Codierung: Zahlen - HKI

BIT I, WS 2016/17
Codierung: Zahlen
Stellenwertsysteme
Dezimalsystem
Normalerweise benutzen wir Zahlen in einem Stellenwertsystem der Basis 10. Die Zeichen, die wir zur Verfügung haben sind:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Wie setzt sich eine Zahl aus diesen Elementen zusammen?
4317 = 4000 + 300 + 10 + 7
oder
4317 = 4 · 103 + 3 · 102 + 1 · 101 + 7 · 100
Etwas kürzer lässt sich das über die Summennotation darstellen:
4317 =
3
X
ai 10i ,
wobei:
a ∈ {7, 1, 3, 4}
i=0
Verallgemeinert man die Basis 10 zu einer beliebigen Basis, so erhält man eine allgemeine
Formel für Zahlen zu einer beliebigen Basis:
n
X
ai bi
i=0
Andere Stellenwertsysteme
Zur Verwendung eines anderen Stellenwertsystems wird die Basis des Exponenten vertauscht
• Basis 10
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Beispiel:
4310 = 4 · 101 + 3 · 100
• Basis 8
(Dezimalsystem )
verfügbare Zeichen:
(Oktalsystem )
verfügbare Zeichen:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Beispiel:
4310 = 5 · 81 + 3 · 80
4310 = 538
• Basis 5
verfügbare Zeichen:
4310 = 1 · 52 + 3 · 51 + 3 · 50
4310 = 1335
• Basis 2
{0, 1, 2, 3, 4}
Beispiel:
(Binärsystem )
verfügbare Zeichen:
{0, 1}
Beispiel:
4310 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20
4310 = 1010112
• Basis 16
(Hexadezimalsystem )
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Codierung: Zahlen
verfügbare Zeichen:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
Beispiel:
4310 = 2 · 161 + 11 · 160
4310 = 2B16
Für das Beispiel der Zahl 43 gilt also:
4310 = 538 = 1335 = 1010112 = 2B16
Umwandlung ins Binärsystem
Verfügbare Informationsmenge
Wenn wir drei Stellen zur Verfügung haben und ein Alphabet von vier Zeichen, z.B. {A,
B, C, D}, wieviele mögliche Zeichenketten können wir daraus erstellen?
Wir könnten die Kombinationen einfach auisten und zählen:
AAA
BAD
CBC
DCB
AAB
BBA
CBD
DCC
AAC
BBB
CCA
DCD
AAD
BBC
CCB
DDA
ABA
BBD
CCC
DDB
ABB
BCA
CCD
DDC
ABC ABD ACA ACB ACC ACD ADA ADB ADC ADD BAA BAB BAC
BCB BCC BCD BDA BDB BDC BDD CAA CAB CAC CAD CBA CBB
CDA CDB CDC CDD DAA DAB DAC DAD DBA DBB DBC DBD DCA
DDD
Es gibt also 64 möglichen Wörter der Länge 3 über dem Alphabet {A, B, C, D}.
Die Anzahl möglicher Zeichenkombinationen der Länge
Gröÿe
k
n
über einem Alphabet der
kann aber auch einfach berechnet werden durch:
kn
In obigem Fall sind das:
43 = 64.
Das lässt sich auch auf binär dargestellt Informationen im Rechner anwenden. Dabei
haben wir es einfach mit einem Alphabet von 2 Zeichen zu tun: {0, 1}
Wir können nun berechnen wie viele Zahlen wir mit diesen beiden Zeichen darstellen
können, wenn wir verschiedene mögliche Stellen annehmen:
Bezeichnung
Stellen
1 Bit
1
4 Bit
4
1 Byte
8
2 Byte
16
4 Byte (1 Word )
32
8 Byte
64
Komb.
1
2
24
28
216
232
264
Zahlbereich
0, 1
0, ..., 15
0, ..., 255
0, ..., 65535
0, ..., 4294967295
0, ..., 18446744073709551615
Rechnen im Binärsystem
Mit Binärzahlen kann im Prinzip gerechnet werden wie mit Dezimalzahlen auch. Dabei
gilt z.B.:
•
•
•
•
•
0+0=0
1+0=0+1=1
1 + 1 = 10
0·0=0·1=1·0=0
1·1=1
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Die
Die
Codierung: Zahlen
Addition funktioniert dann wie eine gewöhnliche schriftliche Addition:
01101011
107
+ 10011110
+ 158
100001001
265
Multiplikation führen wir hier durch, indem für jede Einser-Stelle des ersten Mul-
tiplikanden der zweite Multiplikand um eine Stelle nach links geshiftet notiert wird. Anschlieÿend werden diese Zwischenergebnisse addiert. Auch dieses Verfahren entspricht
der schriftlichen Addition im Dezimalsystem.
110 · 1011
0000
+
10110
+
101100
1000010
Das Beispiel entspricht:
6 · 11 = 60 + 6 = 66
Zahlen als Zeichen
Hexadezimalzahlen zur Darstellung von Speicherinhalt
Der tatsächliche Inhalt
von Bytes wird gerne im Hexadezimalsystem dargestellt (z.B. in Hexdumps ), da die
Darstellungsmenge von 1 Byte genau der von zwei Hex-Zeichen entspricht:
28 = 256 = 162
Oktalzahlen für Dateiberechtigungen
Unix-Dateisystem-Berechtigungen werden
gerne im Oktalsystem dargestellt, dabei gilt:
•
•
•
4 = darf lesen (read )
2 = darf schreiben (write )
1 = darf ausführen (execute )
Alle einfachen Kombinationsmöglichkeiten von Lesen, Schreiben und Ausführen
lassen sich als Summen dieser zahlen darstellen.
•
•
•
•
•
•
•
•
7 = Darf alles (4 + 2 +1)
6 = Darf lesen und schreiben (4 + 2)
5 = Darf lesen und ausführen (4 + 1)
4 = Darf lesen
3 = Darf schreiben und ausführen (2 + 1)
2 = Darf schreiben
1 = Darf ausführen
0 = Darf nichts
3
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Codierung: Zahlen
Solche Zeichen werden für Dateien oft angegeben in der Reihenfolge: Besitzer, Gruppe,
Andere. Eine Zahl wie
755
hieÿe dann also: Der Besitzer darf alles mit der Datei anstellen, alle anderen Benutzer
haben nur die Berechtigungn zum Lesen und Ausführen, dürfen die Datei aber nicht
verändern (schreiben).
Die Zahl
640
würde bedeuten: Der Besitzer der Datei darf sie lesen und schreiben. Benutzer, die der
Gruppe der Datei zugeordnet sind, dürfen die Datei lesen. Alle anderen haben keine
Berechtigungen.
Hexadezimalzahlen zur Darstellung von Farben
Eine Farbe kann z.B. darge-
stellt werden über ihre Rot-, Grün- und Blauanteile. Steht für jede Farbe ein Byte an
Informationen zur Verfügung lassen sich demnach
(28 )3 = 16777216 verschiedene Farben
darstellen. Das lässt sich einfach über 3 Hexzahlen (= 3 Byte) angeben. Beispiele:
Farbe
Zahl
Rot
Grün
Blau
Rosa
Ein Leichtes Rosa
Ein Türkis
Schwarz
Weiÿ
Helles Grau
Dunkles Grau
FF0000
00FF00
0000FF
FF00FF
FF0060
00FFDD
000000
FFFFFF
F3F3F3
626262
Zahldarstellung im Rechner
Positive ganze Zahlen
Diesen Fall haben wir oben bereits besprochen: Die Zahlen werden binär codiert. Ein
Problem ergibt sich bei der Darstellung groÿer Zahlen: Haben wir etwa nur ein Byte zur
Verfügung, also Zahlen im Bereich
0, ..., 255
und rechnen
255 + 1
oder
11111111
+ 00000001
1 00000000
So ist das Ergebnis
nicht 256,
sondern schlicht
0,
da die führende 1 in der 8-Bit-
Darstellung nicht mehr gezeigt werden kann.
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Codierung: Zahlen
Man kann sich diese Rechnung vorstellen wie eine Uhr, die 256 Stunden anzeigt (bei 0
beginnend) und nach der 255 einfach wieder auf die 0 springt.
Abbildung 1: 8-Bit positive Ganzzahlen in Ringdarstellung
Mathematisch ausgedrückt sind 0 und 256 kongruent zum Modul 256. Man schreibt:
256 ≡ 0 mod 256
Weitere Kongruenzen wären dann:
257 ≡ 1 mod 256
258 ≡ 2 mod 256
...
511 ≡ 255 mod 256
512 ≡ 0 mod 256
513 ≡ 1 mod 256
...
Die
Modulo-Rechnung lässt sich ebenfalls am Ziernblatt einer Uhr leicht verstehen.
•
Beispiel 1: Haben wir 22 Uhr und wollen spätestens in 4 Stunden zu Hause seien,
dann sollten wir nicht um 26 Uhr zu Hause sein, sondern besser um 2, obwohl
natürlich gilt
22 + 4 = 26.
d.h.:
26 ≡ 2 mod 24
•
Weitere Beispiele: Angenommen wir haben uns eine sehr komische Uhr aufschwatzen lassen, z.B. mit 7, 2 oder 8 statt 12 oder 24 Stellen. Dann würde für diese
Uhren (Module) gelten
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Codierung: Zahlen
9 ≡ 2 mod 7
13 ≡ 1 mod 2
19 ≡ 3 mod 8
Vorzeichenbehaftete Zahlen
Normalerweise stellen wir negative Zahlen durch ein Minus-Vorzeichen dar. Wie können
wir das am Rechner codieren?
Alternative 1: Vorzeichen-Bit benutzen
lung zum Vorzeichen-Bit, dabei könnte etwa
Zahl stehen. Für die Zahlen
43
und
−43
Wir erklären das erste Bit einer Darstel-
0
für eine positive und
1
für eine negative
würde dann in einer 8-Bit-Darstellung gelten:
00101011 =
b 43
10101011 =
b − 43
Das hat allerdings zwei Nachteile:
1. Negative Zahlen können nicht wie positive addiert werden. Stattdessen muss in
einem zusätzlichen Schritt geschaut werden, ob eine Zahl positiv oder negativ ist
und entsprechend die Rechenoperation (+/−) gewählt werden. (Ähnliches gilt für
die weiteren Rechenoperationen)
2. Es gibt zwei Darstellungen der Null:
00000000 =
b 0
10000000 =
b −0
Aufgrund dieser Nachteile arbeiten moderne Rechner meist mit einer anderen Darstellungsweise.
Alternative 2: Zweierkomplementdarstellung
Beide obige Probleme lassen sich
sehr elegant vermeiden, indem wir eine andere Darstellungsweise wählen. Oben haben
wir bereits den Zahlenstrahl von
0
bis
255
0,. . . ,255
als Uhr mit 256 Ziern betrachtet, um zu verstehen, wie in einem einzelnen Byte die
Addition funktioniert, sobald die Grenze des darstellbaren Zahlenbereichs überschritten
wird.
Uns hindert aber nichts daran, den Bereich des Zahlenstrahls anders zu wählen. Nehmen
wir statt des obigen etwa den Abschnitt
-128,. . . ,-1,0,1,. . . 127
dann enthält dieser ebenfalls 256 Stellen. Und wir können ihn ebenfalls in einem geschlossenen Kreis darstellen, ohne dass sich die mathematischen Operationen ändern
würden.
Diesen Zahlbereich würde man wie folgt auf ein Byte abbilden:
Zahlenbereich
8-Bit-Darstellung
0, ..., 127
00000000, ...,01111111
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Codierung: Zahlen
Zahlenbereich
8-Bit-Darstellung
−128, ..., −1
10000000, ...,11111111
Für den Computer ändert sich also nichts, nur für den Menschen ist dieses System etwas
unintuitiv.
Abbildung 2: 8-Bit Ganzzahlen in Zweierkomplementdarstellung
Um festzustellen, welche Binärdarstellung einer negativen Zahl entspräche kann man
das
Zweierkomplement direkt bilden. Das ist in zwei einfachen Schritten möglich:
1. Bilde das bitweise Komplement der Zahl, d.h.: 0 wird 1 und 1 wird 0
2. Addiere 1.
Beispiel für 43 und -43:
43 = 00101011
11010100
+
(bitweises Komplement)
1
11010101 = −43
Die binäre 8-Bit-Zahl
11010101
entspricht dezimal der
213
sie liegt also quasi auf der
213. Stelle der obigen 256-Stellen-Uhr. Im Zweierkomplement wird diese Stelle als
−43
interpretiert.
Man beachte, dass der Prozess in beide Richtungen eindeutig ist:
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Codierung: Zahlen
−43 = 11010101
00101010
+
(bitweises Komplement)
1
00101011 = 43
Werden Zahlen im Zweierkomplement dargestellt ändert sich zwar nicht die Anzahl der
darstellbaren Zahlen, wohl aber der Bereich der dargestellten Zahlen:
Bezeichnung
Stellen
Zahlbereich
1 Byte
8
2 Byte
16
4 Byte (1 Word )
32
8 Byte
64
−128, ..., 127
−32768, ..., 32767
−2147483648, ..., 2147483647
−9223372036854775808, ..., 9223372036854775807
Gleitkommazahlen
Grundlage ist die Norm IEEE 754, die inzwischen weit verbreitet ist. Wir betrachten
zunächst ein Beispiel im Zehnersystem, um die Begrie zu klären und gehen dann zur
Binärdarstellung über.
Für Kommazahlen beliebiger Länge exisitiert eine normalisierte Darstellung derart, dass
vor dem Komma nur noch eine Zahl steht.
Beispiel:
• 0, 000378 = 3, 78 · 10−4
• 21, 47865 = 2, 147865 · 101
• 2147, 865 = 2, 147865 · 103
Dazu wird im Zehnersystem das Komma verschoben und die Zahl mit einem geeigneten Exponenten zur Basis 10
(10e )
multipliziert. Der Multiplikand von
eigentliche Kommazahl, wird dann als
10e ,
normalisierte Mantisse bezeichnet.
also die
Kommazahlen lassen sich nun im Rechner speichern als Abfolgen von:
Vorzeichen - Exponent - Mantisse
Beispiel:
• 3, 78 · 10−4
Vorzeichen: +
Mantisse: 3,78
Exponent: -4
Die gängigen Formate für diese Speicherung sind:
1. einfache Genauigkeit: 32-Bit Länge
Bitnr.
Inhalt
31
1 Bit Vorzeichen
30 - 23
8 Bit biased Exponent
22 - 0
23 Bit Mantisse
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Codierung: Zahlen
2. doppelte Genauigkeit: 64-Bit Länge
Bitnr.
Inhalt
63
1 Bit Vorzeichen
62 - 52
11 Bit biased Exponent
51 - 0
52 Bit Mantisse
Da wir uns dabei im Binärsystem bewegen sind einige Besonderheiten zu beachten:
•
Die Vorkommastelle der normalisierten Mantisse ist im Binärsystem immer eine
1. Die muss also nicht mitgespeichert werden.
•
•
Die Basis des Exponenten ist 2 und nicht wie im Dezimalsystem 10.
Der Exponent ist vorzeichenbehaftet. Zur Speicherung wird aber nicht das Zweierkomplement eingesetzt, sondern einfach ein sogenannter Bias addiert. Der beträgt
die Hälfte des maximal darstellbaren Betrags für den Exponentent, bei einem Exponenten von 8-Bit-Länge ist der Bias
127 =
28
2 .
Beispiel:
Die Zahl 18,4 wurde per IEE 754 in eine binäre 32-Bit-Gleitkommazahl umgewandelt.
Das Ergebnis dieser Umwandlung ist:
01000001100100110011001100110011
Bzw. getrennt nach Vorzeichenbit, Exponent und Mantisse:
0 10000011 00100110011001100110011
Eine Dezimalzahl können wir daraus wie folgt berechnen:
1. Das Vorzeichen-Bit 0 bezeichnet eine positive Zahl
2. Der biased Exponent
100000112 = 13110 , bzw. nach Abzug des Bias: 131−127 = 4.
3. Die normalisiert Mantisse wurde ohne die führende 1 vor dem Komma gespeichert,
fügen wir diese wieder hinzu beträgt sie:
1, 00100110011001100110011
Da wir aus Schritt 2 wissen, dass der Exponent 4 beträgt und positiv ist, verschieben wir das Komma um vier Stellen nach rechts, um die Mantisse wieder in ihre
nicht normalisierte Form zu bringen:
10010, 0110011001100110011
Den Anteil der Zahl vor dem Komma können wir separat berechnen:
100102 = 1810
Den Anteil der Zahl hinter dem Komma erhalten wir durch Anwendung der schon
bekannten Rechenregeln, nur das hier negative Exponenten zum Einsatz kommen:
0, 0110011001100110011 = 0 · 2−1 + 1 · 2−2 + 1 · 2−3 + ... + 1 · 2−19
= 0 · 0, 5 + 1 · 0, 25 + 1 · 0, 125 + ... + 1 · 0, 000001907
= 0, 39999961853
Insgesamt ergibt sich also:
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Codierung: Zahlen
18, 39999961853 ≈ 18, 4 (Eingabewert)
Man sieht, dass die Speicherung von Gleitkommazahlen nicht unbedingt exakte Ergebnisse produziert. Auch hier gilt: Es lassen sich maximal
zahlen darstellen, wobei
n
2n
verschiedene Gleitkomma-
die zur Verfügung stehenden Bits bezeichnet. Dies umfasst
notwendigerweise nur einen Teilbereich der rationalen Zahlen.
Das Rechnen mit Gleitkommazahlen und der Umgang beim Programmieren hat daher
einige Besonderheiten:
• Assoziativ- und Distributivgesetze
(x + y) + z 6= x + (y + z)
x · (y + z) 6= (x · y) + (x · z)
gelten für Gleitkommazahlen nicht:
...
• Umwandlungen
von Gleitkommazahlen zum Austausch mit anderen Systemen
sind problematisch und können falsche Darstellungen erzeugen, z.B. wenn
eine Gleitkommazahl ins Dezimalsystem übertragen und gerundet ausgegeben
wird. Eine anschlieÿende Eingabe der Dezimalzahl erzeugt nicht notwendiger-
weise die gleiche Bit-Darstellung. (Fall Mensch-Maschine)
zwei Systeme Bitdarstellungen unterschiedlicher Genauigkeit besitzen, z.B. eine Datenbank und ein darauf zugreifendes Programm (Fall Maschine-Maschine)
• Gleichheitstests können fehlschlagen, wenn zwei Gleitkommazahlen auf verschie-
denen Rechenwegen zustande kommen, die eigentlich zum selben Ergebnis führen
sollten.
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