Technische Universität München Algebraische Topologie

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Algebraische Topologie
Sommersemester 2011
Prof. Dr. Josef Dorfmeister — Dr. Jan Wehrheim
Übungsblatt 4 - Musterlösung
Aufgabe 1: Überlagerungen aus lokalen Homöomorphismen
Es seien X und Y wegzusammenhängende und lokal wegzusammenhängende Hausdorff Räume.
Ferner sei X kompakt und f : X → Y ein lokaler Homöomorphismus. Beweisen Sie, dass (X, f )
damit schon eine Überlagerung ist.
Lösung zu Aufgabe 1:
Zunächst stellen wir fest, dass f surjektiv ist: Als lokaler Homöomorphismus ist f offen, also ist
f (X) ⊂ Y offen. Da X kompakt und f stetig ist, ist f (X) ⊂ Y kompakt. Und da Y Hausdorff
ist folgt aus kompakt schon abgeschlossen. Für X 6= ∅ ist auch f (X) 6= ∅, also ist f (X) ⊂ Y
eine nicht leere offene und abgeschlossene Teilmenge. Da Y wegzusammenhängend ist, ist Y auch
zusammenhängend und es folgt somit f (X) = Y .
Damit ist für jedes y ∈ Y die Menge f −1 (y) ⊂ X nicht leer. Wir zeigen als nächstes, dass f −1 (y) ⊂ X
für jedes y ∈ Y endlich ist: Ist die Menge f −1 (y) unendlich, so existiert aufgrund der Kompaktheit
von X ein Häufungspunkt x dieser Menge. Jede Umgebung U von x enthält also unendlich viele
Urbilder von y. Die Funktion f kann also auf keiner Umgebung von x injektiv sein. Also kann f kein
lokaler Homöomorphismus sein. Dies ist der gewünschte Widerspruch.
Zu den Urbildern x1 , . . . , xn ∈ X eines fest gewählten y ∈ Y wählen wir nun offene und wegzusammenhängende Umgebungen U1 , . . . , Un ⊂ X, so dass f |Ui jeweils ein Homöomorphismus ist. Da X
Hausdorff ist, können diese Ui disjunkt gewählt werden. Dann ist
V :=
n
\
f (Ui )
i=1
eine Elementarumgebung von y: Als endlicher Schnitt offener Mengen ist V offen und die Wegzusammenhangskomponenten von f −1 (V ) sind offene Teilmengen der Ui .
Aufgabe 2: SU(2) → SO(3) - das Ende
Zeigen Sie, dass der auf Übungsblatt 3 konstruierte Gruppenhomomorphismus φ : SU(2) → SO(3)
tatsächlich eine Überlagerung ist.
Lösung zu Aufgabe 2:
Nach Aufgabe 1 auf diesem Blatt genügt es zu zeigen, dass φ ein lokaler Homöomorphismus ist.
Ferner genügt es, den Punkt IdC2 ∈ SU(2) zu betrachten und eine Umgebung U davon anzugeben,
so dass φ|U : U → φ(U ) ein Homöomorphismus ist: Ist A0 ∈ SU(2) dann ein anderer Punkt, so
betrachten wir die Homöomorphismen
λA0 −1 : SU(2) → SU(2) ; A 7→ A0 −1 · A
und
λφ(A0 ) : SO(3) → SO(3) ; ϕ 7→ φ(A0 ) ◦ ϕ.
Es gilt dann
φ = λφ(A0 ) ◦ φ ◦ λA0 −1
und damit ist U0 := A0 · U ⊂ SU(2) eine Umgebung von A0 , die von φ homöomorph auf ihr Bild
abgebildet wird.
Wir verwenden nun, dass die Exponentialabbildungen
exp : su(2) → SU(2)
und
exp : so(3) → SO(3)
jeweils in der Identität lokale Homöomorphismen sind. Unser φ induziert dann eine Abbildung von
einer Umgebung der Null in su(2) in eine Umgebung der Null in so(3) und es bleibt noch zu zeigen,
dass die linearisierte Abbildung f : su(2) → so(3) surjektiv ist. Dies geschieht, indem man explizite
Urbilder einer Basis von so(3) angibt.
Dafür ist es hilfreich, eine explizite Formel für φ zu haben. Wir schreiben ein A ∈ SU(2) als
1 0
i 0
0 1
0 i
A = cos(α) ·
+ sin(α) · v1 ·
+ v2 ·
+ v3 ·
0 1
0 −i
−1 0
i 0
mit einem Winkel α und einem Einheitsvektor v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . Die Drehung φ(A) ist dann die
Drehung um den Winkel 2α mit der Drehachse v. Dies kann man explizit schreiben als



0
−v3 v2
0
−v1  .
φ(A) = exp 2α ·  v3
−v2 v1
0
Aufgabe 3: Pullback von Überlagerungen
e → X eine Überlagerung und f : Y → X eine stetige Abbildung zwischen wegzusamEs sei p : X
menhängenden und lokal wegzusammenhängenden Räumen. Wir setzen
e := {(y, x̃) ∈ Y × X
e | f (y) = p(x̃)}
Ye := f ∗ X
und q : Ye → Y ; (y, x̃) 7→ y.
Zeigen Sie, dass q : Ye → Y wieder eine Überlagerung ist.
Betrachten Sie die Retraktion f : S 1 ∪ [1, 2] → S 1 , welche die Identität auf S 1 ist und das Intervall
[1, 2] auf den Punkt 1 ∈ S 1 abbildet. Bestimmen Sie f ∗ von allen Überlagerungen der S 1 und
vergleichen Sie das Ergebnis mit Aufgabe 1 von Blatt 2
Lösung zu Aufgabe 3:
e Da die Projektion Y × X
e →Y
Der Raum Ye erhält die Teilraumtopologie des Produktraumes Y × X.
stetig ist, ist somit die Abbildung q als Einschränkung dieser Projektion auf den Teilraum Ye ebenfalls
stetig.
Wir fixieren einen Punkt y0 ∈ Y und konstruieren eine Elementarumgebung. Dazu sei x0 := f (y0 ).
Die Faser q −1 (y0 ) besteht dann genau aus den Punktpaaren (y0 , x̃) mit x̃ ∈ p−1 (x0 ). Sei ferner
U ⊂ X eine Elementarumgebung von x0 und V := f −1 (U ). Da f stetig ist, ist V eine offene und
wegzusammenhängende Umgebung von y0 . Es gilt
e | f (y) ∈ U und f (y) = p(x̃)}.
q −1 (V ) = {(y, x̃) ∈ Y × X
Es sei W ⊂ q −1 (V ) die Wegzusammenhangskomponente von (y0 , x̃) für ein gewisses x̃ ∈ p−1 (x0 ).
Wir wollen zeigen, dass q : W → V ein Homöomorphismus ist. Dazu sei Z ⊂ p−1 (U ) die Wegzusame und φ := p|Z −1 : U → Z der entsprechende Homöomorphismus.
menhangskomponente von x̃ in X
Die Umkehrabbildung zu q : W → V ist dann gegeben durch q −1 (y) = (y, φ(f (y))) und diese ist
ebenfalls stetig.
Tatsächlich kann man alle Überlagerungen von X = − als Pullback von Überlagerungen der S 1
unter der angegebenen Retraktion beschreiben.
Aufgabe 4: Höhere Homotopie-Gruppen
e → X eine Überlagerung mit p(x̃) = x, so sind die
Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist p : X
induzierten Abbildungen
e x̃) → πn (X, x)
p∗ : πn (X,
für alle n ≥ 2 Isomorphismen. Berechnen Sie damit sämtliche Homotopie-Gruppen der S 1 .
Lösung zu Aufgabe 4:
Per Konstruktion sind die induzierten Abbildungen p∗ Homomorphismen. Es ist nur noch zu zeigen,
dass es für n ≥ 2 auch Bijektionen sind: Sei dazu a ∈ πn (X, x) eine von einer stetigen Abbildung
α : S n → X repräsentierte Klasse. Da S n für n ≥ 2 einfach zusammenhängend ist, existiert dann
e mit p ◦ α̃ = α. Die von α̃ repräsentierte Klasse ã ∈ πn (X,
e x̃) erfüllt damit
ein Lift α̃ : S n → X
p∗ (ã) = a.
e x̃) eine von α̃ : S n → X
e repräsentierte Klasse mit p∗ (a) = 0 ∈ πn (X, x). Die
Es sei nun ã ∈ πn (X,
n
Abbildung α := p ◦ α̃ : S → X ist also homotop zur konstanten Abbildung auf den Basispunkt
x ∈ X. Die entsprechende Homotopie ist eine stetige Abbildung
φ : S n × [0, 1] → X
mit
φ(z, 0) = α(z)
und φ(z, 1) = x
für alle z ∈ S n . Da die S n für n ≥ 2 einfach zusammenhängend ist, ist auch S n × [0, 1] für n ≥ 2
einfach zusammenängend und damit existiert ein eindeutiger Lift dieser Homotopie durch den Punkt
e
(x̃, 0) und damit ist tatsächlich schon α̃ homotop zur konstanten Abbildung x̃ ∈ X.
Die Abbildungen p∗ sind für n ≥ 2 also injektiv und surjektiv und somit bijektiv. Für n = 1 ist die
e und X auch stets injektiv, aber nur genau
Abbildung p∗ zwischen den Fundamentalgruppen von X
dann surjektiv, wenn p ein Homöomorphismus ist.
Die Homotopie-Gruppen πn (S 1 , 1) für n ≥ 2 sind somit alle isomorph zu den Homotopie-Gruppen
der universellen Überlagerung πn (R, 0), und diese sind alle isomorph zu {0}, da R zusammenziehbar
ist.