zum 28.6.2011

Übungs-Blatt 6
BMT Biostatistik
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. B. Grabowski
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ ein. Es gilt für ein zufällig ausgewähltes Produkt: Es hat mit der
Wahrscheinlichkeit 0,1 mindestens einen der beiden Fehler, mit Wahrscheinlichkeit 0,09 den
Fehler F1 und mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 den Fehler F2. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit hat das Produkt beide Fehler F1 und F2?
Aufgabe 2)
Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten aus den gegebenen!
Verwenden Sie dazu die Eigenschaften von Mengenoperationen und die o.g. Axiome der
Wahrscheinlichkeit.
a) Gegeben: P(A»B) = 0,9, P( B ) = 0,4 , P(A…B) = 0,3, Gesucht: P(A)
b) P(A…B) = 0,3, P(C)=0,7, P((A»C)…(B»C))=0,8 Gesucht: P(A…B…C)
Aufgabe 3)
a) Zeigen Sie, dass für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P folgende Formel gilt:
P( A1 ∪ A2 ∪ A3)
= P( A1) + P( A2) + P( A3) − P( A1 ∩ A2) − P( A1 ∩ A3) − P( A2 ∩ A3) + P( A1 ∩ A2 ∩ A3) (1)
Hinweis: Wir wissen bereits, dass die Formel P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) gilt.
Setzen Sie in dieser Formel A=A1 ∪A2 und B=A3 und wenden Sie sie dann ggf. mehrfach
an!
b) Ein Arzt unterscheidet 3 verschiedene Merkmale, die für eine Gelbsucht sprechen:
F1 =„Augen-Weiß und Haut ist Gelb“ , F2=“Blutwerte ALAT und ASYN sind zu hoch“,
F3=“Leberschmerzen“. Diese Merkmale treten mit folgenden Wahrscheinlichkeiten in der
Bevölkerung auf:
P(F1)
P(F2)
P(F3)
P(F1…F2)
P(F1…F3)
P(F2…F3)
P(F1…F2…F3)
0,05
0,05
0,07
0,01
0,02
0,03
0,005
Der Arzt diagnostiziert bei einem Patienten Verdacht auf Gelbsucht, wenn mindestens eines
der 3 Merkmale F1, F2 oder F3 bei dem Patienten auftritt!
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Arzt bei einem zufällig eintreffenden
Patienten eine Gelbsucht diagnostiziert? (D.h., wieviel % aller Patienten werden von ihm als
Gelbsucht-verdächtig eingestuft?)
Hinweis: Wenden Sie Formel (1) für A1 = A, A2= B und A3 = C an, um die gesuchte
Wahrscheinlichkeit zu berechnen!
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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. B. Grabowski
Klassische Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 4)
Wir betrachten den Laplace-Versuch V= „Werfen zweier Würfel“.
| A|
Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P( A) =
der klassischen
|Ω|
Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A = „Werfen von zwei Sechsen“
b) A = „Die Summe der Augenzahl ist gleich 8 oder 10“
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie ein elementarer Versuchsausgang dargestellt werden
kann und dann, wie die Grundmenge Ω und das Ereignis A aussehen.
Aufgabe 5) (Münzwurf)
Sei V der zufällige Versuch „3 mal hintereinander wird eine Münze geworfen“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A= Es ist jedesmal ‚Kopf’ geworfen worden.
b) A= Beim 1. mal ist ‚Kopf’ geworfen worden!
c) A= Es ist nicht 3 mal das gleiche geworfen worden.
Hinweis: Ein elementarer Versuchsausgang kann durch das Tripel (M1,M2,M3) dargestellt
werden mit Mi ∈{Kopf,Zahl} als Ergebnis des i.ten Wurfes, i=1,2,3, dargestellt werden.
Überlegen Sie sichdann, wie die Grundmenge Ω und das jeweilige Ereignis A aussehen.
Aufgabe 6) (Code knacken)
Ein 5 – stelliger Zugangscode zum Giftschrank besteht aus den Ziffern 0,1,...,9. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende
Zusatzinformationen besitzen:
a) keine weiteren Zusatzinfos
b) Alle Ziffern des Codes unterscheiden sich voneinander!
c) Der Code enthält genau 2 mal die Ziffer 1 und 3 mal die 9!
d) Der Code enthält genau 2 mal die Ziffer 1!
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist definiert als
P( A ∩ B)
. Damit gilt für die sogenannte Verbundwahrscheinlichkeit von A
P( B)
und B: P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) P( B).
P( A / B) =
Aufgabe 7)
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,5 sowie
P(X > 100 h) = 0,8.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauelement, welches bereits 100 h
„überlebt hat“ auch 200 h „überlebt“?
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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. B. Grabowski
Hinweis: Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B); definieren Sie dazu auf geeignete
Weise die Ereignisse A und B.
Aufgabe 8)
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür T1 zu bestehen
sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab: ist T1 bestanden worden, so
besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, sonst ist sie 0,5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu bestehen?
Hinweis: Stellen Sie das Ereignis „Beide Tests werden bestanden“ durch T1 und T2 und die
Mengenoperationen dar! Welche Wahrscheinlichkeiten sind gegebven? Berechnen Sie dann die
gesuchte Wahrscheinlichkeit aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten.
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