Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS-05

Prof. S. Krauter
Kombinatorik. WS-05-06.
Blatt06_Lsg.doc
Aufgaben zur Siebformel:
1. Formulieren Sie die Siebformel ausführlich und explizit für die Vereinigung von 2, 3
bzw. 4 Mengen A, B, C und D. Machen Sie sich die Sache im Fall von 3 Mengen an
einem Mengenbild nochmals klar.
Was erhält man mit der Siebformel, wenn die beteiligten Mengen paarweise disjunkt
sind?
2. Weisen Sie nach, dass ein Element, das in genau k der Mengen Ai vorkommt, in
der Siebformel genau 1 Mal gezählt wird.
3. a) Wie viele Zahlen aus der Menge M = {1, 2, 3, 4, …, 100 000} sind durch 6 oder
durch 7 oder durch 10 oder durch 15 teilbar?
b) Wie viele Zahlen aus der Menge M = {1, 2, 3, 4, …, 100 000} sind weder durch 6
noch durch 7 noch durch 10 noch durch 15 teilbar?
4. Das Problem der Rencontres:
An einer Tanzveranstaltung nehmen genau n Ehepaare teil. Bei einer Tanzrunde
fordert jeder der n Herren irgendeine der n Damen als Tanzpartnerin auf.
a) Wie viele verschiedene Zuordnungsmöglichkeiten der Herren zu den Damen gibt
es insgesamt?
b) Bei wie vielen der möglichen Zuordnungen tanzt keine einziger Herr mit seiner
eigenen Ehepartnerin?
c) Wie wahrscheinlich ist es daher, dass bei einer beliebigen Tanzrunde kein
einziges Ehepaar tanzt?
d) Berechnen Sie die Ergebnisse von a) bis c) z.B. mit Hilfe von MAPLE
zahlenmäßig für die Werte n = 0, 1, 2, 3, …,10, 20.
5. Fünf Jäger, allesamt perfekte Schützen, stehen schussbereit da um fünf auf dem
See schwimmende Enten zu erlegen. Jeder der 5 Jäger zielt beliebig auf irgendeine
Ente. Da alle perfekte Schützen sind, verfehlt keiner sein Ziel.
a) Wie viele verschiedene Zuordnungen zwischen Jägern und angezielten (und
damit auch getroffenen) Enten gibt es insgesamt?
b) Bei wie vielen Zuordnungen werden alle, bei wie vielen genau 4 bei wie vielen
genau 3, bzw. genau 2 bzw. genau 1 Ente bzw. keine Ente getroffen?
c) Wie groß ist die im Mittel getroffene Anzahl von Enten?
d) Wie groß ist die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ente?
6. Die Eulersche ϕ-Funktion gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele der
natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind, zu n teilerfremd sind.
So sind z.B. die Zahlen 1, 3, 7 und 9 zu 10 teilerfremd, also ist ϕ(10) = 4.
Man siebt unter den natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich 10 sind, diejenigen
aus, die die Primfaktoren 2 oder 5 enthalten.
a) Wie viele der Zahlen kleiner oder gleich 36 enthalten weder den Primfaktor 2
noch den Primfaktor 3, sind also zu 36 teilerfremd? Benützen Sie die Siebformel.
b) Sieben Sie unter den Zahlen 1, 2, 3, …, 210 genau diejenigen aus, die die
Primfaktoren 2 oder 3 oder 5 oder 7 enthalten. Bestimmen Sie auf diese Weise
die Anzahl der zu 210 teilerfremden Zahlen und damit ϕ(210).
c) Verfahren Sie wie in b) für die Zahl 8*9*5 = 360.
d) Leiten Sie nun mit Hilfe des Siebprinzips eine Formel her, mit der man die
Eulersche Zahl ϕ(n) berechnen kann, wenn man die Primfaktorzerlegung von n
kennt, also z.B. für n = pa * qb * rc.
Hinweis: Man erhält ϕ (n) = n * (1 -
1
1
1
) * (1 - ) * (1 - ).
p
q
r
Die folgenden Aufgaben stammen aus: M. Aigner; Diskrete Mathematik. Vieweg 1993.
7. An einer Fakultät ist festgelegt, dass jeder Student genau 4 der 7 angebotenen
Vorlesungen belegen muss. Die Dozenten geben ihre Teilnehmerzahlen mit 51, 30,
30, 20, 25, 12 und 18 an. Kann das stimmen?
8. a) Gegeben sind n paarweise disjunkte Mengen Si.
Diese enthalten a1, a2, ..bzw. an Elemente. Beweisen Sie:
Die Anzahl der verschiedenen Mengen, die aus jeder der Mengen Si höchstens
ein Element enthalten ist x = (a1 + 1) * (a2 + 1) * (a3 + 1) * ... * (an + 1).
b) Verwenden Sie dieses Prinzip zur Ermittlung der Teileranzahl einer Zahl aus
ihrer Primfaktorzerlegung.
c) Warum ist n genau dann eine Quadratzahl, wenn seine Teileranzahl ungerade
ist?
9. Es sei M = {1, 2, 3, ... , 100} und A eine Teilmenge von M mit ⏐A⏐=55. Zeigen Sie,
dass es in A zwei Zahlen a und b gibt mit a – b = 9. Gilt dies auch für ⏐A⏐= 54?
10. Kann man die 12 Kanten eines Würfels so mit den Zahlen 1, 2, 3, ..., 12
nummerieren, dass die Summe der drei Kanten in jeder Ecke dieselbe ist?
11. a) Im Parlament eines Landes gibt es 151 Sitze und drei Parteien.
Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung gibt es, so dass keine Partei die
absolute Mehrheit hat?
b) Wie viele verschiedene Wörter kann man durch Umstellungen der Buchstaben
aus dem Wort ABRAKADABRA bilden?
Lösungen zu Blatt06:
1. Siehe Skript.
2. Siehe Skript.
3. a) Se = Sechservielfache; analog: Si, Ze, Fz.
Wir verwenden der Einfachheit halber diese Bezeichnungen sowohl für die Mengen
als auch für deren Anzahlen.
Se = 16 666;
Si = 14 285; Ze = 10 000; Fz = 6 666; Summe1 =
Se ∩ Si = 2 380; Se ∩ Ze = 3 333; Se ∩ Fz = 3 333; Si ∩ Ze = 1 428;
Si ∩ Fz = 952; Ze ∩ Fz = 3 333. Summe2 = 14 759
Se ∩ Si ∩ Ze = 476; Se ∩ Si ∩ Fz = 476; Se ∩ Ze ∩ Fz = 3 333;
Si ∩ Ze ∩ Fz = 476; Summe3 = 4 761
Se ∩ Si ∩ Ze ∩ Fz = 476 = Summe4.
Ergebnis
= Summe1 – Summe2 + Summe3 – Summe4 =
= 47617 – 14 759 + 4 761 – 476
= 37 143.
> s:=0;
s := 0
> for i from 1 to 100000 do
if irem(i,6)=0 or irem(i,7)=0 or irem(i,10)=0 or irem(i,15)=0
then s:=s+1
end if;
end do;
print(s);
37143
b) Dies ist genau die Komplementmenge der in a) betrachteten Menge, also
erhalten wir 100000 – 37143 = 62 857.
> s:=0;
s := 0
> for i from 1 to 100000 do
if irem(i,6)>0 and irem(i,7)>0 and irem(i,10)>0 and
irem(i,15)>0 then s:=s+1
end if;
end do;
print(s);
62857
4. Es geht bei diesem Problem um bijektive Zuordnungen einer n-Menge auf sich
selbst, wenn wir die Ehepartner identifizieren.
a) Insgesamt gibt es n! mögliche Zuordnungen.
b) Es geht nun um die Anzahl der Fixpunktfreien Permutationen einer n-Menge:
n
1
Diese Anzahl ist uns bekannt (siehe Skript): n!*∑ (−1) k *
k!
k =2
c) Dividiert man die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen durch die Anzahl aller
Permutationen, so erhält man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges
n
1
Ehepaar tanzt zu w = ∑ (−1) k * .
k!
k =2
d) Wir geben die Werte in Form einer Tabelle an:
Anzahl und Anteil fixpunktfreier Permutationen einer n-Menge
> ffp:=proc(n);
n! * sum('(-1)^k*(1/k!)', 'k'=2..n)
end proc;
ffp := proc (n) n!×sum( '( -1 )^k/k!', 'k' = 2 .. n ) end proc
> ffp(2);
1
5. Wir lösen das Problem mit Hilfe der Kenntnisse über surjektive Abbildungen:
a) Es gibt insgesamt 55 = 3125 mögliche Zielzuordnungen Jäger → Ente.
b) In allen Fällen, bei denen die Zuordnung Jäger – Enten surjektiv ist, bleibt keine
Ente übrig, werden also alle 5 getroffen. Das sind 5! * S(5, 5) = 5! = 120 Fälle.
In all den Fällen, bei denen die Jäger die Enten 1, 2, 3 und 4 treffen, bleibt die
Ente 5 übrig. Das ist genau bei den surjektiven Abbildungen von 5 Jägern auf die
Enten 1 bis 4 der Fall, das sind jedoch 4! * S(5, 4) = 24 * 10 = 240 Fälle.
Analoges gilt für jede Ente. Daher sind dies 5 * 240 = 1200 Fälle.
In den Fällen, bei denen die Jäger die Enten 1, 2 und 3 treffen, bleiben die Enten
4 und 5 übrig. Das ergibt C(5,2) * 3! * S(5, 3) = 10 * 6 * 25 = 1500 Fälle.
Analog erhalten wir für 2 Treffer und 3 Überlebende: C(5,3) * 2! * S(5,2) = 10 * 2
* 15 = 300 Fälle.
Für 1 Treffer: C(5,4) * 1! * S(5, 1) = 5 Fälle.
Wir erhalten die folgende Tabelle:
Getroffen
1
2
3
4
5
Überlebt
4
3
2
1
0
Fallzahl
5
300
1500
1200
120
3125
0,0016
0,096
0,48
0,384
0,0384
1,0000
Wahrsch.
c) Mittlere Anzahl getroffener Ente
= 1 * 0,0016 + 2 * 0,096 + 3 * 0,48 + 4 * 0,384 + 5 * 0,384 = 3,3616.
Im Mittel werden also 3,3616 Enten getroffen
d) Dass eine bestimmte Ente von einem bestimmten Jäger nicht angezielt wird, trifft
in 4 von 5 Fällen zu, die Wahrscheinlichkeit dafür ist also 4/5. Dass sie von allen
fünf Jägern nicht getroffen wird ist daher (4/5)5 = 0,32768 = 33%.
e) Zusatz: Wir verwenden die Siebformel zur Ermittlung der Anzahl der „Volltreffer“:
Es sei M1 die Menge der Zuordnungen, bei der die Ente1 nicht getroffen wird.
Es ist M1 = 45. Analog M2 = M3 = M4 = M5 = M1.
M1 ∩ M2 = Enten 1 und 2 werden nicht getroffen; M1 ∩ M2 = 35. Analog andere.
M1 ∩ M2 ∩ M3 = 25. Analog die anderen Durchschnitte von 3.
M1 ∩ M2 ∩ M3 ∩ M4 = 1.
M1 ∩ M2 ∩ M3 ∩ M4 ∩ M5 = 0.
Damit erhalten wir für die Anzahl der Fälle bei denen mindestens eine Ente nicht
getroffen wird:
5 * 45 - 10 * 35 + 10 * 25 - 5 * 1 = 3005;
In 3125 – 3005 = 120 = Surj(5, 5) = 5! Fällen, werden dagegen alle getroffen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Enten getroffen werden ist also
120/3125 = 0,0384 also kleiner als 4%.
6. a) Z = Menge der Zahlen bis 36, die den Primfaktor 2 enthalten. z = 18.
Analog d = 12. Z ∩ D ergibt zd = 6. Damit erhalten wir:
Z ∪ D = z + d – zd = 18 + 12 – 6 = 24. Die restlichen 12 enthalten weder den
Primfaktor 2 noch den Primfaktor 3, sind also zu 36 teilerfremd, d.h. ϕ(36) = 12.
b) 210 = 2 * 3 * 5 * 7.
Den Primfaktor 2 enthalten z = 105 der Zahlen. Analog d = 70; f = 42; s = 30.
Summe1 = 247.
zd = 35; zf = 21; zs = 15; df = 14; ds = 10; fs = 6. Summe2 = 101.
zdf = 7; zds = 5; zfs = 3; dfs = 2. Summe3 = 17
zdfs = 1. Summe4=1.
Mindestens einen der Primfaktoren enthalten also
247 – 101 + 17 – 1 = 162.
Daher sind die übrigen 210 – 172 = 48 teilerfremd zu 210, also ϕ(210) = 48.
c) 360 = 9 * 40 = 2³ * 3² * 5.
z = 180; d = 120; f = 72.
Summe1 = 372.
zd = 60; zf = 36; df = 24. Summe2 = 120.
zdf = 12.
Mindestens einen der Primfaktoren enthalten daher
372 – 120 + 12 = 264. Damit ist der Rest 360 – 264 = 96. = ϕ(360).
d) n = pa * qb * rc
P = pa-1 * qb * rc.
Analog: Q = pa * qb-1 * rc
R = pa * qb-1 * rc.
PQ = pa-1 * qb-1 * rc PR = pa-1 * qb * rc-1 QR = pa * qb-1 * rc-1
PQR = pa-1 * qb-1 * rc-1
Damit erhalten wir die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen:
pa-1 * qb-1 * rc-1 * (p *qb*r -q*r – p*r – p*q + r + q + p – 1)
= pa-1 * qb-1 * rc-1 * (p-1) * (q-1) * (r-1) = pa * qb * rc * (1 = n * (1 -
1
1
1
) * (1 - ) * (1 - )
p
q
r
1
1
1
) * (1 - ) * (1 - ).
p
q
r
Überprüfen Sie die Ergebnisse von a) bis c) nochmals mit dieser Formel.
7. Wir zählen die Vorlesungsteilnahmen auf zwei verschiedene Weisen:
Über die Studierenden:
Wenn jeder der s Studierenden genau 4 Veranstaltungen belegt, dann sind das
4*s Teilnahmen.
Über die Professoren:
51 + 30 + 30 + 20 + 25 + 12 + 18 = 186.
Nun müsste gelten:
4 * s = 186, wobei s eine ganze Zahl sein muss.
Da jedoch 186 nicht durch 4 teilbar ist, kann die Sache nicht stimmen; die
Professoren haben falsche Angaben gemacht.
8. Man kann aus S1 entweder 0 oder 1 oder 2 oder 3 oder ... oder a1 Elemente
entnehmen, das sind genau (a1 + 1) Möglichkeiten. Dies gilt analog für jede der
Mengen. Damit hat man das Ergebnis (Baumvorstellung):
(a1 + 1) * (a2 + 1) * (a3 + 1) * ... * (an + 1).
Anwendung auf die Bestimmung der Teileranzahl einer natürlichen Zahl:
Sei n = pa * qb * rc. Nun bilden wir die folgenden Mengen:
P = {p, p², p³, …, pa}
Q = {q, q², …, qb}
R = {r, r², …, rc}.
Man erhält genau dann einen Teiler von n, wenn man aus jeder der Menge der
Primteiler höchstens 1 Element entnimmt und diese mit 1 multipliziert. Damit erhält
man die gewünschte und wohlbekannte Formel für die Teileranzahl.
9. Wir versuchen eine optimale Lösung zur Vermeidung der Differenz 9, indem wir
folgende Gruppen auswählen:
1, 2, 3, ..., 9; Lücke; 19, 20, 21, ..., 27; Lücke; 37, 38, ..., 45; Lücke; 55, 56, ..., 63;
Lücke; 73, 74, ..., 81; Lücke; 91, 92, ..., 99.
Damit haben wir 6 Neunergruppen ausgewählt, also insgesamt 54 Zahlen. Die 55.
Zahl würde einen Fall erzeugen, der eine Differenz von 9 ergibt. Also ist die
Auswahl unmöglich.
Alternative Lösung:
Angenommen wir hätten eine Auswahlmenge A⊆M der gewünschten Art mit 55
Zahlen, von denen keine zwei eine Differenz von 9 haben. Es sei B = M\A die
Restmenge von A bezüglich M:
Wir können folgende Relation in AxB einführen:
(a,b)∈R, wenn ⏐a-b⏐=9, also genau dann, wenn a und b die Differenz 9 haben.
Nun zählen wir die Anzahl der Inzidenzen (also der Kreuze in der Relationstabelle)
einmal von den Elementen von A aus (d.h. in Zeilen) und dann von den Elementen
von B aus (d.h. in Spalten). Wir müssten damit zum selben Ergebnis kommen:
Mit jeder Zahl x mit 10 ≤ x ≤ 91 inzidieren genau 2 verschiedene andere Zahlen,
mit den übrigen je genau 1.
Für die Elemente aus A muss es daher mindestens 18*1 + 37*2 = 92 Inzidenzen
geben.
Jedes der 45 Elemente aus B kann jedoch höchstens mit zwei Elementen aus A
inzidieren. Daher kann es demnach höchstens 90 Inzidenzen geben. Das ist ein
Widerspruch.
10. Wir zählen die Nummern der Kanten auf zwei verschiedene Weisen:
Über die Ecken:
Addiert man in den Ecken alle Kantennummern, so erhält man 8 mal die in jeder
Ecke gleiche Summe S, also den Wert x = 8 * S. Dabei wird jede Kantennummer
doppelt gezählt, je einmal an jeder ihrer beide Endecken.
Über die Kanten:
12
Man erhält als doppelte Summe aller Kantennummern y = 2*
∑ i = 12 * 13 = 156.
i =1
Nun muss gelten: 8*S = 156 mit einer ganzen Zahl S. Dies ist aber unmöglich.
11. a) Jede der drei Parteien hat mindestens einen Sitz.
Angenommen die 1. Partei habe i Sitze mit i = 1, 2, 3, ...75 (sie darf ja keine 76
haben).
Dann kann die zweite Partei noch 75=76-1, 74=76-2, 73=76-3, oder... 76-i Sitze
haben und die dritte jeweils den Rest.
Zu jeder Sitzzahl i der ersten Partei von i=1 bis 75 gibt es also i Möglichkeiten für
die zweite Partei (die dritte ergibt sich von selbst).
75
Daher haben wir als Gesamtzahl aller Möglichkeiten
⎛ 76 ⎞
∑ i = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
i =1
⎝
⎠
=
76 * 75
= 2850.
2
b) Wir zählen, wie oft jeder Buchstabe auftritt:
Buchstabe
A
B
D
K
R
Summe
Vorkommen
5
2
1
1
2
11
Damit erhält man C(11,5) * C(6,2) * C(4,1) * C(3,1) =
11!
Möglichkeiten.
5!*2!*2!
Tabelle zu Aufgabe 4:
1
A
n
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
2
n!
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
243290200817664
3
ffp( n ) 0
1
2
9
44
265
1854
14833
133496
1334961
895014631192902
4
ffp( n )
0
n!
1
2
1
3
3
8
11
30
53
144
103
280
2119
5760
16687
45360
16481
44800
428236665642536
116406794649600
5
0.
.500000000 .333333333 .375000000 .366666666 .368055555 .367857142 .367881944 .367879188 .367879464
L
20
.3678794412