Serie 8

D-ITET
Prof. P. Nolin
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
FS 2017
Serie 8
1. Gegeben seien λ > 0 und eine Zufallsvariable X mit Werten in den natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .} und
P [X = n] = c
λn
n!
für n ∈ N.
a) Bestimmen Sie die Konstante c.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Es sei Y eine von X unabhängige Zufallsvariable, die poissonverteilt mit Parameter λ ist, d.h.
P [Y = n] = e−λ
λn
n!
für n = 0, 1, 2, . . ..
Geben Sie zu jedem der folgenden Ausdrücke an, ob er gleich oder ungleich
P [X = n] ist, wobei n ∈ N.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
P [X = Y | Y = n]
P [0 6= Y = n]
P [Y = n | Y 6= 0]
P [Y 6= 0 | Y = n]
P [X = n | Y = 0]
2. k Jäger schiessen gleichzeitig je einmal auf einen Schwarm aus m Enten. Sie suchen
sich unabhängig voneinander die Ente aus, auf die sie zielen, und treffen diese unabhängig voneinander und unabhängig von der Wahl der Ente mit Wahrscheinlichkeit
p ∈ [0, 1].
Führen Sie für jede Ente n ≤ m eine Zufallsvariable Xn ein, die angibt, ob die Ente getroffen wurde oder nicht. D.h. es soll gelten {Xn = 1} = {n-te Ente nicht
getroffen} und {Xn = 0} = {n-te Ente getroffen}.
a) Welche Verteilung hat Xn für n = 1, . . . , m?
b) Wie gross ist die erwartete Anzahl unverletzter Enten?
Bitte wenden!
c) Sind die Ereignisse {Xn = 0}, n = 1, . . . , m unabhängig? Untersuchen Sie nur
den Fall k < m.
3. In einer Urne sind N weisse und M schwarze Kugeln. Es werden n ≤ N + M Kugeln
ohne Zurücklegen gezogen. Sei X die Anzahl gezogener weisser Kugeln.
a) Bestimmen Sie die Verteilung von X.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
Hinweis: Benützen Sie die Linearität des Erwartungswertes.
Abgabe: Montag 15. Mai in der Übungsstunde.