7 Polynome und Potenzreihen

7 Polynome und Potenzreihen
7.1 Polynome
Definition 7.1. Gegeben seien n ∈ N und komplexe oder reelle Zahlen a0 , a1 , . . . , an .
Eine Funktion der Form
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
heißt Polynom in x. Die Zahlen a0 , . . . , an heißen Koeffizienten von p. Falls an 6= 0, so ist
n der Grad von p, man schreibt n = Grad(p), und p heißt Polynom n-ten Grades. Wenn
a0 , . . . , an ∈ R, so kann p als Abbildung von R nach R aufgefasst werden, andernfalls,
falls a0 , . . . , an ∈ C, als Abbildung p : C → C.
Satz 7.2. Es sei n ∈ N, p ein Polynom n-ten Grades und c ∈ R oder c ∈ C mit p(c) = 0.
Dann existiert ein Polynom q(x) mit Grad < n und
p(x) = q(x)(x − c).
Beispiel 7.3.
Bemerkung 7.4. Ist p(x) und c mit p(c) = 0 gegeben, so kann man g(x) durch Polynomdivision berechnen.
Beispiel 7.3 (Fortsetzung).
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7 Polynome und Potenzreihen
Satz 7.5. Es sei p(x) ein Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an ∈
R, und c ∈ C mit p(c) = 0. Dann ist auch p(c) = 0.
Beweis.
Satz 7.6. Es sei p(x) ein Polynom n-ten Grades mit der Nullstelle c ∈ C mit p(c) = 0
und dem Faktor q(x) (vgl. Satz 7.2), d.h. p(x) = q(x)(x − c). Außerdem sei c̃ ∈ C eine
weitere Nullstelle von p, d.h. c̃ 6= c und p(c̃) = 0. Dann ist q(c̃) = 0.
Beweis.
Definition 7.7. Es sei k ∈ N und p(x) ein Polynom. c ∈ C heißt k-fache Nullstelle von
p(x), wenn ein q(x) existiert mit p(x) = q(x)(x − c)k und q(c) 6= 0.
Satz 7.8. (i) Jedes Polynom p(x) n-ten Grades lässt sich in C in n lineare (affine)
Faktoren zerlegen.
(ii) Jedes Polynom p(x) n-ten Grades mit reellen Koeffizienten lässt sich in R in
(höchstens n) lineare (affine) oder quadratische Faktoren zerlegen.
Beweis.
Beispiel 7.9.
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7.2 Reihen
7.2 Reihen
Definition 7.10. Es sei (ak )k∈N ⊂ C eine Folge, und für alle n ∈ N sei
n
X
sn =
ak = a1 + a2 + . . . + an .
k=1
Die Folge (sn )n∈N nennt man Reihe und man schreibt
∞
X
(sn )n∈N =
ak .
n=1
P
Für n ∈ N heißt sn die n-te Partialsumme von ∞
n=1 an .
P∞
Definition 7.11. Eine Reihe k=1 ak heißt konvergent, wenn derPGrenzwert s = limn→∞ sn
∞
existiert. Man
P∞nennt dann s den Wert der Reihe und schreibt k=1 an = s. Ansonsten
nennt man k=1 an divergent.
Beispiel 7.12.
Satz 7.13.
(i) Konvergiert
P∞
k=1
ak , so ist (ak )k∈N eine Nullfolge.
(ii) P
Ist (ak )k∈N ⊂ R eine Folge mit ak ≥ 0P
für alle k ∈ N, so konvergiert die Reihe
n
∞
k−1 ak n∈N beschränkt ist.
k=1 ak genau dann, wenn (sn )n∈N =
Beweis.
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P
P∞
Definition 7.14. Die Reihe ∞
k=1 ak heißt absolut
P∞ konvergent, falls k=1 |ak | konvergiert. Aus der absoluten Konvergenz einer Reihe k=1 ak folgt die Konvergenz der Reihe.
Satz 7.15. Es sei (ak )k∈N ⊂ C.
(i) Wenn der Grenzwert limk→∞
|ak+1 |
|ak |
= g ∈ R existiert, dann gilt:
∞
X
|ak+1 |
lim
<1⇒
ak konvergiert absolut,
k→∞ |ak |
k=1
∞
X
|ak+1 |
>1⇒
lim
ak divergiert.
k→∞ |ak |
k=1
(ii) Wenn der Grenzwert limk→∞
(Quotientenkriterium)
p
k
|ak | = g ∈ R existiert, dann gilt:
∞
X
p
k
lim |ak | < 1 ⇒
ak konvergiert absolut,
k→∞
p
lim k |ak | > 1 ⇒
k→∞
k=1
∞
X
(Wurzelkriterium)
ak divergiert.
k=1
|
(iii) Wenn limk→∞ |a|ak+1
existiert, dann existiert auch limk→∞
k|
werte sind gleich. Die Umkehrung gilt nicht.
Beispiel 7.16.
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p
k
|ak | und die Grenz-
7.3 Potenzreihen
7.3 Potenzreihen
Definition 7.17. Es sei (ck )k∈N ⊂ C eine Folge und z0 ∈ C. Eine Reihe der Form
∞
X
ck (z − z0 )k
k=0
heißt Potenzreihe in z0 . Die Konvergenz und der Wert der Reihe hängen von z ab.
Beispiel 7.18.
Satz 7.19. Es sei (ck )k∈N ⊂ C und z0 ∈ C.
(i) Für z = z0 konvergiert die Potenzreihe
P∞
k=0 ck (z
− z0 )k = 0 natürlich.
P
k
(ii) Wenn ∞
k=0 ck (z − z0 ) in einem Punkt z ∈ C konvergiert, dann gilt entweder:
P∞
k
a)
k=0 ck (z − z0 ) konvergiert für alle z ∈ C, oder
b) es existiert ein R > 0 so dass:
X
∀z ∈ C mit |z − z0 | < R konvergiert
ck (z − z0 )k , und
X
∀z ∈ C mit |z − z0 | > R divergiert
ck (z − z0 )k .
Die Zahl R aus (ii) b) heißt Konvergenzradius, vgl. Beispiel 7.18 (ii). Man schreibt
außerdem
(
0,
R=
∞,
P
falls
ck (z − z0 )k nur für z = z0 konvergiert,
P
falls
ck (z − z0 )k für alle z ∈ C konvergiert.
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Satz 7.20 (zur Berechnung des Konvergenzradius).
Es sei (ck )k∈N ⊂ C, z0 ∈ C und R
P
k
der Konvergenzradius der Potenzreihe
ck (z − z0 ) . Falls die jeweiligen Grenzwerte
existieren, so ist

|
= ∞,
falls limk→∞ |c|ck+1

0,
k|
|
R = ∞, falls limk→∞ |c|ck+1
= 0,
k|

1
|ck+1 |
,
falls limk→∞ |ck | = q ∈ R, q 6= 0,
q
bzw.


0,
R = ∞,

1
,
w
√
falls limk→∞ k ck = ∞,
√
falls limk→∞ k ck = 0,
√
falls limk→∞ k ck = w ∈ R, w 6= 0.
Beweis.
Beispiel 7.21.
Satz 7.22. Es seien (ck )k∈N ⊂ C, z0 ∈ C, R der Konvergenzradius der Reihe
z0 )k , und B(z0 , R) = {z ∈ C | |z − z0 | < R}. Für die Funktion
∞
X
f : B(z0 , R) → C, f (z) =
ck (z − z0 )k
P∞
k=0 ck (z−
k=0
gilt:
(i) f ist stetig,
(ii) f ist differenzierbar und f 0 (z) =
P∞
k=0
l=k−1
kck (z −z0 )k−1 =
P∞
l=0 (l +1)ck+1 (z −z0 )
(iii) f ist integrierbar und
Z
f dx =
l=k+1
=
∞
X
k=0
∞
X
k=1
Die Potenzrehen f 0 und
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R
1
ck (z − z0 )k+1 + C
k+1
1
cl−1 (z − z0 )l + C.
l
f dx besitzen ebenfalls den Konvergenzradius R.
l
,