Gravitation und Quantentheorie

Gravitation und Quantentheorie
Einige Aspekte der Unvereinbarkeit beider Theorien
Diplomarbeit
von
Thomas Müller
Institut für Theoretische Physik
Eberhard-Karls-Universität Tübingen
März 2001
Einleitung
Die Physik wie wir sie heute kennen, basiert im Wesentlichen auf zwei Theorien, der
Quantentheorie und der Allgemeinen Relativitätstheorie. Jede Theorie für sich wurde
auf sehr intensive Weise auf ihre Gültigkeit geprüft und in weiten Bereichen glänzend
bestätigt. In dieser Arbeit wollen wir uns damit beschäftigen, warum sich diese Theorien
einer angestrebten Vereinigung so sehr widersetzen.
Galileo Galilei [1564-1642] gilt sicher als einer der Begründer der modernen“
”
Physik, die bis zu seiner Zeit mehr eine Naturphilosophie war als eine exakte Wissenschaft. Während Galilei sich dem Experiment widmete, versuchte Isaac Newton
[1643-1727] eine hauptsächlich mathematische Beschreibung der Naturphänomene zu
finden. Die von ihnen und vielen anderen Physikern entwickelten Theorien konnten
jedoch nur einzelne Bereiche der Physik beschreiben. Zusammenhänge zwischen den
verschiedenen physikalischen Disziplinen konnte niemand richtig angeben. Der erste,
dem eine Vereinigung zweier bis dahin unterschiedlicher Phänomene gelang, war James Clerk Maxwell [1831-1879]. Er konnte die elektrische und die magnetische Kraft
zu einer elektromagnetischen Kraft verbinden. Dies war sicher der Schlüssel zu dem
bis heute andauernden Versuch, alle seither gefundenen Kräfte zu einer einzigen zu
verschmelzen. Man verwendet heute nur noch in den klassischen Theorien wie der Mechanik und der Elektrodynamik den Begriff der Kraft. Im Allgemeinen spricht man von
den fundamentalen Wechselwirkungen, da drei von ihnen – die elektromagnetische, die
schwache und die starke Wechselwirkung – nach heutigem Kenntnisstand durch die
Wechselwirkung von Austauschteilchen vermittelt werden. Weiterhin wird mit dem
von Newton geprägten Kraftbegriff eine instantane Wechselwirkung in Verbindung gebracht, welche die Spezielle Relativitätstheorie nicht zuläßt. Steven Weinberg, Sheldon Lee Glashow und Abdus Salam konnten 1968 die elektromagnetische und die
schwache Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung zusammenfassen, welche bei niedrigen Energien in die beiden zuerst genannten aufspaltet. Die Vereinigung
der elektroschwachen mit der starken Wechselwirkung in einer Groß Vereinheitlichten
”
Theorie“ (GUT, engl. Grand Unified Theory) ist bis heute noch nicht experimentell
gesichert. In noch weiterer Ferne liegt die Verschmelzung mit der Gravitation. Sie hat
sich bisher allen Versuchen, sie mit den anderen drei fundamentalen Wechselwirkungen
zu vereinen, widersetzt.
Bevor eine Theorie gefunden werden kann, die alle vier Wechselwirkungen beschreibt,
muß untersucht werden, inwiefern sich die von Albert Einstein [1879-1955] entwickelte
i
ii
Allgemeine Relativitätstheorie mit der von Max Planck [1858-1947] initiierten Quantentheorie zur sogenannten Quantengravitation kombinieren läßt. Wie wir noch sehen
werden, gibt es auch einige Zweifel daran, daß solch eine Theorie überhaupt Sinn macht.
Ein Argument für eine Quantentheorie der Gravitation ist das von Max Planck 1899
aufgestellte absolute Einheitensystem – die sogenannte Planck-Skala –, das aus dem
Planckschen Wirkungsquantum h̄, der Lichtgeschwindigkeit c und der Newtonschen
Gravitationskonstanten G gebildet werden kann. Keine Theorie kann für sich allein
solch eine natürliche Dimensionsskala bilden, was für eine Verbindung beider Theorien spricht. Ein weitaus überzeugenderes Argument für eine Quantisierung ist das
Auftauchen von Singularitäten in der klassischen“ Allgemeinen Relativitätstheorie,
”
die in einer Quantentheorie verschmiert“ würden. Die Beschreibung des Endzustands
”
eines Schwarzen Lochs, dessen Masse sich durch Hawking-Strahlung bis auf die PlanckMasse reduziert hat, ist ein weiterer Bereich, in dem die heutige Quantentheorie und
die Gravitationstheorie allein versagen.
Eine Quantisierung der Gravitation kann im Wesentlichen auf zwei Arten durchgeführt werden. Die aus der Quantenmechanik bekannte kanonische“ Quantisierung
”
zerlegt die Raumzeit wieder in die drei Raum- und die eine Zeitdimension. Dies widerspricht aber in gewisser Hinsicht der allgemeinen Kovarianz der Relativitätstheorie. Das
größte Problem hier ist die Zeit, da es keinen ausgezeichneten Zeitparameter gibt. Der
kovariante“ Weg hingegen wendet die Idee der Quantisierung auf die volle Raumzeit
”
an. Die dabei auftretende Nicht-Renormierbarkeit, die wir in Kapitel (3) betrachten
werden, stellt das größte Problem bei diesem Zugang dar.
Die Dimensionen bzw. Größenskalen bei denen man eine Auswirkung einer Quantengravitation erwarten kann, läßt sich durch die Betrachtung des Quantenmechanischen
Meßprozessen gewinnen, was wir in Kapitel (1) tun wollen. Die klassische Mechanik
erlaubt im Prinzip eine beliebig genaue Messung aller physikalischen Größen zu einem
Zeitpunkt. Die Quantentheorie hingegen reduziert die Anzahl der gleichzeitig meßbaren
Größen. So kann zum Beispiel der Ort und der Impuls eines Teilchens nicht beliebig
genau angegeben werden. Je stärker man es lokalisiert, desto ungenauer kann man eine Aussage über dessen Impuls machen. Allerdings schränkt die nicht-relativistische
Quantenmechanik die Orts- oder Impulsbestimmung nicht ein. Setzt man voraus, daß
sowohl die Quantentheorie als auch die Allgemeine Relativitätstheorie bis zu beliebig
kleinen Skalen ihre Gültigkeit behalten, findet man eine untere Grenze der Meßgenauigkeit, die der Planck-Länge entspricht. Es ist allerdings fraglich, ob diese beiden
Theorien hier noch einen Sinn machen, oder ob dazu nicht eine Quantentheorie der
Gravitation notwendig ist. Andererseits kann man sich die Frage stellen, ob eine solche
Quantentheorie der Gravitation überhaupt Sinn macht, wenn eine Beobachtung der
Voraussagen dieser Theorie generell ausgeschlossen ist. Lev Davidovich Landau and
Rudolf Peierls versuchten 1931 bei der noch neuen Quantenelektrodynamik zu zeigen, daß eine derartige Quantisierung nicht notwendig ist. Dies sollte der Fall sein, da
es durch eine zusätzliche Unschärferelation, die von dieser Theorie vorhergesagt würde,
iii
keine neuen Resultate geben könnte. Niels Bohr und Léon Rosenfeld wollten 1933
zeigen, daß die Argumentation von Landau und Peierls falsch ist und es keine neuen
Unschärfen gibt. Eine Quantisierung des elektromagnetischen Feldes macht ihrer Meinung nach Sinn; dies hat sich heutzutage in zahlreichen Experimenten bestätigt. von
Borzeszkowski und Treder setzten das Landau-Peierls-Argument auf die Gravitation um und konnten so zeigen, daß das Gravitationsfeld nicht genauer als die PlanckLänge vermessen werden kann. Nach dem Argument von Landau und Peierls liefert
eine Quantisierung der Gravitation keine meßbaren Effekte.
Ein sehr großes Problem einer Vereinigung liegt darin, daß die Quantentheorie eine globale und lineare, die Gravitation aber eine lokale und hochgradig nichtlineare
Theorie ist. In der Quantenfeldtheorie ist die Reihenfolge von Ortsmessungen beliebig.
Schließt man aber die Gravitation mit ein, so kann diese Annahme nicht mehr aufrecht
erhalten werden. Betrachtet man weiterhin das EPR-Experiment auf einer gekrümmten
Raumzeit, so ist nicht klar, ob und wie eine Korrelation weiter existiert.
Probleme bei einer Quantisierung der Gravitation kann man auch bei der Untersuchung des klassischen Vakuum-Begriffs erkennen. Dies führt uns direkt zu dem Problem,
inwieweit der Teilchenbegriff in der Quantenfeldtheorie und einer Quantengravitation
noch Sinn macht.
Aristoteles [384-324 c. Chr.] und seine Schüler waren der Meinung, ein völlig
leeres Raumgebiet könne nicht existieren: Die Natur verabscheue das Vakuum [10]. Die
Kontroverse über die Existenz eines absolut leeren Raumes begann 1644 mit Evangelista Toricelli, der behauptete, er hätte ein Vakuum erzeugt. Der Höhepunkt der
Auseinandersetzung war 1654, als Otto von Guericke mit seinen berühmten Magdeburger Halbkugeln Aristoteles Lehren widerlegte. Die Einsicht in die Natur des Vakuums
änderte sich jedoch im 19. Jhdt. wieder. Man fand heraus, daß sich in einem Raumgebiet bei einer Temperatur größer Null eine Temperaturstrahlung befindet, die auf
Kompressionen wie ein Gas reagiert, obwohl das Volumen frei von Materie ist. Die
korrekte Beschreibung des Spektrums dieser Temperaturstrahlung durch Max Planck
im Jahre 1900 war der Beginn der Quantentheorie. Er war der erste, der mit der revolutionären Theorie einer Quantelung der Energie das volle Spektrum eines idealen
Schwarzen Körpers erklären konnte. Nach dem Wienschen Gesetz hängt die spektrale
Energiedichte nur von der Frequenz und dem Verhältnis von Frequenz und Temperatur
ab. Josef Stefan [1835-1893] und Ludwig Boltzmann [1844-1906] schlossen daraus,
daß die gesamte Energiedichte direkt proportional zur vierten Potenz der Temperatur
ist. Am absoluten Nullpunkt der Temperatur sollte also keine Strahlung mehr vorhanden sein. Ein Vakuum, so glaubte man daher, existiere genau dann, wenn neben
aller Materie auch die elektromagnetische Strahlung entfernt würde. Jedoch auch diese
Theorie des Vakuums ist nicht ganz richtig. Stellt man zwei elektrisch leitende, ungeladene Platten in einem Vakuum parallel sehr dicht nebeneinander, so erfahren sie infolge
von Vakuumfluktuationen eine Krafteinwirkung. Dieses von Hendrik B. G. Casimir
1948 vorgeschlagene Experiment wurde 1958 von M. J. Sparnaay bei immer tieferen
iv
Temperaturen durchgeführt. Sein Resultat war, daß selbst sehr nahe beim absoluten
Nullpunkt der Temperatur eine Restkraft übrig bleibt, verursacht durch die sogenannte
Nullpunktsstrahlung. Die Annahme Aristoteles, das Vakuum könne nie völlig leer sein,
hat sich also nach mehr als zweitausend Jahren bestätigt.
Für die Nullpunktsstrahlung werden heute die Fluktuationen von Quantenfeldern
verantwortlich gemacht. In der Quantenfeldtheorie sind die Quantentheorie, die Feldtheorie und das Relativitätsprinzip vereint. Einer der fundamentalsten Einsichten dieser Theorie ist, daß jedes Teilchen mit einem bestimmten Feld-Typ verbunden ist und
umgekehrt. Obwohl die Theorie die bisher genauesten Voraussagen treffen kann, ist es
andererseits sehr verwunderlich, daß sie überhaupt funktioniert. Die unendliche Anzahl
an Freiheitsgraden hat zur Folge, daß die Gesamtenergie eines Vakuumfeldes divergiert,
wie man sich durch Zerlegung des Feldes in harmonische Oszillatoren klarmachen kann.
Deren Grundzustand muß aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation eine nichtverschwindende Energie besitzen. Da es je Einheitsvolumen unendlich viele solcher
Feldoszillatoren gibt, ist die Energiedichte des Vakuums unendlich hoch. In einer reinen Quantenfeldtheorie ist das kein Problem, da nur Energiedifferenzen gemessen werden können. In der Gravitationstheorie würde aber eine unendliche Energiedichte eine
ebenso unendliche Raumkrümmung zur Folge haben. Die vierdimensionale Raumzeit
des Vakuums – die Minkowski-Raumzeit – ist jedoch flach.
Neben diesen Problemen, die hauptsächlich den Bereich der klassischen“ Quant”
feldtheorie berühren, finden wir auf dem Weg zu einer Quantentheorie der Gravitation
weitere Schwierigkeiten. Lassen wir die Gravitation noch einen Augenblick außer acht.
In Kapitel (2) werden wir uns mit der Sichtweise eines beschleunigten Beobachters im
Minkowski-Vakuum auseinandersetzen. William G. Unruh entdeckte 1976, daß ein
beschleunigter Detektor das gleiche Verhalten zeigt, wie wenn er sich in einem thermischen Bad“ befinden würde. Damit wird der oben betrachtete Vakuumbegriff noch
”
paradoxer. Es scheint so, als ob reelle Teilchen aus dem Nichts entstehen könnten. Ein
inertialer und ein beschleunigter Beobachter widersprechen sich in der Frage, ob ein
bestimmter Raumbereich ein Vakuum darstellt oder mit Teilchen angefüllt ist. Der
Teilchenbegriff kann daher nur noch begrenzt aufrecht erhalten werden. Die Existenz
reeller Teilchen ist aber von entscheidender Bedeutung, wenn man ihre Rückwirkung
auf die Raumzeit betrachtet.
Ein weiterer Effekt, der sogenannte Hawking-Effekt, zeigt die Teilchenentstehung
beim Kollaps eines Sterns zu einem Schwarzen Loch. Man erkennt daran, daß eine
zeitabhängige Raumzeit für spontane Teilchenentstehung verantwortlich ist. Die entstandenen Teilchen wirken aber wieder auf die Raumzeit zurück. Eine Frage könnte
dann sein, ob eine Gravitationswelle eine Singularität erzeugen könnte oder ob diese
Möglichkeit etwa durch eine Quantisierung der Raumzeit selbst unterbunden wird.
In Kapitel (3) werden wir versuchen, einen Einblick in das Problem der NichtRenormierbarkeit zu bekommen. Dazu benötigen wir zunächst eine Beschreibung der
Gravitation als Quantenfeldtheorie. Wie bei den anderen drei fundamentalen Wechsel-
v
wirkungen findet dann auch bei einer Quantenfeldtheorie der Gravitation die Wechselwirkung durch Austausch von Wechselwirkungsteilchen, hier den Gravitonen statt.
Die enorme Schwierigkeit einer Quantenfeldtheorie der Gravitation steckt in der Tatsache, daß sie eine nicht-abelsche Eichtheorie ist. Einerseits ist sie mathematisch kompliziert, andererseits tauchen unphysikalische Freiheitsgrade auf, die durch sogenannte
Geist“-Felder kompensiert werden müssen, auf die wir hier aber nicht eingehen wer”
den. Weiterhin folgt daraus, daß Gravitonen untereinander wechselwirken. Dies spiegelt
zwar die hochgradige Nichtlinearität der Gravitation wider, ist aber auch dafür verantwortlich, daß es Graviton-Vertizes beliebiger Ordnung gibt. Die Beschreibung der
Gravitonselbstwechselwirkung benötigt daher eine unendliche Reihe an Termen in der
Lagrange-Dichte.
Betrachtet man Störungsreihen, so sind diese in der Regel nicht konvergent, sondern
müssen als asymptotische Entwicklung behandelt werden. Viel drastischer ist noch, daß
einzelne Terme einer Störungsreihe unendlich sind. Man kann solche Terme teilweise
durch eine sogenannte Renormierung in den Griff bekommen. Die Rechtfertigung dafür
ist, daß in der ursprünglichen Lagrange-Dichte des betrachteten Systems nicht die
physikalisch meßbaren sondern die nackten“ Größen stehen, welche physikalisch nicht
”
meßbar sind. Diese müssen durch die Renormierung mit den physikalischen Größen in
Beziehung gebracht werden. Eine Renormierung ist jedoch nicht immer durchführbar.
Dann bleibt die Frage, ob solch eine nicht-renormierbare Theorie überhaupt noch eine
Voraussage eines Meßergebnisses liefern kann.
Ein moderner Zugang zu Quantenfeldtheorien ist der über die Pfadintegralmethode.
Wir werden aber nur einige Eckpunkte dieser Methode, die für die Berechnung des
Graviton-Propagators und von Graviton-Vertizes benötigt werden anschauen.
Ein weiteres Hindernis einer Quantisierung der Gravitation liegt in dem Unvermögen,
einen Detektor zu bauen, der Gravitationsstrahlung voll absorbieren kann. Es fehlt also
das Analogon zum Schwarzen Körper der Elektrodynamik. In Kapitel (4) werden wir
uns hauptsächlich die Absorption einer Gravitationswelle durch ein elastisches Medium anschauen. Es gibt aber auch noch zwei weitere Absorptionsmechanismen wie etwa
den Gravitoelektrischen Effekt, der das Pendant zum Photoeffekt darstellt. Andererseits kann eine Gravitationswelle auch durch Phononenanregung absorbiert werden.
Alle drei Mechanismen zeigen deutlich, daß keine vollständige Absorption möglich ist.
Dies hat zur Folge, daß man nicht zwischen einem reinen und einem gemischten Zustand unterscheiden kann. Könnte man zum Beispiel auf irgendeine Weise einen reinen
Zustand präparieren, so kann dieser durch keine Messung zu einem späteren Zeitpunkt
wieder als reiner Zustand identifiziert werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Quantenmechanischer Meßprozeß
1.1 Der Meßprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Klassische Messungen . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Quantenmechanische Messungen . . . . . .
1.1.3 Energie-Zeit-Unschärferelation . . . . . . .
1.1.4 Untere Schranke der Meßgenauigkeit . . .
1.2 Ist eine Quantisierung der Gravitation notwendig?
1.2.1 Landau und Peierls (1931) . . . . . . . . .
1.2.2 Bohr und Rosenfeld (1933) . . . . . . . . .
1.2.3 Umsetzung auf die Gravitation . . . . . .
1.3 Lokalität in der QFT . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Unruh- und Hawking-Effekt
2.1 Quantenfelder auf gekrümmten Raumzeiten . . . .
2.1.1 Quantenfelder auf der Minkowski-Raumzeit
2.1.2 Struktur der Raumzeit . . . . . . . . . . . .
2.2 Unruh-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Minkowski- und Rindler-Moden . . . . . . .
2.2.2 Unruh-DeWitt-Detektor . . . . . . . . . . .
2.2.3 Physikalische Interpretation . . . . . . . . .
2.3 Hawking-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Gravitation als Quantenfeldtheorie
3.1 Gravitation ohne Geometrie . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hilbert’s Wirkungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die linearisierte Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . .
3.4 Die ART als Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . .
3.4.2 Eichinvarianz der linearisierten Lagrange-Dichte
3.5 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ankopplung von Materiefeldern . . . . . . . . . . . . .
3.7 Pfadintegralmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Übergangsmatrixelemente als Pfadintegrale . . .
vi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
2
3
4
4
8
9
11
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
19
19
22
25
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
30
30
33
34
35
35
37
37
38
INHALTSVERZEICHNIS
vii
3.7.2 Erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Pfadintegrale in der Quantenfeldtheorie . . . . .
3.7.4 Wirkungen mit quadratischer Feldabhängigkeit
3.7.5 Ein-Teilchen-Irreduzible Green-Funktion . . . .
3.7.6 Faddeev-Popov-Determinante . . . . . . . . . .
3.8 Graviton-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Der 3er-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Divergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Oberflächlicher Divergenzgrad . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Wie divergent sind Feynman-Graphen? . . . . .
3.11.2 Dimensionen in der Lagrange-Dichte . . . . . .
3.12 Nicht-Renormierbarkeit der ART . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Absorption von Gravitationsstrahlung
4.1 Vermutung von Smolin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grundvoraussetzung für die Absorption . . . . . . . . . .
4.3 Elastische Eigenschaften eines Mediums . . . . . . . . . .
4.3.1 Das Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Der Deformationstensor . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Der Spannungstensor und das elastische Potential
4.3.4 Die Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Das Hookesche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Elastische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Linearisierte Einsteingleichungen . . . . . . . . .
4.4.2 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Polarisation einer ebenen Welle . . . . . . . . . .
4.5 Absorption einer Graviationswelle . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Bewegungsgleichung des elastischen Körpers . . .
4.5.2 Wechselwirkung Gravitationswelle – Medium . . .
4.5.3 Absorption einer ebenen Gravitationswelle . . . .
4.5.4 Energiefluß einer Gravitationswelle . . . . . . . .
4.6 Gravitoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Phononen-Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Klassische Theorie
A.1 Einheiten und Dimensionen . . . . .
A.1.1 Einheiten . . . . . . . . . . .
A.1.2 Dimensionen . . . . . . . . . .
A.1.3 Planck-Skala . . . . . . . . . .
A.2 Beschleunigung in der SRT und ART
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
41
42
43
44
46
47
48
48
50
52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
55
55
56
56
56
58
59
60
61
62
62
63
64
66
66
67
68
71
73
75
75
.
.
.
.
.
78
78
78
79
79
80
viii
INHALTSVERZEICHNIS
A.2.1 Die Lorentz-Transformation . .
A.2.2 Geschwindigkeitstransformation
A.2.3 Beschleunigungen . . . . . . . .
A.2.4 Gleichförmige Beschleunigung .
A.2.5 Rindler-Koordinaten . . . . . .
A.3 Oberflächengravitation . . . . . . . . .
A.3.1 Kerr-Newman-Metrik . . . . . .
A.3.2 Nullhyperflächen . . . . . . . .
A.3.3 Oberflächengravitation . . . . .
A.4 Kruskal-Koordinaten . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
81
81
82
82
84
84
85
85
86
B Quanten-Theorie
B.1 Zeitabhängige Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
88
Literatur
90
Kapitel 1
Quantenmechanischer Meßprozeß
1.1
1.1.1
Der Meßprozeß
Klassische Messungen
Ein sehr einfaches historisches Beispiel für einen klassischen Meßprozeß ist die experimentelle Bestimmung der Periodendauer eines Pendels durch Galileo Galilei. Er stellte
im Jahre 1581 mittels seines Pulsschlages fest, daß die Periode T von zwei gleichlangen
Pendeln unabhängig von deren Auslenkungen ist [5]. Natürlich ist die Genauigkeit dieser Aussage beschränkt durch die Genauigkeit des Pulsschlags und dessen Frequenz,
wie auch die Zeitauflösung der menschlichen Beobachtung. Wie man an diesem einfachen Beispiel bereits sieht, werden bei jeder Messung gewisse Fehler und Schwankungen
auftreten. Man unterscheidet nun zwischen systematischen Fehlern, die zum Beispiel
auf experimentelle Ungenauigkeiten zurückzuführen sind, und statistischen Fehlern, die
durch unkontrollierbare Störungen wie Temperatureinflüsse oder chaotisches Verhalten
zustande kommen. Es spricht aber prinzipiell nichts dagegen, daß diese Schwankungen
beliebig klein gemacht werden könnten. Vor allem die Wechselwirkung zwischen physikalischem System und der Meßapparatur kann so gering gemacht werden, daß sie
praktisch zu vernachlässigen ist.
1.1.2
Quantenmechanische Messungen
Die Quantenmechanik unterscheidet sich insbesondere in punkto Meßprozeß grundsätzlich von der klassischen Mechanik. Es ist in der Quantenmechanik nicht mehr möglich,
jede Beobachtungsgröße (Observable) beliebig genau zu messen. So kann man zum Beispiel den Ort x und den Impuls p eines Teilchens zu einer Zeit t nur mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit angeben. Bestimmt man den Ort des Teilchens sehr genau, so kann
man dessen Impuls nur mit einer sehr großen Schwankung angeben und umgekehrt.
Bei einer Messung wird das zu untersuchende System unumgänglich gestört, da
zwischen diesem und der Meßapparatur mindestens ein Quant ausgetauscht werden
muß. Das Ergebnis einer Messung hängt folglich von der Reihenfolge der Meßgrößen
1
2
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
ab.
Im mathematischen Apparat der Quantenmechanik wird dem Wahrscheinlichkeitscharakter wie auch der Erfahrung der Quantisierung Rechnung getragen, indem man
Observablen selbstadjungierte Operatoren (O† = O) zuweist. Für die Observablen Ort
und Impuls ergeben sich in der Ortsdarstellung die Operatoren:
x̂ = x
p̂ =
h̄ ∂
i ∂x
(1.1.1)
Die oben bereits erwähnte grundlegende Eigenschaft der Quantenmechanik, daß zwei
Observablen O1 und O2 nicht immer gleichzeitig meßbar sind, drückt man durch die
Unschärferelation
1
∆O1 · ∆O2 ≥ | hi [O1 , O2 ]i |
(1.1.2)
2
q
aus. Dabei kennzeichnet ∆O = ∆ψ O =
hO2iψ − hOi2ψ die Streuung und hOi =
hψ|O|ψ i den Erwartungswert der Observablen O in einem Zustand |ψ i. Die Größe
[O1 , O2 ] = O1 O2 − O2 O1 ist der Kommutator der beiden Observablen O1 und O2 .
Im Fall der Orts- und Impulsoperatoren (1.1.1) erhält man mit dem Kommutator
[p, x] = −ih̄ die bekannte Heisenbergsche Unschärferelation:
∆x · ∆p ≥
h̄
.
2
(1.1.3)
Allein von der Mathematik her betrachtet haben die Unschärfen bzw. Streuungen
keine obere Schranke. Wird z.B. der Ort immer stärker lokalisiert, so steigt die Impulsunschärfe ins unermessliche. Die “klassische“ Quantentheorie macht keine Aussage
darüber, ob der Impuls beliebig groß werden kann. In Abschnitt (1.1.4) werden wir
sehen, daß bei Einbeziehung der Gravitation eine untere Grenze der Meßgenauigkeit
existieren sollte.
1.1.3
Energie-Zeit-Unschärferelation
Wie wir in Abschnitt (1.1.2) gesehen haben, läßt sich der Impuls sowie der Ort eines Teilchens nie gleichzeitig beliebig genau bestimmen. Betrachtet man die Spezielle
Relativitätstheorie, in der Raum und Zeit verschmolzen sind zur sogenannten Raumzeit, so könnte man Energie und Zeit, als die jeweiligen 0-Komponenten von Ort- und
Impuls-Vierergrößen, miteinander in Beziehung setzen. Sieht man das ∆-Symbol in
der Heisenbergschen Unschärferelation als einfache Standardabweichung der Statistik
an und verwendet für den Impuls die relativistische Näherung E ≈ pc, so folgt recht
schnell:
∆E
h̄
≤ ∆x · ∆p = ∆x ·
= ∆t · ∆E,
2
c
(1.1.4)
1.1. DER MESSPROZESS
3
wenn ∆x = c · ∆t die Ortsunschärfe bei der Maximalgeschwindigkeit c ist. Aus dem
mathematischen Apparat der Quantenmechanik läßt sich diese Beziehung nicht so leicht
herleiten, da die Zeit t ein einfacher Parameter ist und nicht durch einen Operator
dargestellt wird.
Mandelstamm und Tamm [1] versuchten eine Herleitung der Energie-Zeit-Unschärferelation im Heisenberg-Bild. Dazu betrachteten sie eine dynamische Variable A(H) =
A(t) (z.B. die Position eines sich frei bewegenden Teilchens; der Index (H) kennzeichnet
einen Operator im Heisenberg-Bild) und verwendeten diese als Zeitmarker. Wenn ∆A
Ȧ
die Unschärfe in A sei, Ȧ nur wenig variiert, sowie ∆
vernachlässigbar ist, so gilt:
hȦi
∆t =
∆A
|hȦi|
(1.1.5)
Aus der allgemeinen Unschärferelation (1.1.2) ergibt sich mit der Kommutator-Relation
[A, H] = ih̄Ȧ im Heisenbergbild [45]:
∆A · ∆H ≥
⇒ ∆t · ∆H = ∆t · ∆E ≥
h̄
1
|hi[A, H]i| = |hȦi|
2
2
(1.1.6)
h̄
2
(1.1.7)
Was bedeutet nun diese Beziehung? Befindet sich das System in einem Eigenzustand, so
ist ∆E = 0 und die Beziehung (1.1.7) macht keinen Sinn mehr. Betrachtet man statt
dessen ein Wellenpaket, so besitzt dieses eine gewisse Energieunschärfe. Die Größe
∆t = τ stellt dann die mittlere “Lebensdauer“ des Pakets dar. Die Beziehung (1.1.7)
als Energie-Zeit-Unschärferelation macht nur Sinn, wenn man sie an den jeweiligen
Einzelfall anpaßt und genau definiert, was mit den Größen ∆E und ∆t gemeint ist.
1.1.4
Untere Schranke der Meßgenauigkeit
Obwohl es uns die Quantentheorie nicht ermöglicht, Ort und Impuls eines Teilchens
gleichzeitig beliebig genau zu messen, so hindert sie uns nicht daran, zumindest eine dieser Größen nahezu beliebig genau anzugeben. Allerdings können wir in diesem
Grenzfall (∆x → 0) nichts mehr über den Impuls aussagen. Gehen wir davon aus,
daß sowohl die Quantentheorie als auch die Allgemeine Relativitätstheorie bis zu beliebig kleinen Skalen ihre Gültigkeit behalten, dann setzt eben die Einbeziehung der
Gravitation eine unter Grenze der Meßgenauigkeit.
Betrachten wir z.B. ein Teilchen der Masse m, welches durch geeignete Kräfte oder
Potentiale in einem Raumbereich der Größe R “gefangen“ gehalten wird [53]. Nach
dem relativistischen Energiesatz besitzt dieses Teilchen die Energie:
E=
p
|~p|2 c2 + m2 c4 ≥ c|~p|.
4
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
Aus der Unschärferelation (1.1.3) folgt mit den Abschätzungen ∆x ≈ R und ∆p ≈ |~p|
für die Energie E des Teilchens:
> ch̄ .
E ∼
(1.1.8)
2R
In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Masse verantwortlich für die Krümmung
der Raumzeit, die hier aus der Einstein-Beziehung E = M c2 des “gefangenen“ Teilchens
folgt, die in sphärisch symmetrischer Weise die Raumzeit krümmen soll. Der damit
verbundene Schwarzschildradius RS ist mit (1.1.8):
2GE > Gh̄
2GM
= 4 ∼
.
2
c
c
c3 R
Die untere Schranke der Meßgenauigkeit (R ≥ RS ) ist demnach durch die Planck-Länge
LP geben:
r
Gh̄
>
= LP .
(1.1.9)
R ∼
c3
Nicht nur bei gebundenen Teilchen ist die Meßgenauigkeit nach unten beschränkt.
Will man den Ort eines freien Teilchens bestimmen, so kann man Photonen oder andere hochenergetische Teilchen an dem freien Teilchen streuen (Heisenberg-Mikroskop,
1925). Je genauer die Ortsbestimmung sein soll, desto höher muß die Energie des streuenden Teilchens sein. Wie im oberen Beispiel nimmt dann aber auch dessen Gravitationsfeld zu, welches die Lage des freien Teilchens stört. Die quantitative Auswertung
dieses Effekts kann auf vielfache Weise geschehen. Man erhält jedoch stets das gleiche
Resultat, daß der Ort des freien Teilchens nicht genauer als die Planck-Länge angegeben
werden kann:
RS =
> LP .
∆x ∼
Wir haben hier angenommen, daß die Quantentheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie auch auf beliebig kleinen Skalen ihre Gültigkeit beibehalten. Die Quantentheorie
basiert ganz wesentlich auf der Unschärferelation, die aber bei einer Einbeziehung der
Gravitation sicherlich modifiziert werden muß. Andererseits verliert die kontinuierliche
Struktur der Raumzeit auf der Planck-Skala an Bedeutung, wenn man die Quantennatur der Materie berücksichtigt. Dabei ist noch nicht klar, ob neben der quantisierten
Materie auch die Raumzeit an sich quantisiert sein könnte.
1.2
1.2.1
Ist eine Quantisierung der Gravitation
notwendig?
Landau und Peierls (1931)
Die Intention von Landau und Peierls [33, 34] war es aufzuzeigen, daß die damals noch
neue und mathematisch noch nicht ausgereifte Quantenelektrodynamik keine neuen
1.2. IST EINE QUANTISIERUNG DER GRAVITATION NOTWENDIG?
5
meßbaren Eigenschaften würde voraussagen können. Sie betrachteten dazu zunächst
eine Impulsmessung unter Berücksichtigung einer Geschwindigkeitsänderung und der
damit verbundenen Abstrahlung von Energie. Anschließend formulierten sie eine Methode zur Messung des elektrischen Feldes.
Um ihre Argumentation nachvollziehen zu können, betrachten wir zunächst ihre
Interpretation der Energie-Zeit-Unschärferelation in Bezug auf Impulsmessungen. Ihrer
Ansicht nach, die sie auf Bohrs Interpretation [7] stützten, besagt die Energie-ZeitUnschärferelation
∆E ∆t > h̄
(1.2.1)
weder, daß die Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht genau bekannt sei noch,
daß sie nicht in einer kurzen Zeit beliebig genau gemessen werden könne. Vielmehr
soll sie angeben, daß ...der Energieerhaltungssatz in der Quantenmechanik mit Hilfe
”
zweier Messungen nur mit einer Genauigkeit der Größenordnung h̄/∆t nachgeprüft
werden kann. ∆t ist das Zeitintervall zwischen den Messungen.“ (Zitat,[32], Seite 158)
Betrachten wir ein System aus zwei schwach miteinander wechselwirkenden Teilen,
die zu einer bestimmten Zeit t1 die genauen Energiewerte E bzw. besitzen sollen.
Die Wechselwirkung soll in Form eines zeitlich konstanten Potentials V beschrieben
werden, welches zur Zeit t1 angeschalten und zur Zeit t2 wieder ausgeschalten werden
soll:
(
0
: t < t1
V (t) =
(1.2.2)
V = const : t1 ≤ t ≤ t2 .
Nach dieser Störung befindet sich das System in einem Zustand mit den Energiewerten
E 0 und 0 . Mittels Störungstheorie können wir die Übergangswahrscheinlichkeit von den
Anfangs- zu den Endenergiewerten bestimmen (siehe Anhang B.1). In erster Näherung
ist die Übergangswahrscheinlichkeit mit h̄ω = (E 0 + 0 ) − (E + ) gegeben durch:
|c(1) |2 ∝
4 sin2
ω2
ωt
2
.
(1.2.3)
Bei einer Störungsdauer von ∆t = t2 − t1 sind nur Übergänge von Bedeutung für die
gilt:
|E 0 + 0 − E − |
2π
= |ω| ∼
.
h̄
∆t
(1.2.4)
Es ist wesentlich, daß die Größenordnung der Energieänderung (2πh̄/∆t) nicht von der
Größe der Störung abhängt und daher auch bei beliebig schwachen Wechselwirkungen
auftritt. Die Beziehung (1.2.4) besagt nicht, daß der Energieerhaltungssatz verletzt
wird, da die gleiche Unschärfe auch für die Wechselwirkungsenergie gilt.
Landau und Peierls betrachteten ein System der Energie E und ein Meßgerät der
Energie . Die Wechselwirkungsenergie zwischen den beiden Teilen kann nach obiger
6
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
Überlegung nur mit einer Genauigkeit von 2πh̄/∆t angegeben werden. Daraus folgt:
2πh̄
∼ |E 0 + 0 − E − | ≤ |E − E 0 | + | − 0 |
∆t
(1.2.5)
Sie nahmen den günstigsten Fall an, in dem und 0 genau bekannt sind. Dann gilt die
Unschärferelation
> h̄ .
|E − E 0 | ∼
∆t
(1.2.6)
Im Gegensatz zu obigem Zitat bedeutet ∆t hier die Meßdauer an sich und nicht die
Zeitdifferenz zwischen zwei verschiedenen Messungen. Dieser Widerspruch zeigt sich
auch in dem weiteren Gedankenexperiment von Landau und Peierls, welcher das Meßteilchen als ideal reflektierenden Spiegel betrachtet. Während der Impulserhaltungssatz
P 0 + p0 − P − p = 0
(1.2.7)
uneingeschränkt gilt, lautet der Energieerhaltungssatz:
> h̄ .
|E 0 − E| ∼
∆t
(1.2.8)
Der Stoßversuch zwischen freiem zu messendem Teilchen und dem Spiegel entspricht einer Messung der Dauer ∆t, so die Interpretation des Landau-Peierlschen Stoßprozesses
von Aharonov und Bohm [1].
∂E
Aus den Erhaltungssätzen (1.2.7) und (1.2.8) erhält man mit ∆E =
∆P = v ∆P :
∂P
(v 0 − v) ∆P >
h̄
.
∆t
(1.2.9)
Diese Beziehung sagt aus, daß eine Messung des Teilchenimpulses unbedingt mit einer
Geschwindigkeitsänderung verbunden ist und damit auch einer Änderung des Impulses
selbst.
Landau und Peierls betrachteten nun Teilchen mit der Ladung Q, welche eine kleine
Anfangs- und Endgeschwindigkeit (v bzw. v 0 ) besitzen sollten. Diese nicht-relativistisch
bewegten Teilchen strahlen aufgrund ihrer Geschwindigkeitsänderung die Energie ∆E
ab [26]:
Q2
∆E = 3
c
Z
Q2 (v 0 − v)2
v̇ dt ∼ 3
.
c
∆t
2
(1.2.10)
Diese Energieabstrahlung führt mit ∆E = (v 0 − v) ∆p zu:
∆p ∆t >
Q2 0
Q2
(v
−
v)
bzw.
∆p
∆t
>
.
c3
c2
(1.2.11)
1.2. IST EINE QUANTISIERUNG DER GRAVITATION NOTWENDIG?
7
Im Fall eines Elektrons (Q = e) liefert (1.2.11) keine neue Unschärferelation, denn es
> h̄ unter der Voraussetzung,
folgt aus der Heisenbergschen Unschärferelation ∆p ∆x ∼
daß die Teilchengeschwindigkeit v kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit c:
2
> h̄ > e ,
∆p ∆t ∼
c
c2
mit h̄c > e2 . Jedoch folgt aus (1.2.9) zusammen mit (1.2.11) die Beziehung:
r
h̄ Q2
∆p ∆t >
.
c h̄c
(1.2.12)
(1.2.13)
Um ein elektrisches Feld zu messen, betrachteten sie die Beschleunigung eines Teilchens der Ladung Q und der Masse M , welches sich sehr langsam bewegen sollte. Sie
benutzten die Formel:
Q ∆E ∆t > ∆p,
(1.2.14)
mit der elektrischen Feldstärke E und vorher festgelegter Genauigkeit ∆p der Impulsmessung. Setzt man dafür die Beziehung (1.2.13) ein, so erhält man:
√
∆E (c ∆t)2 > h̄c.
(1.2.15)
Landau und Peierls [33, 34] zeigten damit, daß kein Experiment durchführbar ist,
welches die Quantisierung des elektrischen Feldes zeigen könnte. Ihr Beweis durch Widerspruch lautete in etwa so:
Ein Strahlungsfeld ist bestimmt durch seine Energie E. Besteht dieses Feld aus
”
Lichtquanten, so gibt es eine maximale Frequenz νmax = E/h̄ des Fourier-Spektrums
und damit eine minimale Periodendauer Tmin = 1/νmax . Führt man dann eine Messung
in einem Zeitintervall ∆t Tmin durch, dann kann man die Feldstärke als konstant
annehmen. Alle Messungen mit solch einer kurzen Zeitdauer sind dann Feldmessungen,
die der Beziehung (1.2.15) unterworfen sind. Damit man mit Sicherheit sagen kann, daß
ein Feld E existiert, muß es größer sein als die Unschärfe ∆E. Wenn das Feld von Null
verschieden ist, dann muß es in einer ganzen Umgebung V , die durch die minimale
Wellenlänge (h̄c)/E gegeben ist, von Null verschieden sein. In V ist aber dann die
Energie
3
3
h̄c
h̄c
h̄c
2
2
>
(1.2.16)
E ≈ E V > (∆E)
4
E
(c ∆t)
E
enthalten. Daraus folgt, daß:
∆t >
h̄
,
E
(1.2.17)
im Widerspruch zur Annahme ∆t Tmin = h̄/E. Eine Quantennatur des Strahlungsfeldes ist durch diese Argumentationskette nicht nachzuweisen.“
8
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
1.2.2
Bohr und Rosenfeld (1933)
Bohr und Rosenfeld wollten zeigen [8, 9], daß die von Landau und Peierls aufgestellte
zusätzliche Unschärferelation (1.2.15) und damit auch ihre Schlußfolgerung, daß eine Quantisierung des Strahlungsfelds unnötig sei, nicht stimmt. Sie kritisierten vor
allem Landau und Peierls ungenaue Trennung zwischen System und Meßapparatur,
insbesondere die Verwendung eines einzelnen, elektrisch geladenen Massenpunktes als
Testteilchen, welches durch Strahlungsrückwirkung eine Messung des Feldes verfälscht.
Bohr und Rosenfeld legten ihrer Argumentation zu Grunde, daß im quantenelektrodynamischen Formalismus ein Feld keine Funktion von Raumzeit-Punkten, sondern
von einem Raumzeit-Gebiet und der Mittelung darüber sei. Die Frage der sie nachgingen war, ob aus diesem Formalismus eindeutige Vorhersagen über die Meßbarkeit
solcher “Gebiets-Funktionen“ physikalisch möglich sind.
Um eine physikalische Messung eines Feldes durchführen zu können, müssen nach
Bohr und Rosenfeld einige Voraussetzungen erfüllt sein. Sie betrachteten dazu eine
Messung des mittleren elektrischen Feldes in x-Richtung Ex über ein Raumzeit-Gebiet
mit dem Volumen V und der Dauer T . Entscheidend sind die Voraussetzungen, die
man an die Struktur des Testteilchens stellen muß:
(i) Verwende Testteilchen dessen elektrische Ladung q homogen (ρ = const) über
das Volumen V verteilt ist und bestimme dessen Impuls p zu Beginn t und p0
zum Ende t0 des Intervalls T . Das gemittelte Feld Ex ist dann bestimmt durch
p0 − p = ρEx V T.
(1.2.18)
(ii) Die zur Impulsmessung notwendige Zeit ∆t sei gegenüber T zu vernachlässigen:
∆t t0 − t = T .
(iii) Die Verschiebung ∆x aufgrund der Impulsmessung sowie der Beschleunigung in
der Zeit T kann gegenüber der Ausdehung L des Gebiets V ebenfalls außer acht
gelassen werden, da das Testteilchen entsprechend große Masse M besitzen soll:
∆x L. Aufgrund der zu vernachlässigenden Beschleunigung ist eine Strahlungsrückwirkung nicht von Belang.
(iv) Damit das Testteilchen als ein klassisches Teilchen angesehen werden kann, müssen
dessen Ränder einen raumartigen Abstand besitzen, sodaß keine kausale Verbindung zwischen ihnen besteht: cT < L. Eine strengere Bedingung aus der Atomistik verlangt, daß uT < L gilt, mit der Phasengeschwindigkeit u = λν im
Teilchen und λ = h̄/p sowie ν = E/h̄.
Neben diesen Voraussetzungen an die Struktur des Testteilchens, verlangten Bohr und
Rosenfeld noch die folgenden Bedingungen an dessen Dimensionen:
> h̄c
q2 ∼
und
L>
q2
,
M c2
(1.2.19)
1.2. IST EINE QUANTISIERUNG DER GRAVITATION NOTWENDIG?
9
wobei letztere dafür verantwortlich ist, daß die Strahlungsrückwirkung vernachlässigt
werden kann.
Jede Impulsmessung ist nun mit einer Unschärfe ∆p verbunden, die die Heisenberg> h̄ erfüllt. Aus der Bestimmungsgleichung (1.2.18) für
sche Unschärferelation ∆p ∆x ∼
das Feld Ex folgt für die Feldunschärfe ∆Ex zusammen mit der Heisenbergbedingung:
h̄
>
∆Ex ∼
,
ρV T ∆x
(1.2.20)
bzw. mit den Voraussetzungen cT < L und ∆x L:
∆Ex L2 >
h̄c
.
q
(1.2.21)
Durch Multiplikation mit L > q 2 /(M c2 ) (siehe 1.2.19) erhält man daraus:
∆Ex L3 >
h̄ q
.
cM
(1.2.22)
Bohr und Rosenfeld schlossen daraus, daß ihre Beziehung (1.2.21) sich wesentlich vonLandau und Peierls Beziehung (1.2.15) unterscheidet. Dies liegt ihrer Meinung nach
daran, daß in (1.2.21) zusätzlich die Ladung q auftritt, die aber beliebig groß gewählt
werden kann, wodurch (1.2.21) keine neue Unschärferelation darstellt.
Die Kritik von Bohr und Rosenfeld an der Herleitung von (1.2.15) durch Landau und
Peierls beinhaltete, daß sie die Strahlungsrückwirkung des Testteilchens berücksichtigten. Läßt man aber die wenig begründete Bedingung (1.2.19) von Bohr und Rosenfeld
weg, so kann man für q auch die Elektronenladung e verwenden. Für diese gilt: e2 < h̄c
und daher folgt aus (1.2.21) die Relation:
∆Ex L2 >
h̄c √
> h̄c,
e
(1.2.23)
bzw. mit L < cT :
√
h̄c
∆Ex > 2 2 .
cT
(1.2.24)
Nun war nach Voraussetzung T ∆t und daher folgt im ungünstigsten Fall (T = ∆t)
die Beziehung von Landau und Peierls (1.2.15).
1.2.3
Umsetzung auf die Gravitation
Bohr und Rosenfeld konnten Landau und Peierls Untersuchungen nicht ohne zusätzliche, wenig motivierte Voraussetzungen widerlegen. Letztlich kamen sie auf das gleiche
Resultat. Borzeszkowski und Treder [57] übernahmen die Abschätzung von Bohr und
Rosenfeld und zeigten damit, daß Messungen in der Gravitation durch eine fundamentale Länge beschränkt sind. Wir wollen kurz ihre Argumentation nachvollziehen.
10
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
Die Bewegung eines Testteilchens in der Gravitation wird durch die Geodätengleichung
duk
= −Γk00 (u0 )2 − 2Γk0n u0 un − Γkmn um un ,
(1.2.25)
dτ
beschrieben, mit der Vierergeschwindigkeit uµ = dxµ /dτ und der Eigenzeit τ [38].Wir
setzen voraus, daß sich das Teilchen langsam bewegen soll und können daher den letzten
Term in Gleichung (1.2.25) vernachlässigen.
Vergleichen wir die reduzierte Form der Geodätengleichung (1.2.25) mit der Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens der Masse m und der Ladung q in einem
elektromagnetischen Feld:
duk
e
=−
F k 0 u0 + F k n u n ,
(1.2.26)
dτ
m
so können wir eine gewisse Analogie zwischen den Christoffelsymbolen Γ und dem
elektromagnetischen Feld – dargestellt durch den Feldstärketensor Fµν – feststellen:
F k0 → Γk00
und F kn → Γk0n .
(1.2.27)
Borzeszkowski und Treder verwendeten eine etwas gröbere Korrespondenzbeziehung
ohne Rücksicht auf genaue Indizierung der Symbole:
√
c
F → √ Γ,
q → Gm,
(1.2.28)
G
wobei G die Gravitationskonstante und m die Masse des Testteilchens darstellt. Die
Koeffizienten sind so angepaßt, daß die Dimensionen bei der Korrespondenzbetrachtung
schlüssig sind (siehe Anhang A.1.2).
Die Voraussetzungen (i)-(iv) (Abschnitt 1.2.2) an das Testteilchen übernehmen Borzeszkowski und Treder vollständig. Aus der Beziehung (1.2.20) schließen sie mit ihrer
Korrespondenz (1.2.28) für die Genauigkeit ∆Γ des Gravitationsfeldes Γ:
∆Γ ≈
h̄
c2 m ∆x T
.
(1.2.29)
Unter Verwendung der Relationen in (iii) und (iv) erhält man daraus:
> h̄ .
∆Γ ∼
(1.2.30)
cL2 m
Bohr und Rosenfelds zusätzliche Bedingung (1.2.19) an das Testteilchen besagt hier,
daß seine Ausdehung größer sein muß als sein Schwarzschildradius:
> Gm ≈ RS .
L ∼
(1.2.31)
c2
Multipliziert man (1.2.30) mit (1.2.31), so folgt:
> h̄G = lP .
(1.2.32)
∆Γ L3 ∼
c3
Das Gravitationsfeld kann also nur bis auf die Planck-Länge genau gemessen werden. Es
stellt sich dann natürlich die Frage, ob eine Quantentheorie der Gravitation überhaupt
notwendig ist, wenn letztlich keine Effekte gemessen werden können.
1.3. LOKALITÄT IN DER QFT
1.3
11
Lokalität in der QFT
Der Begriff der Lokalität ist wohl besser bekannt unter dem Namen Nahwirkungsprinzip. Nach dem bekannten Newtonschen Gesetz F ∝ m1r2m2 wird die Verschiebung der
einen Masse instantan von der anderen Masse registriert. Die Gravitationskraft wirkt
aufgrund dieser Formel ohne Zeitverzug über beliebige Entfernungen, weshalb man
hier auch von Fernwirkung spricht. Bereits bei der Maxwellschen Theorie der Elektrodynamik, spätestens aber mit der Speziellen Relativitätstheorie Einsteins wurde klar,
daß die Fernwirkung nur sehr begrenzt physikalisch anwendbar ist. Die Alternative des
Nahwirkungsprinzips bringt den Begriff des Feldes ein.
In der Quantenfeldtheorie ist die Nahwirkung ein fundamentales Prinzip. Schwinger
[46] definierte den Begriff der Lokalität so:
“Ein lokalisierbares Feld ist ein dynamisches System, welches durch ein
oder mehrere, von Raumzeitkoordinaten abhängige, Feldoperatoren φ̂α (x)
charakterisiert wird. In dieser Aussage enthalten ist die Annahme, daß die
Operatoren x̂µ untereinander kommutieren:
[x̂µ , x̂ν ] = 0
(1.3.1)
und vor allem, daß sie mit den Feldoperatoren vertauschen:
[x̂µ , φα (x)] = 0.
(1.3.2)
Die Operatoren x̂µ entsprechen den Ortsobservablen.“
Betrachten wir also zwei Ortsmessungen, so spielt die Reihenfolge der Messungen keine
Rolle. Berücksichtigen wir jedoch die Gravitation, so ist die Vertauschung nicht mehr
gerechtfertigt [2].
Betrachten wir zwei neutrale Spin-0-Teilchen der Massen m1 und m2 . Jegliche Meßapparaturen dienen lediglich der Verwirklichung der fundamentalen Vertauschungsrelationen [xi , pj ] = ih̄δij . Um eventuelle Überlappungen der quantenmechanischen
Wellenfunktionen zu vermeiden, nehmen wir an, daß die Ausdehung R1,2 der Teilchen
stets wesentlich kleiner ist als deren Comptonwellenlänge h̄/(m1,2 c). Sei nun Teilchen
1 durch irgendeine Messung auf eine Kugel mit dem Radius R1 h̄/(m1 c) am Ort ~x1
begrenzt; der Ort von Teilchen 2 sei vollkommen unbestimmt. Zu einer späteren Zeit
∆t h̄(m1 c2 ) machen wir eine zweite Messung und schränken dabei Teilchen 2 auf eine
Kugel mit dem Radius R2 = h̄/(m2 c) am Ort ~x2 ein. Aufgrund der Unschärferelation
∆p ∆x ≥ h̄ besitzt Teilchen 2 durch die Begrenzung auf den Raumbereich R2 ≈ ∆x
> h̄/R2 und damit die radialsymmetrische Energiedichte:
den Impuls p ∼
p
m2 c4 + p2 c2
E
Θ(R
−
r)
=
Θ(R2 − r)
ρ2 (r) =
2
4π/3R23
4π/3R23
>
∼
3Θ(R2 − r) h̄c
,
4πR23
R2
(1.3.3)
12
KAPITEL 1. QUANTENMECHANISCHER MESSPROZESS
wobei wir die Voraussetzung R2 h̄/(mc) ausgenutzt haben. Die Größe ρ1 (r) kann in
analoger Weise definiert werden. Diesen Energiedichten kann durch
4π 3 ρ
h̄
E
M= 2 =
R 2 ≈
(1.3.4)
c
3
c
cR
eine Masse zugeordnet werden. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird durch solch
eine Masse die Raumzeit so gekrümmt, daß eine Schwarzschild-Metrik vorliegt. Der
klassische Anteil der Masse kann dabei vernachlässigt werden, da aus der Voraussetzung
R2 h̄/(mc) folgt, daß:
m2 c
2Gm2
2Gh̄
1
⇒
.
(1.3.5)
R2
h̄
c 2 R2
R2 2c3
Setzen wir voraus, daß ρ2 (r) ρ1 (r) ist, so können wir die Raumzeit vor der Messung
2 als nahezu flach ansehen. Es gilt dann die Minkowski-Metrik:
ds2 = −dt2 + dr2 + r2 dΩ2
(1.3.6)
Nach der Messung 2 liegt aber die Schwarzschild-Metrik vor, die durch ρ2 bestimmt
wird:
−1
1 2Gh̄
1 2Gh̄
2
2
dt + 1 −
dr2 + r2 dΩ2 .
(1.3.7)
ds = − 1 −
r R2 c 3
r R2 c3
Die Positionsbestimmung von Teilchen 1 hängt also davon ab, ob man vor ihr die
Position von Teilchen 2 bestimmt oder erst nach ihr.
Die hier vorgestellte Ortsmessung ist natürlich sehr idealisiert. Dennoch kommt man
nicht umhin, bei einer Vereinigung der Quantentheorie mit der Gravitation, einige fundamentale Prinzipien beider Theorien zu hinterfragen. Ein Problem einer Vereinheitlichung ist die gegensetzliche Ausgangsposition einer lokalen Theorie der Gravitation auf
der einen Seite und einer nicht-lokalen Quantentheorie auf der anderen Seite. Die NichtLokalität zeigt sich insbesondere in dem bekannten EPR-Experiment [18]. Betrachtet
man den Zerfall eines skalaren Teilchens zu zwei Spin-1/2-Teilchen, so besitzen diese beiden Teilchen korrelierte Spinprojektionen. Sei z.B. die Spinprojektion des ersten
(1)
Teilchens bei einer Messung mz = 12 , dann folgt für die Spinprojektion des anderen
(2)
Teilchens der Wert mz = − 12 . Diese Korrelation bleibt nun auch dann erhalten, wenn
sich die beiden Teilchen voneinander entfernen. Solang eine flache Minkowski-Raumzeit
vorliegt, in der ein globales Inertialsystem definiert werden kann, ist eine z-Richtung
ausgezeichnet bezüglich der man die Spinprojektion bestimmen kann. Betrachtet man
aber Korrelationen in einem äußeren Gravitationsfeld, so ist keine z-Richtung mehr
ausgezeichnet. Borzeszkowski und Mensky zeigten [58], daß durch geeigneten Paralleltransport eines Koordinatensystems vom einen zum anderen Teilchen eine Korrelation
besteht. Im Allgemeinen ist das jedoch nicht möglich. Lokalisieren wir das eine Teilchen bei der Spinmessung auf einen kleinen Bereich, so krümmt dies aufgrund obiger
Überlegungen die Raumzeit. Allerdings ist diese Krümmung nicht eindeutig, da die
mit der Impulsunschärfe verbundende Energie ebenfalls nicht exakt angegeben werden
kann.
Kapitel 2
Unruh- und Hawking-Effekt
Die Gravitation als eine der fundamentalen Wechselwirkungen in der Physik wird in
der Quantenfeldtheorie ganz vernachlässigt. Dies ist insofern gerechtfertigt, da sie die
schwächste aller vier Wechselwirkungen ist und bei den geringen Massen der Elementarteilchen gegenüber der elektromagnetischen, schwachen und starken Wechselwirkung
einen verschwindenden Beitrag liefert.
Aber nicht nur bei einer angestrebten Vereinheitlichung aller vier fundamentalen
Wechselwirkungen muß letztlich die Gravitation berücksichtigt werden, sondern gerade
in der Nähe von Objekten wie Neutronensternen oder Schwarzen Löchern. Hawking
zeigte zu Beginn der 1970’er Jahre, daß entgegen bisheriger Annahmen, ein Schwarzes
Loch doch strahlen kann. Unruh fand ein paar Jahre später einen analogen Prozess für
die flache Raumzeit. Beide Effekte begründen sich darauf, daß die Quantenfeldtheorie
nicht mehr nur auf einer flachen Minkowski-Raumzeit aufgebaut sein kann, sondern
auch gekrümmte Raumzeiten berücksichtigen muß.
2.1
Quantenfelder auf gekrümmten Raumzeiten
Ein erster Schritt zu einer Quantentheorie der Gravitation besteht darin, daß man die
Quantenfeldtheorie auf gekrümmte Raumzeiten verallgemeinert. Die Gravitation tritt
nur als klassisches Hintergrundsfeld auf. Sie wird zunächst nicht quantisiert und ist nur
für die Krümmung der Raumzeit verantwortlich. Die quantisierten Felder haben keine
Rückwirkung auf das Gravitationsfeld. Diese Näherung macht Sinn, da quantengravitative Effekte erst in der Größenordnung der Planck-Länge (10−33 cm) eine Rolle spielen,
wohingegen die Skala auf der die gewöhnliche Quantenfeldtheorie wirkt (≥ 10−17 cm)
um ein vielfaches größer ist.
Probleme tauchen aber dann auf, wenn man an dem Teilchenbegriff festhalten will.
Da es keine globale inertiale Beobachter gibt, verliert der Teilchenbegriff seine Eindeutigkeit. Es hängt dann vom jeweiligen Beobachter ab, ob in einem gewissen Gebiet ein
Vakuum vorhanden ist oder sich doch Teilchen befinden.
13
14
2.1.1
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
Quantenfelder auf der Minkowski-Raumzeit
Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall eines Klein-Gordon-Feldes φ(x),
welches die Feldgleichung
2 + m2 φ = 0
(2.1.1)
erfüllt [6], wobei 2 = η µν ∂µ ∂ν der d’Alembert-Operator und ηµν die Minkowski-Metrik
ist. Ein Satz von Lösungen der Feldgleichung (2.1.1) ist
~
uk (x) ∝ eik·~x−iωt
(2.1.2)
p
√
mit ω = k 2 + m2 und k = |~k| = k12 + k22 + k32 . Die Moden (2.1.2) sind Eigenfunktionen des Operators ∂/∂t :
∂
uk (x) = −iωuk (x), mit ω > 0.
(2.1.3)
∂t
Man nennt sie daher auch Moden mit positiver Frequenz, bezogen auf die Zeit t.
Das Skalarfeld quantisiert man nun, indem man φ als Feldoperator behandelt und
die folgenden Kommutatorrelationen fordert:

[φ(t, ~x), φ(t, ~x0 )] = 0,



0
(2.1.4)
[π(t, ~x), π(t, ~x )] = 0,



[φ(t, ~x), π(t, ~x0 )] = iδ 3 (~x − ~x0 ),
wobei π = ∂t φ der zu φ konjugierte Impulsoperator ist. Definieren wir auf einer raumartigen Gleichzeitigkeitshyperebene Σt folgendes Skalarprodukt
Z
(u1 , u2 ) = i d3 x (u∗1 ∂t u2 − (∂t u∗1 )u2 ) ,
(2.1.5)
dann können wir die Moden (2.1.2) so wählen, daß sie die Orthogonalitätsrelation
(uk , uk0 ) = δ(k, k 0 )
(2.1.6)
bezüglich diesem Skalarprodukt erfüllen. Der Feldoperator φ kann dann in den Moden
(2.1.2) entwickelt werden:
Z
φ(x) = dµ(k) ak uk (x) + a†k u∗k (x) .
(2.1.7)
Das Integralmaß dµ(k) hängt davon ab, ob es sich bei den uk um ein kontinuierliches
R
P
oder ein Punkt-Spektrum handelt. Liegt ein Punkt-Spektrum vor, so ist dµ(k) = .
k
Die Kommutatorrelationen (2.1.4) sind dann äquivalent zu:

[ak , ak0 ] = 0,



†
†
[ak , ak0 ] = 0,



†
[ak , ak0 ] = iδkk0 .
(2.1.8)
2.1. QUANTENFELDER AUF GEKRÜMMTEN RAUMZEITEN
15
Mittels den Vernichtern ak bzw. den Erzeugern a†k kann man aus dem Vakuumzustand
|0i eine Basis für den zugrundeliegenden Hilbertraum erzeugen. Dabei gilt für alle k:
ak |0i = 0.
2.1.2
Struktur der Raumzeit
Untersuchen wir reelle skalare Felder auf gekrümmten Räumen, so müssen wir uns
auf eine global hyperbolische Mannigfaltigkeit M mit entsprechender Metrik gµν beschränken [63]. Die dadurch beschriebene Raumzeit enthält keine Singularitäten und
es existiert daher eine eindeutige Lösung der Klein-Gordon-Gleichung. Eine global hyperbolische Mannigfaltigkeit definieren wir hier wie folgt:
Sei Σ ⊂ M eine raumartige Hyperfläche. Der Abhängigkeitsbereich von Σ
ist definiert durch:
D(Σ) = {p ∈ M|jede nicht-erweiterbare kausale Kurve durch p schneidet Σ}
Ist D(Σ) = M, dann nennt man Σ eine Cauchy-Fläche der Raumzeit und
M global hyperbolisch.
In einer global hyperbolischen Raumzeit kann man eine glatte “Zeitkoordinate“ t
wählen, so daß jede Hyperfläche mit konstantem t eine Cauchy-Fläche ist. Dann existiert eine eindeutige Lösung der Klein-Gordon-Gleichung auf einer gekrümmten Raumzeit [22]:
2g φ + m 2 φ = 0
(2.1.9)
√
1
−gg µν ∂ν .
2g = √ ∂µ
−g
(2.1.10)
mit dem d’Alembert-Operator
Der Einfachheit halber verwenden wir in (2.1.9) nur die minimale Kopplung und vernachlässigen weitere Terme wie etwa einen Summanden 16 Rφ, der die konforme Invarianz sichern würde.
Da wir nachher eine kanonische Quantisierung durchführen, müssen wir die vierdimensionale Raumzeit wieder aufspalten in drei Raumrichtungen und eine Zeitrichtung.
Dies erreichen wir indem wir M in raumartige Cauchyflächen Σt aufteilen und die jeweiligen zukunftsorientierten Normalenvektoren nµ bestimmen. Die Metrik gµν zerfällt
dann mit einer räumlichen 3-Metrik hµν , die die innere Geometrie von Σt beschreibt,
zu:
gµν = −nµ nν + hµν .
(2.1.11)
Die Parametrisierung t der Cauchyflächen Σt verwenden wir als Zeitkoordinate, die allerdings noch nichts mit einer Eigenzeit zu tun hat. Das Vektorfeld tµ gibt die “Zeitentwicklung“ von der Hyperfläche Σt zur infinitesimal benachbarten Hyperfläche Σ(t+dt)
16
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
wieder und erfüllt auf M die Relation tµ ∇µ t = 1. Wir können tµ in eine “lapse“Funktion N und einen “shift“-Vektor N µ zerlegen:
tµ = N nµ + N µ .
(2.1.12)
Dabei gibt die Funktion N = N (t, x, y, z) an, wieviel Eigenzeit von Σt zu Σ(t+dt) vergeht. Der “shift“-Vektor N µ = N µ (t, x, y, z) liegt tangential zur Hyperfläche Σt und
gibt Auskunft darüber, wie die Koodinaten der beiden Flächen zueinander in Beziehung
stehen. Die Raumkoordinaten xi (i = 1, 2, 3) passen wir so an, daß sie die Bedingung
tµ ∇µ xi = 0 erfüllen. Dann gilt: N µ ∂µ = N i ∂i .
Abbildung 2.1: Die beiden Hyperflächen Σt und Σt+dt stehen über die “lapse“Funktion N und den “shift“-Vektor N µ in Verbindung [35]. Die Fahne repräsentiert
die Gleichung (2.1.13).
Das Linienelement ds können wir bei gegebener Signatur berechnen:
ds2 = hij dxi + N i dt dxj + N j dt − (N dt)2 .
(2.1.13)
Daraus erhalten wir für die vierdimensionalen Metrik gµν mit Ni = hij N j :
g00 g0k
gi0 gik
=
−N 2 + Nr N r Nk
Ni
hik
und entsprechend für ihre Inverse g µν :
!
!
Nk
− N12
g 00 g 0k
2
N
=
.
i0
ik
N
N iN k
ik
i
g
g
h
−
N2
N2
(2.1.14)
(2.1.15)
Die Determinante der Vierermetrik gµν erhält man aus der Dreiermetrik hik mit g =
det gµν und h = det hik zu g = −N 2 h.
Kehren wir zurück zur Klein-Gordon-Gleichung (2.1.9). Diese läßt sich aus der
Lagrange-Dichte
Z
1 √
LKG =
−g g µν ∂µ φ∂ν φ − m2 φ2
(2.1.16)
2
2.1. QUANTENFELDER AUF GEKRÜMMTEN RAUMZEITEN
17
herleiten. Die zur Feldvariablen φ konjugierte Impulsdichte π erhalten wir aus (2.1.9)
unter Berücksichtigung von (2.1.15):
√ √
∂L
h
∂L
π=
=
=
φ̇ − N i ∂i φ = h (nµ ∇µ φ) .
(2.1.17)
∂(∂0 φ)
N
∂ φ̇
Wir können nun wie im Fall einer flachen Raumzeit für Lösungen der Klein-GordonGleichung ein Skalarprodukt auf der raumartigen Hyperfläche Σ definieren:
Z
(u1 , u2 ) ≡ i (u∗1 π2 − π1∗ u2 ) d3 x = (u2 , u1 )∗
(2.1.18)
Σ
Setzt man voraus, daß die Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung im räumlich Unendlichen verschwinden, dann ist dieses Skalarprodukt unabhängig von der Wahl der Hyperfläche Σ und daher unabhängig von der Zeit [20]. Allerdings ist es i.a. nicht positiv
definit. Wir beschränken uns aber auf den Teilraum des Hilbertraums, der nur Lösungen positiver Frequenz beinhaltet. Auf diesem Teilraum ist das Skalarprodukt (2.1.18)
positiv definit. Zur Unterscheidung zwischen positiver und negativer Frequenz benötigt
man stets eine Angabe darüber, auf welchen Zeitparameter sich die Frequenz bezieht.
Liegt eine stationäre Raumzeit vor, so gibt es ein globales zeitartiges Killingvektorfeld,
welches eine Zeitkoordinate vorgibt.
Wir wählen nun einen vollständigen Satz {uk , u∗k0 } von Lösungen der Klein-GordonGleichung, die folgende Orthonormalitätsbedingungen erfüllen sollen:
(uk , uk0 ) = δ (k, k 0 ) ,
(u∗k , u∗k0 ) = −δ (k, k 0 )
und
(uk , u∗k0 ) = 0.
Hier ist k ein beliebiger Index und nicht notwendigerweise gleich dem Impuls. Wir
können jetzt jede beliebige Lösung (φ, π) nach diesem Satz entwickeln:
Z
† ∗
φ =
dµ(k) ak uk + ak uk ,
(2.1.19)
Z
π =
dµ(k) ak πk + a†k πk∗ ,
mit den Koeffizienten ak = (uk , φ) und a†k = − (uk , φ) und dem Integralmaß dµ(k),
welches wie oben vom Spektrum der uk abhängt.
Aus der Vollständigkeit der uk zusammen mit den kanonischen Vertauschungsrelationen der Feld- und Impulsoperatoren folgen für die ak , a†k die gewöhnlichen Vertauschungsrelationen
i
h
†
†
[ak , ak0 ] = ak , ak0 = 0 und
h
i
ak , a†k0 = δ(k, k 0 ).
18
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
ak und a†k sind die Erzeuger bzw. Vernichter der Zustände.
Wie im flachen Raum können wir aus dem Vakuumzustand |0iu bezüglich dieser
Basis einen Fock-Raum konstruieren:
ak |0iu = 0 ∀k.
Die Zustände |0iu , a†k |0iu , . . . stellen eine Basis des Hilbertraums dar. Dabei soll
|0iu , bezogen auf das positiv definite Skalarprodukt h·|·i im Hilbertraum, normiert
sein:
u h0| 0iu
=1
Wir haben uns bisher auf eine Wahl der Hyperflächen Σ beschränkt. Allerdings folgt aus
der Allgemeinen Relativitätstheorie, daß wir irgend eine andere raumartige Hyperfläche
Σ0 hätten wählen und auf ihr die Feldoperatoren φ nach dem vollständigen Satz vp , vp∗0
entwickeln können:
Z
φ =
dµ(p) bp vp + b†p vp∗ .
Nun definiert man das Vakuum |0iv bezüglich dieser Basis mittels dem Vernichter bp :
bk |0iv = 0 ∀p.
Die Frage ist nun, ob die so definierten Vakua |0iu und |0iv den gleichen physikalischen
Sachverhalt darstellen.
Die Unabhängigkeit des Skalarprodukts (2.1.18) von der gewählten Hyperfläche
sorgt dafür, daß beide vollständige Sätze gleichwertig sind. Wir können daher auch
den einen Satz nach dem anderen entwickeln. Wenn wir folgenden Ansatz machen:
Z
vp = dµ(k) (α(p, k)uk + β(p, k)u∗k ) ,
(2.1.20)
dann erhalten wir für die umgekehrte Entwicklung:
Z
uk = dµ(p) α∗ (p, k)vp − β(p, k)vp∗ .
(2.1.21)
Die Größen α und β nennt man Bogoljubov-Koeffizienten und die Transformation von
einer Basis zur anderen entsprechend Bogoljubov-Transformation. Aus dem diskreten
Fall erkennt man leichter, daß es sich bei α und β um Matrizen handelt. Für diese gilt:
αα† − ββ † = 1 und αβ T − βαT = 0.
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren transformieren sich über:
∗
α −β ∗
b
a
=
.
b†
−β α
a†
(2.1.22)
(2.1.23)
2.2. UNRUH-EFFEKT
19
Das Erstaunliche ist nun, daß der Erwartungswert des Teilchenzahloperators b† b der
Basis {v} bezogen auf die Basis {u} nicht verschwindet:
Z
†
dµ(k)|β(p, k)|2 .
(2.1.24)
u h0|b b|0iu =
Was in dem einen System als Vakuum erscheint, ist in einem anderen mit Teilchen
“angefüllt“.
2.2
2.2.1
Unruh-Effekt
Minkowski- und Rindler-Moden
Betrachten wir ein masseloses Skalarfeld auf der flachen Minkowski-Raumzeit vom
Standpunkt eines inertialen Beobachters, dann reduziert sich die Klein-Gordon-Gleichung
(2.1.9) auf die gewöhnliche Wellengleichung in gekrümmten Raumzeiten. Mit der Notation aus Abschnitt (2.1) läßt sich das skalare Feld φ zerlegen in:
Z
φ = dµ(k) aM,k uk + a†M,k u∗k ,
mit den Minkowski-Erzeugern a†M,k und Vernichtern aM,k und den Moden
1
uk (t, x) = p
4π|k|
eikx−iωt
(ω = |k|)
in (1 + 1)-Dimensionen.
Die Frage ist, welche Aussage ein beschleunigter Beobachter (B) über das MinkowskiVakuum macht. Dazu nehme dieser einen stabilen Detektor mit, dessen Ausdehnung
sich durch die Beschleunigung nicht verändern soll. Weiterhin beschleunige sich B mit
konstanter Eigenbeschleunigung α in x-Richtung (siehe Anhang A.2). Seine Bewegung
läßt sich recht einfach mit sogenannten Rindler-Koordinaten (ρ, τ ) parametrisieren. Für
diese gilt, mit einem Parameter a = const > 0, die Transformation:
x = ρ cosh(aτ ),
t = ρ sinh(aτ ).
Bilden wir die totalen Differentiale dx und dt und setzen diese in das MinkowskiLinienelement ds2 = −dt2 + dx2 ein, so erhalten wir die Rindler-Metrik:
ds2 = dρ2 − (aρ)2 dτ 2 .
(2.2.1)
Da die Rindler-Metrik unabhängig von τ ist, gibt es ein zugehöriges zeitartiges KillingFeld
∂t ∂
∂x ∂
K = ∂τ =
+
= aρ cosh(aτ ) ∂t + aρ sinh(aτ ) ∂x
∂τ ∂t ∂τ ∂x
= a (x∂t + t∂x ) .
20
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
t..............
..
....
.
..
....
.... ........
.
...
.. ..
..
..... .......
...
.
...
..... .....
...
.
.
.
.
...
.
.
...
..
.
...
.
.
..
...
...
.....
...
...
..
..
...
.....
. .
..
.
...
.
. .
.
.. . .
.....
...
. .....
... ......
.
.
... . . . . . .
..
.
..
..........................................................................................................................................
...
..
.
.....
...
..
...
.....
...
..
...
...
.....
...
..
..
.....
...
..
...
.....
...
..
..
..... .....
...
..
..... ........
.. .....
..... .......
..
.....
..
ρ = const
H
+
τ = const
x
H−
Abbildung 2.2: Die Rindlerkoordinaten beschreiben nur den Bereich x > |t|. Kurven
konstanter Beschleunigung entsprechen Hyperbeln. Kurven gleicher Eigenzeit sind Ursprungsgeraden. Die Geraden x = |t| bilden die Horizonte des beschleunigten Beobachters. Die Horizonte H + und H − der beschleunigten Beobachter sind Killing-Horizonte
des “boost“-Killingfeldes.
Analog der Eigenwertgleichung (2.1.3) können wir dann Moden mit positiver Frequenz
bezüglich der Eigenzeit τ auswählen. Da der Bereich (I) von Abbildung (A.3) global
hyperbolisch und die Hyperebene t = 0 eine Cauchy-Fläche ist, können wir obiges
Verfahren anwenden.
Das masselose Skalarfeld φ muß auf dem Rindlereck (I) die Gleichung
2R φ = 0
(2.2.2)
erfüllen, wobei 2R der d’Alembert-Operator (2.1.10) in Rindlerkoordinaten ist. Die
Rindler-Metrik (2.2.1) eignet sich aber noch nicht zur Lösung der Wellengleichung
(2.2.2). Günstiger ist die vorherige Koordinatentransformation
ρ = eξa .
(2.2.3)
Daraus folgt für das Differential dρ = aeξa dξ und für das Linienelement in den neuen
Rindlerkoordinaten:
ds2 = a2 e2ξa −dτ 2 + dξ 2 .
(2.2.4)
Da die Wellengleichung konform invariant ist [6], genügt es, wenn wir
∂2
∂2
2 2ξa
a e 2R̃ φ = − 2 + 2 φ = 0.
∂τ
∂ξ
(2.2.5)
betrachten. Die Moden dieser Wellengleichung lauten nach Beschränkung auf positive
Frequenzen mit Ω = |p|:
vp = √
= √
1
eipξ−iΩτ
4πΩ
1
ρip/a e−iΩτ .
4πΩ
(2.2.6)
2.2. UNRUH-EFFEKT
21
In der zweiten Gleichung haben wir auf die ursprünglichen Rindler-Koordinaten zurücktransformiert. Das Skalarfeld φ können wir dann in den Rindler-Moden vp entwickeln:
Z
(2.2.7)
φ = dµ(p) bp vp + b†p vp∗ ,
mit den entsprechenden Erzeugern b†p und Vernichtern bp .
Nun fehlen uns noch die Bogoljubov-Koeffizienten β(p, k). Sie bekommen wir aus
der Beziehung (2.1.20):
β(p, k) = − (u∗k , vp )
Z
= −i dρ (uk πp − πk vp ) .
(2.2.8)
Die Integration läuft hier nur über die Cauchyfläche Σt=τ =0 ≡ ΣI im Rindlereck (I)
(siehe Abbildung A.3) bzw. x ≥ 0, t = 0 (siehe Abbildung 2.2).
Die konjugierten Impulse erhalten wir aus den entsprechenden Minkowski- bzw. RindlerLagrange-Dichten LM,R :
πk =
∂ LM
= −∂t uk
∂(∂0 uk )
πp =
1
∂ LR
= − ∂τ vp .
∂(∂0 vp )
aρ
und
Setzen wir die jeweiligen Impulse in (2.2.8) ein, so erhalten wir zunächst
1
β(p, k) =
4π
Z∞
dρ
1
aρ
r
Ω
−
ω
r !
ω
eikρ ρip/a
Ω
0
1
=
2πa
r
ip
pπ
Ω
ip
Γ
ω − a e− 2a
ω
a
und daraus
|β(p, k)|2 =
|p|
1
.
2πp
2
2π|k|a e a − 1
(2.2.9)
Der Erwartungswert des Teilchenzahloperators b†p bp ist dann bezogen auf das MinkowskiVakuum |0iM :
Z
Ω
2
†
h0|b
b
|0i
=
dk|β(p,
k)|
∝
.
(2.2.10)
p
2πΩ
p
M
M
e a −1
Der Vergleich mit der Planck-Verteilung erlaubt den Schluß, daß für den beschleunigten
h̄a
Beobachter das Quantenfeld in einem Gleichgewichtszustand der Temperatur T = 2πk
B
zu sein scheint.
22
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
Bei einer genaueren Untersuchung müßte man auch den Bereich (III) (siehe Abbildung A.3) mit einbeziehen. Dieser stellt ebenfalls eine global hyperbolische Raumzeit
dar. Der Unterschied zum Bereich (I) liegt darin, daß hier die Eigenzeit τ entgegen der
Minkowskizeit t läuft. Wie Unruh und Wald zeigten [55, 60], besteht sogar eine strenge
Korrelation zwischen den Zuständen aus den Bereichen (I) und (III). Der beschleunigte Beobachter beschreibt das Minkowski-Vakuum durch eine thermische Dichtematrix
h̄a
ρtherm der Temperatur T = 2πk
[55]:
B
ρtherm =
Y
j

Nj2
X
nj

e−2πnj ωj /a |nj , I i ⊗ h nj , I|
mit den Bezeichnungen aus [55]. Den Umstand, daß ein beschleunigter Beobachter das
Minkowski-Vakuum als thermisches Teilchen-Bad “empfindet“, bezeichnet man als den
Unruh-Effekt.
2.2.2
Unruh-DeWitt-Detektor
Bis hierher haben wir noch keine Aussage darüber getroffen, wie der beschleunigte
Beobachter das Vakuum mißt. Unruh (1976) und DeWitt (1979) schlugen als Detektor
ein idealisiertes Punktteilchen vor, welches innere Energieniveaus E besitzen und über
Monopolwechselwirkung an das Skalarfeld koppeln soll [54, 6]. Die zugehörige LagrangeDichte lautet:
Lint = c m(τ )Φ [x(τ )] .
(2.2.11)
Dabei ist c die Kopplungskonstante, m das Monopolmoment des Detektors, xµ seine
Weltlinie und τ seine Eigenzeit.
Nehmen wir eine beliebige Bewegung xµ (τ ) des Detektors an, so wird der Detektor
nicht im Grundzustand E0 bleiben; genauso wird das Feld in einen angeregten Zustand
übergehen. In erster Ordnung Störungstheorie erhalten wir für die Übergangsamplitude
A vom Vakuumzustand |0M , E0 i zu einem beliebigen Zustand |Ψ, E i
A ∝ ic hE, Ψ|
Z∞
m(τ )Φ [xµ (τ )] dτ |0M , E0 i .
(2.2.12)
−∞
Unter dem Vakuumzustand |0M i verstehen wir hier das Minkowski-Vakuum in der
asymptotisch flachen Raumzeit. Integriert wird über die Eigenzeit.
Wenden wir den Zeitentwicklungsoperator auf den Monopoloperator an, so gilt:
m(τ ) = eiH0 τ m(0)e−iH0 τ .
(2.2.13)
2.2. UNRUH-EFFEKT
23
Der Hamiltonoperator H0 bezieht sich nur auf die inneren Zustände des Punktteilchens.
Seine Eigenwerte sind gegeben durch H0 |E i = E|E i. Damit faktorisiert die Übergangsamplitude zu
Z∞
A ∝ ic hE|m(0)|E0 i
ei(E−E0 )τ hΨ|Φ [xµ (τ )] |0M i dτ.
(2.2.14)
−∞
Ein gleichförmig bewegter Beobachter sollte nun keinen Übergang zu einem angeregten
Zustand bemerken. Dies läßt sich kurz wie folgt zeigen: Entwickelt man das Skalarfeld
wie üblich in den Standardmoden
X
Φ(t, ~x) =
ak uk + a†k u∗k ,
(2.2.15)
k
so ergibt sich für den in dieser Störungsordnung möglichen Übergang in den Zustand
|Ψi = |1~k i bei gleichförmiger Bewegung ~x = ~x0 + ~v t = ~x0 + ~v τ (1 − v 2 )−1/2 :
1
~
(2.2.16)
A∝ √
e−ik·x~0 δ E − E0 + (ω − ~k · ~v )(1 − v 2 )−1/2 .
4πω
Diese Übergangsamplitude verschwindet aber, da E − E0 > 0 und ~k · ~v ≤ |~k||~v | < ω
und deshalb das Argument der δ-Funktion stets größer Null ist. Dies war auch zu
erwarten, da das Minkowski-Linienelement unter Poincaré-Transformationen invariant
ist und daher das Killingfeld ∂t gleich bleibt. Dieses Killingfeld bestimmt aber die
Moden und deren Frequenzen, welche ebenfalls gleich bleiben. Aus den Überlegungen
in Abschnitt (2.2.1) kann man dann schließen, daß das Minkowski-Vakuum invariant
bezüglich gleichförmiger Bewegungen oder allgemeiner invariant gegenüber PoincaréTransformationen ist.
Möchte man sich kompliziertere Bewegungen xµ (τ ) ansehen, so ist es geschickter, wenn man zur Übergangswahrscheinlichkeit P übergeht. Dabei sollen nun alle
Übergänge berücksichtigt werden:
X
P ∝ c2
| h E|m(0)|E0 i |2 F (E − E0 ) .
(2.2.17)
E
Die ”Antwort”-Funktion (”response-function”) F ist unabhängig von den Details des
Detektors und stellt – bildlich gesprochen – ein Wärmebad dar. Im Wesentlichen besteht sie aus der Wightman-Funktion G+ (x, x0 ) = h0|Φ(x)Φ(x0 )|0i, die die Autokorrelation des Skalarfeldes angibt:
Z∞
Z∞
0
F (E) =
dτ
dτ 0 e−iE(τ −τ ) G+ (x(τ ), x(τ 0 )) .
(2.2.18)
−∞
−∞
Beschränkt man sich auf masselose Skalarfelder, so ergibt sich für die WightmanFunktion nach geeignetem Verschieben der Singularitäten:
1
1
h0|Φ(x)Φ(x0 )|0i = −
.
(2.2.19)
0
4π (t − t − i)2 − (~x − ~x0 )2
24
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
Wie man sieht, ist die Wightman-Funktion nur von der Zeitdifferenz t − t0 abhängig
und deshalb invariant bezüglich Zeittranslationen. Dies aber heißt, daß der Detektor
im Gleichgewicht mit dem Feld φ ist. Dann ist aber die Absorptionsrate des Detektors
konstant. Verschwindet die Rate nicht, so divergiert die ”response”-Funktion, da über
ein unendliches Zeitintervall integriert wird. Um dieses Problem zu umgehen, schaltet
man entweder die Kopplung zwischen Monopol und Feld für τ → ±∞ adiabatisch
aus oder betrachtet die Übergangswahrscheinlichkeit je Einheits-Eigenzeit. Gleichung
(2.2.17) reduziert sich dann mit ∆τ = τ − τ 0 auf:
c2
X
| h E|m(0)|E0 i |2
E
Z∞
i
d(∆τ )e− h̄ (E−E0 )∆τ G+ (∆τ ).
(2.2.20)
−∞
Die interessante Bewegung ist die gleichförmige Beschleunigung des Detektors, die man
günstigerweise in Rindler-Koordinaten angibt. Wir verwenden hier ein wenig andere
Rindlerkoordinaten:
x=
1
cosh τ,
ρ
t=
1
sinh τ,
ρ
(2.2.21)
wobei ρ die Eigenbeschleunigung und τ /ρ die Eigenzeit des Detektors sind. Mit diesen
Rindler-Koordinaten und der Vereinfachung x0 = 0 ergibt sich für die WightmanFunktion (2.2.19):
1
ρ2
,
G (τ ) = h0|Φ(τ )Φ(0)|0i = −
2 τ
2
16π sinh 2 − i ρ
2
+
(2.2.22)
und daher erhält man für die Übergangswahrscheinlichkeit:
c2 X
ω
| h E|m(0)|E0 i |2 2πω/ρ
.
2π E
e
−1
(2.2.23)
−1
−1
Hier erkennen wir den Planck-Faktor e2πω/ρ − 1
= eβh̄ω − 1
wieder, wobei
β = kB1T und kB der Boltzmann-Faktor ist. Aus dem Vergleich erhält man für die
Temperatur T :
T =
h̄ρ
2πkB
(2.2.24)
Das Gleichgewicht zwischen dem beschleunigten Detektor und dem Feld φ im Vakuumzustand ist das gleiche, wie wenn der Detektor unbeschleunigt einem Wärmebad
der Temperatur (2.2.24) ausgesetzt würde.
Wie man sieht, ist die Temperatur nur von der Beschleunigung abhängig und nicht
von der Geschwindigkeit.
2.3. HAWKING-EFFEKT
2.2.3
25
Physikalische Interpretation
Der Unruh-Effekt erscheint auf den ersten Blick paradox zu sein. Ein inertialer und ein
gleichförmig beschleunigter Beobachter widersprechen einander, wenn es um die Frage
geht, ob sich ein Skalarfeld in einem gewissen Raumbereich nun in einem Vakuumzustand befindet oder nicht. Von ihrem jeweiligen Standpunkt aus betrachtet haben
beide Recht. Aus der Sicht der Quantenfeldtheorie spielt der Teilchen-Begriff eine untergeordnete Rolle. Er dient in der Regel nur zur Kennzeichnung von Zuständen.
Betrachtet man den Erwartungswert hψ|Tµν |ψ i des Energie-Impuls-Tensors Tµν in
einem beliebigen Zustand |ψ i, so gilt aufgrund der Tensoreigenschaft von Tµν :
0
hψ|Tµν |ψ i = hψ|Tµν
|ψ i ,
(2.2.25)
0
wobei Tµν der Energie-Impuls-Tensor in Minkowski-Koordinaten und Tµν
der entsprechende Tensor in z.B. Rindler-Darstellung ist. Wenn also der inertiale Beobachter in der
Minkowski-Raumzeit keine Teilchen mißt, so sollte der beschleunigte Beobachter auch
keine Teilchen messen. Das Wärmebad in welchem sich der beschleunigte Beobachter
befindet, kann nicht dem Wärmebad der klassischen Thermodynamik gleichen.
Will man am Teilchenbegriff weiterhin festhalten, so könnte man die asymptotisch
flache Raumzeit dazu verwenden, ein globales Vakuum zu definieren. Die Rechtfertigung dafür wäre die in der Quantenfeldtheorie stets getroffene Annahme, daß jegliche
Wechselwirkung im räumlich und zeitlich Unendlichen verschwindet. Man könnte dann
einen natürlichen Teilchenbegriff definieren.
In Abschnitt (2.2.2) haben wir den Unruh-DeWitt-Detektor betrachtet. Im “Teilchenbild“ müßte man den Meßvorgang wie folgt beschreiben: Befindet sich das skalare
Quantenfeld im Minkowski-Vakuum, dann wird der beschleunigte Beobachter (B) diesen Zustand durch eine thermische Dichtematrix beschreiben. Der Detektor von (B)
wird daher mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einen angeregten Zustand übergehen und dies als Teilchendetektion beschreiben. Der inertiale Beobachter beschreibt
dies aber als Emission eines Teilchens durch den Detektor begleitet von der Änderung
des Detektorzustands aufgrund der Abstrahlung.
2.3
Hawking-Effekt
Der Unruh-Effekt basierte auf der Beobachtung des Minkwoski-Vakuums von einem beschleunigten Beobachter aus. Nun sollte aufgrund des Äquivalenzprinzips ein ähnlicher
Effekt auf gekrümmten Raumzeiten existieren. Historisch gesehen wurde dieser Effekt
von Hawking vor dem Unruh-Effekt entdeckt [21]. Er untersuchte dabei den Kollaps
eines sphärisch-symmetrischen Sterns hin zu einem Schwarzen Loch. Der Außenraum
solch eines Schwarzen Lochs wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben:
−1
2GM
2GM
2
2
ds = − 1 −
dt + 1 −
dr2 + r2 dΩ2 ,
(2.3.1)
r
r
26
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
mit dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dφ2 .
Um die Analogie zwischen diesen beiden Effekten zu unterstreichen, entwickeln wir
die Schwarzschild-Metrik in der Koordinate r um den Horizont r = 2GM . Führen
ρ2
wir zusätzlich die neue Koordinate ρ ein mit 8GM
= r − 2GM und verwenden die
Oberflächengravitation κ (Gl. A.3.7), dann erhalten wir für das Linienelement:
ds2 = −κ2 ρ2 dt2 + dρ2 +
1
dΩ2 .
4κ2
(2.3.2)
Entscheidend sind die ersten beiden Terme, die verglichen mit (2.2.1), für κ = a identisch sind. Wir können daher die Vermutung äußern, daß wieder eine Temperatur ins
Spiel kommt. Diesmal tritt an die Stelle der Beschleunigung a die Oberflächengravitation κ.
Betrachten wir ein Klein-Gordon-Feld auf einem Schwarzschild-Hintergrund, so können
wir den mathematischen Apparat aus (2.1) übernehmen und aufgrund der sphärischen
Symmetrie das Feld φ in einen Radial- und einen Winkelanteil zerlegen:
φ(x) =
f (t, r)
Ylm (θ, φ).
r
(2.3.3)
Die Klein-Gordon-Gleichung schreibt sich dann mit diesem Ansatz unter Verwendung
r
der “Schildkröten“-Koordinate r∗ = r + 2GM ln | 2GM
− 1| (A.4) wie folgt:
∂2f
∂2f
−
+ V (r∗ )f = 0,
(2.3.4)
∂t2
∂r∗2
i
h l(l+1) 2GM
2
mit dem Potential V (r∗ ) = 1 − 2GM
+
+
m
.
r
r2
r3
Betrachten wir den Fall m = 0, so verschwindet das Potential sowohl für r → 2GM
als auch für r → ∞ und es liegt jeweils die freie Wellengleichung vor. Da wir speziell
auf diese Grenzen zurückgreifen, veranschaulichen wir uns die Schwarzschild-Raumzeit
durch die Penrose-Darstellung in Kruskal-Koordinaten (siehe auch Abbildung A.5):
Abbildung 2.3: Durch eine konforme Transformation läßt sich die komplette KruskalRaumzeit darstellen [28, 35].
2.3. HAWKING-EFFEKT
27
Der für uns interessante Teil ist der Bereich (I). Betrachten wir das Klein-GordonFeld als klassische Welle im Bereich (I), so muß diese entweder aus dem Unendlichen
J − oder aus dem Bereich (IV) (Weißes Loch) gekommen sein. Schließlich kann die
Welle entweder in das Schwarze Loch (II) oder ins Unendliche J + laufen. Wie in der
Streutheorie haben wir als Anfangs- und Endbedingung asymptotisch eine ebene Welle, die während ihrer Propagation an einem Potential “gestreut“ wird. Es ist daher
plausibel, daß eine Lösung der Gleichung (2.3.4) entweder durch die Randbedingungen auf dem Weißloch-Horizont und J − oder durch die Randbedingungen auf dem
Schwarzloch-Horizont und J + eindeutig bestimmt wird [59].
Wir wollen hier nicht die komplizierte Rechnung von Hawking [21, 59] nachvollziehen, sondern lediglich auf einige wichtige Punkte zu sprechen kommen. Zunächst
beschränken wir uns auf Lösungen fω der Gleichung (2.3.4) mit positiver Frequenz
ω > 0, die wir auf J + und J − wohl definieren können. In der Nähe des Horizonts läßt
sich eine Lösung fω aufgrund des verschwindenden Potentials V (r∗ ) in “einlaufende“
und “auslaufende“ ebene Wellen zerlegen:
fω = ae−iωu + be−iωv = fω(out) + fω(in) ,
mit den Nullkoordinaten u = t−r∗ und v = t+r∗ . Nahe dem Horizont geht u → ∞ und
daher oszilliert fω(out) sehr stark. Aus der Optik ist bekannt, daß für sehr hohe Frequenzen
sich die Wellenoptik auf die Geometrische Optik vereinfachen läßt. Analog dazu können
wir auch hier von “Lichtstrahlen“ bzw. Strahlen der skalaren Welle sprechen.
Hawking (1975) zeigte anhand eines nach J + auslaufenden Strahls γ, den er bis J −
zurückverfolgte (Abbildung 2.4), wie sich dessen Frequenz ändert.
Danach ist ein Mode positiver Frequenz auf J + eine Mischung aus positiver und
negativer Frequenz auf J − . Für das Verhältnis der Bogoljubov-Koeffizienten α und β
erhielt er:
βωω0 = −e−πω/κ αωω0 .
Daraus folgt mit der Beziehung (2.1.22):
|β|2 =
1
e2πω/κ
−1
,
Die Anzahl emitierter Teilchen je Einheitszeit ist im Frequenzintervall [ω, ω + dω]:
dω
1
.
2πω/κ
2π e
−1
Dies entspricht einer Planck-Verteilung der Hawking-Temperatur
TBH =
h̄κ
,
2πkB
mit der Oberflächengravitation κ und der Boltzmann-Konstanten kB . Die HawkingTemperatur (2.3.5) folgt aus der Unruh-Temperatur (2.2.24) durch die Substitution der
28
KAPITEL 2. UNRUH- UND HAWKING-EFFEKT
Abbildung 2.4: Das Penrose-Diagramm zeigt den Kollaps eines Sterns zu einem
Schwarzen Loch. Die linke vertikale Linie entspricht dabei dem Koordinatenursprung.
γ beschreibt einem “Lichtstrahl“, der von J + aus bis J − zurückverfolgt wird. γH kennzeichnet den Grenzstrahl, der auf dem Horizont bleibt [28].
Beschleunigung ρ zur Oberflächengravitation κ. Im Fall eines Schwarzschild Schwarzen
Lochs mit der Oberflächengravitation κ = (4GM )−1 erhält man für TBH :
TBH ≈ 10−6
M
K,
M
(2.3.5)
dabei ist M ≈ 2 · 1030 kg die Sonnenmasse. Je größer die Masse des Schwarzen Lochs
ist, desto kühler ist dessen Hawking-Temperatur.
Nehmen wir an, daß die ins Unendliche abgestrahlte Energie gleich der Massenabnahme des Schwarzen Lochs ist, dann können wir mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz
eine Abschätzung für dessen Lebensdauer machen. Die Massenabnahme des Schwarzen
Lochs ist einerseits proportional zur Fläche A, die wiederum proportional zum Quadrat der Masse des Lochs ist. Andererseits ist sie zur vierten Potenz der abgestrahlten
Strahlungsleistung proportional:
4
dM
1
1
4
2
∝ −A TBH ∝ −M
= − 2.
(2.3.6)
dt
M
M
Daraus folgt nach Integration für M < M0 :
tLeben (M ) ∝ M03 − M 3 ,
(2.3.7)
mit der Anfangsmasse M0 . Der Endzustand kann allerdings mit den heutigen Mitteln
nicht erklärt werden. Sinkt die Masse auf einen Wert unterhalb der Planck-Masse, so
kann nicht mehr vorausgesetzt werden, daß die obigen Berechnungen noch Gültigkeit
besitzen.
Kapitel 3
Gravitation als Quantenfeldtheorie
3.1
Gravitation ohne Geometrie
Betrachtet man die Allgemeine Relativitätstheorie vom Standpunkt eines Teilchenphysikers, so soll auch die Gravitation, wie die anderen drei Wechselwirkungen, durch Austausch von Wechselwirkungsteilchen, hier Gravitonen, beschrieben werden. Die Geomtrie, die in der ART für die Gravitation verantwortlich gemacht wird, tritt in den
Hintergrund. Der Schauplatz ist nun, wie in der relativistischen Quantentheorie, die
Minkowski-Raumzeit.
Die Eigenschaften der Gravitation, die auch in einer ”Gravitonen-Theorie” auftauchen müssen, sind [16]:
i) unendliche Reichweite
ii) 1/r2 -Abhängigkeit
iii) anziehend
iv) koppelt mit gleicher Stärke an jegliche Materie (schwaches Äquivalenzprinzip)
Diese Forderungen legen die Eigenschaften eines Gravitons fest. So muß deren Masse verschwinden, um die unendliche Reichweite zu garantieren. Der Spin kann nicht
halbzahlig sein, da dies die Drehimpulserhaltung verletzen würde. Ein Austausch von
zwei Gravitonen wäre dann zwar denkbar, jedoch erhielte man dann eine falsche radiale Abhängigkeit. Um die Theorie nicht mutwillig kompliziert zu machen, beschränkt
man sich auf ganzzahlige Spins. In der Quantenelektrodynamik sind die Photonen, die
Spin-1 besitzen, die Träger der Wechselwirkung. Sie sind aber verantwortlich für die
Abstoßung gleichnamiger Ladungen. Damit ist ein Graviton mit Spin-1 aus dem Rennen. Weinberg zeigte [62], daß für Spins größer als 2 keine niederenergetische Lösung
möglich ist, da es keine erhaltenen statischen Größen für die Massen gibt. Im Weiteren
sei das masselose Spin-2-Feld als Graviton-Feld bezeichnet.
29
30
3.2
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Hilbert’s Wirkungsprinzip
Hilbert zeigte 1915, kurz vor Erscheinen der Arbeit von Einstein, wie sich dessen Gleichungen aus einem Wirkungsprinzip herleiten lassen [35]. Die einfachst mögliche Wirkung setzt sich aus der Lagrangefunktion
Lg =
c3
R
16πG
(3.2.1)
zusammen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit, G die Newtonsche Gravitationskonstante
und R der Riemannsche Krümmungsskalar darstellen. Die Wirkung ist damit
Z
√
R
4
W = d x −g
+ LM (A, gµν )
(3.2.2)
2κ2
mit κ2 = 8πG/c3 , g ≡ det(gµν ) und der kovarianten Lagrange-Funktion der Materiefelder LM , die nur von der Metrik gµν und nicht von deren Ableitungen abhängen
soll.
Im Gegensatz zum Wirkungsprinzip in der klassischen Mechanik oder der Elektrodynamik, wo nur erste Ableitungen auftauchen, gibt es in der Lagrangefunktion
(3.2.1) auch zweite Ableitungen. Palatini schlug (1919) vor, nicht nur die Komponenten des Metrik-Tensors gab als unabhängige Variablen zu betrachten, sondern zusätzlich die affinen Konnexionen Γλµν . Dies ähnelt in der klassischen Mechanik der Wahl
der unabhängigen Koordinaten x und p = mẋ und vereinfacht hier die Herleitung der
Einstein-Gleichung deutlich. Die Variation von (3.2.1) nach gµν und Γλµν liefert zunächst
einen Term, der beide Größen koppelt, jedoch verschwindet dieser nach partieller, kovarianter Integration. Es folgt dann
8πG
δLM
8πG
Gµν = 3
gµν LM − 2 µν = 3 Tµν
(3.2.3)
c
δg
c
Die Identifikation der Klammer mit dem Energie-Impuls-Tensor geht einher mit der
Ersetzung der flachen Metrik ηµν in LM durch die Metrik gµν und dem Übergang von
der gewöhnlichen zur kovarianten Ableitung. Das Problem dabei ist, daß bei der kovarianten Ableitung wieder Christoffelsymbole auftauchen und die bisherige Herleitung
zerstören. Ausnahmen davon sind das skalare und das elektromagnetische Feld, denn
hier kürzen sich diese Christoffelsymbole weg. Daher werden hier auch nur diese Felder
verwendet.
3.3
Die linearisierte Lagrange-Dichte
Aus der Quantenfeldtheorie ist bekannt, daß es verschiedene Arten gibt, wie man eine bestehende klassische Feldtheorie quantisieren kann. Im wesentlichen sind dies die
kanonische und die kovariante Quantisierung. Dabei wird vorausgesetzt, daß sich die
3.3. DIE LINEARISIERTE LAGRANGE-DICHTE
31
jeweilige Theorie entweder in einer Hamilton- oder einer Lagrange-Funktion schreiben
läßt.
Ausgangspunkt für die Herleitung eines Gravitonfeldes ist die lineare Entwicklung
der Lagrange-Dichte
LG =
√
−gR,
(3.3.1)
wobei wir jetzt, verglichen mit (3.2.2), 2κ2 = 1 setzen. Es gelten folgende Definitionen
für die Christoffelsymbole Γµνλ und den Riemann-Tensor Rµνρσ :
Γµνλ =
1 µρ
g (gρν,λ + gρλ,ν − gνλ,ρ ) ,
2
(3.3.2)
Rµνρσ = Γµνσ,ρ − Γµνρ,σ + Γµρλ Γλνσ − Γµσλ Γλνρ .
(3.3.3)
Der Ricci-Tensor ergibt sich dann zu Rµν = Rαµαν und der Krümmungsskalar R =
g µν Rµν . Ein “,“ bezeichnet die gewöhnliche Ableitung ∂µ = ∂/∂xµ .
Lineare Entwicklung heißt nun, daß der Metrik-Tensor gµν als Linearkombination der
flachen Minkowski-Metrik ηµν = diag(−1, 1, 1, 1) und einem symmetrischen Tensorfeld
hµν geschrieben wird:
gµν = ηµν + hµν .
(3.3.4)
!
Das Tensorfeld g µν ergibt sich dann aus der Forderung gµν g νρ = δµρ zu
g µν = η µν − hµν + hµλ hλν + O(h3 ).
(3.3.5)
Setzen wir (3.3.4) in (3.3.2) und (3.3.3) ein, so erhalten wir der Reihe nach Terme der
Ordnung h1 beziehungsweise Terme der Ordnung h2 . Die jeweilige Ordnung steht in
Klammern. Der Übersicht halber sind die meisten Terme nicht ausmultipliziert.
Γµνλ ≈ Γµνλ (h1 ) + Γµνλ (h2 ),
Rµνρσ ≈ Rµνρσ (h1 ) + Rµνρσ (h2 ).
(3.3.6)
(3.3.7)
Für die Christoffelsymbole bekommen wir
1 µ
h ν,λ + hµλ,ν − hνλ,µ ,
2
1
Γµνλ (h2 ) = − hµρ (hρν,λ + hρλ,ν − hνλ,ρ ) ,
2
Γµνλ (h1 ) =
für den Riemann-Tensor
Rµνρσ (h1 ) = Γµνσ,ρ (h1 ) − Γµνρ,σ (h1 )
=
1 µ
h σ,νρ + hνρ,µσ − hνσ,µρ − hµρ,νσ ,
2
(3.3.8)
(3.3.9)
32
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Rµνρσ (h2 ) = Γµνσ,ρ (h2 ) − Γµνρ,σ (h2 ) + Γµρλ (h1 )Γλνσ (h1 ) − Γµσλ (h1 )Γλνρ (h1 )
1
1
= − hµκ,ρ (hκν,σ + hκσ,ν − hνσ,κ ) − hµκ (hκν,σρ + hκσ,νρ − hνσ,κρ )
2
2
1 µκ
1 µκ
+ h ,σ (hκν,ρ + hκρ,ν − hνρ,κ ) + h (hκν,ρσ + hκρ,νσ − hνρ,κσ )
2
2
1 µ
+ h ρ,λ + hµλ,ρ − hρλ,µ hλν,σ + hλσ,ν − hνσ,λ
4
1
− hµσ,λ + hµλ,σ − hσλ,µ hλν,ρ + hλρ,ν − hνρ,λ ,
4
und für den Ricci-Tensor
1 α
Rµν (h1 ) = Rαµαν (h1 ) =
h ν,µα + hµα,αν − hµν,αα − hαα,µν
2
1
1
Rµν (h2 ) = − hακ,α (hκν,σ + hκσ,ν − hνσ,κ ) − hακ (hκσ,να − hνσ,κα )
2
2
1 ακ
1
+ h ,σ (hκν,α + hκα,ν − hνα,κ ) + hακ (hκα,νσ − hνα,κσ )
2
2
1
+ hαα,λ + hαλ,α − hαλ,α hλµ,ν + hλν,µ − hµν,λ
4
1
− hαν,λ + hαλ,ν − hνλ,α hλµ,α + hλα,µ − hµα,λ .
4
Für den Krümmungsskalar erhalten wir schließlich
R = g µν Rµν ≈ (η µν − hµν ) Rµν ,
R(h1 ) = η µν Rµν (h1 ) = hµα,µα − hαα,µµ ,
R(h2 ) = η µν Rµν (h2 ) − hµν Rµν (h1 )
1
1
= − hακ,α 2hκν,ν − hνν,κ − hακ hκν,ν α − hν ν,κα
2
2
1
1 ακ
+ h ,ν hκν ,α + hκα,ν − hν α,κ + hακ hκα,ν ν − hνα,κν
2
2
1 αν
1
+ hαα,λ 2hλν ,ν − hν ν,λ −
h ,λ + hαλ,ν − hν λ,α hλµ,α + hλα,µ − hµα,λ
4
4
1
− hνσ hασ,να − hνσ,αα − hαα,νσ + hνα,ασ .
2
Die Determinante ergibt sich zu
g ≡ det(gµν ) ≈ −1 − hαα ,
und daraus
√
−g =
p
1
1 + hαα ≈ 1 + hαα .
2
3.4. DIE ART ALS EICHTHEORIE
33
Damit erhalten wir für die Lagrange-Dichte der Gravitation
√
1 α
1
2
L = L (h ) + L (h ) =
−gR ≈ 1 + h α R,
2
L (h1 ) = R(h1 ) = hµα,µα − hαα,µµ ,
L (h2 ) = R(h2 ) +
1 α
h R(h1 )
2 α
∼ LG ,
wobei wir nach partieller Integration und Vernachlässigung von Oberflächentermen die
gesuchte Lagrange-Dichte bekommen
LG =
1 αµ
h ,λ hαµ,λ − hαα,λ hµµ,λ + 2hαα,λ hλµ,µ − 2hαµ,λ hλµ,α .
4
(3.3.10)
Prinzipiell von Interesse ist auch noch L (h3 ). Dieser Term wird zur Bestimmung des
3er-Vertex in der Quantenfeldtheorie gebraucht. Er entsteht aus den folgenden Elementen, die wir hier aber nicht weiter berechnen, sondern nur der Vollständigkeit halber
angeben wollen
Γµνλ (h3 ) =
1 µτ ρ
h hτ (hρν,λ + hρλ,ν − hνλ,ρ ) ,
2
Rµνρσ (h3 ) = Γµνσ,ρ (h3 ) − Γµνρ,σ (h3 ),
Rνσ (h3 ) = Rανασ (h3 ),
R(h3 ) = η µν Rµν (h3 ) − hµν Rµν (h2 ) + hµτ hτ ν Rµν (h1 ),
L (h3 ) = R(h3 ) +
3.4
1 α
1
h α R(h2 ) − hαβ hβ α R(h1 ).
2
4
Die ART als Eichtheorie
Aus der klassischen Elektrodynamik [26] kennen wir schon die Eichtransformationen
des Viererpotentials
Aµ −→ A0µ = Aµ + ∂ µ λ,
(3.4.1)
mit einer beliebigen skalaren Funktion λ(x). Der Feldstärketensor F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
bleibt unter (3.4.1) erhalten und damit auch die freie Lagrange-Dichte
LED = −Fµν F µν .
(3.4.2)
Die Eichtransformation (3.4.1) ändert also nichts am physikalischen Gehalt des mit
LED beschriebenen Systems. Wie wir sehen werden, übernehmen in der Allgemeinen
Relativitätstheorie die Koordinatentransformationen die Rolle der Eichtransformationen.
34
3.4.1
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Koordinatentransformationen
Ein Prinzip der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie ist, daß alle Beobachter
gleichberechtigt sind. Insbesondere ist die Theorie invariant unter Koordinatentransformationen
xµ −→ ξ µ (xν ) .
(3.4.3)
Die Metrik gµν ist ein Tensor und geht daher unter Koordinatentransformationen über
zu
0
gµν −→ gµν
= X αµ X β ν gαβ (ξ(x)) ,
(3.4.4)
mit
X αµ =
∂ξ α
.
∂xµ
(3.4.5)
Eine infinitesimale Koordinatentransformation, die nur um eine kleine Größe α von
der Identität abweicht, läßt sich schreiben als
ξ α = xα + κα (x),
(3.4.6)
wobei κ ein jetzt noch beliebiger Parameter ist. Dann sind die Transformationsmatrizen
X αµ = δµα + κ
∂α
.
∂xµ
(3.4.7)
In der linearisierten Näherung, in der die Metrik nach kleinen Störungen hµν von der
flachen Metrik ηµν entwickelt wird
gµν = ηµν + κhµν + . . . ,
(3.4.8)
lautet die infinitesimale Koordinatentransformation
0
gµν −→ gµν
= gµν + κλ ∂λ gµν + κgαν ∂µ α + κgµβ ∂ν β
(3.4.9)
= gµν + κ£ gµν ,
oder für die Störung allein
hµν −→ h0µν = hµν + ∂µ ν + ∂ν µ + κ hαν ∂µ α + hµβ ∂ν β + λ ∂λ hµν .(3.4.10)
= hµν + κ£ hµν
Die Hintereinanderausführung zweier infinitesimaler Koordinatentransformationen
sollte nun wieder eine sein. Betrachten wir dazu zwei Transformationen der Art (3.4.6)
so ist die Hintereinanderausführung (der Übersicht halber mit unteren Indizes)
ξµ00 = ξµ0 (ξν (x)) = ξµ (x) + κ0µ (ξν (x))
= xµ + κµ (x) + κ0µ (x) + κ2
∂0µ
α ,
∂xα
(3.4.11)
3.5. BEWEGUNGSGLEICHUNGEN
35
wohingegen die umgekehrte Hintereinanderausführung sich zu
ξ˜µ = ξµ (ξν0 (x)) = ξµ0 (x) + κµ (ξν0 (x))
∂µ 0
(3.4.12)
∂xα α
ergibt. Wie man sieht, unterscheiden sich (3.4.11) und (3.4.12) im letzten Term. Betrachtet man Koordinatentransformationen nur bis erster Ordnung, so tritt dieser letzte
Term nicht auf und zwei Transformationen sind kommutativ. Ab der zweiten Ordnung
muß dieser Term berücksichtig werden und zwei Transformationen sind dann nicht
mehr kommutativ. Eine Hintereinanderausführung zweier Koordinatentransformationen sollte sich wieder in der Form (3.4.6) schreiben lassen, mit
1
α = α + 0α + ĉαβγ β 0γ ,
(3.4.13)
2
wobei die Strukturkoeffizienten ĉαβγ auch Ableitungsoperatoren beinhalten können und
sich aus folgender Rechnung ergeben:
Führen wir dafür zunächst eine Transformation (3.4.10) mit und dann mit 0 durch.
h0µν muß sich aber auch aus einer Transformation mit (3.4.13)ergeben, wodurch wir die
ĉαβγ bestimmen. Es genügt natürlich, wenn wir uns dafür die Terme die bilinear in und 0 sind anschauen.
Die Gruppenstruktur der Koordinatentransformationen (3.4.3), sowie die Äquivalenz
physikalischer Zustände unter diesen Transformationen entspricht der Eichfreiheit der
Allgemeinen Relativitätstheorie.
= xµ + κ0µ (x) + κµ (x) + κ2
3.4.2
Eichinvarianz der linearisierten Lagrange-Dichte
Betrachten wir zunächst Koordinatentransformationen bis zur ersten Ordnung, so reduziert sich (3.4.10), da sowohl α in (3.4.6) als auch hµν in (3.4.8) kleine Größen sein
sollen, auf
hµν −→ h0µν = hµν + ∂µ ν + ∂ν µ .
(3.4.14)
Nach einer längeren Rechnung sehen wir, daß (3.3.10), bis auf quadratische Terme
in und Oberflächenterme, invariant unter dieser Koordinatentransformation bleibt.
Eine etwas mühsamere Rechnung ist es, will man die Invarianz bezüglich Koordinatentransformationen zweiter Ordnungen (3.4.10) zeigen, doch auch sie wird mit Erfolg
gekrönt.
3.5
Bewegungsgleichungen
Die Lagrange-Dichte (3.3.10) beinhaltet nur erste Ableitungen, es können also die Bewegungsgleichungen aus den gewöhnlichen Euler-Lagrange-Gleichungen
∂ LG
∂ LG
∂c ab − ab = 0
(3.5.1)
∂h ,c ∂h
36
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
bestimmt werden [25] . Beachtet man die Symmetrie von hµν , so erhalten wir nach
kurzer Rechnung
2hab − η ab 2h + η ab hcd,cd + h,ab − hλa,bλ − hλb,aλ = 0.
(3.5.2)
Kontrahieren wir (3.5.2) mit ηµν , so ergibt sich
2h − ∂α ∂β hαβ = 0,
(3.5.3)
und folglich kann (3.5.2) reduziert werden auf
2hab + ∂ a ∂ b h − ∂ b ∂λ hλa − ∂ a ∂λ hλb = 0.
(3.5.4)
Wie oben bemerkt, bleibt L unter Eichtransformationen (3.4.14) invariant. Dies läßt
sich nun zur Vereinfachung der Bewegungsgleichungen verwenden, indem wir eine bestimmte Eichung wählen. Hier ist die Eichung von Fock und DeDonder günstig
1
∂µ hµν − ∂ ν hαα = 0.
(3.5.5)
2
Sie reduziert (3.5.4) auf die einfache und bereits aus anderen Theorien bekannte Form
2hµν = 0,
(3.5.6)
und stellt an die Eichfunktion ν (x) aus (3.4.14) die Bedingung
2ν (x) = 0.
(3.5.7)
Zählen wir die unabhängigen Freiheitsgrade, die von einem symmetrischen Tensor mit
4 × 4 Einträgen übrig bleiben, so kommen wir von anfänglichen zehn, abzüglich vier
aus der Fock-DeDonder-Eichung (3.5.5) und weiteren vier aus der Bedingung (3.5.7),
auf lediglich zwei.
Die allgemeine Lösung von (3.5.6) erhalten wir durch einen Ansatz von ebenen
Wellen, die sich in z-Richtung aubreiten und den Impuls pµ = (p0 , 0, 0, p3 ) tragen
sollen. Mit einem symmetrischen Tensor ζ µν ist dann
hµν = ζ µν eipx − ζ ∗µν e−ipx .
(3.5.8)
Aus dem relativistischen Energiesatz ergibt sich, unter der Voraussetzung, daß die
Ruhemasse verschwindet, die Bedingung pµ pµ = 0. Die Fock-DeDonder-Eichung stellt
die Bedingung
1
(3.5.9)
pµ ζ µν − pν ζ αα = 0.
2
Berechnen wir daraus die ζ µν , so stellt sich heraus, daß lediglich ζ11 und ζ12 von physikalischer Bedeutung sind. Ihre Linearkombination
ζ± = ζ11 ∓ iζ12
(3.5.10)
transformiert sich unter räumlichen Drehungen wie Zustände der Helizität ±2. Dies
läßt den Schluß zu, daß hµν tatsächlich masselose Spin-2 Teilchen beschreibt, die wir
im weiteren als Gravitonen bezeichnen werden.
3.6. ANKOPPLUNG VON MATERIEFELDERN
3.6
37
Ankopplung von Materiefeldern
Wir betrachten hier der Einfachheit halber vorwiegend skalare Felder. Solange wir die
Gravitation noch nicht ins Spiel bringen, gilt die aus der Quantenfeldtheorie bekannte
Lagrangedichte skalarer Felder.
1
2
Lφ = − ∂µ φ∂µ φ −
1 2 2
mφ.
2
(3.6.1)
Nun wollen wir hier aber die Gravitation berücksichtigen. Dies erreichen wir durch die
sogenannte Minimale Kopplung, bei der die normale Ableitung ∂µ durch die kovariante
√
Dµ ersetzt wird und die Lagrange-Dichte mit −g multipliziert werden muß. Es können
aber auch noch weitere Terme auftreten. Insgesamt erhalten wir
√
1 µ
1 2 2
2
Lφ = −g − D φDµ φ − m φ + aRφ + . . . .
(3.6.2)
2
2
Der letzte Term in (3.6.2) sichert für a = 1/6 die konforme Invarianz der Klein-GordonGleichung in gekrümmten Raumzeiten.
In der linearisierten Näherung erhalten wir für die Lagrange-Dichte
1
1 2 2
α
µ
ν
αβ
α
2
(3.6.3)
Lφ ≈ (1 + h α ) − gµν ∂ φ∂ φ − m φ + a(hαβ, − h, α )φ
2
2
1 2 2 1 α
1 µ
1 2 2
1 µ
∼ − ∂ φ∂µ φ − m φ + h α − ∂ φ∂µ φ − m φ
(3.6.4)
2
2
2
2
2
1
+ hµν ∂ µ φ∂ ν φ + a hαβ ∂ α ∂ β − h∂ 2 φ2 ,
2
wobei wir in (3.6.3) den Term proportional zu a zweimal partiell integriert haben. Da
wir, wie oben bereits bemerkt, nur den Austausch von einem Graviton berücksichtigen
wollen, dürfen hier auch nur Terme linear in h auftreten. Gleichung (3.6.3) kann auch
wie folgt geschrieben werden:
1
2
Lφ ≈ − ∂ µ φ∂µ φ −
1 2 2
m φ − hµν T µν ,
2
(3.6.5)
mit
1
1
T µν = η µν ∂ α φ∂α φ + m2 φ2 − ∂ µ φ∂ ν φ − a∂ µ ∂ ν φ2 + aη µν ∂ 2 φ2 .
4
2
(3.6.6)
Der letzte Term in (3.6.5) entspricht der Kopplung des skalaren Felds an das Gravitationsfeld.
3.7
Pfadintegralmethode
Für die spätere Herleitung der Feynman-Regeln bedarf es eines kurzen Einblicks in
die Pfadintegralmethode. Sie ermöglicht es, relativ schnell aus der Lagrange-Dichte die
38
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Propagatoren und Vertizes zu berechnen. Der erste Schritt ist dabei die prinzipielle
Umsetzung von Matrixelementen in Pfadintegrale. Fügt man künstlich einen Quellterm hinzu, so kann man aus einem Funktionalintegral alle Matrixelemente mittels
Funktionalableitung erzeugen.
Die Pfadintegralmethode läßt sich auch auf die Quantenfeldtheorie übertragen, wobei wir hier auf die damit verbundenen Probleme nicht näher eingehen wollen.
3.7.1
Übergangsmatrixelemente als Pfadintegrale
Betrachtet man ein quantenmechanisches System mit lediglich einem freien Parameter
[40], so ist die Übergangsamplitude für den Übergang vom Ortseigenzustand |x i zur
Zeit t in den Zustand |x0 i zur Zeit t0 überzugehen mit dem Hamiltonoperator Ĥ gegeben
durch:
i
0
0 0
0
(3.7.1)
hx , t |x, ti = hx | exp − Ĥ(t − t) |x i .
h̄
Dabei ist |x, ti der Eigenzustand des Ortsoperators XH im Heisenbergbild und |x i der
Eigenzustand des Ortsoperators XS im Schrödingerbild.
Das Zeitintervall t0 − t wird nun in (n + 1) kleine Zeitintervalle aufgeteilt, wobei nachher gegen Null laufen soll:
t0 − t = (n + 1),
tj = j + t
(j = 1, . . . , n).
Es kann dann für jedes Zeitintervall tj − tj−1 die Übergangsamplitudehxj , tj |xj−1 , tj−1 i
berechnet werden. Ist der Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ(X̂, P̂ ) von der Form Ĥ = f (P̂ ) +
R
g(X̂) und verwendet man die Vollständigkeitsrelation dxj |xj , tj i hxj tj | = 1, so erhält
man nach kurzer Rechnung:
( n+1
Z Y
Z n+1
n
Y dpj
iX
0 0
hx , t |x, ti = lim
dxj
exp
[pj (xj − xj−1 )
n→∞
2πh̄
h̄ j=1
j=1
j=1
− H(pj , xj−1 )(tj − tj−1 )] ,
mit der Hamiltonfunktion H. Im Grenzfall n → ∞( → 0) läßt sich dies in einer
kompakten Notation schreiben:
( Z 0
)
Z
t
DxDp
i
hx0 , t0 |x, ti =
exp
[pẋ − H(p, x)] dτ ,
(3.7.2)
2πh̄
h̄ t
Q
mit dem Funktionalintegralmaß Dx = τ dx(τ ). Integriert wird über alle Phasenraumwege, die die Randbedingungen x(t) = x und x(t0 ) = x0 erfüllen.
3.7. PFADINTEGRALMETHODE
39
Ist der Hamiltonoperator von der einfachen Form
Ĥ =
1 2
P̂ + V (X̂),
2m
so kann die Integration über den Impuls ausgeführt werden und aus (3.7.2) wird
Z
1
Dx
i
0 0
hx , t |x, ti =
exp
S[x] ,
(3.7.3)
N
2πh̄
h̄
R t0
wobei S[x] = t L(x, x0 )dτ das Wirkungsintegral für den Pfad x(τ ), L(x, ẋ) = 12 mẋ2 −
V (x) die Lagrangefunktion und N der Normierungsfaktor ist. Für letzteren gilt:
!
Z
Z 0
1
i t p2
= Dp exp −
dτ .
(3.7.4)
N
h̄ t 2m
3.7.2
Erzeugendes Funktional
Im Weiteren ist es wichtig, Matrixelemente von Zeitgeordneten Operatoren zu betrachten. Man erhält zum Beispiel folgende Relation:
( Z 0
)
Z
t
i
DxDp
hx0 , t0 |T X(t1 ) . . . X(tN )|x, ti =
x(t1 ) . . . x(tN ) exp
[pẋ − H(p, x)]dτ ,
2πh̄
h̄ t
mit der Definition des Zeitordnungsoperators
X(t1 )X(t2 ) : t1 > t2
T X(t1 )X(t2 ) =
.
X(t2 )X(t1 ) : t2 > t1
Fügt man nun einen Quellterm J(τ ) ein:
( Z 0
)
Z
t
i
DxDp
J
exp
[pẋ − H(p, x) + h̄J(τ )x(τ )]dτ ,
hx0 , t0 |x, ti :=
2πh̄
h̄ t
so kann hx0 , t0 |x, tiJ als Erzeugendenfuntional verwendet werden:
N
1
δN
0 0
hx , t |T X(t1 ) . . . X(tN )|x, ti =
hx0 , t0 |x, tiJ .
i
δJ(t1 ) . . . δJ(tN ) J=0
Dabei ist die Funktionalableitung eines Funktionals
Z
F [J] = dt0 f (t0 )J(t0 )
(3.7.5)
(3.7.6)
(3.7.7)
definiert als:
δF [J]
= f (t).
δJ(t)
(3.7.8)
40
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Von besonderem Interesse sind vor allem in der Quantenfeldtheorie Vakuum–Vakuum
Übergänge. Nimmt man an, daß die Lagrange-Funktion des Systems zeitunabhängig
ist, dann kann die Wellenfunktion des Vakuums beschrieben werden durch: φ0 (x, t) =
hx, t|0i. Den Vakuumerwartungswert eines zeitgeordneten Produkts aus Ortsoperatoren
erhält man dann aus:
N
1
δN
h0|T X(t1 ) . . . X(tN )|0i =
W [J],
i
δJ(t1 ) . . . δJ(tN ) J=0
mit
J
W [J] = h0|0i =
Z
J
dx0 dx φ∗0 (x0 , t0 ) hx0 , t0 |x, ti φ0 (x, t).
Das Funktional W [J] ist das entscheidende Objekt in der Pfadintegralmethode, da aus
ihm alle Greenfunktionen berechnet werden können.
3.7.3
Pfadintegrale in der Quantenfeldtheorie
In einer Feldtheorie werden die Pfade x(τ ) ersetzt durch Feldfunktionen φ(x), wobei
nun die Freiheitsgrade durch den kontinuierlichen Parameter x gekennzeichnet werden.
Die zentralen Objekte in der Quantenfeldtheorie sind die Greenfunktionen:
G(n) (x1 , . . . , xn ) = h0|T φ(x1 ) . . . φ(xn )|0i .
In Analogie zur Quantenmechanik läßt sich für die normierte Greenfunktion folgende
Beziehung postulieren:
G(n) (x1 , . . . , xn ) =
h0|T φ(x1 ) . . . φ(xn )|0i
h0|0i
= N
Z
Z
i
4
d xL ,
Dφ φ(x1 ) . . . φ(xn ) exp
h̄
(3.7.9)
mit der Normierungskonstanten
Z
Z
1
i
4
= Dφ exp
d xL .
N
h̄
Ebenso kann man durch einen zusätzlichen Quellterm J(x) ein Erzeugendenfunktional
konstruieren:
Z
Z
i
4
W [J] = N Dφ exp
d x[L + h̄J(x)φ(x)]
(3.7.10)
h̄
=
∞ n Z
X
i
n=0
n!
dx1 . . . dxn Gn (x1 , . . . , xn )J(x1 ) . . . J(xn ),
und damit ist
G
(n)
n
1
δn
W [J].
(x1 , . . . , xn ) =
i
δJ(x1 ) . . . δJ(xn ) J=0
(3.7.11)
3.7. PFADINTEGRALMETHODE
3.7.4
41
Wirkungen mit quadratischer Feldabhängigkeit
In den Fällen, wo die klassische Wirkung quadratisch in der Feldvariablen Φ(x) ist:
Z
1
S=
d4 x d4 y Φ(x)A(x, y)Φ(y),
(3.7.12)
2
läßt sich das Erzeugendenfunktional W [J] schreiben als [40]:
Z
i
2
4
4
W [J] = exp
h̄
d x d y J(x)G(x, y)J(y) ,
2h̄
wobei G(x, y) die Greenfunktion der klassischen Feldgleichung
Z
A(x, y)Φ(y) d4 y = −h̄J(x)
t→±∞
(3.7.13)
(3.7.14)
t→±∞
ist und die Bedingungen G(t) −→ 0 und dG(t)
−→ 0 erfüllen muß. Als Beispiel dient
dt
hier die Theorie eines freien Skalarfeldes mit der Lagrange-Dichte
LΦ =
1
1
∂µ Φ∂ µ Φ − m2 Φ2 + iΦ2 .
2
2
(3.7.15)
Der zusätzliche Term 12 iΦ2 in (3.7.15) ist notwendig, damit das Funktionalintegral
wohl-definiert ist und die Randbedingungen für die Greenfunktion erfüllt sind.
Der kinetischen Term in (3.7.17) läßt sich nach der Produktregel umschreiben zu:
∂µ Φ∂ µ Φ = ∂µ (Φ∂ µ Φ) − Φ∂µ ∂ µ Φ.
(3.7.16)
Der Divergenzterm ∂µ (Φ∂ µ Φ) kann im Wirkungsintegral vernachlässigt werden. Die
Wirkung S lautet dann:
Z
1
d4 x d4 y Φ(x) −∂µ ∂ µ − m2 + i δ(x − y)Φ(y)
(3.7.17)
S=
2
Vergleicht man (3.7.12) mit (3.7.17), dann ist
A(x, y) = − ∂µ ∂ µ + m2 − i δ(x − y)
und setzt man A(x, y) in die klassische Feldgleichung (3.7.14) ein, so gilt
∂µ ∂ µ + m2 − i Φ(x) = h̄J(x).
(3.7.18)
(3.7.19)
Die Lösung dieser Gleichung ist:
Φ(x) = h̄
Z
d4 y G(x − y)J(y),
wobei die Greenfunktion G(x − y) die Gleichung
∂µ ∂ µ + m2 − i G(x − y) = δ(x − y)
(3.7.20)
(3.7.21)
42
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
erfüllt. Die Ableitungen ∂µ beziehen sich auf die Variable x. Bildet man die FourierTransformation von G(x − y) und δ(x − y), so kann diese Gleichung einfach gelöst
werden. Mit
Z
1
d4 k G̃(k) exp [−ik(x − y)]
(3.7.22)
G(x − y) =
4
(2π)
und
δ(x − y) =
Z
d4 k exp [−ik(x − y)]
(3.7.23)
erhält man
1
k 2 − m2 + i
Dies ist der Propagator eines skalaren Teilchens im Impulsraum.
G̃(k) = −
3.7.5
(3.7.24)
Ein-Teilchen-Irreduzible Green-Funktion
Die vollen Greenfunktionen G(n) (x1 , . . . , xn ) (siehe Gleichung 3.7.9) enthalten auch solche Terme, die in zwei oder mehrere Funktionen faktorisieren. Im Feynman-Diagramm
stellen sie separierte Teile dar, für die jeweils getrennt eine Impulserhaltung gilt.
Die Ein-Teilchen-Irreduziblen (engl. one-particle-irreducible, 1PI) Green-Funktionen
Γ(n) (x1 , . . . , xn ) geben in niedrigster Ordnung bei geeigneter Eichung die Vertizes der
Lagrange-Funktion an. Man erhält die 1PI-Funktionen durch funktionale Ableitung
des Erzeugendenfunktionals Γ[φ]:
δ n Γ[φ]
(n)
Γ (x1 , . . . , xn ) =
,
(3.7.25)
δφ(x1 ) . . . δφ(xn ) φ=0
welches wiederum aus
Γ(φcl ) = Z[J] − h̄
Z
d4 x J(x)φcl (x)
(3.7.26)
hervorgeht. Das Funktional der zusammenhängenden Greenfunktionen Z[J] erhält man
aus dem der vollen Greenfunktionen W [J] über W [J] = exp h̄i Z[J] . Das “klassische“
Feld φcl ist durch die Gleichung
δΓ[φ] = −h̄J(x)
(3.7.27)
δφ(x) φ=φcl
definiert. Die Quellfunktion J(x) im Funktional Γ[φcl ] kann eliminiert werden, indem
man die Gleichung
φcl (x) =
h0|φ(x)|0iJ
1 δZ[J]
=
h̄ δJ(x)
h0|0iJ
(3.7.28)
nach J(x) auflöst und in die Gleichung (3.7.25) einsetzt. Kennt man also das Funktional
Z[J] bzw. W [J], so kann man mit (3.7.25) bei geeigneter Normierung die entsprechenden Vertizes berechnen.
3.7. PFADINTEGRALMETHODE
3.7.6
43
Faddeev-Popov-Determinante
Die Quantenelektrodynamik (QED) wird beschrieben durch die Lagrange-Dichte [39]:
1
4
LQED = − Fµν F µν + ψ̄ (i∂/ + ieA
/ − m) ψ,
(3.7.29)
wobei der Feldstärketensor Fµν gegeben ist durch: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . Wie man leicht
nachrechnen kann ist LQED unter den Eichtransformationen
g
Aµ (x) −→ Agµ = Aµ (x) − ∂µ Λg (x)
g
g (x)
ψ(x) −→ ψ g = e−iΛ
ψ(x)
(3.7.30)
(3.7.31)
invariant. Die Eichtransformationen an sich bilden eine Gruppe mit den beliebigen
Funktionen Λg (x) als Gruppenelemente. Die Hintereinanderausführung zweier Eichtransformationen ist wieder eine Eichtransformation, denn es gilt:
h◦g
Aµ (x) −→ Ahµ (x) = Agµ (x) − ∂µ Λh (x) = Aµ (x) − ∂µ Λg (x) − ∂µ Λh (x)
= Aµ (x) − ∂µ Λg+h (x)
mit Λg+h (x) := Λg (x) + Λh (x).
Das Erzeugendenfunktional ergibt sich zu:
Z
Z
4
W = DAµ Dψ̄Dψ exp i d xL + Quellterme .
(3.7.32)
Da nun über alle Funktionen Aµ integriert wird, werden physikalisch eichinvariante
Systeme mehrfach berücksichtigt.
Betrachtet man den Konfigurationsraum der Aµ (x), so läßt sich dieser in sogenannte Orbits aufteilen [40]. Diese entsprechen allen Feldkonfigurationen die durch alle
möglichen Eichtransformationen aus der ursprünglichen Feldkonfiguration Aµ (x) her
vorgehen, also der Äquivalenzklasse Agµ (x) . Der Integrand von (3.7.32) ist entlang
jedes Orbits konstant, sodaß das Integral proportional zu einer unendlichen Konstante
(dem Volumen der vollen Eichgruppe) ist. Dies ist an und für sich noch kein Problem,
da diese Konstante normiert werden könnte. Die eigentliche Schwierigkeit liegt bei der
Bestimmung der Propagatoren bei der störungstheoretischen Behandlung von (3.7.32).
Aufgrund der Eichinvarianz können diese nicht bestimmt werden.
Das Ziel ist nun, eine Eichung zu fixieren und so in dem Konfigurationsraum eine
Hyperfläche zu definieren, die jede Eichgruppe genau einmal schneidet. Die Eichung
wird durch das Funktional
F [Agµ ] = 0
(3.7.33)
festgelegt, wobei diese Gleichung für jedes Aµ genau eine Lösung besitzen soll. Als
weiteres benötigt man das auf der Eichgruppe eichinvariante Haar-Maß Dg mit der
Eigenschaft:
!
Dg = D(gg 0 ).
(3.7.34)
44
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Definiert man nun ein Funktional ∆FP [Aµ ] durch
Z
1 = ∆FP [Aµ ] Dg δ F [Agµ ] ,
(3.7.35)
bzw.
−1
∆FP [Aµ ] =
Z
Dg δ F [Agµ ] ,
(3.7.36)
dann gilt:
−1
∆FP [Agµ ]
=
Z
Dg
=
Z
Dh δ[F [Ahµ ] = ∆−1
FP [Aµ ]
0
0
δ[F [Agg
µ ]
3.7.34
=
Z
0
D(gg 0 ) δ[F [Agg
µ ]
Diese Eichinvarianz überträgt sich durch die Beziehung (3.7.35) auf das Funktional
∆FP [Aµ ]. Fügt man nun die Identität (3.7.35) in das Wirkungsintegral (3.7.32) ein
und ordnet die Integrationen um, so kann aufgrund der Eichinvarianz der einzelnen
R
Faktoren die Gruppen-Integration Dg absepariert werden. Dieser unendliche Faktor
kann dann bei weiteren Rechnungen vernachlässigt werden.
Eine große Rolle spielt jetzt aber das eingebrachte Funktional ∆FP [Aµ ], das mit
(3.7.35) umgeschrieben werden kann zu:
δF [Agµ ] ∆FP [Aµ ] = det
.
(3.7.37)
δg F [Agµ ]=0
Man bezeichnet ∆FP [Aµ ] auch als Faddeev-Popov-Determinante. Dieser Ausdruck ist,
ohne auf weitere Details eingehen zu wollen, verantwortlich für die Eichfixierung im
Erzeugendenfunktional. Durch weiter Umformungen kann gezeigt werden, daß letztendlich die ursprüngliche Lagrange-Dichte ersetzt werden muß durch die modifizierte
Lagrange-Dichte
Leff = L −
1
(F [Aµ ])2 ,
2α
(3.7.38)
die nicht länger eichinvariant ist; α ist eine reelle Konstante.
3.8
Graviton-Propagator
Wie in Abschnitt (3.7.6) gezeigt, müssen wir die vorliegende Eichfreiheit brechen und
der Lagrange-Dichte einen eichfixierenden Term hinzufügen. Dies geschieht hier mit
dem zusätzlichen Term:
1 2
C ,
2 µ
(3.8.1)
3.8. GRAVITON-PROPAGATOR
45
wobei Cµ eine beliebige vier-komponentige Funktion sein soll, die nicht invariant sein
darf bezüglich der Eichtransformation (3.4.14). Die Bedingung Cµ = 0 legt dann die
Eichung fest und bestimmt so die Funktion α [51].
Legen wir hier nun folgendes Cµ fest:
1
Cµ = ∂ ν hµν − ∂µ hν ν ,
2
dann erhalten wir für die Lagrange-Dichte:
(3.8.2)
1
= LG + Cµ2
2
1
1 αµ
=
h ,λ hαµ,λ − hαα,λ hµµ,λ
4
8
1 αβ,λ
=
h
Vαβµν hµν ,λ ,
2
L
(3.8.3)
mit
1
1
Vαβµν = δαµ δβν − δαβ δµν .
(3.8.4)
2
4
Wie man leicht sieht, ist die Lagrange-Dichte quadratisch in den Feldern hµν . Um
den Propagator zu erhalten, müssen wir noch partiell integrieren und können dabei
Oberflächenterme die im Unendlichen verschwinden vernachlässigen:
1
⇒ L = − hαβ Vαβµν ∂ 2 hµν .
(3.8.5)
2
Damit das Verfahren von Abschnitt (3.7.4) direkt anwendbar ist, können wir eine
etwas unübersichtliche Reduzierung der Indizes vornehmen [56]. Tabelle (3.1) zeigt
die Indexzuordnung (µν → i) zwischen dem symmetrischen Tensor hµν und der neuen
zehnkomponentigen Größe ψi , (i = 1, . . . , 10):
h
11 22 33 44
12 13 14 23 24
34
ψ
1
5
10
2
3
4
6
7
8
9
Tabelle 3.1: Zuordnung der Komponenten des symmetrischen Tensors hµν zu den
neuen Komponenten der 10-komponentigen Größe ψi
Die Lagrange-Dichte (3.8.5) sieht in der neuen Formulierung wie folgt aus:
1
1
2
2
Die Matrix Vij setzt sich zusammen aus


1 −1 −1 −1

1
1 −1 −1 
 −1
Vij =


1 −1 
4  −1 −1
−1 −1 −1
1
L = − ψ i Vij ∂ 2 ψ j = − ψ i Aij ψ j .
für 1 ≤ i, j ≤ 4,
(3.8.6)
46
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
für i, j ≥ 5,
Vij = δij
Vij = 0
sonst.
Die Inverse der Matrix Vij können wir nun leicht berechnen und wie oben setzt sie sich
aus drei Teilen zusammen:


1 −1 −1 −1


1 −1 −1 
 −1
−1
(V )ij = 
für 1 ≤ i, j ≤ 4,

1 −1 
 −1 −1
−1 −1 −1
1
(V −1 )ij = δij
(V −1 )ij = 0
für i, j ≥ 5,
sonst.
Setzen wir den Operator Aij = Vij ∂ 2 in (3.7.12) ein und gehen anschließend wieder
zur alten Indexschreibweise zurück, so erhalten wir für den Graviton-Propagator in
Impulsdarstellung den Ausdruck:
∆G
αβµν (k) =
δαµ δβν + δαν δβµ − δαβ δµν
.
k 2 − i
(3.8.7)
Anstatt die Matrix Vij in die neue Indexschreibweise zu transformieren, kann man auch
die Einheitsmatrix 1Iij = δij umschreiben:
1Iαβµν =
1
(δαµ δβν + δαν δβµ )
2
(3.8.8)
mit der Indexzuordnung aus Tabelle (3.1).
3.9
Der 3er-Vertex
Weinberg zeigte, daß das Äquivalenzprinzip in der Quantenfeldtheorie als “low-energy“Theorem auftaucht [11, 16]. Dieses besagt, daß bei genügend kleiner Frequenz jedes
System auf gleiche Weise und mit gleicher Stärke an Gravitonen koppelt. Dann müssen
Gravitonen aber auch an sich selbst koppeln, was die hochgradige Nichtlinearität der
Gravitation widerspiegelt. Es existieren also auch ohne Berücksichtigung von Materie
Graviton-Vertizes beliebiger Ordnung N (N ≥ 3). Um die Selbstwechselwirkung in
Form einer Lagrange-Dichte zu beschreiben, benötigen wir eine unendliche Reihe von
Termen:
LG = L(2) + κL(3) + κ2 L(4) + . . . .
(3.9.1)
3.10. DIVERGENZEN
47
p3 , α3 β3
p1 , α1 β1
p2 , α2 β2
Abbildung 3.1: Der 3er-Graviton Vertex ist symmetrisch in jedem Indexpaar αβ und
bleibt unverändert unter beliebigen Permutationen der Impuls-Index-Triplets.
Die Berechnung der verschiedenen Vertizes ist äußerst langwierig und kompliziert [13,
16]. Dies kommt unter anderem daher, weil die Vertizes symmetrisch in jedem Indexpaar αβ und unverändert bezüglich beliebiger Permutationen der Impuls-Index-Triplets
pαβ sein müssen (siehe auch Abb. 3.1).
Der 3er-Vertex besitzt 171 Terme, die sich allerdings auf 11 reduzieren, wenn man nur
kombinatorisch unterschiedliche Terme zählt. Der 4er-Vertex dagegen besteht bereits
aus 2850 Termen, die jedoch immerhin auf 28 reduziert werden können.
Von entscheidender Bedeutung ist, daß alle Vertizes Vn (n ≥ 3) quadratisch im Impuls sind:
Vn ∝ p2 .
3.10
(3.9.2)
Divergenzen
Probleme in einer Quantenfeldtheorie tauchen dann auf, wenn man über geschlossene
Schleifen integrieren muß. Ein anschauliches Beispiel aus der Quantenelektrodynamik
ist die Elektron-Selbstenergie. Sie taucht als erste Korrektur zum freien Elektronpropagator auf und entspricht der Emission und anschließenden Reabsorption eines virtuellen
Photons. Entwickeln wir die Elektron-Zwei-Punkt-Funktion bis zur zweiten Ordnung
in der Kopplungskonstanten, so erhalten wir folgendes Schaubild:
hΩ|T ψ(x)ψ̄(y)|Ω i =
x
y
+
x
y
+
...,
wobei |Ω i der Grundzustand in der Wechselwirkungstheorie ist [39]. Der zweite Summand stellt das Feynman-Diagramm der Elektron-Selbstenergie dar:
p−k
p
k
p
Abbildung 3.2: Feynman-Diagramm der Elektron-Selbstenergie.
48
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Mittels Feynman-Regeln können wir den Beitrag der Schleife angeben:
Z 4
d k µ i(k/ + m0 )
−i
2
−iΣ2 (p) = (−ie)
γ 2
γµ
,
2
4
2
(2π)
k − m0 + i (p − k) − µ2 + i
(3.10.1)
wobei die Infrarotdivergenz durch Hinzufügen einer kleinen Photonmasse µ regularisiert
wurde. Die Integration läuft von −∞ bis +∞. Die Gleichung (3.10.1) divergiert, da
die Impulspotenz des Zählers (k 5 ) die des Nenners (k 4 ) übersteigt.
3.11
Oberflächlicher Divergenzgrad
3.11.1
Wie divergent sind Feynman-Graphen?
Auch ohne direkten Bezug auf eine spezielle Quantenfeldtheorie ist es möglich, eine
vorläufige Aussage darüber zu treffen, ob eine Theorie renormierbar ist oder nicht.
Betrachten wir dazu ein Feynman-Diagramm, welches aus folgenden Teilen zusammengesetzt ist [14]:
Lext : Anzahl externer Linien
Lint : Anzahl interner Linien
VN : Anzahl Vertizes N-ter Ordnung – Verknüpfung von N Linien (N ≥ 3)
Wie man sich schnell klarmachen kann, gilt folgende topologische Beziehung:
X
Lext + 2Lint =
VN N,
(3.11.1)
N
wobei die Summe über alle N -Vertizes (N ≥ 3) läuft. Diese Relation wollen wir uns
kurz anhand von ’N=4’-er Vertizes an einem kleinen Schaubild klar machen. Dieses
Schaubild braucht keinem physikalischen Prozeß zu entsprechen, sondern dient lediglich
zur Veranschaulichung der Beziehung (3.11.1):
v1
v2
Abbildung 3.3: Topologie von 4er-Vertizes mit zwei externen und drei internen Linien.
Es gilt Lext = 2, Lint = 3, N = 4 und V4 = 2. Jeder Vertex besitzt vier ’Beine’.
Davon entspricht je ein Bein einer externen Linie; bleiben je noch drei Beine, die mit
anderen Vertizes verbunden sein müssen. Diese Bindung übernimmt eine interne Linie,
die damit zwei Beine ’verbraucht’.
3.11. OBERFLÄCHLICHER DIVERGENZGRAD
Die Anzahl Lloop der Schleifen in einem Diagramm ist gegeben durch:
X
Lloop = Lint −
VN + 1.
49
(3.11.2)
N
Der Oberflächliche Divergenzgrad D ist nun definiert als:
D = (Impulspotenz im Zähler) − (Impulspotenz im Nenner).
(3.11.3)
Am Beispiel eines reellen Skalarfeldes mit λφn -Wechselwirkung wollen wir das Divergenzverhalten von Feynmangraphen untersuchen. Die entsprechende Lagrange-Dichte
ist gegeben durch [39]:
Lφ =
1
1
λ
∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 − φn ,
2
2
n!
(3.11.4)
und die Wirkung S in d Dimensionen:
S=
Z
dd xL .
(3.11.5)
Aufgrund der λφn -Wechselwirkung treffen sich an jedem Vertex n Linien. Da es sich
hier nur um Vertizes n-ter Ordnung handelt, vereinfacht sich die topologische Beziehung
(3.11.1) zu:
Lext + 2Lint = nVn .
(3.11.6)
Die Anzahl der Schleifen (3.11.2) reduziert sich entsprechend auf:
Lloop = Lint − Vn + 1.
(3.11.7)
Betrachten wir ein Schleifenintegral in d Dimensionen, dann bringt jedes SchleifenR
Integral dd k eine Impulspotenz d in den Zähler und jede interne Linie (∝ k −2 ) eine
Impulspotenz 2 in den Nenner. Damit setzt sich der oberflächliche Divergenzgrad wie
folgt zusammen:
D = dL − 2Lint .
Verwenden wir die Beziehungen (3.11.6) und (3.11.7), dann folgt für D:
d−2
d−2
D =d+ n
− d Vn −
Lext .
2
2
(3.11.8)
(3.11.9)
Betrachten wir den Fall n = 4, d = 4 mit den dazugehörigen Feynman-Regeln [40]
(siehe Tabelle 3.2), so erhalten wir für den oberflächlichen Divergenzgrad die einfache
Relation:
D = 4 − Lext .
(3.11.10)
50
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Propagator
p
Schleifen-Integral
p
Vertex
i
p2 − m2 + i
Z
d4 k
(2π)4
s
q
−iλ, p+q+r+s = 0
r
Tabelle 3.2: Feynman-Regeln der λφ4 -Theorie.
Aus dem oberflächlichen Divergenzgrad können wir bereits eine vorläufige Einteilung
in Punkto Renormierbarkeit einer Quantenfeldtheorie vornehmen. Eine Theorie ist
super-renormierbar: wenn sie nur eine endliche Zahl an oberflächlich
divergenten Feynmangraphen besitzt,
renormierbar: wenn nur eine endliche Zahl an Amplituden oberflächlich divergieren; es tauchen jedoch in allen
Ordnungen Störungstheorie Divergenzen auf,
nicht-renormierbar: alle Amplituden sind in einer ausreichend hohen
Ordnung Störungstheorie divergent.
3.11.2
Dimensionen in der Lagrange-Dichte
Mit der Festlegung h̄ = c = 1 muß auch das Wirkungsintegral
Z
S = dd x L
(3.11.11)
dimensionslos sein (siehe Anhang A.1.1). Da das Differential dx aufgrund obiger Festlegung die Dimension (Masse)−1 = M −1 besitzt, muß die Lagrange-Dichte L die Dimension M d haben. Als Beispiel schauen wir uns wieder die Lagrange-Dichte aus dem
vorherigen Abschnitt (3.11.1) an:
1
1
λ
∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2 − φn .
(3.11.12)
2
2
n!
Aus dem kinetischen Term 21 ∂µ φ∂ µ φ, wie auch aus dem potentiellen Term 12 m2 φ2 erhalten wir für die Dimension des skalaren Felds:
Lφ =
[φ] = M
d−2
2
(3.11.13)
3.11. OBERFLÄCHLICHER DIVERGENZGRAD
51
λ n
Die Dimension des Wechselwirkungsterms Lw = n!
φ muß wie die ungestörte Lagranged
Dichte ebenfalls M sein, woraus für die Kopplungskonstante λ folgt:
[λ] = M d−n(d−2)/2 .
(3.11.14)
Für die λφ4 -Theorie in d = 4 Raumzeit-Dimensionen folgt, daß die Kopplungskonstante
λ dimensionslos ist.
Wir können die obige Einteilung in verschiedene Grade der Renormierbarkeit auch
in Abhängigkeit der Kopplungskonstanten einer Theorie umschreiben. Betrachten wir
ein beliebiges Diagramm mit N externen Linien [39]. Solch ein Diagramm kann zum
Beispiel durch eine ηφN -Wechselwirkung zustande kommen. Die Kopplungskonstante
η besitzt nach obiger Überlegung die Dimension d − N (d − 2)/2. (Da alle Einheiten
in Potenzen der Masse ausgedrückt werden können, genügt die Angabe der Potenz.)
Behalten wir dies zunächst im Hinterkopf und betrachen ein Diagramm einer λφn Wechselwirkung mit N externen Beinen in entsprechender Ordnung. Die Dimension
der Kopplungskonstanten λ haben wir bereits in (3.11.14) angegeben. Nun können
wir an Stelle des eigentlichen Feynman-Diagramms ein effektives Diagramm der ηφN Wechselwirkung einsetzen. Dabei gilt für die Dimensionen der Graphen:
d−2
d−2
+D =d−N
.
(3.11.15)
V d−n
2
2
Das eigentliche Diagramm mit V n-Vertizes und “innerer“ Dimension D, wird also
durch einen N -Vertex mit entsprechender Dimension ersetzt. Die Größe D stimmt mit
dem oberflächlichen Divergenzgrad für N = Lext und Vn = V überein. Die Beziehung
(3.11.15) gleicht der weiter oben hergeleiteten Beziehung (3.11.9). Betrachten wir nun
zum Beispiel eine Kopplungskonstante mit negativer Dimension [λ] < 0. Dann folgt
daraus:
d−2
a := n
− d > 0,
(3.11.16)
2
bzw. für n in Abhängigkeit der Dimension d:
n>
2d
.
d−2
(3.11.17)
Aus der Gleichung (3.11.15) erhalten wir damit für den oberflächlichen Divergenzgrad:
D = d + aV −
a+d
N.
n
(3.11.18)
Nun steigt aber V mit der Ordnung der Störungstheorie und so wird der oberflächliche
Divergenzgrad ab einer entsprechenden Ordnung sicher positiv. Die Theorie ist dann
nicht renormierbar.
52
KAPITEL 3. GRAVITATION ALS QUANTENFELDTHEORIE
Allgemein kann man zeigen: Eine Theorie ist
super-renormierbar: wenn die Kopplungskonstante positive Dimension
besitzt,
renormierbar: wenn die Kopplungskonstante dimensionslos ist,
nicht-renormierbar: wenn die Kopplungskonstante negative Dimension
besitzt.
Eine φ4 -Theorie ist daher in d = 3 Dimensionen super-renormierbar, in d = 4 Dimensionen renormierbar und in d = 5 Dimensionen nicht mehr renormierbar.
Der oberflächliche Divergenzgrad kann kein endgültiges Resultat über die Renormierbarkeit einer Theorie liefern. Liegt der Theorie zum Beispiel eine Eichinvarianz
zugrunde wie es in der Quantenelektrodynamik der Fall ist, so kann dadurch der Divergenzgrad auf einen effektiven Divergenzgrad reduziert werden. In einer Quantenfeldtheorie der Gravitation funktioniert die Reduktion trotz Eichinvarianz nicht [16].
3.12
Nicht-Renormierbarkeit der ART
Wir wollen nun der Frage nachgehen, wie divergent Feynman-Graphen in einer Quantenfeldtheorie der Gravitation sind. Dazu verwenden wir den in Abschnitt (3.11.1) betrachteten oberflächlichen Divergenzgrad. Wir haben bisher die Dimension der Raumzeit variabel gehalten, was auf den ersten Blick nur wenig Sinn zu haben scheint.
Bevor man jedoch die eigentliche Renormierung durchführen kann, muß man die jeweiligen Amplituden, wie z.B. die in (3.10.1), regularisieren. Damit die Eichinvarianz
einer Theorie dabei nicht verloren geht, wie dies bei der Pauli-Villars-Regularisierung
der Fall ist, verwendet man die dimensionale Regularisierung. Diese Methode setzt die
Raumzeit-Dimension ins Komplexe fort und variiert gleichzeitig die Dimension in einer
-Umgebung. Wir wollen uns aber hier der vierdimensionalen Raumzeit widmen und
setzen daher d = 4 fest.
In den Abschnitten (3.8.7) und (3.9) haben wir den Graviton-Propagator und den
Graviton-3er-Vertex bereits kennengelernt. Lassen wir die Wechselwirkung mit Materiefeldern noch außer acht, dann gelten für die einzelnen Komponenten eines FeynmanDiagramms aus lauter Gravitonen:
3er-Vertex
: V ∝ p2 ,
interne Linie (Propagator) : Lint ∝
Schleife
1
,
p2
: Lloop ∝
R
d4 p.
Damit ist der Oberflächliche Divergenzgrad nach (3.11.3):
D = 4Lloop + 2V − 2Lint ,
(3.12.19)
3.12. NICHT-RENORMIERBARKEIT DER ART
53
und zusammen mit der topologischen Beziehung (3.11.2) erhalten wir schließlich:
D = 2(Lloop + 1).
(3.12.20)
Eine Quantenfeldtheorie der Gravitation scheint nicht renormierbar zu sein, da der
oberflächliche Divergenzgrad mit wachsender Ordnung der Diagramme immer mehr
zunimmt und so die Zahl der Divergenzen unbegrenzt steigt.
Der Weg über die Dimensionen wie in Abschnitt (3.11.2) führt uns zurück zur
Lagrange-Dichte (3.3.1):
LG =
1 √
−gR.
2κ2
(3.12.21)
In linearisierter Näherung hat die Lagrange-Dichte LG , unter Berücksichtigung der
Kopplungskonstanten κ (siehe Gleichung 3.4.8) folgende Gestalt (3.3.10):
LG =
1 αµ
h ,λ hαµ,λ − hαα,λ hµµ,λ + 2hαα,λ hλµ,µ − 2hαµ,λ hλµ,α .
8
(3.12.22)
Damit besitzt das Gravitonfeld hµν die Dimension
M 1 . Viel wichtiger ist jedoch die
√
Tatsache, daß die Kopplungskonstante κ ∝ G eine negative Dimension besitzt:
h√ i
G = M −1 .
Auch hier wird mit den vorherigen Überlegungen deutlich, daß eine Quantenfeldtheorie
der Gravitation nicht renormierbar ist.
Eine genauere Untersuchung, inwieweit eine Quantenfeldtheorie der Gravitation renormierbar ist, führten Gerard t’Hooft und M. Veltman zu Beginn der 1970er Jahre durch (siehe z.B. [50, 52]). Sie benutzten dabei die von DeWitt 1967 entwickelte “Hintergrundfeld“-Methode [13] und konnten damit den sogenannten “LagrangeGegenterm“ ∆LG in erster Ordnung berechnen. Für ein reines Gravitationsfeld erhielten sie [52]:
√ g
1 2
7
αβ
∆LG =
R + Rαβ R
,
120
20
mit = 8π 2 (n−4). Die Größe n gibt die Dimension der Raumzeit an. Setzt man in diese
Beziehung die Hintergrundfeld-Gleichung Rµν = 0 ein, so verschwindet der Gegenterm.
Dann ist aber die Quantenfeldtheorie der Gravitation ohne weitere Materiefelder in
erster Ordnung renormierbar.
Koppelt die Gravitation aber zum Beispiel an ein Skalarfeld, so lautet der Gegenterm:
√
g 203 2
R .
∆LG,scal =
80
Jedoch hebt dieser Gegenterm keinen in der Lagrange-Dichte vorkommenden Term
weg. Die Theorie ist folglich nicht-renormierbar.
Kapitel 4
Absorption von
Gravitationsstrahlung
Smolin behauptete in seinem Artikel [47], daß es in der linearisierten Allgemeinen Relativitätstheorie nicht möglich sei, einen Detektor zu bauen, mit dem man den Quantenzustand eines Gravitationsfeldes verläßlich bestimmen kann. Wir wollen uns in diesem
Kapitel der Absorption von Gravitationswellen widmen, ohne auf deren Entstehung
einzugehen, und Konsequenzen aufzeigen, welche die obige Vermutung für eine Quantentheorie der Gravitation mit sich bringen würde.
In Abschnitt (4.1) wollen wir uns kurz Smolin’s Vermutung anschauen. Legen wir
diese auf den Fall der klassischen Absorption von Gravitationsstrahlung um, so finden
wir keine Materie, welche die positive Energiebedingung erfüllt und die einmal in Gravitationsstrahlung umgewandelte Energie wieder voll absorbieren könnte. In den folgenden Abschnitten wollen wir uns diesen Sachverhalt klarmachen: Deshalb betrachten
wir in (4.3) zunächst die elastischen Eigenschaften eines Körpers [49]. Dazu benötigen
wir ein Verschiebungsfeld, das die Bewegung einzelner Massenelemente des Körpers
beschreibt. In dem Verschiebungsfeld sind außer Deformationen auch reine Translationen und Drehungen enthalten, die bei den weiteren Berechnungen außer acht gelassen
werden können. Wir definieren daher den Deformationstensor, der die letzten beiden
Transformationen ausschließt. Deformiert man einen Körper, so treten Spannungen
auf. Diese wiederum können Energie speichern, wie man anhand einer einfachen Feder sieht. Lenkt man diese aus ihrer Ruhelage heraus, so erfährt sie eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft, die im linearen Bereich durch das Hookesche Gesetz
beschrieben wird. Übersetzt auf einen Festkörper heißt das, daß im linearen Bereich
Spannungstensor und Deformationstensor miteinander verknüpft sind. Mit Hilfe des
Hookeschen Gesetzes und der Impulsbilanz ist es möglich, elastische Wellen in einem
Festkörper zu beschreiben. In unserem Fall werden diese durch Gravitationswellen ausgelöst. In Abschnitt (4.4) wollen wir deshalb kurz auf die mathematische Beschreibung
einer Gravitationswelle eingehen und anschließend in Abschnitt (4.5) deren klassische
Absorption berechnen.
54
4.1. VERMUTUNG VON SMOLIN
55
Die Absorption von Gravitationsstrahlung kann auch auf quantenmechanische Weise
beschrieben werden, wobei die Existenz von sogenannten Gravitonen bereits vorausgesetzt wird. In (4.6) verschaffen wir uns einen kleinen Einblick in den Gravitoelektrischen
Effekt, der das gravitative Pendant zum Photoelektrischen Effekt darstellt. Die Anregung von Phononen ist eine weitere Möglichkeit der Absorption, die wir in Abschnitt
(4.7) betrachten wollen.
Welche Konsequenzen Smolin’s Vermutung für eine Quantentheorie der Gravitation
hat, fassen wir in (4.8) zusammen.
4.1
Vermutung von Smolin
Smolin äußert folgende Vermutung [47]:
Betrachte ein Gebiet R einer raumartigen Cauchy-Fläche, auf der eine Verteilung aus freien Gravitonen und Materie, die die positive Energiebedingung erfüllt, gegeben ist. Wenn hNi die Zahl der Gravitonen im Anfangszustand ist und wenn Nc (t) die Zahl der Ereignisse – Absorption oder Streuung
eines Gravitons durch die Materie – bis zur Zeit t angibt, dann gilt:
Nc (t)
< 1,
hNi
(4.1.1)
für alle Zeiten t, die in der Zukunft der Anfangskonfiguration liegen. In
Worten heißt dies, daß nur eine gewisse Zahl von Gravitonen in endlicher
Zeit mit der Materie wechselwirken.
Für die Thermodynamik bedeutet das aber, daß ein System, welches sowohl aus Materie als auch aus Gravitationsstrahlung besteht, in endlicher Zeit kein thermodynamisches Gleichgewicht erreichen kann, da nur ein gewisser Teil der Strahlung mit der
Materie wechselwirkt. Da kein Gleichgewichtszustand erreichbar ist, sind Prozesse, die
Gravitationsstrahlung berücksichtigen, stets irreversibel. Man kann ihnen daher eine
intrinsische Entropie zuordnen.
4.2
Grundvoraussetzung für die Absorption
Ausgangspunkt hierfür ist eine Gravitations- oder Gravitonwelle der Wellenlänge λ,
die auf einen noch nicht genauer spezifizierten Detektor trifft. Dieser habe die Dichte ρ
und in Einfallsrichtung der Welle die Länge L > λ. Weiterhin soll die Ausdehnung des
−1/2
Detektors L größer sein als dessen Schwarzschildradius RS = 4π
ρG
. Sowohl bei
3
der klassischen als auch bei der quantenmechanischen vollen Absorption einer Welle
muß die Absorptionslänge L(λ)abs , die von der Wellenlänge abhängt, deutlich kleiner
sein als die Länge des Detektors LDet :
L(λ)abs LDet .
(4.2.1)
56
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Wie wir hier an drei Beispielen zeigen wollen, gilt jedoch
L(λ)abs > LDet ,
(4.2.2)
daher kann nicht die ganze Gravitationsstrahlung absorbiert werden.
4.3
4.3.1
Elastische Eigenschaften eines Mediums
Das Verschiebungsfeld
Um die Deformation eines Körpers beschreiben zu können, möge jedes Massenelement
durch einen Ortsvektor ~ai bestimmt sein. Eine Deformation ordnet dann jedem Massenelement einen Verschiebungsvektor ~si (~al ) zu, sodaß der neue Ort des Massenelements
gegeben ist durch:
~xi = ~ai + ~si (~al )
(4.3.1)
Abbildung 4.1: Deformation eines Körpers [49]: a) undeformierter Anfangszustand;
b) deformierter Endzustand
Damit der Körper durch die Deformation nicht zerrissen wird, muß die Funktion
~xi (~al ) stetig und eindeutig umkehrbar sein. Da für jedes Massenelement der Verschiebungsvektor im allgemeinen anders sein wird, bezeichnet man ~si (~al ) auch als Verschiebungsfeld. Dieses beinhaltet natürlich auch reine Translationen oder Rotationen, die
nichts zur Deformation beitragen und im nächsten Schritt absepariert werden sollen.
4.3.2
Der Deformationstensor
Betrachten wir zwei infinitesimal benachbarte Massenelemente ai und ai + dai . Der
Index i(i = 1, 2, 3) bezeichnet nun die kartesischen Koordinaten eines Massenelementes.
4.3. ELASTISCHE EIGENSCHAFTEN EINES MEDIUMS
57
Durch eine Deformation (4.3.1) ändert sich der Abstand der beiden Massenelemente
um (über gleiche Indizes wird summiert)
ds2nachher − ds2vorher = dxi dxi − dai dai = 2ik dai dak
(4.3.2)
mit
∂si
dxi = dai +
dal =
∂al
∂si
δil +
∂al
dal
(4.3.3)
(4.3.4)
und dem Deformationstensor
1
ik (al ) =
2
∂si
∂sk ∂sm ∂sm
+
+
∂ak
∂ai
∂ai ∂ak
.
Dieser ist, wie wir direkt ablesen können, symmetrisch (ik = ki ) und aufgrund des
letzten Terms nicht linear. Er bildet den symmetrischen Anteil des Distorsions- oder
Verschiebungstensors ∂si /∂al
∂si
= ik + Dik .
∂ak
(4.3.5)
Der antisymmetrische Anteil Dik beinhaltet starre Rotationen. Der Deformationstensor
ik läßt sich auch als Funktion von x darstellen. Dazu müssen wir lediglich das Verschiebungsfeld si als Funktion von x auffassen und entsprechend dai = (δik − ∂si /∂xk ) dxk
in (4.3.2) einsetzen:
1 ∂si
∂sk ∂sm ∂sm
ik (xl ) =
+
−
.
(4.3.6)
2 ∂xk ∂xi
∂xi ∂xk
Die einzelnen Komponenten des Deformationstensors haben folgende Bedeutung:
i
Die relative Längenänderung in der Richtung von ei = da
ergibt sich zu
ds
=
dsnachher − dsvorher
≈ ik ei ek ,
dsvorher
(4.3.7)
woraus wir insbesondere für die relativen Längenänderungen entlang der Koordinatenachsen ei (i = x, y, z)
x = 11 ,
y = 22 ,
z = 33
(4.3.8)
bekommen. Die Außerdiagonalelemente ik , i 6= k des Deformationstensors beschreiben
Scherungen zwischen den ai - und ak -Achsen. Volumenänderungen Θ werden in linearer
Näherung durch
Θ=
dx1 dx2 dx3
∂sk
Vnachher − Vvorher
=
− 1 ≈ 11 + 22 + 33 =
,
Vvorher
da1 da2 da3
∂xk
(4.3.9)
die Spur des Deformationstensors, bzw. die Divergenz des Verschiebungsvektors, angegeben.
58
4.3.3
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Der Spannungstensor und das elastische Potential
An einem Körper können sowohl Volumenkräfte angreifen, als auch bei Deformationen
Flächenkräfte. Betrachten wir ein Volumenelement ∆V , so läßt sich für dieses eine
Bilanz der Impulsänderung aufstellen:
Z
Z
Z
d~v
ρ dV =
ρF~ dV +
P~ (n) df.
(4.3.10)
dt
∆V
∆V
∂(∆V )
Dabei ist ρ~v die Impulsdichte, ρF~ die Kraftdichte der Volumenkraft und P~ (n) die
Flächenkraft oder Spannung mit der gleichen Orientierung wie die Flächennormale ~n.
Die Flächenkraft P~ (n) ist im allgemeinen nicht parallel zur Flächennormalen, kann aber
natürlich in zu ~n senkrechte und parallele Komponenten mit den dafür entsprechenden
Bezeichnungen Tangential- und Normalspannung zerlegt werden.
Abbildung 4.2: Kleine Schnittfläche im Innern des deformierten Körpers mit den an
ihr angreifenden Spannungsvektoren P~ (n) und P~ (−n) ; ~n Normaleneinheitsvektor.
Befindet sich der Körper im statischen Gleichgewicht und wirken keine Volumenkräfte auf ihn, reduziert sich (4.3.10) auf den letzten Term. Bildet man davon den
Grenzwert
Z
1
lim
P~ (n) df,
(4.3.11)
∆V →0 ∆V
∂(∆V )
so kommt man auf die Beziehung
(n)
Pi
(j)
= Pi nj = σij nj ,
(i = 1, 2, 3),
(4.3.12)
mit dem Spannungstensor σij , der im weiteren stets als symmetrisch angenommen
wird. Mit dem Spannungstensor läßt sich das Oberflächenintegral aus (4.3.10) in ein
Volumenintegral umformen. Es ergibt sich daraus die Bewegungsgleichung
ρ
dvi
∂σij
=
+ ρFi ,
dt
∂xj
(i = 1, 2, 3).
(4.3.13)
4.3. ELASTISCHE EIGENSCHAFTEN EINES MEDIUMS
59
Bei der Deformation eines Körpers wird von den Spannungen Arbeit geleistet, die
sich bei kleinen Verschiebungen dsi zu
Z
Z
Z
∂
Gauß
(n)
dA =
(σji dsi ) dV
(4.3.14)
Pi dsi df =
σij dss nj df =
∂xj
∂(∆V )
∂(∆V )
∆V
ergeben. Weiterhin erhalten wir aus der Definition des Deformationstensors (4.3.4) in
linearer Näherung und aus der Symmetrie des Spannungstensors die Relation
σij
∂si
= σij ij .
∂xj
In (4.3.14) eingesetzt, erhalten wir für die geleistete Arbeit
Z
dA = σij dij dV.
(4.3.15)
(4.3.16)
V
Da die Energiedichte σij dij unabhängig vom Zustandekommen der Deformation ist,
muß eine Funktion Φ(ik ) existieren mit
dΦ(ik ) =
∂Φ
dik = σik dik .
∂ik
(4.3.17)
Φ heißt das elastische Potential. Es wird so normiert, daß für den undeformierten
Zustand Φ = 0 gilt.
4.3.4
Die Energiebilanz
Wie aus der klassischen Mechanik bekannt, kommen wir durch skalare Multiplikation
der Bewegungsgleichung mit der Geschwindigkeit auf die Energiebilanz:
vi ρ
∂σij
dvi
= vi
+ vi ρFi .
dt
∂xj
(4.3.18)
Mit Hilfe der substantiellen Zeitableitung
∂~v ~ d~v
=
+ ~v · ∇ ~v
dt
∂t
(4.3.19)
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0
∂t
(4.3.20)
und der Kontinuitätsgleichung
erhalten wir die Bilanzgleichung für die Dichte der kinetischen Energie ρ~v 2 /2:
∂ ρ 2
∂ ρ 2
∂vi
~v +
~v vj − σij vi = −σij
+ vi ρFi .
(4.3.21)
∂t 2
∂xj 2
∂xj
Der Vektor der Energiestromdichte (Poynting-Vektor) Sj = ρ2 ~v 2 vj − σij vi setzt sich aus
einem konvektiven Anteil und einem durch Spannungen übertragenen Anteil zusammen. Der letztere wird uns später noch bei der Absorption interessieren.
60
4.3.5
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Das Hookesche Gesetz
Da wir Gravitationswellen betrachten, die nur kleine Auslenkungen aus der Ruhelage
eines Massenelementes hervorrufen, bleiben wir bei den auftretenden Spannungen und
Deformationen im linearen Bereich. Die Spannung ist dann eine lineare Funktion der
Deformation
σij = Cijkl kl .
(4.3.22)
Das ist das Hookesche Gesetz. Die Cijkl sind die elastischen Moduln, die einen Tensor
4. Stufe bilden. Aus der Symmetrie von σij und kl folgt
Cijkl = Cjikl = Cijlk .
(4.3.23)
Mit dem elastischen Potential Φ und der Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen
kann eine weitere Beziehung für die elastischen Moduln hergeleitet werden. Nach (4.3.17)
gilt
∂Φ
= σij = Cijkl kl ,
∂ij
(4.3.24)
∂2Φ
∂2Φ
=
= Cklij .
∂ij ∂kl
∂kl ∂ij
(4.3.25)
daraus erhalten wir
Cijkl =
Die Symmetrierelationen (4.3.23) und (4.3.25) reduzieren die anfänglichen 81 Komponenten des Tensors Cijkl auf lediglich 21 unabhängige Größen. Natürlich können
zusätzliche Symmetrien des Körpers die Zahl der unabhängigen Moduln weiter verringern.
Liegt der Fall eines isotropen elastischen Körpers vor, so muß der Tensor Cijkl
bezüglich jeder Drehung invariant sein und hat daher die allgemeine Gestalt
Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + νδil δjk .
(4.3.26)
Unter Verwendung der Symmetrierelation (4.3.25) Cijkl = Cjikl zeigt sich, daß µ = ν
sein muß. Das Hookesche Gesetz vereinfacht sich dann zu
σij = 2µij + λδij ll .
(4.3.27)
Die Koeffizienten λ und µ heißen Lamésche Moduln. Eine etwas bekanntere Größe ist
der Youngsche Elastizitätsmodul E, der die Proportionalität zwischen Spannungsvektor
und relativer Längenänderung angibt. Er setzt sich aus den Laméschen Moduln wie
folgt zusammen:
E=
µ(2µ + 3λ)
.
µ+λ
(4.3.28)
4.3. ELASTISCHE EIGENSCHAFTEN EINES MEDIUMS
61
...
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
...........................................................................................................................................................................................................
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
.
....
.........
.
.....
.........
......
P~
x1
Abbildung 4.3: Der Youngsche Modul ist die Proportionalitätskonstante zwischen
relativer Längenänderung 1 und Spannungsvektor |P~ | = E1 .
4.3.6
Elastische Wellen
Da wir auf die Absorption von Gravitationswellen in elastischen Körpern abzielen,
müssen wir uns auch kurz elastische Wellen in solch einem Körper anschauen. Betrachten wir einen elastischen isotropen Körper konstanter Dichte ρ. Unter Vernachlässigung
des quadratisch konvektiven Terms in (4.3.19) erhalten wir als Bewegungsgleichung
für die Komponenten des Verschiebungsvektors ohne äußeres Kraftfeld (F~ = 0) mit
(4.3.13):
ρ
∂ 2 si
∂ 2 sj
∂ 2 si
−
µ
−
(µ
+
λ)
= 0.
∂t2
∂xj ∂xj
∂xi ∂xj
(4.3.29)
Setzt man als Lösung eine ebene Welle mit Ausbreitungsrichtung ~k = (k, 0, 0) an
sl = Al ei(kx−ωt) ,
(4.3.30)
so erhält man aus der Bewegungsgleichung (4.3.29) ein lineares Gleichungssystem für
die Amplituden Al . Wie sich zeigen läßt, erhält man zwei Arten von Wellen mit je
unterschiedlichen Amplituden und Phasengeschwindigkeiten. Für longitudinale Wellen
erhalten wir als Phasengeschwindigkeit:
s
2µ + λ
clong =
(4.3.31)
ρ
und für transversale Wellen:
ctrans =
r
µ
,
ρ
(4.3.32)
oder äquivalent dazu
µ = ρ c2trans
und λ = ρ c2long − 2c2trans .
Da λ und µ beide größer Null sind, gilt auch folgende Beziehung:
ctrans
1
1
=q
<√ .
clong
2
2+ λ
µ
(4.3.33)
(4.3.34)
62
4.4
4.4.1
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Gravitationswellen
Linearisierte Einsteingleichungen
Ähnlich dem Vorgehen bei der Beschreibung des Gravitonfeldes in Kapitel (3.3 ), wollen
wir hier die Vakuum-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie
1
Rµν − gµν R = 0
(4.4.1)
2
in linearer Näherung betrachten. Die Metrik gµν weicht dabei nur wenig von der flachen
Minkowski-Metrik ηµν ab:
gµν = ηµν + hµν .
Für die Christoffelsymbole erhalten wir damit:
1 µ
h ν,λ + hµλ,ν − hνλ,µ
Γµνλ =
2
und für den Riemann-Tensor entsprechend:
Rµνρσ = Γµνσ,ρ − Γµνρ,σ
(4.4.2)
(4.4.3)
(4.4.4)
1 µ
h σ,νρ + hνρ,µσ − hνσ,µρ − hµρ,νσ .
(4.4.5)
2
Den Ricci-Tensor erhalten wir durch Kontraktion: Rµν = Rαµαν . Die daraus folgenden
linearisierten Feldgleichungen sind dann
hαν,µα + hµα,αν − hµν,αα − hαα,µν − ηµν hαβ ,αβ − hαα,β β = 0.
(4.4.6)
=
In Abschnitt (3.3) haben wir Gleichung (4.4.6) bereits kennengelernt. Hier führen wir
aber zunächst neue Variablen ψµν ein, definiert durch:
1
ψµν ≡ hµν − ηµν h.
(4.4.7)
2
Die linearisierten Feldgleichungen (4.4.6) schreiben sich in den neuen Variablen als
ψ αν,µα + ψµα,αν − ψµν,αα − ηµν ψ αβ ,αβ = 0.
(4.4.8)
Die Eichfreiheit, die wir in Abschnitt (3.4) kennengelernt haben, besteht auch hier. Bei
geeigneter Wahl, hier der Fock-DeDonder-Eichung
∂ ν ψµν = 0,
(4.4.9)
oder ausgedrückt in den alten Variablen
1
hµν,ν − h,µ = 0,
2
können die Feldgleichungen (4.4.8) zur bekannten Wellengleichung
2ψµν = 0
(4.4.10)
(4.4.11)
entkoppelt werden, mit der zusätzlichen Bedingung an die Eichfunktion ν :
2ν (x) = 0.
(4.4.12)
4.4. GRAVITATIONSWELLEN
4.4.2
63
Ebene Wellen
Die einfachste Lösung der linearisierten Gleichungen (4.4.11) ist eine monochromatische, ebene Welle [35]
ψµν = Aµν exp (ikα xα )
(4.4.13)
mit komplexer Amplitude Aµν und nullartigem Wellenvektor kµ . Physikalisch relevant
ist jeweils nur der Realteil von ψµν , der in der weiteren Betrachtung erst am Ende
verwendet und deshalb bis dahin nicht explizit ausgeschrieben wird. Die Eichung (4.4.9)
fordert die Relation
Aµν k ν = 0.
Die Frequenz der Welle ist gegeben durch:
q
ω ≡ ck0 = c kx2 + ky2 + kz2 .
(4.4.14)
(4.4.15)
Wie bereits im Fall der Gravitonen bleiben nur zwei unabhängige Komponenten von
Aµν bestehen, da einerseits (4.4.14) und andererseits die Eichbedingung (4.4.12) die
anfänglichen zehn Komponenten reduzieren.
Betrachten wir als Spezialfall eine unendlich ausgedehnte ebene Welle. Sie bewege
sich mit konstanter Vierergeschwindigkeit uµ in eine Richtung. Nun ist es möglich, eine
Eichung oder ein Koordinatensystem so zu finden, daß gilt:
Aµν uν = 0.
(4.4.16)
Wir erreichen dies durch geeignete Wahl der Konstanten Cµ in der Eichfunktion
µ = iCµ exp (ikα xα ) ,
(4.4.17)
die wir noch aus (4.4.12) zu bestimmen hatten. Neben den vier Zwangsbedingungen
(4.4.14) bekommen wir durch (4.4.16) weitere drei hinzu – die in dieser Beziehung
vermeintlich vierte Bedingung ist bereits in k µ (Aµν uν ) = 0 enthalten. Damit letztlich
nur zwei unabhängige Größen in Aµν auftauchen, kann eine weitere Zwangsbedingung
auferlegt werden, die Spurfreiheit der Amplitudenmatrix:
Aµµ = 0.
(4.4.18)
Insgesamt haben wir acht Zwangsbedingungen:
Aµν uν = Aµα k α = Aαα = 0.
(4.4.19)
Wählen wir nun speziell ein Lorentz-System, in dem u0 = 1 und uj = 0 ist (c = 1,
j = 1, 2, 3), dann äußern sich diese Zwangsbedingungen in Form von Relationen für ψ:
64
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
a) nur räumliche Komponenten sind von Null verschieden:
ψµ0 = ψµν uν = Aµν uν exp (ikα xα ) = 0,
(4.4.20)
b) räumliche Komponenten sind divergenzfrei (Aµ0 = 0):
∂ j ψij = iAij k j exp (ikα xα ) = iAµν k ν exp (ikα xα ) = 0,
(4.4.21)
c) räumliche Komponenten sind spurfrei:
ψj j = Aj j exp (ikα xα ) = Aµµ exp (ikα xα ) = 0.
(4.4.22)
Die Eichung, die diese Relationen ermöglicht, nennt man transversal-spurfreie Eichung.
Transversal deshalb, weil aus (b) folgt, daß die ebene Welle (4.4.13) transversal zu ihrer
Ausbreitungsrichtung ist:
0 = ∂ j ψij = iψij k j .
(4.4.23)
An Stelle von (4.4.13) können wir ψµν mit einer komplexen Amplitude a und einem
Polarisationstensor eµν auch wie folgt schreiben:
ψµν = aeµν exp (ikα xα ) .
(4.4.24)
In transversal-spurfreier Eichung gilt aufgrund der Bedingung (4.4.20):
eµ0 = 0.
4.4.3
(4.4.25)
Polarisation einer ebenen Welle
Betrachten wir nun eine ebene monochromatische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet (setze c = 1)
ψµν = Aµν exp (ikα xα ) = Aµν exp (−iω(t − z))
(4.4.26)
mit kα = k0 (1, 0, 0, 1) und ω = k0 . Die Relationen (4.4.20-4.4.22) schränken nun die
unabhängigen Komponenten von ψµν ein.
Aus (4.4.20) folgt direkt, daß Aµ0 = 0 gelten muß. Mit (4.4.21) verschwinden zusätzlich alle Ak3 . Es bleiben nur noch die Komponenten A12 = A21 , A11 und A22 übrig,
wobei die letzteren zwei aufgrund der Spurfreiheit (4.4.22) miteinander verknüpft werden zu A11 = −A22 .
Wie aus der Elektrodynamik bekannt, läßt sich eine Welle entweder in zwei linear
polarisierte oder in zwei zirkular polarisierte Wellen zerlegen. Im Fall unserer zu betrachtenden Gravitationswelle erhalten wir ebenfalls zwei lineare Polarisationen, die
4.4. GRAVITATIONSWELLEN
65
hier durch die Einheitstensoren

e+


≡ e 1 ⊗ e 1 − e 2 ⊗ e2 = 


e×
0
0
0
0
0

 0
≡ e 1 ⊗ e 2 + e 2 ⊗ e1 = 
 0
0

0 0 0

1 0 0 
,
0 −1 0 
0 0 0

0 0 0

0 1 0 
,
1 0 0 
0 0 0
(4.4.27)
(4.4.28)
mit den Vektoren e1 = (0, 1, 0, 0) und e2 = (0, 0, 1, 0) gegeben sind. Wieder analog zur
Elektrodynamik können wir die Tensoren für die zirkulare Polarisation definieren:
ω(t − z)
2nπ
2n +
1
2
π
(2n + 1) π
2n +
3
2
π
1
(e+ + ie× )
2
1
=
(e+ − ie× ) .
2
eR =
(4.4.29)
eL
(4.4.30)
Deformation eines Rings aus Testteilchen
e+
e×
eR
eL
.................................
...... ...
.
.... ...............................................
..............
...............
....... ....
.
... .....
.
.
.
.
.....................
.........................
..
....
...
... ....
...... ..
...............
............
.
...................................................
.....
.
.
....... ....... ..........
.....................
• • •
• • •
• • •
..............
........ ..........
............................. ..... ..
...... ...... .............. ...
....... .....
... ...
.. ................
.
......
.
..
... ......
......
..... .....
.
.. ....
.
.
......
.
... ...
.
....
.
.
.
......... ..
... ....
..... ..........
... ........
...... .....
.............. .......................................
........................
• • •
• • •
• • •
.................................
...... ...
.
.... ...............................................
..............
...............
....... ....
.
... .....
.
.
.
.
.....................
.........................
..
....
...
... ....
...... ..
...............
............
.
...................................................
.....
.
.
....... ....... ..........
.....................
• • •
• • •
• • •
.................................
...... ...
.
.... ...............................................
..............
...............
....... ....
.
... .....
.
.
.
.
.....................
.........................
..
....
...
... ....
...... ..
...............
............
.
...................................................
.....
.
.
....... ....... ..........
.....................
............................
.....
......
....
...
...
...
...
....
...
...
...
..
...
..
...
..
.
.
....
..
.
.
......
.
.......... ..............
........
• • •
• • •
• • •
............................
.....
......
....
...
...
...
...
....
...
...
...
..
...
..
...
..
.
.
....
..
.
.
......
.
.......... ..............
........
• • •
• • •
• • •
..............................
.....................
. .
....... ........... .................. ...
......
.... ..
... ...................
... ...
.
.....
.... .........
. .
...
.... ......
.. ..
... ...
..
.... ..
....
......... ....
.
.. ....
.
.
.
.
. ..
..... ...... ...
... .......
..... ......
............. .........................................
.........................
• • •
• • •
• • •
........................
............. ........................................
......
.. ........
.
... ..
..... .............
.......... ...
... ...
..... ..
.....
..... ...
.........
... ..
... ....
.....
.....
... ......
... ...........
.. ...
.......... ......
... .....
.
.
...... ......
.
.
.......... ........................... ...
........ ....... ..........
..............
..............
... ..... ....
... ... ...
..............................
.
.......
...
... .....
........
... ...
.... ...
... ...
... ..
... ...
.... ......
................
...............
... ...
.. . ..
.. ....
... ..
.
.
... ...
. ....
.
.
.
.......
........
.......
...............................
... .. ..
... ... ...
..............
.......
• • •
• • •
• • •
.............
........ .......
.............. ...........................................
.....
... .......
..... ..............
... ..
......... ..
......
..... ...
..... ..
......
... ..
... ....
......
... .....
.
... .........
......
... ............
... ...
.
.
.
.....
....... ........... .................. ....
.......................
.
.
.
......... ............
........
• • •
• • •
• • •
..............
... ..... ....
... ... ...
..............................
.
.......
...
... .....
........
... ...
.... ...
... ...
... ..
... ...
.... ......
................
...............
... ...
.. . ..
.. ....
... ..
.
.
... ...
. ....
.
.
.
.......
........
.......
...............................
... .. ..
... ... ...
..............
.......
• • •
• • •
• • •
..............
... ..... ....
... ... ...
..............................
.
.......
...
... .....
........
... ...
.... ...
... ...
... ..
... ...
.... .. ....
................
...............
... ...
.. . ..
.. ....
... ..
.
.
... ...
. ....
.
.
.
.......
........
.......
...............................
... .. ..
... ... ...
..............
.......
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
........................
............. .........................................
.. .......
...... .....
... ...
..... ..........
........ ...
... ...
..... ..
.....
..... ...
...
... ..
..... .....
.....
... ......
.
... ......
.....
... ..............
.. ...
....... ......
... ....
.
.
.
.
.
.
...... ...... ..... ..... ..
..........................
.
......... ............
..........
...........
........ ...............
.........................
...... ...... ................ ...
... ..
....... ......
... ...
... .................
.
.....
... .......
......
..... ......
... ...
.
.
......
.
... ...
.
....
.
.
.
......... ..
... ...
..... ...... ...
... .........
..... ......
............... .........................................
.......................
.........
......... ...............
.....
....
....
...
...
...
....
...
.
....
...
...
..
...
.
.
...
.
.
.
.....
.....
......
............................
.........
......... ...............
.....
....
....
...
...
...
....
...
.
....
...
...
..
...
.
.
...
.
.
.
.....
.....
......
............................
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
Abbildung 4.4: Unterschiedliche Wirkung der Polarisationen einer Gravitationswelle
auf einen Ring von Testteilchen.
66
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Mit diesen Polarisationstensoren können wir eine ebene Wellen entweder in zwei
linear polarisierte Wellen
ψµν = (A+ (e+ )µν + A× (e× )µν ) exp (ikα xα )
(4.4.31)
oder in zwei zirkular polarisierte Wellen
ψµν = (AR (eR )µν + AL (eL )µν ) exp (ikα xα )
(4.4.32)
zerlegen. Deren Wirkung auf eine kreisförmige Anordnung von Testteilchen wird in
Abbildung (4.4) veranschaulicht.
4.5
Absorption einer Graviationswelle
In diesem Abschnitt wollen wir die Wirkung einer Gravitationswelle auf ein elastisches
Medium untersuchen. Dabei ist von besonderem Interesse, wo eine Wechselwirkung
stattfindet und womit die Gravitationswelle letztlich wechselwirkt [17]. Unser “Gerüst“
stellt die flache Minkowski-Raumzeit dar mit der Metrik ηµν und der Signatur (− +++).
4.5.1
Bewegungsgleichung des elastischen Körpers
Der elastische Körper, auf den die Gravitationswelle auftreffen soll, wird durch seine
Dichteverteilung ρ(x) und seine 21 unabhängigen elastischen Moduln Cijkl mit den
Symmetrierelationen (4.3.23, 4.3.25) beschrieben.
Die Auslenkung eines Massenelements m am Ort xi , (i = 1, 2, 3) zur Zeit t = x0 ist
gegeben durch
zj (x),
(j = 1, 2, 3).
(4.5.1)
Da wir von relativistischen Geschwindigkeiten absehen wollen, können wir die Bewegung des Körpers durch die gewöhnliche Lagrange-Funktion L = T − V beschreiben.
Der kinetische Teil der Lagrangefunktion läßt sich direkt hinschreiben:
Z
1
T =
ρżj ż j dτ.
(4.5.2)
2
“·“ entspricht dabei der Zeitableitung ∂/∂t und dτ dem Volumenelement dx dy dz. Die
Potentielle Energie V erhalten wir durch Integration und unter Verwendung der Symmetrierelation für die elastischen Moduln Cijkl aus dem elastischen Potential (4.3.17):
Z
Z
1
Cijkl ij kl dτ.
(4.5.3)
V = φdτ =
2
Beschränken wir uns auf den linearen Teil des Deformationstensors ik (x) in (4.3.6), so
vereinfacht sich (4.5.3) aufgrund der Symmetrie von ik zu:
Z
1
Cijkl z i,j z k,l dτ.
(4.5.4)
V =
2
4.5. ABSORPTION EINER GRAVIATIONSWELLE
67
Der zu unserem Körper gehörende Energie-Impuls-Tensor setzt sich aus der Energiedichte T00 , der Impulsdichte T0k und dem Spannungstensor Tik zusammen:
T00 =
1
1
ρżj ż j + Cijkl z i,j z k,l ,
2
2
(4.5.5)
T0k = ρżk ,
(4.5.6)
Tik = −σik = −Cijkl z k,l .
(4.5.7)
Die Beziehung für die Impuls-Erhaltung Tjν,ν = 0 liefert die Bewegungsgleichung für
unseren elastischen Körper:
∂
∂
(ρżj ) =
σik .
∂t
∂xk
(4.5.8)
Sehr wichtig wird die Randbedingung
σjk nk = 0,
(4.5.9)
wobei nk der Normalenvektor auf der Oberfläche des elastischen Körpers ist. Äußere
Kräfte sollen keine vorhanden sein. Die Bewegungsgleichung und die Randbedingung
erhält man auch aus der Variation der Lagrange-Funktion nach dem Verschiebungsvektor zi .
4.5.2
Wechselwirkung Gravitationswelle – Medium
In der linearisierten Gravitationstheorie wird die Wechselwirkung zwischen der Materie
– vertreten durch ihren Energie-Impuls-Tensor Tµν – und dem Gravitationsfeld hµν
durch Hinzufügen eines Terms
1
LW = − hµν Tµν
2
(4.5.10)
in die Lagrange-Funktion beschrieben. Dies haben wir für den Fall der Quantenfeldtheorie in Kapitel (3.3) gezeigt. Unter Verwendung der transversal-spurfreien Eichung
aus dem Abschnitt (4.4.2) reduziert sich (4.5.10) auf die räumlichen Komponenten
1
1
LW = hij Tij = hij σij .
2
2
(4.5.11)
Der zusätzliche Wechselwirkungsterm hat natürlich Auswirkungen sowohl auf die Bewegungsgleichung als auch auf die Randbedingung. Beide Ausdrücke kann man aus der
Variation der Lagrange-Funktion Lges = L + LW nach den zi bestimmen und erhält so
die neue Bewegungsgleichung:
∂
∂
1 mn
m,n
(ρżj ) =
Cjkmn (z
− h )
(4.5.12)
∂t
∂xk
2
68
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
und die neue Randbedingung:
1 mn
k
m,n
n Cjkmn (z
− h ) = 0.
2
(4.5.13)
Betrachten wir wieder einen isotropen elastischen Körper mit den elastischen Moduln
(4.3.26), so erhalten wir aus der Bewegungsgleichung (4.5.12) unter Berücksichtigung
der Spur- und Divergenzfreiheit von hµν (4.4.21,4.4.22)
∂
∂
∂µ jk
∂
ρż j =
λz m,m +
µ(z j,k + z k,j ) −
h
∂t
∂xj
∂xk
∂xk
(4.5.14)
und als Randbedingung
λnj z m,m + µnk z j,k + z k,j − hjk = 0.
(4.5.15)
Als wichtiges Resultat können wir hier festhalten, daß eine Gravitationswelle hjk mit
einem elastischen Körper nur dort wechselwirkt, wo ein Gradient im Scherungsmodul
µ vorhanden ist, wie in (4.5.14) deutlich wird. Auch am Rand des elastischen Körpers
tritt eine Wechselwirkung nur mit µ auf.
4.5.3
Absorption einer ebenen Gravitationswelle
Betrachten wir einen elastischen isotropen Körper mit konstanten Laméschen Moduln,
der den gesamten Halbraum x3 ≥ 0 ausfüllen soll (Normalenvektor ~n zeigt in x3 Richtung), so findet nach (4.5.14) keine Absorption im Innern des Körpers statt und
wir können uns allein auf den Randeffekt konzentrieren. Eine ebene, rechts-zirkular
polarisierte Gravitationswelle
hjk = aRjk exp ik l xl − iωt
(4.5.16)
mit Amplitude a und Wellenvektor k j = ωc [sin ϑ, 0, cos ϑ] laufe nun unter einem Einfallswinkel ϑ aus negativer x3 -Richtung ein.
x1.............
..
..............
........
........
.
...............
.......
........................................
........
........
.........
...............
.......
..
..............
... .
...
...
...................................................................................................
...
.. . .......
.
.
.
.
.
... .......
............
........
..
............
....
.......
......
.......
......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
..
............
.......
..
~n
ϑ
~k
x3
Abbildung 4.5: Gravitationswelle mit Wellenvektor ~k läuft von negativer x3 -Richtung
auf das elastische Medium, welches den gesamten Halbraum x3 ≥ 0 erfüllt, ein.
4.5. ABSORPTION EINER GRAVIATIONSWELLE
69
Der Polarisationstensor Rjk geht aus (4.4.29) durch Drehung um den Winkel ϑ
R = (eR )gedreht = D−1 eR D
(4.5.17)

cos ϑ 0 − sin ϑ

D= 0
1
0
sin ϑ 0 cos ϑ
(4.5.18)
mit der Drehmatrix

hervor. In Komponenten geschrieben lautet R:


cos2 ϑ
i cos ϑ − cos ϑ sin ϑ
1
Rjk = 
i cos ϑ
−1
−i sin ϑ  .
2
− cos ϑ sin ϑ −i sin ϑ
sin2 ϑ
(4.5.19)
Trifft die Gravitationswelle auf den Rand des Mediums (x3 = 0), so löst sie dort eine
Körperwelle aus, die sich in eine longitudinale und eine transversale Welle zerlegen läßt:
z j = ξLj exp (ipn xn − iωL t) + ξTj exp (iq n xn − iωT t)
(4.5.20)
mit den Amplituden ξLj und ξTj und den Wellenzahlen pj und qj . Dabei zeigt die Amplitude ξLj in Richtung von pj ; ξTj ist dagegen senkrecht zu qj .
Wie aus der Brechung einer elektromagnetischen Welle an einem Dielektrikum bekannt ist, muß neben der eigentlichen Randbedingung noch zusätzlich gefordert werden,
daß die Phasen der Wellen zu allen Zeiten t und auf dem ganzen Rand x3 = 0 gleich
sind. Daraus folgt einerseits für die Frequenzen
ω = ωL = ωT
(4.5.21)
und andererseits für die Wellenzahlen
p n = qn = k n
(n = 1, 2).
(4.5.22)
Wellenzahl, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz hängen wie folgt zusammen:
ω2
p pj = 2 ,
clong
j
ω2
q qj = 2 ,
ctrans
j
ω2
k kj = 2 .
c
j
(4.5.23)
Eine plausible Annahme ist, daß sowohl die Ausbreitungsgeschwindigkeit der longitudinalen als auch der transversalen Körperwelle sehr viel kleiner ist als die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Gravitationswelle:
clong , ctrans c.
(4.5.24)
Da aber aufgrund der Beziehung (4.5.22) p1 , p2 , q1 , q2 alle von der Größenordnung ωc
sind, können diese nach Einsetzen in (4.5.23) gegenüber den Komponenten p3 und q3
vernachlässigt werden, die somit
ω
ω
p3 =
und q3 =
(4.5.25)
clong
ctrans
70
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
sind. Die Ausbreitung der Körperwelle ist daher nahezu senkrecht zur Randfläche. Aufgrund der Verhältnisse zwischen den Amplituden der longitudinalen und transversalen
Körperwellen und deren Ausbreitungsrichtung erhalten wir
ξL1 = ξL2 = 0,
und ξT3 = 0.
(4.5.26)
Setzen wir nun die bis hierher gewonnenen Resultate mit dem Ansatz (4.5.20) für
die Körperwelle in die Randbedingung (4.5.15) ein, so erhalten wir als Bestimmungsgleichung für die Amplituden der Wellen
λδj3 z 3,3 + µ z j,3 + z 3,j
⇒
iδj3 (λ + 2µ)
ω
clong
ξL3 + iµ
ω
ctrans
= µh3j
ξTj = aµR3j
(4.5.27)
und daraus mit den Laméschen Moduln (4.3.33)
ctrans
R31
ω
ctrans
= −ia
R32
ω
ξT1 = −ia
ξT2
ξL3
c2trans
= −ia
R33 .
ωclong
Die elastische Welle setzt sich also wie folgt zusammen:
z 1 = ξT1 exp iq3 x3 − iωt
z 2 = ξT2 exp iq3 x3 − iωt
z 3 = ξL3 exp ip3 x3 − iωt
(4.5.28)
(4.5.29)
(4.5.30)
Der durch die Gravitationswelle im Medium induzierte Energiefluß bestimmt sich aus
dem Betrag des Poynting-Vektors aus (4.3.21). Zu beachten ist, daß nun nur der physikalisch relevante Realteil der Welle einen Energieübertrag liefert.
Q = hS3ix3 =0 = h−σi3 viix3 =0
=
µ(z i,3 + z 3,i ) + λδi3 z l,l ż i x3 =0
1 2
ρω ctrans |ξL1 |2 + |ξL2 |2 + ρω 2 clong |ξT3 |2
2
1 3
ctrans
2
2
2
2
=
ρc |a| |R31 | + |R32 | +
|R33 |
2 trans
clong
1 3
ctrans
2
2
2
2
ρc |a| sin ϑ cos ϑ + 1 +
sin ϑ
=
8 trans
clong
=
(4.5.31)
4.5. ABSORPTION EINER GRAVIATIONSWELLE
4.5.4
71
Energiefluß einer Gravitationswelle
Um das Verhältnis zwischen auftreffender und absorbierter Strahlung zu bestimmen,
benötigen wir noch den Energiefluß der Gravitationswelle. Sofern kein Gravitationsfeld
vorhanden ist, gilt für Materie die Energie-Impulserhaltung
Tµν,ν = 0.
Möchte man nun die Energie eines Gravitationsfeldes bestimmen, so muß man sich auf
ein bestimmtes Koordinatensystem festlegen, da sonst das Gravitationsfeld stets lokal
wegtransformierbar ist. Die in diesem System erhaltene Vierer-Impulsgröße [31]
Z
1
µ
P =
(−g) (T µν + tµν ) dSν
c
setzt sich aus dem Energie-Impulstensor T µν der Materie und dem Energie-ImpulsPseudotensor tµν des Gravitationsfeldes zusammen. Der Energiefluß einer ebenen, rechtszirkular polarisierten Gravitationswelle, die sich in z-Richtung ausbreitet
hjk = aeR
jk exp (ikz − iωt) ,
(4.5.32)
ist gegeben durch
F = ct
03
c4
=
32πG
∂h11 ∂h11 ∂h22 ∂h22
∂h12 ∂h12
+
+2
∂z ∂t
∂z ∂t
∂z ∂t
.
Auch hier müssen wir berücksichtigen, daß nur der Realteil der Gravitationswelle zum
Energieflußbeiträgt. Da weiterhin die Gravitationswelle unter einem Winkel ϑ auf das
elastische Medium auftrifft (Abb.4.5), gilt
F =
=
c3 |a|2 ω 2
2
R 2
R 2
(<eR
11 ) + (<e22 ) + 2(<e12 )
32πG
c3 |a|2 ω 2
| cos ϑ|
64πG
R
mit <eR
jk =Realteil von ejk .
Als Ergebnis können wir nun festhalten, daß beim Auftreffen einer Gravitationswelle
in
mit dem Energiefluß F auf ein elastisches, isotropes Medium nur der Anteil = Q
F
elastische Energie umgesetzt wird. Mit (4.5.31) ist gegeben durch:
3 3
Q
8πGρ
ctrans
sin2 ϑ
ctrans
2
2
=
cos ϑ + 1 +
sin ϑ .
(4.5.33)
=
F
ω2
c
| cos ϑ|
clong
Wollen wir einen Gravitationswellendetektor bauen, so bekommen wir gegebenenfalls
auch von dessen anderen Rändern einen Beitrag zur Absorption. Weiterhin könnten
sich durch Überlagerung von gegenläufig induzierten oder reflektierten Wellen stehende
Wellen ausbilden. Auf beides wollen wir nicht eingehen, sondern nur pro forma dem
72
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
elastischen Medium eine Ausdehnung L zuschreiben. Ersetzen wir dessen Dichte ρ
durch seine Masse M und sein Volumen L3 und verwenden die Beziehung ω = 2π λcg ,
so können wir Gleichung (4.5.33) umformen zu:
2 2GM
λg
ctrans 3
=
f (ϑ),
(4.5.34)
c2 L
L
c
mit
1 sin2 ϑ
ctrans
2
2
f (ϑ) =
cos ϑ + 1 +
sin ϑ .
π | cos ϑ|
clong
(4.5.35)
Betrachten wir die Winkelabhängigkeit f (ϑ) der Absorptionsrate , so sehen wir sofort,
daß sie für θ → π2 divergiert.
Fg ...................... ..................
..... .... ........
.
.
....
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.....
.....
.....
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... ............. ...........
.....
.
..........
.. ..
.....
..... .......... ........
.....
.....
..........
.....
......
.....
.
.....
.
.
.
.
.....
.....
.. ..
.....
..... ............. .........
...
. ..
.....
ϑ
dA
Abbildung 4.6: Der von einer Gravitationswelle transportierte mittlere Energiefluß
trifft auf die Fläche dA des Mediums.
Berechnen wir aber die von einem Flächenelement dA absorbierte Energie dE, so
verschwindet der divergente Faktor wieder:
~ = cos ϑ Fg dA.
dE = F~g · dA
Die effektive Absorptionsrate eff ist mit f˜(ϑ) = cos ϑ f (ϑ) also:
2 2GM
λg
ctrans 3 ˜
eff =
f (ϑ).
c2 L
L
c
(4.5.36)
(4.5.37)
Die Funktion f˜(ϑ) (siehe Abb. 4.7) ist durch ihr Maximum an der Stelle π/2 nach oben
beschränkt und kann mit (4.3.34) abgeschätzt werden:
π 1 1 + 2−1/2
c
trans
˜
f
=
1+
≤
.
(4.5.38)
2
π
clong
π
Da die Ausdehnung L des Detektors sicherlich größer sein muß als dessen Schwarz, ist der erste Faktor kleiner Eins. Der Detektor wird für Welschildradius RS = 2GM
c2
lenlängen λg , die größer sind als seine Länge L in Einfallsrichtung, transparent. Weiterhin gibt es keine Konfiguration irgendeiner stabilen Materie, deren transversale Phasengeschwindigkeit ctrans die Lichtgeschwindigkeit c übersteigt. Es gibt folglich keine
stabile Materie, die Gravitationsstrahlung total absorbieren könnte.
4.6. GRAVITOELEKTRISCHER EFFEKT
73
f˜(ϑ) .........
1
........
....
...
...
...
...
...
...
...
....................................
...
..........
...............
...
.........
........
........
........
...
.......
.......
.
.
.
.
.
...
.
.......
.....
.
.
.
.......
.
...
.
....
.......
.
.
.
.
.
...
.
.......
....
.
.
.
.
.......
.
...
.
.
...
................................................................................................................................................................................................................................................................................
....
π
2
ϑ
Abbildung 4.7: Die Winkelabhängigkeit f˜(ϑ) des Absorptionskoeffizienten eff ist stets
kleiner Eins.
4.6
Gravitoelektrischer Effekt
Der gravitoelektrische Effekt ist vom Prinzip her gleich wie der photoelektrische Effekt,
jedoch übernehmen hier jetzt die Gravitonen die Rolle der Photonen.
Trifft ein Graviton auf einen Detektor, der aus lauter Atomen bestehen soll, so
wird dieses mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ein gebundenes Elektron aus einem
Atom herauslösen. Die Absorptionslänge in solch einem Detektor bestimmt sich aus
der Anzahl n der Atome pro Einheitsvolumen und dem Wirkungsquerschnitt σ(λ)abs
für die Wechselwirkung zwischen einem Graviton und einem Atom:
L(λ)abs =
1
nσ(λ)abs
(4.6.1)
Wie verhält sich nun die Absorptionslänge zur Länge des Detektors?
Um die Wechselwirkung zwischen Graviton und Atom zu beschreiben, benötigen
wir den entsprechenden Hamilton-Operator der Wechselwirkung Hint . Wie bereits im
klassischen Fall in Abschnitt (4.5.2) verwenden wir die transversal-spurfreie Eichung
und können so Hint auf die räumlichen Komponenten reduzieren:
Z
Hint = κ d3 x Tij (x)hij (x),
(4.6.2)
mit der Planck-Länge κ. Das Gravitonfeld hij läßt sich in Normalmoden zerlegen
~
X † ij exp ik · ~x − iω~k t
√
hij (~x, t) =
H~k,s e~k,s
+ h.c.
(4.6.3)
V
~
k,s
Summiert wird über ein Volumen V ; e~ij
sind die beiden zu ~k orthogonalen Polarisationsk,s
tensoren. H † ist der Erzeuger eines Gravitons mit Impuls ~k und Polarisation s. Für
~k,s
ihn gilt
†
hN~k,s |H~k,s
|N~k,s
− 1i =
4πh̄cN~k,s
ω~k
1/2
(4.6.4)
74
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
mit N~k,s =Anzahl Teilchen mit Impuls ~k und Polarisation s. Bei der Bestimmung
der räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensor eines n-Teilchen-Systems ist
darauf zu achten, daß Orts- und Impulsoperatoren nicht vertauschen
" (a) (a)
#
(a) (a)
n
p
p
1 X pi pj 3 (a)
i
j
Tij (x) =
δ (x − x) + δ 3 (x − x(a) )
.
(4.6.5)
2 a=1 2m(a)
2m(a)
Terme proportional zu δij wurden vernachlässigt, da hij in (4.6.2) spurfrei ist. Um nun
die Absorptionsrate bestimmen zu können, verwenden wir Fermis Goldene Regel. In
welchen Zustand das angeregte Elektron springt, ist hier nicht von Bedeutung. Gegeben sei lediglich die Dichte ρ(En ) der Endzustände mit der Energie En . Dann ist der
Wirkungsquerschnitt:
σabs (~k) =
4π 2 κ2
| h n|Tij (~k)e~ij
|0i |2 × ρ(En )
k,s
ω~k
(4.6.6)
Als Beispielsystem soll uns hier ein wasserstoffähnliches Atom dienen, dessen Elektron
durch den einfachen Hamiltonoperator
H=
p2
e2
+
2m
r
(4.6.7)
beschrieben werde. Treffen wir noch einige weitere vereinfachende Annahmen:
So soll die Wellenlänge λg des Gravitons sehr viel größer sein als der Bohrsche Radius
a0 , woraus folgt, daß auch der Endzustand des Elektrons eine Wellenlänge besitzt, die
wesentlich größer ist als a0 . Für die Dichte der Endzustände soll gelten, daß ρ(En ) ∼
L3 ke me ist. Die Größe me stellt dabei die Masse und ke ∼ λ−1
final den Impuls des Elektrons
dar. Die Dichte des Detektors sei ρ = nmAtom und mit dem Schwarzschildradius RS =
2GM = 2GρL3 erhalten wir für das Verhältnis R = L/L(λ)abs :
"
4
2 #
me
λ g a0 a
1
a0
RS
0
× α2 +
+2
(4.6.8)
R=
2
L
mAtom
λfinal
L
λg
α
λg
Der Schwarzschildradius RS des Detektors muß sicher kleiner sein als seine Ausdehnung
L. Die Masse des Elektrons me ist natürlich viel kleiner als die Masse eines ganzen
Atoms. Auch der Bohrsche Radius a0 ist sicher kleiner als die Länge des Detektors.
Aus der Impulserhaltung folgt, daß der Impuls des Elektrons im Endzustand nicht
größer sein kann als der Impuls der Gravitationswelle. So gilt: λg < λfinal . Der letzte
1
Faktor in (4.6.8) ist mit der Feinstrukturkonstanten α ≈ 137
und obiger Forderung
a0 λg , kleiner Eins (es genügt bereits das Verhältnis a0 /λg < 0.085).
Grundvoraussetzung für die vollständige Absorption ist, daß die Absorptionslänge
L(λ)abs deutlich kleiner ist als die Länge L des Detektors. Wir haben hier aber gezeigt,
daß das Verhältnis R kleiner als Eins und daher die Absorptionslänge größer als die
Detektorlänge ist. Es ist daher nicht möglich, einen Detektor zu bauen, der die gesamte
Gravitationsstrahlung mittels dieses Effekts absorbieren könnte.
4.7. PHONONEN-ANREGUNG
4.7
75
Phononen-Anregung
Eine weitere Möglichkeit der Absorption von Gravitationsstrahlung ist die Anregung
von Gitterschwingungen, sogenannten Phononen, durch eine Gravitationswelle. Der
Prozess niedrigster Ordnung ist der, bei dem durch Absorption eines Gravitons zwei
Phononen erzeugt werden. Für das Verhältnis R = LLabs (Detektor- zur Absorptionlänge)
erhält man nach Peierls [37]:
3
λC
Ω−ω
ω
RS
,
(4.7.9)
R=
L
L
Ω
ωD
wobei RS = 2GM/c2 der Schwarzschildradius, λC die Compton-Wellenlänge eines
Atoms des Detektors, ωD die Debye-Frequenz, Ω die Frequenz der Gravitationswelle, ω die Frequenz des einen und Ω − ω die Frequenz des anderen Phonons ist. Der
Schwarzschildradius des Detektors muß sicherlich kleiner sein als seine Ausdehnung.
Die Compton-Wellenlänge eines Atoms kann man durch die eines Elektrons abschätzen:
λC,Atom < λC,Elektron =
h̄
≈ 2, 4 · 10−12 m.
me c
(4.7.10)
Bei einem Atomradius von etwa 0, 5Å = 0, 5 · 10−10 m gilt sicherlich λC L. Für ω > 0
ist auch der dritte Faktor in (4.7.9) stets kleiner Eins. Die Debye-Frequenz ωD ist
die Maximalfrequenz, welche sich in einem elastischen Körper ausbreiten kann. Diese
gründet sich darauf, daß sich in einem Gitter keine Schwingungen ausbreiten können,
deren Wellenlänge kleiner ist als die Gitterkonstante. Daher gilt auch (ω/ωD ) ≤ 1. Wie
bereits beim Gravitoelektrischen Effekt und der klassischen Absorption kann man auch
nicht durch Phononenanregung einen Detektor für Gravitationsstrahlung bauen, der
diese vollständig absorbiert.
Vergleichen wir die drei Beziehungen (4.5.37, 4.6.8, 4.7.9) für die Absorptionsverhalten der verschiedenen Detektoren, so fällt der gemeinsame Faktor (RS /L) auf, der
den Schwarzschildradius des Detektors zu dessen Ausdehung in Beziehung setzt. Dieser muß kleiner als Eins sein, da es sich sonst bei allen drei Detektoren um Schwarze
Löcher handelt, die zwar alles absorbieren, jedoch nicht als Detektoren zu gebrauchen
sind.
Die anderen Faktoren sind im wesentlichen Detektor spezifisch oder hängen zusätzlich noch von der Wellenlänge der Gravitationsstrahlung ab. Es ist aber von großer
Bedeutung, daß in allen drei Formeln Faktoren auftreten, die eine vollständige Absorption der Gravitationsstrahlung unmöglich machen.
4.8
Konsequenzen
Da es in naher Zukunft äußerst unwahrscheinlich ist, Gravitonen experimentell direkt
zu beobachten, bleibt es der Theorie überlassen, ein Argument zu finden, weshalb die
76
KAPITEL 4. ABSORPTION VON GRAVITATIONSSTRAHLUNG
Gravitation überhaupt quantisiert werden soll. Ein Argument für eine Quantisierung
könnte dem ähneln, mit welchem die Quantisierung der elektromagnetischen Strahlung
begründet wird. Dieses Argument wollen wir im folgenden kurz darstellen.
Ende des 19.Jhdt. gab es für die Wärmestrahlung des Schwarzen Körpers zwei Modelle, die entweder den niedrigen oder den hohen Frequenzbereich des Spektrums beschreiben konnten. Bekannt war bereits durch Kirchhoff und Wien, daß die spektrale
Energiedichte ων nur eine Funktion der Frequenz ν und der Temperatur T sein konnte:
ν .
ων ≡ f (ν, T ) = ν 3 g
T
Wien gab für den hohen Frequenzbereich eine theoretisch nicht gut begründete Bezie
hung für g Tν an. Den niedrigen Frequenzbereich konnten Rayleigh und Jeans um 1900
mittels des klassischen Gleichverteilungssatzes relativ gut beschreiben. Dieser besagt,
daß im thermodynamischen Gleichgewicht auf jeden Freiheitsgrad der Bewegung die
Energie 12 kB T entfällt, dabei ist kB die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.
Rayleigh und Jeans zerlegten das elektromagnetische Strahlungsfeld eines Hohlraums,
der einen Schwarzen Körper idealisiert, in stehende elektromagnetische Wellen und
zählten ab, wie viele solcher stehenden Wellen in diesen Hohlraum hineinpassen. Ihr
nach der klassischen Theorie exaktes Resultat für die Funktion g ist:
ν 8πk T
B
=
.
g
3
T
c
ν
Dies kann aber nicht die ganze Wahrheit sein. Berechnen wir die gesamte räumliche
Energiedichte, so divergiert diese. Man spricht dann von einer Ultraviolettkatastrophe:
ω=
Z∞
8πkB T
ων dν =
c3
0
Z∞
ν 2 dν → ∞.
0
Planck unternahm daraufhin einen sehr mutigen Schritt: Er ersetzte die tatsächlich
emittierenden und absorbierenden Wandatome durch elektrisch geladene, lineare, harmonische Oszillatoren, die, jeder für sich, eine bestimmte Eigenfrequenz besitzen. Das
elektromagnetische Feld im Hohlraum tauscht mit diesen Oszillatoren so lange Energie
aus, bis sich ein Gleichgewichtszustand ausbildet. Das wirklich revolutionäre daran war
die Erkenntnis, daß die Oszillatoren sich nur in solchen Zuständen befinden können,
deren Energie ganzzahlige Vielfache eines elementaren Energiequants e0 sind. Daher
können sie auch nur gequantelte Energiepakete absorbieren oder emittieren. Planck
zeigte damit, daß die mittlere Energie pro Freiheitsgrad nicht 21 kB T ist, sondern
Ē =
hν
exp( khν
)−1
BT
.
Das Spektrum des Schwarzen Körpers war damit erklärt.
4.8. KONSEQUENZEN
77
Wie wir gesehen haben, kann kein thermodynamisches Gleichgewicht erreicht werden
und so findet in diesem Sinne auch keine Ultraviolettkatastrophe statt. Dann können
wir aber auch nicht auf eine Quantisierung schließen, wie Planck es bei der elektromagnetischen Strahlung machte.
Die Transformation einer beliebigen Form von Energie in Gravitationsstrahlung ist
immer ein irreversibler Prozeß. Wie wir gesehen haben, ist es nicht möglich, die Strahlung wieder vollständig zu absorbieren. Dies hat aber auch Auswirkungen auf die quantenmechanische Beschreibung eines Systems. So gibt es keinen Detektor, der den Quantenzustand eines Gravitationsfeldes bestimmen könnte. Da nicht die ganze Strahlung
absorbiert wird, geht stets ein Teil der Information verloren. Eine Messung kann daher
nicht entscheiden, ob ein reiner oder ein gemischter Zustand vorliegt, sofern beide ein
etwa gleiches Spektrum besitzen. Mit dem Verlust an Information über das System ist
es auch nicht möglich, eine unitäre Zeitentwicklung anzugeben. Das formale Gebäude
der Quantentheorie stürzt zusammen.
Nun muß aber berücksichtig werden, daß wir die obigen Betrachtungen in der linearisierten Allgemeinen Relativitätstheorie geführt haben. Diese kann aber zum Beispiel
für Vorgänge nahe eines Schwarzen Lochs sicher nicht genügen. Es besteht daher die
Möglichkeit, daß in einer vollen nichtlinearen Theorie ein physikalisch realistisches Medium existiert, das auch starke Gravitationsstrahlung vollständig absorbiert.
Anhang A
Klassische Theorie
A.1
A.1.1
Einheiten und Dimensionen
Einheiten
Wir verwenden in den Rechnungen im Kapitel (3) über die Nichtrenormierbarkeit der
ART Einheiten, für die gilt:
h̄ = c = 1.
Mit den Abkürzungen für die Dimensionen
Abkürzung
L
T
E
M
K
Dimension
Länge
Zeit
Energie
Masse
Kraft
erhalten wir für die Lichtgeschwindigkeit
[c] =
L !
=1
T
⇒ L = T.
(A.1.1)
Länge und Zeit besitzen also die gleiche Dimension. Eine Wirkung ist generell das Produkt aus Energie mal Zeit, wobei die Energie unter anderen als Produkt aus Kraft mal
Weg angenommen werden kann. Legt man neben der Dimension der Geschwindigkeit,
auch die Dimension der Wirkung fest, so gilt
!
[h̄] = E · T = K · L · T = K · L2 = 1
⇒ K = L−2
(A.1.2)
Andererseits können wir auch für die Energie die Einsteinbeziehung E = mc2 einsetzen,
dann folgt aus h̄ = c
[c] =
L
L2
=E·T =M · 2 ·T
T
T
78
⇒ L = M −1
(A.1.3)
A.1. EINHEITEN UND DIMENSIONEN
79
Von besonderem Interesse ist die Dimension der Newtonschen Gravitationskonstante,
die wir mit obiger Festlegung über das Newton’sche Kraftgesetz erhalten
!
Newton [F ] = [G] · M 2 L−2 = K = L−2
A.1.2
⇒ [G] = M −2
(A.1.4)
Dimensionen
In SI-Einheiten besitzen die Naturkonstanten die Dimensionen:
[G] =
m3
,
kg · s2
[h̄] = kg ·
m2
s
und [c] =
m
.
s
(A.1.5)
Die von Borzeszkowski und Treder ([57]) aufgestellten Korrespondenzbeziehungen
c2
Γ,
G
√
Q →
GM,
√
q →
Gm,
F →
(A.1.6)
(A.1.7)
(A.1.8)
sind in Hinsicht der Dimensionen nicht ganz korrekt. Betrachten wir die Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse m und der Ladung q in einem elektromagnetischen
Feld [44]:
dpk
dxn
= qF kn
,
dτ
dτ
(A.1.9)
mit dem Feldstärketensor F 0k = − 1c Ek und F kn = −Bm (k, n, m = 1, 2, 3 und zyklisch).
kg
Dann erhalten wir als die Dimension des Feldstärketensors C·s2 . Andererseits erhalten
wir aus der Geodätengleichung
j
k
d2 xk
k dx dx
+ Γij
=0
dτ 2
dτ dτ
(A.1.10)
1
> h̄c (1.2.19)
. Aus der Beziehung q 2 ∼
für die Dimension der Christoffelsymbole [Γ] = m
√
erhalten wir hier als Dimension der Ladung [C] = m
s kg · m. Daraus können wir
schließen, daß die Zuordnungen (A.1.7) und (A.1.8) in Punkto Dimensionen korrekt
sein müssen. Allerdings muß dann die Beziehung (A.1.6) wie folgt lauten:
c
(A.1.11)
F → √ Γ.
G
A.1.3
Planck-Skala
Max Planck fiel bei der Betrachtung der Naturkonstanten h̄, G und c auf, daß bei einer
Kombination dieser drei Größen, sich eine natürliche Skala ergibt. Dabei stellt h̄ das
nach ihm benannte Planck’sche Wirkungsquantum, G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit dar. Ihm zu Ehren wurde sie als Planck-Skala
bezeichnet und beinhaltet folgende Größen:
80
ANHANG A. KLASSISCHE THEORIE
r
Gh̄
' 1.62 × 10−33 cm
c3
r
Lp
Gh̄
Zeit
: Tp ≡
=
' 0.54 × 10−43 sec
5
c
c
r
h̄
h̄c
Masse
: Mp ≡
=
' 2.18 × 10−5 g
cLp
G
r
h̄c5
Energie : Ep ≡
' 1.22 × 1019 GeV
G
Länge
A.2
: Lp ≡
Beschleunigung in der SRT und ART
Wir wollen uns hier eine kurze Herleitung der gleichförmigen Beschleunigung in der Speziellen (SRT) und Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) anschauen. Ausgehend von
der Lorentz-Transformation erhalten wir zunächst die Geschwindigkeitstransformation
und anschließend die sogenannte Eigenbeschleunigung. Im Minkowski-Diagramm stellen sich die Bahnen gleichförmig beschleunigter Beobachter als Hyperbeln dar. Diese
lassen sich mittels Rindlerkoordinaten einfacher beschreiben.
A.2.1
Die Lorentz-Transformation
Der Grundpfeiler der SRT sind die Lorentz-Transformationen (LT), die wir hier der
Einfachheit halber nur in einer räumlichen Dimension behandeln. Dazu betrachten wir
zwei Koordinatensysteme S und S 0 , die sich relativ mit der Geschwindigkeit v bewegen.
...
S 0.................
...
S ................
..
..
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
...
.
........................................... ....
...
..
...
..................................................................................
.
....................................................................................
v
x
x0
Abbildung A.1: Das Koordinatensystem S 0 bewege sich relativ zum System S mit
der Geschwindigkeit v entlang der gemeinsamen x-Richtung.
Die Koordinaten des Systems S 0 ergeben sich nun aus denen des Systems S mittels den
Lorentz-Transformationen
x0 = γ (x − vt) ,
vx t0 = γ t − 2
c
(A.2.1)
(A.2.2)
A.2. BESCHLEUNIGUNG IN DER SRT UND ART
mit γ = √ 1
1−β 2
81
und β = vc . Die Umkehrtransformationen von (A.2.1) und (A.2.2) erge-
ben sich einfach daraus, daß man gestrichene und ungestrichene Variablen vertauscht
und das Vorzeichen von v umkehrt.
A.2.2
Geschwindigkeitstransformation
Welche Geschwindigkeit u = dx
mißt nun ein Beobachter im System S, wenn sich ein
dt
0
bezüglich des Systems S 0 bewegt?
Teilchen mit der Geschwindigkeit u0 = dx
dt0
Aus den totalen Differentialen der Transformation S 0 → S:
v
dx = γ (dx0 + v dt0 )
und
dt = γ dt0 + 2 dx0
(A.2.3)
c
erhalten wir:
dx
dx0 + v dt0
u0 + v
= 0 v 0 =
(A.2.4)
u=
0 .
dt
dt + c2 dx
1 + vu
c2
Die Geschwindigkeiten werden also nicht einfach nur addiert, wie es der Alltagserfahrung entspricht, sondern es tritt zusätzlich ein Faktor auf, der garantiert, daß c die
maximal mögliche Geschwindigkeit ist.
A.2.3
Beschleunigungen
Der nächste Schritt ist die Transformation von Beschleunigungen. Dies ist nicht mehr
ganz so einfach, da beschleunigte Bezugssysteme nicht mehr gleichberechtigt sind, wie
man sich anhand des Zwillingsparadoxons überlegen kann.
Der Trick ist nun, daß wir uns zu jedem Zeitpunkt ein sich parallel zu S 0 bewegendes
System S 00 denken, welches sich eben zu diesem Zeitpunkt mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt wie S 0 . Wir führen dann eine LT zwischen S und S 00 aus, wobei jetzt
v = const die Geschwindigkeit des Systems S 00 bezüglich des Ausgangssystems S darstellt. Das totale Differential der Geschwindigkeitstransformation (A.2.4) ist:
du =
du00
u00 + v v 00
1
−
du
=
00
2
00
2
1 + uc2v
1 + uc2v c
γ(v)2 1 +
du
u00 v 2
c2
00
00
.
(A.2.5)
Weiterhin betrachten wir nur den Ursprung von S 00 , so daß u = 0 und v = u gilt und
daher aus (A.2.5) du = γ(u)−2 du00 folgt.
00
des Systems S 0 bezogen auf dessen momentanes
Mit der Eigenbeschleunigung α = du
dt00
dt
Ruhsystem S 00 und der Zeittransformation dt00 = γ(u)
folgt:
du = γ(u)−3 α dt
(A.2.6)
bzw.
du
,
(A.2.7)
dt
wobei u die Geschwindigkeit des beschleunigten Systems S 0 bezüglich des Systems S
angibt.
α = γ(u)3
82
A.2.4
ANHANG A. KLASSISCHE THEORIE
Gleichförmige Beschleunigung
Ein wichtiger Spezialfall ist die gleichförmige Beschleunigung, bei der α = const > 0
ist. Um die Bahnkurve des Teilchens im System S zu bestimmen, müssen wir zweimal
integrieren, was wir leicht durch Trennung der Variablen tun können. Im ersten Schritt
erhalten wir so
α
Zt
t0 =0
dt0 =
Zu
u0 =0
du0
=⇒
3
u0 2 2
1−
αt =
u
1−
c2
u2
c2
12 .
Da α = const > 0 ist, haben t und u dasselbe Vorzeichen. Auflösen nach u ergibt
u=
dx
αt
= ±q
,
dt
α2 t2
1+
c2
wobei aufgrund der Vorzeichens die negative Lösung entfällt. Mit x(t0 ) = x0 folgt:
r
c2
α2 t2 c2
x − x0 =
1+ 2 −
α
c
α
oder nach kurzer Umformung:
x − x0 +
c2 2
c2
α
2
−
α
(ct)2
= 1.
c2 2
α
Diese Gleichung stellt eine Hyperbel dar, weshalb wir hier auch von hyperbolischer Bewegung sprechen. Um das Besondere dieser Bewegung anschaulich darzustellen, wählen
2
wir den Punkt x0 entsprechend der Beschleunigung: x0 = cα wodurch sich (A.2.8) vereinfacht zu:
x2 − (ct)2 =
c4
.
α2
(A.2.8)
2
Aufgrund der speziellen Wahl x0 = cα befinden sich alle Hyperbeln in den Bereichen
x ≥ |ct| oder x ≤ −|ct|. Die Geraden ct = x und ct = −x nennt man Horizonte.
A.2.5
Rindler-Koordinaten
Die Hyperbeln aus Abbildung (A.2) lassen sich auch anders beschreiben. Betrachten
wir hierzu folgende Koordinatentransformation, wobei ab jetzt stets c = 1 gelten soll
und a = const einen beliebigen Parameter darstellt:
x = ρ cosh(aτ ),
t = ρ sinh(aτ ).
(A.2.9)
A.2. BESCHLEUNIGUNG IN DER SRT UND ART
ct
83
.....
..
.....
..
.....
..........
..... .....
. .
..... ..
..... ........
....
..... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... ....
.... ....
....
... ..
.. ...
... .....
...
..... .....
...
...
...
..
.
..
...
..... ...
... .....
...
.....
.
..
...
...
..
.....
..
.
.
.
.
...
..... ... .....
...
...
.. ... ..
..
..
..................................................................................
..
...
.. ..
.....
...
..
.....
..
...
..
..
.....
...
...
.....
.
...
..
..
.....
.
.
..... ....
... .....
..
..
.
...
..... ......
... ...
.. ...
... ....
.
.
..... .....
... .......
.
.
.. .....
.
..
..... .......
..... ..
.. ..
..... .....
.....
.
.
..
.....
α>0
x
α<0
Abbildung A.2: Orbits konstanter Beschleunigung im Minkowski-Diagramm entsprechen Hyperbeln. Im Gebiete (III) (siehe Abb.A.3) ist die Zeitrichtung umgedreht, weshalb die Beschleunigung α kleiner Null ist.
.....
..
.....
..
ct..............
.....
..
.....
..
.....
..
II
.....
..
.....
..
.....
..
III
..
.....
.
.....
..
.....
..
.....
..
....
....
..
.....
....
.
.
...
.
....
..
..
...
....
...
..
.
.
.
...
.
.
...
..
.....
...
...
..
....
...
..
...
.....
...
... .......
. ..
.
..... .. .....
..............................................................................................
..
.....
..... .......
.....
..
.....
..
.....
..
.....
..
.....
..
.....
..
.....
..
.....
..
....
..
.....
..
.....
..
....
.....
..
..
.....
I
x
IV
Abbildung A.3: Die Horizonte von beschleunigten Beobachtern teilen die MinkowskiRaumzeit in vier Bereiche auf. Der Bereich (I) ist die eigentliche Rindler-Raumzeit, die
in (A.2.5) behandelt wird. (III) erhält man durch Spiegelung von (I) an der ct-Achse
und Vorzeichenwechsel in den Transformationen (A.2.9). Die Eigenzeit τ läuft hier
entgegen der Minkowskizeit t.
Daraus erhalten wir sofort
x2 − t2 = ρ2 .
(A.2.10)
Der direkte Vergleich mit der Relation (A.2.8) erlaubt, 1/ρ als Eigenbeschleunigung
aufzufassen. Bilden wir die totalen Differentiale
dx = cosh(aτ ) dρ + aρ sinh(aτ ) dτ,
(A.2.11)
dt = sinh(aτ ) dρ + aρ cosh(aτ ) dτ
(A.2.12)
und setzen diese in das Minkowski-Linienelement ds2 = −dt2 + dx2 ein, so gilt
ds2 = dρ2 − (aρ)2 dτ 2
(A.2.13)
84
ANHANG A. KLASSISCHE THEORIE
und wir erkennen sofort, daß aρτ die Eigenzeit des Beobachters S 0 entlang einer Hyperbel ρ = const darstellt.
Der Vorteil gegenüber der bisherigen impliziten Darstellung ist, daß Hyperbeln nun
durch die Eigenzeit und die Eigenbeschleunigung parametrisiert werden. Punkte gleicher Eigenzeit entsprechen Ursprungsgeraden, denn mit τ = const ist
t
= tanh(aτ ) = const.
x
(A.2.14)
Die Koeffizienten der Rindler-Metrik (A.2.13) sind unabhängig von τ . Es existiert
daher ein zeitartiges Killingfeld K = ∂τ = a (x∂t + t∂x ) mit K 2 = −(aρ)2 . Für a = 1/ρ
stimmt die Killingzeit mit der Eigenzeit des beschleunigten Beobachters überein.
A.3
Oberflächengravitation
Wir wollen uns den Begriff der Oberflächengravitation am Beispiel eines Kerr-NewmanSchwarzloches klarmachen.
A.3.1
Kerr-Newman-Metrik
Die Metrik eines Kerr-Newman-Schwarzloches lautet mit der Signatur (− + ++) zu
[59]:
∆ − a2 sin2 θ
2a sin2 θ (r2 + a2 − ∆)
2
2
ds = −
dt −
dtdφ
Σ
Σ
2
(r + a2 )2 − ∆ a2 sin2 θ
Σ
+
sin2 θ dφ2 + dr2 + Σdθ2 ,
Σ
∆
mit Σ = r2 +a2 cos2 θ und ∆ = r2 +a2 +Q2 −2M r. M ist die Masse des Schwarzen Lochs,
Q die Ladung und a der Drehimpuls je Masseneinheit. Die Gravitationskonstante ist
hier gleich Eins gesetzt.
Da die Metrik-Koeffizienten unabhängig von den Koordinaten t und φ sind, existieren Killing-Vektorfelder
a
a
∂
∂
a
a
und ψ =
.
ξ =
∂t
∂φ
Das Schwarze
Loch ist also stationär und axialsymmetrisch. Auf dem Horizont (r+ =
p
2
M + M − Q2 − a2 ) sind die Killing-Felder ξ a und ψ a raumartig:
a2 sin2 θ
ξ ξa (r+ ) = gtt (r+ ) =
> 0 und
2M r+ − Q2 − a2 sin2 θ
2
2 2
r
+
a
ψ a ψa (r+ ) = gφφ (r+ ) = 2 + 2
sin2 θ > 0.
r+ + a cos2 θ
a
A.3. OBERFLÄCHENGRAVITATION
85
Die Linearkombination, ebenso ein Killing-Vektorfeld, ist auf r+ jedoch lichtartig:
χa = ξ a + ΩH ψ a ,
(A.3.1)
mit χa χa (r+ ) = (gtt + 2ΩH gtφ + Ω2H gφφ ) (r+ ) = 0 und der Koordinaten-Winkelgea
schwindigkeit ΩH = r2 +a
2 auf dem Horizont.
+
A.3.2
Nullhyperflächen
Sei S(x) eine glatte Funktion, dann stellt S(x) = const eine Familie von Hyperflächen
dar [63]. Vektorfelder senkrecht zu den Hyperflächen sind gegeben durch:
l = f (x) (∂ µ S) ∂µ
(A.3.2)
mit beliebiger, von Null verschiedener Funktion f (x). Ist l nullartig, also l2 = 0, für
eine spezielle Hyperfläche N , dann nennt man N eine Null-Hyperfläche.
Im Fall der Kerr-Newman-Metrik haben die Normalenvektoren zu den Hyperflächen
p
S = r − r+ = r − M − M 2 − a2 − Q2 = const
(A.3.3)
die Norm
l2 = f 2 g µν ∂µ S ∂ν S = f 2
Der Horizont bei r = r+ = M +
r2 + a2 + Q2 − 2M r
.
r2 + a2 cos2 θ
(A.3.4)
p
M 2 − a2 − Q2 ist also eine Null-Hyperfläche.
Ein Tangentenvektor t an N ist charakterisiert durch die Bedingung (t, l) = 0. Dann
ist aber auch l selbst ein Tangentenvektor.
A.3.3
Oberflächengravitation
Das Killing-Feld auf dem Horizont ist gegeben durch die Linearkombination (A.3.1).
Da χa χa (r+ ) = 0, ist χa ein Nullvektor auf dem Horizont; nun ist aber der Horizont
eine Nullfläche, und folglich ist χa sowohl tangential als auch orthogonal zum Horizont.
Weiterhin stellt χa χa = const eine Familie von Hyperflächen mit dem Normalenvek
torfeld ∇a χb χb dar, die den Horizont mit beinhaltet und so gibt es folglich auf dem
Horizont eine Funktion κ, so daß gilt:
∇a χb χb = −2κχa .
(A.3.5)
Da χa orthogonal zum Horizont ist, also orthogonal zu einer Hyperfläche, gilt nach
dem Satz von Frobenius, der eine Existenzaussage über hyperflächenorthogonale Vektorfelder macht, die Beziehung
χ[a∇b χc ] = 0
86
ANHANG A. KLASSISCHE THEORIE
und nach Einbeziehen der Killing-Gleichung ∇( b χc ) = 0 und Kontraktion mit ∇a χb
erhält man eine explizite Form für die Oberflächengravitation
κ2 = −
1
∇a χb (∇a χb )H .
2
(A.3.6)
Für ein Kerr-Newman-Schwarzloch ergibt sich
p
M 2 − a2 − Q2
h
i
κ=
.
p
2M M + M 2 − a2 − Q2 − Q2
Setzt man a = 0 und Q = 0, so erhält man den Schwarzschild-Fall (Gravitationskonstante wieder mit einbezogen):
κ=
GM
1
= 2
4GM
R0
(A.3.7)
mit R0 =Schwarzschildradius. Man erkennt hier das Newtonsche Gravitationsgesetz
wieder, woraus sich die Bedeutung von κ als Oberflächengravitation ableitet.
A.4
Kruskal-Koordinaten
Die Schwarzschild-Koordinaten haben den Nachteil, daß sie neben der Krümmungssingularität bei r = 0 auch noch eine Koordinatensingularität beim Schwarzschildhorizont
rS = 2GM aufweisen. Eine günstigere Wahl sind die Kruskal-Koordinaten. Dazu führen
r
wir zunächst die Schildkröten-Koordinate r∗ = r+2GM ln | 2GM
−1| ein. Damit schreibt
sich das Schwarzschildlinienelement
2GM
2
ds = − 1 −
dt2 − dr∗2 + r2 dΩ2 .
(A.4.1)
r
Der Vorteil hierbei ist, daß sich radiale Lichtstrahlen wie auf der flachen Raumzeit
bewegen, da dt = ±dr∗ . Die eigentlichen Kruskal-Koordinaten (X, T ) ergeben sich
dann aus folgender Transformation:
r t
∗
X = exp
cosh
,
(A.4.2)
4GM
4GM
r t
∗
T = exp
sinh
.
(A.4.3)
4GM
4GM
Die inverse Transformation lautet:
X 2 − T 2 = exp
T
X
r ∗
,
2GM
(A.4.4)
t
.
4GM
(A.4.5)
= tanh
A.4. KRUSKAL-KOORDINATEN
87
Abbildung A.4: Die Schwarzschild-Raumzeit läßt sich mit Kruskal-Koordinaten bis
zur Krümmungssingularität bei r = 0 darstellen [59].
Eine meist günstigere Darstellung der Kruskal-Raumzeit ist die Penrose-Darstellung.
In dieser läßt sich die komplette Raumzeit mit all ihren Rändern darstellen:
Abbildung A.5: Durch eine konforme Transformation läßt sich die komplette KruskalRaumzeit darstellen [28, 35].
Anhang B
Quanten-Theorie
B.1
Zeitabhängige Potentiale
Betrachten wir den zeitabängigen Hamilton-Operator H(t) = H0 + V (t) , wobei H0 das
ungestörte Problem beschreibt und V (t) klein sein soll gegenüber H0 . Für V (t) = 0 sei
H0 |n i = En |n i
(B.1.1)
vollständig gelöst. Die Frage ist nun, wie sich ein beliebiger Zustand |α i =
P
cn (0)|n i
n
unter dem Einfluß des Potentials V entwickelt. Seine zeitliche Entwicklung ist gegeben
durch:
X
iEn t
cn (t)e− h̄ |n i ,
|α, ti =
(B.1.2)
n
wobei die Koeffizienten cn (t) nur von der Störung V (t) herrühren sollen.
Das Problem läßt sich am einfachsten im Dirac-Bild berechnen, dabei werden die
Zustände und Operatoren umdefiniert zu:
|α, tiI := e
VI := e
iH0 t
h̄
iH0 t
h̄
|α, tiS ,
V e−
iH0 t
h̄
.
Die Schrödingergleichung im Dirac-Bild reduziert sich auf:
ih̄
∂
|α, tiI = VI |α, tiI
∂t
(B.1.3)
und ein Zustand geht über in:
|α, tiI =
X
cm (t)|m i .
(B.1.4)
m
Multiplizieren wir die Schrödingergleichung (B.1.3) mit dem bra-Zustand hn| und fügen
P
die Identität
|m i hm| = 1I auf der rechten Seite ein, so erhalten wir eine gekoppelte
m
88
B.1. ZEITABHÄNGIGE POTENTIALE
89
Differentialgleichung für die Koeffizienten cn (t):
X
d
ih̄ cn (t) =
Vnm eiωnm t cm (t),
dt
m
(B.1.5)
m
mit ωnm = En −E
und Vnm = hn|V (t)|m i.
h̄
Da exakte Lösungen meist nicht erhältlich sind, nähern wir cn (t) durch eine Störungsentwicklung an:
(1)
(2)
cn (t) = c(0)
n + cn + cn + . . . .
(B.1.6)
An Stelle der direkten Berechnung der cn (t), läßt sich auch zuerst der Zeitentwicklungsoperator U im Dirac-Bild in eine Störungsreihe entwickeln und dann daraus die cn (t)
bestimmen. Dabei ist UI definiert durch
|α, ti = UI |α, t0 i .
(B.1.7)
Setzen wir dies in die Schrödingergleichung (B.1.3) ein, so erhalten wir:
d
UI (t, t0 ) = VI (t)UI (t, t0 )
(B.1.8)
dt
und mit der Anfangsbedingung UI (t0 , t0 ) = 1I folgt durch Iteration die Dyson-Reihe:
ih̄
UI (t, t0 ) = 1 −
i
h̄
Zt
dt0 VI (t0 ) + −
t0
i
h̄
2 Z t
t0
dt0
Zt0
dt00 VI (t0 )VI (t00 ) + . . . .
(B.1.9)
t0
UI kann man so bis zu jeder endlichen Ordnung entwickeln, allerdings ist die Konvergenz nicht gesichert.
Sei nun UI (t, t0 ) gegeben und der Anfangszustand des Systems |i i sei ein Linearkombination der Eigenfunktionen |n i des ungestörten Systems. Dann gilt
X
X
|i, tiI = UI (t, 0) |i i =
|n i hn|UI (t, 0) |i i =
cn (t)|n i .
(B.1.10)
n
n
Weiterhin ist
hn|UI (t, t0 ) |i i = ei
En t−Ei t0
h̄
hn|U (t, t0 ) |i i ,
(B.1.11)
wobei die Übergangsamplitude dem Ausdruck hn|U |i i entspricht. Da aber die Übergangswahrscheinlichkeit das Betragsquadrat davon ist, spielt es keine Rolle, daß der
Zeitentwicklungsoperator im Dirac-Bild vorliegt.
Entwickelt man auch hier cn (t) = hn|UI (t, t0 ) |i i, so liefert der Vergleich mit obiger
Entwicklung
c(0)
n (t) = δni ,
i
c(1)
n (t) = −
h̄
Zt
t0
i
hn|VI (t0 )|i i dt0 = −
h̄
Zt
t0
0
eiωni t Vni (t0 )dt0 .
90
ANHANG B. QUANTEN-THEORIE
Damit ist die Übergangswahrscheinlichkeit P für n 6= i:
(2)
2
P (i → n) = |c(1)
n (t) + cn (t) + . . . | .
Betrachten wir nun den Fall der konstanten Störung die zur Zeit t = 0 eingeschaltet
wird:
0
für t < 0
V (t) =
.
V = const für t ≥ 0
Zur Zeit t0 = 0 sei nur der Eigenzustand |i i des ungestörten Systems besetzt. Dann
gilt:
c(0)
= c(0)
n
n (0) = δni ,
c(1)
n
i
= i Vni
h̄
Zt
0
eiωni t dt0 =
0
⇒
2
|c(1)
n |
4|Vni |2
sin2
=
|En − Ei |2
Vni
1 − eiωni t ,
En − Ei
(En − Ei )t
2h̄
.
Wenn nun die Energieniveaus etwa von der Größenordnung E ≈ En sind, dann können
wir von einem Kontinuum sprechen, das aus Zuständen fast gleicher Energie besteht.
(1)
Mit h̄ω ≡ En − Ei ≈ E − Ei verhält sich |cn |2 ∼
4 sin2
ω2
ωt
2
=: f (ω, t).
...
.........
...
.
.......
....... .. ......
.... ... ........
.
.
...
...
....
.
...
.
...
...
...
...
...
...
...
.
..
.
.
...
..
..
.
.
...
..
..
...
.
.
...
.
..
...
.
.
.
.
....... ... ... ......
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.... .....
..
... .......
.
.
.........
..
......
.
.. ...
.
..
.....
.
.
....
...
..
.....
.........
. . . . .... . . . . . .
.
.
.
.
. .............
......... . .
..
.
.
... . ....
.
. ....
.
..... ... . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ... ......
..... ...... . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.........................
.......................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................................................................
t2
− 2πt
2π
t
Abbildung B.1: Die Übergangswahrscheinlichkeit aus einem Niveau mit der Energie
Ei in ein Niveau der Energie E überzugehen ist proportional zur Funktion f (ω, t). Mit
zunehmender Zeit wird die “Glocke“ bei ω = 0 schmaler und rasch höher.
Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Anfangszustand |i i der Energie Ei in
einen Zustand der Energie E überzugehen, hängt ganz wesentlich von der Energiedifferenz der beiden Zustände ab. Weiterhin werden mit zunehmender Zeit hauptsächlich
solche Übergänge stattfinden, deren Energiedifferenz kleiner als 2πh̄/t ist. Wichtig ist
hier noch, daß auch bei beliebig kleinen Potentialen Übergänge stattfinden.
Literaturverzeichnis
[1] Y. Aharonov and D. Bohm. Time in the Quantum Theory and the Uncertainty
Relation for Time and Energy. Phys.Rev., 122(5):1649–1658, June 1961.
[2] D. Ahluwalia. Quantum measurement, gravitation and locality. gr-qc/9308007,
1993.
[3] A. Ashtekar and R. Geroch. Quantum theory of gravitation. Rep. Prog. Phys.,
37:1211–1256, 1974.
[4] A. Ashtekar and J. Stachel. Conceptual Problems of Quantum Gravity, volume 2.
Birkhäuser, 1988.
[5] I. Asimov. Das Wissen unserer Welt. Goldmann Verlag, 1991.
[6] N. Birrell and P. Davies. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge University
Press, 1982.
[7] N. Bohr. The quantum postulate and the recent development of atomic theory.
Nature, 121:580–590, 1928.
[8] N. Bohr and L. Rosenfeld. Zur Frage der Messbarkeit der elektromagnetischen
Feldgrößen. Mat.-fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 12(8), 1933.
[9] N. Bohr and L. Rosenfeld. On the Question of the Measurability of Electromagnetic
Field Quantities, chapter IV.2, pages 479–534. Princeton University Press, J.A.
Wheeler and W.H. Zurek edition, 1983.
[10] T. H. Boyer. Das Vakuum aus moderner Sicht, volume Teilchen, Materie,..., pages
64–73. Spektrum der Wissenschaft, 1985.
[11] S. Deser and P. Nieuwenhuizen. Uniqueness and Nonrenormalizability of Quantum
Gravitation. In Shaviv and Rosen, editors, General Relativity and Gravitation,
pages 1–18. Wiley, 1975.
[12] S. C. Deutsch. Quantum field theory, horizons and thermodynamics. Adv. Phys.,
30(3):327–366, 1981.
91
92
LITERATURVERZEICHNIS
[13] B. S. DeWitt. Quantum Theory of Gravity. III. Applications of the Covariant
Theory. Phzs. Rev., 162(5):1239ff, 1967.
[14] B. S. DeWitt. The Formal Structure of Quantum Gravity. In M. Lévy and S. Deser,
editors, Recent Developments in Gravitation, pages 275–322. Plenum Press, 1978.
[15] B. S. DeWitt. Quantum gravity. Scientific American, Dezember 1983.
[16] M. Duff. Covariant quantization. In Isham, Penrose, and Sciama, editors, Quantum
Gravity - an Oxford Symposium, pages 78–135. Clarendon Press, 1975.
[17] F. Dyson. Seismic response of the earth to a gravitational wave in the 1-hz band.
Astrophys. Journal, 156:529–540, May 1969.
[18] A. Einstein, B. Podolski, and N. Rosen. Can quantum-mechanical description of
physical reality be considered complete? Phys.Rev., 47:777ff, 1935.
[19] Ellis et al. Search for quantum gravity. gr-qc/9905048, 1999.
[20] L. Ford. Quantum Field Theory in Curved Spacetime. In J. Barata, editor, 9th
Jorge André Swieca Summer School on Particles and Fields, pages 345–388, 1998.
[21] S. Hawking. Particle Creation by Black Holes. Comm. math. Phys, 43:199–220,
1975.
[22] S. Hawking and G. Ellis. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge
University Press, 1973.
[23] C. J. Isham. Prima Facie Questions in Quantum Gravity. In J. Ehlers und
H. Friedrich, editor, Canonical Gravity: From Classical to Quantum, pages 1–21.
Springer Verlag, 1993.
[24] C. J. Isham, R. Penrose, and D. W. Sciama. Quantum Gravity 2: A Second Oxford
Symposium. Oxford University Press, 1981.
[25] Iyer, Mukunda, and Vishveshwara. Gravitation, Gauge Theories and the Early
Universe. Kluwer, 1989.
[26] J. Jackson. Classical Electrodynamics. Wiley, 3 edition, 1999.
[27] T. Jacobson.
Introductory Lectures of Black Hole Thermodynamics.
http://www.glue.umd.edu/∼tajac, 1996.
[28] C. Kiefer.
Thermodynamics of Black Holes and Hawking Radiation.
http://idefix.physik.uni-freiburg.de/gravitation.
[29] C. Kiefer. Quanteneigenschaften Schwarzer Löcher.
28(1):22–30, 1997.
Physik in unserer Zeit,
LITERATURVERZEICHNIS
93
[30] M. Kruskal. Maximal Extension of Schwarzschild Metric. Phys. Rev., 119(5):1743–
1745, September 1960.
[31] Landau and Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik: II Klassische Mechanik.
Akademie Verlag, 12 edition, 1992.
[32] L. D. Landau and E. Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik: III Quantenmechanik. Akademie Verlag, 9 edition, 1986.
[33] L. D. Landau and R. Peierls. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips für die
relativistische Quantentheorie. Z. Phys., 69:56ff, 1931.
[34] L. D. Landau and R. Peierls. Extension of the Uncertainty Principle to Relativistic
Quantum Theory, chapter IV.1, pages 465–476. Princeton University Press, J.A.
Wheeler and W.H. Zurek edition, 1983. Original in Z.Phys. 69:56ff, 1931.
[35] C. Misner, K. Thorne, and J. Wheeler. Gravitation. Freeman, 1973.
[36] T. Padmanabhan. Conceptual issues in combining general relativity and quantum
theory. hep-th/9812018, 1998.
[37] R. Peierls. Quantum Theory of Solids. Oxford University Press, 1955.
[38] A. Peres and N. Rosen. Quantum limitations on the measurement of gravitational
fields. Phys.Rev., 118(1):335–336, April 1960.
[39] M. E. Peskin and D. V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory.
Perseus Books, 1 edition, 1995.
[40] S. Pokorski. Gauge Field Theories. Cambridge University Press, 2 edition, 2000.
[41] W. Rindler. Kruskal space and the uniformly accelerated frame. Am.J.Phys.,
34:1174–1178, June 1966.
[42] C. Rovelli. Quantum spacetime: what do we know? gr-qc/9903045, March 1999.
[43] C. Rovelli. Notes for a brief history of quantum gravity. gr-qc/0006061, June
2000.
[44] H. Ruder. Die Spezielle Relativitätstheorie. vieweg studium, 1993.
[45] J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Addison Wesley, 1994.
[46] J. Schwinger. The Theory of Quantized Fields. I. Phys.Rev., 82:914ff., 1951.
[47] L. Smolin. The thermodynamics of gravitational radiation.
16(3):205–210, 1984.
Gen.Rel.Grav.,
94
LITERATURVERZEICHNIS
[48] L. Smolin. On the intrinsic entropy of the gravitational field. Gen.Rel.Grav,
17(5):417–437, 1985.
[49] H. Stephani and G. Kluge. Theoretische Mechanik: Punkt- und Kontinuumsmechanik. Spektrum, 1995.
[50] G. ’t Hooft. An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional
regularization procedure. Nucl. Phys., B62:444–460, 1973.
[51] G. ’t Hooft. Quantum Gravity: A Fundamental Problem and Some Radical Ideas.
In M. Lévy and S. Deser, editors, Recent Developments in Gravitation, pages 323–
346. Plenum Press, 1978.
[52] G. ’t Hooft and M. Veltman. One-loop divergencies in the theory of gravitation.
Ann. Inst. Henri Poincaré, 20(1):69–94, 1974.
[53] T.Padmanabhan. Limitations on the operational definition of spacetime events
and quantum gravity. Class.Quantum Grav., 4:L107–L113, January 1987.
[54] W. Unruh. Notes on black-hole evaporation. Phys.Rev.D, 14(4):870–892, August
1976.
[55] W. Unruh and R. Wald. What happens when an accelerated observer detects a
Rindler particle. Phys.Rev.D, 29(6):1047–1056, March 1984.
[56] M. Veltman. Quantum theory of gravitation. In R. Balian and J. Zinn-Justin,
editors, Methods in Field-Theory, pages 265–327. Les Houches (XXVIII), 1975.
[57] H. von Borzeszkowski and H. Treder. The Meaning of Quantum Gravity. D.Reidel
Publishing Company, 1988.
[58] H. von Borzeszkowski, Michael B. Mensky. EPR effect in gravitational fields:
nature of non-locality. Phys.Lett.A, 269:197–203, 2000.
[59] R. M. Wald. General Relativity. The University of Chicago Press, 1984.
[60] R. M. Wald. Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics. The University of Chicage Press, 1994.
[61] D. Wallace. The Quantization of Gravity — An Introduction. gr-qc/0004005,
2000.
[62] S. Weinberg. The Quantum Theory of Massless Particles. In S. Deser and K. Ford,
editors, Lectures on Particles and Field Theory, volume 2, pages 405–485. PrenticeHall, 1965.
[63] A. Wipf. Quantum fields near black holes. hep-th/9801025, 1998.