Didaktik der Stochastik - Hu

Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Übung zur Didaktik der Stochastik - Serie 4
Thema: Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
01. Juni 2010 | Markus Kantner
Aufgabe 4.1: Entenjagd
Fünf Enten landen auf einer Wiese. Darauf haben 5 Jäger gewartet.
Jeder zielt sofort auf eine Ente. Alle Jäger drücken gleichzeitig ab
und jeder trifft die ausgewählte Ente. Jonas meint: »Alle Enten
sterben!«
Was meinst Du?
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Behandlung im Schulunterricht
• Schüler sollen über Jonas’ Vermutung nachdenken, Hypothesen
äußern
• schnell wird klar: verschiedene Jäger können auf gleiche Ente
schießen
• Schüler erkennen, dass Jonas falsch liegen muss
⇒ neue Fragestellung:
Wieviele Enten überleben im Durchschnitt?
• Schüler werden dazu angeleitet, sich dem Problem durch
Nachstellen eines äquivalenten Zufallsprozesses zu nähern
• Vorüberlegung: kein Jäger bevorzugt irgendeine Ente
(Gleichverteilung)
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Erzeugung von Zufallszahlen und Modellierung
• Enten werden durchnummeriert (1 bis 5)
• 5 Jäger geben zusammen 5 zufällige Schüsse ab, bei jedem
Schuss wird eine der Enten 1-5 getroffen
• Schüler erkennen, dass durch Heranziehen von Zufallszahlen
das Schießen der Jäger stochastisch nachgestellt werden kann
• Möglichkeiten zur Erzeugung von gleichverteilten Zufallszahlen:
•
•
•
•
Würfeln (für maximal 6 Enten!)
nummerierte Lose ziehen und zurücklegen
Zufallszahlentabelle (Tafelwerk)
Taschenrechner/ Computer (Excel, Mathematica etc.)
• wichtige Bemerkung: zufälliges Ausdenken von Zahlen führt in
der Regel nicht zum Ziel (Siehe Zufallsfolgen beim Münzwurf)
• zu Beginn Nachstellen der Entenjagd auf enaktiver/ ikonischer
Ebene denkbar, dann aber Reduktion auf wesentliche Aspekte
des Zufallsversuchs notwendig
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Einfaches Modell der Entenjagd
Algorithmus:
1. 5 Jäger schießen ⇔ 5 Zufallszahlen erzeugen, jede Ziffer
bedeutet den Tod der zugehörigen Ente
2. Anzahl der überlebenden Enten ⇔ Anzahl der fehlenden Ziffern
ermitteln
3. Anzahl der überlebenden Enten in Tabelle notieren
Beispiel:
⇒ Ente 3 und Ente 4 werden nicht getroffen
⇒ Anzahl der nicht getroffenen Enten S beträgt: S = 2
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Notation und Auswertung
i
1
2
3
4
5
...
S
2
3
3
1
2
...
Lösung der Aufgabe
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Notation und Auswertung
i
1
2
3
4
5
...
S
2
3
1
1
2
...
0
0
0
0
0
0
...
1
0
0
1
2
2
...
2
1
1
1
1
2
...
3
0
1
1
1
1
...
4
0
0
0
0
0
...
Relative Häufigkeiten nach 5 Versuchen:
Überlebende
rel. Häufigkeit
0
0
1
0.4
2
0.4
3
0.2
4
0
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Stabilwerden relativer Häufigkeiten
Auswertung der Beobachtungsergebnisse
• Schüler wiederholen die Prozedur mit individuell gewähltem
Zufallsgenerator
• Ergebnisse werden notiert, relative Häufigkeiten nach
bestimmten Iterationsschritten berechnet (beispielsweise nach
5,10 und 20 Durchläufen)
• Bezugnahme auf Fragestellung: Wieviele Enten überleben im
Durchschnitt?
• Ergebnisse der Schüler werden zusammengetragen, verglichen
und grafisch dargestellt (Stabilwerden/ Konvergenz der
relativen Häufigkeiten wird sichtbar)
• in höheren Klassenstufen mit einiger Vorbereitung
Computer-Simulation möglich
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Erwartungswert der Anzahl der überlebenden Enten
Sei m die Anzahl der Enten und n die Anzahl der Jäger. Dann:
Überlebenswahrscheinlichkeit p einer bestimmten Ente:
p = 1−
1
m
n
5
hier: p =
4
5
= 0.32768
Zufallsvariable Xi beschreibt ob i-te Ente getroffen wurde:
(
Xi =
0
1
i-te Ente getroffen
i-te Ente überlebt
Damit ist S = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 die zufällige Anzahl der
überlebenden Enten. Es folgt:
E(S) = E
5
X
i=0
!
Xi
=
5
X
i=0
E(Xi ) = 5p = 5
5
4
5
= 1.6384
Aufgabenstellung
Behandlung im Schulunterricht
Lösung der Aufgabe
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass genau k Enten überleben:
P
5
X
!
Xi = k
i=0
X
m 1 m−k
m−k n
(−1)m−k−i
i
n
k m i=0
i
!
=
!
Für m = n = 5:
k
0
1
2
3
4
P(k)
0.0384
0.3840
0.4800
0.0960
0.0016