Synchrotronstrahlung, Lineare Strahloptik

2.2.2 Speicherringe
•
Der Speicherring ist ein Sonderfall eines Synchrotrons
•
Die Teilchen werden in der Regel beschleunigt, und für lange Zeit (Stunden,
oder sogar Tage) gespeichert
•
Wichtigste Anwendung von Speicherringen
– Erzeugung von Synchrotronstrahlung
– Erzeugung von neuen Teilchen
Der grösste Kreisbeschleuniger ist LEP. LEP wurde nach 12 Jahren Betriebszeit
vor kurzem abgeschaltet. In den LEP Tunnel mit einer Länge von etwa 27 km
wird der supraleitender Protonenbeschleuniger LHC installiert.
Schwerpunktsenergie = 200
GeV
Elektronen
Positronen
Schwerpunktsenergie = 14000
GeV
Protone
n
Protone
n
1
2
Speicherring (Prinzip)
3
Der Tevatron-Speicherring
Speicherung von Protonen und Antiprotonen
Strahlenergie:
E = 980 GeV
Geschwindigkeit:
v = 0.999999 ⋅ c
Ringlänge:
L = 6.28 km
Umlaufzeit:
T = 20.95 µs
Speicherzeit:
∆tsp = 10 bis 20 h
4
Supraleitende Dipolmagnete
Tevatron
HERA
5
LHC-Dipole
6
Speicherring – Begriff der Luminosität
wegen
können Teilchen und Anti-Teilchen
in der selben Magnetstruktur geführt werden !
Wechselwirkungsrate:
L: Luminosität
σ: Wirkungsquerschnitt
7
Streuung – Wirkungsquerschnitt
Wirkungsquerschnitt σ
• Beschreibung von Streuvorgängen
• Maß für die Wahrscheinlichkeit
der Streuung eines einfallenden
Teilchens am Streuzentrum
Schema der Streuung eines
Teilchens an Streuzentrum
einlaufendes Teilchen
• anschaulich: effektive Streufläche
• Dimension: Fläche
• Einheit: cm²
für Kernreaktionen:
barn (engl. Scheune)
1 Barn = 10-24 cm²
Top-Quark-Physik:
1 picobarn = 1 pb = 10-12 barn
Streuzentrum
8
Werden in Beschleunigern Teilchen “beschleunigt” ?
•
•
Trifft für die meisten Beschleuniger zu … aber nicht für alle.
Ein Fernsehgerät würde man nicht als Beschleuniger bezeichnen, obwohl
Elektronen mit einer Spannung von einigen kV beschleunigt werden
Beschleuniger, in denen Teilchen gespeichert werden (ohne die Energie zu
erhöhen) :
– zur Akkumulation von Positronen und Antiprotonen
– zur Kollision von zwei Protonenstrahlen (Injektion bei Kollisionsenergie, z.B.
CERN ISR)
– Beschleuniger, die Synchrotronstrahlung erzeugen (einer der wichtigsten
Beschleunigertypen), häufig ohne die Teilchen zu beschleunigen
Beschleuniger, in denen Teilchen abgebremst werden :
– Die Erzeugung von Antiprotonen funktioniert mit Protonen, die mit einer
Energie von einigen GeV auf ein Target gelenkt werden
– Die Antiprotonen haben eine kinetische Energie von einigen hundert MeV,
und werden für Experimente auf wenige eV abgebremst (CERN – AD)
9
2.2.3 Erzeugung von Sekundärstrahlen
Andere Teilchen werden durch Teilchenreaktionen erzeugt.
Dazu läßt man hochenergetische Teilchen auf Materie treffen:
Ein Primärstrahl trifft auf Materie und
erzeugt dabei Sekundär-Teilchen.
Mit Hilfe von Magnetfeldern können diese
nach Ladung und Masse getrennt werden.
Stabile Sekundärteilchen
(Anti-Protonen, Positronen)
können in Speicherringe geleitet, angereichert
und weiter beschleunigt werden.
Manchmal sind auch die Zerfallsprodukte interessant; so erhält man z.B. Neutrino-Strahlen
Moderne Beschleunigeranlagen liefern eine ganze Reihe von Teilchenarten:
Protonen und Antiprotonen, Elektronen und Positronen, Neutronen
Pionen und Kaonen, ..., Neutrinos , schwere Ionen bis zum Blei ...
10
Antiprotonen-Produktion
Ein Teil der Protonen wird
auf 120 GeV beschleunigt
und mit einem NickelTarget zur Kollision
gebracht.
Aus einer Vielzahl produzierter Teilchen werden Antiprotonen isoliert, gesammelt
und gekühlt.
11
Elektronkϋhlung des Antiprotonenstrahls
Elektronstrahl
25 26 27 28 29
1 2 3 4
20 m
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
20 21 22 23 24
16 17 18 19
Antiprotonstrahl
“Kalter” Elektronstrahl kühlt “heißen”
Antiprotonstrahl.
Prinzip von Gersh Budker, 1966.
Am Tevatron zum ersten Mal mit
hochenergetischen Protonen realisiert.
12
2.2.4 Anwendungen von Teilchenbeschleunigern
•
Teilchenphysik (CERN, DESY, SLAC, FERMILAB, …)
•
Anwendungen von Synchrotronstrahlung (z.B. ESRF, DESY, ….)
– Chemie
– Biologie
– Physik
•
Kernphysik (S-DALINAC, GSI, ….)
•
Industrielle Anwendungen
•
Medizinische Anwendungen (GSI, PSI, …)
– Erzeugung von Radioisotopen
– Bestrahlung von Patienten
•
Archäologie
•
Energietechnik (Kernfusion, Energy Amplifier)
13
Der Fermilab-Beschleuniger-Komplex
14
Beispiele für Anwendungen
Ion beams (GSI)
Etched ion tracks
in polymer foil.
Synchrotron Light (ESRF)
5'-exonuclease from
bacteriophage T5
Heavy ion fusion
Laser beam simulation
Proton therapy
(PSI) Gantry
15
Krebstherapie mit Neutronen am Fermilab
Quelle: Vortrag, Arlene Lennox, Leiterin des Neutorn Therapy Departments am
Fermilab und FNAL Visual Media Services
Auskopplung von 66
MeV Protonen mit
Dipolmagneten (orange)
in Richtung Fermilab
Behandlungsraum
Linearbeschleuniger
zum normalen
HochenergiephysikBetrieb
16
Neutronproduktion an Beryllium-Target
p(66) Be(49) Stöße produzieren Neutronen
17
Isocentric Positioning Device
Head is immobilized.
Lasers locate tumor.
Base rotates 360˚.
18
Vor Neutronentherapie
Bladder
with contrast material
Prostate Tumor
19
Nach 7 Behandlungen mit 12.25 Gy an Neutronen
Normal Bladder
Tumor is gone.
20
2.2.5 Synchrotronstrahlung
Erste Beobachtung
von
Synchrotronstrahlung
1947 - 70 MeV Synchrotron, General Electric Research Lab
Vakuumkammer aus Glas - daher konnte man die Strahlung beobachten
21
Theorie der Synchrotronstrahlung: Larmorgleichung
Klassische Strahlung einer beschleunigten Ladung
(Larmor) für v<<c:
2
mit e0 :
c:
ε0:
⎞
⎛d
e0 ⋅ c ⋅ ⎜ p ( t)
⎝ dt
⎠
Ps :=
2
2
(
6 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ m0 ⋅ c
2
)
Elementarladung
Lichtgeschwindigkeit
Dielelektrizitätskonstante
m0 :
Masse
v:
Geschwindigkeit
Die azimuthale Winkelverteilung ist:
2
⎞
2 ⎛d
e
⋅
c
⋅
p
(
t
)
⎜
0
dPs
⎝ dt
⎠ ⋅ sin 2 ψ
=
dΩ
2
2
16 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ m0 ⋅ c
3
identisch mit Hertz'schen Dipol
22
Winkelverteilung der Synchrotronstrahlung
Im Ruhesystem des
Strahlteilchens.
23
Lorentz - Transformation
Mit einer Lorentztransformation dτ =
1
γ
⋅ dt und Einsetzen des Viererimpuls erhält
man für die abgestrahlte Leistung:
v
Dabei ist β :=
c
und
γ :=
1
1−β
⎛ dPµ ⎞
Der Viererimpuls ist : ⎜
⎝ dτ ⎠
2
sowie
2
2
--->
γ :=
1 ⎛ dE ⎞
⎛d
⎞
−
⋅⎜
p
(
t
)
⎜
2
⎝ dτ
⎠
c ⎝ dτ ⎠
Ee
m0 ⋅ c
2
2
2
2
2
⎡ ⎛d
1 ⎛ dE ⎞ ⎥⎤
⎞
⎢
⋅ ⎜ p ( t) −
⋅
Ps ( t) =
2 ⎢ dτ
2 ⎜⎝ dτ ⎠ ⎥
2
⎠
c
⎣⎝
⎦
6 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ me ⋅ c
e0 ⋅ c
(
)
Ableitung siehe K.Wille
24
Synchrotronstrahlung für longitudinale / transversale
Beschleunigung
a) Kraft in Richtung der Bewegung (Linearbeschleuniger,
Beschleunigungsstrecken in Kreisbeschleunigern)
b) Kraft senkrecht zur Bewegung (Magnetfelder, Kreisbeschleuniger, Quadrupole
in Linearbeschleunigern)
Für Kräfte in Richtung der Bewegung ergibt sich (siehe
K.Wille):
2
⎡
2⎤
e
⎢
0 ⋅c
dp
⎛ ⎞ ⎥
P s := ⎢
⋅⎜
2 ⎝ dt ⎠ ⎥
2
⎢ 6 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ me ⋅ c
⎥
⎣
⎦
(
)
Für Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung ergibt sich mit dτ =
2
2
⎡
2⎤⎥
e
⋅
c
⋅
γ
⎢
0
dp
P s := ⎢
⋅ ⎛⎜ ⎞ ⎥
2 ⎝ dt ⎠
2
⎢ 6⋅π ⋅ε ⋅ m ⋅c
⎥
0 e
⎣
⎦
(
1
γ
⋅ dt :
)
25
Synchrotronstrahlung für Teilchen mit
Lichtgeschwindigkeit
Mit
dp
v
= p⋅ω = p⋅
dt
ρ
Für Geschwindigkeit annähernd der Lichtgeschwindigkeit gilt: E = p ⋅ c
Mit γ =
E
me ⋅ c
2
ergibt sich:
2
Ps =
e0 ⋅ c
(
6 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ me ⋅ c
2
)
4
⋅
E
ρ
4
2
für andere geladene Teilchen (z.B. Protonen) muss die Masse der Elektronen
durch die Masse der beschleunigten Teilchen ersetzt werden.
Daher ist die Abstrahlung von Synchrotronstrahlung für schwere Teilchen (fast)
zu vernachlässigen.
26
Beispiel für Abstrahlung bei Beschleunigung in Richtung des
Impuls
Mit der Gleichung dp/dt = dE/ds ergibt sich bei einem elektrischen Feld von 15 MV:
dE := 15 ⋅ MeV
ds := 1 ⋅ m
⎛ dE ⎞
e0 ⋅ c ⋅ ⎜
⎝ ds ⎠
2
Ps :=
(
2
)
2⎤
⎡
2
⎢ 6 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ me ⋅ c ⎥
⎣
⎦
Ps = 3.971 × 10
− 17
W
Die abgestrahlte Leistung ist unabhängig von der Energie des Elektrons.
27
Winkelverteilung der Synchrotronstrahlung
Bilder aus K.Wille, Physik
der Teilchenbeschleuniger
28
Vergleich LEP und LHC
Vergleich LEP und LHC
ρ := 3000m
Elep := 100GeV
Elhc := 7000GeV
Leistung für LEP (1 Elektron):
Leistung für LHC (1 Proton):
2
Plep :=
e0 ⋅ c
2
6 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ⎛⎝ me ⋅ c ⎞⎠
Plep = 7.509 × 10
γlep :=
Elep
me ⋅ c
2
−6
4
⋅
Elep
ρ
4
2
Plhc :=
2
e0 ⋅ c
2
6 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ⎛⎝ mp ⋅ c ⎞⎠
Plhc = 1.586 × 10
W
4
γ
2 lep
Ulep := e0 ⋅
3 ⋅ ε0 ⋅ ρ
γlhc :=
Elhc
mp ⋅ c
2
− 11
4
⋅
Elhc
ρ
4
2
W
4
γ
2 lhc
Ulhc := e0 ⋅
3 ⋅ ε0 ⋅ ρ
29
Energieverlust eines Elektrons pro Umlauf:
9
3
Ulep = 2.947 × 10 eV
Ulhc = 6.226 × 10 eV
Gesamtleistung der Synchrotronstrahlung:
Anzahl der Elektronen in LEP:
Nlep := 10
12
Anzahl der Protonen im LHC
Nlhc := 10
Ptotal_lep := Nlep ⋅ Plep
6
Ptotal_lep = 7.509 × 10 W
14
Ptotal_lhc := Nlhc⋅ Plhc
3
Ptotal_lhc = 1.586 × 10 W
Die Leistung der im LHC abgestrahlten Synchrotronstrahlung ist klein im Vergleich
LEP .... aber die Strahlung fällt in supraleitende Magnete bei 1.9 K ... 20 K
30
2.2.6 Lineare Strahloptik
Literatur:
K. Wille, Physik der Teilchenbeschleuniger und
Synchrotronstrahlungsquellen,
Unterkapitel 3.1 bis 3.13
31
Koordinatensystem
Ein einzelnes Teilchen wird mit den Koordinaten und dem Impuls
beschrieben.
Ausserdem muss noch die Ladung und die Masse bekannt sein. Für
einige (wenige) Anwendungen muss ausserdem der Spinzustand
berücksichtigt werden.
Für die Teilchen in einem Beschleuniger ist es unhandlich, ein
Koordinatensystem mit festen Koordinaten zu wählen. Daher wird das
Teilchen in Bezug auf ein Sollteilchen beschrieben. Das Sollteilchen
bewegt sich mit Sollimpuls auf der Sollbahn, Idealbahn oder Orbit.
32
Beschleunigerkoordinaten (Ringbeschleuniger)
z
Sollbahn
R
Teilchenbahn
s
x
x' =
z
dz
dx
und z ' =
ds
ds
dp = p − p 0
33
Geometrische „Fokussierung“ …
… im homogenen Dipolfeld
z
s
B
v
B
Teilchen
B
Teilchen
A
Sollbahn
F
x
Mitbewegtes
Koodinatensystem
Zwei Teilchen, die mit gleicher Energie
und leicht unterschiedlichem Anfangswinkel
starten, treffen sich nach jedem halben Umlauf.
34
Geometrische - Schwache - Fokussierung
Annahme: der Winkel zwischen beiden Teilchen
beträgt α = 1 mrad.
Der maximale Abstand zur Sollbahn ist:
xmax = α ⋅ R
xmax
Bei einem Radius von 1 m wäre dieser Abstand
xmax = 1 mm
Bei einem Radius von 1000 m wäre dieser Abstand
xmax = 1 m
Die schwache Fokussierung gilt nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld.
In der anderen Ebene laufen zwei Teilchen mit unterschiedlichen
Anfangswinkel kontinuierlich auseinander.
Es wird eine fokussierende Kraft benötigt.
35
Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld
r
B = (B x ( x, z , s ), 0, B z ( x, z , s ))
Bewegung in der horizontalen Ebene :
Lorentzkra ft für ein einfach geladenes Teilchen mit : Fx = − e 0 ⋅ v ⋅ B z
Zentrifuga lkraft : F f = m ⋅ v 2 / R
Aus dem Gleichgewicht der Kräfte ergibt sich mit p = m ⋅ v :
e0
1
=
⋅ B z ( x, z , s )
R x ( x, z , s )
p
Bewegung in der vertikalen Ebene :
e
1
= − 0 ⋅ B x ( x, z , s )
R z ( x, z , s )
p
36
Multipolentwicklung
transversale Strahldimensionen << Biegeradius
⇒ Es ist sinnvoll, das Magnetfeld um die Sollbahn zu entwickeln.
B z ( x) = B z 0
d 3B z
d 2B z
dB z
2
3
x
+
⋅x +
⋅
+
⋅
+ ...
x
2
3
2 ! ⋅ dx
3 ! ⋅ dx
dx
e0
und mit
multiplizi ert.
p
Es ergibt sich damit :
e0
e0
e 0 dB z
e0 d 2B z
e 0 d 3B z
3
2
⋅ B z ( x) =
⋅ B z0 + ⋅
⋅x + ⋅
⋅
x
+
⋅
⋅
x
+ ...
3
2
p
p
p dx
p 2 ! ⋅ dx
p 3 ! ⋅ dx
=
1
R
Dipol
+
k⋅
x+
Quadrupol
1
⋅ m ⋅ x2 +
2!
Sextupol
1
⋅ o ⋅ x 3 + ...
3!
Oktupol
37
Bauformen von Magneten
Dipol
38
Quadrupol
Sextupol
39
Bsp.: Rechteckmodel für einen Quadrupolmagnet
z
Quadrupolmagnet mit k = k0
innerhalb des Magneten,
und k = 0 ausserhalb
s
k(s
k)
e0 dB z ( s )
k (s) = ⋅
p
dx
0
0
s
40
Differentialgleichung für Teilchenbahn im mitbewegten System
Abgeleitet aus Lorentzkraft:
r
r r r
F = q ⋅ (E + v × B)
z
s
B
Vereinfachende Annahmen:
Magnetfeld nur transversal
Multipolentwicklug des Magnetfeldes
Dipolfelder nur mit horizontaler Wirkung
Teilchen bewegen sich im Wesentlichen in Richtung s
d/dt → d/ds
Impuls nahezu fest, p=p0+∆p, ∆p klein (<1%)
v
F
x
==> lineare Bewegungsgleichungen beim Durchlaufen
der Magnetstruktur eines Beschleunigers
Ableitung siehe
K.Wille, S.54-58
41
Generelle Differentialgleichung für die
Teilchenbewegung
⎤
⎡ 1
1 ∆p
⋅
x' ' (s) + ⎢ 2
− k ( s )⎥ ⋅ x( s) =
ρ (s) p
⎦
⎣ ρ (s)
z''(s) + k(s) z(s) = 0
in vertikaler Richtung
ρ ( s ) ist der Krümmungsr adius des Ablenkfeld es
∆p
ist die Abweichung des Impulses vom Sollimpuls p
p
k(s) ist die Quadrupols tärke
42
Teilchenbewegung im Quadrupol
e0 dB z ( s )
x' ' (s) − k ( s ) ⋅ x ( s ) = 0 mit k ( s ) = ⋅
p
dx
Defokussie render Quadrupol mit konstantem k : k > 0
Fokussiere nder Quadrupol mit konstantem k : k < 0
x(s) = A⋅ cosh( k ⋅ s) + B ⋅ sinh( k ⋅ s)
Für k > 0
x' (s) = k ⋅ A⋅ sinh( k ⋅ s) + k ⋅ B ⋅ cosh( k ⋅ s)
x(s) = A⋅ cos( k ⋅ s) + B ⋅ sin( k ⋅ s)
Für k < 0
x' (s) = − k ⋅ A⋅ sin( k ⋅ s) + k ⋅ B ⋅ cos( k ⋅ s)
43
Definition der Multipolstärken
Dipolfeld zur Strahlablenkung
Quadrupolfeld zur Fokussierung
Sextupol zur Kompensation der
Chromatizität
e
1
= 0 ⋅ B z0
R
p
k =
e0 dB z
⋅
p dx
e0 d 2 B z
⋅
m =
p dx 2
Oktupol zur Korrektur von Feldfehler n, und zur
lineare
Strahloptik
Korrekturen
höherer
Ordnung
e0 d 3 B z
Unterdr ückung von Strahlinst abilitäten : o =
⋅
p dx 3
44
Magnettypen
z
S
z
N
x
x
Feldlinien für
Dipolmagnetfeld
N
S
Feldlinien für Quadrupolmagnetfeld
Wirkt horizontal fokussierend,
vertiakal defokussierend
für e+ in Bildebene hinein
Dipolmagnet – konstantes Feld in Apertur
Quadrupolmagnet – Feld im Zentrum Null, linear ansteigend
(entspricht einer Konvex- bzw. Konkav-Linse in Lichtoptik)
Sextupolmagnet - Feld im Zentrum Null, quadratisch ansteigend
45
Teilchenbewegung im Ablenkmagneten
x' ' (s) − k ( s ) ⋅ x( s ) = 0
x' ' (s) +
1
⋅ x( s ) = 0
2
ρ (s)
Es entspricht : - k(s) =>
1
ρ 2 (s)
Fokussierender Quadrupol mit
der Stärke k
Ablenkmagnet mit dem
Ablenkradius ρ
Lösung für Ablenkmagnet ähnelt
Lösung für Quadrupole
46
Teilchenablenkung in einem Quadrupolmagnet
Bz ( x) = const⋅ x
Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in sRichtung in die Tafelebene hinein
Bx ( z) = const⋅ z
z
z
Sicht entlang
der Teilchenbahn
x
x
s
Sicht von
oben
defokussiere
nd
x
z
Sicht von der
Seite
fokussierend
s
47
Fokussierung eines Linsensystems in einer Ebene
d
f1
f2
F
The focal length of a two lense system is:
1
d
1
1
=
+
−
F
f1 f2 f1 ⋅ f2
48
Transformationsmatrizen
L
f
s0
s1
s2
s
s0 … beim Eintritt in die dünne Linse
s1 … beim Austritt aus der dünnen Linse
s2 … nach einer Strecke L
Annahme: Ein Teilchen hat die Koordinaten: Position x0 und Winkel x0’
Wie in der Lichtoptik, lässt sich die Teilchenbahn mit Transformationsmatrizen
berechnen
⎛x ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = M • ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ x'1 ⎠
⎝ x '0 ⎠
49
Transformationsmatrix für eine dünne Linse
f
s0
s1
s
x1 = a ⋅ x 0 + b ⋅ x '0
⎛ x1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ x0 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x'1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ x'0 ⎠
⎛ x ⎞
⎛ x1 ⎞ ⎜ 0 ⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ x0 ⎟
⎝ x'1 ⎠ ⎜ − f ⎟
⎝
⎠
x '1 = c ⋅ x 0 + d ⋅ x '0
x1 = x0
1
x'1 = − ⋅ x0 + x'0
f
⎛ 1
M = ⎜⎜
⎝ −1/ f
0⎞
⎟⎟
1⎠
50
Transformationsmatrix für die „Driftstrecke“
f
L
s1
s
s2
⎛ x2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x'2 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ x'1 ⎠
⎛ x2 ⎞ ⎛ x1 + L ⋅ x'1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ x'2 ⎠ ⎝ x'1 ⎠
x2 = x1 + L ⋅ x'1
x'2 = x'1
⎛1 L⎞
⎟⎟
M = ⎜⎜
⎝0 1 ⎠
51
Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen
Horizontale Ebene
f1 := 100m
f2 := −100m
d := 50m
d = 50 m
d ⎞
1
⎛1
−
F := ⎜ +
⎝ f1 f2 f1 ⋅ f2 ⎠
−1
F = 200 m
Vertikale Ebene
52
Teilchentransport durch eine komplexe Struktur: « F0D0 Zelle »
QF
Dipol
QD
Dipol
QF
F0D0 Zelle
lq=0.20 m
lD=2.60 m
MQF
lq=0.20 m
lq=0.40 m
MD
lD=2.60 m
MQD MQD
MD
MQF
53
Annahme: Bewegung in der vertikalen Ebene
QF
Dipol
QD
Dipol
QF
F0D0 Zelle
k(s)
s
54