Theoretische Physik IV IV.5.2 Stoßwellen Wenn die Amplitude der in

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N.BORGHINI
Hydrodynamik
Theoretische Physik IV
IV.5.2 Stoßwellen
Wenn die Amplitude der in Abschnitt IV.5.1 betrachteten Schallwelle groß wird, so dass |~v 0 | cs
nicht mehr gilt, spielen die nicht-linearen Terme in den Bewegungsgleichungen auch eine Rolle. Der
Einfachheit halber wird dies hiernach für den Fall eines eindimensionalen Problems untersucht.
Die Bewegungsgleichungen (IV.17) lauten
∂ρ(t, x)
∂v0 (t, x)
∂ρ(t, x)
+ ρ(t, x)
+ v0 (t, x)
= 0,
(IV.22a)
∂t
∂x
∂x
∂v0 (t, x)
∂ P 0 (t, x)
∂v0 (t, x)
+ v0 (t, x)
+
= 0.
(IV.22b)
ρ(t, x)
∂t
∂x
∂x
Wie in Abschnitt IV.5.1 lässt sich die Variation des Drucks durch die Variation der Massendichte
ausdrücken. Dann kann P 0 (t, x) durch cs (ρ)2 ρ0 (t, x) in der zweiten Gleichung ersetzt werden.10 Die
Ableitung von ρ0 (t, x) nach x stellt auch die Ableitung nach x von ρ(t, x) dar, so dass man zwei
Gleichungen für die zwei unbekannten Funktionen ρ(t, x) und v0 (t, x) = v(t, x) erhält:
∂ρ(t, x)
∂v(t, x)
∂ρ(t, x)
+ ρ(t, x)
+ v(t, x)
= 0,
∂x
∂x
∂t
∂ρ(t, x)
∂v(t, x)
∂v(t, x)
+ cs (ρ)2
ρ(t, x)
+ v(t, x)
= 0.
∂t
∂x
∂x
(IV.23a)
(IV.23b)
Um diese Gleichungen zu lösen, kann man annehmen, dass die Massendichte und die Strömungsgeschwindigkeit sich parallel zueinander mit der Zeit und dem Ort ändern, denn dies gilt für die
Lösungen der linearisierten Gleichungen — die Schallwellen, in denen ρ(t, ~r) und ~v(t, ~r) die gleiche
Phase (cs |~k|t+~k ·~r) haben. Die Abhängigkeit von v nach t und x kann dann durch eine Abhängigkeit
v(ρ(t, x)) ersetzt werden, mit v(ρ0 ) = 0. Somit lassen sich die partiellen Ableitungen nach t bzw. x
des Geschwindigkeitsfeldes als
∂v(t, x)
dv(ρ) ∂ρ(t, x)
=
∂t
dρ
∂t
bzw.
∂v(t, x)
dv(ρ) ∂ρ(t, x)
=
∂x
dρ
∂x
dv(ρ)
umschreiben und in Gl. (IV.23) einsetzen. Multipliziert man Gl. (IV.23a) mit ρ(t, x)
und zieht
dρ
man dann Gl. (IV.23b) von dem Resultat ab, so ergibt sich
2
2 dv(ρ)
2 ∂ρ(t, x)
ρ
− cs (ρ)
= 0,
dρ
∂x
d.h.
dv(ρ)
cs (ρ)
=±
.
(IV.24)
dρ
ρ
Die simultane Substitution v → −v, x → −x, cs → −cs lässt die Gleichungen (IV.23)-(IV.24)
invariant. Somit kann man nur den Fall des + Vorzeichens in Gl. (IV.24) betrachten. Die Geschwindigkeit ist dann gegeben durch
Z ρ
cs (ρ0 ) 0
v(ρ) =
dρ ,
0
ρ0 ρ
während Gl. (IV.23a) sich umschreiben lässt als
∂ρ(t, x)
∂ρ(t, x) + v ρ(t, x) + cs ρ(t, x)
= 0.
(IV.25)
∂t
∂x
Schreibt man die Massendichte als eine fortschreitende Welle f (x − cw t), so ist deren Phasengeschwindigkeit cw = cs (ρ) + v. Da dv(ρ)/dρ > 0 ist [Gl. (IV.24)], nimmt cw mit wachsender
Massendichte zu: die dichten Bereiche holen die verdünnten ein, wie in Abb. IV.5 dargestellt wird.
Insbesondere kann es einigen Fällen für eine endliche Zeit zu einer Unstetigkeit in einem Punkt x0
der Funktion ρ(t, x) kommen, entsprechend (der Front) einer Stoßwelle.
10
Hier wird stillschweigend cs (ρ0 ) in der Taylor-Entwicklung oberhalb Gl. (IV.19) durch cs (ρ) ersetzt.
IV. Strömungen eines idealen Fluids
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Theoretische Physik IV
ρ6
t0
-
x
t1 > t0
-
x
t2 > t1
-
x
t3 > t2
-
x
t4 > t3
-
x
Abbildung IV.5: Schematische Darstellung einer Stoßwelle.
Um die Eigenschaften der Strömung im Bereich der Stoßwelle weiter zu diskutieren, müssen
zunächst die Verhalten der verschiedenen Größen am Unstetigkeitspunkt präzisiert werden. Der
Kürze halber werden im nächsten Paragraph die t- und ~r-Abhängigkeit der Strömungsfelder nicht
geschrieben.
Sprunggleichungen
an Unstetigkeitsflächen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Oben wurde ein Beispiel für die Unstetigkeit einer makroskopischen Eigenschaft des Fluids
an einem Punkt einer eindimensionalen Strömung gefunden. In einer dreidimensionalen Strömung
würde eine Unstetigkeitsfläche, anstatt eines einzigen Punkts, stattfinden.
Sei ein sich mit der Unstetigkeitsfläche mitbewegendes Koordinatensystem, mit ~e1 dem Einheitsvektor senkrecht zur Fläche. Der Bereich vor bzw. hinter der Fläche wird durch (+) bzw. (−)
bezeichnet, d.h. das Fluid, in dem die Stoßwelle propagiert, bewegt sich von dem (+)- nach dem
(−)-Gebiet. Der Sprung einer lokalen Größe g (~r) an der Unstetigkeitsfläche wird definiert als
g ≡ g + − g −,
(IV.26)
wobei g + bzw. g − den Grenzwert von g im Limes x1 → 0+ bzw. x1 → 0− bezeichnet. Ist eine solche
Größe an der Unstetigkeitsfläche stetig, so verschwindet natürlich ihr Sprung.
Ganz allgemein müssen an einer Unstetigkeitsfläche die Massen- (oder Teilchen-), Energie- und
Impulsströme durch die Fläche — d.h. in die x1 -Richtung — stetig bleiben, entsprechend der lokalen
Erhaltung von Masse (oder Teilchenzahl), Energie und Impuls:
ρv1 = 0,
πi1 = 0 ∀i = 1, 2, 3,
(IV.27)
1 2
ρ~v + e + P v1 = 0.
2
Die Stetigkeit des Massenstroms durch die Fläche lautet auch (ρv1 )− = (ρv1 )+ ≡ j1 . Setzt man
diese Identität in die Sprunggleichungen für die Komponenten π21 = ρv2 v1 bzw. π31 = ρv3 v1 der
IV. Strömungen eines idealen Fluids
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Theoretische Physik IV
Hydrodynamik
Impulsstromdichte, entsprechend dem Strom durch die Unstetigkeitsfläche der Komponenten ρv2
und
parallel zur Fläche, so ergibt sich (v2 )− = (v2 )+ bzw. (v3 )− = (v3 )+ , d.h.
ρv3 des Impulses
v2 = 0 bzw. v3 = 0.11
Wenn man jetzt j1 in die Sprunggleichung für π11 = P + ρv12 einsetzt, ergibt sich
1
1
2
−
.
P − − P + = j1 (v1 )+ − (v1 )− = j1
ρ+ ρ−
(IV.28)
Mit j1 > 0, entsprechend der Bewegung des Fluids von dem (+)- nach dem (−)-Gebiet, findet
man für P − > P + die Ungleichungen ρ− > ρ+ (Verdichtung des Fluids hinter der Stoßfront) und
(v1 )+ > (v1 )− .
Falls die Sprünge der Größen klein sind, ist die Strömungsgeschwindigkeit vor der Stoßfront
größer als die lokale Schallgeschwindigkeit. Dies folgt aus
j2
P − − P + ρ− ρ+
∂P
ρ−
(v1 )2+ = 21 =
'
> c2s .
ρ− − ρ+ ρ2+
∂ρ S,N ρ+
ρ+
Umgekehrt gilt hinter der Stoßfront (v1 )− < cs .
Dank der Kontinuität der Komponenten v2 , v3 parallel zur Unstetigkeitsfläche vereinfacht sich
die Sprunggleichung für den Energiestrom zu
j12 1
1
e+ + P + e− + P −
1 2 e+p
v1 +
=
− 2 +
−
= 0.
2
2
ρ
2 ρ+ ρ−
ρ+
ρ−
Ersetzt man j12 mithilfe von Gl. (IV.28), so erhält man nach einigen Berechnungen
P+ + P− 1
1
e+
e−
−
−
=0
+
2
ρ+ ρ−
ρ+ ρ−
oder auch
P+ − P−
2
1
1
+
ρ+ ρ−
=
w+ w−
−
,
ρ+
ρ−
mit w = e + P der Enthalpiedichte. Diese äquivalenten Gleichungen stellen eine Beziehung zwischen
thermodynamischen Größen auf den beiden Seiten der Unstetigkeitsfläche dar, die als dynamische
Adiabate oder Rankine–Hugoniot-Adiabate bezeichnet wird.
11
Hier wurde stillschweigend j1 6= 0 angenommen! Falls dies nicht gilt, heißt es, dass es keinen makroskopischen
Strom von Materie durch die Unstetigkeitsfläche gibt. Dann ist die Sprunggleichung für den Energiestrom automatisch
erfüllt, während [[π11 ]] = 0 die Bedingung [[P ]] = 0 gibt, d.h. der Druck muss kontinuierlich sein. Alle anderen Größen
(ρ, v2 , v3 ...) können einen beliebig großen Sprung haben.
IV. Strömungen eines idealen Fluids
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