Medien Mathe 1HJ2016

DVD´s/Online-Medien zum Thema „Mathematik“
4672020
Cosinus – Online-Medium 4959400
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Zwischen den Winkeln und den Seiten eines Dreiecks bestehen Beziehungen, die mittels
des Cosinus in der Trigonometrie ausgedrückt werden können. In einem rechtwinkligen
Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden anderen Seiten
werden Ankathete und Gegenkathete genannt. Um das Seitenverhältnis der Hypotenuse zu
einer der anderen Seiten in Abhängigkeit des zwischen ihnen entstehenden Winkels zu
messen, wird der Cosinus verwendet. Der Film demonstriert dies anhand des Beispiels der
Ankathete (b) zur Hypotenuse (c) in Abhängigkeit zum Winkel (a): Der Cosinus von (a) entspricht dem Quotienten von (b) durch (c). Um das Dreieck zu bestimmen, müssen also nur
zwei dieser drei Größen bekannt sein, da die jeweils andere durch Umstellung der Formel
herausgefunden werden kann.
4672024
Dreieck - Besondere Linien und Punkte im Dreieck – Online-Nr. 4959404
Video-DVD/CD
Länge: ca. 5 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
In jedem Dreieck gibt es Linien, die einen Erkenntnisgewinn versprechen. Zu ihnen zählen
die Seitenhalbierende, die Höhe des Dreiecks, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende
und die Mittellinie. Der Film zeigt, wie und wo diese Linien verlaufen und welche bestimmten
Punkte im Dreieck über ihre Lage entscheiden. Der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden ist
der Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt
des Umkreises, während der der Winkelhalbierenden den Mittelpunkt des Inkreises markiert.
Der Film demonstriert die Flächenberechnung des Dreiecks anhand der Höhe und die Abhängigkeit der Mittellinien von der nicht involvierten Seitenlinie. Außerdem wird die Euler
Gerade erklärt, auf der alle besonderen Punkte für die Erkenntnisse über das Dreieck liegen.
4672025
Dreiecke - Arten, Winkel, Umgang, Fläche – Online-Medium 4959405
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen und durch drei Geraden verbunden werden, bilden ein Dreieck. Die Benennung der Eckpunkte beginnt in der linken unteren Ecke mit Großbuchstaben und läuft gegen den Uhrzeigersinn. Kleinbuchstaben werden genutzt, um die
Seiten zu kennzeichnen. Jede Seite erhält den kleinen Buchstaben, der dem Großbuchstaben der gegenüberliegenden Ecke entspricht. Der Film zeigt die Dreieckstypen, die es gibt,
nämlich das gleichseitige, das gleichschenklige und das ungleichseitige Dreieck. Die Summe
der Innenwinkel beträgt stets 180 Grad, doch die Art der Innenwinkel ändert sich mit der Art
des Dreiecks: Beim gleichseitigen Dreieck haben alle Winkel 60 Grad, beim gleichschenkligen sind zwei Winkel gleich groß, und beim ungleichseitigen sind alle Winkel verschieden.
4672100
Satz des Pythagoras – Online-Medium 4959480
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Jedes Dreieck hat drei Seiten a, b und c, also eine Hypotenuse, eine Ankathete und eine
Gegenkathete. Alle drei Seiten haben eine bestimmte Länge. Diese Längen können mit dem
Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) zueinander ins Verhältnis gesetzt werden: Das Quadrat von
a und das von b sind zusammen in jedem Fall so groß wie das Quadrat von c. Also sind die
Quadrate der Ankathete und der Gegenkathete gemeinsam so groß wie das der Hypotenuse. Der Film führt den geometrischen Beweis dafür vor. Es gibt verschiedene Wege, wie der
Satz des Pythagoras bewiesen werden kann. Der Film demonstriert zwei verschiedene Möglichkeiten. Es wird außerdem gezeigt, dass der Beweis nicht zwingend nur für Quadrate genutzt werden kann, sondern auch für andere Figuren genutzt werden kann, solange nur das
Verhältnis stimmt.
4672101
Satz des Thales – Online-Medium 4959481
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Der Satz des Thales besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken einige Sachverhalte immer
gleich sind. Der Film demonstriert dies anhand einer Geraden, die von einem Halbkreis geschnitten wird. Nimmt man die beiden Schnittpunkte als Punkte A und B eines Dreiecks und
liegt der Punkt C auf einem beliebigen Punkt des Halbkreises, entsteht bei C immer ein rechter Winkel. Ob er mittig, rechts oder links liegt, spielt keine Rolle. Dieser Kreis wird der Thaleskreis genannt. Liegt der Punkt C hingegen nicht auf dem Thaleskreis, entsteht ein Winkel,
der nicht bei 90 Grad liegt. Der Film zeigt den Beweis. Das rechtwinklige Dreieck kann
gleichschenklig sein, muss es jedoch nicht. Die Winkelsumme muss aber in jedem Fall bei
180 Grad liegen.
4672144
Vierecke – Online-Medium 4959524
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Einige Dinge sind in allen Vierecken gleich. Ihre Winkelsumme beträgt zum Beispiel immer
genau 360 Grad. Außerdem haben alle Vierecke grundsätzlich vier Winkel, vier Ecken und
vier Seiten. Es gibt viele verschiedene Arten von Vierecken, die der Film nacheinander vorstellt und dabei erklärt, welche Merkmale die jeweiligen Erkennungszeichen sind. Ein Viereck
mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkeln ist ein Quadrat. Bei zwei mal zwei gleichen
Seiten und vier rechten Winkeln handelt es sich um ein Rechteck. Das Parallelogramm hat
zwei mal zwei gleiche Seiten und zwei mal zwei gleiche Winkel. Bei einem Viereck mit vier
gleichen Seiten und je zwei gleichen Winkeln handelt es sich um die Raute. Auch das Trapez, das Pfeilviereck und der Drachen werden mit ihren Besonderheiten vorgestellt
4672150
Winkelarten – Online-Medium 4959530
Video-DVD/CD
Länge: ca. 4 Min., f.
Produktionsjahr: 2014
Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Scheitelpunkt. An diesem Scheitelpunkt bilden sich
durch die Geraden vier Winkel. Die Geraden, die diese Winkel umschließen, werden Seiten
oder Schenkel genannt. Die beiden gegenüberliegenden Winkel sind die Scheitelwinkel. Sie
sind stets gleich groß. Die nebeneinanderliegenden Winkel an einer Geraden nennt man
Nebenwinkel. Zusammen haben sie immer 180 Grad. Im Film wird erklärt, was ein Nullwinkel
und was ein Vollwinkel ist. Dann werden alle Winkelarten gezeigt, die in der Größe dazwischen liegen: Der spitze Winkel hat über Null, aber unter 90 Grad, der rechte Winkel genau
90 Grad, der stumpfe Winkel mehr als 90 und weniger als 180 Grad, der überstumpfe Winkel
mehr als 180 und weniger als 360 Grad. Es wird demonstriert, wie ein Winkel mit einem
Geodreieck ausgemessen wird.
4673418
Arithmetisches Mittel, Median, Quartile – Online-Medium 4959683
Video-DVD/CD
Länge: ca. 8 Min., f. inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2014
Statistische Daten können mit unterschiedlichen Methoden beschrieben werden. Der Film
stellt das arithmetische Mittel, den Median und die Quartile vor. Man bildet das arithmetische
Mittel, indem man die Summe aller erhobenen Werte durch ihre Anzahl teilt. Gibt es aber
sogenannte Ausreißer, also stark abweichende Einzeldaten, ist das arithmetische Mittel keine geeignete Methode, um einen repräsentativen Durchschnittwert zu errechnen. Streicht
man aus einer Werteaufstellung jeweils den höchsten und den niedrigsten Wert, bis nur noch
einer bleibt, ist das der Median. Bleiben zwei Werte, bildet man für den Median aus ihnen
das arithmetische Mittel. Die Mediane jeweils aus der ersten und der zweiten Hälfte der Werte werden Quartile genannt. Der Film erklärt die grafische Darstellung im Boxplot.
4673419
Bernoulli-Prozesse – Online-Medium 4959684
Video-DVD/CD
Länge: ca. 8 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2014
Zufallsversuche mit zwei möglichen Ausgängen nennt man Bernoulli-Prozesse. Man spricht
beim Ergebnis von Erfolg und Misserfolg, Treffer und Niete oder Eins und Null. Im Film wird
ein Münzwurf als Beispiel herangezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch
ein bestimmtes Ergebnis herauskommt, beträgt immer die Zahl der Erfolgsfälle, hier also 1,
durch die Zahl der möglichen Fälle, hier also 2. Bei mehrfachen Versuchen spricht man von
der Bernoulli-Kette. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei einer n-stufigen
Kette kein Treffer erzielt werden, stellt der Film das Galton-Brett und seine grafische Entsprechung, das Baumdiagramm, vor. Er erklärt ihre Wirkungsweise und erläutert außerdem
das Pascalsche Dreieck. Mit den dazugehörigen Rechenregeln lässt sich die Frage beantworten.
4673420
Statistik - Grundlagen – Online-Medium 4959685
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f., inkl. Gehörlosenfassung
Produktionsjahr: 2014
Überall im Alltag begegnen uns Statistiken, etwa in Zeitungen und in den Nachrichten, aber
auch bei den Noten für Klassenarbeiten in der Schule. Der Film zeigt anhand mehrerer lebensnaher Beispiele, wie durch Befragung, Messung oder Beobachtung erhobene Daten mit
verschiedenen Methoden übersichtlich und aussagekräftig zusammengefasst werden können. Die Daten können tabellarisch und grafisch angelegt werden. Es wird gezeigt, wie ihr
Durchschnitt errechnet wird. Dieser berücksichtigt aber nicht die Variationsbreite der Daten.
Um sie zu erfassen, braucht man Maße für die Streuung, etwa die Spannweite, also die Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert der Datenreihe, oder die mittlere absolute Abweichung vom Durchschnittswert. Im Film werden diese Maße für die gegebenen Beispiele
errechnet.
4674803
Brüche – Grundlagen – Online-Medium 4959829
Video-DVD/CD
Länge: ca. 6 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Eine gebrochene Zahl nennt man Bruch. Sie ist nicht kaputt, man kann mit ihr noch arbeiten.
Wenn man eine Zahl in gleiche Teile teilt, spricht man von einer Division. Das Ergebnis dieser Division ist der Quotient. Teilt man eine kleine Zahl durch eine größere und schreibt sie
mit einem Bruchstrich untereinander, ist der Bruch gleichzeitig das Ergebnis der Division:
Eins durch fünf etwa ist ein Fünftel, bzw. 1/5. Der Strich in der Mitte ist der Bruchstrich. Darüber steht der Zähler des Bruchs, er zeigt an, wie viele Teile er hat. Unter dem Strich steht
der Nenner. Nach ihm ist der Bruch benannt. Im Beispiel steht dort die Fünf, also handelt es
sich um Fünftel. Wäre der Zähler die Zwei, hätte man zwei Fünftel. Zwei Brüche mit demselben Nenner sind gleichnamig. Man kann ihre Zähler einfach addieren.
4674804
Brüche - Unechte Brüche – Online-Medium 4959830
Video-DVD/CD
Länge: ca. 5 Min., f. inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Neben den echten Brüchen gibt es in der Mathematik auch unechte Brüche und Scheinbrüche. Bei einem Scheinbruch ist der Zähler genauso groß wie der Nenner, oder es handelt
sich um ein Vielfaches. Manche Brüche sind mehr als ein Ganzes, aber ihr Zähler ist kein
Vielfaches des Nenners. Man spricht hier von unechten Brüchen. Bei einem echten Bruch ist
der Zähler kleiner als der Nenner.
4674805
Brüche addieren und subtrahieren – Online-Medium 4959831
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Brüche mit ungleichnamigem Nenner kann man zuerst weder addieren noch subtrahieren.
Man kann sie allerdings erweitern, bis ihre Nenner gleichnamig sind. Im gezeigten Beispiel
geht es um 3/5 und 2/3. Die beiden Brüche werden erweitert, indem jeweils Zähler und Nenner mit dem Nenner des anderen Bruchs multipliziert werden. In einem weiteren Beispiel
wird gezeigt, wie von der Summe zweier erweiterter Brüche ein anderer Bruch abgezogen
werden kann. Dafür werden zwei Lösungswege vorgestellt: Im ersten werden wiederum beide Brüche erweitert, und das Endergebnis muss gekürzt werden. Im zweiten, kürzeren wird
nur der abzuziehende Bruch auf den Nenner des anderen erweitert. Für diesen Lösungsweg
muss man das Einmaleins gut im Kopf haben.
4674806
Brüche dividieren – Online-Medium 4959832
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Für die Division zweier Brüche multipliziert man den Kehrwert des zweiten mit dem ersten
Bruch. Der Film demonstriert anhand verschiedener Rechnungen die notwendigen Lösungsschritte. Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man sie mit dem Zähler multipliziert, während der Nenner gleich bleibt.
4674807
Brüche erweitern und kürzen – Online-Medium 4959833
Video-DVD/CD
Länge: ca. 5 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Man kann Brüche beliebig erweitern, indem man ihren Zähler und Nenner mit ein und derselben Zahl multipliziert. Die Zahlen werden dadurch größer, während der Bruch seine Wertigkeit behält: 3/15 sind ebenso viel wie 1/5. Man erweitert Brüche zum Beispiel, um sie vergleichen zu können oder um zwei ungleichnamige Brüche gleichnamig zu machen: Dann
kann man sie nämlich addieren und subtrahieren, dividieren und multiplizieren. Am Ende der
Rechnung kann man überprüfen, ob man den Bruch, den man als Ergebnis erhalten hat,
noch kürzen kann. Dafür prüft man, durch welche Zahl sowohl der Zähler als auch der Nenner teilbar ist, und dividiert beide Zahlen durch sie. Aus 10/15 wird so der vertrautere und
kleinere Bruch 2/3. Die Wertigkeit verändert sich durch das Kürzen ebenso wenig wie durch
das Erweitern.
4674808
Brüche multiplizieren – Online-Medium 4959834
Video-DVD/CD
Länge: ca. 5 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Der Film zeigt an Alltagsbeispielen, warum es manchmal sinnvoll ist, Brüche zu multiplizieren. Mit ganzen Zahlen geschieht das, indem man die Zahl mit dem Zähler multipliziert und
den Nenner so lässt, wie er ist. 1/3 mal 5 also ergibt 5/3. Möchte man zwei Stammbrüche
miteinander multiplizieren, also zwei Brüche, deren beide Zähler 1 sind, werden ihre Nenner
miteinander multipliziert. Zwei Brüche, die einen anderen Zähler als 1 haben, multipliziert
man, indem man jeweils die Zähler und Nenner miteinander multipliziert und dazwischen
einen Bruchstrich zieht. Bei dieser Methode erhält man schnell sehr große Zahlen. Um dabei
nicht den Überblick zu verlieren, sollte man den Kürzungsvorteil nutzen und beliebig Zähler
und Nenner auf und unter dem breiten Bruchstrich durch gemeinsame Teiler dividieren.
4674809
Dezimalbrüche – Online-Medium 4959835
Video-DVD/CD
Länge: ca. 8 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Dezimalbrüche sind Dezimalzahlen, die ein Komma enthalten. Der Film erklärt, was genau
Dezimalzahlen sind, und zeigt, dass die Zahlen sich jeweils verzehnfachen, wenn man sie
um eine Stelle nach links verschiebt und eine Null einfügt. Entsprechend haben sie nur noch
ein Zehntel des Werts, wenn man die Zahl um eine Stelle nach rechts verschiebt. Das geht
auch, wenn vor dem Komma eine Null steht. Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzurechnen, schreibt man über den Bruchstrich alle Ziffern der Dezimalzahl ohne Komma und
darunter eine Eins und die Anzahl der Stellen hinter dem Komma. 0,25 zum Beispiel ergibt
so 25/100 beziehungsweise gekürzt ¼. Es werden die wichtigsten Dezimalbrüche genannt,
die oft im Alltag begegnen.
4674810
Dezimalzahlen – Online-Medium 4959836
Video-DVD/CD
Länge: ca. 6 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Der Film zeigt einige frühere Rechen- und Zählsysteme wie das der Babylonier und Ägypter,
ehe er auf die Erfindung des Dezimalsystems durch die Chinesen und Inder zu sprechen
kommt. Er erklärt den Trick des Verschiebens einer Ziffer um eine Stelle nach links, um den
nächsthöheren Dezimalwert anzugeben. Die Darstellung einer Leerstelle war ungeklärt, bis
die Null sich durchsetzte. Im Jahr 825 schrieb ein arabischer Mathematiker ein Buch über
das Rechnen mit indischen Ziffern und sorgte für ihre Verbreitung auch im europäischen
Raum. Wir sprechen heute von arabischen Ziffern.
4674811
Dezimalzahlen dividieren – Online-Medium 4959837
Video-DVD/CD
Länge: ca. 6 Min., f. inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Um eine Dezimalzahl durch eine andere Dezimalzahl zu teilen, wandelt man sie in Brüche
um. Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs wird der erste Bruch multipliziert. Es zeigt sich,
dass auch Dezimalzahlen erweiterbar sind wie Brüche. Durch die gleichzeitige Multiplikation
mit 10 bei Dividend und Divisor, verschiebt man das Komma so lange nach rechts, bis beim
Divisor keines mehr steht. Das ist die gleichsinnige Kommaverschiebung. Es wird gezeigt,
wie man durch die schriftliche Division Brüche in Dezimalzahlen umwandeln kann. Gemischte Zahlen wandelt man dafür zunächst in einen unechten Bruch um.
4674812
Grundlagen des Rechnens mit Dezimalzahlen – Online-Medium 4959838
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f. inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Wer zwei Dezimalzahlen addieren möchte, kann sie in unechte gleichnamige Brüche umwandeln oder sie alternativ untereinanderschreiben und Stelle für Stelle addieren. Die Subtraktion zweier Dezimalzahlen funktioniert nach demselben Prinzip. Die Multiplikation einer
Dezimalzahl mit Zehnerpotenzen ist besonders einfach: Man verschiebt das Komma um so
viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Entsprechend ist es bei der Division: Hier wandert das Komma nach links. Wer zwei Dezimalzahlen multiplizieren möchte,
wandelt sie in unechte Brüche um und multipliziert sowohl Zähler als auch Nenner.
4674813
Rechengesetze – Online-Medium 4959839
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Der Film stellt die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz
vor. Der Name Kommutativgesetz leitet sich vom lateinischen Wort für Tauschen her. Das
Gesetz besagt, dass Summanden bei einer Addition und Faktoren bei einer Multiplikation
vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Die entsprechenden Formeln
werden gezeigt. Auf ähnliche Weise werden das Assoziativgesetz bzw. Klammergesetz und
das Distributivgesetz erläutert. Ersteres besagt, dass Summanden oder Faktoren beliebig mit
Klammern verbunden werden können, Letzteres, dass Multiplikation vor Addition geht oder,
wie man in der Schule sagt, Punktrechnung vor Strichrechnung. Auch hier werden jeweils die
zugehörigen Formeln gezeigt und die Regeln in je einem kurzen Merksatz zusammengefasst.
4674814
Signifikanz und Irrtumswahrscheinlichkeit – Online-Medium 49569840
Video-DVD/CD
Länge: ca. 9 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Möchte ein Unternehmen vor Beginn der Produktion eines Gegenstands herausfinden, ob
überhaupt Interesse daran besteht, muss es Umfragen durchführen. Da man aber nicht alle
potenziellen Käufer, also die Grundgesamtheit, befragen kann, wählt man nur einen kleinen
Teil aus, nimmt also eine Stichprobe. Diese kann natürlich ein verfälschtes Ergebnis hervorbringen: Der Film erklärt die Grundprobleme der beurteilenden Statistik. Es wird ein fiktives
Beispiel vorgestellt und erklärt, dass die beschreibende Statistik und Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur beurteilenden Statistik herangezogen werden. Im Film wird der
Bernoulli-Prozess erläutert und die Formel für die Trefferwahrscheinlichkeit dabei genannt.
Die Begriffe der Irrtumswahrscheinlichkeit und der Standardabweichung werden erklärt.
4674815
Statistische Erhebung – Online-Medium 4959841
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f., inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Um Daten für eine statistische Erhebung zu sammeln, kann man messen, zählen oder befragen - je nachdem, was man herausfinden möchte. Alle Messungen müssen auf dieselbe
Art durchgeführt werden, und bei Umfragen muss es eine festgelegte Fragestellung geben,
da sonst die Ergebnisse nicht vergleichbar sind. Man spricht hier von der Standardisierung.
Es gibt sie für viele verschiedene Arten von Fragen. Durch die Standardisierung ist es möglich, die Ergebnisse in Diagrammen grafisch darzustellen. Allerdings ist es wichtig, die richtige Form von Diagramm für das Thema zu finden. Der Film stellt verschiedene Arten von Diagrammen vor und zeigt, wie passend oder unpassend sie zur Darstellung verschiedener
Fragestellungen sind. Es wird gezeigt, dass das Ergebnis absichtlich manipulativ dargestellt
werden kann.
4674816
Wachstum – Grenzen – Online-Medium 4959842
Video-DVD/CD
Länge: ca. 6 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Für die Erklärung des begrenzten Wachstums gibt der Film das Beispiel einer fiktiven Firma,
die ein Mobiltelefon auf den Markt bringt. Es wird prognostiziert, dass in einer bestimmten
Gegend 30.000 Stück davon verkauft werden. Allein in der ersten Woche sind es schon
9.000 - aber das ist kein Grund, die Erwartungen nach oben zu regulieren: Es werden Woche für Woche weniger Telefone verkauft, und die Zahl der potenziellen Käufer nimmt stetig
ab. Schließlich ist der Markt komplett gesättigt, so dass es gar keine Verkäufe mehr gibt.
Stellt man diesen Vorgang grafisch dar, sieht man, dass eine bestimmte Grenze oder
Schranke nicht überschritten wird. Der Film verdeutlicht dieses begrenzte Wachstum mit der
rekursiven Funktionsgleichung und anhand von verschiedenen Beispielen aus Natur und
Alltag.
4674819
Wachstum – Begriff – Online-Medium 4959843
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min. f.
Produktionsjahr: 2015
Von Wachstum spricht man, wenn eine bestimmte Größe mit der Zeit zunimmt. Nimmt sie
ab, handelt es sich um ein negatives Wachstum. Stellt man ein Wachstum grafisch dar, zeigt
ein aufsteigender Graph ein positives und ein absteigender Graph ein negatives Wachstum
an. Ist die Linie gerade, handelt es sich um ein lineares Wachstum. Der Film demonstriert die
rekursive und die explizite Möglichkeit zur Beschreibung der zugrunde liegenden Wachstumsfunktion. Es wird die allgemeine explizite Beschreibung einer linearen Wachstumsfunktion gegeben: f(x) = a · x + a0. a0 steht hier für den Anfangswert. Hat a einen positiven Wert,
ist auch das Wachstum positiv. Ist der Wert negativ, gilt das auch für das Wachstum. Die
Begriffe quadratisches und prozentuales Wachstum, Wachstumsrate und –faktor werden
erklärt.
4674820
Wachstum – Exponentiell – Online-Medium 4959844
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Um das exponentielle Wachstum zu verdeutlichen, erzählt der Film die Legende von Buddhiram, der von seinem König als Belohnung so viele Reiskörner verlangte, wie auf einem
Schachbrett lägen, wenn im ersten Feld eines, im zweiten zwei, im dritten vier und in allen
weiteren jeweils doppelt so viele platziert würden wie im vorangegangenen. Es wird erklärt,
was es mit der rekursiven und mit der expliziten Funktionsgleichung auf sich hat. Die Zuschauer erfahren, dass es auch ein negatives exponentielles Wachstum gibt, und bekommen
für das positive und das negative Wachstum Alltagsbeispiele geliefert. Die drei Wachstumsmodelle des linearen, des quadratischen und des exponentiellen Wachstums werden verglichen, wobei ersichtlich ist, dass das exponentielle beide anderen im Laufe der Zeit übertrifft.
4674821
Wachstum – Logistisch – Online-Medium 4959845
Video-DVD/CD
Länge: ca. 7 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein eigentlich exponentielles Wachstum,
das aber durch bestimmte Faktoren begrenzt wird. Der Graph, der nach der rekursiven Funktionsgleichung gezeichnet wird, beginnt exponentiell, ist in der Mitte fast linear und endet
schließlich an einem Schrankenwert, der nicht überschritten werden kann - eben wie das
begrenzte Wachstum. Der Film stellt die allgemeine logistische Wachstumsfunktion vor: A
(n+ 1) = (1+p · G-A(n)/G) · A(n), wobei p die Wachstumsrate ist und G den Grenzwert darstellt. Es werden zur Verdeutlichung mehrere anschauliche Beispiele angeführt wie etwa
eine Bakterienkultur, deren Grenzwert durch die immer knapper werdende Nährlösung definiert ist. Der Wendepunkt ist bei 50 Prozent der verbleibenden fürs Wachstum benötigten
Ressourcen erreicht.
4674822
Zahlengerade – Online-Medium 4959846
Video-DVD/CD
Länge: ca. 6 Min., f. inkl. Gehörlosen-Fassung
Produktionsjahr: 2015
Bei der Zahlengeraden handelt es sich um ein mathematisches Hilfsmittel, das zur Veranschaulichung von Eigenschaften der Zahlen nützlich ist. Ihr Ursprung ist der Punkt 0. Die von
hier nach rechts laufende Linie ist theoretisch endlos, was durch einen kleinen Pfeil verdeutlicht wird. Man zeichnet kurze senkrechte Striche in regelmäßigen Abständen durch die Linie, benennt sie mit aufsteigenden natürlichen Zahlen und erhält einen Zahlenstrahl. Eine
weitere Linie wird nach links gezogen. Auch sie wird mit Strichen versehen, die mit negativen
absteigenden Zahlen nummeriert werden. Nun handelt es sich um eine Zahlengerade. Der
Film demonstriert, wie man davon mathematische Gesetze und Beziehungen ablesen kann
und zeigt, wie das Hilfsmittel die Anordnung der Zahlen und ihren Vergleich erleichtert.
4674824
Zufall und Repräsentativität – Online-Medium 4959847
Video-DVD/CD
Länge: ca. 8 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Eine Wahlprognose basiert auf einer Stichprobe - man kann dafür ja nicht gut alle Wahlberechtigten im Vorfeld befragen. Die Stichprobe muss so ausgewählt werden, dass möglichst
keine Fehler das Gesamtergebnis verzerren. Wie leicht das passieren kann, zeigt der Film
anhand eines Beispiels aus der Schule. Der Begriff der Irrtumswahrscheinlichkeit wird erklärt. Eine repräsentative Stichprobe muss zufällig gewählt werden, damit weder Geschmack
noch Willkür noch unbewusste Entscheidungen hineinspielen. Bei der Wahlprognose allerdings wird die Stichprobe wegen der sehr breit gefächerten Grundgesamtheit in mehrere
Schichten zerlegt, aus denen dann die Zufallsstichproben genommen werden. Diese geschichtete Zufallsauswahl macht es wahrscheinlicher, dass das Ergebnis der Stichprobe repräsentativ ist.
4674849
Römische Zahlen – Online-Medium 4959863
Video-DVD/CD
Länge: ca. 9 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Der Film erklärt die Entwicklung der römischen Zahlen und zeigt, dass die Vorläufer bereits
vor über 5000 Jahren existiert haben. Er erklärt, woher die Zahlreichen I, V und X für 1, 5
und 10 kommen und wie später im Römischen Reich das L für 50, das C für 100, das D für
500 und das M für 1000 hinzukamen. Die größte Zahl steht stets links, rechts daneben
nimmt die Größe der Zahlen immer mehr ab. Da römische Zahlen heute noch vielfach verwendet werden, hilft es, wenn man sie lesen und in unser Zahlensystem übertragen kann.
Der Film erklärt, dass die Zahl vierstellig ist, wenn ein M vorne steht, dreistellig bei einem C
oder D am Anfang, zweistellig bei einem X oder L und einstellig bei einem I oder V. Er erläu-
tert im Detail die Besonderheiten der Ziffern 4 und 9 beziehungsweise 40 und 90 und so weiter.
4675645
Beziehungen zwischen Punkten und Linien – Online-Medium 4959897
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.,
Produktionsjahr: 2016
Die vielfältigen Beziehungen zwischen Linien und Punkten sind als Grundlagen für die geometrische Konstruktion besonders wichtig. Der Film erklärt, dass der Abstand zwischen zwei
Punkten immer die Länge der kürzesten Verbindung zwischen ihnen ist. Außerdem wird gezeigt, dass ein Punkt immer entweder auf einer bestimmten Geraden (Abstand = 0) oder
nicht darauf liegt. Möchte man den Abstand von einem nicht auf der Geraden liegenden
Punkt zu ihr messen, wählt man die Verbindung, die im rechten Winkel auftrifft: Es ist die
kürzeste. Außerdem werden zwei Geraden betrachtet, die sich überschneiden und so einen
Schnittpunkt bilden, und solche, die parallel verlaufen und keinen Schnittpunkt haben. Es
wird gezeigt, dass zwei Gerade im dreidimensionalen Raum sich weder überschneiden noch
parallel sein müssen.
4675646
Dreisatz und zusammengesetzte Zuordnung – Online-Medium 4959898
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Der Dreisatz ist in vielen verschiedenen Alltagssituationen hilfreich, etwa, wenn man die Zutaten für ein Rezept für eine andere als die angegebene Personenzahl berechnen möchte.
Im Film wird gezeigt, dass für diese Art von Rechnung immer drei Zahlen gesetzt sind (daher
auch der Name), während man die vierte herausfinden muss. Es werden zwei verschiedene
Beispiele genannt. Im ersten Beispiel gilt die proportionale Zuordnung nach dem Motto "je
mehr, desto mehr", im Zweiten die antiproportionale Zuordnung "je mehr, desto weniger". Es
wird gezeigt, dass es für die Berechnung wichtig ist, die Zuordnung zu kennen. Die Beispiele
werden durchgerechnet, und dann wird gezeigt, dass ein Dreisatz auch mit zusammengesetzten Zuordnungen funktioniert, wenn man darauf achtet, welcher Teil der Rechnung wozu
gehört.
4675647
Flächeninhalte von Vierecken – Online-Medium 4959899
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.,
Produktionsjahr: 2016
Im Film werden verschiedene Arten von Vielecken vorgestellt, nämlich der Drachen, das
Trapez, das Parallelogramm und seine Sonderform, die Raute, außerdem das Rechteck und
das Quadrat. Es wird erklärt, dass ein Quadrat mit einem Meter Seitenlänge einen Flächeninhalt von einem Quadratmeter hat. Für die Berechnungen im Film werden aber Zentimeter
und Quadratzentimeter genutzt. Ein Rechteck wird für die Berechnung des Flächeninhalts in
Quadrate zerlegt. Allgemein lässt sich für Rechtecke sagen, dass der Flächeninhalt das Produkt der Seitenlängen (a x b) ist. Es wird gezeigt, dass man beim Parallelogramm und bei
der Raute anders vorgehen muss, hier ist der Flächeninhalt das Produkt von Länge und Höhe. Im Anschluss werden die verschiedenen Rechnungen für Dreiecke, Drachen und Trapeze demonstriert.
4675648
Geodreieck – Online-Medium 4959900
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Das Geodreieck ist eines der wichtigsten Hilfsmittel für den Mathematikunterricht in der
Schule. Es hat die Form eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks und verfügt an der
Hypotenuse über ein Lineal. Der Mittelpunkt ist die Null, und in beide Richtungen werden die
Zahlen größer. Das erleichtert es, den Mittelpunkt einer Geraden festzustellen. Im Film werden einige praktische Tipps zur Handhabung des Geodreiecks beim Zeichnen von Linien
gegeben. Die Linie, die von der Null aus zur Spitze des Dreiecks verläuft, ist ein rechter Winkel. Es wird gezeigt, wie man neben diesem auch alle anderen Winkel mit dem Geodreieck
messen und zeichnen kann und dass man stets sowohl einen stumpfen als auch einen spitzen Winkel misst. Außerdem erleichtert das Gerät das Zeichnen von Parallelen und Spiegelungen.
4675649
Geometrie des Kreises – Online-Medium 4959901
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Der Kreis hat von jeher für Menschen eine besondere Bedeutung als vollkommene mathematische Figur. Er wird in der Kunst, im Handwerk und in der Technik vielfach verwendet
und wurde auch für magische Zwecke eingesetzt. Der Film stellt den Zirkel vor, der das
Zeichnen eines Kreises erlaubt, und erläutert seine Rolle als Teil des nautischen Bestecks
für die frühe Seefahrt. Ein Kreis besteht aus einem Mittelpunkt und einer Kreislinie. Alle
Punkte, die auf der Kreislinie liegen, sind genau gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Der
Abstand zwischen der Kreislinie und dem Mittelpunkt heißt Radius, und die Gerade, die von
einer Seite der Kreislinie zur anderen durch den Mittelpunkt hindurchführt, ist der Durchmesser, der genau doppelt so lang wie der Radius ist. Im Alltag ist er zumeist leichter messbar.
4675650
Große Zahlen – Online-Medium 4959902
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Wirklich großen Zahlen begegnen wir im Alltag recht häufig, auch wenn uns das kaum auffällt. Ein gutes Beispiel dafür sind etwa Speichermedien, die mehrere Gigabyte umfassen. Im
Film wird verdeutlicht, wie sehr große Zahlen aufgebaut sind, wie ihre Ordnung ist und welche Abkürzungen man verwendet, um mit ihnen umzugehen. Die Benutzung der Stellentafel
wird erläutert: Nach drei Stellen, die also für Zahlen bis zur 999 reichen, wird ein Punkt eingefügt, ehe die nächste Stelle vorangesetzt wird. Dieser Punkt bezeichnet die Tausend.
Nach weiteren drei Stellen folgt der nächste Punkt, die Million. So geht es weiter über die
Milliarde, die Billion, die Billiarde, die Trillion und die Trilliarde bis zur Quadrillion. Der Film
nennt außerdem die Abkürzungen Kilo, Mega, Giga, Terra, Peta, Exa, Zetta und Yotta.
4675651
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Online-Medium 4959903
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Möchte man Brüche addieren, geht das problemlos, solange sie denselben Nenner haben.
Bei verschiedenen Nennern jedoch müssen sie so erweitert werden, bis sie schließlich gleich
heißen. Das funktioniert immer, indem man die Nenner miteinander multipliziert, allerdings
entstehen so schnell sehr große Zahlen, die dann später gekürzt werden müssen. Es wird
gezeigt, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Nenner findet - also die
kleinste Zahl, um die man sie erweitern muss. Dafür werden beide Nenner in die Primfaktoren zerlegt und die mit den größten Exponenten multipliziert. Das Ergebnis ist das kgV. Große Brüche kürzt man um den größten gemeinsamen Teiler (ggT). Diesen erhält man, indem
man die Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt und die mit dem kleinsten Exponenten
multipliziert.
4675652
Kartesisches Koordinatensystem – Online-Medium 4959904
Video-DVD/CD
Länge: 6 Min. f.
Produktionsjahr: 2016
Durch die Erfindung des Kartesischen Koordinatensystems sorgte René Descartes Anfang
des 17. Jahrhunderts dafür, dass man erstmalig mit geometrischen Objekten auch rechnen
konnte. Bis zu diesem Zeitpunkt waren Algebra und Geometrie deutlich voneinander getrennt. Er entwarf ein System, das dem Schachbrett nicht unähnlich war, auf dem die Positionen der Figuren durch Zahlen- und Buchstabenkombinationen angegeben werden. Der
Film erklärt den Aufbau des Koordinatensystems aus x- und y-Achse mit ihrem Schnittpunkt,
dem Ursprung oder Nullpunkt. Es wird gezeigt, wie man einzelne Punkte darin benennt.
Dann wird die Erweiterung des Systems über den Ursprung hinaus erläutert und gezeigt,
dass man durch das Hinzufügen der z-Achse inzwischen auch dreidimensionale Körper im
Koordinatensystem beschreiben kann.
4675653
Kongruenzsätze – Online-Medium 4959905
Video-DVD/CD
Länge: 6 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Zwei geometrische Objekte sind dann kongruent, wenn sie in Form und Fläche übereinstimmen. Durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen kann man sie ohne Rest ineinander überführen. Im Film werden die verschiedenen Kongruenzsätze zu Dreiecken erklärt
und jeweils überprüft. Die Kongruenzsätze lauten: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei
ihrer Seitenlängen und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen (SWS).
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS). Zwei
Dreiecke sind kongruent, wenn sie an einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen (WSW,
WWS, SWW). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie an zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen (SsW). Es wird gezeigt, warum das mit dem der kleineren Seite nicht funktioniert.
4675654
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende – Online-Medium 4959906
Video-DVD/CD
Länge: 6 Min., f.,
Produktionsjahr: 2016
Auf dieselbe Art, wie es schon im alten Griechenland gehandhabt wurde, kann man auch
heute noch ohne Zuhilfenahme eines Geodreiecks nur mittels Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte einer Geraden und die Winkelhalbierende bestimmen. Im Film wird anhand zweier Beispiele demonstriert, wie das funktioniert. Zunächst wird an der Endpunkten A und B
einer Geraden mit dem Zirkel je ein Kreis um die Punkte herum gezogen. Der Radius ist
gleich, und sie überschneiden sich. Eine Gerade, die durch die Schnittpunkte gezogen wird,
bildet am Schnittpunkt mit der ursprünglichen Geraden einen rechten Winkel: Das ist die Mittelsenkrechte. Für die Winkelhalbierende wird zunächst vom Scheitelpunkt aus ein Kreis gezogen, dessen zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln die Ausgangspunkte für das obige Verfahren darstellen.
4675655
Negative Zahlen – Online-Medium 4959907
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Lange Zeit gab es keine negativen Zahlen: Auch große Mathematiker, unter anderem Blaise
Pascal, wollten sie nicht anerkennen. Bei Rechnungen mit physischen Gegenständen macht
es auch keinen Sinn, sie einzusetzen. Der Film weist aber auf einige Beispiele hin, bei denen
das doch der Fall ist, etwa die Temperatur, bei der Fahrenheit erstmals in den negativen Bereich vorgedrungen ist, oder die Gewichtskraft. Anhand des Zahlenstrahls, den Descartes
über die Null hinaus erweitert und so die negativen Zahlen bestimmbar gemacht hatte, werden einige Regeln für die Rechnung erklärt: Alle positiven Zahlen sind größer als Null, alle
negativen kleiner. Daher ist auch jede negative Zahl kleiner als jede positive Zahl. Und eine
negative Zahl ist umso kleiner, als ihr Betrag größer ist: -10 ist kleiner als -9.
4675656
Negative Zahlen addieren und subtrahieren – Online-Medium 4959908
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Negative Zahlen zu addieren und zu subtrahieren ist nicht schwierig, wenn man den Zahlenstrahl benutzt. Jede Zahl hat einen Betrag; für die positiven ist es die eigene Zahl, für die
negativen die eigene Zahl ohne das Vorzeichen. Der Betrag von -5 ist also 5. Die Gegenzahl
einer jeden Zahl ist die, die auf der anderen Seite des Zahlenstrahls von der Null gleich weit
entfernt ist - also -3 für 3, -5 für 5 etc. Der Film erinnert an das Kommutativgesetz und zeigt,
dass das Addieren negativer Zahlen ebenso abläuft wie das positiver, nur im negativen Bereich des Zahlenstrahls. Die Addition einer positiven und einer negativen Zahl erfolgt durch
das Abziehen der kleineren Zahl, und das Vorzeichen des Ergebnisses ist das der größeren.
Man subtrahiert eine Zahl von der anderen durch die Addition der Gegenzahl.
4675657
Negative Zahlen multiplizieren und dividieren - Online-Medium 4959909
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Wie man ganz einfach negative Zahlen multiplizieren und dividieren kann, erklärt dieser Film.
Es werden Beispiele genannt, in denen man auch im Alltag mit negativen Zahlen zu tun bekommt, und dann wird mittels Zahlenstrahl daran erinnert, dass es sich bei einer Multiplikation um eine mehrfache Addition handelt. Dank des Kommutativgesetzes können die Faktoren
bei der Multiplikation auch vertauscht werden. Im Zuge der Beispielrechnungen werden gezeigt, dass das Ergebnis einer Multiplikation negativ ist, wenn einer der Faktoren ein negatives Vorzeichen hat. Haben beide Faktoren das gleiche Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv,
ähnlich wie bei der doppelten Verneinung. Selbiges gilt auch für die Division zweier Beträge:
Nicht nur Minus mal Minus, sondern auch Minus geteilt durch Minus ergibt Plus.
4675658
Netze – Online-Medium 4959910
Video-DVD/CD
Länge: 6 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Eine regelmäßige geometrische Form mit Ecken und Kanten hat eine Grundfläche, das Netz,
in das man diese Form gleichsam aufklappen kann - wie etwa die an einem Stück abgepellte
Schale der Mandarine. Das Netz kann für einige Formen viele verschiedene Ausprägungen
annehmen, für andere nur wenige. Es ist nur dann wirklich ein Netz, wenn sich die Form daraus in einem Guss wieder zusammenfügen lässt. Das Vorgehen wird im Film an einigen
Beispielen demonstriert, etwa am Tetraeder oder an der vierseitigen quadratischen Pyramide. Eine andere Form von Netz zeigen hingegen Zylinder oder Kegel, die im Alltag relativ
häufig Einsatz finden, etwa in Form von Konservendosen oder als Verkehrskegel auf den
Straßen. Es wird auch erklärt, dass man die Formen Kugel, Torus und Ellipsoid nicht als
Netz darstellen kann.
4675659
Primfaktorzerlegung – Online-Medium 4959911
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und durch Eins teilbar. Viele Zahlen aber lassen sich
durch mehrere andere Zahlen teilen. Man kann sie in ihre Primfaktoren zerlegen. Diese Zerlegung ist dann eindeutig, wenn alle Faktoren Primzahlen sind. Der Film zeigt dies anhand
der Zahlen 12 und 48. Man beginnt die Zerlegung jeweils mit der Teilung der Ausgangszahl
durch die kleinste Primzahl. Geht das nicht auf, wählt man die nächstgrößere. Endet die Zerlegung schließlich mit der letzten Primzahl, kann man beliebig viele der hier gefundenen
Primfaktoren miteinander multiplizieren und erhält in jedem Fall eine Teilermenge der Ausgangszahl. Bei sehr großen Zahlen kann die Primfaktorzerlegung schnell unübersichtlich
werden, deshalb arbeitet man hier auch mit Potenzen, statt die Zahlen einzeln aufzuschreiben.
4675660
Primzahlen – Online-Medium 4959912
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min.,. f.,
Produktionsjahr: 2015
Der Begriff Primzahlen stammt ab vom lateinischen Primus, was "der Erste" heißt. Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch Eins teilbar, und alle anderen Zahlen sind ihre Produkte. Die kleinste Primzahl ist die 2, eine größte gibt es nicht, da die Zahlen unendlich sind.
Die größte bislang errechnete Primzahl hat mehr als 17 Millionen Stellen. Es wird am Beispiel der 13 gezeigt, wie man mit den Teilbarkeitsregeln überprüfen kann, ob eine Zahl eine
Primzahl ist oder nicht: Es ist keine gerade Zahl, ihre Quersumme ist nicht durch 3 teilbar,
sie endet nicht auf 5 oder 0. Da dieses Verfahren aber langwierig ist, wird im Film auch das
Sieb des Eratosthenes vorgestellt, mit dem man aus einer Tabelle mit Zahlen alle teilbaren
Zahlen in Mustern streichen kann, sodass nur die Primzahlen übrigbleiben.
4675661
Prozentrechnung – Online-Medium 4959913
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Die Prozentrechnung begegnet uns überall im Alltag, wie der Film anhand einer Wahl verdeutlicht. Es wird gezeigt, dass es dabei immer um einen Anteil von etwas geht. Prozentzahlen ermöglichen eine andere Darstellung von Brüchen. Ein Prozent ist stets ein Hundertstel
von einem Ganzen, und der Wert, von dem ein Prozentwert ausgerechnet werden soll, ist
immer der Grundwert. Der Grundwert (G) beträgt in jedem Fall 100 Prozent. Die Zahl vor
dem Prozentzeichen ist der Prozentsatz (p), und das Ergebnis der Multiplikation der beiden
Werte wird Prozentwert genannt (W). Die einfachste Formel für die Prozentrechnung lautet
also p x G = W. Hilfreich ist bei der Berechnung das sogenannte Prozentdreieck: Anhand
verschiedener Beispiele wird demonstriert, wie man mit je zweien der Werte den dritten bestimmen kann.
4675662
Punkte und Linien – Online-Medium 4959914
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Punkte und Linien sind einfache Formen der Geometrie. Anders als Punkte, die wir mit dem
Stift aufs Papier setzen, haben geometrische Punkte keine Ausdehnung, ihr Durchmesser
beträgt also Null. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet und durch kleine Kreuze markiert, die mittels Linien verbunden werden können. Eine Linie zwischen zwei Punkten A und
B wird Strecke genannt. Die Strecke hat eine Länge, nämlich den Abstand zwischen A und
B, aber keine Breite: Sie besteht aus zahllosen geometrischen Punkten. Verlängert man sie
über einen der Punkte hinaus, hat sie einen Anfangs-, aber keinen Endpunkt. Man nennt sie
nun Strahl, und sie ist unendlich lang. Verlängert man sie auch über den zweiten Punkt hinaus ins Unendliche, erhält man eine Gerade. Zwei Geraden können parallel sein oder sich
schneiden.
4675663
Rechnen mit Termen – Online-Medium 4959915
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Hat man es mit komplexen Termen zu tun, kann man sie mittels verschiedener Regeln vereinfachen. Man stellt die Summanden um und sortiert sie nach Variablen, wobei man darauf
achtet, dass jeder sein eigenes Vorzeichen behält. Dann fasst man sie zusammen und verzichtet in eindeutigen Fällen auf das Multiplikationszeichen. Eine fortgesetzte Multiplikation
mit demselben Faktor kann man als Potenz abkürzen. Im Film wird erklärt, wie die Potenz
aufgebaut ist, und es wird der Unterschied zur reihenweisen Addition verdeutlicht. In Termen
dürfen neben Zahlen, Rechenzeichen und Variablen auch Klammern stehen, und anhand
von Beispielen wird verdeutlicht, für welche Zwecke sie eingesetzt werden: Sie bestimmen
die Reihenfolge der Rechnung oder erlauben es, ganze Teile des Terms mit -1 zu multiplizieren.
4675664
Scheitel, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel – Online-Medium 4959916
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Winkel entstehen überall dort, wo zwei Linien sich schneiden. Im Film wird daran erinnert,
dass rechte, gestreckte und Vollwinkel bereits bekannt sind, ebenso wie spitze, stumpfe und
überstumpfe Winkel. Dann wird gezeigt, was es mit benachbarten Winkeln auf sich hat und
dass sie eigentlich überall zu finden sind, wo es einen Winkel gibt: Man muss dafür nur eine
der Linien verlängern. Es wird erläutert, warum die Nebenwinkel ? und ? zusammen immer
180 Grad ergeben. Das kann man auch an der Skala des Geodreiecks erkennen, auf der
sich beide Winkelwerte stets zu 180 Grad ergänzen. Auch ? ist ein Nebenwinkel von ?, zugleich aber auch der Scheitelwinkel von ?, während ? ein Nebenwinkel von ? und ein Scheitelwinkel von ? ist. Auch das Phänomen der Stufenwinkel und der Wechselwinkel wird erläutert.
4675665
Schrägbilder – Online-Medium 4959914
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Geometrische Körper auf einem Blatt Papier so darzustellen, dass das Auge sie auch als
solche erkennt, ist nicht unkompliziert. Im Film wird gezeigt, dass man einen Würfel, den
man auf Augenhöhe betrachtet, aufs Papier übertragen nur als Quadrat sieht. Um ihn räumlich darzustellen, muss man ihn aus der Kavalierperspektive zeichnen, also leicht seitlich und
von oben. Es wird anhand des Beispiels des Würfels gezeigt, wie diese Zeichenart funktioniert: Man beginnt mit einem Quadrat als Grundfläche und zeichnet die Seitenlinien, die nach
hinten wegführen, verkürzt und im Winkel von 45 Grad ein. Die Linien, die man nicht sehen
kann, werden gestrichelt eingezeichnet. So kann das Gehirn aus den Linien auf dem Blatt
einen Körper erkennen. Die Zeichnung wird auch an komplizierteren Körpern demonstriert.
4675666
Spiegelungen im Kartesischen Koordinatensystem –
Online-Medium 4959918
Video-DVD/CD
Länge: 6 Min., f.,
Produktionsjahr: 2016
Die Spiegelung im kartesischen Koordinatensystem wird zunächst an einem Punkt A demonstriert, der im ersten Quadranten liegt. Die Spiegelung wird an der y-Achse vorgenommen, und es wird gezeigt, wie das funktioniert. Der Spiegelpunkt A hat denselben Abstand
zur y-Achse wie der Punkt A, allerdings liegt er im zweiten Quadranten, und der x-Wert hat
denselben Betrag wie bei A, aber ein anderes Vorzeichen. Es wird festgestellt, dass bei
Spiegelungen an der y-Achse stets der y-Wert gleich bleibt und sich beim x-Wert das Vorzeichen ändert. Umgekehrt bleibt bei Spiegelungen an der x-Achse der x-Wert gleich und das
Vorzeichen des y-Werts ändert sich. Es wird gezeigt, was bei Spiegelungen eines Punktes
am Nullpunkt geschieht und wie Spiegelungen geometrischer Figuren mit mehreren Punkten
durchgeführt werden.
4675667
Spitze Körper – Online-Medium 4959919
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Pyramiden und Kegel sind spitze Körper. Die Grundfläche der Pyramide ist stets ein Vieleck
- bei den Pyramiden in Ägypten ist sie quadratisch. Die Pyramide mit einer dreieckigen
Grundfläche ist ein Tetraeder, also die einfachste geometrische Form, die ausschließlich aus
Kanten und Ebenen besteht. Egel, wie viele Ecken die Grundfläche aufweist: Ihre Seiten sind
immer dreieckig: Sie führen von der unteren Kante zur oberen Spitze. Zusammen bilden sie
die Mantelfläche. Im Film wird weiterhin gezeigt, was einen Kegel ausmacht: Seine Grundfläche ist ein Kreis. Die Kreislinie ist die einzige Kante, die der Kegel aufweist. Er hat auch
nur eine Fläche, nämlich die Mantelfläche, die von der Kreislinie zur Spitze führt. Es wird
gezeigt, dass der Kegel in der Natur an unterschiedlichen Stellen vorkommt.
4675668
Terme und Variablen – Online-Medium 4959920
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Bei einem Term handelt es sich um einen mathematischen Ausdruck, der neben Zahlen
auch Klammern, Variablen und Rechenzeichen beinhalten darf, allerdings keine Relationszeichen. Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen in Beziehung gesetzt werden, nennt
man eine Gleichung. Der Film erläutert, dass es sich bei Variablen um Buchstaben handelt,
für die Zahlen eingesetzt werden können, also um Platzhalter. Es wird anhand von Beispielen gezeigt, wie man mittels Variablen Rechnungen, die für verschiedene Zahlen gelten, allgemeingültig aufschreiben kann. Auch wird gezeigt, dass es mehrere verschiedene Variablen pro Term geben kann und dass es abhängige und unabhängige Variablen gibt. Es wird
an das Kommutativgesetz erinnert und erläutert, warum es sinnvoll ist, die Gültigkeit eines
Terms zu begrenzen.
4675669
Terme vereinfachen – Online-Medium 4959921
Video-DVD/CD
Länge: 8 Min., f.
Produktionsjahr: 2015
Beim Rechnen mit Termen kann man es sich in der Mathematik ziemlich leicht machen: Im
Film wird erklärt, wie man Terme vereinfachen kann. Dafür findet nicht nur das Kommutativgesetz mehrfach Anwendung, sondern es wird auch gezeigt, wie man lange Additionen in
Multiplikationen darstellen und das Multiplikationszeichen teilweise weglassen kann. Bei kür-
zeren Termen ist das Rechnen noch recht leicht. Längere Terme mit mehreren Variablen
erschweren den Überblick. Es wird anhand von Beispielen erklärt, wie man die verschiedenen Variablen nach dem Alphabet sortiert und dann die einzelnen Summanden zusammenfasst. Das funktioniert sogar bei Summanden, die teilweise negative Vorzeichen haben: In
diesem Fall sollten die Summanden mit den großen positiven Faktoren vorne stehen und die
mit den negativen hinten.
4675670
Verschiebungen im kartesischen Koordinatorensystem
Online-Medium 4959922
Video-DVD/CD
Länge: 5 Min., f.
Produktionsjahr: 2016
Geometrische Formen können im kartesischen Koordinatensystem verschoben werden. Zunächst wird im Film gezeigt, wie man einen einzelnen Punkt verschiebt. Dafür wird der Begriff des Vektors erläutert und gezeigt, wie man seinen Wert angibt. Der Punkt wird auf der xAchse um sieben Einheiten nach rechts verschoben, bleibt aber auf derselben Höhe der yAchse. Man kann geometrische Formen aber auch nach links, oben und unten verschieben.
Ist bei der Verschiebung nach rechts der x-Wert höher, liegt er bei der Verschiebung nach
links niedriger. Eine Verschiebung nach oben bedeutet einen höheren y-Wert, nach unten
einen niedrigeren. Bei der Verschiebung geometrischer Formen müssen die Vektoren für alle
Punkte gleich sein, sonst ändert sich die Form. Man kann auch einen Vektor für die ganze
Form angeben.
4675671
Vielecke – Online-Medium 4959923
Video-DVD/CD
Länge: 4 Min., f.,
Produktionsjahr: 2016
Jede geometrische Figur mit Ecken ist ein Vieleck, also ein Polygon. Dieser Film beschäftigt
sich vor allem mit regelmäßigen Vielecken, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel
gleich groß sind. Es wird an die bereits bekannten Figuren des gleichseitigen Dreiecks und
des Quadrats erinnert und gezeigt, wie man bei ihnen den Flächeninhalt und den Umfang
berechnet. Anhand des regelmäßigen Sechsecks wird demonstriert, wie man ein Vieleck in
mehrere Dreiecke unterteilt und so den Flächeninhalt wie auch den Umfang des Vielecks
berechnen kann. Das Vorgehen unterscheidet sich bei Polygonen mit einer geraden und
solchen mit einer ungeraden Anzahl an Ecken. Im Film werden außerdem noch einmal das
Pentagon und das Hexagon mit ihren Besonderheiten näher betrachtet, also das Fünf- und
das Sechseck.
4675672
Zinsrechnung – Online-Medium 4959924
Video-DVD/CD
Länge: 7 Min., f.,
Produktionsjahr: 2015
Zinsen begegnen uns überall im Alltag. Sie entstehen, wenn sich jemand Geld leiht, etwa bei
einer Bank: Da die Bank daran verdienen möchte, dass sie ihr Geld für einen bestimmten
Zeitraum verleiht, erhebt sie Zinsen darauf. Das bedeutet, dass der Leihende später die
komplette Kreditsumme zuzüglich eines gewissen Prozentsatzes zurückzahlen muss, der im
Vorfeld vereinbart wird. Der Film erläutert die Grundlagen der Zinsrechnung. Dafür wird an
die Formel für die Prozentrechnung erinnert und gezeigt, dass die für die Zinsrechnung ganz
ähnlich aussieht, dass allerdings hier auch der Zeitfaktor mit einbezogen werden muss: Zinsen = Kapital x Zinssatz x Laufzeit. Es wird gezeigt, dass die meisten Laufzeiten mehrere
Jahre betragen, doch auch die Umrechnung der Laufzeit in Monate und Tage wird erklärt.