Untersuchung der Zeitumkehrinvarianz in Quantenbillards

Untersuchung der Zeitumkehrinvarianz
in Quantenbillards
Florian Schäfer
Diplomarbeit
Institut für Kernphysik
Technische Universität Darmstadt
August 2005
Zusammenfassung
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Resonanzformen in Mikrowellenkavitäten bei gebrochener Zeitumkehrsymmetrie. Experimentell wurde die Aufhebung dieser Symmetrie durch das Einbringen magnetisierter Ferrite in die Kavitäten realisiert.
Um die Wechselwirkung zwischen Ferriten und hochfrequenten Wechselfeldern zu
studieren, wurde im ersten Teil der vorliegenden Arbeit ein Hohlleiter konstruiert, mit dem die ferromagnetische Resonanz im Frequenzbereich zwischen 2 GHz
und 4 GHz genauer studiert wurde. Darunter versteht man die resonante Wechselwirkung zwischen einem hochfrequenten magnetischen Wechselfeld und den
magnetischen Momenten eines magnetisierten Ferrits. Seine Wechselwirkung mit
rechts- und linkszirkular polarisierten Feldern ist unterschiedlich. Somit kann das
System unter Zeitumkehr ein verändertes Verhalten zeigen. Die Frequenzlage der
Resonanz wurde in guter Übereinstimmung mit der Theorie der Ferrimagnetika
als Funktion des äußeren Magnetfeldes mit einer Genauigkeit von 2 % vermessen.
In einem zweiten Schritt wurde das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts in
Mikrowellenkavitäten untersucht, welche ein Streusystem mit den Antennen als
Streukanälen darstellen. Von detailliertem Gleichgewicht spricht man bei Kavitäten, wenn sich der Betrag der durch das System transmittierten Leistung nicht
unter Umkehr der Ausbreitungsrichtung ändert. Ist dieses Gleichgewicht nicht
gegeben, so liegt eine Brechung der Zeitumkehrsymmetrie vor. Von besonderem
Interesse sind Kavitäten, die im Frequenzraum isolierte Resonanzen (Singuletts)
oder Resonanzpaare (Dubletts) aufweisen. Überlegungen der Streutheorie besagen, dass in Mikrowellenkavitäten Abweichungen vom Prinzip des detaillierten
Gleichgewichts nur dann möglich sind, wenn mehrere Resonanzen miteinander
interferieren.
In einem speziell entwickelten Kreuzbillard, einem Kreis- und einem Ringbillard
wurden zur Überprüfung dieser Vorhersage die Resonanzformen von Singuletts
und Dubletts vermessen. Somit konnte erstmalig der Einfluss von Interferenzeffekten in diesen Streusystemen mit gebrochener Zeitumkehrinvarianz über Unterschiede in den Resonanzformen gezielt studiert werden. An Singuletts wurden
keine richtungsabhängigen Effekte beobachtet. Dubletts zeigten eine Verletzung
des detaillierten Gleichgewichts. Im Experiment kann in Dubletts der relative
Unterschied der transmittierten Leistung zwischen beiden Ausbreitungsrichtungen beliebig zwischen 0 % (Gleichheit der Transmissionen) und nahezu 100 %
(Transmission nur in einer Richtung) gewählt werden.
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde zusätzlich ein Modell entwickelt, das
die experimentellen Befunde an Singuletts und Dubletts innerhalb der Messfehler
beschreibt. Dieses Modell führte zur Definition eines experimentell zugänglichen
Parameters, der ein praktisches Maß zur Charakterisierung der Verletzung des
Prinzips des detaillierten Gleichgewichts darstellt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theorie
4
2.1
Mikrowellenkavitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Zeitumkehr in der klassischen Physik . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Zeitumkehr in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Zeitumkehr in Streuprozessen . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Ferrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.1
Ferromagnetische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3.2
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Ferriten . . . .
14
Streutheorie für Mikrowellenkavitäten mit Ferriten . . . . . . . . .
15
2.3
2.4
3 Experimentelle Methoden
23
3.1
Aufbau und Vermessung von Mikrowellenkavitäten
. . . . . . . .
23
3.2
Resonanzstruktur und komplexe Eigenwerte . . . . . . . . . . . .
24
3.3
Datenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3.1
Bestimmung der Resonanz-Parameter . . . . . . . . . . . .
26
3.3.2
Programm GWignerfit“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
”
28
4 Untersuchung der ferromagnetischen Resonanz
30
4.1
Rechteck-Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2
Wellenleiter als Isolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3
Konstruktion eines Wellenleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.4
Messungen am Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5 Kreuzbillard
40
5.1
Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.2
Vermessung des Singuletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3
Vermessung des Dubletts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6 Kreisbillard
6.1
59
Resonanzen im Kreisbillard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
59
6.2
Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.3
Dublett-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.3.1
Einfluss der Ferrit-Position auf die Reziprozität . . . . . .
69
Erweiterung zum Ringbillard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.4
7 Schlussbemerkung und Ausblick
75
A Mathematische Herleitungen
77
A.1 Zeitumkehrsymmetrische Ankopplung an die Kavität . . . . . . .
77
A.2 Eigenwerte des effektiven Hamilton-Operators . . . . . . . . . . .
78
A.3 Lösung der Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten . . . . . .
79
B Tabellarische Zusammenfassung der Parameter
81
C Konstruktionszeichnungen
84
Danksagung
91
ii
1
Einleitung
Das Spiel mit Billards ist nicht nur eine sportliche Herausforderung, sondern auch
wissenschaftlich von großem Interesse. Klassische zweidimensionale Billards [1, 2]
bestehen aus einer ebenen Fläche und deren Berandung. Auf der Fläche kann
sich ein Teilchen gleichförmig bewegen. Die Richtung der Bewegung ändert sich
erst, wenn es auf die Berandung trifft. Dort wird es elastisch reflektiert. Starten
in einem rechteckigen Billard zwei Kugeln vom selben Punkt aus in zwei leicht
unterschiedliche Richtungen, so vergrößert sich ihr relativer Abstand linear mit
der Zeit. In einem Stadionbillard sind die Enden des Billards durch Halbkreise ersetzt. In diesem vergrößert sich der Abstand zwischen den beiden Kugeln exponentiell [1]. Dies ist eine klassische Realisierung von chaotischem Verhalten. Obwohl
die Newtonschen Bewegungsgleichungen bekannt sind, lassen sich reale Bahnen
von Teilchen nicht beliebig lange genau vorhersagen. Kleinste Abweichungen in
den Anfangsbedingungen haben auf den späteren Verlauf der Bahnen exponentiell
großen Einfluss. Dieses Verhalten wird deterministisches Chaos genannt [3].
Ein Quantenbillard ist die Übertragung des klassischen Billards in die Quantenmechanik. Es entspricht einem unendlich tiefen Potentialtopf, in dem sich ein Punktteilchen befindet. Hier können Berandungen gewählt werden, die im klassischen
System zu einem chaotischen Verhalten führen. Im Rahmen des Arbeitsgebiets
Quantenchaos werden quantenmechanische Systeme untersucht, deren klassische
Analogsysteme chaotische Eigenschaften aufweisen [4, 5].
Experimentell sind zweidimensionale Quantenbillards durch Ausnutzung einer
Analogie zwischen der zugehörigen Schrödinger-Gleichung und der HelmholtzGleichung, die das elektromagnetische Feld in einem flachen, zylinderförmigen
Mikrowellenresonator beschreibt, zugänglich [6]. Diese Analogie ermöglicht eine
Vielzahl an experimentellen Arbeiten zum Quantenchaos. Durch die Einführung
supraleitender Resonatoren konnte die Güte der betrachteten Systeme enorm gesteigert werden, wodurch präzise Untersuchungen von statistischen Eigenschaften
chaotischer Systeme ermöglicht wurden [7–11].
Seit etwa zehn Jahren ist auch die experimentelle Untersuchung von Mikrowellenkavitäten, die sich durch gebrochene Zeitumkehrinvarianz auszeichnen, ein aktives Forschungsgebiet. Experimentelle Arbeiten wurden hierzu bereits von Arbeitsgruppen aus Maryland [12–15] und Marburg [16–18] durchgeführt. In deren
Arbeiten wurden magnetisierte Ferrite (eine Klasse keramischer Festkörper) zur
Brechung der Zeitumkehrsymmetrie eingesetzt. Ferrite haben ferrimagnetische
Eigenschaften. Ihre magnetischen Momente sind durch das externe Magnetfeld
ausgerichtet und können durch überlagerte resonante, hochfrequente Magnetfelder zur Präzession um die Achse des externen, statischen Feldes angeregt werden [19]. Dies führt zu nicht-umkehrinvarianten Eigenschaften der Kavitäten [20],
d. h. ihr Verhalten bezüglich der Transmission von Leistung durch das System ist
1
nicht unabhängig von der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Hochfrequenzfelder.
Während sich frühere Untersuchungen hauptsächlich mit statistischen Eigenschaften der Spektren [12,16,18] und der Wellenfunktionen [13–15,17] in Systemen mit
gebrochener Zeitumkehrinvarianz beschäftigt haben, stellt die vorliegende Arbeit
das Transmissionsverhalten des Systems an isolierten Resonanzen (Singuletts)
sowie Dubletts in den Vordergrund. An diesen wurde das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts untersucht. Dieser Begriff stammt ursprünglich aus der Chemie [21, 22] und bedeutet in den hier untersuchten Systemen, dass sich die durch
einen Mikrowellenresonator transmittierte Leistung beim Vertauschen von Einund Auskopplungsort nicht ändert. Überlegungen aus der Streutheorie sagen fundamental unterschiedliche Auswirkungen einer gebrochenen Zeitumkehrinvarianz
auf das detaillierte Gleichgewicht in Singuletts und Dubletts vorher [23]. In letzteren steht dem System ein mehrdimensionaler Raum gebundener Zustände in der
Kavität zur Verfügung. Nur in diesem Fall kann in den in der vorliegenden Arbeit untersuchten Resonatoren eine Brechung der Zeitumkehrsymmetrie zu einer
Verletzung des detaillierten Gleichgewichts führen.
Experimente zum Prinzip des detaillierten Gleichgewichts und zur Verletzung der
Zeitumkehrsymmetrie durch die starke Wechselwirkung wurden in der Kernphysik bereits seit den 1960er Jahren durchgeführt [24–29], und in den 1980er Jahren
wurde deren Genauigkeit noch einmal um eine Größenordnung gesteigert [30]. In
diesen Experimenten wurde das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts an der
Reaktion 27Al +p ⇔ 24 Mg +α getestet. Hierbei wurde der differentielle Wirkungsquerschnitt im Bereich vieler überlappender Resonanzen [24] und an isolierten
Resonanzen [29] betrachtet. In dieser Kernreaktion kann sich eine Zeitumkehrbrechung in beiden Varianten des Experiments in einer Verletzung des Prinzips des
detaillierten Gleichgewichts manifestieren. Im Rahmen der hohen Messgenauigkeiten dieser Untersuchungen konnte keine Verletzung der Zeitumkehrsymmetrie
nachgewiesen werden [31].
Neben den Experimenten zur Zeitumkehr in Mikrowellenresonatoren und in der
Kernphysik, wird das Zusammenspiel zwischen chaotischen Systemen und der
Zeitumkehr auch mit Schallwellen untersucht. Es zeigten sich interessante Fokussierungseffekte, die durch chaotische Eigenschaften des Überträgermediums
beeinflusst werden [32, 33]. Kürzlich gelang es ebenfalls, solche Effekte mit elektromagnetischen Wellen experimentell nachzuweisen [34].
Die vorliegende Arbeit gliedert sich in zwei thematische Schwerpunkte: Zunächst
wurde ein Hohlleiter entwickelt, der zur Untersuchung der ferromagnetischen Resonanz von Ferriten dient. Hierdurch wurde ein qualitatives und ein quantitatives
Verständnis der Arbeitsweise von Ferriten erlangt. Im zweiten Teil wurden Singuletts und Dubletts in einem speziell entworfenen Kreuzbillard, einem Kreis- und
einem Ringbillard untersucht. Die Experimente bestätigen, dass Dubletts eine
2
deutliche Verletzung des detaillierten Gleichgewichts aufweisen können, sich an
isolierten Resonanzen aber keine richtungsabhängigen Effekte nachweisen lassen.
Gleichzeitig wird eine streutheoretische Beschreibung der untersuchten Systeme
mit gebrochener Zeitumkehrsymmetrie entwickelt. Aus diesen Überlegungen lassen sich experimentell verifizierbare Vorhersagen ableiten, die durch die durchgeführten Experimente bestätigt werden. Dies führt zur Definition eines theoretisch
fundierten Parameters η, der die Unterschiede in den Transmissionsspektren unter Zeitumkehr in einer einzigen komplexen Zahl zusammenfasst. Die Kenntnis
dieses Parameters und des Spektrums in einer Zeitrichtung reichen aus, um das
Verhalten des Systems unter Zeitumkehr genau vorherzusagen. Somit ist η hier die
entscheidende Größe, um die Zeitumkehrbrechung in Dubletts zu quantifizieren.
In Kapitel 2 der vorliegenden Arbeit werden die theoretischen Grundlagen zu
Mikrowellenkavitäten, zur Zeitumkehrsymmetrie und zu Ferriten behandelt. Kapitel 3 gibt eine Einführung in die experimentellen Methoden zur Untersuchung
von Resonatoren, und die Datenanalyse wird erklärt. Erste Experimente werden
in Kapitel 4 vorgestellt. Die Untersuchung der ferromagnetischen Resonanz im
Wellenleiter wird dort beschrieben. Verschiedene Resonanzformen im Kreuzbillard werden in Kapitel 5 untersucht. Die Analyse der Daten wird vorgestellt, und
die Ergebnisse zum Ein- und Zwei-Niveau-System werden präsentiert. In Kapitel 6 werden vier weitere Dubletts vermessen, und die dort gefundenen nichtumkehrinvarianten Eigenschaften diskutiert. Dieses Kapitel beschäftigt sich auch
mit der Analyse eines Ringbillards mit seinen Singulett-Zuständen. Eine Zusammenfassung, verbunden mit einem Ausblick auf zukünftige Fragestellungen, wird
in Kapitel 7 gegeben.
3
2
Theorie
Der folgende Abschnitt soll kurz die zur Durchführung und Auswertung der Experimente benötigten Grundlagen behandeln.
2.1
Mikrowellenkavitäten
Das Verhalten elektromagnetischer Felder in Hohlraumresonatoren wird durch die
Maxwell-Gleichungen komplett beschrieben. Die hierbei auftretenden elektrischen
und magnetischen Feldstärken und Eigenfrequenzen lassen sich für beliebige Resonatoren durch Lösen der Helmholtz-Gleichungen
ω2
E(r) ,
c20
ω2
−∆B(r) = ε µ 2 B(r) ,
c0
−∆E(r) = ε µ
(2.1)
(2.2)
deren Lösungen über die Beziehung
E(r) =
ic20
∇ × B(r)
εµ ω
(2.3)
gekoppelt sind, bestimmen. Es bezeichnen ǫ die elektrische und µ die magnetische Permeabilität, ω die Kreisfrequenz der Felder und c0 die VakuumLichtgeschwindigkeit. Bei der Bestimmung der Lösung sind die Randbedingungen
an den Resonatorwänden
E(r)k Rand = 0, B(r)⊥ |Rand = 0
(2.4)
zu berücksichtigen. Die Lösungen E(r) und B(r) der Gleichungen (2.1)-(2.4) haben die Eigenwerte εµ ωn2 /c20 .
Die folgenden Untersuchungen beschäftigen sich mit einem Spezialfall der eben
betrachteten dreidimensionalen Kavitäten: einem flachen, zylindrischen Resonator
mit beliebiger Grundfläche. Wenn h die Höhe der Kavität bezüglich der Grundfläche ist, existieren unterhalb der Grenzfrequenz νg = c/2h nur transversal magnetische (TM) Moden [35], deren elektrischer Feldvektor immer senkrecht zur
Grundfläche steht, d. h.
E(r) = ψ(x, y) ez .
(2.5)
Einsetzen von (2.5) in (2.1) ergibt die skalare Helmholtz-Gleichung
ω2
∆ + εµ 2 ψ(x, y) = 0
c0
mit der Randbedingung ψ(x, y)|Rand = 0.
4
(2.6)
Zum Vergleich wird die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung eines punktförmigen Teilchens mit dem Impuls p = ~ k und der Energie E = ~2 k2 /2m in einem
unendlich tiefen Potentialtopf
√
2mE
2
∆ + k Ψ(r) = 0 mit k =
(2.7)
~
betrachtet. Auch hier gilt die Randbedingung Ψ(r)|Rand = 0. In der klassischen
Mechanik entspricht so ein System einem Billard. Das Teilchen (die Kugel) bewegt
sich in einem konstanten Potential (die ebene Fläche im Billard), bis es auf eine
unendlich hohe Potentialwand (die Berandung) trifft und dort elastisch reflektiert
wird. Diese Analogie zwischen der Schrödinger-Gleichung und dem klassischen
Billard motiviert die Bezeichnung Quantenbillard für entsprechende quantenmechanische Systeme.
Wählt man für die Mikrowellenkavität und das Quantensystem Gebiete derselben
Form, so ist die mathematische Äquivalenz der Gleichungen (2.7) und (2.6) offensichtlich. Durch Messung der Eigenfrequenzen und der elektrischen Feldstärken
von Mikrowellenkavitäten (vgl. Kapitel 3.2) lassen sich somit Rückschlüsse auf
das entsprechende zweidimensionale quantenmechanische System ziehen. Daher
werden die Effekte auf den kleinen Längenskalen der Quantenmechanik indirekt
dem Experiment mit Skalen im Zentimeter-Bereich zugänglich. Auf Grund dieser
Übereinstimmung zwischen dem Quantenbillard und der flachen, zylindrischen
Mikrowellenkavität nennt man letztere im Allgemeinen auch einfach Mikrowellenbillard.
2.2
Symmetrien
In der Physik ist das Konzept von Symmetrien wichtig, um Aussagen über komplexe Systeme treffen zu können. So führen kontinuierliche Symmetrien in der
klassischen Mechanik zu Konstanten der Bewegung (Noether Theorem):
Homogenität des Raumes (Invarianz unter Raumtranslationen)
⇒ Erhaltung des Impulses
Isotropie des Raumes (Invarianz unter Drehungen)
⇒ Erhaltung des Drehimpulses
Homogenität der Zeit (Invarianz unter Zeittranslationen)
⇒ Erhaltung der Energie
Diese Translationen und Drehungen bilden jeweils eine Gruppe von Transformationen, welche die Dynamik des Systems nicht ändern. Das gilt auch in der
5
Quantenmechanik. Zusätzlich erlangen jetzt aber auch Gruppen mit endlich vielen Elementen Bedeutung, z. B. die Gruppe der Inversion des Raumes mit der
Parität als Erhaltungsgröße. Im Folgenden soll die Symmetrie der Zeitumkehr
genauer untersucht werden.
2.2.1
Zeitumkehr in der klassischen Physik
In der klassischen Physik versteht man unter der Zeitumkehr T die Umkehr der
Zeitrichtung
T
T
t 7→ −t, x 7→ x.
(2.8)
Der Impuls p = m dx/dt und der Drehimpuls L = x×p ändern unter T ihr Vorzeichen. Daher wird klassisch anstatt von Zeitumkehr auch oft von Bewegungsumkehr
gesprochen.
Die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die Elektrodynamik sind invariant
bezüglich T . Für die Newtonschen Gleichungen gilt dies, weil sie zweiter Ordnung
in der Zeit t sind, und der Übergang t 7→ −t die Bewegungsgleichungen unverändert lässt [36]. Die Maxwell Gleichungen sind invariant unter Zeitumkehr, da nicht
nur die elektrischen Ströme ihr Vorzeichen ändern, sondern auch die Magnetfelder, welche durch mikroskopische Kreisströme erzeugt werden. Deshalb bleiben
auch die Gleichungen der Elektrodynamik unter T insgesamt unverändert [37].
2.2.2
Zeitumkehr in der Quantenmechanik
Ist Ψ(x, t) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung
∂Ψ
~2 2
i~
= −
∇ + V Ψ,
∂t
2m
(2.9)
so ist zwar Ψ(x, −t) keine Lösung von (2.9), aber Ψ∗ (x, −t) ist erneut eine gültige
Lösung dieser Gleichung (vgl. [37], Kap. 4.4). Da zum Übergang von t nach −t
noch eine Komplexkonjugation hinzukommt, wird in Anlehnung an eine unitäre
Transformation die antiunitäre Transformation definiert:
Die Transformation
|αi 7→ |α̃i = θ |αi,
|βi 7→ |β̃i = θ |βi
(2.10)
hβ̃|α̃i = hβ|αi∗,
θ(c1 |αi + c2 |βi) = c∗1 θ |αi + c∗2 θ |βi
(2.11)
(2.12)
heißt antiunitär, falls
gelten. In diesem Fall ist θ ein antiunitärer Operator.
6
Es kann gezeigt werden, dass sich θ in der Form
θ = UK
(2.13)
schreiben lässt, wobei U ein unitärer Operator und K der Operator der Komplexkonjugation ist [37]. Der quantenmechanische Operator T der Zeitumkehr hat die
Form (2.13). Dabei muss U für jedes System gesondert bestimmt werden.
Der Zeitumkehroperator T soll angewandt auf einen beliebigen Zustand |αi den
zeitumgekehrten Zustand T |αi erzeugen. Durch Betrachtung infinitesimaler Zeitentwicklungen δt eines Systems unter H, das durch Zeitumkehr wieder in seinen
Anfangszustand gebracht werden kann
iH
iH
1−
δt T |αi = T 1 −
(−δt) |αi ,
(2.14)
~
~
zeigt [37], dass die Relation
−iHT |αi = T iH|αi
(2.15)
allgemein gelten muss. Wäre T unitär, könnte aus (2.15) −HT = T H abgeleitet
werden, was aber unweigerlich zu negativen Eigenenergien für zeitumgekehrte
Zustände führen würde.
Diese unphysikalische Situation kann umgangen werden, indem T als antiunitär
angenommen wird. Aus (2.15) folgt nun
T H = HT
⇒
[T , H] = 0.
(2.16)
Jeder Hamilton-Operator H kann durch eine hermitesche Matrix dargestellt werden. Er hat reelle Eigenwerte und im Allgemeinen komplexe Matrixelemente. Unitäre Transformationen U
H ′ = UHU −1
(2.17)
ändern diese Eigenschaften nicht. Somit ist die allgemeine Klasse kanonischer
Transformationen für Hamilton-Operatoren, die keine Restriktionen durch antiunitäre Symmetrien besitzen (also nicht T -invariant sein müssen), durch die
unitären Matrizen der Gruppe U(N) gegeben [38].
Für Hamilton-Operatoren mit Zeitumkehrinvarianz kann immer eine T -invariante
Basis gefunden werden. Hiermit kann bewiesen werden, dass H immer reell dargestellt werden kann, ohne dass H hierzu diagonalisiert werden muss [38]. Die
Gruppe der kanonischen Transformationen, die eine reellsymmetrische Matrix auf
eine weitere reellsymmetrische Matrix abbilden, ist die Gruppe SO(N) aller speziell orthogonalen Matrizen.
Ist für ein spinloses Teilchen der Hamilton-Operator H invariant unter Zeitumkehr
und sein Eigenzustand |ni nicht entartet, so ist die zugehörige Eigenfunktion reell
(bzw. kann durch eine globale Phase reell gewählt werden).
7
Zum Beweis wird verwendet, dass mit H|ni = En |ni auch
HT |ni = T H|ni = En T |ni
(2.18)
gilt. Somit haben |ni und T |ni die gleiche Energie. Da |ni jedoch nicht entartet
sein sollte, müssen sie beide denselben Zustand beschreiben. Nun ist die Wellenfunktion für |ni durch hx|ni gegeben und für T |ni durch hx|ni∗ bestimmt. Da sie
aber für alle x identisch sein müssen, können sie sich höchstens um eine von x
unabhängige Phase unterscheiden.
2.2.3
Zeitumkehr in Streuprozessen
Zunächst soll das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts erklärt werden. Es
stammt aus der Chemie und beschreibt eine Eigenschaft von Systemen in einem Gleichgewichtszustand. Ist ein System im Gleichgewicht, muss die Rate für
den Ablauf eines molekularen Prozesses gleich der Rate für den umgekehrten
Prozess sein. Ist diese Gleichheit gegeben, wird von detailliertem Gleichgewicht
gesprochen. Es gibt auch Kreisprozesse, die sich im Gleichgewicht befinden (d. h.
die Konzentrationen der beteiligten Stoffe sind zeitlich konstant), bei denen aber
kein detailliertes Gleichgewicht vorliegt [22].
Betrachtet man einen Unterraum eines mikrokanonischen Ensembles (also ein
abgeschlossenes System), in dem neben der Erhaltung der Energie keine weiteren
Konstanten der Bewegung existieren, und teilt den Phasenraum in Phasenzellen
auf, so beschreibt
Wnn′ pn′ = Wn′ n pn
(2.19)
das detaillierte Gleichgewicht zwischen zwei Zellen n und n′ . Dabei ist Wnn′ die
Übergangswahrscheinlichkeit eines Teilchens von Zelle n′ zur Zelle n und pn′ das
Phasenraumvolumen der Zelle n′ (Gl. (4.2) aus [21]).
In der Kernphysik werden Wirkungsquerschnitte vermessen, die durch Elemente
der Streumatrix S beschrieben werden können. Betrachtet man die Übergangsamplitude |ai → |bi, mit der ein Anfangszustand |ai in den Endzustand |bi überführt
wird, so bedeutet das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts, dass
|hb|S|ai|2 = |ha|S|bi|2
(2.20)
gilt [23]. Aus einer Verletzung der Relation (2.20) folgt eine Verletzung der Zeitumkehrsymmetrie; der Umkehrschluss ist aber nicht zwingend. Ändert sich beim
zeitumgekehrten Prozess nur die Phase des Matrixelements, ist der Wirkungsquerschnitt hiervon nicht betroffen. Der Fall, dass sich nur die Phase aber nicht
der Betrag von hb|S|ai unter Zeitumkehr ändert, ergibt sich automatisch für eine unitäre S-Matrix, welche in 2 × 2-Matrizen zerfällt, z. B. wenn es nur zwei
Reaktionskanäle gibt und die Erhaltung des Teilchenflusses gilt [23]. Für die Untersuchung der Zeitumkehrinvarianz in Kernreaktionen ist es daher notwendig,
8
möglichst komplexe“ Reaktionen auszuwählen, bei denen viele Reaktionskanäle
”
offen sind, so dass sich veränderte Phasen durch Interferenzeffekte in unterschiedlichen Wirkungsquerschnitten manifestieren können.
Bereits 1966 wurden in einem Gebiet vieler überlappender und daher interferierender Resonanzen die differentiellen Wirkungsquerschnitte der beiden Reaktionen 24 Mg (α, p) 27Al und 27 Al (p, α) 24Mg untersucht [24]. Durch dieses Experiment konnte eine obere Schranke für das Verhältnis der T -verletzenden zur T erhaltenden Reaktionsamplitude von 4·10−3 angegeben werden [25]. Gut 15 Jahre
später konnte diese Schranke durch verbesserte Messungen auf 5 · 10−4 gesenkt
werden [30]. Es wurde bereits 1975 erkannt, dass durch Betrachtung des differentiellen Wirkungsquerschnitts auch an isolierten Resonanzen eine Verletzung
der Zeitumkehrsymmetrie messbar wäre [28]. Auch hier konnte im Rahmen der
Messgenauigkeit keine Zeitumkehrbrechung nachgewiesen werden [29].
Experimente in Mikrowellenkavitäten ermöglichen es, Quantensysteme mit verletzter Zeitumkehrsymmetrie darzustellen. Durch Wahl der Geometrie der Berandung können Streusysteme mit einer genau bestimmten Anzahl an stark interferierenden Resonanzen erzeugt werden. Räumliche Symmetrien bewirken eine
Entartung der Eigenwerte, da mehrere Feldverteilungen bei der gleichen Frequenz
existieren. Durch kleine Störungen kann diese Symmetrie schwach“ gebrochen
”
werden, so dass die Entartung aufgehoben wird und sich Dublett-Systeme von
im Frequenzraum nahe beieinanderliegenden Resonanzen ausbilden. Ist eine Resonanz nicht entartet und gibt es im Vergleich zu ihrer Breite keine weiteren in
der Nähe liegenden Eigenwerte, so spricht man von einem Singulett. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, Resonanzformen von Singulett- und Dublett-Systemen zu
vermessen.
Da in Singuletts nur ein gebundener Zustand und ein auslaufender Reaktionskanal zur Verfügung stehen, und daher nur die Phase von hb|S|ai von der Zeitumkehr
betroffen sein kann, sollte nach (2.20) keine Verletzung des detaillierten Gleichgewichts messbar sein. Es könnte jedoch eine Verletzung der Reziprozität auftreten.
Der Begriff Reziprozität“ wird in der vorliegenden Arbeit verwendet, wenn
”
hb|S|ai = ha|S|bi
(2.21)
gilt. Im Gegensatz zu (2.20) verlangt diese Definition von Reziprozität, dass die
Übergangsmatrixelemente nach Betrag und Phase übereinstimmen müssen. Die
vorliegende Arbeit wird durch die Vermessung von Singuletts zeigen, dass hier
weder das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts, noch die Reziprozität verletzt
sind. Daher sind Dublett-Systeme in den hier betrachteten Experimenten diejenigen Systeme mit der kleinstmöglichen Anzahl an Resonanzen, bei denen Interferenzeffekte in den Übergangswahrscheinlichkeiten zu messbaren nichtreziproken
Effekten führen können.
9
2.3
Ferrite
Man spricht von ferromagnetischen Festkörpern, wenn sich in ihnen eine spontane Magnetisierung aufbaut, und die magnetischen Momente der einzelnen Atome
parallel orientiert sind. Antiferromagnetische Stoffe unterscheiden sich von ihnen durch eine antiparallele Orientierung der Spins benachbarter Atome. Solche
Festkörper können als zwei sich durchdringende, kristallographisch äquivalente
Untergitter angesehen werden, die mit gleichen Atomen besetzt sind, sich aber
in der Orientierung ihrer magnetischen Momente unterscheiden. Makroskopisch
zeigen nur ferromagnetische Festkörper eine spontane Nettomagnetisierung [39].
a)
b)
Abb. 2.1: Schematische Darstellung der Ausrichtung der Elementarmagnete in a) Ferromagnetika und b) Ferrimagnetika
Eine Klasse kristalliner, keramischer Festkörper, die Eigenschaften ferro- und antiferromagnetischer Stoffe besitzt, ist die der Ferrimagnete. Wie Ferromagnete
zeigen sie eine makroskopische Magnetisierung, und wie Antiferromagnete lassen sie sich in Untergitter aufteilen. Jedoch sind diese Untergitter voneinander
verschieden, in der Regel sowohl kristallographisch als auch in Bezug auf Größe und Anordnung der magnetischen Momente (vgl. Abbildung 2.1). Somit kann
die Gesamtmagnetisierung durch die antiparallele Ausrichtung unterschiedlicher
magnetischer Momente nicht mehr kompensiert werden [40]. Ferrite haben auf
Grund der geringen Elektronenbeweglichkeit eine sehr geringe Leitfähigkeit, sie
sind Isolatoren.
Die im Folgenden verwendeten Ferrite sind in Abbildung 2.2 abgebildet. Sie wur-
Abb. 2.2: Die verwendeten Ferrite: Sie haben eine Höhe von 5 mm und einen Durchmesser zwischen 4 und 10 mm (Zylinder) bzw. 29 mm (Ring).
10
den freundlicherweise von der Firma AFT GmbH1 zur Verfügung gestellt.
2.3.1
Ferromagnetische Resonanz
Obwohl Ferrite Ferrimagnete sind, lässt sich eine ihrer interessantesten Eigenschaften mit Hilfe der Theorie der Ferromagnetika verstehen. Der Effekt der ferromagnetischen Resonanz wird sich als entscheidend bei der Brechung der Zeitumkehrsymmetrie in elektromagnetischen Systemen erweisen.
H
H
H
−γM × H
M
M
M
φ
(a)
(b)
(c)
h
Abb. 2.3: Zur Entstehung der ferromagnetischen Resonanz: (a) Präzession durch Drehmoment, (b) Dämpfung der Präzession nach Auslenkung, (c) Hochfrequenzfeld kompensiert Dämpfung
Ist die Probe eines ferromagnetischen Materials bis zur Sättigung magnetisiert,
so ist der interne Magnetisierungsvektor parallel zum inneren Magnetfeld H. Ändert sich die Richtung von H, z. B. durch die Überlagerung mit einem zweiten,
schwächeren Feld, so folgt der Vektor der Magnetisierung M dieser Änderung. Jedoch wird er diese neue Lage nicht sofort einnehmen, sondern erst wie ein Kreisel
um seine ursprüngliche Ausrichtung präzedieren (Abb. 2.3a). In der klassischen
Theorie wirkt auf ein magnetisches Moment M durch ein Magnetfeld H ein Drehmoment M×H. Mit dem magnetischen Moment ist der Drehimpuls J verbunden,
so dass M = −γJ. Das gyromagnetische Verhältnis
e
µB
MHz
=g
≈ g · 8.7941
(2.22)
2mc
~
Oe
gibt das Verhältnis zwischen dem magnetischen Moment und dem zugehörigen
Eigendrehimpuls eines Elektrons an. Hierbei wurde die für dieses Gebiet der Festkörperphysik übliche Einheit Oersted verwendet, im Vakuum gilt 10 Oe =
b 10 G =
1 mT.
γ=g
1
AFT MATERIALS GmbH, Spinnerei 44, 71522 Backnang
11
Die Änderung des Drehimpulses J ist durch
dJ
=M×H
dt
(2.23)
gegeben. Dadurch erhält man die Bewegungsgleichung
Ṁ = −γM × H ,
(2.24)
M präzediert also mit der Kreisfrequenz ω = γ H um die Richtung des Magnetfeldes.
Im Folgenden wird angenommen, dass dem statischen Feld Hi0 ein schwaches
Hochfrequenzfeld hi exp(iωt) überlagert wird. Der Index i soll verdeutlichen, dass
es sich um kristallinterne Felder handelt. Gesucht ist die Antwort der Magnetisierung M auf diese Störung. Zerlegt man die Magnetisierung und das Magnetfeld
für eine Störungsrechnung jeweils in einen dominanten statischen Teil und eine
dynamische Komponente mit der Zeitabhängigkeit exp(iωt)
Hi (t) = Hi0 + hi eiωt ,
M(t) = M0 + meiωt ,
(2.25)
so lassen sich in erster Ordnung bzgl. hi und m Beziehungen zwischen Magnetfeld
und Magnetisierung ableiten [19, 40]. Für die Berechnung wird ein Koordinatensystem gewählt, dessen z-Achse mit der Richtung des internen Magnetfeldes Hi0
zusammenfällt (Hi0 = H0i ez ). Zwischen den dynamischen Komponenten der Felder bestehen dann die Beziehungen


 

mx
hx
χ iκ 0
 my  =  −iκ χ 0   hy  ,
(2.26)
mz
0
0 0
hz
wobei
χ :=
2
M0 ωH
,
2
H0i ωH
− ω2
κ :=
M0 ωH ω
,
2
H0i ωH
− ω2
ωH := γH0i
(2.27)
ist. Die auftretende Matrix ist der Suszeptibilitätstensor χ. Der Permeabilitätstensor µ = 1 + 4πχ ist nur nahe der ferromagnetischen Resonanz bei ωH von
1 verschieden. In realen Festkörpern treten auf Grund von Dämpfungen (vgl.
Abb. 2.3b) natürlich keine Singularitäten an der Resonanzfrequenz auf, χ und
κ sind unter Berücksichtigung von Dämpfungsprozessen jeweils komplexe Größen [40].
Diese Überlegungen gelten nur für unendlich ausgedehnte Festkörper. In endlichen
Kristallen treten durch die magnetischen Dipole an den Oberflächen entmagnetisierende Effekte auf, was eine Erweiterung der Theorie notwendig macht, um sie
mit experimentell gewonnenen Daten vergleichen zu können.
12
Die Entmagnetisierungsfaktoren Nx , Ny , Nz geben die Stärke der Abschwächung
des externen Magnetfeldes durch die intrinsische Magnetisierung an. Im allgemeinsten Fall lautet die Resonanzbedingung bei einem externen Feld H = H0 ez
im cgs-System2 [39]
ω02 = γ 2 [H0 + (Ny − Nz )Ms ][H0 + (Nx − Nz )Ms ] ,
(2.28)
wobei Ms die Sättigungsmagnetisierung des Festkörpers ist. Für die Entmagnetisierungsfaktoren gilt die Nebenbedingung Nx + Ny + Nz = 4π.
Analytisch berechnen lassen sich diese Faktoren nur für elliptische Körper, als
deren Grenzfälle lange, dünne Stäbe und Scheiben mit großem Radius angesehen
werden können. Als Beispiel für einen möglichen Grenzfall wird eine dünne runde Scheibe, die entlang ihrer Symmetrieachse magnetisiert wird, betrachtet. In
diesem Fall sind Nx = Ny = 0, Nz = 4π und (2.28) vereinfacht sich mit g = 2 zu
ν0 = γ̃(H0 − 4πMs ) ,
γ̃ = 2.8 MHz/Oe .
(2.29)
Etwas allgemeiner gilt für bezüglich der z-Achse rotationssymmetrische Körper
Nx = Ny , wodurch sich (2.28) weiter vereinfachen lässt,
1
Nz
ν0 = γ̃ (H0 + Neff 4πMs ) , Neff =
1−3
.
(2.30)
2
4π
Dieser Fall wird später experimentell untersucht werden (vgl. Abschnitt 4.4).
Für eine quantenmechanische Erklärung dieses Resonanzeffekts fasst man die im
externen Magnetfeld ausgerichteten Elektronenspins zu einem makroskopischen
Spinvektor S zusammen [39]. In einem statischen Magnetfeld zeigt dieser eine
Richtungsquantisierung mit einer Energieaufspaltung, wie sie vom Zeeman-Effekt
bekannt ist. Zusammen mit der magnetischen Auswahlregel ∆mS = ±1 ergibt
sich wieder ω = γH.
Die bisher gewonnenen Ergebnisse beziehen sich auf Ferromagnete, deren magnetische Momente alle gleich groß und parallel ausgerichtet sind. Eine Übertragung
auf Ferrite mit ihren unterschiedlichen, verschieden orientierten Momenten ist
möglich. Bei der Herleitung werden zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen für
die Untergitter aufgestellt, aus denen sich unter der Annahme |m| ≪ |M| zwei
Resonanzbedingungen ergeben [40]:
• Ferromagnetische Resonanz: Genau wie bei Ferromagneten tritt bei
ωr ∼
=
M1 − M2
≡ γeff H
M1 /γ1 − M2 /γ2
(2.31)
eine Resonanz auf. Die magnetischen Momente der Untergitter (hier mit
den Indizes 1 und 2 bezeichnet) sind antiparallel ausgerichtet.
2
In der Literatur der Festkörperphysik zu ferromagnetischen Effekten ist es üblich, das cgsSystem zu verwenden.
13
• Ferrimagnetische Resonanz: Die Momente sind nicht exakt antiparallel ausgerichtet und die Resonanz liegt bei
ωex ∼
= −ν (γ2 M1 − γ1 M2 ) = −ν γ1 γ2 J .
(2.32)
Hierbei beschreibt ν die Austauschwechselwirkung zwischen den Momenten. Die Vorzeichen von ωr und ωex sind entgegengesetzt, was einem anderen Umdrehungssinn der Präzessionsmoden entspricht. Experimentell spielt
diese Mode im Allgemeinen für Mikrowellenanwendungen keine Rolle, da sie
in den Bereich des infraroten Spektrums fällt.
2.3.2
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Ferriten
Da Ferrite in Mikrowellenkavitäten eingebracht werden sollen, ist es sinnvoll, zunächst den Einfluss von Ferriten auf ebene elektromagnetische Wellen zu untersuchen.
Zerlegt man die im letzten Abschnitt eingeführte dynamische Feldkomponente in
zwei zirkular polarisierte Komponenten, so vereinfachen sich die Gleichungen für
den ungedämpften Fall erheblich [40]. Man erhält
χ± = χ ± κ,
m± = χ± hi± ,
(2.33)
γM0
ωH ± ω
(2.34)
und die Resonanzstruktur ist durch
χ± (ω) =
gegeben. Eine ausgeprägte Resonanzstruktur hat also nur diejenige zirkulare
Komponente, deren Vektor hi im gleichen Sinn wie die Magnetisierung rotiert
(Abb. 2.3c). Im klassischen Bild wirkt nur in diesem Fall über eine längere Zeit
ein auslenkendes Drehmoment auf das magnetische Moment.
Eine ebene, parallel zum externen Magnetfeld polarisierte elektromagnetische
Welle kann ebenfalls in eine links- und eine rechtszirkular polarisierte Welle zerlegt werden. Eine der beiden Komponenten wird im Ferromagnetikum Energie an
den Festkörper übertragen können und dadurch gedämpft werden, während die
andere Komponente beinahe nicht beeinflusst wird. Anders ausgedrückt führen
die imaginären Größen in (2.26) zu imaginären Wellenvektoren k, wodurch eine
exponentielle Dämpfung der Welle erreicht wird.
Dieser Effekt hat in der Mikrowellentechnik wichtige Anwendungen. So kann man
in Wellenleitern den Energietransport in eine Richtung unterbinden, Phasenschieber aufbauen oder Polarisationsebenen drehen [19].
14
2.4
Streutheorie für Mikrowellenkavitäten mit Ferriten
Der vorliegende Abschnitt soll zeigen wie das Transmissionsverhalten von Mikrowellenkavitäten (vgl. Abschnitt 3.1), in denen die Zeitumkehrinvarianz durch das
Einbringen magnetisierter Ferrite gebrochen wird, durch ein Streusystem beschrieben werden kann [41]. Das hierfür abzuarbeitende Programm ist in Abbildung 2.4
schematisch zusammengefasst.
Streusystem: H eff
Ankopplung an Antennen: V
?
eff
s
?
V erhält T -Symmetrie;
Wellenfunktionen auf den
Antennen sind |ci, |c′ i
a
H =H +H
H s : T erhaltend
H a : T brechend
H
HH
HH
j
H
Streumatrix: Scc′ = −2πihc|V † (E − H eff )−1 V |c′ i,
c 6= c′
?
Beschränkung auf zwei isolierte Zustände von H s
|1i und |2i sowie zwei Antennen |ai und |bi
?
Streumatrix für Zwei-Zustands-System:
P
T (λ)
(λ) |V |bi
Sab = −2πi λ=± ha|V |xE−Eihx
(λ)
?
Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von H eff
?
Darstellung der Übergangsamplituden
ha|V T |x± ihx± |V |bi
Abb. 2.4: Flussdiagramm zur Herleitung der Übergangsamplituden in einem zweidimensionalen Streusystem mit einer nur durch H eff gebrochenen Zeitumkehrinvarianz
15
Bevor im Folgenden auf die theoretische Modellierung genauer eingegangen wird,
soll zuvor kurz auf den Unterschied zwischen der Ausrichtung einer Zeitachse
durch dissipative Einflüsse und einer fundamentalen Zeitumkehrbrechung eingegangen werden (vgl. auch [42], S. 184f). Dissipative Systeme werden durch effektive Hamilton-Operatoren beschrieben, bei denen die Energie keine Erhaltungsgröße
ist. Das System verliert mit der Zeit Energie. Durch diesen Dämpfungsprozess wird
die Zeitumkehr in dem Sinne gebrochen, dass der umgekehrte Prozess auf Grund
des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik in der Natur so nicht ablaufen würde. Es gibt aber auch Systeme, bei denen die Verletzung der Zeitumkehrinvarianz nichtdissipativen Ursprungs ist. Solche Systeme lassen sich durch hermitesche
Hamilton-Operatoren beschreiben, da die Energie eine Erhaltungsgröße ist. Ein
einfaches Beispiel für ein solches System mit gebrochener Zeitumkehrinvarianz ist
die Bewegung eines Elektrons in einem statischen Magnetfeld. Wird hier die Zeit,
aber nicht die Richtung des Magnetfeldes umgedreht, wird das Elektron seine alte
Flugbahn nicht rückwärts durchlaufen. Somit zeigt das System unter Zeitumkehr
ein verändertes Verhalten.
In flachen Resonatoren, die als zweidimensional betrachtet werden können, ist
das elektrische Feld als Lösung einer zur Schrödinger-Gleichung äquivalenten
Helmholtz-Gleichung gegeben (vgl. (2.6), S. 4). Der Hamilton-Operator, der den
verlustfreien, geschlossenen Resonator beschreibt, sei H. Das System wird als
Streusystem betrachtet, bei dem die ein- und auslaufenden Zustände den elektromagnetischen Wellen auf den Koaxialkabeln entsprechen. Die Kabel sind mit
Antennen verbunden, welche die Zustände auf den Kabeln an die Felder in der
Kavität koppeln.
Die Streumatrix S mit den Elementen Scc′ wird entsprechend Gl. (1) von [43] als
Scc′ = δcc′ − 2πihc|V † (E − H eff )−1 V |c′ i
(2.35)
angesetzt. Hierbei ist V die Wechselwirkung, welche die Eigenschwingungen des
Resonators an die Wellenfunktionen |ci, |c′ i auf den Antennen c, c′ ankoppelt3
(vgl. auch [44]). In der Eigendarstellung |νi des effektiven Hamilton-Operators
kann (2.35) auch als Summe über alle Eigenschwingungen der Kavität
S
cc′
=δ
cc′
− 2πi
X hc|V † |νihν|V |c′ i
ν
E − E (ν)
(2.36)
geschrieben werden.
Der effektive Hamilton-Operator
H eff = H − iW
3
(2.37)
Im Folgenden beschreiben die Indizes c und c′ jeweils einen beliebigen Streukanal eines Streusystems mit n Kanälen. Wird der Übergang zwischen zwei bestimmten Streukanälen betrachtet,
werden zur Verdeutlichung die Indizes a und b verwendet.
16
besteht aus den beiden Operatoren H und W , die jeweils hermitesch sind. Die
Kopplung an die Antennen und die Absorption von Energie im Resonator, z. B.
durch ohmsche Verluste an den Wänden, wird durch W beschrieben. Da dieser
Hamilton-Operator ein dissipatives System beschreibt, ist er nicht hermitesch und
kann somit komplexe Eigenwerte haben. Die Operatoren H und W seien beide
positiv definit, so dass die Eigenwerte von H eff
E (λ) = E (λ) − i
Γ(λ)
2
(2.38)
einen positiven Real- und einen negativen Imaginärteil besitzen.
Zunächst soll der Fall einer isolierten Resonanz betrachtet werden. In diesem Fall
ist H eff eindimensional (kann also als komplexe Zahl geschrieben werden), und
das System hat nur einen Eigenwert E. Für die Transmission durch die Antennen
a und b, a 6= b, schreibt sich (2.36) als
Sab = −2πi
ha|V † |1ih1|V |bi
,
E−E
(2.39)
wobei |1i der Eigenzustand von H eff sei, also die Eigenschwingung der Kavität
darstelle. Wird die Transmissionsrichtung umgedreht, vertauschen die Kanäle a
und b ihre Rollen,
hb|V † |1ih1|V |ai
Sba = −2πi
.
(2.40)
E−E
Aus den Gleichungen (2.39) und (2.40) folgt sofort, dass für ein Singulett in der
Mikrowellenkavität
|Sab |2 = |Sba |2
(2.41)
gelten muss; dies entspricht dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts.
Die experimentellen Ergebnisse zu den Singuletts (siehe Abschnitte 5.2 und 6.4)
zeigen, dass (2.41) zutreffend ist. Gleichzeitig ergibt das Experiment, dass auch
die schärfere Bedingung
Sab = Sba
(2.42)
erfüllt ist, d. h. die Reziprozität gegeben ist. Die Transmissionen in beiden Richtungen stimmen also nach Betrag und Phase überein. Daher genügt die Wechselwirkung V der Bedingung
ha|V † |1ih1|V |bi = hb|V † |1ih1|V |ai .
(2.43)
Physikalisch bedeutet (2.43), dass es keinen Unterschied macht, ob Leistung bei a
ein- und bei b ausgekoppelt wird, oder gerade umgekehrt. Die Zähler in (2.39)
und (2.40) sind daher invariant unter Zeitumkehr und V erhält die Zeitumkehrsymmetrie. Eine ausführlichere Herleitung der Eigenschaften von V ist in
Anhang A.1 gegeben.
17
In der vorliegenden Arbeit ist die Ankopplung an das System über die Antennen
räumlich getrennt von der zeitumkehrbrechenden Wirkung durch den Ferrit. Da
es keinen Grund gibt, warum die Antennen (einfache Drähte, die in die Kavität ragen) einen Einfluss auf die Zeitumkehrsymmetrie haben sollten, erscheint es
sinnvoll, V als zeitumkehr-erhaltend, also reell, anzusetzen. Weiterhin wird in Experimenten mit Mikrowellenkavitäten nur ein Schwingungszustand auf den Antennen und den Anschlusskabeln angeregt. Daher kann, im Gegensatz zur Situation
in der Kernphysik, keine Verletzung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts
durch die Interferenz mehrerer Partialwellen im Ausgangskanal auftreten [28]. Die
Annahme, dass V die Zeitumkehrsymmetrie erhält, unterscheidet sich von der Situation in der Kernphysik, wo Gleichung (2.43) nicht gilt [28]. Dort kann nicht
zwischen einer äußeren“ Zeitumkehrbrechung durch die Kopplung zwischen den
”
Reaktionskanälen und den Kernresonanzen und einer inneren“ Verletzung der
”
Zeitumkehrsymmetrie durch den Hamilton-Operator unterschieden werden.
Im allgemeinen Fall werden die Operatoren H und W , aus denen sich H eff entsprechend (2.37) zusammensetzt, aufgespalten in reell symmetrische Operatoren H (0) ,
W (0) und komplex hermitesche Operatoren H (1) , W (1) , welche nicht durch unitäre
Transformationen in reell symmetrische Operatoren überführt werden können. Die
reellen Operatoren sind zeitumkehrsymmetrisch, die anderen wirken zeitumkehrbrechend (vgl. Abschnitt 2.2.2),
H = H (0) + H (1) ,
W = W (0) + W (1) .
(2.44)
Alle zeitumkehrbrechenden Effekte auf Grund der Magnetisierung der Ferrite werden durch H (1) und W (1) beschrieben. Die zeitumkehr-erhaltenden Effekte der
Ferrite sind in H (0) , W (0) enthalten.
Im Folgenden werden im Raum der Eigenzustände nur zwei fast entartete, also nahe beieinander liegende Zustände betrachtet, H eff wird daher als zweidimensional
angesehen.
Für die weitere Rechnung wird H eff in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil
(1)
H eff = |H (0) − iW (0) +{z
ℜH (1) − iℜW (1)} + iℑH
+ ℑW (1)}
|
{z
(2.45)
≡H a
≡H s
zerlegt. Nur H a beschreibt die durch den Ferrit verursachte Zeitumkehrbrechung.
Der Operator H eff wird in der Eigenbasis des symmetrischen Operators H s dargestellt. Die Eigenwerte von H s seien Eµ mit µ = 1, 2. Sie hängen von der Magnetisierung des Ferrits ab, da die Realteile von H (1) und W (1) in H s eingehen. Die
Eigenvektoren von H s seien |1i und |2i.
18
In der Basis der Eigenzustände von H s , {|µi}, gilt für die Matrixelemente von V
(vgl. (2.43))
hµ|V |ci = hc|V T |µi, µ = 1, 2 .
(2.46)
Hierbei sind die Wellenfunktionen auf den Antennen mit |ci bezeichnet. Wegen
der Symmetrie von H s ist die Beziehung zwischen den zugehörigen linken und
rechten Eigenvektoren
hµ| = (|µi)T ,
(2.47)
d. h. der linke Eigenvektor hµ| wird durch Transposition – ohne komplexe Konjugation – in den rechten Eigenvektor |µi überführt. Dies gilt für die gesamte
vorliegende Arbeit. Die Matrixelemente (2.46) sind im Allgemeinen nicht reell, da
|µi nicht reell ist.
Die Imaginärteile von H (1) bzw. W (1) werden mit
(1)
= h,
(1)
= w
ℑH12
ℑW12
bezeichnet, so dass der antisymmetrische Teil von H eff
0
w + ih
a
H =
−w − ih
0
(2.48)
(2.49)
lautet.
In der Basis |µi, µ = 1, 2, von H s lässt sich H eff schließlich durch
E1 0
0
w + ih
eff
H =
+
0 E2
−w − ih
0
(2.50)
darstellen. Die Realteile der Eigenwerte Eµ von H s stimmen nicht exakt mit den
Resonanzfrequenzen einer geschlossenen und verlustfreien Kavität überein, da H s
die Ankopplung der Kavität über die Antennen an die Außenwelt und absorptive
Eigenschaften enthält [35].
Für eine explizite Darstellung der Streumatrixelemente Scc′ in (2.36) müssen die
Eigenwerte E (λ) und Eigenvektoren |x(λ) i von (2.50) berechnet werden. Es werden
hierbei die beiden möglichen Transmissionsrichtungen zwischen den Antennen a
und b betrachtet. Sie werden durch die beiden Streukanäle |ai und |bi repräsentiert. In der Eigendarstellung des effektiven Hamilton-Operators und für Messungen in Transmission (a 6= b) erhält man für das Streumatrixelement aus (2.36)
Sab = −2πi
X ha|V T |x(λ) ihx(λ) |V |bi
.
E − E (λ)
(2.51)
λ=±
Die Summe läuft hier über die beiden mit +“ und −“ benannten Resonanzzu”
”
stände |x(λ) i von H eff . Die Vektoren hx(λ) | sind die linken Eigenvektoren von H eff .
19
Sie sind weder die transponierten der rechten Eigenvektoren noch deren hermitesch adjungierte (vgl. Anhang A.2).
Zur Vereinfachung der Berechnung wird der Parameter C
C=
E1 − E2
2 (w + ih)
(2.52)
eingeführt. Für eine verschwindende Zeitumkehrbrechung geht |C| → ∞. Die
Eigenwerte und Eigenvektoren von H eff sind in Anhang A.2 gegeben.
Für eine kompaktere Darstellung der Ergebnisse werden Abkürzungen für die
auftretenden Kombinationen von Übergangsmatrixelementen
F
G
H
J
=
=
=
=
2πha|V T |1ih1|V |bi = 2πhb|V T |1ih1|V |ai ,
2πha|V T |2ih2|V |bi = 2πhb|V T |2ih2|V |ai ,
2πha|V T |1ih2|V |bi = 2πhb|V T |2ih1|V |ai ,
2πha|V T |2ih1|V |bi = 2πhb|V T |1ih2|V |ai
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
definiert. In diesen Größen treten nicht die Eigenzustände |x(λ) i von H eff auf,
sondern die Basiszustände |1i und |2i von H s .
Die Übergangsamplituden
Aλab = ha|V T |x(λ) ihx(λ) |V |bi
(2.57)
welche in Gleichung (2.51) auftreten, zerfallen in die beiden Faktoren
(λ)
γb
= hx(λ) |V |bi
(2.58)
und
γ̃a(λ) = ha|V T |x(λ) i .
(2.59)
arg(γa(λ) ) 6= arg(γ̃a(λ) ) .
(2.61)
Trotzdem kann man für den Zerfall des Zustands x(λ) in den Kanal a keine Par(λ)
(λ)
tialbreite definieren, da γa nach Betrag und Phase verschieden von γ̃a ist. Im
Allgemeinen ist also
|γa(λ) | =
6 |γ̃a(λ) |
(2.60)
und
Jede dieser Ungleichungen zerstört die Reziprozität.
20
Nach diesen Vorbemerkungen lassen sich die gesuchten Übergangsamplituden
schließlich mit
A+
ab
=
A−
ab =
A+
ba =
A−
ba =
C
1+ √
C2 − 1
1
F+
2
1/2
1/2
H−√
J,
2
C −1
C2 − 1
(2.62)
1
1/2
1/2
1
C
C
1− √
F+
1+ √
G− √
H+√
J,
2
2
2
2
2
C −1
C −1
C −1
C2 − 1
(2.63)
1
1
1/2
1/2
C
C
F+
G− √
H+√
J,
1+ √
1− √
2
2
C2 − 1
C2 − 1
C2 − 1
C2 − 1
(2.64)
1
1
1/2
1/2
C
C
1− √
F+
1+ √
G+ √
H−√
J
2
2
2
2
2
C −1
C −1
C −1
C2 − 1
(2.65)
1
2
C
1− √
C2 − 1
G+ √
angeben. Aus diesen Gleichungen wird ersichtlich, dass das in der vorliegenden
Arbeit entwickelte Modell den Fall C → 1 nicht beschreiben kann. Dies ist der
Fall, wenn die Stärke der Zeitumkehrbrechung (die Summe w + ih) von derselben
Größenordnung wie die Differenz der Eigenwerte des T -symmetrischen Systems
ist. Bis auf einen Vorfaktor i entspricht C der Größe B in [45], Gleichung (6).
Daher ist der hier entwickelte Formalismus ähnlich demjenigen, welcher bei der
Diskussion von Exceptional Points benutzt wurde. Der hier nicht weiter behandelte Fall C → 1 bedeutet, dass sich das System einem Exceptional Point nähert.
Addition von (2.62) und (2.63) bzw. (2.64) und (2.65) führt zu den Identitäten
−
A+
ab + Aab = F + G ,
−
A+
ba + Aba = F + G ,
(2.66)
welche sich experimentell überprüfen lassen (siehe Abschnitt 5.3 und 6.3). Zusätzlich bedeutet (2.66), dass nicht alle vier Parameter A±
cc′ voneinander unabhängig
sind.
Mit (2.66) lässt sich A−
ba durch die drei anderen Übergangsamplituden
+
−
+
A−
ba = Aab + Aab − Aba
(2.67)
ausdrücken. Somit ist die Übergangsamplitude A−
ba in Abhängigkeit von den bei−
den Amplituden in der umgekehrten Ausbreitungsrichtung, A+
ab und Aab , sowie
+
+
durch Aba gegeben. Die Amplitude Aba ist die einzige Information über das System, die nicht aus einer Messung von Sab gewonnen werden kann.
21
Um diese Sonderstellung zu verdeutlichen, wird der Parameter η
η ≡ A+
ba
(2.68)
eingeführt. Mit dieser Bezeichnung und (2.67) lässt sich der Streuprozess durch
A+
A−
ab
ab
−
i
+
− ,
ν − ν + + i Γ2
ν − ν − + i Γ2
η
η
= Sab − i
+i
−
Γ+
+
−
ν −ν +i 2
ν − ν + i Γ2
Sab =
Sba
−i
(2.69)
beschreiben. Dies verdeutlicht die Bedeutung von η. Für η = 0 gilt Sab = Sba ,
das Prinzip des detaillierte Gleichgewichts ist gegeben (es gilt sogar Reziprozität)
und es liegt keine Zeitumkehrbrechung vor. Ist η 6= 0, so tritt als Folge der Verletzung der Zeitumkehrsymmetrie eine Umgewichtung der Übergangsamplituden
zwischen der +“- und der −“-Resonanz auf und das System zeigt nichtreziprokes
”
”
Verhalten.
Im Prinzip ließe sich der Parameter C mit Kenntnis der einzelnen Übergangsmatrixelemente hν|V |ci, oder zumindest ihrer Verhältnisse zueinander, aus den
Gleichungen (2.62)-(2.65) bestimmen. Aus den hier durchgeführten Messungen
sind die Übergangsmatrixelemente nicht zugänglich, so dass η der experimentell
bestimmbare Parameter ist. Er verbindet eine gemessene Verletzung der Reziprozität mit der Zeitumkehrbrechung, wie sie im Rahmen des hier entwickelten
Modells eingeführt wurde. Um ein Maß für die Verletzung der Zeitumkehrinvarianz zu erhalten, könnte man auch den Betrag der Differenz von zwei Messungen
in Hin- und Rückrichtung bilden und über den Resonanzbereich integrieren [15].
Der Parameter η stellt jedoch ein Maß dar, welches besonders gut die in der vorliegenden Arbeit bestimmten Resonanzparameter nach (2.69) mit dem Prinzip
des detaillierten Gleichgewichts verknüpft.
Zusammenfassung Aus einem Vorgriff auf die experimentellen Ergebnisse der
vorliegenden Arbeit in Singulett-Systemen folgte, dass die Ankopplung an Mikrowellenkavitäten durch Antennen zeitumkehr-erhaltend ist. Mit diesem Befund
wurde in diesem Kapitel ein Modell entwickelt, das konsistent mit der Reziprozität von Singuletts ist. In Dublett-Systemen wird entsprechend diesem Modell
erwartet, dass sich eine Verletzung der Zeitumkehrsymmetrie durch eine Abweichung vom Prinzip des detaillierten Gleichgewichts manifestiert. In diesem Fall
charakterisiert die komplexe Größe η die Art und Stärke der Nichtreziprozität des
Systems.
22
3
Experimentelle Methoden
Dieser Abschnitt beschreibt die Grundlagen zu Experimenten an Mikrowellenkavitäten. Dazu wird auf die Konstruktion der Kavitäten, die Datenaufnahme und
die Datenanalyse eingegangen.
3.1
Aufbau und Vermessung von Mikrowellenkavitäten
0
1
11111
00000
0000000000
1111111111
0000000
1111111
0000
1111
0
1
00
11
0
1
00
11
0
1
00000111
11111
000
00
11
0000
1111
0000000000
1111111111
0000000
1111111
0
1
00
11
0
1
00
11
0
1
00000
11111
000
00
11
0000
1111
0
1
00
11
0
1
000000
11
11111111
00000
1111111111111111
0000000000000000
1111
0
1
00
11
0
1
00
11
d
f
d
a
b
c
1
0
0
1
11
00
00
11
e
Abb. 3.1: Schematischer Schnitt durch eine Kavität: a) Deckelplatte, b) Mittelplatte,
c) Bodenplatte, d) Schrauben, e) Lötzinn, f) Antenne. Eine typische Kavität besteht aus 5 mm dicken Platten und hat eine Grundfläche in der
Größenordnung von 30 × 50 cm2 .
Zumeist ist eine Forderung an die in Experimenten zum Quantenchaos verwendeten Kavitäten, dass sie der in Abschnitt 2.1 dargestellten Analogie zu der zweidimensionalen Schrödinger-Gleichung genügen. Daher ist es notwendig, flache Strukturen zu konstruieren. Dies geschieht durch einen dreilagigen Aufbau: Zwischen
eine ebene Boden- und eine Deckelplatte wird eine Platte gebracht, aus der die
Form der Kavität herausgefräst wurde. Die Platten sind aus sauerstoffarmem Kupfer hergestellt, um auch bei Raumtemperatur eine möglichst gute Leitfähigkeit,
verbunden mit geringen Absorptionsverlusten, zu ermöglichen. Typischerweise haben alle Platten die Stärke von 5 mm. Ein Querschnitt durch diesen Aufbau ist
in Abbildung 3.1 zu sehen. Die drei Platten werden durch Schrauben fest miteinander verbunden. Zusätzlich eingelassenes Lötzinn sorgt für einen nochmals
verringerten Übergangswiderstand zwischen den Platten.
In den so entstandenen Hohlraum muss Mikrowellenleistung ein- und ausgekoppelt werden. Hierzu werden in die Deckelplatte kleine Löcher (Durchmesser ca.
3 mm) gebohrt. In diese Löcher werden dünne Drähte (Durchmesser 0.5 mm) als
Dipolantennen eingebracht (vgl. Abbildung 3.1). Über diese kann eine elektromagnetische Welle in die Kavität ausgestrahlt werden bzw. kann ein in der Kavität
vorhandenes Wechselfeld in der Antenne Wechselspannungen erzeugen [35,46,47].
Die erforderlichen Hochfrequenzfelder werden durch einen Frequenzgenerator erzeugt und über Koaxialkabel zu der Einkopplungsantenne geleitet. Über dieselbe
oder eine zweite Antenne wird Leistung aus dem System ausgekoppelt und deren
23
Stärke mit der eingekoppelten Leistung verglichen. Die Aufgabe der Frequenzerzeugung und des Vergleichs von ausgekoppeltem zu eingekoppeltem Signal übernimmt ein sog. Vektorieller Netzwerkanalysator (VNA). Der Zusatz vektoriell“
”
bedeutet, dass nicht nur das Leistungsverhältnis bestimmt wird, sondern auch die
Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal.
Die experimentell zugänglichen Messgrößen sind daher das Verhältnis |A|2 zwischen eingekoppelter und ausgekoppelter Leistung und die Phasenverschiebung
∆φ der empfangenen Welle im Vergleich zur Referenzphase des Frequenzgenerators. Dies lässt sich als komplexe Größe |A| exp(i ∆φ) auffassen. Sie wird als
Funktion der Anregungsfrequenz gemessen, normalerweise im Bereich zwischen 0
und 20 GHz. In der vorliegenden Arbeit kommt der VNA von Hewlett Packard
(jetzt Agilent Technologies) Typ HP 8510C“ zum Einsatz.
”
3.2
Resonanzstruktur und komplexe Eigenwerte
Wird für Ein- und Auskopplung in eine Kavität dieselbe Antenne verwendet, so
wird von einer Reflexionsmessung“ gesprochen. Sind zwei verschiedene Antennen
”
beteiligt, so wird eine Transmissionsmessung“ durchgeführt. Das Gesamtsystem
”
aus Resonator und Antennen kann auch als Streusystem betrachtet werden. Über
einen Kanal (eine Antenne) wird eine Welle in den Mikrowellenresonator gesendet.
Diese wird dort gestreut und verlässt das System mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit durch einen bestimmten Kanal (wieder eine Antenne). Das gemessene
Verhältnis der ausgekoppelten Leistung Pout zur eingestrahlten Leistung Pin ist
ein Maß für die Übergangswahrscheinlichkeit vom Anfangskanal in den Endkanal. In der Streutheorie wird das Streusystem durch eine S-Matrix beschrieben.
Die Messung mit dem VNA kann im Rahmen dieser Theorie als Messung des
S-Matrixelements Scc′ gesehen werden (vgl. (2.35), S. 16). Gemäß der Konvention
wird zur Messung von Scc′ Leistung in Kanal c′ eingekoppelt und aus Kanal c
wieder entnommen.
Beobachtet man, z. B. in einer Transmissionsmessung, die Stärke der Transmission als Funktion der Frequenz, so lassen sich resonanzartige Strukturen erkennen
(Abb. 3.2). Wird zur Anregung der Kavität eine Frequenz gewählt, die nicht
mit einer Resonanzfrequenz übereinstimmt, so kann sich kein dazugehöriges Wellenbild aufbauen und keine Mikrowellenleistung in das Billard gelangen [35]. Für
Transmissionsmessungen (also Scc′ , c 6= c′ ) bedeutet dies keine transmittierte Leistung, in Reflexion (entsprechend Scc ) würde die komplette Energie am Übergang
zur Kavität reflektiert. Nur im Einflussbereich einer Resonanz kann die Kavität
die Leistung aufnehmen, es wird eine erhöhte Transmissions-, bzw. verminderte
Reflexionsleistung beobachtet. Obwohl Resonanzen in idealen Kavitäten nur bei
genau einer Frequenz auftreten, haben sie durch Ankopplung an verschiedene Zerfallskanäle (Antennen, Wand- und weitere Verluste) eine endliche Breite Γ. Diese
24
Pout/Pin (dB)
-20
-60
-100
1.2
1.6
2.0
2.4
Frequency (GHz)
2.8
Abb. 3.2: Typisches Transmissionsspektrum: In logarithmischer Darstellung ist das
Verhältnis zwischen ein- und ausgekoppelter Leistung als Funktion der Frequenz aufgetragen. Die Resonanz bei 1.46 GHz zeigt eine einfache BreitWigner Struktur, doch bereits das nächste Paar um 2 GHz lässt sich nur
unter Berücksichtigung von Interferenzeffekten verstehen.
totale Breite ist als FWHM (Full Width at Half Maximum) im Spektrum der
Leistungsverhältnisse gegeben. Es wird daher der komplexe Eigenwert
ωµ = 2π (νµ − i
Γµ
)
2
(3.1)
definiert. Wird diese Kreisfrequenz in den zeitabhängigen Anteil des Feldes,
exp(−iωµ t), eingesetzt, ergibt sich für nicht verschwindendes Γµ ein exponentieller
Zerfall. Zur Messung eines Eigenwertes ωµ muss also sowohl die Eigenfrequenz νµ
als auch die Breite Γµ der Resonanz bestimmt werden.
In komplexer Schreibweise hat die S-Matrix für den Übergang |bi → |ai entsprechend (2.51) und (2.57) die folgende Gestalt [48]
Sab (ν) = δab − i
X
µ
Aµab
ν − νµ + i Γ2µ
,
(3.2)
wobei die Summation über alle Resonanzen µ läuft. Die Breite der Resonanz ist
Γµ , und Aµab ist die komplexe Übergangsamplitude von Kanal b in Kanal a.
Für eine isolierte Resonanz mit der Resonanzfrequenz ν0 = ω0 /(2π) gilt für ν ≈ ν0
in Transmission die bekannte Breit-Wigner Form
|Sab |2 =
Γ1 Γ2
(ν − νeff )2 +
25
Γ2
4
,
Γ = Γ1 + Γ2 ,
(3.3)
wenn die Kavität nur über die Antennen Energie verliert und die Zeitumkehrinvarianz erhalten ist. In diesem Fall lassen sich den Zerfallskanälen eindeutige
Partialbreiten Γi zuordnen. Durch die endliche Güte
ν0
Q=
(3.4)
Γ
der Kavität wird die Resonanzfrequenz ν0 des verlustfreien Resonators leicht zu
νeff = ν0 − ∆ν < ν0 verschoben [35].
Die Ein-Niveau-Formel (3.3) ist eine gute Näherung zur Beschreibung von Resonanzen, deren Breiten im Vergleich zum mittleren Niveauabstand sehr klein sind.
Doch gerade bei der Untersuchung von normalleitenden Kavitäten, die auch noch
absorbierendes Material enthalten können, sind isolierte Niveaus die Ausnahme
und eine Überlagerung mehrerer Resonanzen die Regel. Da hier Interferenzeffekte eine wichtige Rolle spielen (vgl. Abbildung 3.2), ist die Summe in (3.2) über
mehrere Resonanzen zu berechnen. Werden bei diesen Interferenzen mehr als zwei
Resonanzen betrachtet, ist es bald nicht mehr zweckmäßig mit Absolutbeträgen
oder exakteren Formeln zu rechnen [49].
3.3
Datenanalyse
Die entscheidende Schnittstelle zwischen Theorie und Experiment stellt die Datenanalyse dar. Im Experiment wird die Antwort der Kavität auf eine eingestrahlte
Hochfrequenz-Leistung in Form von Transmissions- und Reflexionsspektren vermessen. Aus diesen Spektren müssen die Resonanzfrequenzen, die Breiten und
die komplexen Übergangsamplituden Aµab extrahiert werden. Sie bilden die Datengrundlage für eine weitere Auswertung und den Bezug zu theoretischen Betrachtungen.
Um die Gewinnung dieser grundlegenden Daten zu vereinfachen, wurde ein Programm zum Anpassen des theoretischen Resonanzverlaufs an gemessene Spektren
entwickelt. Dabei wird der komplexe Ausdruck (3.2) verwendet, welcher sich in
einfacher Weise auf beliebig viele Resonanzen erweitern lässt. Durch den VNA
gewinnt man die komplexen Streumatrixelemente in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz ν.
3.3.1
Bestimmung der Resonanz-Parameter
Für die mathematische Umsetzung wurde (3.2) auf die Form
Sab (ν) = s ei α e−2πi τ ν
δab − i
gebracht.
26
X
µ
Aµ ei φµ
ν − νµ + i Γ2µ
!
(3.5)
Hierbei sind die Parameter Aµ , φµ , νµ und Γµ voneinander unabhängig und müssen für jedes Paar an betrachteten Streukanälen a und b einzeln bestimmt werden.
Im Zähler des Polterms wird das Produkt zweier Zerfallsbreiten durch eine komplexe Amplitude dargestellt, im Nenner steht die Gesamtbreite Γµ . Des weiteren
werden zwei zusätzliche Terme eingeführt, die Fehler in der Kalibration des Netzwerkanalysators ausgleichen:
• seiα : Ein globaler, komplexer Skalierungsfaktor, der besonders in Reflexionsmessungen zur Beschreibung der Daten erforderlich ist. Selbst bei einer
Eichung des VNA werden nur die Einflüsse der Kabel, jedoch nicht die der
angeschlossenen Antennen berücksichtigt. Das kann zusätzlich zu leichten
Absorptionen und Phasenverschiebungen führen. In der vorliegenden Arbeit werden keine Reflexionsmessungen betrachtet, daher ist im Folgenden
s = 1 und α = 0.
• e−2πiτ ν : Dieser oszillierende Term beschreibt die frequenzabhängige Phasenverschiebung in den Koaxial-Zuleitungen. Dabei gibt τ die gesamte Signallaufzeit in den Leitungen an. Besonders bei Transmissionsmessungen ist
dieser Term wichtig.
Durch den Ansatz (3.5) ergeben sich für n betrachtete Resonanzen insgesamt
4n + 3 freie Parameter, die durch ein geeignetes Verfahren zu bestimmen sind.
Für den Optimierungsvorgang wurde eine Variante des Marquardt-Levenberg Algorithmus [50] angewandt. Dies ist ein Standardverfahren zur Anpassung nichtlinearer Funktionen f (x) an beobachtete Werte yi . Es basiert auf der Minimierung
des Ausdrucks
N
X
(f (xi ) − yi )2
2
χ =
.
(3.6)
2
σ
i
i=1
Die Summe läuft über alle N Datenpunkte. Die Abweichung der anzupassenden
Funktion f (xi ) vom Messwert yi wird mit dem Messfehler σi von yi gewichtet.
Die Abwandlung des Verfahrens bezieht sich auf die Erweiterung auf komplexe
Zahlen in der zu optimierenden Funktion. Das Einbeziehen von Real- und Imaginärteil von y entspricht einer Verdopplung der Datengrundlage im Vergleich zur
ausschließlichen Verwendung des Betrages von y. Eine Anpassung an komplexe
Daten liefert daher besser bestimmte Parameter. Des weiteren ermöglicht der
Marquardt-Levenberg Algorithmus eine Abschätzung der Fehler der ermittelten
Parameter [50]. Der Algorithmus berechnet die Matrix C der Kovarianzen. Die
Nebendiagonalelemente dieser Matrix beschreiben die Korrelationen zwischen den
Parametern. Die Diagonalelemente von C können zur Berechnung der Fehler δai
der Parameter ai verwendet werden. Ist das Rauschen in den Messdaten Gaußverteilt, so liegen die tatsächlichen Parameter in 68.3 % aller Fälle in den durch
δai gegebenen Schranken.
27
3.3.2
Programm GWignerfit“
”
Das Programm zur Durchführung der Anpassung, GWignerfit, wurde in der Programmiersprache C“ geschrieben. Als Entwicklungsplattform diente das Betriebs”
system Linux, da es flexibel einsetzbar ist, einfaches Entwickeln neuer Software
ermöglicht und durch die Open Source Struktur auf Grundlage der GPL [51] einen
kostengünstigen Einsatz in der Forschung ermöglicht. Als Grafikbibliothek wurde
Gtk+ [52] in der Version 2.2 eingesetzt. Es wurde der bereits in C“ geschriebe”
ne Marquardt-Levenberg Algorithmus aus [53] modifiziert und in das Programm
implementiert.
Durch die graphische Benutzeroberfläche können die gemessenen Daten interaktiv
betrachtet, und die Übereinstimmung mit der angepassten Theoriekurve beurteilt
werden. Es können Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil, sowie die Phase dargestellt werden. Anhand des Graphen werden die groben Positionen der Resonanzen
festgelegt, und ein erster Algorithmus sucht nach geeigneten Startparametern für
diese Resonanzen. Zur besseren Analyse der Daten lassen sich weitere Datensätze,
z. B. die Messungen anderer Antennenkombinationen, überlagern.
Im folgenden Schritt werden dann zuvor ausgewählte Parameter in (3.5), also maximal 4n + 3 Parameter bei n Resonanzen, an den Datensatz angepasst. Durch
geeignete Wahl der jeweils freigegebenen Parameter lassen sich so in mehreren
Durchgängen – begrenzt nur durch die Rechenleistung des verwendeten Computers – beliebig viele Resonanzen unter Berücksichtigung aller Interferenzen gleichzeitig anpassen. Danach können die gewonnenen Daten einschließlich der durch
die Korrelationsmatrix gegebenen Parameter-Unsicherheiten exportiert und für
die eigentliche Auswertung eines Experiments weiter verwendet werden. Eine typische Bildschirmausgabe des Programms ist in Abbildung 3.3 zu sehen.
Das Programm ermöglicht zur weiteren Datenanalyse durch eine Fast-Fourier”
Transformation“ (FFT) die Transformation der Spektren in den Zeitraum. Dieser
stellt die zeitliche Entwicklung des Systems dar und beschreibt, wie ein zum Zeitpunkt t = 0 eingebrachter Energiepuls durch den Ausgangskanal als Funktion der
Zeit wieder ausgekoppelt wird. So kann z. B. das Zerfallverhalten offener Systeme
analysiert werden [9, 54]. Für die Berechnung wurde eine FFT-Routine aus [53]
verwendet. Um Effekte der endlichen Datensatzlänge zu reduzieren, wurde die
Möglichkeit zur Verwendung von Fensterfunktionen geschaffen, die das Rauschniveau im transformierten Datensatz um ca. 40 dB absenken können. Das in
Kapitel 2.4 entwickelte Modell beschränkt sich auf den Frequenzraum, daher wird
diese Funktion im Verlauf der vorliegenden Arbeit nicht eingesetzt werden.
Um die korrekte Funktion der numerischen Implementationen zu verifizieren, wurden verschiedene Tests durchgeführt:
• Für eine erste Überprüfung wurden theoretische Kurven an verschiedene
Spektren mit einfachen“ Resonanzformen angepasst. Der visuelle Vergleich
”
28
Abb. 3.3: Darstellung der Bildschirmausgabe des Programms GWignerfit: Zu sehen ist
die Darstellung des Datensatzes zusammen mit der Theoriekurve (1). Die
beiden Graphen sind deckungsgleich. Im unteren Bereich sind die Parameter
der Resonanzen angegeben (2). Die vertikale Schattierung repräsentiert optisch die Breite der ausgewählten Resonanz (3). Die Messung einer weiteren
Antennenkombination wurde in grau überlagert (4).
der Kurvenverläufe zeigte eine sehr gute Übereinstimmung.
• Neben diesem qualitativen Kriterium konnte auch quantitativ festgestellt
werden, dass die χ2 -Werte durch die Optimierung jeweils verringert wurden.
• Zur Überprüfung der Fehlerabschätzungen wurde ein Datensatz mit genau
definierten Eigenschaften erzeugt. Die Daten einer Gerade wurden mit einem Gaußschen Rauschen belegt, so dass die Geradengleichung und die
Standardabweichungen bekannt waren. Das Anpassungsverfahren reproduzierte die angesetzte Gerade, und die extrahierten Fehler der Parameter
waren identisch mit der Standardabweichung des erzeugten Rauschens.
Durch diese Tests wurden der Algorithmus zur Parameteroptimierung und die
anschließende Fehlerberechnung erfolgreich überprüft. Das Programm kann zur
Analyse gemessener Spektren eingesetzt werden.
29
4
Untersuchung der ferromagnetischen
Resonanz
Im ersten experimentellen Teil dieser Diplomarbeit wurde der Umgang und das
Experimentieren mit ferrimagnetischen Materialien erlernt. Dabei sollte die in
Abschnitt 2.3.1 beschriebene Wirkungsweise von Ferriten experimentell überprüft
werden.
Die in Abschnitt 2.3.2 beschriebene Wechselwirkung zwischen Ferriten und zirkular polarisierten magnetischen Wechselfeldern lässt sich gut in Hohlleitern (auch
Wellenleiter genannt oder Waveguide in der englischen Literatur) überprüfen.
Daher wurde ein geeigneter Hohlleiter entwickelt und zur Untersuchung der ferromagnetischen Resonanz eingesetzt.
4.1
Rechteck-Wellenleiter
In einem Wellenleiter können sich in bestimmten Frequenzbereichen fortschreitende Wellen verlustfrei (bis auf Wandverluste) ausbreiten. Man unterteilt die möglichen Moden in zwei Kategorien: Das elektrische Feld der transversal elektrischen
(TE) Moden hat keine Komponente in Ausbreitungsrichtung. Bei transversal magnetischen (TM) Moden gilt dies entsprechend für das magnetische Feld.
z
b
y
x
a
Abb. 4.1: Schematische Darstellung eines rechteckigen Wellenleiters. Das Koordinatensystem wurde entsprechend der Konvention in [55] gewählt.
Ein wichtiger Spezialfall eines Hohlleiters besitzt einen rechteckigen Querschnitt
(vgl. Abbildung 4.1). In kommerziellen Anwendungen beträgt das Seitenverhältnis
a : b des Rechtecks zumeist etwas weniger als 2 : 1 (maximierter Energietransfer
bei maximalem Frequenzfenster). In Rechteck-Wellenleitern ist die TE10 Mode
von besonderer Bedeutung, daher wird sie auch dominante Mode genannt. Das
elektrische Feld der TE10 Mode hat in x-Richtung nur einen Schwingungsbauch
30
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
z
y
x
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
Abb. 4.2: Schematische Darstellung der TE10 Mode in einem rechteckigen Wellenleiter. In der xy-Ebene hat das magnetische Feld geschlossene Feldlinien, das
elektrische Feld steht hierzu senkrecht. In der zeitlichen Entwicklung läuft
das Wellenfeld durch den Hohlleiter.
und Knoten an den Wellenleiter-Wänden. In z-Richtung ist es konstant. Allgemein
hat eine TEnm Mode in x-Richtung n und in y-Richtung m Schwingungsbäuche.
Werden die Maxwell-Gleichungen für den rechteckigen Wellenleiter allgemein gelöst, so erhält man für die Wellenlänge λc oberhalb derer eine bestimmte TEnm
Mode anschwingen kann [55]
m2 n2
λc = 2
+ 2
b2
a
−1/2
.
(4.1)
(Der verwendete Index c stammt vom englischen Fachbegriff, der sog. CutoffWellenlänge.) Für m = 0 und n = 1 folgt demnach
λc = 2a
⇒
νc =
c
.
2a
(4.2)
Anschaulich passt bei dieser Frequenz gerade eine halbe Wellenlänge entlang der
x-Richtung in den Wellenleiter. Da bei doppelter Frequenz die TE20 Mode anschwingen kann, ist für den Ein-Moden-Betrieb das Frequenzfenster νc < ν < 2νc
zu wählen.
4.2
Wellenleiter als Isolator
Das magnetische und das elektrische Feld im Inneren eines rechteckigen Hohlleiters sind in Abbildung 4.2 schematisch dargestellt. Als Funktion der Zeit bewegt
sich das gesamte Wellenbild in Richtung des Energieflusses.
Magnetische Feldvektoren ziehen am Standpunkt eines ortsfesten Beobachters
vorbei und ändern dabei ständig ihre Richtungen. Steht der Beobachter am Rand
oder auf der Symmetrieachse des Systems, so sieht er ein linear polarisiertes Wechselfeld. In den Punkten dazwischen bemerkt er ein elliptisch polarisiertes magne31
tisches Feld. Es gibt genau einen Abstand vom Rand,
x=
a
1
arctan r 2
π
ν
νc
,
(4.3)
−1
an dem das Feld zirkular polarisiert ist ([55], S. 122). Der Drehsinn hängt dabei
von der Ausbreitungsrichtung des gesamten Wellenfeldes ab.
Wie in Abschnitt 2.3.2 erörtert, wird ein Ferrit, der am Ort zirkularer Polarisation
angebracht und durch ein externes Feld magnetisiert ist, stark mit einer der beiden
Komponenten der zirkularen Polarisation wechselwirken. Dadurch wird Energie
dissipiert und diese Komponente nicht durch das System übertragen.
Somit lässt sich Energie bei der Frequenz der ferromagnetischen Resonanz nur in
einer Richtung durch einen Wellenleiter mit Ferrit transportieren. In die andere
Richtung wirkt er als isolierendes Bauelement. In der Anwendung wird solch ein
Element daher Isolator genannt.
4.3
Konstruktion eines Wellenleiters
Bei der Entwicklung des Wellenleiters mussten im Wesentlichen zwei Gesichtspunkte berücksichtigt werden.
1. Der Wellenleiter sollte einen ähnlichen Aufbau wie die verwendeten Kavitäten haben, damit sich hier gewonnene Ergebnisse leicht auf die Situation im
Billard übertragen ließen. Somit war es wünschenswert, Boden und Deckel
aus jeweils 5 mm starkem Kupfer zu fertigen und für die Höhe des eigentlichen Hohlleiters ebenfalls 5 mm anzusetzen. So konnten für die Experimente im Wellenleiter und im Billard gleich dimensionierte Ferrite verwendet
werden, welche auch in identische externe Magnetfelder gebracht werden
konnten.
2. Da in der vorliegenden Arbeit isolierte Singuletts und Dubletts untersucht
werden sollten, waren Messungen im Bereich geringer Niveaudichte nötig.
Dies bedeutete Messungen bei relativ niedrigen Frequenzen. Es wurde angestrebt, dass der Wellenleiter im Frequenzbereich von 2 bis 4 GHz seinen
Arbeitsbereich (TE10 Mode) hat.
Daher wurde für den Hohlraum eine Breite von 72 mm gewählt. Dies bedeutet
nach Formel (4.2) eine Abschneidefrequenz νc von 2.08 GHz; die nächste Mode
kann erst ab der doppelten Frequenz (4.16 GHz) angeregt werden. Die innere
Höhe wurde auf 5 mm festgelegt. Die Länge des Hohlleiters zwischen den beiden
Abschlüssen wurde zu 300 mm angesetzt. Der relevante Teil der Konstruktionszeichnung ist in Anhang C wiedergegeben. Der prinzipielle Unterschied zwischen
32
Hohlleiter und Resonator ist, dass sich in ersterem nicht nur diskrete Wellenlängen ausbreiten können, sondern ganze Bereiche von Wellenlängen transmittiert
werden. Der Resonator ist ein geschlossenes System, der Wellenleiter ist offen“
”
in dem Sinne, dass es keine stehenden Wellen gibt. Dies ist durch eine Impedanzanpassung an den Ein- und Auskoppelstellen zu erreichen. Passt die Impedanz
der Antennen in einem möglichst breiten Bereich zur Impedanz des Wellenleiters, wird im Übergang zwischen Koaxial-Leitung und Wellenleiter wenig Energie
reflektiert, die Welle kann übertragen werden.
Für die Form der Antennen wurde die in Experimenten mit Mikrowellenkavitäten übliche Bauform von Dipolantennen verwendet. Durch TransmissionsSimulationen mit CST Microwave Studio [56] gelang eine optimale Abstimmung
des Systems. Dies bedeutet, dass der Wellenleiter über das gesamte betrachtete
Frequenzfenster (ca. 2 GHz bis 4 GHz) eine maximale Transmission aufweist. Dabei zeigte sich, dass der Antennendraht am besten von oben (der Deckelplatte) in
den Wellenleiter hineingeht und ihn unten (durch die Bodenplatte) wieder verlässt.
Von unten konnte ein weiteres kurzes Koaxialkabel mit angelötetem Kurzschluss
zur Impedanzanpassung angebracht werden; dies entspricht einer Variante des in
der Literatur Stub-Tuning“ genannten Verfahrens [55]. Simulationsparameter im
”
Programm Microwave Studio waren die Länge dieses Kurzschluss-Kabels und der
Abstand der (in Querrichtung mittig angebrachten) Antennen vom Kurzschluss,
dem Ende des Wellenleiters. Eine schematische Darstellung des Aufbaus gibt Abbildung 4.3.
0110
0
1
0
1
000
111
0
1
000
111
11111
00000
11111111111111111
00000000000000000
1111
0000
0
1
0
1
00000
11111
00000000000000000
0000
1111
000
111
0
1
000
111
0
1
00000101011111111111111111
11111
00000000000000000
11111111111111111
0000
1111
0
1
10
0
1
N
S
N
S
Abb. 4.3: Nicht maßstabsgetreuer Längsschnitt durch den Wellenleiter: Es sind die
beiden durchgehenden Antennen sowie eine in der Mitte platzierte FerritProbe mit zwei äußeren Permanentmagneten dargestellt. Der Hohlraum ist
300 mm lang und 5 mm hoch, die Antennen haben einen Durchmesser von
0.5 mm.
Die so ermittelten Parameter des Wellenleiters sind:
• Abmessungen des inneren Hohlraums: 72 × 5 × 300 mm3
• Außenabmessungen: 112 × 15 × 340 mm3
33
• Abstand der Antennen zum Kurzschluss des Wellenleiters: 32.5 mm
• Länge des Kurzschluss-Kabels: 26.2 mm
Am fertigen Wellenleiter wurden Befestigungsmöglichkeiten für neu entwickelte
Magnethalterungen angebracht. Diese Magnethalterungen bestehen aus zwei beweglichen Armen, die seitlich an eine Kavität geschraubt werden können. An diesen Armen befinden sich zwei Halterungen (deren Position an den Armen variiert
werden kann) für zylindrische Permanentmagnete mit einem maximalen Durchmesser von 20 mm. Über ein Gewinde mit der Steigung 1 mm/Umdrehung kann
der Abstand der Magnete genau eingestellt und über eine angebrachte Skala mit
Unterteilungen in 5-Grad-Schritten abgelesen werden. Somit können Feldstärken
zwischen 28.5 mT und 360 mT in der Mitte des Wellenleiters erzeugt werden.
Abb. 4.4: Der fertig aufgebaute Wellenleiter: Zu erkennen sind die beiden KoaxialLeitungen, die Magnethalterung aus Aluminium und der modular aufgebaute Wellenleiter aus Kupfer. Deckel- und Bodenplatte sind dreigeteilt um
den Einbau der durchgehenden Dipolantenne zu ermöglichen.
Ein Foto des Wellenleiters zeigt Abbildung 4.4. Ein Transmissionsspektrum der
leeren Apparatur (d. h. ohne Ferrit) ist in Abbildung 4.5 gezeigt. Wie berechnet,
liegt das Transmissionsfenster im Bereich von ca. 2 bis 4 GHz. Es ist zu sehen, dass
34
|Sab|
1.0
0.5
without stub
with stub
0.0
2.5
3.5
4.5
Frequency (GHz)
2.5
3.5
4.5
Frequency (GHz)
Abb. 4.5: Leerer Wellenleiter: Links ist ein Transmissionsspektrum ohne angebrachtes
Kurzschluss-Kabel gezeigt, rechts wurde es angeschlossen. Nur im Frequenzbereich unter 3.5 GHz zeigt das System mit Kurzschluss-Kabel eine größere
Transmission.
das Anbringen des Kurzschluss-Kabels entgegen der Simulation die Transmissionseigenschaften des Systems nur im Frequenzbereich unter 3.5 GHz verbessert,
darüber aber eher negative Auswirkungen hat. Es wird demnach nur für Frequenzen unter 3.5 GHz eine verbesserte Impedanzanpassung erreicht. In den weiteren
Messungen wurde es nicht mehr angebracht, da die auf der Unterseite angebrachten Schraubverbindungen für den Anschluss der beiden Kabel offensichtlich für
eine ausreichende Impedanzanpassung genügen.
Wie in Abbildung 4.5 ebenfalls zu sehen, ist das Transmissionsverhalten des Hohlleiters nicht perfekt und kann sich in dieser Hinsicht nicht mit kommerziellen Produkten messen. Da es kommerziell aber fast nur rechteckige Wellenleiter mit dem
Verhältnis von Breite zu Höhe von nahezu 2:1 gab, konnte nicht auf ein fertiges
Produkt zurückgegriffen werden. Wie der nächste Abschnitt zeigt, ist die hier
erlangte Qualität zur Untersuchung der dissipativen Eigenschaften von Ferriten
jedoch ausreichend.
4.4
Messungen am Wellenleiter
Um eine optimale Wirkung des Ferrits zu garantieren, sollte er sich am Ort zirkularer Polarisation des magnetischen Feldes befinden. Diese Position ist durch
Gleichung (4.3) gegeben. Da der Ort entsprechend dieser Gleichung jedoch frequenzabhängig ist, müsste der Ferrit für jede untersuchte Frequenz neu positioniert werden. Daher wurde als Mittelwert für den betrachteten Frequenzbereich
(2 GHz bis 4 GHz) ein Abstand von x = 72/4 mm = 18 mm von der seitlichen
Berandung gewählt. In Längsrichtung wurden die Ferrit-Proben auf halbem Wege
zwischen den beiden Antennen positioniert.
35
Im Experiment wurden an diesem Ort unterschiedliche Ferrit-Proben befestigt, ein
externes Magnetfeld variabler Stärke angebracht und die Transmission durch den
so entstandenen Isolator mit dem VNA gemessen. Hierfür wurde die Transmission
durch das System in beiden Ausbreitungsrichtungen ermittelt.
Als Produkt hat das verwendete Ferrit-Material die Bezeichnung CV19“. Es zeich”
net sich durch eine geringe Linienbreite4 von ∆H = 17.5 Oe und eine Sättigungsmagnetisierung von 4πMS = 1859 G aus. Von der Form her handelt es sich um
Zylinder mit der Höhe von jeweils 5 mm und Durchmessern zwischen 4 mm und
10 mm.
Zunächst wurde ein Ferrit mit 10 mm Durchmesser untersucht. Zur Magnetisierung wurde von oben und unten jeweils ein zylindrischer Neodym-Bor-EisenMagnet mit der Höhe von 10 mm und dem Durchmesser von 20 mm angebracht.
Ein für diesen Versuchsaufbau typisches Transmissionsspektrum ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Im Vergleich zu Abbildung 4.5 sieht man, dass das Einbringen dieses Ferrits die Transmissionseigenschaften des Systems stark beeinflusst.
Darüber hinaus unterscheidet sich die Transmission in den beiden Richtungen
deutlich. Dies zeigt die Verletzung der Zeitumkehrinvarianz. Es macht einen Unterschied, ob Energie von links nach rechts“ oder in umgekehrter Richtung durch
”
das System geschickt wird. Es ist keine Reziprozität mehr gegeben, die S-Matrix
ist nicht mehr symmetrisch: S12 6= S21 .
Jedoch lässt sich mit diesem Resultat die ferromagnetische Resonanz nicht genau
vermessen. Die starke Absorption in S21 bei 2.96 GHz ist zwar ein erstes Indiz,
durch die ausgeprägten Effekte bei höheren Frequenzen können aber keine klaren
Aussagen getroffen werden.
Es zeigte sich, dass eine bessere Vermessung der ferromagnetischen Resonanz an
kleineren Ferriten möglich ist. Der Grund hierfür ist, dass mit den relativ kleinen
Magneten (Durchmesser nur 20 mm) über die Grundfläche der größeren verfügbaren Ferrite (Durchmesser bis 10 mm) kein ausreichend homogenes Magnetfeld
erzeugt werden kann. Deshalb wurde schließlich der kleinste zur Verfügung stehende Ferrit untersucht, ein Zylinder mit nur 4 mm Durchmesser.
Aus der Messreihe sind vier ausgewählte Spektren in Abbildung 4.7 gezeigt. Im
Vergleich zur Messung mit dem Ferrit von 10 mm Durchmesser ist die bessere Lokalisierung des Effekts der T -Brechung sofort ersichtlich. Es ist gut zu erkennen,
wie Energie durch die ferromagnetische Resonanz in einer Ausbreitungsrichtung
absorbiert wird. In Übereinstimmung mit Gleichung (2.30) auf Seite 13 verschiebt
sich die Resonanz mit wachsendem externen Magnetfeld zu höheren Frequenzen.
Insgesamt wurde das System bei neun unterschiedlichen Magnetfeldern zwischen
4
Die Linienbreite eines Ferrits ist bei konstant gehaltener Frequenz und variiertem Magnetfeld
definiert als die Differenz zwischen denjenigen Feldstärken auf beiden Seiten der Resonanz,
bei denen der Imaginärteil χ′′ des Diagonalelements des Suszeptibilitätstensors aus (2.26) nur
noch die Hälfte seines Wertes an der Resonanz selbst hat [57].
36
S12
S21
1.00
|Sab| (a.u.)
0.75
0.50
0.25
0.00
2
3
4
Frequency (GHz)
5
Abb. 4.6: Transmissionsspektrum des Wellenleiters bestückt mit einem Ferrit von
10 mm Durchmesser. Dargestellt ist die Transmission in Hin- und Rückrichtung durch das System bei einem externen Magnetfeld von 158 mT.
Wegen der Brechung der Zeitumkehr gilt |S12 | = |S21 | nicht; es ist keine
Reziprozität mehr gegeben.
46 mT und 96 mT untersucht. Nach Gleichung (2.30) wird ein linearer Zusammenhang zwischen der Frequenz der ferromagnetischen Resonanz und dem externen
Magnetfeld erwartet. Wie in Abbildung 4.8 gezeigt, sind die Messdaten gut mit
dieser Annahme verträglich. Die angepasste Gerade ist
ν(B) = (0.0268 ± 0.0004)
GHz
B + (1.50 ± 0.03) GHz.
mT
(4.4)
Unter Verwendung von (2.22) mit g = 2 und der Umrechnung von der Kreisfrequenz ω zur Frequenz ν in Gleichung (2.30) wird für die Gerade eine Steigung
von γ = 0.028 GHz/mT erwartet. Dieser Wert gilt exakt für ferromagnetische
Materialien. Da hier ein Ferrimagnet vermessen wurde ist aber Gleichung (2.31)
anzuwenden in der ein effektives gyromagnetisches Verhältnis γeff die Steigung
bestimmt. Dies macht es verständlich, dass im Experiment eine leicht von γ abweichende Steigung von 0.0268 GHz/mT bestimmt wurde. Daher kann gefolgert
werden, dass in diesem Experiment tatsächlich die Position der ferromagnetischen
Resonanz erfasst wurde.
37
0.8
|Sab| (a.u.)
0.4
0
46 mT
61 mT
75 mT
90 mT
0.8
0.4
0
2
3
4
Frequency (GHz)
2
3
4
Frequency (GHz)
Abb. 4.7: Vier Transmissionsspektren des Wellenleiters mit einem Ferrit von 4 mm
Durchmesser bei verschiedenen externen Magnetfeldern. Dargestellt sind die
Spektren aus Messungen in Hin- und Rückrichtung durch den Wellenleiter.
Die Pfeile geben die Position der ferromagnetischen Resonanz an, an der
eine Transmissionsrichtung verstärkte Absorption zeigt. Über den restlichen
Frequenzbereich sind beide Spektren beinahe deckungsgleich.
Durch die Untersuchung von Ferrimagnetika in Hohlleitern ist es also möglich, mit
relativ geringem Aufwand absorptionsbedingte nichtreziproke Effekte zu untersuchen. Es konnte gezeigt werden, dass kleine Ferrit-Proben mit den zur Verfügung
stehenden Mitteln hinreichend gut magnetisiert werden können. Die Absorption
am Ferrit-Zylinder mit 4 mm Durchmesser wurde genau charakterisiert, so dass
sich die Position der ferromagnetischen Resonanz auch hin zu höheren Frequenzen
extrapolieren lässt. Somit wurde die Grundlage für gezielte Untersuchungen von
Mikrowellenkavitäten mit eingebrachten Ferriten geschaffen.
38
Resonance frequency (GHz)
4.5
data
linear fit
3.5
2.5
40
60
80
External magnetic field (mT)
100
Abb. 4.8: Die Datenpunkte geben die Positionen der ferromagnetischen Resonanz im
Wellenleiter mit einem Ferrit von 4 mm Durchmesser in Abhängigkeit vom
externen Magnetfeld an. Zusätzlich ist die an die Datenpunkte angepasste
Gerade (4.4) eingezeichnet. Der Frequenzfehler der Datenpunkte ist kleiner
als die Symbolgröße.
39
5
Kreuzbillard
Es ist nicht möglich, Billards zu konstruieren, in denen nur eine einzige Resonanz
als Singulett, bzw. zwei Resonanzen als Dublett auftreten. Das unbeschränkte
Spektrum des Systems bedeutet immer, dass es unendlich viele Resonanzen gibt
und daher keine Kavitäten mit echten“ Ein- oder Zwei-Niveau-Systemen existie”
ren können. Jedoch ist es durch geschickte Wahl der Berandung möglich, weitgehend isolierte Singuletts und Dubletts zu präparieren. Da die Niveaudichte der
Eigenzustände mit wachsender Quantenzahl stark zunimmt, bietet sich hierzu
praktisch nur der Bereich sehr niedriger Quantenzahlen an.
Im Folgenden wird ein Billard-System vorgestellt, das diesen Anforderungen entspricht: das Kreuzbillard.
5.1
Konstruktion
Bei der Konstruktion wurden folgende Forderungen berücksichtigt:
1. Im Frequenzraum sollte das System zum einen eine isoliert liegende Eigenmode, ein Singulett, besitzen. Zusätzlich musste es aber auch noch ein von
den restlichen Zuständen isoliert liegendes System von zwei eng benachbarten Eigenzuständen, ein Dublett, aufweisen.
2. Die genannten Eigenzustände sollten bei relativ hohen Frequenzen liegen
(> 3 GHz), damit die verwendeten Ferrite möglichst gut magnetisiert werden können. (Die ferromagnetische Resonanz liegt für ein externes Feld von
56 mT bereits bei 3 GHz, vgl. Kapitel 4.4.)
3. Die mechanische Konstruktion sollte einfach sein, so dass eine schnelle Fertigung möglich ist. Sie sollte jedoch gleichzeitig eine gute Reproduzierbarkeit
der Messungen gewährleisten.
Die Bedingung (1) ließ sich durch die Wahl der Geometrie der Berandung erfüllen.
Ein kreuzförmiges System mit zwei geringfügig unterschiedlich langen Seitenarmen zur Brechung der Spiegelsymmetrie der Kavität (Abbildung 5.1) zeigte in
Simulationen, dass es die geforderten Eigenzustände besitzt. Durch die ungewöhnlich kleine Bauform (die Armlängen betragen jeweils nur ca. 80 mm) konnte die
Bedingung (2) erfüllt werden. Der Grundzustand liegt erst bei 3.2 GHz. Schließlich konnte durch den bekannten modularen Aufbau des Systems [58] eine schnelle
Herstellung garantiert werden, und der erstmalige Einsatz von fest angebrachten Positionierungshilfen ermöglichte das einfache, spielfreie Zusammensetzen des
Systems.
40
Abb. 5.1: Oben: Das Foto zeigt die mittlere Platte des Kreuzbillards. Es ist zu erkennen, dass aus der 5 mm starken Cu-Platte die Kontur eines Kreuzes
herausgeschnitten ist. Die vier seitlich angebrachten Stahl-Quader ermöglichen eine schnelle, leichtgängige und auch spielfreie Montage der Bodenund Deckelplatte.
Unten: ein Blick auf die Bodenplatte des fertig zusammengebauten Kreuzbillards mit angebrachter Magnethalterung.
41
Der Resonator besteht aus drei übereinander geschichteten Kupfer-Platten mit
Außenabmessungen von jeweils 120 × 120 × 5 mm3 . Aus der Mittelplatte wurde
die Kontur eines Kreuzes herausgeschnitten, dessen Arme eine Länge von 81 mm
bzw. 81.5 mm und eine Breite von 41 mm haben. Zusätzlich wurde in die Mittelplatte neben die Kontur beidseitig eine Nut zur Aufnahme von Lötzinn gefräst
(vgl. Abbildung 5.1, oben), welches einen guten elektrischen Kontakt zu Boden-
81.0 mm
81.5 mm
1
2
3
F
4
Abb. 5.2: Schematische Darstellung zu den Antennenpositionen im Kreuzbillard. Die
Nummerierung der Antennen (ausgefüllte Punkte) entspricht der im Text
verwendeten Nomenklatur. Ebenfalls dargestellt ist die Ferrit-Position F“
”
(nicht ausgefüllter Kreis). Die kurz gestrichelten Linien verdeutlichen die
geometrischen Positionen der Antennen und des Ferrits.
und Deckelplatte sicherstellt. Die Deckelplatte wurde so hergestellt, dass bis zu
vier Antennen zur Einkopplung der Mikrowellenleistung angebracht werden können. Die Positionen der Antennen sind in Abbildung 5.2 gezeigt. Die Konstruktionszeichnung der Mittelplatte ist in Anhang C wiedergegeben.
Ein Spektrum des Kreuzbillards ist in Abbildung 5.3 gezeigt. Das Spektrum zeigt
eine deutliche periodische Substruktur. Die Periode dieser Schwankungen beträgt
ca. 31 MHz. Dies entspricht einer Strecke von
√
c0 / 2.1
l=
= 6.7 m
31 MHz
42
(5.1)
Pout/Pin (dB)
0
-20
-40
3
4
5
Frequency (GHz)
6
7
Abb. 5.3: Ausschnitt aus dem Spektrum des leeren Kreuzbillards: Der Grundzustand
und das Dublett sind erkennbar. Bei 6.02 GHz liegt noch ein Zustand, der
durch die hier verwendeten Antennen 2 und 3 nicht angeregt werden kann.
in Koaxialkabeln (ǫr = 2.1 ist die Dielektrizitätskonstante von Teflon). Die gesamte Länge der angeschlossenen Kabel zwischen VNA und Kavität entspricht diesem Wert. Bei dieser Länge können sich auf den Verbindungskabeln alle 31 MHz
stehende Wellen aufbauen. Es fällt ein Wellenknoten mit der Spitze der in die
Kavität hineinragenden Dipolantenne zusammen. Daher kann die Antenne gut
Energie abstrahlen, wodurch es zu einer erhöhten direkten Transmission zwischen
den Antennen kommt. Dieser Effekt ist in kleinen Systemen dominanter, da hier
die direkte Leistungsübertragung zwischen den Antennen eine größere Bedeutung
hat. Wurde die Länge der Koaxialkabel im Experiment verkürzt, so wurde entsprechend (5.1) eine Vergrößerung der Periode beobachtet. Um diese störenden
Einflüsse zu unterdrücken wurden in den weiteren Messungen möglichst kurze
Antennen verwendet, die nur 0.5 mm in die Kavität hineinragten.
Der Grundzustand liegt bei 3.19 GHz, der Abstand zum zweiten Zustand beträgt
1750 MHz. Da der erste Zustand eine Breite von nur 1.32 MHz hat, ist es gerechtfertigt, ihn als isoliertes Singulett zu betrachten. Ebenso bilden die beiden
Zustände bei ca. 4.95 GHz ein isoliertes System, da dieses Dublett zum nächsten
Zustand einen Abstand von ca. 1 GHz hat. Durch die unterschiedlichen Armlängen des Billards wird eine Aufspaltung des Dubletts von 24.5 MHz erzielt.
43
5.2
Vermessung des Singuletts
Bei allen im Folgenden beschriebenen Messungen wurde der bereits im Hohlleiter
vermessene Ferrit (4 mm Durchmesser) verwendet. Er befand sich an der Position F“ des Kreuzbillards (vgl. Abbildung 5.2). Es wurden auch andere Ferrit”
Positionen untersucht, aber es zeigte sich, dass er am Ort F“ die größten Abwei”
chungen von der Reziprozität verursachte.
Zunächst wurde der erste Singulett-Zustand der Kavität untersucht. Dafür wurde die Resonanzform für verschiedene externe Magnetfelder vermessen. Um zu
zeigen, welche Vielzahl an Formen die Resonanz dabei annehmen kann, sind in
Abbildung 5.4 vier Transmissionsspektren dargestellt. In der Abbildung sind die
0.15
0 mT
75 mT
85 mT
114 mT
0.10
|Sab| (%)
0.05
0.15
0.10
0.05
2.9
3.1
3.3
Frequency (GHz)
2.9
3.1
3.3
Frequency (GHz)
Abb. 5.4: Transmissionsspektren im Kreuzbillard: Zum besseren Vergleich ist die
Transmission in derselben Skala aufgetragen. Die Stärke des externen Magnetfeldes ist angegeben. Die Resonanz bei 75 mT ist noch einmal verkleinert
eingezeichnet. Alle Graphen zeigen die Transmission in Hin- und Rückrichtung zwischen den Antennen 2 und 3. Die Spektren sind deckungsgleich.
Beträge von S23 und S32 eingezeichnet. Dies sind die Transmissionen zwischen
den Antennen 2 und 3 in beiden Richtungen5 (vgl. Abbildung 5.2 zur Position
5
Im Folgenden werden die Antennen der Kavitäten abweichend von dem theoretischen Teil der
vorliegenden Arbeit entsprechend der experimentellen Praxis mit Nummern bezeichnet.
44
Pout/Pin (dB)
-50
-60
-70
-80
2.9
3.0
3.1
Frequency (GHz)
3.2
Abb. 5.5: Gezeigt ist ein Ausschnitt eines Transmissionsspektrums des Singuletts im
Kreuzbillard (Punkte) bei einem externen Magnetfeld von 75 mT (vgl.
Abb. 5.4, rechts oben). Zusätzlich ist eine angepasste Breit-Wigner-Kurve
(durchgezogene Linie) eingezeichnet.
der Antennen). Durch das Einbringen des Dielektrikums hat sich das optische
Volumen der Kavität vergrößert, so dass der Grundzustand ohne externes Magnetfeld (B = 0 mT) bereits bei 3.03 GHz liegt, 160 MHz tiefer als im leeren
System. Bei allen untersuchten Magnetfeldern ist im Rahmen des Rauschens der
Messung keine Verletzung der Reziprozität festzustellen. Die beiden Spektren sind
deckungsgleich (d. h. Betrag und Phase sind jeweils identisch), obwohl die Einflüsse des Ferrits bei 85 mT und 114 mT sehr stark sind. In Abschnitt 2.4 wurde die
Wechselwirkung V bei der Herleitung des Streumodells als zeitumkehr-erhaltend
angenommen, da nur so die hier beobachtete Erhaltung der Reziprozität gewährleistet ist. Hätte diese ankoppelnde Wechselwirkung T -brechende Eigenschaften,
wäre nur das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts erhalten gewesen, in den
Phasen hätten sich aber Unterschiede zeigen müssen.
Zur weiteren Analyse sollen (soweit möglich) die Form der Resonanz, die Resonanzparameter und der Zusammenhang mit der ferromagnetischen Resonanz
untersucht werden:
Form der Resonanzen Sowohl ohne externes Magnetfeld als auch mit einer
Feldstärke von 75 mT lässt sich die Resonanzform gut durch eine Breit-WignerKurve nach (3.2) beschreiben. Ein entsprechendes Spektrum mit einer angepassten
Theoriekurve ist in Abbildung 5.5 gezeigt. Bei 85 mT und 114 mT wird das
45
Bild der Resonanz durch absorptive Einflüsse des Ferrits stark gestört und die
isolierte Resonanz lässt sich nicht mehr durch ein einfaches Ein-Zustands-Modell
beschreiben.
Resonanzparameter Für die Spektren bei 0 mT und 75 mT wurden die
Resonanzparameter für S23 und S32 bestimmt. Die sieben Parameter aus Gleichung (3.5) auf Seite 26 waren hierbei frei. In diesen und allen folgenden Messungen wurden die gleichen starren Verbindungskabel zwischen VNA und Kavität verwendet. Die Signallaufzeit in den Kabeln wurde experimentell gemessen,
durch mehrere Anpassungen bestimmt und auf den Mittelwert von τ = 20.693 ns
festgelegt. Ebenso wurde die globale Phase auf α = 0 festgesetzt und der Skalierungsfaktor s = 1 gewählt. Somit sind dies keine freien Parameter und der
Ausdruck (3.5) enthält keine Mehrdeutigkeiten. Die drei Größen τ, α, s wurden in
allen nachfolgend vorgestellten Auswertungen so gewählt. Damit bleiben für ein
Singulett vier freie Parameter, die bestimmt werden müssen.
Tabelle 5.1: Resonanzparameter des Singuletts im Kreuzbillard: Zu jeder Feldstärke
B sind die Frequenz ν, die Breite Γ, die Amplitude A und die Phase φ
der Resonanz angegeben, die entsprechenden Fehler stehen darunter.
S-Param.
S23
B (mT)
0
S32
0
S23
75
S32
75
ν (GHz)
3.03345
±0.00009
3.03328
±0.00009
3.05373
±0.00008
3.05381
±0.00008
Γ (MHz)
25.8
±0.2
25.9
±0.2
11.9
±0.2
12.0
±0.2
A (Hz)
19025
±61
19012
±61
18559
±50
18671
±50
φ (deg)
-224.8
±0.4
-224.9
±0.4
133.0
±0.4
137.0
±0.4
Die ermittelten Parameter und deren Unsicherheiten sind in Tabelle 5.1 zusammengestellt. Die angegebenen Fehler entstammen zwei Quellen: Ein Beitrag ist
der durch das Optimierungsverfahren ermittelte statistische Fehler (vgl. Kapitel 3.3.1). Zusätzlich ist aber zu berücksichtigen, dass sich die Eigenschaften
der Kavität selbst innerhalb der Messdauer (wenige Minuten) verändern können
(durch Temperaturschwankungen oder Relaxationsprozesse an den Übergängen
zwischen den Kupfer-Platten). Somit erhält man in aufeinander folgenden Messungen Resultate, die sich um mehr als den statistischen Fehler unterscheiden.
Um diese systematischen“ Fehler abzuschätzen, wurden vom Kreuzbillard acht
”
Spektren mit einer Auflösung von 200 kHz nacheinander aufgezeichnet, die Parameter mehrerer Resonanzen ermittelt, die Standardabweichung dieser Parameter
berechnet und zu jeweils einem Mittelwert zusammengefasst. Daraus resultieren
46
die systematischen Fehler
∆ν = 75 kHz, ∆Γ = 225 kHz, ∆A = 33 Hz, ∆φ = 0.4◦
(5.2)
im Parametersatz. Beide Beiträge zum Gesamtfehler werden als statistisch unkorreliert betrachtet und daher nach Gaußscher Fehlerfortpflanzung quadratisch
addiert.
Die ermittelten Parametersätze (Tabelle 5.1 und Abbildung 5.4) bestätigen, dass
sich an diesem Singulett keine Abweichungen von der Reziprozität nachweisen
lassen.
Zusammenhang mit der ferromagnetischen Resonanz Aus den Messungen am Wellenleiter ist die Frequenz der ferromagnetischen Resonanz in Abhängigkeit vom externen Magnetfeld bekannt. Wird (4.4) nach B aufgelöst,
B(ν) =
1 mT
(ν − 1.5 GHz) ,
0.0268 GHz
(5.3)
so ergibt sich, dass bei einem externen Feld von 56 mT die Resonanz des Ferrits bei
3.0 GHz liegt. Daher lassen sich die starken Einflüsse der Resonanz auf das Singulett bei 85 mT und 114 mT nur dadurch erklären, dass der Ferrit nicht homogen
magnetisiert war: Bei dieser Messung wurde aus Platzgründen nur ein Magnet
von einer Seite angebracht. Deshalb gab es auch Bereiche geringerer Magnetisierung, die dann die entsprechenden absorptiven Einflüsse (vgl. Abbildung 5.4)
verursachen konnten.
47
5.3
Vermessung des Dubletts
Als nächstes wurde der zweite und dritte Zustand des Kreuzbillards untersucht.
Für das leere System befinden sich diese Zustände bei 4.94 GHz und 4.96 GHz
und bilden, da sie von den jeweils benachbarten Zuständen ca. 1 GHz entfernt
liegen, in guter Näherung ein Dublett-System (vgl. Abb. 5.3).
Durch das Einbringen des Ferrits wird dieses Dublett stark beeinflusst. Neben
den gyromagnetischen hat ein Ferrit auch dielektrische Eigenschaften. Er hat eine
(im Wesentlichen vom Magnetfeld unabhängige) Dielektrizitätskonstante ǫr ≈ 10.
Dies beeinflusst die Feldverteilung der Eigenmoden. Simulationsrechnungen dazu
sind in Abbildung 5.6 wiedergegeben. Es ist erkennbar, wie der Ferrit durch sein
4.942 GHz
4.963 GHz
4.664 GHz
4.951 GHz
Abb. 5.6: Simulation mit CST Microwave Studio der Moden des ersten Dubletts im
Kreuzbillard: Gezeigt ist der Absolutbetrag des elektrischen Feldes, wobei
eine dunklere Farbe einen größeren Betrag symbolisiert. Die beiden oberen
Figuren zeigen die Moden des leeren Systems, in den beiden unteren Figuren
befindet sich der Ferrit an der eingezeichneten Position (siehe Pfeile).
48
großes optisches Volumen“ die Wellenbilder verdreht. Betrug die Aufspaltung des
”
Dubletts im leeren System (gemessen) nur 25 MHz so wächst diese (entsprechend
der Simulation) auf 287 MHz an.
In der Messung liegen die beiden Moden, wenn kein externes Magnetfeld auf den
Ferrit einwirkt, bei 4.607 GHz und 4.968 GHz. Die tatsächliche Aufspaltung beträgt also 361 MHz. Exemplarisch sind vier Spektren, die zwischen den Antennen
2 und 3 gemessen wurden, in Abbildung 5.7 gezeigt. Eine ausgeprägte Verletzung
0 mT
85 mT
-40
Pout/Pin (dB)
-60
S32
S23
-80
110 mT
118 mT
-40
-60
-80
4.5
4.7
4.9
5.1
Frequency (GHz)
4.5
4.7
4.9
5.1
Frequency (GHz)
Abb. 5.7: Vier Spektren des Dubletts im Kreuzbillard bei unterschiedlichen Stärken
des externen Magnetfeldes in logarithmischer Darstellung: Sind die Spektren
reziproker Reaktionen bei 0 mT noch deckungsgleich, so zeigt sich ab 85 mT
eine wachsende Verletzung der Reziprozität am ersten Dublett-Partner. Hier
zeigt der Übergang von 3 nach 2 eine deutlich geringere Transmission als der
von 2 nach 3.
des detaillierten Gleichgewichts ist bereits für Feldstärken ab 85 mT zu erkennen.
Es ist bemerkenswert, dass sich Unterschiede in der Transmission nur in der Resonanz mit der schwächeren Amplitude zeigen. Da die Verletzung der Reziprozität
auf der Interferenz mindestens zweier Resonanzen beruht, ist es verständlich, dass
der Einfluss der starken“ Resonanz auf den schwachen“ Partner (Unterschied in
”
”
der Transmission ca. 30 dB) sehr viel größer ist als umgekehrt. Der Parameter η
aus (2.69), der die Übergangsamplitude beider Resonanzen absolut um den gleichen Betrag verändert (unter der Annahme gleicher Breiten), kann die größeren
49
relativen Änderungen in der schwächeren Resonanz bewirken.
Ähnlich wie im Fall der isolierten Resonanz wurden aus den Resonanzformen
Parametersätze extrahiert. Es wurden für beide Transmissionsrichtungen und alle experimentell realisierten externen Magnetfelder Anpassungen der komplexen
S-Parameter an Gleichung (3.5) auf Seite 26 unter der Annahme eines ZweiZustand-Systems durchgeführt. Da jede einzelne Resonanz durch 4 freie Parameter beschrieben wird, ergeben sich in der Gesamtzahl 16 Parameter für ein
Dublett in beiden Transmissionsrichtungen. Der so gewonnene Parametersatz ist
in Abbildung 5.8 zusammenfassend dargestellt.
Wie schon in Abbildung 5.7 ersichtlich war, bestätigen die Amplituden-Parameter
für die Resonanz mit der niedrigeren Frequenz die Verletzung der Reziprozität.
Es ist aber nicht mit dem in Abschnitt 2.4 entwickelten Modell vereinbar, dass
sich bei dieser Resonanz auch Unterschiede in der Resonanzbreite zwischen S23
und S32 zeigen. Die Breite entspricht dem Imaginärteil des komplexen Eigenwertes
und dieser bleibt auch bei verletzter Zeitumkehrinvarianz ein- und derselbe. Der
Grund für die hier festgestellte Abweichung ist, dass die ferromagnetische Resonanz zum Feld von 118 mT bei 4.65 GHz liegt. Nahe der Resonanz ändern sich
die Eigenschaften des Ferrits als Funktion der Frequenz stark. Somit ist es nicht
gerechtfertigt, den Ferrit über den gesamten Frequenzbereich der beiden DublettResonanzen durch frequenzunabhängige Größen zu beschreiben. Daher kann hier
das entwickelte Modell keine korrekten Aussagen liefern.
Da die Breiten bei 103 mT erst um ca. 6 % voneinander abweichen, kann hier
davon ausgegangen werden, dass das in Abschnitt 2.4 vorgestellte Modell noch
zutrifft. Für die Resonanz bei 4.67 GHz beträgt bei dieser Feldstärke die Differenz
A23 − A32 der Amplituden 500 ± 130 Hz bei einem Mittelwert von 3704 ± 65 Hz.
Dies entspricht einem relativen Unterschied von 13.5 ± 3.3 %.
Für die Betrachtung der Phasenlagen der beiden Resonanzen werden die Fälle
ohne externes Magnetfeld (B = 0 mT) und mit Feld (B > 0 mT) getrennt
untersucht:
• B = 0 mT: In diesem Fall sollte der Ferrit noch keine zeitumkehrbrechende Wirkung besitzen. Somit können (bei vernachlässigbarer Dissipation in
der Kavität) die Eigenfunktionen von H eff reell gewählt werden (vgl. Kapitel 2.2.2). Dies bedeutet, dass die Matrixelemente hν|V |ci reell sind. Deshalb
müssen auch die Übergangsamplituden reell sein, denn sie sind Produkte jeweils zweier dieser Matrixelemente. Die komplexen Übergangsamplituden werden für das Optimierungsverfahren als Amplituden- und PhasenParameter ausgedrückt. Sind die Matrixelemente reell, so können sich die
Phasen der beiden Resonanzen nur um 0◦ oder 180◦ unterscheiden. Im vorliegenden Fall beträgt die Differenz (183±1)◦ , die Übergangsamplituden haben
bis auf eine kleine dissipationsbedingte Abweichung gerade unterschiedliche
50
st
nd
Frequency (GHz)
2
4.68
4.64
4.60
Width (MHz)
Width (MHz)
Frequency (GHz)
1 resonance
15
10
Amplitude (kHz)
Amplitude (kHz)
5
5
4
3
resonance
5.00
4.98
4.96
4
3
2
88
86
84
Phase (deg)
Phase (deg)
-28
200
150
-30
-32
100
0
40
80
Magnetic field (mT)
120
0
40
80
Magnetic field (mT)
120
Abb. 5.8: Dargestellt sind die Parameter zum ersten Dublett im Kreuzbillard in ihrer Abhängigkeit vom externen Magnetfeld. Links sind die Parameter der
Resonanz um 4.64 GHz, rechts die der Resonanz um 4.98 GHz gezeigt. In
jeden Graphen sind zwei Datensätze eingezeichnet, welche die Parameter
für S23 (Kreise) und S32 (Quadrate) repräsentieren. Ein Fehlerbalken wurde
nur angegeben, wenn der Fehler größer als das verwendete Symbol ist. Es ist
zu beachten, dass die Graphen links und rechts jeweils eine unterschiedliche
Skala haben.
51
Vorzeichen. Die durch die Anpassung ermittelten Übergangsamplituden sind
nicht reell, sondern haben eine zusätzliche Phase von ca. 32◦ , da das System
noch eine freie globale Phase besitzt. Diese entspricht dem Parameter α in
Formel (3.5).
• B > 0 mT: Hier ist der Einfluss auf die schwache“ Resonanz wieder viel
”
ausgeprägter als der auf die starke“ Resonanz. Wird die Differenz zwischen
”
den Phasen betrachtet, so steigt diese bei 103 mT für S23 auf (219 ± 1)◦ und
fällt für S32 auf (155 ± 1)◦ . Somit sind die Wellenfunktionen in der Kavität nicht reell, d. h. es gibt neben dem stehenden Wellenbild auch laufende
Wellen. Dies bringt zum Ausdruck, dass sich das System bei gebrochener
Zeitumkehrinvarianz nicht durch einen hermiteschen Hamilton-Operator beschreiben lässt. Die Eigenfunktionen können im Allgemeinen nicht mehr reell
gewählt werden (vgl. Kapitel 2.2.2).
Schließlich lässt der Blick auf die Breiten in Abhängigkeit vom Magnetfeld Rückschlüsse auf die absorbierenden Eigenschaften des Ferrits zu. Bei verschwindendem
Magnetfeld haben die Breiten Werte von 17 MHz bzw. 2.8 MHz. Mit steigender
Feldstärke werden die Resonanzen schärfer, so dass die Breiten bei Feldern von
ca. 80 mT auf 8.3 MHz bzw. 2.3 MHz gesunken sind. Dies bringt zum Ausdruck,
dass der Ferrit bei geringen externen Feldstärken noch eine ausgeprägte Domänenstruktur hat (in jeder Domäne hat das interne Magnetfeld eine andere Richtung
und Stärke). Durch die unterschiedliche Ausrichtung der magnetischen Momente ist das interne Magnetfeld nicht homogen. Die verschiedenen Felder bewirken,
dass für jede Domäne die Resonanzbedingung für eine andere Frequenz erfüllt
ist. In der Summe wirkt der Ferrit daher als breitbandiger Absorber. Die Erhöhung des externen Feldes hat zur Folge, dass diese Domänenstruktur abgebaut
wird, die internen Magnetfelder werden homogener, die breitbandigen Absorptionen werden schwächer. Schließlich ist im Experiment zu sehen, wie die Breiten für
B → 120 mT wieder zunehmen. Bei diesem externen Feld stimmt die Resonanzfrequenz der Kavität mit der Resonanzfrequenz des Ferrits überein, so dass eine
stark absorbierende Wirkung auftritt.
In einem weiteren Schritt sollen die Gleichungen (2.66) überprüft werden. Sie
lassen sich zu
−
−
+
(5.4)
A+
ab + Aab = Aba + Aba
zusammenfassen. Dies besagt, dass die Summe der komplexen Übergangsamplituden für beide Resonanzen des Dubletts unter Zeitumkehr erhalten bleibt. Zur
Überprüfung dieser Vorhersage wird die relative Abweichung von dieser Gleichheit
+
+
− (Aab + A−
ab ) − (Aba + Aba ) ζ =1 +
(5.5)
+
− (Aab + A−
ab + Aba + Aba )
2
betrachtet. Abbildung 5.9 stellt diesen Ausdruck graphisch dar. Zur Berechnung
der Fehler wurde ein Monte-Carlo Verfahren eingesetzt. Da eine analytische Feh52
lerrechung im komplexen Zahlenraum sehr aufwändig ist, wurden die A±
cc′ entsprechend ihrer Fehler mit einem Gaußschen Rauschen belegt und der Ausdruck (5.5)
ausgewertet. Aus 1000 Durchgängen wurde die Standardabweichung des Ergebnisses ermittelt und in Abbildung 5.9 eingetragen.
ζ (%)
2
1
0
0
20
40
60
Magnetic field (mT)
80
100
Abb. 5.9: Relative Abweichung der Amplitudensummen nach (5.5): Die theoretischen
Vorüberlegungen besagen, dass die Datenpunkte, welche den relativen Unterschied der Übergangsamplituden unter Zeitumkehr darstellen, auf der
Linie ζ = 0 liegen sollten.
Es zeigt sich, dass die Gleichheit bis auf etwa 0.5 % gegeben ist. Nur der Datenpunkt bei 103 mT zeigt mit einer Abweichung von 1.4 % eine schlechtere
Übereinstimmung. Dies ist erneut ein Hinweis darauf, dass sich die Eigenschaften des Ferrits nahe der ferromagnetischen Resonanz durch das in dieser Arbeit
entwickelte Modell nur unzureichend beschreiben lassen. Insgesamt wird es durch
die Messungen jedoch bestätigt: Aus zwei experimentellen Datensätzen wurden
16 reelle Parameter gewonnen, und eine bestimmte Kombination von acht dieser
Parameter entsprechend Gleichung (5.5) ergibt mit hoher Genauigkeit das theoretisch begründete Ergebnis ζ(B) = 0.
Daher soll die Bedingung (5.4) nun in das mathematische Modell zur Bestimmung der freien Parameter eingebaut werden, um die Größe η aus (2.69), S. 22
zu bestimmen. Mit diesem Parameter, der ein gutes Maß für die Abweichung vom
Prinzip des detaillierten Gleichgewichts darstellt, lassen sich die Resonanzformeln
entsprechend Gleichung (2.69) schreiben. Für jede der beiden Resonanzen gibt es
jeweils eine Resonanzfrequenz und Breite, welche zu bestimmen sind. Gleichzeitig
sind noch zwei komplexe Übergangsamplituden und der komplexe Parameter η
zu ermitteln. Dies ergibt in der Summe 10 freie (reelle) Variablen, die durch eine
gleichzeitige Anpassung an Sab und Sba bestimmt werden müssen. Gegenüber den
16 freien Parametern des zuvor verwendeten Verfahrens bedeutet dies eine drastische Reduzierung der Freiheitsgrade. Das Computerprogramm wurde dementsprechend modifiziert. Es handelt sich hierbei nicht um eine willkürliche Reduktion
der freien Parameter. Nach Gleichung (5.4) sind nur drei der vier Amplituden von53
Pout/Pin (dB)
einander unabhängig. Daher würde man mit diesem Ansatz ein Dublett-System
unter Zeitumkehr nicht beschreiben können, dessen Zustände nur zufällig“ eng
”
beieinander liegen, die also nicht durch die im Modell eingeführte Wechselwirkung
gekoppelt sind. Nach der Reduktion der Anzahl der freien Parameter lassen sich
die Spektren ebenfalls gut durch den Streuformalismus beschreiben, vgl. Abbildung 5.10. Auch dies bestätigt das in Abschnitt 2.4 entwickelte Modell.
-40
114 mT, S23
114 mT, S32
-60
-80
4.5
4.7
4.9
5.1
Frequency (GHz)
4.5
4.7
4.9
5.1
Frequency (GHz)
Abb. 5.10: Spektrum des Kreuzbillards bei 114 mT: Für diese Feldstärke wurden die
10 freien Parameter an das Transmissionsspektrum für S23 und S32 gleichzeitig angepasst. Die einzelnen Messwerte sind durch Punkte dargestellt,
die Kurve des Zwei-Zustand-Modells ist als durchgezogene Linie gegeben.
Nur eine komplexe Zahl η wird benötigt, um aus einem gegebenen Transmissionsspektrum das zeitumgekehrte Transmissionsspektrum zu bestimmen. Somit
genügt die Kenntnis, wie sich das Dublett-System in einer Zeitrichtung verhält
zusammen mit dieser komplexen Zahl, um genau vorhersagen zu können, wie sich
das Dublett unter Zeitumkehr verhalten wird.
Die so ermittelten Parameter sind in Abbildung 5.11 dargestellt. Die jetzt eindeutig bestimmten Werte für Resonanzfrequenz und -breite folgen im Wesentlichen dem Verlauf der vorhergegangenen Anpassung (vgl. Abb. 5.8). Auch die
Amplituden- und Phasen-Parameter folgen dicht den aus S23 bereits bekannten
Werten. (Die komplexen Übergangsamplituden wurden an S23 ermittelt, η beschreibt die Abweichung von S32 in Bezug auf diese Parameter.) Insgesamt war
während des Optimierungsvorgangs auffällig, dass das Verfahren stabiler lief, d. h.
es einfacher war, geeignete Startwerte der Parameter für eine erfolgreiche Optimierung zu finden. Diese Stabilisierung bringt zum Ausdruck, dass sich das Modell
jetzt auf eine breitere Datengrundlage stützt (es werden beide Transmissionsrichtungen gleichzeitig berücksichtigt). Zusätzlich sind dem Algorithmus durch die
Reduktion der Anzahl der Veränderlichen weniger physikalisch unbegründete Parametersätze zugänglich, was zu einer besseren Bestimmung der Parameter (z. B.
der Breiten) auch nahe der ferromagnetischen Resonanz führt.
Wie erwartet zeigt |η| eine starke Korrelation mit der visuell beurteilten Verlet54
st
nd
4.64
4.60
16
12
5.00
3.0
Amplitude (kHz)
8
Frequency (GHz)
4.68
Width (MHz)
2
5
4
3
Phase (deg)
Phase (deg)
Amplitude (kHz)
Width (MHz)
Frequency (GHz)
1 resonance
180
160
3
2
1
0
4.98
4.96
2.5
2.0
89
88
87
-28
-30
-32
100
parameter η
Phase (deg)
Amplitude (kHz)
140
30
60
90
Magnetic field (mT)
resonance
parameter η
0
-100
0
30
60
90
Magnetic field (mT)
Abb. 5.11: Die Graphen zeigen für das Kreuzbillard die 10 Parameter der Anpassung
an Gleichung (2.69). Die obersten acht Graphen zeigen links bzw. rechts
die Parameter der beiden Resonanzen für S23 . Die beiden unteren Graphen
stellen Absolutbetrag und Phase des Parameters η dar. In Anhang B sind
die eingezeichneten Werte in Tabelle B.1 angegeben. Dort werden ebenfalls
die Fehler von η diskutiert. Bei den Datenpunkten ohne Fehlerbalken sind
die Unsicherheiten kleiner als die Symbolgröße.
55
zung des detaillierten Gleichgewichts. Einige numerische Werte sind in Tabelle 5.2
gegeben, der komplette Datensatz ist in Tabelle B.1 eingetragen. Aus den Werten
Tabelle 5.2: Die ermittelten Parameter der Übergangsamplituden und der Betrag von
η für das Dublett im Kreuzbillard in Abhängigkeit vom Magnetfeld. Es
bezeichnet |A−
23 | den Betrag der Übergangsamplitude der Resonanz mit
der niedrigeren Frequenz und entsprechend |A+
23 | den Betrag für die höher
gelegene Resonanz.
B (mT)
0.0
96.5
103.0
110.3
|A−
23 | (Hz)
4999 ± 93
3716 ± 66
3431 ± 66
2631 ± 66
|A+
23 | (Hz)
87133 ± 52
88931 ± 51
88440 ± 52
83934 ± 55
|η| (Hz)
890 ± 900
2930 ± 900
3050 ± 900
2710 ± 900
sieht man, wie die zeitumkehrbrechende Wirkung des Ferrits mit steigender Feldstärke zunimmt (|η| wird größer). Bei 103 mT hat sie die gleiche Größenordnung
wie die schwächere Resonanz, kann diese also sehr stark beeinflussen. Bei der zweiten Resonanz beträgt der Beitrag von |η| zur Gesamtamplitude nur geringfügig
über 3 %, so dass die Resonanzform in guter Näherung unverändert bleibt.
Messung zwischen den Antennen 1 und 4 Bisher wurden Messungen zur
Reziprozität im Kreuzbillard für die Transmission zwischen den inneren Antennen
2 und 3 vorgestellt. Der folgende Abschnitt beschäftigt sich mit Transmissionsmessungen zwischen den beiden äußeren Antennen 1 und 4 (vgl. Abbildung 5.2).
In den Antennenkombinationen zwischen den beiden äußeren Antennen, S14 und
S41 , sind die nichtreziproken Effekte, wenn sich der Ferrit auf der Position F“ (vgl.
”
Abbildung 5.2) befindet, deutlich schwächer ausgeprägt. Durch das unvermeidbare
thermische Rauschen auf den Messdaten lässt sich eine signifikante Verletzung des
detaillierten Gleichgewichts erst für ein Feld von 118 mT nachweisen. Bei dieser
Feldstärke wies das System auch zwischen den Antennen 2 und 3 die deutlichsten
nichtreziproken Effekte auf (vgl. Abbildung 5.7).
Für das externe Feld von 118 mT ist das Transmissionsspektrum im Bereich des
ersten Dubletts in Abbildung 5.12 dargestellt. In der logarithmischen Darstellung
ist eine schwache Verletzung der Reziprozität in der Resonanz mit der niedrigeren
Frequenz erkennbar. Ein relativ deutlicher Unterschied in der Transmission zeigt
sich im Frequenzbereich zwischen den beiden Resonanzen. In diesem Bereich mit
den ausgeprägtesten Interferenzeffekten beträgt der Unterschied in der Transmission bei Umkehr der Zeitrichtung ca. 10 dB. Zum Vergleich mit der Auswertung
der Messung zwischen den inneren Antennen wurde auch hier der Parameter η
bestimmt. Es ist schwierig eine Theoriekurve an dieses Spektrum anzupassen, da
56
Pout/Pin (dB)
-50
S14
S41
-70
10 dB
-90
4.6
4.8
5.0
Frequency (GHz)
5.2
Abb. 5.12: Gezeigt ist ein Ausschnitt aus den Transmissionsspektren im Kreuzbillard
zwischen den Antennen 1 und 4. Für eine übersichtlichere Darstellung wurde jeweils nur jeder fünfte Datenpunkt eingetragen. Das externe Magnetfeld
hatte eine Stärke von 118 mT. Das System zeigt nichtreziprokes Verhalten
bei der niedriger gelegenen Resonanz und im Interferenzbereich. Zur Verdeutlichung ist ein Unterschied in der Transmission von 10 dB eingetragen.
der Effekt der Nichtreziprozität bei sehr kleinen Transmissionen von unter -80 dB
auftritt. Hier ist der Einfluss der benachbarten Resonanzen im Spektrum nicht
vernachlässigbar, und die Anpassung an eine Zwei-Niveau-Theorie kann nur als
Näherung angesehen werden. Für eine Abschätzung des η-Parameters ist die Genauigkeit, mit der er bestimmt werden kann, jedoch ausreichend. Es ergibt sich
|η| = (6960 ± 900) Hz.
In Tabelle 5.3 sind die relevanten Parameter für beide Antennenkombinationen gegenübergestellt. Es zeigt sich, dass die relative Verletzung des detaillierten Gleichgewichts bei einer Messung zwischen den äußeren Antennen sogar größer ist, als
bei der zwischen den inneren Antennen.
In Anlehnung an die in der Kernphysik durchgeführten Auswertungen von Wirkungsquerschnitten in [24], lässt sich aus den in Abbildung 5.12 gezeigten Daten
ebenfalls ein Maximum-zu-Minimum Verhältnis bestimmen. Wenn als Maxima P
( Peak“) die Transmissionen bei 5.03 GHz und als Minima V ( Valley“) die Werte
”
”
57
Tabelle 5.3: Die Tabelle listet die Parameter der am ersten Dublett im Kreuzbillard
gemessenen Zeitumkehrbrechung für die Antennenkombinationen 1 ↔ 4
und 2 ↔ 3. Gegeben sind die Beträge der Übergangsamplituden der beiden Resonanzen (A+ und A− ), der Parameter η sowie das Verhältnis
zwischen η und dem Mittelwert der Übergangsamplituden.
Parameter
|A+ | (Hz)
|A− | (Hz)
|η| (Hz)
2 |η|/(A+ + A− )
1↔4
22256 ± 110
26491 ± 65
6960 ± 900
(28.5 ± 3.8) %
2↔3
2550 ± 68
73671 ± 61
4010 ± 900
(10.5 ± 2.3) %
für 4.90 GHz angesetzt werden, ergibt sich
2
|S14 | :
2
|S41 | :
P = (2.173 ± 0.006) · 10−5
V = (4.48 ± 3.70) · 10−10
P = (2.223 ± 0.011) · 10−5
V =
(55 ± 17) · 10−10
P/V = 48500 ± 134
(5.6)
P/V = 4040 ± 1270
(5.7)
Für |S41 |2 beträgt das Verhältnis P/V nur noch 1/12 des Wertes von |S14 |2 .
Unabhängig von der Position der Antennen zeigt das Kreuzbillard in jedem Fall
nichtreziprokes Verhalten. Die Untersuchung dieses Systems zeigt aber, dass die
Form des Dubletts und die auftretende Verletzung des detaillierten Gleichgewichts
von der Position der Antennen abhängig ist. In η gehen entsprechend der Definition dieses Parameters (vgl. Gleichungen (2.68) und (2.64)) die Orte der Antennen in Form der Übergangsmatrixelemente ein. Da diese Matrixelemente nicht
als Funktionen der Antennenpositionen bekannt sind, kann das in Abschnitt 2.4
entwickelte Modell nicht bezüglich der Abhängigkeit von η vom Ort der Antennen
überprüft werden. Es bleibt festzuhalten, dass die beobachtete Abhängigkeit der
Verletzung des detaillierten Gleichgewichts von der verwendeten Antennenkombination nicht im Widerspruch zu dem in der vorliegenden Arbeit entwickelten
Modell steht.
Zusammenfassung Die hier untersuchten Singulett- und Dublett-Systeme lassen sich im Rahmen des in dieser Arbeit entwickelten Streumodells unter Einbeziehung einer gebrochenen Zeitumkehrsymmetrie gut beschreiben. Am Singulett
liegt Reziprozität vor. Das Dublett zeigt eine ausgeprägte Abweichung vom Prinzip des detaillierten Gleichgewichts, verursacht durch den magnetisierten Ferrit.
Die Form und die Stärke der Verletzung des detaillierten Gleichgewichts ist abhängig vom Ort der Antennen. Die zeitumkehrbrechende Wirkung lässt sich durch
einen einzigen komplexen Parameter beschreiben.
58
6
Kreisbillard
Für weitere Untersuchungen von Resonanzformen an Singuletts und vor allem an
Dubletts wurde ein bereits vorhandenes Billard [59] mit kreisförmiger Berandung
untersucht. Hier war eine ausgeprägte Dublett-Struktur zu erwarten. Zusätzlich
wurde das System durch Einbringen einer weiteren Kreisscheibe zum sog. Ringbillard umgebaut, welches mehrere isolierte Resonanzen enthält.
6.1
Resonanzen im Kreisbillard
Die Helmholtz-Gleichung (2.6) lässt sich für kreisförmige Gebiete analytisch lösen. Die Lösung separiert in einen winkelabhängigen und einen radialen Teil. Der
winkelabhängige Teil hat eine einfache Cosinus- bzw. Sinus-Abhängigkeit, und
die Differentialgleichung für den radialen Teil hat die Besselfunktionen der 1. Art
Jm (x) als Lösung. Eine Herleitungsskizze für die im Folgenden gegebenen Beziehungen ist in Anhang A.3 gegeben.
Im Ausdruck für das elektrische Feld in Polarkoordinaten
x
(m,n)
E(m,n) (r, φ) = Jm
r cos(mφ) ez
x R
(m,n)
E(m,n) (r, φ) = Jm
r sin(mφ) ez
R
(6.1)
ist r der Abstand vom Kreismittelpunkt, φ der azimutale Winkel, Jm die m-te Besselfunktion der 1. Art, x(m,n) die n-te Nullstelle der Besselfunktion m-ter Ordnung
und R der Radius des Kreises. Die Lösung wird also durch zwei Quantenzahlen n
und m beschrieben. Die Hauptquantenzahl n liefert die Anzahl n der Wellenbäuche in r-Richtung, die Nebenquantenzahl m gibt die Anzahl (2m) der Knoten des
Feldes in φ-Richtung. Alle Wellenfunktionen mit der Nebenquantenzahl m > 0,
hier hat die Wellenfunktion in azimutaler Richtung mindestens zwei Knotenlinien,
sind nach (6.1) zweifach entartet.
Die Eigenfrequenz zur Feldkonfiguration E(m,n) mit den beiden Quantenzahlen m
und n ist
c0 x(m,n)
ν(m,n) =
(6.2)
2π R
und somit ebenfalls von den beiden Quantenzahlen abhängig.
59
Durch das Einbringen einer kleinen Störung wird die Rotationssymmetrie des
Systems gebrochen, und die Entartung der Lösungen wird aufgehoben. Es kommt
zur Ausbildung von Dubletts. Im Experiment wird diese Störung durch den eingebrachten Ferrit verursacht. Im perfekten Kreis ist kein Winkel φ ausgezeichnet,
so dass φ = 0 beliebig gewählt werden kann. Mit dem Ferrit gibt es eine ausgezeichnete Achse, an der sich das elektrische Feld ausrichten wird. Entsprechend
den beiden Feldverteilungen (6.1) besitzt eine der beiden Konfigurationen eine
Knotenlinie am Ort des Ferrits, wohingegen die andere Mode dort ein Maximum
hat. Da der Ferrit als Dielektrikum nur auf die Mode wirkt, bei der die elektrische Feldstärke am Ort des Ferrits von Null verschieden ist, wird die Entartung
zwischen den beiden Moden aufgehoben.
6.2
Aufbau
Das System besteht wieder aus drei übereinander liegenden Kupfer-Platten, einer Boden- und einer Deckelplatte, sowie einer mittleren Platte mit der Kontur
des Kreisbillards. Alle Platten haben die Stärke von 5 mm. Der Kreisausschnitt
hat den Durchmesser von 250 mm. Durch zusätzliche mit Indium gefüllte Nuten
wird ein guter elektrischer Kontakt zwischen allen Platten gewährleistet. In der
Deckelplatte sind zwei Antennenanschlüsse angebracht.
Der Aufbau ist schematisch in Abbildung 6.1 skizziert. Entsprechend dieser Zeichnung sind die beiden Antennen an den (x,y)-Koordinatenpunkten (−77.5 mm,
−82.5 mm) und (+77.5 mm, −82.5 mm) befestigt. Der Ferrit wurde an eine der
drei Positionen A, B oder C gebracht. Hierbei ist B gegenüber A in radialer Richtung um 22 mm nach innen versetzt und C gegenüber A um den Winkel von 5.5◦
verdreht. Die genauen Positionsangaben sind der Tabelle 6.1 zu entnehmen.
Tabelle 6.1: Die im Experiment betrachteten Positionen des Ferrits im Kreisbillard
x
y
A
-100.0 mm
-30.0 mm
B
-90.0 mm
-10.0 mm
C
-96.7 mm
-39.4 mm
Zur Magnetisierung kam dieselbe Magnethalterung zum Einsatz, die sich bereits
am Hohlleiter und am Kreuzbillard bewährt hatte.
6.3
Dublett-Systeme
Zunächst wurde das System mit dem Ferrit von 4 mm Durchmesser an Position
A“ untersucht. Das Transmissionsspektrum dieses Systems im Vergleich zu dem
”
des leeren Kreisbillards ist in Abbildung 6.2 gezeigt.
60
m
y
r
m
25
1
=
x
0
A
B
C
1
2
Abb. 6.1: Schematische Darstellung der Geometrie des Kreisbillards: Die Positionen
der Antennen 1 und 2 sind durch schwarze Punkte gegeben, die verschiedenen Ferrit-Positionen A, B und C sind durch graue Punkte angedeutet. Das
Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Kreismittelpunkt.
Für die weitere Untersuchung musste erneut ein Kompromiss zwischen möglichst
hohen Arbeitsfrequenzen für den Ferrit und möglichst niedrigen Frequenzen für
geringe Niveaudichten getroffen werden. Daher beschränkt sich die Auswertung
auf die vier Dubletts, die bei ca. 2.43 GHz, 2.67 GHz, 2.89 GHz und 3.2 GHz
liegen (vgl. Pfeile in Abb. 6.2).
Zunächst wurde das Verhalten der Resonanzformen in Abhängigkeit von der Magnetisierung des Ferrits untersucht. Einen Überblick über die hierbei auftretenden
Spektren und die beobachtbare Verletzung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts gibt Abbildung 6.3. Es fällt auf, dass die Dubletts bei 2.43 GHz, 2.67 GHz
und 2.89 GHz ein nichtreziprokes Verhalten aufweisen. Jedoch zeigt das Dublett
um 3.2 GHz keine Verletzung des detaillierten Gleichgewichts – für keines der hier
eingesetzten Magnetfeldstärken. Dieses Dublett wird in Abschnitt 6.3.1 genauer
diskutiert.
61
-50
empty cavity
Pout/Pin (dB)
-75
-100
-50
cavity with a ferrite
-75
-100
1.0
2.0
Frequency (GHz)
3.0
Abb. 6.2: Gezeigt sind Ausschnitte aus den Transmissionsspektren des leeren Kreisbillards (oben) und desjenigen mit eingebrachtem Ferrit, aber ohne externes
Magnetfeld (unten). Die Resonanzen bei 0.92 GHz, 2.1 GHz und 3.3 GHz
sind Singuletts, die restlichen sieben Resonanzen sind jeweils zweifach entartet und spalten im unteren Spektrum leicht auf. Markiert sind die vier
Dubletts (bei ca. 2.43 GHz, 2.67 GHz, 2.89 GHz und 3.2 GHz), die im Folgenden näher untersucht werden.
62
29 mT
|Sab| (%)
Pout/Pin (dB)
-60
-80
-100
0.2
29 mT
0.1
0.0
2.39 2.42 2.45
Frequency (GHz)
2.66 2.67 2.68
Frequency (GHz)
36 mT
|Sab| (%)
|Sab| (%)
0.4
0.2
0.0
0.4
0.2
0.0
3.16
2.86 2.88 2.90
Frequency (GHz)
68 mT
3.20
3.24
Frequency (GHz)
Abb. 6.3: Spektren im Kreisbillard mit Ferrit: Jeder Graph zeigt eines der vier untersuchten Dubletts (in Abb. 6.2 mit Pfeilen markiert) bei dem jeweils angegebenen externen Magnetfeld. Die Stärke des Feldes ist für jede Figur
so gewählt, dass sich maximale Effekte zeigen. In jedem Graphen sind S12
und S21 dargestellt. Es ist zu beachten, dass nur das Spektrum links oben
logarithmisch aufgetragen ist. Das Dublett bei 3.2 GHz zeigt keine Abweichungen vom Prinzip des detaillierten Gleichgewichts.
63
st
nd
2
2.66
16
8
2.6770
2.6765
Width (MHz)
2.67
resonance
2.6775
3.0
Amplitude (kHz)
Frequency (GHz)
2.68
3.5
Phase (deg)
Width (MHz)
Frequency (GHz)
1 resonance
160
2.5
2.0
Amplitude (kHz)
3
Phase (deg)
0
-20
2
1
-40
-60
-80
2.5
1.5
140
120
0
30
60
Magnetic field (mT)
90
0
30
60
Magnetic field (mT)
90
Abb. 6.4: Resonanzparameter zum Dublett bei 2.67 GHz im Kreisbillard: Links sind
die vier Parameter der ersten Resonanz des Dubletts für S12 (Kreise) und
S21 (Quadrate) dargestellt, rechts entsprechend für die zweite Resonanz. Bei
den Datenpunkten ohne Fehlerbalken sind die Unsicherheiten kleiner als die
Symbolgröße.
Mit dem Optimierungsverfahren, welches schon beim Kreuzbillard verwendet wurde, wurden alle Dubletts zunächst wieder unabhängig voneinander (d. h. ohne Einführung des Parameters η) an eine komplexe Breit-Wigner-Funktion angepasst,
um die Resonanz-Parameter zu bestimmen. Exemplarisch werden die ermittelten
Parameter für das Dublett bei 2.67 GHz in Abbildung 6.4 gezeigt.
In Abbildung 6.4 fällt die deutliche Verbreiterung der Resonanzen bei magneti64
ζ (%)
90
60
30
0
0
20
40
60
Magnetic field (mT)
80
Abb. 6.5: Relative Abweichung der Amplitudensummen nach Gleichung (5.5) für das
Dublett bei 2.67 GHz.
schen Feldstärken zwischen 40 mT und 50 mT auf. Dies sind wieder die absorbierenden Eigenschaften des Ferrits, welcher unter dem externen Feld von 44 mT
seine ferromagnetische Resonanz bei 2.67 GHz hat. Im Bereich dieser Feldstärke
weist das Dublett auch die größten nichtreziproken Eigenschaften auf. Beide beteiligten Resonanzen zeigen eine deutliche Überhöhung der Übergangsamplituden
in S21 (vgl. auch Abb. 6.3).
Betrachtet man die Phasenlagen der Resonanzen (Abb. 6.4, unten) so sieht man,
dass sich in beiden Resonanzen die Phasen in Hin- und Rückrichtung kreuzen“.
”
Dieses charakteristische Verhalten beim Durchschreiten der ferromagnetischen Resonanz wurde in der Mehrzahl der betrachteten Dubletts gefunden. In den Fällen,
in denen diese Kreuzung nicht eindeutig auftrat, ist es schwierig, eine genaue
Aussage zu treffen, da die Unsicherheiten in den Resonanzparametern zu groß
sind.
Der Fall ohne externes Magnetfeld ergibt eine Phasendifferenz zwischen beiden
Resonanzen von (185 ± 0.6)◦. Die Wellenfunktionen in der Kavität können erneut
beinahe reell gewählt werden. Durch Dissipation treten geringe Beimischungen
laufender Wellen (die einen Imaginärteil des Gesamtwellenbildes bilden) auf. Dieses Resultat konnte bei allen untersuchten Dubletts gefunden werden: Ist kein
äußeres Magnetfeld angelegt, können die beiden Übergangsamplituden in guter
Näherung reell gewählt werden, d. h. ihre Phasendifferenz beträgt näherungsweise
0◦ oder 180◦ .
Um die Übereinstimmung mit dem Modell des Abschnitts 2.4 zu überprüfen, wird
erneut die Größe ζ, die in Gleichung (5.5) auf Seite 52 definiert wurde, betrachtet.
−
Sie entspricht dem relativen Unterschied zwischen den Summen (A+
ab + Aab ) und
−
(A+
ba + Aba ) und ist in Abbildung 6.5 gezeigt. Auch wenn die Übereinstimmung
im Vergleich zum Ergebnis im Kreuzbillard nicht so gut ist, so ist dennoch das
Ergebnis im Rahmen der Fehler durchaus mit der Vorhersage verträglich. Einzig
nahe der ferromagnetischen Resonanz zwischen 40 mT und 50 mT ist die Vor65
hersage des Modells (erwartungsgemäß) unzutreffend. Dort ist es wiederum nicht
gerechtfertigt, die Wirkung des Ferrits über den gesamten Frequenzbereich der
Resonanzen durch eine Konstante zu beschreiben.
Im letzten Analyseschritt werden die Spektren unter Berücksichtigung der Gleichungen (2.69) auf Seite 22 beschrieben. Diese Gleichungen reduzieren die Anzahl
der freien Parameter für beide Transmissionsrichtungen von 16 auf 10 und führen
gleichzeitig die Größe η ein. Die Ergebnisse aus Abbildung 6.5 lassen vermuten,
dass sich die Resonanzformen auch mit diesem reduzierten Parametersatz beschreiben lassen. Die so gewonnenen Werte sind in Abbildung 6.6 dargestellt.
Im Gegensatz zur Messung am Kreuzbillard, bei dem einer der Partner des Dubletts deutlich stärker ausgeprägt war, sind die Übergangsamplituden im vorliegenden Dublett im Kreisbillard von derselben Größenordnung (zwischen 1.5 kHz
und 2.5 kHz). Der Parameter η, der in Tabelle 6.2 wiedergegeben ist, zeigt ein
deutliches Resonanzverhalten mit einem Maximum bei 43 mT. Mit ca. 1.7 kHz
ist |η| dort ähnlich groß, wie die Amplituden der Dublett-Resonanzen selbst. Dies
spiegelt das stark nichtreziproke Verhalten über das gesamte Dublett-System hinweg wieder. Das beobachtete Resonanzverhalten von η tritt auch an den beiden
anderen Dubletts mit nichtreziproken Transmissionseigenschaften bei 2.43 GHz
und 2.89 GHz auf.
Tabelle 6.2: Die Werte von η (Betrag und Phase) des Dubletts bei 2.67 GHz im Kreisbillard bei verschiedenen Magnetfeldern. Der Ferrit befand sich auf Position A“.
”
B (mT)
0.0
28.5
36.0
43.4
53.0
59.3
68.3
80.2
|η| (Hz)
34 ± 26
353 ± 26
1074 ± 27
1710 ± 27
497 ± 26
345 ± 26
278 ± 26
647 ± 34
arg(η) (deg)
44 ± 16
105 ± 2
108 ± 1
−160 ± 1
−128 ± 1
−125 ± 2
−121 ± 2
−87 ± 2
Neben der ausgeprägten Resonanzstruktur von |η|, die sehr gut mit dem zu erwartenden Einfluss der ferromagnetischen Resonanz auf das Zeitumkehrverhalten
der Kavität übereinstimmt, zeigt auch die Phase von η ein interessantes Verhalten: Beim Durchgang durch die ferromagnetische Resonanz ändert sie sich bei
Betrachtung der Phasenwerte für 28.5 mT und 53.0 mT um ca. 130◦ . Bei der einzelnen Anpassung einer theoretischen Kurve an die gemessenen Spektren ergab
sich auf Grund der ferromagnetischen Resonanz die in Abbildung 6.4 erkennbare
Phasenkreuzung“.
”
66
2nd resonance
2.68
Frequency (GHz)
Frequency (GHz)
1st resonance
2.67
2.66
2.6775
2.6770
2.6765
3.0
Width (MHz)
Width (MHz)
16
8
2.5
2.0
2.5
Amplitude (kHz)
Amplitude (kHz)
0
2.0
1.5
2.5
2.0
160
Phase (deg)
Phase (deg)
-20.0
3.0
-40.0
-60.0
140
2
parameter η
Phase (deg)
Amplitude (kHz)
120
1
parameter η
100
0
-100
0
0
30
60
Magnetic field (mT)
90
0
30
60
Magnetic field (mT)
90
Abb. 6.6: Die Graphen zeigen die 10 freien Parameter für das Dublett bei 2.67 GHz im
Kreisbillard. Die untersten beiden Graphen repräsentieren den Parameter η,
welcher die Stärke der Zeitumkehrbrechung beschreibt. In Anhang B sind
die eingezeichneten Werte in Tabelle B.2 gegeben. Fehlerbalken sind nur
eingezeichnet, wenn die Unsicherheiten größer als die Symbole sind.
67
In Abbildung 6.7 ist bei einem externen magnetischen Feld von 43 mT das Transmissionsspektrum des Dubletts und eine angepasste Kurve mit den entsprechenden Parametern aus Tabelle B.2 gezeigt. Hier sind die Einflüsse der ferromagnetischen Resonanz dominant und die Anwendbarkeit des Modells fraglich, da die
Eigenschaften des Ferrits über den Frequenzbereich des Dubletts nicht konstant
sind. Jedoch zeigt die graphische Darstellung 6.7, dass sich die Resonanzformen
selbst in diesem Fall hervorragend mit dem in Abschnitt 2.4 entwickelten Modell
beschreiben lassen.
|Sab| (%)
0.2
43 mT, S12
43 mT, S21
0.1
0.0
2.66 2.67 2.68
Frequency (GHz)
2.66 2.67 2.68
Frequency (GHz)
Abb. 6.7: Diese Graphen zeigen die Transmissionsspektren des Dubletts bei 2.67 GHz
im Kreisbillard beim externen Magnetfeld von 43 mT. Neben den gemessenen Daten (Punkte) ist auch die Kurve des Modells mit dem η Parameter
eingetragen (durchgezogene Linien). Die Pfeile markieren jeweils die Position der Resonanz. Die Übergangsamplituden aus Tabelle B.2 beschreiben
das Dublett in der S12 Messung (linker Graph). Durch η wird der Übergang
zu S21 vollzogen (rechtes Spektrum).
68
6.3.1
Einfluss der Ferrit-Position auf die Reziprozität
Bei dem bisher vorgestellten Aufbau reagierte das Dublett bei 3.2 GHz nicht auf
die zeitumkehrbrechende Wirkung des Ferrits. Man beobachtete S12 = S21 . Im
Folgenden soll am Beispiel dieses Dubletts der Einfluss der Ferrit-Position auf
den Effekt der Zeitumkehrbrechung untersucht werden.
Entsprechend Abschnitt 2.3.2 beruhen die nichtreziproken Eigenschaften von Ferriten auf der Wechselwirkung von magnetischen Feldern mit den magnetischen
Momenten des Ferrits. Das Wellenbild, das sich in der Kavität an einer Resonanz
ausbildet, ist stehend: Weder die elektrische noch die magnetische Feldverteilung
ist (bis auf den Faktor exp(iωt)) zeitabhängig. Daher gibt es Bereiche im Resonator, in denen das elektrische Feld immer minimal ist (sog. Knotenlinien) und
Bereiche, in denen es immer maximal ist. Mit der Maxwell-Gleichung
∂B
(6.3)
∂t
lässt sich aus der elektrischen Feldverteilung die magnetische Feldverteilung berechnen. Es folgt, dass auch das magnetische Feld im stationären Fall Bereiche
maximaler und verschwindender Intensität ausbildet.
∇×E=−
Befindet sich der Ferrit an einer Stelle, an der das Feldbild einer der beiden Resonanzen eines Dubletts keinen nennenswerten magnetischen Beitrag hat, so kann
keine Wechselwirkung zwischen diesem Feld und den magnetischen Momenten des
Ferrits stattfinden. Es können keine nichtreziproken Effekte auftreten.
Zur Erklärung dieses Zusammenhangs wird das Verhalten der hochfrequenten Magnetfelder am Ort des Ferrits betrachtet: Zu jedem Partner des Dubletts im Billard gehört eine elektrische und eine magnetische Feldkonfiguration. Seien B1 (t)
und B2 (t) die entsprechenden magnetischen Feldvektoren am Ort des Ferrits,
wenn dessen zeitumkehrbrechende Wirkung ausgeschaltet wäre. Beide Vektoren
liegen in der Billard-Ebene und zeigen im Allgemeinen in verschiedene Richtungen. Durch die Schwingung des Feldes ändern sie ihre Richtungen – bis auf einen
periodischen Vorzeichenwechsel – nicht. Da beide Resonanzen durch den VNA zu
einer Schwingung mit der gleichen Frequenz angeregt werden, schwingen beide
Feldkonfigurationen in Phase
B̃ges (t) = ã B1 (t) + b̃ B2 (t),
ã, b̃ reell .
(6.4)
Daher bildet B̃ges (t) am Ort des Ferrits ein linear polarisiertes Feld. Durch die
zeitumkehrbrechende Wirkung der Ferrite wird die Superposition (6.4), bis auf
eine zusätzliche globale Phase, zu
Bges (t) = a B1 (t) + b eiϕ B2 (t),
a, b, ϕ reell .
(6.5)
Dass hierbei eine relative Phasenverschiebung ϕ zwischen den Resonanzen auftritt, haben die durchgeführten Experimente gezeigt: Bei verletztem detaillierten
69
Gleichgewicht konnten die Übergangsamplituden nicht beide reell gewählt werden
(vgl. Abbildung 5.8 und 6.4). Auf Grund dieser Phasenverschiebung durchlaufen
die beiden Feldkonfigurationen ihr Maximum nicht mehr zum selben Zeitpunkt.
Am Ort des Ferrits stellt Bges (t) ein elliptisch polarisiertes Feld dar. Der Drehsinn
des Feldes wird durch das Vorzeichen und die Größe von ϕ bestimmt. Für linksund rechtszirkular polarisierte Felder ist die Absorption des Ferrits unterschiedlich
(vgl. Abschnitt 2.3.2). Da ϕ entsprechend den experimentellen Ergebnissen von
der Transmissionsrichtung abhängig ist (vgl. Abbildung 6.4), ändern sich bei Zeitumkehr die Polarisationseigenschaften des magnetischen Feldes. Dies bewirkt eine
Änderung der Absorption im Ferrit, was eine Verletzung des detaillierten Gleich3.183 GHz
3.189 GHz
3.202 GHz
3.201 GHz
Abb. 6.8: Die Graphen zeigen die elektrischen und magnetischen Felder im Kreisbillard nach einer Simulation mit CST Microwave Studio. Flächig ist der Betrag des elektrischen Feldes dargestellt (eine dunklere Farbe entspricht einem
stärkeren Feld). Die Vektoren repräsentieren Richtung und Stärke des magnetischen Feldes. Links sind die beiden Moden des Resonators bei 3.2 GHz
mit dem Ferrit auf Position A“ gezeigt, rechts befindet sich der Ferrit auf
”
Position B“ (siehe Pfeile).
”
70
gewichts zur Folge hat. Am Ort des Ferrits müssen also zwei magnetische Felder
angeregt werden, die in verschiedene Richtungen zeigen, damit ein nichtreziprokes
Verhalten des Systems beobachtet werden kann.
Zur Verdeutlichung der Feldkonfigurationen im Kreisbillard, sind die Wellenbilder
des Dubletts bei 3.2 GHz in Abbildung 6.8 dargestellt. Steht der Ferrit-Zylinder
am Ort A“, so befindet er sich für die Mode mit der niedrigeren Frequenz ge”
nau im Maximum des elektrischen Feldes. Das bedeutet nach (6.3), dass hier
das magnetische Feld verschwindet. Somit sieht“ der Ferrit in diesem Dublett
”
nur die Resonanz bei der höheren Frequenz. Im Experiment kann keine Abweichung vom Prinzip des detaillierten Gleichgewichts beobachtet werden, da dies die
Interferenz mindestens zweier Resonanzen mit gebrochener Zeitumkehrinvarianz
bedingt. Verschiebt man den Ferrit in radialer Richtung auf Position B“ (vgl.
”
Abbildung 6.1), so befindet er sich an einem Ort mit nichtverschwindender magnetischer Feldstärke für beide Resonanzen des Dubletts. Es wird erwartet, dass
in diesem Fall auch das Dublett bei 3.2 GHz eine Verletzung des detaillierten
Gleichgewichts aufweist.
|Sab| (%)
0.6
56 mT
59 mT
S21
S12
0.3
0.0
3.19
3.21
3.23
Frequency (GHz)
3.19
3.21
3.23
Frequency (GHz)
Abb. 6.9: Hier sind zwei Spektren des Dubletts bei 3.2 GHz im Kreisbillard gezeigt.
Der Ferrit befand sich bei der Messung auf Position B“, wodurch das ma”
gnetische Feld beider Resonanzen mit dem Ferrit wechselwirken konnte. Zwischen dem linken und dem rechten Graphen wurde die Stärke des externen
Magnetfeldes nur um 3 mT erhöht. Dies zeigt, wie empfindlich das System
auf Änderungen des Feldes reagiert, wenn die ferromagnetische Resonanz in
der Nähe des betrachteten Frequenzbereiches ist. Bei 56 mT liegt diese bei
3.0 GHz und für 59 mT bereits bei 3.1 GHz.
Das Experiment bestätigt diese Erwartung. Abbildung 6.9 gibt ein Spektrum
dieses Dubletts wieder, welches eine deutliche Nichtreziprozität zeigt. Da die magnetischen Momente des Ferrits jetzt an beide Resonatormoden koppeln können,
hat das System zwei gebundene Zustände mit gebrochener Zeitumkehrinvarianz.
Durch Interferenz dieser beiden Resonanzen kann das detaillierte Gleichgewicht
aufgehoben werden.
71
Um diese Abhängigkeit von der Ferrit-Position weiter zu überprüfen, wurde der
Zylinder auch auf Position C“ gebracht. Dieser Ort hat im Vergleich zur Posi”
tion A“ zwar denselben Abstand vom Kreismittelpunkt, ist jedoch gegen den
”
Uhrzeigersinn um 5.5◦ verdreht. Da der Ferrit die einzige Störung der Rotationssymmetrie des Kreisbillards darstellt, definiert die Verbindungsgerade zwischen
dem Ferrit und dem Mittelpunkt des Billards die Achse der Spiegelsymmetrie, an
der sich das Feldbild ausrichtet“. Deswegen ist das komplette Feldlinienbild um
”
den Winkel von 5.5◦ verdreht. Da die Antennen zur Ankopplung an das Feld fest
mit der Kavität verbunden sind und nicht mitgedreht werden können, ändert sich
die relative Position zwischen den beiden Antennen und dem Feld im Resonator.
Sollte der Effekt der Nichtreziprozität unabhängig von der Ankopplung der Antennen an das Feld sein, so wird erwartet, dass das Dublett bei 3.2 GHz mit dem
Ferrit auf Position C“ keine Verletzung des detaillierten Gleichgewichts zeigt.
”
Das Experiment ergibt, dass auch in diesem Fall keine nichtreziproken Effekte
auftreten (in der vorliegenden Arbeit sind von diesen Messungen keine Spektren
abgebildet). Somit hat hier die Antennenposition keinen Einfluss auf die Reziprozität des Systems. Zusammenfassend lässt sich für das hier betrachtete Dublett
folgendes feststellen: Damit ein Dublett nichtreziprokes Verhalten durch einen
magnetisierten Ferrit aufweist, ist es notwendig, dass der Ferrit an beide magnetischen Hochfrequenzfelder in der Kavität ankoppeln kann. Die Position der
Antennen relativ zu den Resonanzfeldern spielt – solange die Antennen an beide
elektrischen Feldkonfigurationen ankoppeln können – keine Rolle.
6.4
Erweiterung zum Ringbillard
Zur Untersuchung von weiteren Singuletts wurde in das Kreisbillard eine massive
Kupfer-Kreisscheibe mit einem Durchmesser von 187.5 mm und einer Höhe von
5 mm hineingelegt. Sie berührt den Rand des Kreisbillards (vgl. Abbildung 6.10).
Dieses System wurde bereits in [8,10,59] ausführlich untersucht. Eine Eigenschaft
des Systems ist, dass die Entartungen des leeren Kreisbillards aufgehoben sind,
und dass im niedrigen Frequenzbereich (< 5 GHz) in Abständen von 250 MHz bis
300 MHz mehrere isolierte Resonanzen liegen. Das Transmissionsspektrum dieses
Systems ohne Ferrit ist in Abbildung 6.11 gezeigt. Die ersten acht Resonanzen
bis zur Frequenz von ca. 4.7 GHz sollten ausreichend isoliert sein, um als Singuletts betrachtet werden zu können. Dementsprechend wird erwartet, dass der
Frequenzbereich bis zur achten Resonanz Reziprozität aufweist.
Für das Experiment wurde der Ferrit an die Position A“ gebracht und es wur”
den Magnetfelder zwischen 0 und 120 mT zu dessen Magnetisierung angelegt. Die
ferromagnetische Resonanz hat daher den Bereich bis ca. 4.7 GHz überstrichen.
Die Analyse der Übergangsamplituden der Singuletts ergibt, dass sich deren Beträge unter Zeitumkehr um weniger als 0.5 % voneinander unterscheiden. Dieses
72
31.25 mm
r=
y
mm
5
7
3.
9
m
r=
5m
12
x
0
A
1
2
Abb. 6.10: Schema des Ringbillards: Die Antennenpositionen und die Position A“ des
”
Ferrits haben sich gegenüber dem Kreisbillard (Abb. 6.1) nicht verändert.
Die eingelegte Kreisscheibe berührt den oberen Rand des Billards. Die
beiden Kreismittelpunkte liegen 31.25 mm auseinander.
Pout/Pin (dB)
-40
-60
-80
2
2.5
3
3.5
4
Frequency (GHz)
4.5
5
Abb. 6.11: Leeres Ringbillard: Der Grundzustand liegt bei 2.54 GHz. Die acht Resonanzen zwischen den beiden vertikalen Linien sind jeweils 250 MHz bis
300 MHz voneinander getrennt und können daher als Singuletts angesehen
werden.
73
Ergebnis gilt für den gesamten untersuchten Magnetfeldbereich. Es war innerhalb des betrachteten Frequenzbereiches daher keine signifikante Abweichung von
der Reziprozität festzustellen. Die sehr geringen Unterschiede in der Transmission
bringen zum Ausdruck, dass die Resonanzen keine perfekten Singuletts sind und
trotz der großen gegenseitigen Separation der Einfluss der anderen Resonanzen
immer noch vorhanden ist.
Zusammenfassung Die zwei hier untersuchten Resonatoren (Kreis- und Ringbillard) stützen erneut das in Abschnitt 2.4 entwickelte Modell für ein Streusystem bei gebrochener Zeitumkehrsymmetrie. Isolierte Resonanzen zeigen auf
Grund der fehlenden Möglichkeit zur Interferenz mit weiteren Zuständen in der
Kavität selbst bei verletzter Zeitumkehrinvarianz des kompletten Systems keine
nichtreziproken Eigenschaften. Dies bedeutet, dass die in Abschnitt 2.4 eingeführte Wechselwirkung V zeitumkehr-erhaltend ist und Gleichung (2.43) auf Seite 17
gilt. Wird dem System ein zweiter gebundener Zustand zur Verfügung gestellt
(die zwei Resonanzen eines Dubletts), so kann sich die Brechung der Zeitumkehrsymmetrie in einer Verletzung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts
manifestieren. Hierzu ist es allerdings notwendig, dass der Ferrit mit den magnetischen Feldern beider Resonatormoden wechselwirkt. Ist dies der Fall, wird das
Verhalten des Dubletts – wenn die ferromagnetische Resonanz nicht genau im
gleichen Frequenzbereich liegt – durch den in der vorliegenden Arbeit entwickelten Formalismus beschrieben, und die zeitumkehrbrechende Wirkung durch einen
einzigen komplexen Parameter erfasst.
74
7
Schlussbemerkung und Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurden elementare Eigenschaften von Mikrowellenresonatoren mit gebrochener Zeitumkehrsymmetrie untersucht: Resonanzformen.
Das erste experimentelle Indiz für ein System ohne Zeitumkehrinvarianz ist, dass
sich das Transmissionsspektrum unter Vertauschung von Ein- und Auskopplungskanal verändert. Im Rahmen dieser Arbeit wurde diese Signatur an Singuletts
und Dubletts genau vermessen und untersucht.
Zur Brechung der Zeitumkehrinvarianz wurden magnetisierte Ferrite eingesetzt.
Da dieses Arbeitsgebiet für die experimentelle Quantenchaos-Gruppe der Technischen Universität Darmstadt neu war, wurden zunächst die Eigenschaften von
Ferriten theoretisch studiert und dann in Experimenten mit einem Hohlleiter untersucht. Das Verständnis der Wirkungsweise von Ferriten bildet die Grundlage
für die im Verlauf der vorliegenden Arbeit durchgeführten Untersuchungen. Zukünftige Experimente zu weiterführenden Fragen an Systeme mit gebrochener
Zeitumkehrsymmetrie können auf diese Erkenntnisse aufbauen.
Die experimentellen Ergebnisse aus den drei untersuchten Billard-Systemen
(Kreuz-, Kreis- und Ringbillard) zeigen eindeutig, dass an Singuletts in Mikrowellenresonatoren die Reziprozität immer gegeben ist. In diesem Punkt unterscheiden sich die hier durchgeführten Untersuchungen von Experimenten zur Zeitumkehrbrechung durch die starke Wechselwirkung an Kernreaktionen. Wie in der
Kernphysik kann ein Experiment an Mikrowellenresonatoren als Streuexperiment
betrachtet werden. Die Resonatormoden entsprechen den gebundenen Zuständen, und die Antennen stellen die ankoppelnde Wechselwirkung zwischen den
elektromagnetischen Wellen auf den Zuleitungen und den gebundenen Zuständen
dar. In der Kernphysik wird angenommen, dass die Wechselwirkung zwischen den
ein- bzw. auslaufenden Teilchen und den gebundenen Zuständen der Streukerne
die Zeitumkehrsymmetrie bricht. In den in der vorliegenden Arbeit untersuchten
Mikrowellenresonatoren ist diese Symmetrie durch die Ankopplung der Antennen erhalten. Zusätzlich können in der Kernphysik im Ausgangskanal mehrere
Partialwellen miteinander interferieren, so dass auch in isolierten Zuständen der
differentielle Wirkungsquerschnitt eine Verletzung des Prinzips des detaillierten
Gleichgewichts aufweisen kann. Auf den in der vorliegenden Arbeit verwendeten
Antennen und Koaxialkabeln wird jeweils nur eine Schwingungsmode angeregt,
so dass hier keine Möglichkeit zur Interferenz besteht.
Stehen dem Streusystem im Mikrowellenresonator mehrere gebundene Zustände
zur Verfügung, wie dies z. B. in Dubletts der Fall ist, so können, im Unterschied zur
Kernphysik, deutliche Abweichungen vom Prinzip des detaillierten Gleichgewichts
gemessen werden. Diese starke Verletzung der Zeitumkehrsymmetrie ermöglicht
es, die Unterschiede in den Resonanzformen genau zu studieren.
Zur weiteren Auswertung der Daten war es notwendig, aus den gemessenen Spek75
tren für alle Resonanzen deren Position, Breite, Amplitude und Phase zu extrahieren. Für diese Aufgabe wurde ein Programm entwickelt. Es hat eine intuitive
Benutzeroberfläche und steht allen Mitarbeitern des Instituts für Kernphysik der
TU-Darmstadt zur Verfügung. Zusätzlich wurde eine ausführliche Dokumentation für den Anwender geschrieben, die in gedruckter und elektronischer Form
zur Verfügung steht. Somit ist sichergestellt, dass das Programm, welches sich
bereits nach wenigen Monaten auch als Hilfe für die anderen Mitglieder der Chaosgruppe etabliert hat, auch in Zukunft verwendet werden kann.
Die so ermittelten Resonanzparameter dienten zur Überprüfung eines im Formalismus der Streutheorie entwickelten Modells zur Zeitumkehrbrechung in ZweiZustands-Systemen. Im Rahmen der Messfehler konnte das Experiment dieses
Modell erstaunlich gut bestätigen. Diese Übereinstimmung rechtfertigte einen
komplexen Parameter zur Beschreibung der Unterschiede zwischen den Transmissionsspektren von Dubletts bei Zeitumkehr. Er enthält alle notwendigen Informationen, um diese Unterschiede komplett zu erfassen.
Frühere experimentelle Arbeiten der Darmstädter Quantenchaos-Gruppe haben
sich mit Exceptional Points“ in Zwei-Zustands-Systemen beschäftigt [45]. Es exis”
tieren bereits theoretische Überlegungen zu Exceptional Points in Systemen mit
gebrochener Zeitumkehrsymmetrie [60]. Mit den in der vorliegenden Arbeit gewonnenen Erkenntnissen ist es denkbar, dass solche Systeme auch dem Experiment
zugänglich gemacht werden können.
In den vergangenen Monaten wurde eine Messmethode entwickelt, mit der die
elektrische Feldverteilung in Mikrowellenresonatoren mit großer Präzision vermessen werden kann [61]. Daraus kann die elektrische Feldverteilung in der Kavität
rekonstruiert werden. In Verbindung mit der vorliegenden Arbeit könnten nicht
nur Absolutbeträge [14, 15, 17], sondern die eigentlichen Feldverteilungen in Systemen mit gebrochener Zeitumkehrinvarianz vermessen werden.
Schließlich bleibt auch noch die interessante Frage zu diskutieren, wie die Symmetrie der Zeitumkehr mit den geometrischen Symmetrien der Resonatoren in
Verbindung steht. Die räumliche Symmetrie des Gesamtsystems wird im Wesentlichen durch drei Faktoren bestimmt: Die Form der Berandung des Billards, die
Position des Ferrits oder der Ferrite im Billard und die Anordnung der Antennen,
durch die Leistung in das System ein- und ausgekoppelt wird. Eine systematische
Untersuchung dieser Einflüsse auf die Verletzung der Zeitumkehrinvarianz, wie sie
in der vorliegenden Arbeit nur ansatzweise durchgeführt werden konnte, würde
zu einem weiteren Verständnis der im Resonator ablaufenden Prozesse beitragen.
76
A
Mathematische Herleitungen
Dieser erste Anhang soll kurz die in den vorhergehenden Kapiteln ausgelassenen mathematischen Umformungen nachreichen. Kapitel A.1 zeigt, dass die ankoppelnde Wechselwirkung zwischen Kavität und Antennen reell gewählt werden
kann. In A.2 werden die Eigenwerte und Eigenvektoren des in Abschnitt 2.4 eingeführten effektiven Hamilton-Operators berechnet. Anhang A.3 skizziert, wie die
Schrödinger-Gleichung in Polarkoordinaten gelöst wird, um die Eigenfunktionen
des Kreisbillards zu erhalten.
A.1
Zeitumkehrsymmetrische Ankopplung an die Kavität
Es soll gezeigt werden, dass aus Gleichung (2.43) auf Seite 17 folgt, dass die
Wechselwirkung V reell gewählt werden kann und zeitumkehr-erhaltend ist.
Im Fall eines Ein-Niveau-Systems lässt sich H eff als
H eff = E |1ih1|
⇒
|1ih1| = I
(A.1)
darstellen. Somit ist die Aussage von (2.43) äquivalent zu
ha|V † V |bi = hb|V † V |ai .
(A.2)
Dies bedeutet, dass die Matrix (V † V ) symmetrisch ist, also
(V † V )T = V † V
(A.3)
gilt. Mit der Eigenschaft (V † V )† = V † V , die für jede Matrix gilt, ist (A.3) äquivalent zu
(V † V )∗ = V † V ,
(A.4)
d. h. alle Elemente der Matrix (V † V ) müssen reell sein. Diese Bedingung ist sicherlich erfüllt, wenn bereits alle Elemente von V reell sind.
In der vorliegenden Arbeit wird V daher als reell angesetzt, es gilt also V † = V T
und wegen (A.3) ist (V T V ) symmetrisch. Als reelle Matrix, kann V keine zeitumkehrbrechenden Effekte hervorrufen. Die Ankopplung der elektromagnetischen
Wellen auf den Antennen an die gebundenen Resonanzzustände der Kavität erhält die Zeitumkehrsymmetrie. Für eine explizite Berechnung von V sei auf Gleichung (6) aus [62] verwiesen.
77
A.2
Eigenwerte des effektiven Hamilton-Operators
Die Eigenwerte E (λ) des Operators H eff ergeben sich als Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix (2.50)
(E1 − E (λ) )(E2 − E (λ) ) + (w + ih)2 = 0
(A.5)
mit C = (E1 − E2 )/(2 (w + ih)) zu
√
E ± = (E1 + E2 )/2 ± (w + ih) C 2 − 1
E1 + E2 E1 − E2 √
=
±
1 − C −2 .
2
2
Die rechten Eigenvektoren von H eff sollen die Koeffizienten
!
(λ)
x
1
|x(λ) i =
(λ)
x2
(λ)
(A.6)
(A.7)
(λ)
haben. Das Verhältnis x1 /x2 erhält man aus dem Gleichungssystem
(λ)
(λ)
(λ)
(λ)
E1 x1 + (w + ih) x2
E2 x2 − (w + ih) x1
(λ)
= E (λ) x1 ,
(λ)
= E (λ) x2 .
(A.8)
Indem man die linken und die rechten Seiten dieser Gleichungen jeweils durcheinander dividiert, ergibt sich eine quadratische Gleichung für das genannte Verhältnis. Die Lösungen sind
√
x±
1
C 2 − 1) .
(A.9)
± = −(C ±
x2
Das liefert als rechte Eigenvektoren
√
1
C + C2 − 1
|x i =
,
−1
N+
√
1
−C + C 2 − 1
−
|x i =
.
1
N−
+
(A.10)
Die linken Eigenvektoren werden als
hx(λ) | =
(λ)
(λ)
(λ)
x̃1 ,
(λ)
x̃2
(A.11)
geschrieben. Das Verhältnis x̃1 /x̃2 lässt sich mit dem Gleichungssystem
(λ)
(λ)
E1 x̃1 − (w + ih) x̃2
(λ)
(λ)
(w + ih) x̃1 + E2 x̃2
78
(λ)
= E (λ) x̃1 ,
(λ)
= E (λ) x̃2
(A.12)
bestimmen. Ähnlich wie oben erhält man
√
x̃±
1
=
C
±
C2 − 1 .
x̃±
2
(A.13)
Das liefert die linken Eigenvektoren
1
N+
1
hx− | =
N−
hx+ | =
C+
C−
√
C2 − 1 , 1
√
C2 − 1 , 1
,
.
(A.14)
Die Faktoren N ± ergeben sich mit der Normierungsbedingung hx± |x± i = 1 zu
√
√
2 C ( 1 + 1 − C −2 − C −2 )1/2 ,
N+ =
√
√
N− =
2 C (−1 + 1 − C −2 + C −2 )1/2 .
(A.15)
Zur Bestimmung von (2.51) müssen Ausdrücke vom Typ ha|V T |x(λ) i ausgerechnet
werden. Unter Verwendung der Vollständigkeitsrelation für die Eigenzustände von
H s kann dies als
ha|V T |x(λ) i = ha|V T |1ih1|x(λ) i + ha|V T |2ih2|x(λ) i
(A.16)
geschrieben werden. Da die Eigenvektoren |x(λ) i in (A.10) bezüglich der Basis |1i
und |2i ausgerechnet werden, entsprechen die Skalarprodukte h1|x(λ) i und h2|x(λ) i
gerade der ersten bzw. zweite Komponenten von |x(λ) i. Somit ergeben sich die
Gleichungen (2.62) bis (2.65).
A.3
Lösung der Schrödinger-Gleichung in
Polarkoordinaten
Gesucht sind die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
−
~2
∆ψ(r, φ) = E ψ(r, φ)
2µ
(A.17)
in einem kreisförmigen Gebiet mit der Randbedingung
ψ(r = R, φ) = 0 ,
(A.18)
wenn der Kreis einen Radius R hat. Die Masse des Teilchens sei µ.
In Polarkoordinaten lässt sich (A.17) als
~2 ∂ 2
1 ∂
1 ∂2
−
+
+
ψ(r, φ) = E ψ(r, φ)
2µ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ2
79
(A.19)
schreiben [63].
Die Lösung separiert in zwei Anteile
ψ(r, φ) = R(r) Θ(φ),
(A.20)
wobei Θ(φ) durch
d2 Θ(m) (φ)
= −m2 Θ(m) (φ)
dφ2
⇒
1
Θ(m) (φ) = √ eimφ
2π
(A.21)
bestimmt ist. Da ψ beim Übergang φ → φ + 2π eindeutig sein soll, nimmt m die
Werte 0, ±1, ±2, . . . an.
p
Mit der Abkürzung k = 2µE/~2 und der Substitution z = kr lässt sich der
radiale Anteil von (A.19) als
d2 R(z) 1 dR(z)
m2
(A.22)
+
+ 1− 2 = 0,
dz 2
z dz
z
schreiben, welches die Differentialgleichung der zylindrischen Besselfunktion darstellt. Für jeden Wert von |m| hat sie zwei linear unabhängige Lösungen Jm (z)
und Ym (z), von denen jedoch nur die Besselfunktion 1. Art, Jm (z), für z → 0 nicht
divergent ist. Da der Ursprung im Lösungsgebiet liegt, trägt die Besselfunktion 2.
Art, Ym (z), nicht zur physikalisch sinnvollen Lösung bei.
Die Eigenenergien von (A.17) sind durch die Randbedingung (A.18) festgelegt.
Hier gilt Jm (kR) = 0 und die zulässigen Energien sind durch
E(m,n) =
2
~2 k(m,n)
2µ
=
~2
[x(m,n) ]2 ,
2µR2
(A.23)
gegeben, wobei x(m,n) die n-te Nullstelle von Jm (z) ist.
Der Winkelanteil (A.21) lässt sich durch Linearkombinationen in reelle Funktionen
 √
 1/ 2π √ f ür m = 0
Θ̃(m) (φ) =
(A.24)
cos(mφ)/√ π f ür m = 1, 2, 3, . . .

sin(mφ)/ π f ür m = 1, 2, 3, . . .
aufteilen. Hieraus wird ersichtlich, dass alle Lösungen mit m 6= 0 zweifach entartet
sind.
80
B
Tabellarische Zusammenfassung der
Parameter
In diesem Abschnitt sind die aus den Experimenten ermittelten Parameter, die in
den Abbildungen 5.11 und 6.6 graphisch dargestellt sind, tabellarisch aufgeführt.
Die Parameter beschreiben die Dubletts im Kreuz- und Kreisbillard entsprechend
den Gleichungen (2.69), die hier erneut angegeben sind:
Sab
Sba
A+
A−
ab
ab
=
−i
+ − i
− ,
ν − ν + + i Γ2
ν − ν − + i Γ2
η
η
= Sab − i
+
i
+
− .
ν − ν + + i Γ2
ν − ν − + i Γ2
In den Gleichungen wird das nichtreziproke Verhalten des Systems durch den
komplexen Parameter η erfasst. Neben η sind noch acht weitere Parameter zu
bestimmen. In den Tabellen sind für eine Transmissionsrichtung zunächst jeweils
die vier Parameter jeder Resonanz angegeben. Danach folgt Betrag und Phase
von η. Zusätzlich sind die Stärken der externen Magnetfelder B angegeben, für
die die Parametersätze gewonnen wurden.
Die angegeben Fehler sind die aus der Anpassung ermittelten statistischen Fehler.
Für den Gesamtfehler sind zusätzlich die hier angegeben systematischen Fehler
zu berücksichtigen:
∆ν = 75 kHz, ∆Γ = 225 kHz, ∆A = 33 Hz, ∆φ = 0.4◦ .
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit war es nicht möglich, allgemeingültige Fehlerschranken für Betrag und Phase von η zu ermitteln. Für eine Abschätzung
wurden Reproduktionsmessungen an den ausgewerteten Dubletts durchgeführt.
Bei diesen Messungen wurde sichergestellt, dass die Spektren keine Verletzung
der Reziprozität aufweisen, daher musste η = 0 gelten. Jede Abweichung von
Null wurde als Maß für den Fehler gewertet. Für den Betrag von η ergaben sich
so die folgenden systematischen Fehler:
Kreuzbillard: ∆|η| = 900 Hz ,
Kreisbillard: ∆|η| = 25 Hz
Die große Unsicherheit in der Bestimmung von |η| im Kreuzbillard bringt zum
Ausdruck, wie empfindlich die Form des Dubletts auf kleinste Änderungen des
Systems reagiert (vgl. Abbildung 5.7, S. 49). Im Kreisbillard wurde für diese
Fehlerbestimmung das Dublett bei 2.67 GHz vermessen. Da bei beiden Messungen
η = 0 erwartet wurde und für diesen Fall keine Phase definiert werden kann,
konnten auch keine Unsicherheiten für die Phasen ermittelt werden. Jedoch weist
die kontinuierliche Entwicklung von arg(η) in Abhängigkeit vom Magnetfeld auf
Fehler in der Größenordnung weniger Grad hin.
81
Tabelle B.1: Parameter zu Abbildung 5.11 im Kreuzbillard: Es sind die 10 freien Parameter für das Dubletts im Kreuzbillard angegeben. Der oberste Teil der
Tabelle gibt die Werte für die erste Resonanz des Dubletts an, der mittlere Abschnitt stellt die Parameter für die zweite Resonanz dar. Im letzten
Abschnitt sind Betrag und Phase von η angegeben. Die Fehlerangaben
erfassen den statistischen Fehler.
B (mT)
0.0
74.7
84.7
96.5
103.0
110.3
114.1
118.0
0.0
74.7
84.7
96.5
103.0
110.3
114.1
118.0
ν (GHz)
4.6067126 ± 0.0002089
4.6347269 ± 0.0000814
4.6441332 ± 0.0000806
4.6595352 ± 0.0000866
4.6733074 ± 0.0001122
4.6933967 ± 0.0001484
4.7100517 ± 0.0002051
4.7470708 ± 0.0004314
4.9679121 ± 0.0000007
4.9736860 ± 0.0000005
4.9780185 ± 0.0000006
4.9860291 ± 0.0000006
4.9933266 ± 0.0000008
5.0049838 ± 0.0000013
5.0160137 ± 0.0000023
5.0340255 ± 0.0000055
Γ (MHz)
17.717 ± 0.418
8.522 ± 0.163
8.376 ± 0.161
8.335 ± 0.173
9.763 ± 0.224
10.125 ± 0.297
13.193 ± 0.410
24.771 ± 0.863
2.754 ± 0.001
2.211 ± 0.001
2.278 ± 0.001
2.494 ± 0.001
2.969 ± 0.002
4.162 ± 0.003
6.407 ± 0.005
11.330 ± 0.011
0.0
74.7
84.7
96.5
103.0
110.3
114.1
118.0
82
A (Hz)
4999 ± 87
4231 ± 60
4108 ± 59
3716 ± 57
3431 ± 57
2631 ± 56
2538 ± 54
2550 ± 68
87133 ± 39
86616 ± 35
87151 ± 36
88931 ± 37
88440 ± 38
83934 ± 43
81365 ± 48
73671 ± 61
|η| (Hz)
890 ± 43
1652 ± 37
2433 ± 38
2926 ± 39
3045 ± 40
2713 ± 45
3667 ± 51
4014 ± 64
φ (deg)
146.11 ± 0.99
162.77 ± 0.81
168.46 ± 0.82
175.92 ± 0.88
181.93 ± 0.95
187.81 ± 1.23
214.62 ± 1.21
275.06 ± 1.54
−31.95 ± 0.03
−29.75 ± 0.02
−28.58 ± 0.02
−28.48 ± 0.02
−30.35 ± 0.02
−30.64 ± 0.03
−30.32 ± 0.03
−33.75 ± 0.05
arg(η) (deg)
61.08 ± 2.78
−118.76 ± 1.29
−119.01 ± 0.89
−120.35 ± 0.77
−120.35 ± 0.76
−118.89 ± 0.95
−118.20 ± 0.80
−123.72 ± 0.91
Tabelle B.2: Parameter zu Abbildung 6.6 im Kreisbillard: Es sind die 10 freien Parameter für das Dubletts bei 2.67 GHz im Kreisbillard (Ferrit auf Position
A“) angegeben. Der oberste Teil der Tabelle gibt die Werte für die erste
”
Resonanz des Dubletts an, der mittlere Abschnitt stellt die Parameter
für die zweite Resonanz dar. Im letzten Abschnitt sind Betrag und Phase
von η angegeben. Die Fehlerangaben erfassen den statistischen Fehler.
B (mT)
0.0
28.5
36.0
43.4
53.0
59.3
68.3
80.2
0.0
28.5
36.0
43.4
53.0
59.3
68.3
80.2
0.0
28.5
36.0
43.4
53.0
59.3
68.3
80.2
ν (GHz)
Γ (MHz)
A (Hz)
2.6659636 ± 0.0000172 4.274 ± 0.034 2105 ± 14
2.6672418 ± 0.0000181 4.351 ± 0.036 1933 ± 14
2.6688471 ± 0.0000330 6.232 ± 0.066 1564 ± 18
2.6633632 ± 0.0000939 14.002 ± 0.188 1840 ± 25
2.6657344 ± 0.0000106 3.004 ± 0.021 2094 ± 12
2.6668023 ± 0.0000094 2.846 ± 0.019 2098 ± 11
2.6683562 ± 0.0000105 2.942 ± 0.021 2065 ± 12
2.6754822 ± 0.0000852 6.025 ± 0.170 2255 ± 77
2.6770852 ± 0.0000053 2.173 ± 0.011 2453 ± 10
2.6771703 ± 0.0000057 2.257 ± 0.011 2298 ± 10
2.6773018 ± 0.0000074 2.575 ± 0.015 1991 ± 12
2.6767371 ± 0.0000068 2.665 ± 0.014 1993 ± 11
2.6770037 ± 0.0000058 2.229 ± 0.012 2439 ± 11
2.6770517 ± 0.0000055 2.207 ± 0.011 2451 ± 10
2.6770768 ± 0.0000056 2.189 ± 0.011 2438 ± 11
2.6771655 ± 0.0000159 2.302 ± 0.032 2710 ± 69
|η| (Hz)
34 ± 9
353 ± 9
1074 ± 12
1710 ± 13
497 ± 9
345 ± 9
278 ± 9
647 ± 24
83
φ (deg)
−37.62 ± 0.38
−35.16 ± 0.42
−31.81 ± 0.68
−63.20 ± 0.79
−43.11 ± 0.33
−41.03 ± 0.31
−39.78 ± 0.34
−57.73 ± 1.95
147.44 ± 0.24
149.95 ± 0.26
155.20 ± 0.34
128.36 ± 0.33
141.55 ± 0.25
143.18 ± 0.24
144.38 ± 0.25
132.70 ± 1.46
arg(η) (deg)
44.44 ± 15.54
104.68 ± 1.53
108.35 ± 0.61
−160.17 ± 0.42
−127.65 ± 1.08
−124.63 ± 1.46
−120.72 ± 1.86
−87.04 ± 2.15
C
Konstruktionszeichnungen
Für den Bau des Kreuzbillards und des Wellenleiters wurden Konstruktionszeichnungen mit einem CAD System (AutoCAD) erstellt. Vereinfachte Übersichtszeichnungen der jeweiligen Mittelplatten sind hier gezeigt. Das verwendete Material ist
jeweils 5 mm starkes, sauerstoffarmes Kupfer.
Abb. C.1: Gezeigt ist die Konstruktionszeichnung der Mittelplatte des Kreuzbillards.
Alle Maßangaben sind in Millimeter.
84
Abb. C.2: Gezeigt ist die Konstruktionszeichnung der Mittelplatte des Wellenleiters.
Alle Maßangaben sind in Millimeter.
85
Literatur
[1] L. A. Bunimovich: On the Ergodic Properties of Nowhere Dispersing Billiards,
Commun. Math. Phys. 65, 295 (1979).
[2] M. V. Berry: Regularity and chaos in classical mechanics, illustrated by three
deformations of a circular ’billiard’, Eur. J. Phys. 2, 91 (1981).
[3] H. G. Schuster: Deterministic Chaos, 2. Aufl. (VCH, Weinheim, Deutschland,
1988).
[4] O. Bohigas, M. J. Giannoni and C. Schmit: Characterization of Chaotic
Quantum Spectra and Universality of Level Fluctuation Laws, Phys. Rev.
Lett. 52, 1 (1984).
[5] S. W. McDonald and A. N. Kaufman: Wave chaos in the stadium: Statistical
properties of short-wave solutions of the Helmholtz equation, Phys. Rev. A
37, 3067 (1988).
[6] A. Richter: Playing Billiard with Microwaves - Quantum Manifestations of
Classical Chaos, in Emerging Applications of Number Theory, 109, The IMA
Volumes in Mathematics and its Applications, Hrsg.: D. A. Hejhal, J. Friedmann, M. C. Gutzwiller and A. M. Odlyzko (Springer, New York, 1999), S.
479.
[7] H.-D. Gräf, H. L. Harney, H. Lengeler, C. H. Lewenkopf, C. Rangacharyulu,
A. Richter, P. Schardt and H. A. Weidenmüller: Distribution of Eigenmodes
in a Superconducting Stadium Billiard with Chaotic Dynamics, Phys. Rev.
Lett. 69, 1296 (1992).
[8] C. Dembowski, H.-D. Gräf, A. Heine, R. Hofferbert, H. Rehfeld and A. Richter: First Experimental Evidence for Chaos-Assisted Tunneling in a Microwave Annular Billiard, Phys. Rev. Lett. 84, 867 (2000).
[9] C. Dembowski, B. Dietz, T. Friedrich, H.-D. Gräf, A. Heine, C. Mejı́aMonasterio, M. Miski-Oglu, A. Richter and T. H. Seligman: First Experimental Evidence for Quantum Echoes in Scattering Systems, Phys. Rev. Lett. 93,
134102 (2004).
[10] R. Hofferbert, H. Alt, C. Dembowski, H.-D. Gräf, H. L. Harney, A. Heine, H. Rehfeld and A. Richter: Experimental investigations of chaos-assisted
tunneling in a microwave annular billiard, Phys. Rev. E 71, 046201 (2005).
[11] C. Dembowski, B. Dietz, T. Friedrich, H.-D. Gräf, H. L. Harney, A. Heine, M.
Miski-Oglu and A. Richter: Distribution of resonance strengths in microwave
billiards of mixed and chaotic dynamics, Phys. Rev. E 71, 046202 (2005).
86
[12] P. So, S. M. Anlage, E. Ott and R. N. Oerter: Wave Chaos Experiments with
and without Time Reversal Symmetry: GUE and GOE Statistics, Phys. Rev.
Lett. 74, 2662 (1995).
[13] A. Gokirmak, D.-H. Wu, J. S. A. Bridgewater and S. M. Anlage: Scanned
perturbation technique for imaging electromagnetic standing wave patterns of
microwave cavities, Rev. of Scientific Instruments 69, 3410 (1998).
[14] D.-H. Wu, J. S. A. Bridgewater, A. Gokirmak and S. M. Anlage: Probability
Amplitude Fluctuations in Experimental Wave Chaotic Eigenmodes with and
Without Time-Reversal Symmetry, Phys. Rev. Lett. 81, 2890 (1998).
[15] S.-H. Chung, A. Gokirmak, D.-H. Wu, J. S. A. Bridgewater, E. Ott, T. Antonsen and S. M. Anlage: Measurement of Wave Chaotic Eigenfunctions in
the Time-Reversal Symmetry-Breaking Crossover Regime, Phys. Rev. Lett.
85, 2482 (2000).
[16] U. Stoffregen, J. Stein, H.-J. Stöckmann, M. Kus and F. Haake: Microwave
Billiards with Broken Time Reversal Symmetry, Phys. Rev. Lett. 74, 2666
(1995).
[17] M. Vraničar, M. Barth, G. Bevle, M. Robnik and H.-J. Stöckmann: ’Persistent currents’ and eigenfunctions in microwave resonators with broken timereversal symmetry, J. Phys. A: Math Gen. 35, 4929 (2002).
[18] H. Schanze and H.-J. Stöckmann: Universal transport properties of open microwave cavities with and without time-reversal symmetry, Phys. Rev. E 71,
016223 (2005).
[19] B. Lax and K. J. Button: Microwave ferrites and ferrimagnetics (McGrawHill, New York, 1962).
[20] H.-J. Stöckmann: Quantum Chaos: an introduction (Cambridge University
Press, Cambridge, 1999).
[21] N. G. van Kampen: Stochastic processes in physics and chemistry, 1. Aufl.
(Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, North-Holland, 1983).
[22] R. A. Alberty: Principle of Detailed Balance in Kinetics, Journ. of Chem.
Educ. 81, 1206 (2004).
[23] E. H. Henley and B. A. Jacobsohn: Time Reversal in Nuclear Interactions,
Phys. Rev. 113, 225 (1959).
[24] W. von Witsch, A. Richter and P. von Brentano: A Test of Time - Reversal
Invariance in the Reactions 24 Mg (α, p) 27Al and 27Al (p, α) 24 Mg, Phys. Lett.
22, 631 (1966).
87
[25] W. von Witsch, A. Richter and P. von Brentano: Upper Limit of T Nonconservation in the Reactions 24 Mg + α ⇔ 27Al + p, Phys. Rev. Lett. 19, 524
(1967).
[26] W. von Witsch, A. Richter and P. von Brentano: Test of Time-Reversal
Invariance through the Reactions 24 Mg + α ⇔ 27Al + p, Phys. Rev. 169, 923
(1968).
[27] A. Richter: Present Status of Time-Reversal Invariance in the Nuclear Interactions, in interaction studies in nuclei, Hrsg.: H. Jochim and B. Ziegler
(North-Holland, Amsterdam, 1975).
[28] J. M. Pearson and A. Richter: Time-Reversibility Violation and Isolated
Nuclear Resonances, Phys. Lett. 56B, 112 (1975).
[29] H. Driller, E. Blanke, H. Genz, A. Richter, G. Schrieder and J. M. Pearson:
Test of Detailed Balance at Isolated Resonances in the Reactions 27Al + p ⇔
24
Mg + α and Time Reversibility, Nucl. Phys. A317, 300 (1979).
[30] E. Blanke, H. Driller, W. Glöckle, H. Genz, A. Richter and G. Schrieder:
Improved Experimental Test of Detailed Balance and Time Reversibility in
the Reactions 27Al + p ⇔ 24 Mg + α, Phys. Rev. Lett. 51, 355 (1983).
[31] H. L. Harney, A. Hüpper and A. Richter: Ericson Fluctuations, Detailed
Balance and Time-Reversal Invariance, Nucl. Phys. A518, 35 (1990).
[32] A. Derode, P. Roux and M. Fink: Robust Acoustic Time Reversal with HighOrder Multiple Scattering, Phys. Rev. Lett. 75, 4206 (1995).
[33] M. Fink: Chaos and Time-Reversed Acoustics, in Quantum Chaos Y2K –
Nobel Symposium 116, Hrsg.: K.-F. Berggren and S. Åberg (Physica Scripta,
the Royal Swedish Academy of Sciences, Stockholm, 2001).
[34] G. Lerosey, J. de Rosny, A. Tourin, A. Derode, G. Montaldo and M. Fink:
Time Reversal of Electromagnetic Waves, Phys. Rev. Lett. 92, 193904 (2004).
[35] J. D. Jackson: Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, Inc., New York,
1999).
[36] H. Frauenfelder and E. M. Henley: in Teilchen und Kerne, 4. Aufl., Hrsg.:
M. Reck (R. Oldenbourg Verlag, München, 1999).
[37] J. J. Sakurai: in Modern Quantum Mechanics, 1. Aufl., Hrsg.: S. F. Tuan
(Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Redwood City, California, 1985).
[38] F. Haake: in Quantum Signatures of Chaos, 2. Aufl., Hrsg.: H. Haken
(Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2000).
88
[39] C. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, 13. Aufl. (Oldenbourg Verlag,
München, 2002).
[40] S. Krupička: Physik der Ferrite und der verwandten magnetischen Oxide
(Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig, 1973).
[41] H. L. Harney: Reziprozität II, private Mitteilung (unveröffentlicht).
[42] A. Müller: Vermittlung und Deutung aktueller Ergebnisse der Quantenmechanik – Methodische Wechselbeziehungen von Physik und Didaktik, Habilitationsschrift, Fachbereich für Physik der Justus-Liebig-Universität Gießen,
1996.
[43] C. Mahaux and H. A. Weidenmüller: Compound nuclear reactions as a test
of T-invariance, Phys. Lett. 23, 100 (1966).
[44] S. Albeverio, F. Haake, P. Kurasov, M. Kuś and P. Šeba: S-matrix, resonances, and wave functions for transport through billiards with leads, J. Math.
Phys. 37, 4888 (1996).
[45] C. Dembowski, B. Dietz, H.-D. Gräf, H. L. Harney, A. Heine, W. D. Heiss
and A. Richter: Encircling an exceptional point, Phys. Rev. E 69, 056216
(2004).
[46] J. Stein, H.-J. Stöckmann and U. Stoffregen: Microwave Studies of Billiard
Green Functions and Propagators, Phys. Rev. Lett. 75, 53 (1995).
[47] J. Barthelemy, O. Legrand and F. Mortessagne: Complete S matrix in a
microwave cavity at room temperature, Phys. Rev. E 71, 016205 (2005).
[48] H. Alt, H.-D. Gräf, H. L. Harney, R. Hofferbert, H. Lengeler, A. Richter, P.
Schardt and H. A. Weidenmüller: Gaussian Orthogonal Ensemble Statistics
in a Microwave Stadium Billiard with Chaotic Dynamics: Porter-Thomas
Distribution and Algebraic Decay of Time Correlations, Phys. Rev. Lett. 74,
62 (1995).
[49] F. Beck, C. Dembowski, A. Heine and A. Richter: R-matrix theory of driven
electromagnetic cavities, Phys. Rev. E 67, 066208 (2003).
[50] W. H. Press, S. A. Teukolsky and W. T. Vetterling: Numerical Recipes - The
Art of Scientific Computing, 1. Aufl. (Cambridge University Press, Cambridge, 1986).
[51] R. Stallman: GNU General Public License, URL: http://www.gnu.org/
licenses/gpl.txt, 1991.
[52] GTK+ - The GIMP Toolkit, URL: http://www.gtk.org, 2003.
89
[53] W. H. Press, S. A. Teukolsky and W. T. Vetterling: Numerical Recipes in C,
2. Aufl. (Cambridge University Press, Cambridge, 1993).
[54] T. Friedrich: Nachweis wellenmechanischer Streuechos in offenen Mikrowellenbillards, Diplomarbeit, TU Darmstadt, 2003 (unveröffentlicht).
[55] A. F. Harvey: Microwave Engineering, 1. Aufl. (Academic Press, London,
1963).
[56] CST - Computer Simulation Technology, 3D Electromagnetic Field Simulation, http://www.cst.de, 2004.
[57] R. F. Soohoo: Theory and application of ferrites (Englewood Cliffs, PrenticeHall, 1960).
[58] C. Dembowski: Aufbau eines modularen supraleitenden Hohlraumresonators
auf der Basis von verbleitem Kupfer und Anderson-Lokalisierung in Mikrowellenbillards, Diplomarbeit, TH Darmstadt, 1997 (unveröffentlicht).
[59] R. Hofferbert: Wellendynamisches Chaos in einem supraleitenden 3D-SinaiBillard und Chaos-induziertes Tunneln in einem 2D-Ring-Billard, Dissertation D17, TU Darmstadt, 1999.
[60] H. L. Harney and W. D. Heiss: Time reversal and exceptional points, Eur.
Phys. J. D 29, 429 (2004).
[61] M. Miski-Oglu: Reconstruction of a Wave Function from the Electrical Field
Intensity Distribution in a Microwave Billiard, GrakoNews 2005 (unveröffentlicht).
[62] H. Schanz: Reaction matrix for Dirichlet billiards with attached waveguides,
Physica E 18, 429 (2003).
[63] R. W. Robinett: Quantum mechanics of the two-dimensional circular billiard
plus baffle system and half-integral angular momentum, Eur. J. Phys. 24, 231
(2003).
90
Danksagung
Unter dieser Arbeit steht zwar nur mein Name, aber ohne die Unterstützung vieler
anderer wäre es mir nie möglich gewesen, überhaupt so weit zu kommen. In diesem
Abschnitt möchte ich allen meinen Dank aussprechen, die an der Entstehung
dieser Arbeit beteiligt waren.
An erster Stelle danke ich meinen Eltern, die mich die ganze Zeit unterstützt und
gefördert haben. Erst durch sie hatte ich überhaupt die Chance, bis hierher zu
kommen.
Als nächstes möchte ich Herrn Professor Dr. Dr. h. c. mult. A. Richter dafür
danken, dass er mir die Möglichkeit gab, in der Quantenchaos Arbeitsgruppe
dieses sehr interessante Gebiet der Physik zu bearbeiten. Durch seine Anregungen
gelang es ihm immer wieder, mich auf die wichtigen Fragestellungen der Physik
aufmerksam zu machen und mir das wissenschaftliche Arbeiten zu vermitteln.
Ohne die unermüdliche Hilfe von Herrn Professor Dr. H. L. Harney wäre diese
Arbeit ebenfalls nur schwer möglich gewesen. Ich danke ihm für die vielen Stunden
der Diskussion, seinen persönlichen Einsatz und das Einbringen seiner ganzen
Erfahrung in diese Arbeit. Durch seine Hilfe konnten selbst die schwierigsten
Probleme gelöst werden.
Herrn Dr. H.-D. Gräf danke ich für die zahlreichen Gespräche, die ich mit ihm
führen konnte. Seine Erfahrung im Umgang mit Hochfrequenztechnik ist im Institut unersetzlich und gerade beim Umgang mit Mikrowellenkavitäten von großer
Bedeutung.
Den Mitgliedern der Chaosgruppe bin ich zu besonderem Dank verpflichtet: Frau
Dr. Barbara Dietz hat meine vielen offenen Fragen zur Theorie stets geduldig
beantwortet. Herr Dipl.-Phys. Thomas Friedrich wusste immer, was gerade wichtig
ist. Herr Maksim Miski-Oglu war für mich immer die erste Anlaufstelle bei neuen
experimentellen Herausforderungen. Herr cand. phys. Majid Taheri hatte viele
gute Verbesserungsvorschläge für mein Programm, und Herr cand. phys. Jonas
Metz hat meine vielen spontanen Fragen und Einwürfe mit großer Geduld über
sich ergehen lassen. Selbst in ihrer Freizeit konnte ich mich auf die Unterstützung
dieses tollen Teams verlassen. Auch die beiden ehemaligen Mitglieder der Gruppe,
Herr Dr. Andreas Heine und Herr Dr. Christian Dembowski, haben mich gefördert
und unterstützt, dafür danke ich ihnen.
Den Herren Dr. O. Titze und Dr. M. Platz danke ich für das vorhandene Netzwerk
und das Computersystem. Der reibungslosen Kommunikation zwischen den Systemen ist es zu verdanken, dass die Experimente rasch ausgewertet werden konnten.
Gab es doch einmal kleinere Probleme, wurden sie schnell und kompetent gelöst.
Den Mitarbeitern des ganzen Instituts für Kernphysik danke ich für die tolle
Arbeitsatmosphäre. Besonders Herrn P. Häckl und seinem Team aus der Me91
chanikwerkstatt danke ich, da nur sie es verstehen, vage Pläne in die Realität
umzusetzen.
Das Studium der Physik war nicht immer einfach für mich, doch durch die Hilfe
meiner Kommilitonen, besonders von Herrn Dipl.-Phys. Florian Greil und Herrn
cand. phys. Julian Hofmann, konnte ich es dennoch zu einem erfolgreichen Abschluss bringen. Für ihre Unterstützung und die tolle Zusammenarbeit mit ihnen
bedanke ich mich.
Herrn Dr. U. Hoeppe von der Firma AFT GmbH danke ich für seine Hilfe. Durch
seinen persönlichen Einsatz wurden mir Ferrite erst verständlich. Alle hier vorgestellten Ferrite wurden in Gesprächen mit ihm auf die experimentellen Bedürfnisse
abgestimmt und mir kostenlos zur Verfügung gestellt.
Es gibt aber auch Menschen außerhalb der Universität, denen ich zu Dank verpflichtet bin: Ohne meinen ehemaligen Physiklehrer Herrn J. Wagner wäre ich
vielleicht nie zur Physik gekommen, für seine langjährige Förderung danke ich
ihm. Ebenfalls danke ich Herrn cand. inf. Daniel Paschka, der mit mir über viele
Probleme diskutierte und oft meine letzte Rettung bei Problemen rund um den
Computer war.
Diese Arbeit wurde durch den Sonderforschungsbereich 634 Kernstruktur, nu”
kleare Astrophysik und fundamentale Experimente bei kleinen Impulsüberträgen
am supraleitenden Darmstädter Elektronenbeschleuniger S-DALINAC“ der DFG
unterstützt.
92
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und nur
die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Darmstadt, im August 2005
(Florian Schäfer)
Erklärung zur Diplomarbeit:
1. Mir ist bekannt, dass ein Exemplar der Diplomarbeit Bestandteil der Prüfungsakten wird und bei der TU Darmstadt verbleibt (19 Abs. 7 Diplomprüfungsordnung / Allgemeiner Teil (DPO/AT) vom 15. Juli 1991 (Amtsblatt
1992, S. 23) in der Fassung der zweiten Änderung vom 7. Februar 1994
(Amtsblatt S. 441)).
2. Ich bin damit einverstanden, dass die Diplomarbeit in den Bibliotheksbestand der TU Darmstadt aufgenommen und öffentlich zugänglich gemacht
wird.
Darmstadt, im August 2005
(Florian Schäfer)