Vielteilchentheorie der Festkörper

Vielteilchentheorie der Festkörper
Prof. Dr. habil. Wolf Gero Schmidt
Dr. Uwe Gerstmann
Datum: 30. September 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
1.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Zeitabhängige Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Interpretation der Propagatoren
2.1 Begriffe in der Vielteilchenphysik . . . . .
2.2 “Drunken man“ propagator . . . . . . . .
2.3 Quasiteilchenpropagator . . . . . . . . . .
2.3.1 klassische Quasiteilchen . . . . . .
2.3.2 Quantenmechanische Quasiteilchen
2.3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . .
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3
3
4
7
14
14
16
21
21
24
28
3 Feldoperatoren
30
3.1 Besetzungszahlformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Operatoren im Besetzungszahlformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Vielteilchen-Greenfunktion
42
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Polstellen der Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Fundamentales Gleichungssystem
53
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
59
6.1 Hedins GW-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Bethe - Salpeter- Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Numerische GW-Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
1.1 Definition und Darstellung
Es gelte:
{H(r) − E}ψ(r) = 0
(1.1)
mit H...hermitschem Operator
dann ist die zugehörige Greenfunktion definiert durch
{H(r) − E}G(r, r0 ; E) = −δ(r − r0 )
(1.2)
wobei G(r, r0 ; E) und ψ(r) denselben Randbedingungen genügen.
Darstellung mittels Eigenvektoren und Eigenwerten von H:
{H(r) − En }ψn (r) = 0
(H ist hierbei hermitesch)
⇒ {ψn } bilden dabei ein VONS.
⇒ können {ψn } als Basis zur Darstellung von G benutzen
Ansatz:
G(r, r0 ; E) =
X
Gn,n0 ψn (r)ψn∗ 0 (r0 )
n,n0
einsetzen in Definitionsgleichung (1.2) ergibt:
{H(r) − E} G(r, r0 ; E)
X
Gn,n0 {H(r) − E}ψn (r)ψn∗ 0 (r0 )
=
n,n0
=
X
Gn,n0 {En − E}ψn (r)ψn∗ 0 (r0 )
n,n0
!
= δ(r − r0 )
=
|{z}
Vollständigkeit
von{ψn }
⇒ Gn,n0 =
δnn0
.
E − En
−
X
n
ψn (r)ψn∗ (r0 )
(1.3)
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
Wobei abermals die Vollständigkeit von {ψn } vorausgesetzt wird. Dies führt zur Darstellung der Greenschen Funktion:
⇒ Gn,n0 =
⇒ G(r, r0 ; E) =
δn,n0
.
E − En
X ψn (r)ψn ∗ (r0 )
n
E − En
Nutzen der Greenfunktion? Der Nutzen der Greenfunktion liegt u.a. in einer einfachen Vorschrift zur Berechnung der Lösung des inhomogenen Problems
{H(r) − E}ψ(r) = f (r)
(1.4)
falls die Greenfunktion des homogenen Problems (1.2) bekannt ist, gilt
Z
ψ(r) = − f (r0 )G(r, r0 ; E)dr0 .
Beweis:
(1.5)
Die Anwendung von {H − E} von links ergibt:
Z
{H(r) − E}ψ(r) = −
{H(r) − E}G(r, r0 ; E) f (r0 )dr0
{z
}
|
−δ(r−r0 )
Z
=
f (r0 )δ(r − r0 )dr0
= f (r)
D.h.wenn die Greenfunktion für die homogene Gleichung bekannt ist, erhält man mit
geringer Mühe die Lösung einer beliebigen inhomogenen Gleichung.
1.2 Störungstheorie
Nun lassen wir einen kleinen Störterm V (r) zu und suchen die Lösung von
{H(r) − E + V (r)}ψ(r) = 0.
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4
Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
D.h. im Sinne von Abschn. 1.1 ist die Inhomogenität jetzt durch f (r) = −V (r)ψ(r)
gegeben.
Sei ψ0 die Lösung des ungestörten Problems (1.1) mit Greenfunktion G(r, r0 ; E), dann
ist
Z
ψ(r) = ψ0 (r) + G(r, r0 ; E)V (r0 )ψ(r0 )dr0
(*)
die Lösung des durch V (r0 ) gestörten Problems.
Beweis: Anwendung von {H(r) − E} von links liefert:
Z
{H(r) − E}ψ(r) = {H(r) − E}ψ0 (r) −
{z
}
|
=0
{H(r) − E}G(r, r0 ; E) V (r0 )ψ(r0 )dr0
{z
}
|
−δ(r−r0 )
= −V (r)ψ(r)
Die Lösung der Integralgleichung (*) kann durch Iteration erfolgen:
ψ = ψ0 (r)
Z
G(r, r0 ; E)V (r0 )ψ0 (r0 )dr0
Z
G(r, r0 ; E)V (r0 )ψ1 (r0 )dr0
ψ1 = ψ0 (r) +
ψ2 = ψ0 (r) +
Z
= ψ0 (r) + G(r, r0 ; E)V (r0 )ψ0 (r0 )dr0
|
{z
}
ψ1
ZZ
+
G(r, r0 ; E)V (r0 )G(r0 , r00 ; E)V (r00 )ψ0 (r00 )dr0 dr00 .
Eine kompaktere Darstellung erhalten wir durch Diskretisierung:
r → rn
,
rn+1 − rn = δ
V (r) → {V (r1 ), V (r2 ), V (r3 ), · · · } . . . Vektor.
Entsprechend wird G(r, r0 ; E) zur Matrix. Somit ändert sich auch die Darstellung von
(*) und vereinfacht sich zu:
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
Z
G(r, r0 ; E)V (r0 )dr0
−→
GV.
|{z}
Anwendung einer
Matrix auf Vektor
Wir haben nun eine kompakte Darstellung der iterativen Lösung für ψ.
Im Folgenden wird das direkte Produkt zwischen V und ψ0 benötigt:
ψ = ψ0 + GV ψ0 + GV GV ψ + GV GV GV ψ + . . .
= ψ0 + GV [ψ0 + GV ψ0 + GV GV ψ + · · · ]
{z
}
|
ψ
ψ = ψ0 + GV ψ
Dyson-Gleichung für ψ
(1.6)
Somit kann man sich durch iteratives Lösen der Gleichung (1.6) ψ nähern.
Greenfunktion des gestörten Problems: Wir kennen die Greenfunktion des ungestörten
Problems aus (1.1), dargestellt in Matrixschreibweise:
{E − H(r)}G0 (r, r0 ; E) = 1
1...Einheitsmatrix.
und suchen Greenfunktion die
{E − H(r) − V (r)} G(r, r0 ; E) = δ(r − r0 )
erfüllt. In Matrixschreibweise ausgedrückt bedeutet dies:
{E · 1 − H − V )}G = 1.
Die Lösung hierfür ist gegeben mittels
G = G0 + G0 V G.
Beweis:
Dyson-Gleichung für G
(1.7)
Anwendung von {E · 1 − H} von links auf (1.7) :
{E · 1 − H}G = {E · 1 − H}G0
|
{z
}
1
+ {E · 1 − H}G0 V G
|
{z
}
1
= VG+1
⇒ {E1 − H − V }G = 1
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
iterative Lösung:
G0 = G0
G1 = G0 + G0 V G0
G2 = G0 + G0 V G1
= G0 + G0 V G0 +G0 V G0 V G0
|
{z
}
G1
..
.
. = ..
1.3 Zeitabhängige Greenfunktion
Die zeitabhängige Schrödingergleichung
∂
− H(r)} ψ(r, t) = 0
∂t
). Die zugehörige Greenfunktion ist
hat die formale Lösung ψ(r, t) = ψ(r) exp(− iEt
h̄
definiert durch
{ih̄
∂
− H(r)}G(r, r0 ; t, t0 ) = h̄δ(r − r0 )δ(t − t0 ),
∂t
falls H = H(r), also zeitunabhängig, dann hängt G nur von t − t0 = τ ab, dann kann
die Greenfunktion als Fouriertransformation dargestellt werden:
{ih̄
Z
iEτ
1
G(r, r ; τ ) =
G(r, r0 ; E)e− h̄ dE
2π
Z
iEτ
1 X
e− h̄
∗ 0
=
ψn (r)ψn (r )
dE.
2π n
E − En
0
Für die Fouriertransformation muß folgendes Integral ausgewertet werden:
1
2π
Z
∞
−∞
iE
e− h̄ τ
dE.
E − En
(1.8)
Da (1.8) aber Singularitäten aufweist, ist eine einfache Auswertung nicht möglich. Aus
diesem Grund verlegen wir die Polstelle in die komplexe Ebene.
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
1
2π
iE
e− h̄ τ
dE
E − En + iδ
Z
Wir integrieren in der komplexen Ebene:
Z
Z ∞
Z
X
Residuensatz
=
+
=
2π
Res(n)
γ
−∞
γ0
n
|{z}
=0
für τ > 0 weil in
unteren Halbebene
iE
e− h̄ τ →0
wobei die Integrationswege γ und γ0 die Form
γ=
γ0 =
.
haben.
Damit kann das Integral unter Ausnutzung des Residuensatzes gelöst werden:
Z
−∞
+∞
iE
(E − En + iδ)e− h̄ τ
= 2πi lim
E→(En −iδ)
E − En + iδ
= 2πie−
En −iδ
τ
h̄
· θ(τ )
Für τ < 0 legt man das Integral in die obere Halbebene, dort gibt es keine Polstelle
und dementsprechend verschwindet das Integral.
⇒ Definieren zwei neue Greenfunktionen. Die erste bezeichnen wir als retardierte Greenfunktion GR :
=
X ψn (r)ψ ∗ (r0 )
n
E
−
E
n + iδ
n
FT
←−−
GR (r, r0 ; E)
GR (r, r0 ; t − t0 )
=
( P
En −iδ
0
−i ψn (r)ψn∗ (r0 )e−i( h̄ )(t−t )
0
für t > t0
für t < t0
Die zweite Funktion nennen wir avancierte Greenfunktion GA :
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
X ψn (r)ψn (r0 )
E − En − iδ
n
=
FT
←−−
GA (r, r0 ; E)
0
A
0
G (r, r ; t − t )
(P
=
ψn (r)ψn∗ (r0 )e−i(
En +iδ
h̄
)(t−t0 )
0
für t < t0
für t > t0
Warum interessant? Angenommen wir kennen die Eigenfunktion unseres Systems bei
(r’,t’), dann erhalten wir die Lösung bei (r,t) aus:
Z
ψ(r, t) = iGR (r, r0 ; t − t0 )ψ(r0 , t0 )dr0
Beweis: erfolgt durch Einsetzen:
Z X
En −iδ
0
ψ(r, t) =
ψn (r)ψn∗ (r0 )e−i( h̄ )(t−t ) ψ(r0 , t0 )dr0
n
0
0
entwickeln ψ(r , t ) nach den stationären Lösungen:
X
iEm t0
ψ(r0 , t0 ) =
αm e− h̄
m
und setzen ein:
ψ(r, t) =
Z X
ψn (r)ψn∗ (r0 )e−i(
En −iδ
h̄
0
t
)(t−t0 ) α ψ (r0 )e− iEm
h̄
dr0
m m
n,m
Z
dr
0
ψn∗ (r0 )ψm (r0 )
e|
m
|
{z
i(En −Em )t0
h̄
}
δnm
{z
=1
für
n=m
−δ(t−t0 )
} e| {z }
δ→0
αm ψn (r)e
− iEh̄n t
←−−
=
X
=1
Bem.:
• Die Eigenschaft die Zeitentwicklung eines Zustands aus der zeitabhängigen Greenfunktion zu erhalten, motiviert den Begriff Propagator
• Greenfunktion hat Pole bei den Eigenwerten des Systems
0
G(r, r ; E) =
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X ψn (r)ψ ∗ (r0 )
n
E − En
Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
• Zusammenhang mit Dichtematrix
ρ(r, r0 ; E) =
X
ψn (r)ψn∗ (r0 )δ(E − En )
n
gilt
n
o
n X ψ (r)ψ ∗ (r0 ) o
n
n
.
Im GA (r, r0 ; E) = Im
E − En − iδ
Erinnerung an die Funktionentheorie:
Z
Z
Z
dxf (x)
dxf (x)
= CH
∓ iπ dxf (x)δ(x)
x ± iδ
x
(mit CH als Cauchyschem Hauptwert)
damit folgt
1
Im{GA (r, r0 ; E)}
π
1
ρ(r, r0 ; E) =
Im{GA (r, r0 ; E) − GR (r, r0 ; E)}
2π
ρ(r, r0 ; E) =
• Zusammenhang mit Erwartungswerten eines Operators, betrachten wir Ô(r)
Sp
lim
0
t →t
r→r0
=
=
=
h
Ô(r)G(r, r0 , t − t0 )
h
lim Sp Ô(r)
t0 →t
r→r0
X
i
iEn
0
ψn (r)ψn∗ (r0 )e− h̄ (t−t )
i
n
lim Sp
r→r0
X
ψn∗ (r0 )Ô(r)ψn (r)
n
XZ
ψn∗ (r0 )Ô(r)ψn (r)dr
n
=
X
< n|Ô|n >
n
Bsp.: Freies Teilchen
Eigenvektoren und Eigenwerte sind bekannt, es gilt
1 ~
ψK (~r) = √ eik~r
Ω
mit kontinuierlichem Index k , d.h.
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,
Ek =
h̄2 k 2
2m
Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
X ψn (~r)ψ ∗ (~r0 )
n
E − En + iδ
n
Z
0
~
eik(~r−~r )
Ω
3~
=
dk
2 2
(2π)3
E − h̄2mk + iδ
Zπ
Z2π Z∞
0
~
Ω
eik|~r−~r |·cos θ
2
=
sin θdθ dφ k dk
2 2
(2π)3
E − h̄ k + iδ
GR (~r, r~0 ; E) =
0
0
0
2m
Dabei wird das Koordinatensystem so gewählt, daß ~ez ||(~r − ~r0 ) mit x = |~r − ~r0 | egibt.
Diese Substitution ergibt:
Ω
=
(2π)2
Z
k 2 dk
Z
E−
h̄2 k2
2m
+ iδ
π
sin θdθeikx cos θ
|0
}
π{z
ikx
−ikx
ikx
cos
θ
− e ikx = e −e
ikx
0
Unter Ausdehnung der Integrationsgebiete kann man schreiben
Z∞
Ω
=
(2π)2 ix
Z
q
2m(E+iδ)
h̄2
|
E−
h̄2 k2
2m
+ iδ
{z
}
|
kdkeikx
q 2m(E+iδ)
−k
+k
h̄2
{z
}
∞
2m
h̄2
k · dk · eikx
I
eine Polstelle 1. Ordnung in der unteren komplexen Ebene.
Erinnerung an den Residuensatz:
I
X
f = 2πi
Resa f
a
c
mit Residuen für Polstellen 1. Ordnung gegeben durch Resa f = limz→a (z − a)f (z).
Damit hier
keikx
I = 2πi lim −
= −iπeiκ·x
k→κ
κ+k
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
mit κ =
q
2m(E+iδ)
.
h̄2
Dies ergibt insgesamt die retardierte Greenfunktion in der Form
2m
Ω
· 2 · (−i)π · eiκ
2
4π ix h̄
0
die sich mit x = |r − r | wie folgt darstellen läßt:
√
i 2m(E+iδ)|r−r0 |
Ωm e
GR (r, r0 ; E) = −
|r − r0 |
2πh̄2
.
GR =
(1.9)
Bem.:
• Über die Greenfunktion läßt sich auch die Zustandsdichte bestimmen
1
lim Im{GR (r, r0 ; E)}
π r→r0
sin( 2mE
x)
Ωm
h̄2
lim
=
2
x
2π 2 h̄ x→0
3/2 √
Ωm
E
= √
2π 2 h̄3
D(r, E) = −
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Zustandsdichte hängt nicht vom Ort ab und ist wurzelförmig, d.h. entspricht unseren Erwartungen an freies Teilchen
• Zusammenhang mit Elektrodynamik? Betrachten
GR (r, r0 ; E = 0) ∼ −
1
4π|r − r0 |
Offensichtlich ist dies die Greenfunktion zur Laplace-Gleichung, das heißt sie erfüllt
4r GR (r, r0 ; E = 0) = −δ(r − r0 ).
Damit ist die Lösung des Poissonproblems
4U (r) = −4πρ(r)
(1.13)
ebenfalls bekannt und U (r) kann über die Greensche Funktion als
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Vielteilchentheorie
1 Greenfunktion der Einteilchen-Schrödingergleichung
Z
U (r) = −
G(r, r0 ; 0) 4πρ(r0 )dr0
| {z }
1
− 4π|r−r
0|
Z
=
ρ(r0 )
dr0
|r − r0 |
dargestellt werden, das heißt daß wir damit ein elektrostatisches Potential in quellenmäßiger Darstellung erhalten.
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Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
2.1 Begriffe in der Vielteilchenphysik
Oft ist es zielführend ein System stark wechselwirkender Teilchen in ein System schwach
wechselwirkender oder entkoppelter fiktiver Teilchen zu überführen.
Einfaches Beispiel: Zwei Massen mit Feder verbunden
Die Massen vollführen im Gravitationsfeld beliebig komplizierte Bewegungen.
Diese können aufgespalten werden in Schwerpunktsbewegung + Bewegung um den Schwerpunkt.
D.h. wir haben die reale Bewegung realer Körper m1 und m2 transformiert in eine fiktive
Bewegung eines “Schwerpunktskörpers” mit m1 +m2 und eines “Körpers mit reduzierter
Masse” m1 · m2 /(m1 + m2 )
In der Vielteilchenphysik spricht man in diesem Zusammenhang von Quasiteilchen.
Reale Teilchen in wechselwirkenden Vielteilchensystemen sind von einer Wolke von
“gestörten” Nachbarteilchen umgeben. Zusammen bilden sie das sogenannte Quasiteilchen.
Die Eigenschaften des Quasiteilchens können von denen des realen Teilchens abweichen.
Quasiteilchen können endliche Lebensdauer haben.
Bsp.: Elektrolyt aus positiven und negativen Ionen (siehe Abb. 2.1)
Jedes reales Teilchen bildet:
1. den “Kern” eines Quasiteilchens und ist
2. “Mitglied” einer Abschirmwolke
⇒ Quasiteilchenkonzept macht nur Sinn, wenn man sich auf wenige Quasiteilchen beschränkt
⇒ Definieren Quasiteilchen im Rahmen eines Experiments, bei dem ein Extrateilchen
zum System hinzugefügt wird und man dann die Bewegung dieses Extrateilchens
2 Interpretation der Propagatoren
Abb. 2.1: Elektrolyt aus positiven und negativen Ionen
im System betrachtet:
irgendwann wird das Quasiteilchen durch Streuprozesse seinen Impuls ändern.
⇒ endliche Lebensdauer
⇒ Infolge der Abschirmwolke hat das Quasiteilchen im Vergleich zum realen Teilchen
eine “effektive” oder “renormierte” Masse
⇒ Das Quasiteilchen hat auch eine andere Energie
p2
p2
Eqp = 2m
∗ , Ebare = 2m
Die Energiedifferenz Eqp − Ebare = Eself wird als Selbstenergie des Quasiteilchens bezeichnet.
Beispiele
• Effektive Massen von Elektronen in Halbleitern.
Hier übernehmen die ortsfesten Ionen die Rolle der Abschirmwolke
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15
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
• Austausch- und Korrelationslöcher um Elektronen im Metall, das heißt im Elektronengas.
• Quasiteilcheneigenschaften sind oft von größerem Interesse als die Eigenschaften
des tatsächlichen Teilchens.
2.2 “Drunken man“ propagator
Abb. 2.2: “drunken man“ Propagator
(Einführung in Feynman-Diagramme)
“The drunken man” (siehe Abb.2.2) verläßt eine Party am Punkt (1) und will nach
Hause (2).
Unterwegs besteht die Möglichkeit der Einkehr in:
Alice’s Bar (A)
Bardot Bar (B)
Club Six (C).
Alternative Endpunkte sind die Apartments seiner Freunde (3), (4), u.s.w.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P (2, 1), daß er nach Hause findet.
=
b Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Wege von (1) nach (2) unter
Einschluß aller möglichen Wahrscheinlichkeiten mit diversen Bars.
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Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
P (2, 1) =
+
+
+
+
P0 (2, 1)... direkter Heimweg, freie Propagation
P0 (A, 1)P (A)P0 (2, 1)... einfache Einkehr in (A)
P0 (B, 1)P (B)P0 (2, B)... einfache Einkehr in (B)
P0 (A, 1)P (A)P0 (B, A)P (B)P0 (2, B)... Einkehr in (A) und (B)
···
Wir übersetzen die Reihe in eine graphische Darstellung, entsprechend der Notation:
Wahrscheinlichkeit
der
Propagation von (1) nach
(2)
P (2, 1)
Wahrscheinlichkeit
freien Propagation
(1) nach (2)
P0 (s, r)
der
von
Wahrscheinlichkeit
der
Wechselwirkung mit X
P (X)
damit ergibt sich:
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Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Die Reihe kann approximiert werden, indem man die wichtigsten Typen von Wechselwirkungen aufsummiert. Das bezeichnet man als partielle Summation.
Annahme: Unser Klient hat eine besondere Affinität zu Alive’s Bar, dann
entspricht: P (2, 1) ≈
+
+
sei: P0 (2, 1) =
=
P0 (2, 1) + P0 (A, 1)P (A)P0 (2, A)
P0 (A, 1)P (A)P0 (A, A)P (A)P0 (2, A)
···
P0 (2, A) = P0 (A, 1) = P0 (A, A)
c
damit: P (2, 1) = c + c2 P (A) + c3 P 2 (A) + · · ·
= c{1 + cP (A) + c2 P 2 (A) + · · · }.
Wir wollen nun die geometrische Reihe in cP (A) ausnutzen:
o
1
1
=
.
P (2, 1) = c
1 − cP (A)
1/c − P (A)
Analog dazu in der diagrammatischen Darstellung:
n
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18
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Bem.:
Partielle Summation ist besonders hilfreich bei starken Wechselwirkungen
Anwendung:
Auf Elektronengas
Elektron tritt in System ein
t = ta
t = tb > ta
Elekton “verschiebt” ein “Systemelektron”,
erzeugt somit ein Loch
t = tc > tb
Alle drei Teilchen (einschließlich Loch) bewegen sich durch das System
t = td > tc
Wechselwirkung der zwei Elektronen “verschiebt” Elektron wieder
Extraelektron verläßt das System
t = te > td
Diagrammatische Übersetzung:
freier Elektronenpropagator
(r1 , t1 ) → (r2 , t2 )
Lochpropagator
Teilchen bei r1 wechsel(r1 , t1 ) → (r2 , t2 )
wirkt mit Teilchen bei r2
Loch ' Teilchen, das sich
zur Zeit t
rückwärts in der Zeit bewegt
Dies liefert:
“Teilchen - Loch - Paar - Blase”
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19
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Das Teilstück
wird als Selbstenergieterm bezeichnet, es zeigt das Teilchen mit
sich selbst wechselwirken vermittels eines Elekton-Loch-Paares, welches es im Vielteilchensystem erzeugt hat.
Eine andere Möglichkeit der Wechselwirkung ist ein Impulsübertrag analog zum BilliardballExperiment :
t = ta
Elektron tritt in das System ein
t = tb > ta
Elektron bei r wechselwirkt mit Elektron bei r0 ,
tauschen Zustände
t = tc > tb
Extrateilchen verläßt das
System
In der diagrammatischen Darstellung sieht es wie folgt aus:
Insgesamt sind beliebig viele Prozesse denkbar, wir schreiben:
Am Zeitpunkt t = t0 können zusätzlich zum eigentlichen Extrateilchen noch beliebig
viele durch dieses Teilchen angeregte Teilchen und Löcher existieren.
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20
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Bsp.:
Partielle Integration
Später wird dies als Hartree-Fock-Approximation bezeichnet
2.3 Quasiteilchenpropagator
2.3.1 klassische Quasiteilchen
Betrachten wir nun ein klassisches Vielteilchensystem:
Bewegung eines Teilchens unter
Einwirkung einer konstanten
externen Kraft F vom Startpunkt
r1 .
Ohne Kollision erfolgt die freie Propagation durch:
1F
(t2 − t1 )2
2m
Infolge der Wechselwirkungen mit dem anderen Teilchen sind nur Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich, daher definieren wir den klass. Propagator als P (r2 , r1 ; t2 , t1 )
r2 − r1 =
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21
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
∼
= Wahrscheinlichkeitsdichte (im Ortsraum), daß ein ursprünglich im Ruhezustand bei
r1 zur Zeit t1 zum System hinzugefügtes Teilchen zum Zeitpunkt t2 bei r2 ist.
Für t2 < t1 definieren wir
P (r2 , r1 ; t2 , t1 ) = 0
für
t2 < t1 .
Für freie Propagation ergibt sich der freie Propagator:
1F
P0 (r2 , r1 ; t2 , t1 ) = δ (r2 − r1 ) −
(t2 − t1 )2 .
2m
Das ist entsprechend einer Fläche der Newton’ schen Bewegung eines Teilchens unter
Krafteinfluß. Infolge der Wechselwirkung mit dem anderen Teilchen wird die Bewegung
verzögert sein
m → m∗ > m
mit m∗ als Quasiteilchenmasse
und es sind zusätzlich nur Wahrscheinlichkeitsaussagen über Aufenthalt im Ortsraum
möglich:
1 F
(t2 − t1 )2 .
∗
2m
Mit < r2 − r1 >als Quasiteilchenkoordinate, dort ist P maximal.
< r2 − r1 >=
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22
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
⇒ Bewegung verzögert, Wahrscheinlichkeit läuft breit.
Oft fällt die Wahrscheinlichkeit exponentiell, d.h.
Pmax (r2 , r1 ; t2 , t1 ) ∼ e−(t2 −t1 )/τ ,
dann entspricht τ der Quasiteilchenlebensdauer.
Die Berechnung von P geschieht durch die Einführung von Streuwahrscheinlichkeiten
mit den anderen Teilchen im System (vergleiche Abschn.2.2)
(r1 → rA ), (Streuung an A) , (rA → r2 )
= P0 (rA , r1 ) P (A) P0 (r2 , rA ).
P
Wir müssen über alle Pfade summieren und erhalten dann den Ausdruck:
P (r2 , r1 ; t2 − t1 ) = P0 (r2 , r1 ; t2 − t1 ) +
Zt2
dtA P0 (rA , r1 ; tA − t1 )P (A)P0 (r2 , rA ; t2 − tA ) +
+
t1
Z
+
|
ZZ
Z
dtB +
{z
dtc + · · · +
}
|
Streuzentren
ZZZ
+··· +
{z
+···.
}
M ehrf achsteuung
In diagramatischer Darstellung wäre dies dann:
Die Auswertung der Faltungsintegrale wird durch die Fouriertransformation in die
Frequenzdomäne erleichtert. Hierfür schreiben wir:
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23
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
1
P0 (rj , ri ; tj − ti ) =
2π
Z∞
dωe−iω(tj −ti ) P0 (rj , ri ; ω),
−∞
dann gilt
Z∞
dtA P0 (rA , r1 ; tA − t1 )P (A)P0 (r2 , rA ; t2 − t1 )
−∞
Z∞
=
o
n 1 Z∞
dω 0 e−iω(tA −t1 ) P0 (rA , r1 ; ω 0 ) × · · ·
dtA
2π
−∞
−∞
n 1 Z∞
o
· · · × P (A) ×
dωe−iω(t2 −tA ) P0 (r2 , rA ; ω 0 ) ×
2π
−∞
Z
Z
1
dω dω 0 P0 (rA , r1 ; ω 0 )P (A) ×
=
(2π)2
Z∞
0
i(ω 0 t1 −ωt2 )
×P0 (r2 , rA ; ω)e
dtA eitA (ω −ω)
−∞
|
1
=
2π
Z
{z
2πδ(ω 0 −ω)
}
dωe−iω(t2 −t1 ) P0 (rA , r1 ; ω)P (A)P0 (r2 , rA ; ω)
Durch die Fouriertransformation in den Frequenzraum werden aus den Faltungsintegralen Produkte. Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck zu:
P (r2 , r1 ; ω) = P0 (r2 , r1 ; ω) + P0 (rA , r1 ; ω)P (A)P0 (r2 , rA ; ω) + · · · .
2.3.2 Quantenmechanische Quasiteilchen
Wir führen einen Quantenpropagator G ein, er entspricht einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit durch
|G|2 = G∗ G
gegeben. Für den klassischen Fall können wir die Wahrscheinlichkeiten (d.h. Pfade)
summieren:
P (2, 1)class. = P (A) + P (B) + P (C) + · · · .
Jetzt kommt es zu Interferenzeffekten
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24
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
G(2, 1) = G(A) + G(B) + · · ·
P (2, 1)qm = G∗ G
= |G(A)|2 + |G(B)|2
| {z } | {z }
P (A)
∗
P (B)
+ G(A) G(B) + G(B)∗ G(A) + · · ·
|
{z
}
Interf erenzterme
Bsp.: Abregung eines Atoms durch Photonemission. Möglich ist ein direkter Übergang
i → f oder ein Übergang in einen Zwischenzustand m : i → m → f .
Es gilt dabei P (i → f ) = A∗ A
=
=
+
+
|A(i → f ) + A(i → m → f )|2
|A(i → f )|2 + |A(i → m → f )|2
A∗ (i → f )A(i → m → f ) +
A∗ (i → m → f )A(i → f )
mit A · · · als Wahrscheinlichkeitsamplitude.
Definieren den Quanten-Propagator durch
iG(r2 , r1 ; t2 − t1 )t2 >t1 = iGR (r2 , r1 ; t2 − t1 )
= Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, daß sich ein zum Zeitpunkt t1 bei r1 ,
während sich das System im Grundzustand befand, hinzugefügtes Teilchen bei
t2 am Ort r2 befindet.
Bem.:
• Bei Systemen identischer Teilchen wird es sich nicht notwendigerweise um dasselbe
Teilchen handeln
• Anstelle von Ortseigenzuständen können wir mit beliebigen Einteilchenzuständen
Φk (r) operieren:
iGR (k2 , k1 ; t2 − t1 ) = Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, das Teilchen welches bei
t1 in Φk1 (r) hinzufügt wird, zur Zeit t2 in Φk2 (r) ist.
• Für t2 ≤ t1 gelte
iGR (k2 , k1 ; t2 − t1 ) = 0
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25
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Bsp.:
Freies Teilchen
H = H0 = −
h̄2 52
2m
1
Φk (r) = √ eikr
Ω
;
h̄2 k 2
2m
k =
Gesucht ist der freie Propagator GR
0
bei t = t1 gilt ψ(r, t1 ) = Φk1 (r).
Nach zeitabhängiger Schrödingergleichung gilt für t = t2
ψ(r, t2 ) = Φk1 (r)e−
ik1
(t2 −t1 )
h̄
.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Teilchen in Φk2 ist, ist durch die Projektion
gegeben:
Z
Z
i
∗
− h̄k1 (t2 −t1 )
drΦ∗k2 (r)Φk1 (r) .
drψ(r, t2 )Φk2 (r) = e
|
{z
}
δk1k2
Damit :
−
GR
0 (k2 , k1 ; t2 − t1 ) = −i Θ(t2 − t1 ) e
| {z }
ik2
(t2 −t1 )
h̄
δk2k1 .
Stuf enf unktion
Mit der Definition
−
GR
0 (k; t2 − t1 ) = −iΘ(t2 − t1 )e
ik
h̄
(t2 −t1 )
folgt
GR
0 (k2 , k1 ; t2 − t1 ) = δk2
R
k1 G0 (k1 ; t2
− t1 ).
Dieses Ergebnis wird Fouriertransformiert
GR
0 (k, w)
Z∞
= −i
dτ Θ(τ )e−
ik τ
h̄
eiωτ
−∞
k
ei(ω− h̄ )τ ∞
= −
ω − h̄k 0
1
=
ω−
k
k
h̄
−
ei(ω− h̄ )∞
ω − h̄k
| {z }
nicht definiert,
Ausdruck oszillliert
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26
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
Modifizieren deshalb GR :
−i(k −iδ)τ /h̄
GR
0 (k, τ ) = −iΘ(τ )e
mit infinitesimalem δ,es folgt:
GR
0 (k, ω)
=
k
ω−
δ
ei(ω− h̄ +i h̄ )∞
−
ω − h̄k + i h̄δ
+ i h̄δ
{z
}
|
1
k
h̄
→0
d.h.
GR
0 (k, ω) =
1
ω−
k
h̄
+
iδ
h̄
.
Erinnern wir uns an Abschn. 1.3. Dort wurde die Greensche Funktion entsprechend
definiert:
X ψn (r)ψ ∗ (r0 )
n
.
E
−
E
+
iδ
n
n
GR (r, r0 ; E) =
D.h. der Propagator des freien Teilchens scheint ein Spezialfall der früher eingeführten
Greenfunktion zu sein.
Beweis: Schrödinger Gleichung für freies Teilchen definiert G0 :
h̄2 ∇2
∂
+i
G0 (r, r0 ; t − t0 ) = −δ(r − r0 )δ(t − t0 )
{z
}
2m
∂t |
Z
1
ik(r−r0 )
0
0
dke
G0 (k; t − t0 )
G0 (r − r ; t − t ) =
(2π)3
Z
n h̄2 ∇2
∂ o ik(r−r0 )
1
dk −
+i
e
G0 (k; t − t0 )
3
(2π)
2m
∂t
= −δ(r − r0 ) δ(t − t0 )
| {z }
Z
1
0
dkeik(r−r )
3
(2π)
−h̄2 ∇2
∂
⇒
+i
G(k; t − t0 )
= −δ(t − t0 )
| {z }
2m
∂t
0)
G0 (k;t−t0 )=iΘ(t−t0 )e−ik (t−t
(d.h. setzen jetzt den oben berechneten Propagator ein)
nach Produktregel
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27
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
h̄2 ∇2
∂
0
0
−
+i
(Θ(t − t )) · e−ik (t−t )
2m
∂t
∂ −ik (t−t0 ) o
0
+ iΘ(t − t )i e
= −δ(t − t0 )
∂t
|
{z
}
n
2
2
∇
k G0 = h̄2m
G0
damit verbleibt
e−ik (t−t )
∂
Θ(t − t0 ) = −δ(t − t0 )
|∂t {z
}
|
{z
0
δ(t−t0 )
}
−δ(t−t0 )
(es gilt f (x)δ(x) = f (0)δ(x))
D.h. der intuitiv eingeführte Propagator ist tatsächlich die hier zuständige Greenfunktion!
2.3.3 Zusammenfassung
Der Quantenpropagator des freien Teilchens ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude für:
(k1 , t1 ) → (k̃, t2 )
t2 > t1
GR
0 (k̃, k; τ = t2 − t1 )
−iΘ(τ )e−i(k −iδ)τ /h̄
{z
}
|
=
Z
m i
−
e
2πh̄2 x
q
2m(E+iδ)
x
h̄2
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GR
0 (k, E) =
1
E−
h̄2 k2
2m
+ iδ
FT
Ω 3 −i(k −iδ)τ /h̄
d ke
(2π)3
m 3/2
2
= iΘ(τ )
eimx /2h̄(τ −iδ/h̄)
2πih̄τ
= −iΘ
←−−
GR
0 (x̄, τ )
FT
←−F T
−
←−−
GR
0 (k,τ )
Z
Ω
eik̄x̄
3
=
d
k
2 2
(2π)3
E − h̄2mk + iδ
X hr̄ | k̄ihk̄ | r̄0 i
=
b
E − Ek + iδ
k
28
Vielteilchentheorie
2 Interpretation der Propagatoren
... Spektraldarstellung von GR (r, r0 ; E)
Bedeutung des δ ?
τ
−i(k −iδ) h̄
GR
0 (k, τ ) ∼ e
= e−i
k τ
h̄
δτ
e−i h̄
δ zunächst eingeführt um die Unbestimmtheit des Integrals zu reparieren.
Erinnerung an Abschn.2.3.1 :
falls P (t) ∼ e−t/t̃ dann ist t̃ die Quasiteilchenlebensdauer
⇒ d.h. h̄δ =
b Lebensdauer des Quasiteilchens
mit lim δ → 0 betrachten wir den Grenzfall der unendlichen Lebensdauer
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29
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
Wesentliche Motivation für die Einführung der Quantenmechanik war die Quanten- bzw.
Teilcheneigenschaft von Licht, z.B.
• Compton - Effekt
• Photoelektrischer Effekt
• schwarzer Strahler.
Tatsächlich behandelt wird aber im wesentlichen der Wellencharakter der Teilchen,
das heißt die Schrödingergleichung.
Im folgenden entwickeln wir einen Formalismus zur Behandlung des Teilchencharakters der Wellen (sogenannte 2. Quantisierung).
Experimentelle Beispiele:
Welle
Atome in Festkörpern Schwingungen
e− im Festkörper Plasmawelle
mag. Dipole im Festkörper Spinwellen
Atome in Flüssigkeiten Wirbel 4 He
em. Feld em Welle
Anregung
Phonon
Plasmon
Magnon
Roton
Photon
3.1 Besetzungszahlformalismus
Wir betrachten das Potential U (r) mit den Eigenzuständen Φk (r) und Energien k .
Zunächst füllen wir das System mit N Teilchen auf (betrachten im Moment keine
Wechselwirkung zwischen den Teilchen).
Bei Fermionen (z.B. Elektronen) erzwingt das Pauliprinzip eine Verteilung im Grundzustand mit je einem e− auf einem Niveau:
3 Feldoperatoren
⇒
angeregter Zustand
Grundzustand
Die Darstellung des Systems kann vereinfacht werden, wenn wir uns auf den Grundzustand beschränken und nur Änderungen des Grundzustands verfolgen. Dazu gehen wir
ins Teilchen-Loch-Bild:
⇒
Grundzustand
(äquivalent zum vorigen
Bild)
angeregter Zustand
(äquivalent zum vorherigen
Bild)
Das Loch ist jetzt als Antiteilchen (z.B. Positron) zu verstehen. Teilchen im eigentlichen Sinne sind jetzt nur die Teilchen oberhalb der Fermienergie.
Ein Loch hat eine negative Energie hole
= −k (Loch will aufsteigen, Teilchen absteigen).
k
⇒ zeitabhängige Wellenfunktion des Teilchens
hole
ψ+
= Φk e−i(−k )t/h̄ für k < F
= Φk eitk /h̄
D.h. das Loch im Teilchen-Loch Bild kann interpretiert werden als ein Teilchen, das
in der Zeit rückwärts läuft.
Die Gesamtwellenfunktion nicht wechselwirkender Teilchen ist das Produkt der Einteilchenwellenfunktionen. Bei identischen Fermion muß sie jedoch antisymmetrisiert werden.
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31
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
→ Slater - Determinante
Φk (r1 ) · · ·
1
1 ..
Φk1 ,··· ,kN (r1 , · · · , rn ) = √ .
N! ΦkN (r1 ) · · ·
Φk1 (rN ) ..
.
ΦkN (rN )
Bem.: Im Falle von Wechselwirungen der Teilchen untereinander können die korrekten
Vielteilchenwellenfunktionen als Linearkombination von Slaterdeterminanten dargestellt
werden.
Wir vereinfachen die Notation, indem wir nur die Besetzung der Einteilchenorbitale
berücksichtigen:
Φk1 ,··· ,kN (r1,··· ,rN ) →| n1 , n2 , n3 , · · ·i
mit ni = 0 oder 1 (Pauli - Prinzip)
Damit ist der angeregte Zustand :
| 11 , 12 , 03 , 14 , 15 , 06 , 07 , 18 , · · · i.
Im Teilchen - Lochbild halten wir nur die Änderungen vom Grundzustand fest.
Φ0 =| 0i · · · Grundzustand, Fermi-Vakuum
Der angeregte Zustand ist hierbei:
Φ =| 1h3 , 1P8 i
(3.1)
Hierbei beschreibt in (3.1) 1h3 ein Loch auf Niveau 3 und 1P8 ein Teilchen auf Niveau 8
In dieser Notation sehen auch die Operatoren anders aus, z.B.
ψinitial =| 11 , 02 , 03 , · · · i
↓
- Störoperator V (r, P )
ψf inal =| 01 , 02 , 13 , · · · i
D.h. die Wirkung des Störoperators entspricht der Vernichtung eines Teilchens in ψ1
und der Erzeugung eines Teilchens in ψ3
⇒ “definieren”
Vernichter ĉi · · · vernichtet Teilchen in ψi
Erzeuger ĉ+
erzeugt Teilchen in ψi
i ···
und können durch geeignete Kombinationen der c, c+ alle Operatoren ausdrücken.
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32
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
Bem.:
Im Prinzip nichts neues, bekannt vom harmonischen Oszillator.
3.2 Operatoren im Besetzungszahlformalismus
Um Antisymmetrie der Wellenfunktion bei Vertauschung zweier Teilchen zu gewährleisten, definieren wir:
Σi
ĉ+
i | n1 , · · · , ni , · · · i = (−1) (1 − ni ) | n1 , · · · , ni + 1, · · · i
ĉi | n1 , · · · , ni , · · · i = (−1)Σi ni | n1 , · · · , ni − 1, · · · i
mit Σi = n1 + n2 + · · · + ni−1
Bsp.:
ĉi | · · · , 0i , · · · i
ĉ+
i | · · · , 1i , · · · i
ĉ3 | 1111100 · · · i
ĉ4 | 1110100 · · · i
+
+
ĉ2 ĉ3 ĉ1 ĉ2 ĉ+
3 ĉ1 | 1100 · · · i
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
| 1101100 · · · i
− | 1111100 · · · i
+
+
ĉ+
2 ĉ3 ĉ1 ĉ2 ĉ3 | 0100 · · · i
+
ĉ+
2 ĉ3 ĉ1 ĉ2 (−1) | 01100 · · · i
+
ĉ+
2 ĉ3 ĉ1 (−1) | 001000 · · · i
ĉ+
2 ĉ3 (−1) | 1010 · · · i
ĉ+
2 | 1000 · · · i
− | 1100 · · · i
Teilchenaustausch
Bem.:
• Wir können alle Zustände aus dem Vakuumzustand generieren:
n1 + n2
| n1 , n2 , · · · i = (ĉ+
1 ) (ĉ1 ) · · · | 0, 0, · · · i
(3.2)
• ĉ+
i hermitesch konjugiert zu ĉi . Wir betrachten hierfür:
h
· · · , ĉi ñi , · · · | · · · , ni , · · · i
(
1 ñi = 1 ∧ ni = 0
=
0 sonst
· · · , ñi , · · · | · · · , ĉ+
i ni , · · · i
(
1 ñi = 1 ∧ ni = 0
=
0 sonst
h
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33
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
+
⇒ ĉ+
i = (ĉi )
Das heißt aber auch, daß ĉi und ĉ+
i nicht selbstadjungiert sind, also keine Observablen
darstellen.
Allerdings läßt sich aus ĉi und ĉ+
i ein hermitescher Operator konstruieren:
+
+
+
n̂i = ĉ+
i ĉi = (ĉi ĉi ) = n̂i .
Die Eigenschaft von n̂i :
ĉ+
i ĉi | n1 , n2 , · · · , 1i , · · · i =
=
=
+
ĉi ĉi | n1 , n2 , · · · , 0i , · · · i =
⇒ ĉ+
i ĉi | n1 , · · · , ni , · · · i =
(−1)Σi ĉ+
i | · · · , 0i , · · · i
Σi +Σi +
(−1)
ĉi | · · · , 1i , · · · i
| n1 , n2 , · · · , 1i , · · · i
0 | n1 , n2 , · · · , 0i , · · · i
ni | n1 , · · · , ni , · · · i
legt die Bezeichnungen:
n̂i = ĉ+
... Anzahloperator
i ĉi
X
N̂ =
ĉ+
... Gesamtanzahloperator
i ĉi
i
nahe.
ĉ+
i , ĉi genügen hierbei:
Fermionische Vertauschungsrelationen
+
+
• [ĉl , ĉ+
k ]+ = ĉl ĉk + ĉk ĉl = δlk
• [ĉl , ĉk ]+ = 0
+
• [ĉ+
l , ĉk ]+ = 0
Beweis: folgt aus Definition.
Bem.: Die Definition ist so gewählt, daß die Symmetrieeigenschaften der Vielteilchenwellenfunktion für Fermionen korrekt sind. D.h. sie ist antisymmetrisch bezüglich
eines Teilchenaustausch. Man kann allerdings auch bosonische Vertauschungsrelationen
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34
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
(Kommutator statt Antikommutator) durch geeignete Definition erhalten. Dieser Formalismus kann dann zum Beispiel für Phononen angewandt werden.
Darstellung eines allgemeien Operators Ô(r, p): Matrixelemente müssen in beiden
Bildern gleich sein:
Z
Oij =
ϕ∗i (r)Ôϕj (r)d3 r = h0, 0, · · · , 1i , · · · |
Ôocc
|{z}
| · · · 1j · · · i
Operator
in Besetzungszahldarstellung
⇒ Ôocc =
X
Okl ĉ+
k ĉl
kl
Beweis:
h0, 0, · · · , 1i , · · · | Ôocc | 0, 0, · · · 1j , · · · i
X
Okl h0, 0, · · · 1i , · · · | ĉ+
=
k ĉl | 0, 0, · · · , 1j , · · · i
kl
=
X
Okl δlj δik = Oij
kl
Bem.:
In analoger Weise lassen sich Ausdrücke für Vielteilchenoperatoren finden, z.B.
Ô
=
1X
Ô(ri , pi , rj , pj )
2 i,j=1
←
−
i6=j
Oocc =
mit Oklmn =
R
dr
R
1X
+
Oklmn ĉ+
l ĉk ĉm ĉn
2 klmn
dr0 φ∗k (r)φ∗l (r0 )O(r, r0 ; p, p0 )φm (r)φn (r0 ).
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35
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
Bsp.:
Hamiltonoperator der Form
X p2
X
1X
i
+ U (ri ) +
V (ri − rj ) +
V (ri , pi )
2m
2
i
{z
} | i,j {z
{z
}
|i
} |
Ĥ =
H0
H1
Ĥoocc =
X
k,l
H2
p2
+ U (r) | φl i ĉ+
hφk |
k ĉl
2m
|
{z
}
l δkl falls φi EV von H0
=
X
k ĉ+
k ĉk
k
1X
+
=
Vklmn ĉ+
l ĉk ĉm ĉn
2 klmn
Ĥ1occ
mit Vklmn =
R
dr
R
dr0 φ∗k (r)φ∗l (r0 )V (r − r0 )φm (r)φn (r0 )
X
Ĥ2occ =
Vkl ĉ+
k ĉl
Zkl
mit Vkl =
⇒H =
X
+
X
dr φ∗k (r)V (r, p)φl (r)
k ĉ+
k ĉk +
k
1X
+
Vklmn ĉ+
l ĉk ĉm ĉn
2 klmn
Vkl ĉ+
k ĉl
kl
Zeitabhängigkeit: Der Besetzungszahlformalismus kann sowohl im Schrödinger- als
auch im Heisenbergbild verwendet werden. Konzeptuell einfacher ist da oft das Heisenbergbild. Dann haben wir ein Maximum an Information aus den Zuständen entfernt
und in die Operatoren gesteckt. Diese können dann die gesamte Physik vor dem zeitlich
konstanten Vakuumzustands beschreiben.
Im Heisenbergbild gilt:
h̄ ∂
ĉm = [Ĥ, ĉm ]
i ∂t
mit Ĥ =
P
+
k k ĉk ĉk
(Einteilchenhamiltonian von vorhin) folgt
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36
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
X
h̄ ∂
+
ĉm =
k (ĉ+
k ĉm −ĉm ĉk ĉk )
k ĉ
|{z}
i ∂t
k
−ĉm ĉk
X
= −
k ( ĉ+
ĉ
ĉ + ĉm ĉ+
k ĉk )
|k{zm} k
k
δkm −ĉm ĉ+
k
X
h̄ ∂
ĉm = −
k δkm ĉk = −m ĉm
i ∂t
k
⇒ ĉm (t) = ĉm (0)e−im t/h̄
im t/h̄
+
ĉ+
m (t) = ĉm (0)e
(für Einteilchenhamiltonoperator)
Damit Zeitabhängigkeit allgemeiner Operatoren:
occ
ÔH
(t) =
X
=
X
=
X
Okl ĉ+
k (t)ĉl (t)
kl
Okl ĉ+
k (0)e
ik t/h̄
ĉl (0)e
−il t/h̄
kl
Okl ĉ+
k (0)ĉl (0)e
i(k −l )t/h̄
kl
Problem: Durch die Einführung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist die
räumliche Interpretation der Quantenmechanik etwas verloren gegangen.
Wir definieren:
Feldoperatoren
ψ̂(r, t) =
X
ψ̂(r, t) =
X
φm (r)ĉm (t)
m
φ∗m (r)ĉ+
m (t)
m
ψ̂ + (r, t) erzeugt ein Teilchen bei r und
ein Teilchen bei r, jeweils mit
P ψ̂(r, t) vernichtet
2
2
der Wahrscheinlichkeit |φm | , wobei m |φm (r)| = 1.
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37
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
Eigenschaften:
[ψ̂(r, t), ψ̂ + (r0 , t)]+ =
X
=
X
=
X
kl
+ ĉ+ ĉ ]
φk (r)φ∗l (r0 ) [ĉk ĉ+
| l {z l k}
δkl
φk (r)φ∗l (r0 )δkl
kl
φk (r)φ∗k (r0 )
k
= δ(r − r0 )
(...wegen Vollständigkeit) .
Analog dazu:
h
i
ψ̂(r, t), ψ̂(r0 , t)
= 0
+
h
i
ψ̂ + (r, t), ψ̂ + (r0 , t)
= 0.
+
Es lassen sich nun Operatoren in Feldoperatoren ausdrücken:
Z
Ô(t) = dr ψ̂ + (r, t) Ôs (r) ψ̂(r, t)
Hierbei steht Ôs für einen Operator im Schrödingerbild
Beweis:
Z
dr ψ̂ + Ô ψ̂ =
X
=
X
(Z
)
dr φ∗l (r) Ô(r)φm (r) ĉ+
l (t)ĉm (t)
lm
Olm ĉ+
l (t)ĉm (t)
lm
Bem.:
Insbesondere gilt:
Z
Ĥ(t) =
dr ψ + (r, t) Ĥ(r) (r)ψ(r, t)
die Bewegungsgleichung der Feldoperatoren
=
b Heisenberg’ sche Bewegungsgleichung.
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38
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
h
i
h̄ ∂ ψ̂(r, t)
= Ĥ, ψ̂(r, t)
i ∂t
=−ψ̂(r,t)ψ̂(r0 ,t)
Z
=
z
}|
{
0
0 + 0
0
dr [ψ̂ (r , t) Ĥ(r ) ψ̂(r , t)ψ̂(r, t) −ψ̂(r, t)ψ̂ + (r0 , t) Ĥ(r0 )ψ̂(r0 , t)]
=ψ̂(r,t)Ĥ(r0 )
Z
z
}|
{
dr0 [ψ̂ + (r0 , t) Ĥ(r0 )ψ̂(r, t) ψ̂(r0 , t) + ψ̂(r, t)ψ̂ + (r0 , t)Ĥ(r0 )ψ̂(r0 , t)]
Z
dr0 [ψ̂ + (r0 , t)ψ̂(r, t) + ψ̂(r, t) + ψ̂ + (r0 , t)] Ĥ(r0 )ψ̂(r0 , t)
{z
}
|
= −
= −
δ(r−r0 )
= −Ĥ(r)ψ(r, t)
⇒
ih̄
∂
ψ̂(r, t) = Ĥ(r)ψ̂(r, t)
∂t
D.h. der Feldoperator genügt der Schrödingergleichung, erinnert damit an die Schrödingerwellenfunktion, aber ist ein Operator der im Bild des Bewegungszahlformalismus
wirkt. Ein Vorteil im Vergleich zur “gewöhnlichen” Wellenfunktion ist, daß die Stastistik
des Systems über die Kommutatorbeziehungen bereits im Feldoperator korrekt enthalten
ist. Hier speziell Fermionenstatistik, aber für Bosonen läßt sich der Formalismus ähnlich
darstellen.
Bem.:
• Feldoperatoren lassen sich auch axiomatisch aus der Lagrangedichte des jeweiligen
Feldes + Vertauschungsrelation ableiten.
• Implikationen der Fermionischen Vertauschungrelationen
ĉl , ĉ+
k + = δlk
+
[ĉl , ĉk ]+ = ĉ+
l , ĉk + = 0
für Anzahloperator?
n̂i = ĉ+
i ĉi
betrachten
+
+
+ 2
(ĉi )2 = n̂i .
n̂2i = ĉ+
i ĉi ĉi ĉi = ĉi ĉi − ĉi
|{z}
| {z } |{z}
1−ĉ+
i ĉi
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=0
39
=0
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
D.h.
=
n̂2i | i = ni ni | i = n2i | i
n̂i | i = ni | i
⇒ n2i = ni ⇒ ni ∈ {0, 1}
Pauli-Prinzip
• Physikalische Bedeutung der Feldoperatoren?
X
ψ̂(r, t) :=
φm (r)ĉm (t)
m
+
ψ̂ (r, t) :=
X
φ∗m (r)ĉ+
m (t)
m
mit ψm (r) ...
ĉm
...
...
ĉ+
m
Einteilchenwellenfunktionen
vernichtet Teilchen im ψm
erzeugt Teilchen im ψm
In der Quantenmechanik hat ψ(r) keine unmittelbare physikalische Bedeutung,
sondern nur | ψ |2 . Hier ähnlich, ψ̂ + , ψ̂ sind nicht hermitesch, d.h. keine Observablen.
Z
dr ψ̂ + (r)ψ̂(r)
=
XZ
dr φ∗m (r)φn (r) ĉ+
m (t)ĉn (t)
m,n |
{z
}
δm,n
=
X
m,n
δm,n ĉ+
m ĉn =
X
|n
ĉ+
n (t)ĉn (t)
{z
N̂ ...Gesamtanzahloperator
}
⇒ interpretieren φ+ (r)φ(r) =: ρ̂(r) als Teilchendichteoperator
• Wirkung eines Feldoperators?
Lassen Feldoperator auf Vakuum | 0i =| 0, 0, ..., 0i wirken
Prof. Dr. W. G. Schmidt / Dr. U. Gerstmann
40
Vielteilchentheorie
3 Feldoperatoren
ψ̂ + (r) | 0i =
X
=
X
φ∗m (r)ĉ+
m | 0i
m
φ∗m (r) | 0, 0, ..., 1m , 0, ...i
m
und gehen in Ortsdarstellung über | hr0 |
hr0 | φ̂+ (r) | 0i
=
X
=
X
m
φ∗m (r) hr0 | 0, 0, ..., 1m , 0, ...i
|
{z
}
φm (r0 )
φ∗m (r)φm (r0 )
m
=
δ(r − r0 )
↑
Vollst. von {φm }
⇒ D.h. ψ̂ + (r) erzeugt ein Teilchen, das bei r lokalisiert ist.
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41
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
4.1 Definition
Im Sinne der anschaulichen Interpretation der Propagatoren im Abschn.2.2 fragen wir
jetzt nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teilchen mit Spin α welches bei (r, t)
zu einem N-Teilchensystem hinzugefügt wird, mit dem Spin β bei (r0 , t0 ) wieder erscheint.
D.h. betrachten Sequenz
(i)
(ii)
(iii)
| Ni
... N-Teilchensystem im Grundzustand
... Teilchen bei (r,t) mit Spin α hinzugefügt
Ni
... Teilchen mit Spin β bei (r’,t’)
von N+1 - Teilchensystem entfernt
0 0
+
(iv) hN | ψ̂β (r , t )ψ̂α (r, t) | N i ... Überlapp mit dem ursprünglich System,
d.h. Wahrscheinlichkeit für diesen Prozeß
Ähnlich könnte man auch die Propagation eines Loches betrachten:
ψ̂α+ (r, t) | N i
ψ̂β+ (r0 , t0 )ψ̂α+ (r, t) |
hN | ψ̂β+ (r0 , t0 )ψ̂α (r, t) | N i.
(4.1)
Wir führen den Zeitordnungsoperator T ein:
T [ψ̂α (r, t)ψ̂β+ (r0 , t0 )]
(
ψ̂α (r, t)ψ̂β+ (r0 , t0 )
=
−ψ̂β+ (r0 , t0 )ψ̂α (r, t)
für t > t0 ,
für t < t0 .
Damit wird die
Vielteilchen-Greenfunktion
Gαβ (r, t; r0 t0 ) = −ihN | T [ψ̂α (r, t)ψ̂β+ (r0 , t0 )] | N i
(4.2)
definiert. Für t > t0 beschreibt (4.2) die Bewegung eines Teilchens von (r0 , t0 ) → (r, t).
Für t < t0 beschreibt
Gαβ (r, t; r0 t0 ) = −ihN | T [ψ̂β (r0 , t0 )+ ψ̂α (r, t)] | N i
4 Vielteilchen-Greenfunktion
die Propagation eines Lochs von (r, t) → (r0 , t0 ).
Im folgenden kombinieren wir Spin und Ortskoordinate:
r, α → x
r 0 , β → x0
Z
Z
X
dr →
dx
Spin
und schreiben kompakt:
G(x, t; x0 t0 ) = −ihN | T [ψ̂(x, t)ψ̂ + (x0 , t0 )] | N i
(4.3)
Beziehung zur Einteilchen-Greenfunktion?
Betrachten nichtwechselwirkende Fermionen, die alle Zustände bis zur Fermi-Energie
besetzen:
Grundzustand | N i =
Y
ĉ+
m | 0i
m
m<mF
Feldoperator ψ̂(x, t) =
X
φm (x)e−im t/h̄ ĉm .
m
Mit diesem Ansatz gehen wir in die Greenfunktion hinein:
G(x, t; x0 , t0 ) = −i
hN |
|
ĉm ĉ+
l
X
0
φm (x)φ∗l (x0 )e−i(m t−l t )/h̄
lm
0
0
| N iΘ(t − t ) − hN | ĉ+
l ĉm | N iΘ(t − t)
{z
} |
{z
}
6=0 nur für
m=l und m>mF
6=0 nur für
m=l und m<mF
d.h.
G(x, t; x0 , t0 ) = −i
X
0
φm (x)φ∗m (x0 )e−im (t−t )/h̄ · Θ(t − t0 )
m>mF
+i
X
0
φm (x)φ∗m (x0 )e−im (t−t )/h̄ · Θ(t0 − t)
m<mF
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43
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
damit entsteht eine Summe von 2 Einteilchen-Greenfunktionen, die jeweils zwischen
besetzten und unbesetzten Zuständen unterscheiden. Ein Vergleich mit Abschn. 1.3 liefert
G(x, t; x0 , t0 ) = GA (x, t; x0 , t0 ) + GR (x, t; x0 , t0 )
(4.4)
4.2 Polstellen der Greenfunktion
Müssen Zeitabhängigkeit in Energieabhängigkeit transformieren.
0
Die Schrödingergleichung in der Eigenwertdarstellung lautet: Ĥ | N i = EN
| Ni
0
mit EN als Grundzustandsenergie des N-Teilchensystems.
Gehen zum Schrödingerbild über:
ψ̂(x, t) = eiĤt/h̄ ψ̂(x)e−iĤt/h̄ .
und damit in Greenfunktion und Hermitezität von H ausnutzen:
0
0
0
0
0
iG(x, t; x0 , t0 ) = eiEn (t−t )/h̄ hN | ψ̂(x)e−iĤt/h̄ eiĤt /h̄ ψ̂ + (x0 ) | N iΘ(t − t0 )
0
−e−iEn (t−t )/h̄ hN | ψ̂ + (x0 )e−iĤt /h̄ eiĤt/h̄ ψ̂(x) | N iΘ(t0 − t)
Führen eine vollständige Basis von M - Teilchenzuständen {| M, ji ein, gilt:
j
Ĥ | M, ji = EM
| M, ji.
Nun nutzten wir die Vollständigkeit aus:
0
e−iĤt/h̄ eiĤt /h̄ =
X
=
X
0
e−iĤt/h̄ | M, jihj, M | eiĤt /h̄
j
j
j
0
e−iEM (t−t )h̄ | M, jihj, M | .
{z
}
|
1
Hiermit wird die Greenfunktion zu
j
1 X i(EN0 −EM
)(t−t0 )/h̄
ˆ | M, jihj, M | ψ̂ + (x) | N i Θ(t − t0 )
e
hN | ψ(x)
i j
j
1 X −i(EN0 −EM
)(t−t0 )/h̄
e
hN | ψ +ˆ(x) | M, jihj, M | ψ̂(x) | N i Θ(t0 − t)
−
i j
G =
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44
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
d.h. die Greenfunktion hängt nur von der Zeitdifferenz τ = t − t0 ab
G(x, t; x0 , t0 ) = G(x, x0 ; τ ).
können das Ergebnis fouriertransformieren
1
G(x, x0 ; ω) =
2πh̄
Z∞
dτ eiωτ /h̄ G(x, x0 ; τ )
∞
müssen dabei wieder ein infinitesimales iδ einführen und erhalten:
(
hN | ψ̂(x) | M, jihj, M | ψ̂ + (x0 ) | N i
G(x, x ; ω) =
i
0
ω − (EM
− EN
)/h̄ + iδ/h̄
j
)
hN | ψ̂ + (x0 ) | M, jihj, M | ψ̂(x) | N i
.
−
i
0
ω + (EM
− EN
)/h̄ − iδ/h̄
X
0
(4.5)
(4.6)
• Betrachten nun 1. Term:
h N |
ψ̂(x) | M, ji
nur 6= 0 für M = N + 1
h j, M | ψ̂ + (x0 )
| Ni
j
⇒ EM
ist eine Energie des N + 1 -Teilchen-Systems
j
j
0
0
0
EM
− En0 = EN
+1 − EN +1 + EN +1 − EN
{z
}
|
minimale Energie um ein Teilchen
zum System hinzuzufügen,
d.h. chem Potential µ
j
0
j-te Anregungsenergie
EN
+1 − EN +1 = N +1 (j)... des N+1 - Zustands
• betrachten den 2. Term von G:
h N | ψ̂ + (x0 ) | M, ji
nur 6= 0 für M = N − 1
h j, M |
ψ̂(x)
| Ni
Die analoge Energieumformung geschieht wie eben:
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45
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
j
j
0
0
0
0
EN
−1 − EN = EN −1 − EN −1 + EN −1 − EN −1
{z
}
|
{z
} |
N −1 (j)
−µ
damit wird insgesamt (4.6) zu
(
hN | ψ̂(x) | N + 1, jihj, N + 1 | ψ̂ + (x0 ) | N i
ω − (N +1 (j) + µ)/h̄ + iδ/h̄
j
)
hN | ψ̂ + (x0 ) | N − 1, jihN − 1, j, | ψ̂(x) | N i
.
−
ω + (N +1 (j) − µ)/h̄ − iδ/h̄
G(x, x0 ; ω) =
X
D.h. die N-Teilchen- Greenfunktion hat Polstellen bei den angeregten Zuständen
des (N ± 1)- Teilchensystems.
Damit können die Polstellen von G z.B. als Elektronenaffinität bzw. Ionisierungsenergien von Festkörpern interpretiert werden.
Energiestruktur der Greenfunktion in komplexer Ebene:
Lehman-Darstellung: Wechselwirkungs- und Streuprozesse mit anderen Teilchen im
System:
⇒ Kontinuierliche Energieverteilung anstatt diskrete Niveaus, d.h. N ±1 (j) → ω 0 .
Fouriertransformation in den k-Raum:
)
Z∞ (
0
0
A(k,
ω
)
B(k,
ω
)
G(k, ω) = dω 0
−
ω − ω 0 − (µ + iδ)/h̄ ω + ω 0 − (µ + iδ)/h̄
0
A(k, ω), B(k, ω)... Spektralfunktion
Lehman-Darstellung der Greenfunktion
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46
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
Mit den Spektralfunktionen A(k, ω), B(k, ω)
für freie Teilchen gilt:
A(k, ω) = δ(ω 0 − (E(k) + µ)/h̄)
B(k, ω) = δ(ω 0 + (E(k) − µ)/h̄)
(vergleiche mit Abschn. 2.3.1)
d.h. wir haben scharfe Energien. Durch die Wechselwirkung kommt es allerdings zur
Linienverbreiterung was typisch für Quasiteilchen ist.
Die visuelle Inspektion der Lehman-Darstellung der Greenfunktion erlaubt die Identifikation von eventuell vorhandenen Quasiteilchen.
4.2.1 Bewegungsgleichung
1
G(x1 , t1 ; x2 , t2 ) = hN | T [ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 )] | N i
i
∂
1
∂
G = hN | (
T )[ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 )]) | N i
∂t1
i
∂t1
1
∂
ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 )] | N i
+ hN | [
i
∂t1
(4.7)
(4.8)
Zeitableitung des Zeitordnungsoperators ?
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47
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
Einschub: Ableitung der Sprungfunktion:
Zt
F (t) :=
(
1
δ(x − t0 )dx =
0
für t > t0
= Θ(t − t0 )
für t < t0
−∞
D.h.
d
∂
Θ(t − t0 ) = F (t)
∂t
dt
=
|{z}
δ(t − t0 )
Hauptsatz der
Integralrechnung
Damit kehren wir zurück in Gleichung (4.8):
∂
(T [ψ̂(x1 , t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 )])
∂t1
∂ Θ(t1 − t2 ) ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 ) − Θ(t2 − t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 )ψ̂(x1 , t1 )
=
∂t1
∂ ψ̂(x1 , t1 ) +
= δ(t1 − t2 ) ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 ) − Θ(t1 − t2 )
ψ̂ (x2 , t2 )
∂t1
∂
+δ(t1 − t2 ) ψ̂ + (x2 , t2 )ψ̂(x1 , t1 ) − Θ(t2 − t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 )
ψ̂(x1 , t1 )
∂t1
= δ(t1 − t2 ) ψ̂(x1 , t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 ) + ψ̂ + (x2 , t2 )ψ̂(x1 , t1 )
|
{z
}
δ(x1 −x2 )...Kommutator für Feldoperatoren
∂
ψ̂(x1 , t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 )]
∂t1
∂
ψ̂(x1 , t1 ) ψ̂ + (x2 , t2 )]
= δ(t1 − t2 )δ(x1 − x2 ) + T [
∂t1
+T [
Die Bewegungsgleichung für den Feldoperator im Heisenbergbild lautet:
h̄ ∂
ψ̂(x1 , t1 ) = [Ĥ, ψ̂(x1 , t1 )].
(4.9)
i ∂t1
Wir nehmen jetzt den speziellen Fall eines Fermigases mit Coulombwechselwirkungen
an, d.h.
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48
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
Ein-Elektr.Hamiltonop.
Ĥ(x1 , t1 ) =
z}|{
Ĥ0
+ ν(x1 , x2 ) δ(t2 − t1 )
| {z }
e2
4π0 |r1 −r2 |
und drücken Ĥ durch den Feldoperator aus:
Z
Ĥ =
Z
+
ψ̂ + (x, t)Ĥ0 (x)ψ̂(x, t)dx
ψ̂ + (x, t)ψ̂ + (x0 , t0 ) ν(x, x0 )δ(t − t0 ) ψ̂(x0 , t0 )ψ̂(x, t) dx dx0 .
Mit diesem Ĥ gehen wir nun in die Bewegungsgleichung für den Feldoperator (4.9)
unter Verwendung der Kommutatorrelationen:
∂
⇒ ih̄
ψ̂(x1 , t1 ) = [Ĥ0 (x1 ) +
∂t1
Z
ν(x1 , x3 ) ψ̂ + (x3 , t1 )ψ̂(x3 , t1 ) dx3 ]ψ̂(x1 , t1 )
Mit dieser Zeitableitung gehen wir in die Bewegungsgleichung für G:
∂
⇒
ih̄
− Ĥ0 (x1 ) G(x1 t1 , x2 t2 )
∂t1
Z
+ i ν(x1 x3 )hN | ψ̂ + (x3 , t1 )ψ̂(x3 , t1 )ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 ) | N i dx3
= h̄δ(x1 − x2 )δ(t1 − t2 )
Unter dem Integral taucht eine Bildung von 2 Erzeugern und 2 Vernichtern auf, d.h.
die Propagation von zwei Teilchen wird beschrieben, spezielle Form einer 2-TeilchenGreenfunktion
G2 (x1 t1 , x2 t2 , x3 t3 , x4 t4 ) = (i)2 hN | T [ψ̂(x1 , t1 )ψ̂(x3 , t3 )ψ̂ + (x4 , t4 )ψ̂ + (x2 , t2 )] | N i
Approximative Lösung in Hartree-Näherung: Was passiert physikalisch bei
hN | T [ψ̂ + (x3 , t1 )ψ̂(x3 , t1 )ψ̂(x1 , t1 )ψ̂ + (x2 , t2 )] | N i ?
• falls t1 > t2 :


(x1 t1 )
Teilchen von (x2 t2 ) → oder


(x3 t1 )
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49
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion

(x1 t1 ) 
Loch von oder
→ (x3 t1 ).

(x3 t1 )
Graphisch:
• Falls t1 < t2 propagieren 2 Löcher wie folgt:
Wir machen die Approximation, daß die Löcher/Teilchen unabhängig von einander
propagieren, d.h. wir machen einen Produktansatz für die 2-Teilchen-Greenfunktion:
G2 → G1 × G1
und erlauben alle oben dargestellten Prozesse. Damit ergibt sich:
−hN | T... | N i = G(x1 t1 , x2 t2 ) G(x3 t1 , x3 t2 ) + G(x1 t1 , x3 t1 ) G(x3 t1 , x2 t2 ).
{z
}
|
sogenannter Austausch-Term
im folgenden vernachlässigt
Damit gehen wir nun in die Bewegungsgleichung für G:
∂
ih̄
− Ĥ0 (x1 )+
∂t1
i
ν(x1 , x3 ) G(x3 , t1 , x3 , t1 )dx3 G(x1 t1 , x2 t2 ) = h̄δ(x1 − x2 )δ(t1 − t2 )
|
{z
}
Z
−
ν(x1 , x3 )ρ(x3 t1 ) dx3
{z
}
|
Z
VH (x1 t1 )...Hartreepotential,
d.h. Wechselwirkung mit elektrostat.
Feld aller Elektronen
und erhalten damit die
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50
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
Bewegungsgleichung für die Greenfunktion des Fermi-Gases in der HartreeApproximation
∂
− Ĥ0 (x1 ) − VH (x1 , t1 ) G(x1 , t1 ; x2 , t2 ) = h̄δ(x1 − x2 )δ(t1 − t2 )
(4.10)
ih̄
∂t1
Bem.:
• Die Mitnahme des Austausterms führt zu einem nichtlokalen Operator, der sogenannten Hartree-Fock-Näherung. Diese ist oft Startpunkt für Molekülberechnungen aber für Festkörper ist diese Näherung im allgemeinen aber eher schlechter als
Hartree.
Wir suchen einen systematischen Zugang zur Greenfunktion mit kontrollierbarem
Konvergenzverhalten. Das ist bei der Hierarchie von Greenfunktionen eher nicht gegeben, z.B. ist die Hartree-Fock-Näherung manchmal schlechter als Hartree, obwohl
zumindest mathematisch viel besser gerechtfertigt.
⇒ Betrachten im folgenden die Selbstenergie:
Ansatz: Erweitern (4.10) um ein externes Potential.
∂
ih̄
− H0 (x1 ) − φ(x1 , t1 ) − VH (x1 , t1 ) G(x1 , t1 ; x2 , t2 )
|
{z
}
∂t1
−V (x1 ,t1 )
Z X
−
(x1 , t1 ; x3 , t3 )G(x3 , t3 ; x2 , t2 )dx3 dt3
= h̄δ(x1 − x2 ) δ(t1 − t2 )
P
Der Selbstenergieoperator (x1 , t1 ; x3 , t3 ) enthalte jetzt alle Wechselwirkungseffekte.
Was ist die formale Begründung für die Bezeichnung der Selbstenergie? Wir fouriertransformieren unseren Ansatz in den Frequenzraum
[
ω − Ĥ0 (x1 ) − V (x1 , ω)] G(x1 , x2 , ω) −
Z X
(x1 , x3 , ω)G(x3 , x2 , ω)dx3
= δ(x1 − x2 ).
In Matrix-Notation sieht dies wie folgt aus:
(ω1 − H0 − V )G − ΣG = 1
⇒ G−1 = (ω1 − H0 − V − Σ).
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51
Vielteilchentheorie
4 Vielteilchen-Greenfunktion
Für nichtwechselwirkende Fermi-Gase gilt:
= (ω1 − H0 − V )
G−1
0
−1
⇒G
= G−1
0 −Σ
D.h. die Pole der Greenfunktion (Anregungsenergien) werden durch die Selbstenergie
verschoben, durch die Einbeziehung der Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Sind
damit im Einklag mit der Begriffsbildung aus aus dem Kapitel 2.1.
Bem.: Die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen sind gemittelt auch schon im
Hartree-Potential enthalten, deshalb wird dieses von manchen Autoren zur Selbstenergie
geschlagen.
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52
Vielteilchentheorie
5 Fundamentales Gleichungssystem
Wir vereinfachen die Notation (x1 , t1 ) = 1. Manchmal erfordert die korrekte Zeitordnung die Verwendung von (x1 , t1 + 0+ ) = 1+ . Damit wird eine kompakte Darstellung der
Bewegungsgleichung (4.10) zu
Z
∂
ih̄
− H0 (x1 ) − V (1) G(1, 2) − Σ(1, 3)G(3, 2) d3 = h̄δ(1 − 2)
∂t1
(H0)
wobei
V (1) = φ(1) + VH (1)
|{z}
| {z }
externes
Potential
(5.1)
HartreePotential
Dies läßt sich noch mit G2 ausdrücken:
∂
− H0 (x1 ) − φ(1) G(1, 2)
ih̄
∂t1
Z
+ i ν(1, 3) G2 (1, 2, 3, 3+ )d3 = h̄δ(1 − 2).
Es gilt:
−h̄
δG(1, 2)
= G2 (1, 2, 3, 3+ ) − G(1, 2)G(3, 3+ )
δφ(3)
Bem.: Beweis hierfür z.B. im Inksen, Kapitel 7.1. (Beweisidee: Potentialabhängigkeit
von G im Dirac-Bild explizit angegeben und dann differenzieren)
Einsetzen für G2 liefert die Bewegungsgleichung:
Z
∂
δG(1, 2)
ih̄
− H0 (x1 ) − φ(1) G(1, 2) − ih̄ ν(1, 3)
d3
∂t1
δφ(3)
Z
+ i ν(1, 3)G(3, 3+ )d3 G(1, 2) = h̄δ(1 − 2)
|
{z
}
−VH (1)
Ein Vergleich mit (H0) und (5.1) liefert:
5 Fundamentales Gleichungssystem
Z
Z
Σ(1, 3) G(3, 2) d3 = ih̄
Die inverse Greenfunktion erfüllt
R
ν(1, 3)
δG(1, 2)
d3.
δφ(3)
(5.2)
G−1 (1, 3)G(3, 2) d3 = δ(1 − 2) ⇔ G−1 G = I :
G
δI
G−1 G
G−1
δG
δG−1
=0=
=
G + G−1
⇒
= −G
G
δφ
δφ
δφ
δφ
φ
δφ
d.h.
δG(1, 2)
=−
δφ(3)
Z
G(1, 4)
δG−1 (4, 5)
G(5, 2) d4 d5,
δφ(3)
dies in (5.2) eingesetzt ergibt:
Z
Z X
δG−1 (4, 5)
(1, 3) G(3, 2)d3 = −ih̄ ν(1, 3)G(1, 4)
G(5, 2) d3 d4 d5.
δφ(3)
Nun läßt sich ablesen, daß folgendes gilt:
Z
Σ(1, 2) = −ih̄
ν(1, 4)G(1, 3)
δG−1 (3, 2)
d3 d4
δφ(4)
Wir haben hiermit einen Ausdruck für die Selbstenergie gewonnen, der sich nach Potenzen des nackten Coulombpotentials ν entwickeln läßt. Es zeigt sich jedoch, daß diese
Reihenentwicklung sehr langsam konvergiert, da die Elektronen im Festkörper durch die
Abschirmung eine deutlich schwächere Wechselwirkung spüren.
Das Gesamtpotential setzt sich aus externem Potential φ und dem Response der Elektronen, d.h. dem Hartreepotential zusammen
Z
V (x1 , t1 ) = φ(x1 , t1 ) + ν(x1 , x2 ) ρ(x2 , t1 ) dx2 .
Die Veränderung im externen Potential δφ ändert auch die Elektronendichte. Es ergibt
sich:
Z
δV (x1 , x2 ) = δφ(x1 , t1 ) + ν(x1 , x2 )δρ(x2 , t1 )dx2
eine durch Abschirmung modifizierte Änderung des Gesamtpotentials.
Wir definieren nun die inverse dielektrische Funktion −1 durch:
−1 (1, 2) =
δV (1)
δφ(2)
mit δV von oben folgt:
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54
Vielteilchentheorie
5 Fundamentales Gleichungssystem
Z
−1
(1, 2) = δ(1 − 2) +
ν(x1 , x3 )
δρ(x3 , t1 )
dx3
δφ(x2 , t2 )
δρ
δφ
δρ δV
= 1+v
δV δφ
|{z}
⇔ −1 = 1 + v
−1
δρ −1
δV
δρ
⇔ = 1−v
δV
= 1+v
Über die inverse dielektrische Funktion läßt sich das abgeschirmte Coloumbpotential
Z
W (1, 2) =
−1 (1, 3)ν(3, 2) d3
⇔ W = −1 v
einführen. Wir definieren eine Polarisationsfunktion mittels
Z
(1, 2) = δ(1, 2) −
ν(1, 3) P (3, 2) d3
d.h. = 1 − vP . Der Vergleich mit (5.3) zeigt, daß P =
P (1, 2) =
δρ
δV
bzw. ausgeschrieben:
δρ(1)
δG(1, 1+ )
= −i
.
δV (2)
δV (2)
P entspricht unserer Vorstellung einer Polarisationsfunktion in der Tat. Unter Ausnutzung von
Z
δG(1, 2)
δG−1 (4, 5)
= − G(1, 4)
G(5, 2) d4 d5
δφ(3)
δφ(3)
ergibt sich
Z
P (1, 2) = i
δG−1 (3, 4)
G(1, 3)
G(4, 1+ ) d3 d4.
δV (2)
Wir führen als “Abkürzung” die Vertexfunktion Γ ein:
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Vielteilchentheorie
5 Fundamentales Gleichungssystem
Γ(1, 2, 3) := −h̄
δG−1 (1, 2)
δV (3)
und schreiben damit
i
P (1, 2) = −
h̄
Z
G(1, 3) Γ(3, 4, 2) G(4, 1+ ) d3 d4.
(H1)
Die Selbstenergie sieht dann wie folgt aus:
δG−1 (3, 2)
d3 d4
δφ(4)
Z
δG−1 (3, 2) δV (5)
= −ih̄ ν(1, 4)G(1, 3)
d3 d4 d5
δV (5) δφ(4)
| {z } | {z }
Z
Σ(1, 2) = −ih̄
ν(1, 4)G(1, 3)
− h̄1 Γ(3,2,5)
Z
= i
−1 (5,4)
ν(1, 4)−1 (5, 4) G(1, 3)Γ(3, 2, 5) d3 d45.,
|
{z
}
W (1,5)
d.h.
Z
Σ(1, 2) = i
W (1, 4) G(1, 3) Γ(3, 2, 4) d3 d4.
(H2)
Invertierung der Bewegungsgleichung (H0) liefert:
G−1 = ih̄
∂
− H0 − V − Σ
∂t
d.h.
δG−1 (1, 2)
δΣ(1, 2)
Γ(1, 2, 3) = −
= δ(1 − 2)δ(2 − 3) +
.
δV (3)
δV (3)
Ausnutzen von
δΣ
δΣ
=
δV
δG
− G
δG
δV
|{z}
δG−1
G
| δV
{z }
−Γ
δΣ
=+
GΓ G
δG
führt auf
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Vielteilchentheorie
5 Fundamentales Gleichungssystem
Z
Γ(1, 2, 3) = δ(1 − 2)δ(2 − 3) +
δΣ(1, 2)
G(4, 6)G(7, 5)Γ(6, 7, 3) d4d5d6d7.
δG(4, 5)
Aus = 1 − vP und W = v folgt (1 − vP )W = v
d.h. W = v + vP W , ausgeschrieben:
Z
W (1, 2) = ν(1, 2) + ν(1, 3)P (3, 4)W (4, 2) d3 d4.
(H3)
(H4)
H1 bis H4 bilden zusammen mit der Bewegungsgleichung der Greenschen Funktion H0
das sogenannte fundamentale Gleichungssystem oder die Hedinschen Gleichungen, die
formal eine exakte Lösung des Vielteilchenproblems sind.
Diagrammatische Übersetzung
mit der Regel über interne Vertizes zu integrieren wird aus der Dyson-Gleichung der
Greenfunktion
(H0) →
weiters gilt:
(H1) →
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57
Vielteilchentheorie
5 Fundamentales Gleichungssystem
(H2) →
(H4) →
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58
Vielteilchentheorie
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
Nur approximativ möglich
6.1 Hedins GW-Approximation
Erinnern wir uns an das Fundamentale GS
Z
∂
ih̄
− H0 (x1 ) − V (1) G(1, 2) − Σ(1, 3)G(3, 2)d3 = h̄δ(1 − 2)
∂t1
Z
i
P (1, 2) = −
G(1, 3) Γ(3, 4, 2) G(4, 1) d3 d4
h̄
Z
Σ(1, 2) = i W (1, 4)G(1, 3)Γ(3, 2, 4) d3d4
Z
δΣ(1, 2)
G(4, 6)G(7, 5)Γ(6, 7, 3) d4d5d6d7
Γ(1, 2, 3) = δ(1 − 2)δ(2 − 3) +
δG(4, 5)
Z
W (1, 2) = ν(1, 2) + ν(1, 3)P (3, 4)W (4, 2)d3 d4.
brauchen zunächst eine Approximation für die Greenfunktion
→ berechnen Greenfunktion in Hartree-Approximation, d.h vernachlässigen Σ:
Σ≡0
⇒
G → G0
G0 ergibt sich aus der selbstkonsistenten Lösung von
∂
ih̄
− H(x1 ) − V (1) G0 (1, 2) = h̄δ(1 − 2)
∂t1
mit
Z
VH (1) = i
ν(x1 , x3 ) G0 (x3 , t1 , x3 , t+
1 )dx3
durch Σ ≡ 0 vereinfacht Vertexfunktion zu
Σ(1, 2, 3) = δ(1 − 2)δ(2 − 3).
Damit erhalten wir die Polarisationsfunktion unabhängiger Teilchen:
(6.1)
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
i
P0 (1, 2) = −
h̄
Z
G0 (1, 3)δ(3 − 4)δ(4 − 2)G0 (4, 1) d3d4
i
P0 (1, 2) = − G0 (1, 2)G0 (2, 1)
h̄
(auch bezeichnet als Random-Phase-Approximation, RPA)
Damit gehen wir nun in die Gleichung W = v + vP W und erhalten einen Ausdruck
für W0 . Mit W0 und Γ(1, 2, 3) = δ(1 − 2)δ(2 − 3) gehen wir nun in den Ausdruck:
Z
(1)
Σ (1, 2) = i W0 (1, 4)G0 (1, 3) Γ(1, 2, 3) d3 d4.
| {z }
δ(1−2)δ(2−3)
Das führt uns auf:
Σ(1) (1, 2) = iW0 (1, 2)G0 (1, 2)
Hedins GW-Approximation für die Selbstenergie (in erster Ordnung)
Diagrammatisch:
1
Γ = · 3 (≡ δ(1 − 3)δ(1 − 2))
2
Wir können die Selbstenergie auch in höherer Ordnung ausrechnen. Dafür bestimmen
wir
−1
(1)
G−1
(1) (1, 2) = G0 (1, 2) − Σ (1, 2).
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60
Vielteilchentheorie
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
wobei jetzt G0 die Lösung einer “verbesserten” Hartree-Gleichung ist:
∂
(1)
− H(x1 ) − V (1)) G0 (1, 2) = h̄δ(1 − 2)
ih̄
∂t1
in der das Hartreepotential bereits die Selbstenergie in G0 W0 - Approximation spürt.
Mit Σ(1) (1, 2) = iW0 (1, 2)G0 (1, 2) ergibt die nächste Iteration der Vertexfunktion:
Γ(1, 2, 3)
Z
δ(1 − 2)δ(2 − 3) +
=
δΣ(1, 2)
δG (4, 5)
| 0{z }
G0 (4, 6)G0 (7, 5) Γ0 (6, 7, 3) d4 d5 d6 d7
| {z }
δ(6−7)δ(7−3)
δ(iW0 (1, 2)G0 (1, 2))
δG0 (4, 5)
|
{z
}
iW0 (1,2)δ(4−1)δ(5−2)
δ(1 − 2)δ(2 − 3) + iW0 (1, 2)G0 (1, 3)G0 (3, 2)
=
Hiermit können wir wieder in das fundamentale Gleichungssystem eingehen und erhalten letztlich eine Selbstenergie in der Form:
Σ = α1 W + α2 W 2 + α3 W 3 + · · · .
Faktisch zeigt sich, daß für den Festkörper die Reihe sehr schnell konvertiert und
bereits
Σ(1) (1, 2) = iW0 (1, 2)G0 (1, 2)
gute Ergebnisse mit Genauigkeiten der Anregungsenergieen von typischer Weise 0, 1eV
oder besser ergibt. In der Praxis wird G0 allerdings nicht aus einer Hartree-Rechnung,
sondern mittels Dichtefunktionaltheorie bestimmt.
6.2 Bethe - Salpeter- Gleichung
Die approximative Vertexfunktion von (6.2)
Γ(3, 4, 2) = δ(3 − 4)δ(4 − 2) + iW (3, 4)G(3, 2)G(2, 4)
können wir auch nutzen um die Polarisationsfunktion über die Näherung unabhängiger
Teilchen hinaus zu verbessern. Dazu führen wir zunächst eine 4-Punkt-Funktion der
Polarisation durch
i
P (1, 2, 3, 4) = − G(1, 4)G(3, 2)
h̄
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61
Vielteilchentheorie
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
ein und erhalten damit für die Polarisation:
Z
P (1, 2) ≡ P (11, 22) = P0 (11, 43)Γ(3, 4, 2) d3 d4
wo jetzt durch Einsetzen von Γ die
Bethe-Salpeter-Gleichung
Z
P (11, 22) = P0 (11, 22) − h̄
P0 (11, 43)W (3, 4)P (34, 22) d3 d4
für die Polarisation folgt. Sie enthält die abgeschirmte Coulombwechselwirkung zwischen Elektronen und Löchern und erlaubt somit die Modellierung exzitonischer Effekte.
6.3 Numerische GW-Rechnungen
Die zur Definitionsgleichung der Greenschen Funktion entsprechende Eigenwertgleichung
mit der in den Frequenzraum transformierten Selbstenergie
Z
h̄2
QP
4 + V (x) ψµ (x) + dx0 Σ(x, x0 ; µQP )ψµQP (x0 ) = µQP ψµQP (x)
−
2m
mit V = VH + φ und φ = Vion ... als externes Potential z.B. der Atomrümpfe
ähneln der Einteilchen ( oder Kohn- Sham-Gleichung) der Dichtefunktionaltheorie
h̄2
4 + V (x) ψλ (x) + V xc (x)ψλ (x) = λ ψλ (x).
−
2m
Lediglich das Austausch- und Korrelationspotential V xc des Kohn-Sham-Formalismus
wird durch den Selbstenergieoperator ersetzt.
Entwickeln wir zunächst die Quasiteilchenwellenfunktion nach Kohn-Sham-Orbitalen
X
QP
ψmu
(x) =
Aµλ ψλ (x)
λ
und gehen damit in die Quasiteilcheneigenwertgleichung ein. Es folgt:
X
λ
Aµλ
Z
X
h̄2
0
−
4 + V (x) ψλ (x) +
Aµλ dx0 Σ(x, x0 ; QP
µ )ψλ (x )
2m
λ
X
= QP
Aµλ ψλ (x)
µ
λ
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62
Vielteilchentheorie
6 Auswertung des Fundamentalen Gleichungssystems
unter Ausnutzung der Kohn-Sham-Gleichung läßt sich dies schreiben als:
X
Aµλ λ ψλ (x) +
λ
X
Z
Aµλ
xc 0
0
0
dx0 {Σ(x, x0 ; QP
µ ) − V (x )δ(x − x )}ψλ (x )
λ
= QP
µ Σλ Aµλ ψλ (x).
Anwendung von
R
dxψλ∗0 (x) und Ausnutzung der Orthogonalität liefert dann:
QP
µ Aµλ0 = Aµλ0 λ0 + Σλ Aµλ
Z
xc 0
0
0
dx dx0 ψλ∗0 (x){Σ(x, x0 ; QP
µ ) − V (x )δ(x − x )}ψλ (x ).
Dies kann in einer kürzeren Schreibweise ausgedrückt werden:
X
(δλλ0 λ + hλ0 | Σ(µ )QP − V xc | λi)Aµλ = QP
µ Aµλ0 .
λ
Im Fall vernachlässigbarer Nichtdiagonalelemente (im Festkörper oft der Fall) erhält
man:
QP
= λ + hλ | Σ(µ )QP − V xc | λi
λ
wobei noch das Problem der Energieabhängigkeit des Selbstenergieoperators besteht,
welche in der Praxis entweder iterativ oder durch eine lineare Entwicklung um die KohnSham-Energie λ gelöst wird:
QP
= λ +
λ
hλ0 | Σ(µ )QP − V xc | λi
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1−
63
∂Σ(λ )
∂λ
Vielteilchentheorie