Liftung von Kurven Definition 0.1 Eine stetige Abbildung f : Y → X

Liftung von Kurven
Def inition 0.1 Eine stetige Abbildung f : Y → X topologischer Räume
heißt ein lokaler Homöomorphismus, wenn jeder Punkt y ∈ Y eine offene
Umgebung V beseitzt, so dass die Einschränkung von f auf V ein Homöomorphismus
auf eine offene Menge U ⊂ X ist.
Eine stetige Abbildung f : Y → X topologischer Räume heißt eine Überlagerung,
wenn jeder Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, so dass
[
f −1 (U ) =
Vi
(1)
i∈I
wobei die Vi disjunkte offene Mengen von Y sind, und
f|Vi : Vi → U
für alle i ∈ I ein Homöomorphismus ist.
Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus.
Lemma 0.2 Es sei π : Y → X ein lokaler Homöomorphismus. Es sei S
ein topologischer Raum und es seien f, g : S → Y zwei Abbildungen, so dass
π ◦ f = π ◦ g. Dann ist die Menge
{s ∈ S | f (s) = g(s)}
(2)
eine offenen Teilmenge von S.
Beweis: Es sei s ∈ S, so dass f (s) = g(s). Wir wählen eine offene Umgebung
V von f (s) ∈ Y , die bei f homöomorph auf eine Umgebung U von π(f (s)) ∈
X abbgebildet wird.
Es existiert eine Umgebung W von s ∈ S, die sowohl bei f als auch bei
g in V abbgebildet werden. Aber dann stimmen f und g auf W überein.
Q.E.D.
Wenn Y haussdorffsch ist, so ist die Menge (2) auch abgeschlossen. Wenn
π eine Überlagerung ist, folgt die Abgeschlossenheit auch wenn Y nicht hausdorffsch ist. In der Tat: Wir zeigen, dass das Komplement von (2) offen ist.
Es sei s ∈ S, so dass f (s) 6= g(s). Wir finden eine Umgebung U von π(f (s))
mit der Eigenschaft 1. Dann gilt f (s) ∈ Vi und g(s) ∈ Vj , wo Vi ∩ Vj = ∅.
Also sind f und g auf der offenen Menge f −1 (Vi ) ∩ g −1 (Vj ) verschieden.
1
Satz: Es sei f : Y → X eine stetige Abbildung von topologischen
Räumen mit folgender Eigenschaft. Jeder Punkt von X besitzt eine Umgebung V , so daß f −1 (V ) eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen Ui , i ∈
I in Y ist und so daß für jedes i ∈ I die Abbildung f einen Homöomorphismus
Ui → V induziert.
Es sei γ : [0, 1] → X eine Kurve und y ∈ Y ein Punkt mit f (y) = γ(0).
Dann existiert eine eindeutig bestimmte Kurve γ̃ : [0, 1] → Y , so daß γ̃(0) = y
und f ◦ γ̃ = γ.
Beweis: Wir beginnen mit zwei Anmerkungen. Man ändert nichts an der
Aussage des Satzes, wenn man [0, 1] durch ein beliebiges anderes endliches
Intervall [a, b] ersetzt. Wir nennen eine Kurve γ̃ mit f ◦ γ̃ = γ eine Liftung
von γ. Wenn wir noch eine zweite Liftung γ̃ 0 von γ haben, so dass γ̃ 0 (0) =
y, so stimmen nach dem Lemma und der anschließenden Bemerkung beide
Liftungen auf einer offenen und abgeschlossenen Teilmenge von [0, 1] überein
und sind daher gleich. Das beweist die Eindeutigkeit von γ̃.
Wir betrachten
zunächst den Fall, wo man V = X wählen kann. Dann
`
gilt Y = Ui und y ∈ Uj für genau ein j ∈ I. Da f einen Homöomorphismus
fj : Uj → X induziert, ist γ̃ = fj−1 ◦ γ eine Liftung.
Wir behandeln jetzt den allgemeinen Fall. Wir betrachten das Supremum
a aller reellen Zahlen s ∈ [0, 1], so daß eine Kurve γ̃ : [0, s] → Y existiert,
mit den Eigenschaften γ̃(0) = y und f ◦ γ̃ = γ auf dem Intervall [0, s].
Es sei V eine Umgebung von γ(a), deren Existenz in den Vorausetzungen
des Satzes gefordert wird. Da γ stetig ist, gibt es eine reelle Zahl δ > 0, so
daß γ([a − δ, a + δ]) ⊂ V (bzw. γ([1 − δ, 1] ⊂ V für a = 1).
Wir zeigen, daß die Annahme a < 1 zum Widerspruch führt. Wir betrachten eine Kurve γ̃ : [0, a − δ] → Y , deren Existenz in der Definition von
a gefordert wird. Es sei γ̃(a − δ) = y 0 . Nach dem bereits behandelten Fall
V = X, kann man die Kurve γ : [a − δ, a + δ] → V eindeutig zu einer Kurve
ρ : [a − δ, a + δ] → f −1 (V ) liften, so daß ρ(a − δ) = y 0 . Die Existenz der
folgenden Kurve ist ein Widerspruch zur Definition von a:
(
γ̃(t) für t ∈ [0, a − δ]
γ̃1 (t) =
ρ(t) für t ∈ [a − δ, a + δ]
Also gilt a = 1. Dann findet man genau wie eben γ̃ : [0, 1 − δ] → Y und
ρ : [1 − δ, 1] → Y und damit die im Satz behauptete Liftung. Q.E.D.
2
Satz: Es sei f : Y → X eine Überlagerung. Es sei S ein topologischer
Raum. Es seien
H : S × I → X, und h̃ : S → Y
stetige Abbildungen, so dass H(s, 0) = f ◦ h̃(s).
Dann existiert eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung:
H̃ : S × I → Y,
so dass H̃(s, 0) = h̃(s).
Satz: Es sei f : Y → X eine Überlagerung topologischer Räume. Es sei
y0 ∈ Y und x0 = f (y0 ). Wir haben die Abbildung
f∗ : π(Y, y0 ) → π(X, x0 ).
Es sei Z ein topologischer Raum der wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend ist. Es sei z0 ∈ Z. Es sei g : Z → X eine stetige Abbildung, so
dass g(z0 ) = x0 .
Es gibt genau dann eine stetige Abbildung h : Z → Y mit h(z0 ) = y0 ,
so dass f ◦ h = g, wenn das Bild der Abbildung g∗ : π(Z, z0 ) → π(X, x0 ) im
Bild von f∗ liegt.
Die Abbildung h ist eindeutig bestimmt.
Operation der Fundamentalgruppe auf der Faser einer Überlagerung.
Es sei f : Y → X eine Überlagerung. Es sei x0 ∈ X. Es sei σ : I → X eine
geschlossene Kurve, so dass σ(0) = σ(1) = x0 . Zu jedem Punkt y ∈ f −1 (x0 )
gibt es genau eine Kurve σ̃ : I → Y , so dass f ◦ σ̃ = σ und σ̃(0) = y. Wir
definieren
yσ := σ̃(1).
(3)
Die Fomel (3) definiert eine Rechtsoperation von π(X, x0 ) auf der Faser
f −1 (x0 ).
Satz 0.3 Es sei y0 ∈ f −1 (x0 ). Die Abbildung
f∗ : π(Y, y0 ) → π(X, x0 ).
ist injektiv und ihr Bild ist der Stabilisator von y0 bei der Rechtsoperation
von π(X, x0 ) auf f −1 (x0 ).
3
Ein Morphismus von Überlagerungen r : (Y, f ) → (Z, g) ist eine stetige
Abbildung r : Y → Z, so dass g◦r = f . Wir schreiben r ∈ HomX ((Y, f ), (Z, g)).
Die induzierte Abbildung r : f −1 (x0 ) → g −1 (x0 ) ist eine Abbildung von
π(X, x0 )-Rechtsmengen.
Satz 0.4 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend.
Die Abbildung von Mengen
HomX ((Y, f ), (Z, g)) −→ Hom−π(X,x0 ) (f −1 (x0 ), g −1 (x0 ))
ist bijektiv. (Rechts steht die Menge der Abbildungen von π(X, x0 )- Rechtsmengen.)
Wir setzen im folgenden stets X wegzusammenhängend voraus. Wir bemerken, dass Y genau dann wegzusammenhängend ist, wenn π(X, x0 ) transitiv auf f −1 (x0 ) operiert.
Die Gruppe π(X, x0 ) ist bezüglich der Multiplikation von rechts eine
π(X, x0 )-Rechtsmenge. Ein Überlagerung (X̃, u) ist universell, wenn u−1 (x0 )
als π(X, x0 )-Rechtsmenge isomorph zu π(X, x0 ) ist. Nach Satz 0.4 sind zwei
universelle Überlagerung von X als Überlagerungen isomorph.
Es sei f : Y → X eine Überlagerung von X, so dass Y einfach zusammenhängend ist. Da Y wegzusammenhängend ist, operiert π(X, x0 ) transit
auf der Faser f −1 (x0 ). Es sei y0 ∈ f −1 (x0 ). Nach Proposition 0.3 ist der
Stabilisator von y0 in π(X, x0 ) trivial (d.h. = {1}). Also ist f −1 (x0 ) als
π(X, x0 )-Rechtsmenge isomorph zu π(X, x0 ). Also ist f : Y → X eine universelle Überlagerung.
Beispiel: Es sei X = S 1 . Wir setzen Y = R. Weil Y kontrahierbar
ist, ist es auch einfach zusammenhängend. Wir definieren f : Y → X durch
f (x) = (cos 2πx, sin 2πx) ∈ S 1 . Das ist eine Überlagerung und folglich eine
universelle Überlagerung.
Es sei x0 = (1, 0) ∈ S 1 . Es gilt f −1 (0) = Z ⊂ R = Y . Es sei ω : I → S 1
ein geschlossener Weg mit ω(0) = ω(1) = x0 . Es existiert genau eine Liftung
ω̃ : I → Y , so dass ω̃(0) = 0 ∈ Y . Wir setzen ω̃i (t) = ω̃(t) + i ∈ Y für i ∈ Z.
Dann ist ω̃i die eindeutig bestimmte Liftung von ω, so dass ω̃i (0) = i.
Wir definieren eine Funktion W : π(S 1 , x0 ) → Z:
W(ω) = ω̃(1) ∈ Z.
4
(4)
Satz 0.5
W : π(S 1 , x0 ) → Z
(5)
ist eine Isomorphismus von Gruppen. Man nennt W(ω) die Windungszahl
des Weges ω : I → S 1 .
Beweis: π(S 1 , x0 ) operiert von rechts auf f −1 (x0 ) = Z. Wir bezeichnen
diese Operation hier mit •.
i • ω = i + W(ω),
für alle ∈ Z.
In der Tat, nach Definition ist
i • ω = ω̃i (1) = i + ω̃(1) = i + W(ω).
Aus der Gleichung i • (ω ∗ τ ) = (i • ω) • τ folgt, dass W ein Homomorphismus
ist. Nach Proposition 0.3 ist der Sabilisator von i ∈ f −1 (x0 ) = Z in π(S 1 , x0 )
trivial. Daher impliziert W(ω) = 0, dass die Klasse von ω in π(S 1 , x0 ) trivial
ist. Daher ist 5 injektiv.
Weil Y wegzusammenhängend ist, gibt für beliebige i, j ∈ Z ⊂ Y einen
Verbindungsweg. Daher ist (5) auch surjektiv. Q.E.D.
Der topologische Raum R2 \ {0} ist homotopieäquivalent zu S 1 und hat
daher ebenfalls die Fundamentalgruppe Z. Wir können eine universelle
Überlagerung hinschreiben:
R>o × R →
R2 \ {0}
(r, t)
7→ (r cos 2πt, r sin 2πt)
Es sei γ : I → R2 \ {0}. Wir wählen eine Liftung ˜(γ) : I → R>0 × R. Es sei
˜(γ)(0) = (r0 , t0 ) und ˜(γ)(1) = (r1 , t1 ). Dann definieren wir die Windungszahl:
W(γ) = t1 − t0 .
Das ist eine ganze Zahl, wenn γ eine geschlossene Kurve ist. Es sei σ eine
weitere geschlossene Kurve, aber evtl. mit einem anderen Anfangspunkt.
Satz 0.6 Es sei H : I × I → R2 \ {0} eine stetige Abbildung, so dass für alle
s, t ∈ I:
H(0, t) = γ(t),
H(1, t) = σ(t),
H(s, 0) = H(s, 1).
Dann haben γ und σ die gleiche Windungszahl.
5
Satz 0.7 ( Satz über den Hund an der Leine) Es seien γ und σ zwei geschlossene
Kurven in R2 \ {0}. Die Verbindungsstrecke der Punkte γ(t) und σ(t) möge
den 0-Punkt für kein t ∈ I treffen.
Dann ist W(γ) = W(σ).
Corollary 0.8 Es sei n > 0 eine natürliche Zahl. Es seien a0 , a1 , . . . , an−1 ∈
C komplexe Zahlen.
Dann gibt es eine Zahl z ∈ C, so dass
a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an−1 z n−1 + z n = 0.
eine ste Es sei x0 ∈ R2 \ {0}. Wir bezeichenen mit x0 : I → R2 \ {0} den
Kreis mit dem Mittelpunkt x0 und dem Anfangs und Endpunkt
Satz 0.9 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend.
Wir nehmen an, dass X die folgende Eigenschaft E besitzt:
(E) Jeder Punkt x ∈ X hat eine Umgebung N , so dass die Abbildung
π(N, x) → π(X, x)
trivial ist.
Dann besitzt X eine universelle Überlagerung.
Es sei Y ein topologischer Raum und es sei G eine Gruppe. Wir sagen,
dass G auf Y operiert (von links), wenn für jedes g ∈ G eine stetige Abbildung
g : Y → Y , y 7→ gy existiert, so dass
1G y = y, und g(hy) = (gh)y,
für y ∈ Y, g, h ∈ G.
Hier ist 1G ∈ G das neutrale Element von G.
Definition Die Operation heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn jeder
Punkt y ∈ Y eine Umgebung U besitzt, so dass
gU ∩ U = ∅,
für alle g ∈ G, g 6= 1G .
Es seien Y1 und Y2 zwei topologische Räume auf denen G operiert. Eine
stetige Abbildung ρ : Y1 → Y2 heißt G-äquivariant, wenn
ρ(gy1 ) = gρ(y1 ).
6
Es sei X ein topologischer Raum und G eine Gruppe, die wir mit der
diskreten Topologie versehen. Man definiert auf G × X die folgende Operation:
g(h, x) := (gh, x) g, h ∈ G, x ∈ X.
Diese Operation ist eigentlich diskontinuierlich. Es sei p : G × X → X die
Projektion. Wenn y ∈ G × X, so gilt p(gy) = p(y).
Definition Es sei X ein topologischer Raum und es sei G eine Gruppe.
Ein G-Torseur auf X ist ein topologischer Raum Y mit einer Abbildung
f : Y → X und einer Linksoperation von G auf Y , so dass
1. f (gy) = f (y),
g ∈ G, y ∈ Y .
2. Für jeden Punkt x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U und einen
Homöomorphismus
ρ : G × U → f −1 (U ).
(6)
so dass f (ρ((h, x))) = x, und ρ(g(h, x)) = gρ((h, x)).
Aus dieser Definition folgt, dass f : Y → X eine Überlagerung ist und
G auf Y eigentlich diskontinuierlich operiert. Die Abbildung ρ ist eine Gäquivariante Abbildung von Überlagerungen von X.
Ein Morphismus von Torseuren ρ : (Y1 , f1 ) → (Y2 , f2 ) ist eine stetige
Abbildung ρ : Y1 → Y2 von Überlagerungen, die G-äquivariant ist.
(G × X, p) ist ein G-Torseur auf X. Das nennt man den trivialen GTorseur. Die Bedingung (6) besagt, dass lokal auf X ist jeder Torseur isomorph zum trivialen Torseur ist.
Beispiel: Unter den Vorausetzungen von Satz 0.9 ist die universelle
Überlagerung (X̃, u)) ein π(X, x0 )-Torseur. Die Operation von π(X, x0 )
auf X̃ erhält man aus Satz 0.4 , weil π(X, x0 ) von links auf der π(X, x0 )Rechtsmenge π(X, x0 ) operiert.
Es sei (Y, f ) ein G-Torseur über X (wegzusammenhängend) und x0 ∈ X.
Es sei y0 ∈ f −1 (x0 ).
Dann gibt es zu jedem σ ∈ π(X, x0 ) gibt es genau ein α(σ) ∈ G, so dass
α(σ)y0 = y0 σ
Hier steht links die Operation von G auf X und rechts steht die Rechtsoperation der Fundamentalgruppe π(X, x0 ) auf der Faser f −1 (x0 ). Man erhält
7
einen Homomorphismus von Gruppen
α : π(X, x0 ) → G.
(7)
Wir haben also zu jedem punktierten G-Torseur (Y, f, y0 ) einen Homomorphismus α assoziiert.
Es sei (X̃, u) eine universelle Überlagerung von X. Es sei x0 ∈ X. Wir
fixieren einen Punkt c0 ∈ u−1 (x0 ). Dann haben wir eine Bijektion von Rechtsmengen π(X, x0 ) → u−1 (x0 ), die durch die Bedigung 1 → c0 bestimmt ist.
Die fixieren wir und schreiben π(X, x0 ) = u−1 (x0 ). Dann ist c0 das neutrale
Elemnten von π(X, x0 ), d.h. die Homotopieklasse der Kurve c0 (t) = x0 . Der
zur der punktierten universellen Überlagerung (X̃, u, c0 ) assoziierte Homomorphimus (7) ist die identische Abbildung
id : π(X, x0 ) → π(X, x0 ).
Corollary 0.10 Die Vorraustzungen von Satz 0.9 mögen gelten. Es sei x0 ∈
X. Es sei F eine π(X, x0 )-Rechtsmenge.
Dann ist f : F ×G X̃ → X eine Überlagerung von X, wo f (a, y) = u(y).
Die Abbildung
F −→ f −1 (x0 ), a ∈ F
a 7→
(a, c0 )
eine Bijektion von π(X, x0 )-Rechtsmengen.
Corollary 0.11 Die Vorraustzungen von Satz 0.9 mögen gelten. Es sei x0 ∈
X. Es sei ξ : π(X, x0 ) → G ein beliebiger Gruppenhomomorphismus.
Dann existiert ein punktierter G-Torseur (Y, f, y0 ), wo f (y0 ) = x0 , so
dass der assoziierte Homomorphismus (7) gleich ξ ist.
Wenn (Y 0 , f 0 , y00 ) ein weiterer punktierter G-Torseur mit dieser Eigenschaft ist, so gibt es genau einen Morphismus von Torseuren
ρ : (Y, f, y0 ) → (Y 0 , f 0 , y00 ),
(8)
so dass ρ(y0 ) = y00 .
Die Eindeutigkeit sieht man so: Es sei τ eine weiterer Morphismus mit den
Eigenschaften (8). Dann gilt für alle g ∈ G:
ρ(gy0 ) = gρ(y0 ) = gy00 = gτ (y0 ) = τ (gy0 ).
8
Da G transitiv auf der Faser f −1 (x0 ) operiert, folgt dass ρ und τ eingeschränkt
auf f −1 (x0 ) übereinstimmen. Aber dann stimmen nach Proposition 0.4 auch
ρ und τ überein.
Theorem 0.12 Es sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend.
Es seien U und V wegzusammenhängende offene Teilmegen von X, so dass
U ∩ V wegzusammenhängend ist. Wir setzen voraus, dass X, U, V, U ∩ V die
der Bedingung (E) erfüllt ist.
Es sei x0 ∈ U ∩ V . Wir betrachten folgendes kommutative Diagramm von
Gruppenhomomorphismen:
ι
U
π(U ∩ V, x0 ) −−−
→ π(U, x0 )



κU
ιV y
y
π(V, x0 )
−−−→ π(X, x0 ).
κV
α
α
Es sei G eine Gruppe und es seien α : π(U, x0 ) −→ G und β : π(V, x0 ) −→ G
zwei Gruppenhomomorphismen, so dass α ◦ ιU = β ◦ ιV .
α
Dann existiert genau eine Gruppenhomomorphismus γ : π(X, x0 ) −→ G,
so dass γ ◦ κU = α und γ ◦ κV = β.
Durch diese Eigenschaft ist die Gruppe π(X, x0 ) aus den beiden Gruppenhomomorphismen ιU und ιV eindeutig bestimmt.
Corollary 0.13 Es sei Ω ⊂ R2 eine offenen konvexe Menge. Es seien
P1 , . . . , Pm verschiedene Punkte von Ω. Es sei x0 ∈ Ω ein weiterer Punkt.
Wir wählen eine Zahl > 0. Wir legen um jeden der Punkte Pi eine
Kreis Ki mit dem Radius . Wir wählen so klein, dass die Kreise ganz
in Ω \ {x0 } liegen und paarweise disjunkt sind. Wir wählen eine Punkt Fi
auf dem Kreisumfang von Ki . Wenn wir den Kreis Ki von Fi einmal auf
dem Umfang (z.B. im positiven Drehsinn) umrunden, so erhalten wie eine
geschlossene Kurve γi in Ω \ {P1 , . . . , Pm }. Wir wählen beliebige Kurven αi
in Ω \ {P1 , . . . , Pm } die den Punkt x0 mit dem Punkt Fi verbinden und setzen
τi = αi ∗ γ ∗ αi−1 .
Dann ist π(Ω \ {P1 , . . . , Pm }, x0 ) die freie Gruppe mit den Erzeugenden
τ1 , . . . , τ m .
9
Satz: Es sei P ∈ R2 ein Punkt der Ebene mit den Koordinaten (x0 , y0 ).
Es sei γ : I → R2 \ {P } eine stetig differenzierbare Kurve und WP (γ) ihre
Windungszahl bezüglich P .
Dann gilt:
Z
−(y − y0 )dx + (x − x0 )dy
1
.
WP (γ) =
2π γ (x − x0 )2 + (y − y0 )2
10