustand, bei welchem die Spins parallel (ferromagnetisch) ausgerichtet sind.
|ψij |2 d3 ri d3 rj =
Austausch-Loch im Fermi-See
Um den Durchmesser des Austausch-Loches in einem Metall zu bestimmen, müssen wir
(6.23) über den Fermi-See mitteln:
P↑↑ (r) d3r = n↑ d3 r 1 − cos [(ki − kj ) · r] ,
|
mit der Elektron-Dichte
{z
Fermi-See Mittelung
(6.24)
}
1
1 # Elektronen
n =
.
2
2
Volumen
Dabei ist nun r die relative Distanz. Die Berechung ergibt:
en ρex (r) =
1 − cos [(ki − kj ) · r]
2 
n↑ =
=


1
en
1− 2

4π 3
2 
k
3 F
(
Z
0
kF
d3 ki d3 kj



1 ı(ki −kj )·r
e
+ e−ı(ki −kj )·r

2

en
4π 3 −2 Z kF 3 ıki ·r Z kF 3
=
1−
d kj e−ıkj ·r
d ki e
k
2
3 F
0
0
(
)
en
(sin kF r − kF r cos kF r)2
=
1−9
.
2
(kF r)6
(6.25)
)
(6.26)
Dieses Resultat gilt für parallele Spins. Für antiparallele Spins gibt es keine AustauschKorrelationen im Ortsraum. Die effektive Gesamt-Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion ist
also
(
)
9 (sin kF r − kF r cos kF r)2
ρef f (r) = e n 1 −
.
(6.27)
2
(kF r)6
Das Austausch-Loch hat also einen kleinen Radius von ≈ 1/kF ∼ a.
96
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
ρeff
en
1
1/2
2
4
kF r
Abbildung 6.8: Die Elektron-Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion als Funktion des Abstandes in einem Metall.
6.3
Stoner-Model für Ferromagneten
Die Fourier-Transformierte des kurz-reichweitigen Austausch-Potentials (6.27) ist im wesentlichen strukturlos, kann also gut durch eine Konstante genähert werden (Stoner-Näherung). Die Up/Down-Teilchendichten führen also zu einer Erniedrigung der Einteilchen
Energien für die Up/Down-Teilchen, mit
E↑ (k) = E(k) −
IN↑
;
N
I ∼ 1 eV
(6.28)
und
IN↓
,
(6.29)
N
wobei I > 0 der Stoner-Parameter ist. Er quantiziert die Energie des Austausch-Loches.
Ohne Austausch wäre die Energie grösser, durch den Austausch findet also eine Energieabsenkung statt. Die relative Spin-Besetzungszahl R und Dichte des magnetischen Moments
M sind
(N↑ − N↓ )
N
R =
R.
(6.30)
,
M = µB
N
V
E↓ (k) = E(k) −
R 6= 0 impliziert Ferromagnetismuns. Wir können die Einteilchen-Energien also auch als
I(N↑ + N↓ ) σIR
−
,
2N
2
σIR
≡ Ẽ(k) −
2
Eσ (k) = E(k) −
(σ = ±)
(6.31)
(6.32)
schreiben, mit der effektiven Einteilchen-Energie Ẽ(k) = E(k) − I/2.
Selbstkonsistente Lösung
Das Fermi-Niveau EF ist unabhängig von der Richtung der Spins der Elektronen, damit
97
6.3. STONER-MODEL FÜR FERROMAGNETEN
f’
f
EF
EF
f’’
0
f’’’
EF
EF
Abbildung 6.9: Die Fermi-Dirac-Funktion f = eβ(E−EF ) + 1
−1
und ihre Ableitungen.
ist
1
1 X
n
o
R =
N k
exp (Ẽ(k) − IR/2 − EF )/kB T + 1
1
n
o
−
exp (Ẽ(k) + IR/2 − EF )/kB T + 1
(6.33)
Für kleine R können wir die Fermi-Dirac-Verteilung f um das Femi-Niveau Ẽ(k) − EF
entwickeln,
2
f (x − a) − f (x + a) = −2af ′ − a3 f ′′′ ,
(6.34)
3!
mit x = β(Ẽ(k) − EF ) und a = βIR/2. Bei tiefen Temperaturen können wir den Wert der
Ableitungen am Fermi-Niveau Ẽ(k) = EF nehmen, mit f ′ < 0 und f ′′′ > 0. Wir erhalten
mit
IR 1 X ∂f 2 IR 3 1 X ∂ 3 f R = −2
−
(6.35)
2 N k ∂ Ẽ(k) E
6 2
N k ∂ Ẽ 3 (k) E
F
F
eine quadratische Gleichung in R:
I X ∂f −1 −
N k ∂E(k) E
welche ein reele Lösung hat, falls
F
1 3 2 1 X ∂ 3 f =
I R
24
N k ∂E 3 (k) E
I X ∂f −
N k ∂E(k) E
> 1.
F
,
(6.36)
F
(6.37)
98
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
I (eV)
∼
D(E F) (eV-1)
1.0
Ni
Fe
Co
1.0
Na
Li
50
Z
Z
Abbildung 6.10: Zum Stoner-Kriterium: Das Austausch-Integral I und die Zustandsdichte
an der Fermi Kante D̃(EF ).
Für sehr hohe Temperaturen hat (6.37) keine Lösung, da für T → ∞ die Ableitung
der Fermifunktion gegen Null geht. Für sehr hohe Temperaturen sind alle Substanzen
Paramagnete.
Stoner-Kriterium
Im Limes T → 0 gilt
∂f ∂E(k) EF
→ −δ(Ẽ − EF ) und die linke Seite von (6.37) wird zu
Z
V
V
1 X ∂f
=
dẼ D(Ẽ)δ(Ẽ − EF ) =
D(EF ) = D̃(EF ) ,
−
N k ∂ Ẽk
N
N
(6.38)
wobei D(E) die Zustandichte pro Spin ist (Achtung, häufig wir auch die Spin-integrierte
Zustandichte verwendet). Die Bedingung für T = 0 Ferromagnetismus ist also
I D̃(EF ) > 1
das Stoner-Kriterium.
Experimentell zeigt sich, dass I für 3d-Übergangsmetalle nicht stark von der Kernladungszahl abhängt. Daher sind nur Metalle wie Fe, Co, & Ni mit sehr grossen Zustandsdichten
an der Fermikante D̃(EF ) Ferromagnete.
6.3.1
Erhöhung der Suszeptibilität χ
Auch im paramagnetischen Zustand, egal ob das System bei tiefen Temperaturen ordnet,
führt der Stoner-Mechanismus zu einer Erhöhung der Suszeptibilität.
In einem äusseren magnetischen Feld sind die effektiven Einteilchen-Energien mit gS = 1
INσ
− µB σB .
(6.39)
N
Im paramagnetischen Zustand können wir den kubischen Term in R auf der rechten Seite
von (6.35) vernachlässigen und erhalten somit
Eσ (k) = E(k) −
R = −
1 X ∂f
(IR + 2µB B)
N k ∂ Ẽk
= D̃(EF )(IR + 2µB B)
(6.40)
99
6.4. MOLEKULARFELD-THEORIE
δ=2
δ=3
i
δ=1
δ=4
P
Abbildung 6.11: Terme des Heisenberg Hamiltonians H = − iδ Jiδ Si · Siδ − gµB B0
Dabei ist i der Gitterindex und δ die Z = 4 Nachbarn des Gitterplatzes i.
P
i
Si .
oder, mit M = µB N
R,
V
M = 2µ2B
beziehungsweise
χ =
N D̃(EF )
B
V 1 − I D̃(EF )
χ0
∂M
=
∂B
1 − I D̃(EF )
(6.41)
,
(6.42)
mit der freien Suszeptibilität
χ0 = 2µ2B
N
D̃(EF ) = 2µ2B D(EF ) .
V
(6.43)
Die Coulomb-Wechselwirkung kann also via I zu einer dramatischen Erhöhung der Suszeptibilität führen. Es ist kein Zufall, dass in (6.42) die Suszeptibilität für I D̃(EF ) → 1
divergiert. Dies ist genau die Definition eines ferromagnetischen Phasenüberganges zweiter
Ordnung.
6.4
Molekularfeld-Theorie
Die Stoner-Theorie ist ein Beispiel für eine Molekularfeld-Theorie. Die Wechselwirkung
zwischen den konstituierenden Elementen wird durch eine effektive Dichte-Dichte-Wechselwirkung beschrieben. Den Stoner-Parameter I nennt man in diesem Zusammenhang den
Kopplungsparameter. Hier betrachten wir die Molekularfeldtheorie von Gittermodellen.
6.4.1
Ferromagnetismus lokalisierter Elektronen
Auch wenn Ferromagnete mit lokalisierten Momenten eher eine Ausnahme sind, ein Beispiel ist CeSi2−x , with x > 0.2, betrachten wir zunächst Ferromagnete auf einem Gitter
100
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
mit
X
H =
iδ
X
Jiδ Si · Siδ − gµB B0
Si .
(6.44)
i
Der Heisenberg-Hamiltoian (6.44) kann nur für eindimensionale Gitter mit Hilfe des BetheAnsatzes exakt gelöst werden.
Molekularfeld-Näherung
Wir nähern den Heisenberg-Hamiltonian als
H =
!
X X
i
Jiδ Siδ − gµB B0 Si ≈ gµB
δ
und bezeichnen mit
1
=
gµB
Bef f
*
X
Jiδ Siδ
δ
+
X
Bef f Si
(6.45)
i
− B0
das effektive Feld, welches der Spin Si am Gitterplatz i fühlt.
Fall: Nächste-Nachbar-Wechselwirkung
P
Mit h δ Jiδ Siδ i bezeichnet man das interne (Molekular-) Feld, generiert durch die Nachbarplätze von i und die Näherung
X
δ
Jiδ Siδ →
*
X
δ
Jiδ Siδ
+
als die Molekularfeld-Näherung.
Wir betrachten nun Jiδ ≡ J und bezeichnen mit Z die Anzahl nächster Nachbarn pro
Gitterplatz:
Bef f =
=
J
P
iδ
JZ
hSiδ i − gµB B0
=
hSi − B0
gµB
gµB
(6.46)
V
ZJM − B0 = BM F − B0 ,
Ng 2 µ2B
(6.47)
mit
N
hSi ;
Z = #nn .
(6.48)
V
Der Heisenberg-Hamiltonian (6.45) ist in dieser Näherung äquivalent zu einem System
von unabhängigen Spins in einem effektiven Magnetfeld Bef f .
M = gµB
Selbstkonsistente Lösung
Die Wahrscheinlichkeit für einen Spin i nach oben/unten (σ = ±1) zu zeigen ist
Pσ =
e−β (σgµB Bef f /2)
,
e−β (gµB Bef f /2) + e−β (−gµB Bef f /2)
σ = ±1 .
Damit erhalten wir eine Selbstkonsistenz-Gleichung für die Magnetisierung:
1
N↑ − N↓
1
N
β
M =
gµB
= − gµB tanh
gµB Bef f
2
V
2
V
2
!
B0
ZJV
M + β gµB ,
= Ms tanh −β
2gµB N
2
!
(6.49)
101
6.4. MOLEKULARFELD-THEORIE
a = tanh (ba)
y=a
y = tanh (ba)
initial slope = b
Abbildung 6.12: Die Gleichung der Form a = tanh(ba) hat eine nicht-triviale Lösung (d.h.
a 6= 0) für b > 1.
d.h.
βZJ M
βgµB B0
M = Ms tanh −
+
4 Ms
2
!
,
(6.50)
wobei wir die Sättigungs-Magnetisierung
Ms =
N gµB
V 2
(6.51)
eingeführt haben.
Fall: Kein äusseres magnetisches Feld
Für B0 = 0 finden wir schließlich
Tc M
M
= tanh
Ms
T Ms
Tc =
Z|J|
.
4kB
(6.52)
Dabei hat Tc die Bedeutung der Übergangstemperatur (Curie-Temperatur) denn nur für
T < Tc und J < 0 (Ferromagnetismus) hat (6.52) eine Lösung M > 0.
Für T → 0 geht die rechte Seite von (6.52) gegen eins M(T = 0) = Ms .
Skalen-Verhalten
Wir betrachten (6.52) für kleine Werte des Ordnungsparameters M und benutzen die
Taylor-Entwicklung tanh(x) = x − x3 /3 + . . .. Damit wird (6.52) zu
1 =
Wir stellen fest:
TC
1 TC
−
T
3 T
3 M
Ms
2
,
1
√ T 3/2 q
M(T )
T 2
1 − T /TC ∼ 1 −
≃ 3
Ms
TC
Tc
(6.53)
102
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
J<0
"down" sublattice
"up" sublattice
Abbildung 6.13: Antiferromagnetischer Zustand (der Néel Zustand) auf einem bcc-Gitter,
zusammengesetzt aus zwei inter-penetrierenden einfach-kubischen Gittern.
• Es handelt sich um einen Phasenübergang zweiter Ordnung, da M(T ) kontinuierlich
gegen null geht, für T → TC .
• Es gibt ein Skalenverhalten M(T ) ∼ (1 − T /TC )β mit einem kritischen Exponenten
β = 1/2. Der exakte kritische Exponent ist jedoch verschieden vom MolekularfeldWert β = 1/2.
• Man kann zeigen, dass die Molekularfeld-Näherung um so besser ist, je grösser die
Anzahl nächster Nachbarn ist. Z = 2, 4, 6 in einer, zwei und drei Dimensionen.
Curie-Weiss-Gesetz
Wir linearisieren (6.50) für T > Tc in β = 1/(kB T ) und betrachten die Magnetisierung
M welches das äussere Magnetfeld B0 induziert. Wir erhalten mit
TC
M
1−
Ms
T
=
1
βgµB0
2
das Curie-Weiss-Gesetz
χ =
gµ Ms
2kB T − TC
Ms =
N gµB
V 2
(6.54)
für die Suszeptibilität χ = ∂M/∂B0 . Experimentell misst man χ(T ) und trägt 1/χ(T )
auf. Ein positiver Interzept deutet dann auf ferromagnetische Korrelationen hin.
6.4.2
Molekularfeld-Theorie für Antiferromagnete
Antiferromagnetische Kopplungen J > 0 sind in Übergangsmetalloxiden, z.B. bei Oxiden
von Fe, Co, Ni und Cu, sehr häufig. Zur Illustration betrachten wir ein raumzentriertes
kubisches Gitter mit zwei inter-penetrierenden einfach-kubischen Gittern und Z = 8.
103
6.4. MOLEKULARFELD-THEORIE
χ
T
-TN
N
Abbildung 6.14: Sketch von χ = Const/(T + TN ), gültig nur für T > TN . Die Suszeptibilität divergiert am Übergang nicht, im Gegensatz zum Ferromagneten, das ein homogenes
äusseres Magnetfeld nicht an den Ordnungsparameter M + − M − koppelt.
Die Molekularfeldtheorie funktioniert wie beim Ferromagneten, nur dass man jetzt zwei
Magnetisierungen unterscheiden muss, M + und M − für die beiden separaten Untergitter:
M
+
M−
(
1
N+
gµB (−V )
=
gµB
tanh
ZJM −
2
−
2
2
V
2kT N g µB
= (+ ↔ −) . . . .
)
(6.55)
(6.56)
Die Anzahl der Gitterplätze ist gleich, N + = N − , es gilt somit M + = −M − , aus Symmetriegründen:
)
(
1
N+
V ZJM +
+
,
M = gµB
tanh
2
V
2kT N + gµB
welche nur für J > 0 (und genügend kleinen Temperaturen) eine nicht-triviale Lösung
hat. Mit
1
N+
Ms+ = −Ms− = gµB
(6.57)
2
V
erhalten wir wieder
(
)
M+
TN M +
= tanh
,
(6.58)
Ms+
T Ms+
mit der Néel-Temperatur TN = ZJ/(4kB )
Magnetische Suszeptibilität für T > TN
Ein kleines Magnetfeld B0 beeinflusst die Untergitter-Magnetisierungen:
+
M + ∆M
(
M − + ∆M −
Wir verwenden nun
"
V ZJ N+
gµB
1
B0 − − 2 2 M − + ∆M −
gµB
tanh
≃
2
V
2kT
N g µB
≃ (+ ↔ −) . . . .
+
d
dx
+
#)
(6.59)
tanh(x) = 1/ cosh2 (x) und finden
∆M = ∆M + ∆M
−
"
V ZJ
N + gµB
2
1
B0 −
∆M
= gµB
2
2
V 2kT cosh (x)
2N − g 2µ2B
#
,
104
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
B0
Abbildung 6.15: Ein schwaches Feld parallel zur Untergitter-Magnetisierung ändert für
T ≪ TN die Ausrichtung der magnetischen Momente nur geringfügig.
also
"
g 2µ2B N + /V
2kB V TN
∆M =
B0 − − 2 2 ∆M
2
2kT cosh (x)
N g µB
#
,
TN =
ZJ
,
4kB
(6.60)
+
mit x = TTN M
. In der paramagnetischen Phase T > TN überhalb des Néel-Überganges
Ms+
existiert keine langreichweitige Ordnung: M + = 0, N − = N/2 = N + , x = 0 und cosh(0) =
1. Daher finden wir
"
4kB TN V
g 2 µ2B N
∆M
B0 −
∆M =
4V kB T
Ng 2 µ2B
bzw.
T ∆M =
g 2µ2B N
B0 − ∆MTN ,
4V kB
#
=
g 2 µ2B N
TN
B0 −
∆M ,
4V kB T
T
∆M =
(6.61)
g 2 µ2B N
B0
4V kB (T + TN )
und wir erhalten
χ(T ) =
g 2µ2B N
4V kB (T + TN )
.
(6.62)
Misst man χ(T ) für einen Antiferromagneten, dann deutet ein negativer Interzept von
1/χ(T ) auf antiferromagnetische Korrelationen hin.
Longitudinale Suszeptibilität für T < TN
Unterhalb des Phasenüberganges hängt es davon ab, ob B0 parallel oder senkrecht (longitudinal oder transversal) zur Ausrichtung der spontanen Magnetisierung angelegt wird.
Für ein longitudinales Feld können wir näherungsweise M + (T ) ≈ Ms+ und damit x =
TN M +
≈ TTN in Eq. 6.60 setzen:
T M+
S
χk ≃
1
g 2µ2B N
.
4V kB T cosh2 TN + TN
T
(6.63)
105
6.4. MOLEKULARFELD-THEORIE
Abbildung 6.16: Eine lokale Spin-Anregung (Spin-Flip) in einem antiferromagnetischen
System hat die Energie ZJ/2.
Für T ≪ TN erhalten wir einen exponentiellen Abfall
χk (T ) ≃
g 2 µ2B N −2 TN
e T
16V kB T
,
(6.64)
mit der Energielücke von
2kB TN =
1 −1
Z
J
J = Z
−
2
4
4
des Ising-Modells.
Transversale Suszeptibilität für T < TN
Wir betrachten nun für T = 0 den Fall, wenn B0 senkrecht zur Magnetisierungs-Achse angelegt wird. Das Feld wird eine Rotation aller Spins um einen kleinen Winkel α bewirken.
Der Rotationswinkel bestimmt sich aus der Minimierung der Gesamt-Energie (J > 0)
1
1
E(α) = − gµB B0 sin α − ZJ cos(2α)
2
8
1
1
1
∼ − gµB B0 α − ZJ 1 − (2α)2 .
2
8
2
Im Gleichgewicht ist
∂E
1
1
= 0 = gµB B0 − ZJα
∂α
2
2
=⇒
α =
gµB B0
.
ZJ
(6.65)
Die induzierte Magnetisierung parallel zum angelegten Feld ist
∆M ≃
g 2µ2B NB0
gµB N
α =
2 V
2ZJV
(6.66)
B
α
α
Abbildung 6.17: Für T ≪ TN wird ein schwaches transverales Magnetfeld in einem Antiferromagneten eine partielle Rotation der Untergitter-Magnetisierungen bewirken.
106
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
χ
χ
χ⊥
Pulver-Probe
χ
χ

T
T
T
N
Abbildung 6.18: Unterhalb der Néel-Temperatur zeigen die transversale Suszeptibilität
χ⊥ (T ) und die longitudinale Suszeptibilität χk (T ) deutlich verschiedene Temperatur-Verhalten. In einer Pulverprobe misst man dementsprechend eine gemittelte Suszeptiblität.
χ
0
100
T [K]
Abbildung 6.19: Gemessene Suszeptibilität des antiferromagnetischen Edelsteins Dioptase
(“Der Stein der Venus”), Cu6 Si6 O18 · 6H2 O.
und die transversale Suszeptibilität damit
χ⊥ =
g 2 µ2B N
2Z |J| V
≡ χ(T = TN ) ,
(6.67)
was genau mit der paramagnetischen Suszeptibilität χ(T = TN ) übereinstimmt, siehe
(6.62). Die transversale Suszeptibilität ist also für T < TN konstant.
6.5
Spinwellen
Die bisher besprochene Molekularfeld-Näherung ist nicht in der Lage, niederenergetische
Prozesse korrekt zu beschreiben. Die elementaren Spin-Flips S α → −S α sind aufgrund
der transveralen Spin-Spin-Wechselwirkung keine elementaren Anregungen.
107
6.5. SPINWELLEN
6.5.1
Ferromagnetische Spinwellen
Wir werden die Beschreibung der elementaren Anregungen, der Spinwellen (Magnonen)
am Beispiel des ferromagnetischen Heisenberg-Modells,
H = J
X
iδ
~i · S
~i+δ
S
(6.68)
einführen (J < 0). Wir unterscheiden jetzt explizit zwischen dem Spin-Vektor-Operator
~i = x̂S x + ŷSiy + ẑS z und den einzelnen kartesischen Komponenten.
S
i
i
Spin-Operatoren
1
0
Wir betrachten die Spin-1/2 Zustände |αi = |↑i =
S
und
1
S =
2
x
0 1
1 0
1
=−
2
0
1
z
1
S =
2
y
h
S α, S β
i
und |βi = |↓i =
0
, so dass
1
0 −i
i 0
0
1
(6.69)
1
S =
2
z
= iǫαβγ S γ .
1 0
0 −1
(6.70)
(6.71)
Auf- und Absteige-Operatoren
Sehr nützlich sind die Aufsteige-Operatoren S + und die Absteige-Operatoren S − ,
+
x
S = S + iS
y
S − = S x − iS y
S+
0
=
0
0
=
1
0
1
=
1
0
0
0
1
,
0
h
Sz, S±
h
S 2, S ±
S−
0
1
i
i
= ±S +/−
(6.72)
=0
(6.73)
=0.
(6.74)
Wir können den Heisenberg-Hamiltonian dann auch als
H = J
X
z
Siz Si+δ
+
iδ
1 + −
+
Si Si+δ + S− Si+δ
2
(6.75)
schreiben.
Grundzustand
Im Grundzustand sind wegen J < 0 alle Spins parallel ausgerichtet, o.B.d.A.
|0i = Πi |αii = Πi |↑ii .
(6.76)
|0i ist ein Eigenzustand von H, da
−
Si+ Si+δ
|0i = 0,
z
Siz Si+δ
|0i =
1
|0i ,
4
(6.77)
108
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
j
Abbildung 6.20: Eine lokale Spin-Anregung (Spin-Flip) in einem ferromagnetischen System ist kein Eigenzustand des Heisenberg-Hamiltonians.
und somit
1
H |0i = − |J|ZN |0i ≡ E0 |0i ,
4
wobei N die Anzahl der Spins ist und Z die Anzahl nächster Nachbarn.
(6.78)
Ein-Magnon-Zustand
Wir betrachten zunächst die lokale Spin-Anregung
|↓j i = Sj− Πn |αin .
(6.79)
−
Dieser Zustand ist kein Eigenzustand aufgrund der Terme Sj+ Sj+δ
im Hamilton-Operator.
Wären diese Terme nicht vorhanden, dann würde man vom Ising-Modell sprechen. Diese
Terme propagieren den Spin-Flip zu nächste-Nachbarn-Plätze.
Ein Ein-Magnon-Eigenzustand des ferromagnetischen Heisenberg-Modells ist dagegen der
ebenen-Wellen-Zustand
1 X ik·rj
e
|↓j i .
(6.80)
|ki = √
N j
aus geflippten Spins:
(
1
1 X ik·rj
2
1 X
− Z|J|N |↓j i + Z|J| |↓j i − |J|
e
H |ki = √
(|↓j+δ i + |↓j−δ i)
4
2
2
N j
δ
Wir schreiben die letzten beiden Terme als
1 X ik·rj
1 X ik·(rm −rδ )
√
e
|↓j+δ i = √
e
|↓m i ,
N j
N m
)
.
(6.81)
mit
rj+δ = rj + rδ = rm .
(6.82)
Wir erhalten
H |ki =
(
)
1 X ik·rδ
1 X ik·rj
1
√
e
+ e−ik·rδ
− Z|J|N + Z|J| − |J|
e
|↓j i .
4
2
N j
δ
(6.83)
Also ist |ki ein Eigenzustand von H mit der Anregungsenergie
(
1X
cos k · rδ
Ek = E0 + |J|Z 1 −
Z δ
)
.
(6.84)
Das Ein-Magnonen-Spektrum Ek hat keine Energielücke, Ek→ = 0. Dieses ist ein Spezialfall des Goldstone-Theorems, nach welchem alle Systeme mit einer gebrochenen kontinuierlichen Symmetrie lückenlose Anregungen haben, die Goldstone-Moden.
109
6.5. SPINWELLEN
j
Abbildung 6.21: Eine Spinwelle wird durch die Ausbreitung eines Spin-Flips über eine
grössere Region erzeugt.
Sz
n
3/2 1/2 -1/2 -3/2
0
1
2
3
Tabelle 6.1: Korrespondenz zwischen S z und der Anzahl von Spinwellen-Anregungen pro
Gitterplatz für S = 3/2.
6.5.2
Quantisierung ferromagnetischer Spinwellen
Betrachten wir nun ein ferromagnetisches Spin-S Heisenberg-Modell. Im Grundzustand
zeigen alle Spin in eine Richtung, z.B. | + Si. Analog zu (6.79) können wir eine Spinwelle
|ki definieren, mit
S z |ki = (SN − 1) |ki ,
S z |0i = SN |0i .
(6.85)
Ein Zustand mit zwei Spinwellen hat S z = (SN − 2), etc. Da Spin-Operatoren auf verschiedenen Gitterplätzen vertauschen, werden wir nun Bose-Operatoren a† und a für die
Spinwellen einführen.
Holstein-Primakoff-Transformation
Wir betrachten die folgende unitäre Transformation:
Siz = S − a†i ai ≡ S − ni
q
Si+ ∝
Si− ∝ a†i
,
2S − ni ai
(6.86)
q
2S − ni
die sog. Holstein-Primakoff-Transformation. Dabei erfüllen die a†i und ai die VertauschungsRelationen für Bosonen:
h
ai , a†j
i
ai |ni
a†i |ni
= δi,j
√
ni |n − 1i
=
√
ni + 1 |n + 1i
=
(6.87)
(6.88)
(6.89)
Die Transformation (6.86) ist kanonisch, falls die Spin-Vertauschungs-Relationen
h
i
Si+ , Si− = 2Siz ,
h
erhalten bleiben. Wir betrachten z.B.
[S + , S − ] |ni
i
Si− , Siz = 2Si− ,
= S + S − |ni − S − S + |ni
h
i
Si+ , Siz = −2Si+
(6.90)
110
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
ξ
a
Abbildung 6.22: Spin-Fluktuationen reduzieren die Korrelationslänge ξ in der paramagnetischen Phase und das mittlere Moment M(T ) in der geordneten Phase.
q
2S − a† a aa†
=
q
= (2S − n)(n + 1) |ni − n (2S − (n − 1)) |ni
2Sn + 2S − n2 − n − 2Sn + n2 − n |ni
=
2S − a† a |ni − a† 2S − a† a a |ni
= 2(S − n) |ni ≡ 2Siz |ni .
(6.91)
Analog lässt sich nachweisen, dass auch die anderen Vertauschungs-Relationen (6.90)
durch die Holstein-Primakoff-Transformation erhalten bleiben, insbesonders ist immer
n ≤ 2S .
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation der neuen Bose-Operatoren,
1 X ik·ri †
a†i = √
e
ak ;
N k
1 X −ik·ri
ai = √
e
ak ,
N k
(6.92)
erfüllen auch die Bose-Vertauschungs-Relationen
h
ak , a†k′
i
= δkk′ ;
da die Fourier-Transformation unitär ist.
h
a†k , a†k′
i
= [ak , ak′ ] = 0 ,
(6.93)
1/S-Entwicklung
Die Wurzel-Ausdrücke in der Holstein-Primakoff-Darstellung (6.86) sind schwierig zu
handhaben. Wir betrachten daher den Fall grosser Spin S und entwickeln
q
√ ni
Si+ =
ai
(6.94)
2S − ni ai ≃ 2S 1 −
4S

s

 2S X
X
1
†
ei(p+q−k)·ri ak ap aq 
= 
eik·ri ak − √
N k
8SN 3 kpq
Diese Entwicklung ist für ni ≪ 2S gültig, also bei tiefen Temperaturen, wenn die Anzahl
der thermisch aktivierten Spin-Anregungen klein ist, oder wenn S sehr gross ist, also im
klassischem Limes.
111
6.5. SPINWELLEN
k-q
k′+q
k
k′
k′
k
Abbildung 6.23: Der Term quartisch in den Bose-Operatoren, die nächste 1/S Korrektur
zu (6.99), führt zu einer Streuung zwischen den Spinwellen und einer endlichen Lebenszeit.
Mit (6.94) wird die Holstein-Primakoff Darstellung (6.86) zu
Si+
s
≃
s
(6.95)
2S X −ik·ri †
e
ak
N k
1 X i(k−k′ )·ri †
e
ak ak′ ,
= S−
N kk′
Si− ≃
Siz
2S X ik·ri
e
ak
N k
(6.96)
(6.97)
und der Heisenberg-Hamiltonian
H = J
X
iδ
1
z
−
+
Siz Si+δ
+ (Si+ Si+δ
+ Si− Si+δ
)
2
(6.98)
wird näherungsweise zu
H ≃ −N|J|ZS 2 + 2|J|ZS
− 2|J|ZS
X
k
= E0 + 2|J|ZS
X
k
X
a†k ak
k
!
1 X ik·Rδ †
e
ak ak + O(a4k )
Z δ
(1 − γk ) a†k ak + O(a4k ) ,
(6.99)
P
mit γk = Z1 δ eik·rδ . Physikalisch ist (6.99) eine Summe von harmonischen Oszillatoren
mit einer Restwechselwirkung O(a4k ). Man spricht daher auch von Magnonen mit der
Dispersionrelation
h̄ωk = 2|J|ZS(1 − γk )
6.5.3
Tief-Temperatur-Verhalten von Ferromagenten
Für kleine Temperaturen sollte im Limes S → ∞ die Spinwellen-Näherung (6.99) dominieren. Wir berechnen die innere Energie
hEi =
X
k
X 2|J|ZSk 2
h̄ωk
≈
.
eβh̄ωk − 1
eβ2|J|νSk2 − 1
k
(6.100)
112
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
M/M(0)
1 - T 3/2
T
Abbildung 6.24: Die führende Reduktion des ferromagnetischen Momentes bei niedrigen
Temperaturen wird mit der Spinwellen-Theorie korrekt zu ∼ T 3/2 berechnet.
Für niedrige Temperaturen wird die innere Energie durch den Beitrag kleiner k dominiert,
da h̄ωk = 2|J|ZS(1 − γk ) ≈ 2|J|Sk 2 lückenlos ist, wegen
γk =
2
k2
cos kx + cos ky + · · · = 1 −
.
Z
Z
(6.101)
Mit d3 k ∼ k 2 dk und α = 2|J|S ist die innere Energie
hEi ∼
Z
∞
0
Zusammen mit der Variablentransformation
x = βαk
2
k=
x
βα
k 4 dk
.
eβαk2 − 1
!1
2
1
dk =
2
(6.102)
1
βα
!1
2
1
x− 2 dx ,
(6.103)
CV ∼ T 3/2 ,
(6.104)
erhalten wir die Tieftemperatur-Enwicklung
hEi ∼ β
−2 −1/2
β
Z
0
∞
dx
x3/2
∼ T 5/2 ,
ex − 1
wobei wir Cv = ∂E/∂T verwendet haben. Das gefundene Potenzgesetz ∼ T 3/2 der spezifische Wärme cV ist im Einklang mit dem Experiment.
Tieftemperatur-Verhalten der Magnetisierung
Jede einzelne Spinwelle entspricht einem Spin-Flip, die Anzahl thermisch aktivierter Magnonen ist damit äquivalent zur Reduktion
M(0) − M(T ) =
*
X
k
nk
+
gµB
V
(6.105)
des ferromagnetischen Momentes. Eine zur Berechnung der inneren Energie analoge Rechnung ergibt
Z
3
k 2 dk
∼ T2 ,
(6.106)
M(T ) − M(0) ∼ −
2
βαk
e
−1
also eine wesentlich stärkere Abnahme des geordneten Momentes als nach der Vorhersage
2Tc
1 − 2e T der Molekularfeld-Theorie, im Einklang mit dem Experiment.
113
6.5. SPINWELLEN
runter-Untergitter
hoch-Untergitter
Abbildung 6.25: Darstellung einer antiferromagnetischen Anordnung von Spins durch zwei
sich gegenseitig durchdringender Untergitter.
6.5.4
Antiferromagnetische Spinwellen
Im Gegensatz zum Ferromagneten ist der Grundzustand des antiferromagnetischen HeisenbergZustandes nicht explizit bekannt (Ausnahme: Eine Dimension, Bethe-Ansatz-Lösung).
Wir müssen also zunächst mit Hilfe der Spinwellen-Theorie einen genäherten Grundzustand berechnen.
Wir unterteilen das Gitter in ein “hoch”- und ein “runter”-Untergitter und führen auf
jedem Untergitter separat eine Holstein-Primakoff-Transformation durch:
“hoch”-Untergitter
Siz = S − ni
+
√
Si+ = Si− = 2S fi (S) ai
mit der Abkürzung
“runter”-Untergitter
= −S + ni
(6.107)
+
√
†
Si+ = Si− = 2S ai fi (S) ,
Siz
r
ni
;
ni = a†i ai .
2S
Die Transformation (6.107) ist innerhalb des erlaubten Bereichs
1−
fi (S) =
0 ≤ ni ≤ 2S
⇐⇒
(6.108)
−S ≤ Sz ≤ S .
(6.109)
kanonisch (exakt).
Spinwellen-Näherung
Der Heisenberg-Hamiltonian
H = J
X
z
Siz Si+δ
+
iδ
1 + −
+
Si Si+δ + Si− Si+δ
2
,
(6.110)
mit J > 0, wird mittels (6.107) zu
H = −JS 2 NZ − J
+ JS
Xn
a†i ai +
iδ
X
a†i ai a†i+δ ai+δ
iδ
a†i+δ ai+δ
+ fi (S)ai fi+δ (S)ai+δ + a†i fi (S)a†i+δ fi (S)
(6.111)
o
.
114
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
Mit der 1/S-Entwicklung
fi (S) =
r
1−
ni
ni
n2
= 1−
− i 2 −···
2S
4S 32S
(6.112)
erhalten wird bis auf O(a2 )
H ≃ −JS 2 NZ + JS
Xn
a†i ai + a†i+δ ai+δ + ai ai+δ + a†i a†i+δ
iδ
o
(6.113)
Bogoliubov-Transformation
(6.113) ist quadratisch in den Bose-Operatoren und kann daher im Fourier-Raum
1 X −ik·ri
e
ak
ai = √
N k
(6.114)
mit Hilfe der Bogoliubov-Transformation
†
ak = αk cosh uk − α−k
sinh uk
(6.115)
a†k = αk† cosh uk − α−k sinh uk
diagonalisiert werden. Diese Transformation ist unitär, die αk also Bose-Operatoren mit
†
1 = [ak , a†k′ ] = [αk Ck − α−k
Sk , αk† ′ Ck′ − α−k′ Sk′ ]
=
=
n
o
†
Ck2 [αk , αk† ] + Sk2 [α−k
, α−k ] δkk′
o
n
Ck2 − Sk2 δkk′ = δkk′
(6.116)
wobei wir mit Ck und Sk Abkürzungen für cosh uk und sinh uk benutzt haben.
Die Parameter uk sind im Prinzip noch zu bestimmen, im Vorausgriff auf das Ergebnis
setzen wir
1 X ik· Rδ
e
.
(6.117)
tanh 2uk = γk ;
γk =
Z δ
Setzen wir (6.115) in (6.113) ein, dann fallen wegen (6.117) die nicht-diagonalen Terme
weg und man erhält
H = −JNZS(S + 1) +
X
h̄ωk
k
q
αk† αk
mit der Dispersionsrelation h̄ωk = 2JSZ 1 − γk2 .
1
+
2
+ O(a4 )
,
(6.118)
115
6.5. SPINWELLEN
(F)
ω (k)
E N = JNZS
2
(AF)
ω
−1
−0.5
0
0.5
(k)
1
k/π
Abbildung 6.26:
Links: Der Néel ist nicht der Grundzustand des antiferromagnetischen HeisenbergModells, aufgrund der Nullpunkt-Fluktuationen.
Rechts: Vergleich der Magnonen-Dispersionsrelationen für Ferro- und Antiferromagnete.
Herleitung
Ein typischer Term von (6.113), proportional zu ∼ JSZ, ist im Fourier-Raum, mit Ck =
C−k und Sk = S−k ,
a†k ak + a†−k a−k + γk ak a−k + a†−k a†k
=
αk† Ck − α−k Sk
†
+ γk αk Ck − α−k
Sk
=
+
=
†
αk† αk + α−k
α−k
†
αk† α−k
+ α−k αk
=
†
†
αk Ck − α−k
Sk + α−k
Ck − αk Sk
α−k Ck − αk† Sk
†
α−k Ck − αk† Sk + γk α−k
Ck − αk Sk
Ck2 + Sk2 − 2γk Sk Ck + 2 Sk2 − γk Sk Ck
−2Ck Sk + γk (Ck2 + Sk2 )
†
αk† αk + α−k
α−k + 1
h
αk† Ck − α−k Sk
i
Ck2 + Sk2 − 2γk Sk Ck − Ck2 − Sk2 ,
|
{z
≡ 1
}
denn wegen cosh(2x) = cosh2 (x)+sinh2 (x) und sinh(2x) = 2 cosh(x) sinh(x) ist zusammen
mit (6.117) (−2Ck Sk + γk (Ck2 + Sk2 )) = 0. Für die Dispersionsrelation finden wir
Ck2 + Sk2 − 2γk Sk Ck
= cosh(2uk ) − γk sinh(2uk )
q
tanh(2uk )
1
− γk q
= 1 − γk2 ,
= q
1 − tanh2 (2uk )
1 − tanh2 (2uk )
q.e.d.
Spinwellen-Geschwindigkeit
Nach (6.101) ist γk2 ≈ 1 − 2k 2 /Z und somit
h̄ωk ≈
√ 23/2 JS Z k ≡ C k ,
√
mit der Spinwellen-Geschwindigkeit C = 23/2 JS Z.
116
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
E
n
Ei
Probe
f
θ
dθ ∝ S(k, ω) ∝ I {F(-i⟨[a(t),a†(0)]⟩)}
∼ n
dΩdω
2θ ∝ k = k i − k j
thermale,
Spinpolarisierte
Neutronen
h ω = E i − Ef
Abbildung 6.27: Polarisierte Neutronen sind sehr gut geeignet, um das magnetische Anregungsspektrum auszumessen.
Wegen der linearen Dispersionsrelation haben antiferromagnetische Magnonen auch das
gleiche Potenzverhalten in der spezifischen Wärme wie die Phononen:
CV =
∂ hEi
∼ T3 ,
∂T
(6.119)
wie man leicht nachrechnen kann, analog zu (6.104).
Der Grundzustand in Spinwellen-Näherung
Im Grundzustand |0i gibt es keine Magnonen (αk |0i = 0, ∀k) da ωk ≥ 0. Die Grundzustandsenergie ist damit
E0 = −JNZS(S + 1) + JSZ
Xq
k
1 − γk2 .
(6.120)
Ein Wegfall der Terme ∼ Si+ Sj− im Hamiltonian würde γk → 0 entsprechen, die Grundzustandsenergie E0 = −JNZS 2 (J > 0) wäre dann die des Néel-Zustandes.
Reduktion des magnetischen Momentes
Wie beim Ferromageneten ist der Erwartungswert
1 X
1 X
†
h0|a†k ak |0i =
h0| αk† Ck − α−k Sk αk Ck − α−k
Sk |0i
V k
V k
X
X
1
1
Sk2 =
Ck2 + Sk2 + Sk2 − Ck2
=
V k
2V k
M(0) − M =






1 X
1
1
1 X
q
q
−1 =
−1
=


V k  1 − tanh2 (2uk )
V k  1 − γ2
k
gleich der Reduktion des magnetischen Momentes bei T = 0 im geordneten Zustand,
relativ zum Néel-Zustand.
Mermin-Wagner-Theorem
Wir betrachten nun das letzte Integral für d-Dimensionen, d = 1, 2, 3. Mit
γk2 ≈ 1 − 2k 2 /Z,
q
1 − γk2 ∼ k
117
6.5. SPINWELLEN
S(k,ω)
γ
n↓
magnon
n↑
Hintergrund
abgezogen
ω
⟨ω k ⟩
k
ω
k
2θ
Abbildung 6.28: Sketch des magnetischen Strukturfaktors wie er mittels eines NeutronenStreuexperiments gemessen werden kann.
erhalten wir
k d−1 dk
.
k
Dieses Integral divergiert in einer Dimension, d = 1. Die Spinwellentheorie sagt also vorher, dass Quanten-Fluktuationen den antiferromagnetisch geordnenten Zustand in einer
Dimension zerstört. Diese Vorhersage ist richtig. Dehnt man diese Überlegungen auch auf
T > 0 aus, so findet man, dass für alle T > 0 der antiferromagnetische Zustand in d = 2
zerstört wird (Mermin-Wagner-Theorem).
M(0) − M ∼
Z
Neutronen-Streuung
Die beste experimentelle Methode, um magnetische Anregungen auszumessen ist die inelastische Neutronenstreuung. Wenn ein Spin-polarisierter Strahl verwendet wird, dann
können direkt die magnetische Anregungen von etwaigen Phononen etc. getrennt werden.
Spinwellen-Lebenszeit
Im allgemeinen wird der dynamische Strukturfaktor S(k, ω), welcher mit der Neutronenstreuung gemessen wird, eine endliche Breite Γ haben, zum Einen wegen der endlichen
experimentellen Auflösung, zum anderen wegen der endlichen Lebenszeit δt der Magnonen:
1
.
(6.121)
γk δt ∼ h̄;
δt ∼
γk
In der quadratischen Approximation (6.113) ist jedoch die Lebensdauer einer Mode h̄ωk
unendlich groß. Die höheren Terme in H, von O(a4 ) und höher, führen jedoch zu Streuprozessen zwischen den Magnonen und einer endlichen Lebensdauer.
118
KAPITEL 6. MAGNETISMUS
†
a i a i a†i+δ a
i+δ
⇒
Abbildung 6.29: Ein vier-Magnonen-Vertex.