Beispielsammlung - Unit Geometry and CAD

Beispielsammlung für CAD Beispiele und Freihandzeichnen aus
Vorkurs aus Darstellender Geometrie
Übungen
Mag. Susanne Vanovsek
Mag. Dr. Martin Pfurner
WS 2008/2009
Arbeitsbereich für Geometrie und CAD
Institut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften
Vorkurs Übungen WS 2008/2009
Einführung in Rhinoceros 3D
Merkwürdige Punkte eines Dreiecks
Ein Dreieck ist durch seine Längen (in abstrakten Benutzereinheiten) gegeben. Das Dreieck ist
im Fenster Top so zu konstruieren, dass die Seite AB einen Winkel von 15◦ gegen die Horizontale einschließt.
Aufgabe 1. Konstruieren Sie von dem Dreieck
• Umkreis und Inkreis,
• Schwerpunkt und
• Höhenschnittpunkt
markieren Sie diese Punkte mit Symbilen und bezeichnen diese mit Buchstaben
Neue Rhino Befehle: Line, Line (Bisector), Circle (Center, Radius; 3 Points; Tangent to 3
curves), Point, Object Snap (End; Int; Mid; Perp), Text Block
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Arbeitsbereich für Geometrie und CAD
Institut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften
Vorkurs Übungen WS 2008/2009
Kongruenztransformationen am Computer
Kongruenztransformationen in der Ebene
Konstruieren Sie das folgende Dreieck im Fenster Top mit Rhino. Legen Sie den Punkt A in
den Ursprung des Koordinatensystems.
A
Wenden Sie auf dieses Dreieck die folgenden Aufgaben an:
Aufgabe 2. Verschieben Sie dieses Dreieck mit dem Vektor v = (40, 30) und kopieren Sie es
gleichzeitig.
Aufgabe 3. Drehen Sie das Objekt einmal um den Ursprung um den Winkel 60◦ und einmal
um den Punkt (-20,-10) um den Winkel -60◦ und kopieren Sie das Dreieck in beiden Fällen.
Legen Sie diese beiden neuen Dreiecke in einen neuen Layer.
In der Ebene gilt: Zwei gleichsinnig kongruente Objekte können immer durch eine einzige
Drehung zur Deckung gebracht werden.
Aufgabe 4. Suchen Sie den Mittelpunkt und den Drehwinkel jener Drehung, welche die beiden in der vorigen Aufgabe erzeugten Dreiecke zur Deckung bringen. Beschriften Sie diesen
Mittelpunkt und bemaßen Sie den zugehörigen Drehwinkel. Was fällt Ihnen dabei auf?
Neue Rhino Befehle: Move, Copy, Rotate 2-D, Line (Perpendicular from Curve), Angle Di-
mension
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Kongruenztransformationen im Raum
Aufgabe 5. Modellieren Sie den folgenden im Tschupik-Würfel gegebenen Körüer in Rhino in
3D. Die Kantenlänge des Würfels beträgt 20 mm.
Wenden Sie auf das Objekt folgende Aufgaben an:
Aufgabe 6. Verschieben Sie das Objekt mit dem Vektor v = (40, 50, 60) und kopieren Sie es
gleichzeitig.
Aufgabe 7. Drehen Sie das Objekt zuerst um 110◦ um die x-Achse und dann um -60◦ um die
z-Achse und kopieren Sie es bei der ersten Drehung. Wenden Sie die selben Drehungen in umgekehrter Reihenfolge auf den gegebenen Körper an. Was fällt Ihnen dabei auf?
Aufgabe 8. Wenden Sie auf das angegebene Objekt eine diskrete Schraubung an. Die Schraubachse geht durch den Punkt (0,0,-30) und besitzt den Richtungsvektor r = (−10, 10, 30), der
Drehwinkel beträgt 75◦ , die Schraubhöhe 55 mm.
Neue Rhino Befehle: Rectangle (Corner to Corner), Point Object (Divide Curve by - Number
of Segments; Divide Curve by - Number of Segments), Surface - Planar Curves, Join,
Rotate 3-D
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Projektionen am Computer
Rissleseübungen
Aufgabe 9. Modellieren Sie das Objekt, welches durch Grund-, Auf- und Kreuzriss gegeben
ist. Die Kantenlänge des umschreibenden Würfels beträgt 30 mm.
Aufgabe 10. Verschieben Sie dieses Objekt um den Vektor v = (−20, 50, −70) und kopieren
Sie es gleichzeitig. Drehen Sie anschließend das Objekt um 70◦ um die z-Achse und dann um
-30 um die y-Achse.
Im Raum gilt: zwei kongruente Objekte können immer durch eine Schraubung zur Deckung
gebracht werden.
Aufgabe 11. Konstruieren Sie die Schraubung, welche das gegebene Objekt und jenes aus
der vorigen Aufgabe zur Deckung bringt. Bemaßen Sie insbesondere den Drehwinkel und die
Schraubhöhe dieser Schraubung.
Neue Rhino Befehle: Set CPlane (by X-Axis; by Z-Axis; 3 Points), Extend Surface, Curve
from Objects (Intersection), Object Snap (Project), Dimension (Angle Dimension; Aligned Dimension)
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Unmögliche Figur (Tribar)
Aufgabe 12. Konstruieren Sie einen dreidimensionalen Körper, der bei geeigneter Wahl der
Kameraposition und Blickrichtung wie in untenstehender Abbildung erscheint.
Neue Rhino Befehle: Box (Corner to Corner, Height), Viewport Properties (Parallel), Plane
(3 Points), Set Camera (Place Camera and Target), Trim
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Maßaufgaben am Computer
Gemeinlot zweier Geraden
Aufgabe 13. Gegeben sind zwei beliebige windschiefe Geraden in der Grund- bzw. Aufrissebene. Konstruieren Sie mit klassischen Mitteln das Gemeinlot und verifizieren Sie ihre Konstruktion mit dem Befehl Line (Perpendicular to Two Curves).
Neue Rhino Befehle: Extend Curve, Line (Perpendicular to Two Curves)
Rohrverbindung
Aufgabe 14. Gegeben sind die Achsen zweier drehzylindrischer Rohre durch die Punkte A
(0,0,0) und B(50,70,0) bzw C (35,85,42.5) und D(165,35,67.5). Die Radien der Rohre betragen
10 Einheiten.
Konstruieren Sie das zylindrische Verbindungsrohr, dessen Achse die beiden gegebenen Achsen schneidet und mit ihnen jeweils einen Winkel von 45◦ einschließt. Der Radius des Verbindungsrohres beträgt ebenfalls 10 Einheiten.
Da die Radien der schneidenden Zylinder gleich sind, zerfallen in diesem Beispiel die Schnittkurven des Verbindungsstückes mit den beiden gegebenen Rohren. Je ein solcher Schnitt besteht aus Teilen von zwei Ellipsen. Die Ebenen, in denen die Ellipsen liegen, stehen orthogonal
auf die Verbindungsebene schneidender Drehzylinderrohre. Zeichnen Sie die Schnittebenen ein
und schneiden Sie die Rohre mit diesen Ebenen ab.
Neue Rhino Befehle: Line (Angled), Pipe,
Set Camera (CPlane Top, Tilt View),
Object Snap (Quad), Cutting Plane,
Trim
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Sonnenkollektor
Aufgabe 15. Gegeben ist ein Sonnenstrahl durch den Ursprung und den Punkt P (22,13,65).
Gesucht ist ein rechteckiger Sonnenkollektor (Maße 150x70 mm), dessen Trägerebene orthogonal zum Sonnenstrahl liegt. Weiters soll der Mittelpunkt des Rechteckes der Ursprung sein
und die längere Rechecksseite soll horizontal liegen.
Konstruieren Sie den Sonnenkollektor und bemaßen Sie den auftretenden rechten Winkel.
Neue Rhino Befehle: Set CPlane Perpendicular to Curve
Polyeder am Computer
Constructive Solid Geometry
Aufgabe 16. Modellieren Sie die Objekte in den Bildern mit Rhino 3-dimensional. Skizzieren
Sie vor der Modellierung am Computer einen möglichen CSG-Baum für dieses Modell.
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Neue Rhino Befehle: Box (Corner to Corner, Height), Boolean Difference, Cylinder, Pipe,
Boolean Union
Netzkonstruktionen
Würfelband
Um einen Würfel soll ein auf allen Seiten anliegendes Band, wie in der Abbildung gezeigt,
geschlungen werden. Die Mittenlinie des Bandes verbindet die Punkte A und B, welche jeweils
eine der Würfelkanten im Verhältnis 1 : 3 teilen. Die Bandbreite ist gerade so zu wählen, dass
ein Rand des Bandes durch drei Eckpunkte des Würfels geht.
Modellieren Sie Würfel und Band in 3D. Fertigen Sie eine Abwicklung des Bandes an, in welcher die Knickstellen eingezeichnet sind.
H
m
A
B
K
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Betrachten Sie das unten angegebene Würfelnetz. Bei der Abwicklung des Würfels geht die
Mittenlinie m des Bandes in eine Gerade über. Zeichnen Sie die Mittenlinie des Bandes in die
Abwicklung ein und übertragen Sie diese zurück auf den Würfel.
Av
Hv
Kv
Neue Rhino Befehle: Orient (3 Points), Rotate 3-D
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Pentagondodekaeder
Das Netz eines Pentagondodekaeders besteht aus 12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken.
Aufgabe 17. Gesucht ist ein 3D-Volumenmodell des gegebenen Objekts, wobei die Kantenlänge mit 10 cm zu wählen ist.
Neue Rhino Befehle: Polygon (Edge)
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Kurven am Computer
Parabelkonstruktionen
Aufgabe 18. Konstruieren Sie eine Parabel aus zwei allgemein gewählten Linienelementen.
Aufgabe 19. Konstruieren Sie eine Parabel aus Scheitel, Scheiteltangente und einem weiteren
Punkt auf zwei verschiedene Arten. geben Sie sich die Angabe geeignet vor.
Neue Rhino Befehle: Control Point Curve, Parabola (By Vertex)
Freiformkurven
Aufgabe 20. Durch die Punkte O(0,0,0), P(10.5,30,0), Q(40,-50.3,30) und R(-40,-70,10) ist ein
Kontrollpunktepolygon für eine Freiformkurve gegeben. Konstruieren Sie mit Hilfe des Algorithmus von de Casteljau die Kurvenpunkte zu den Parameterwerten 1/2 und 1/3. Konstruieren
Sie auch die gesamte Kurve und interpretieren Sie das Ergebnis.
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Hyperbelnavigation in der Ebene 1
Die Punkte A(0,0), B(14,22) und C(20,0) symbolisieren drei Sendestationen, die zu festgelegten Zeitpunkten ein Signal aussenden.. In der selben Ebene befindet sich ein Empfänger E,
der alle drei Signale seperat empfangen kann. Da die Signale zu unterschiedlichen Zeitpunkten beim Empfänger eintreffen ist die Differenz der Abstände zu den drei Stationen bekannt
(AE − BE = 20, AE −CE = 10). Konstruieren Sie mögliche Positionen für den Punkt E in der
Ebene.
Neue Rhino Befehle: Hyperbola (From Foci)
Tangenten und Krümmungen von Kurven
Aufgabe 21. Konstruieren Sie eine beliebige Ellipse in Rhino und zeichnen Sie die Tangenten und die Krümmungskreise in den Haupt- und Nebenscheiteln ein. Konstruieren Sie diese
Krümmungskreise auch mit klassischen Mitteln und vergleichen und interpretieren Sie das Ergebnis!
Aufgabe 22. Konstruieren Sie weiters konjugierte Durchmesser dieser Ellipse und zeichnen
Sie auch dort die Krümmungskreise ein.
Neue Rhino Befehle: Ellipse (From Center), Control Points On, Line (Tangent from Curve),
Analyze -> Curvature Circle
1 siehe
auch unter http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelnavigation
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Flächen mit Computer
Aufgabe 23. Als Anwendung der geographischen Koordinaten ist die Flugroute zwischen zwei
Orten der Erdkugel (Innsbruck 47,16◦ N, 11,23◦ O und Tokyo 35.68◦ N, 139,76◦ O) zu bestimmen. Eine Flugroute soll dabei durch die kürzeste Verbindung auf der Erdkugel zwischen den
beiden Punkten bestimmt sein. Diese Verbindung liegt auf einem Großkreis zwischen den beiden Punkten. Eine kürzeste Verbindung auf einer krummen Oberfläche wird geodätische Linie
genannt.
Wellenbrecher (Tetrapode)
Das Objekt besteht aus vier Drehkegelstümpfen, deren Achsen mit den
Flächennormalen eines regelmäßigen
Tetraeders (Kantenlänge = 230 cm) zusammenfallen und eine Kugel mit Radius
27 cm berühren.
Gesucht ist ein 3D-Volumenmodell des
gegebenen Objekts.
Neue Rhino Befehle: Object Snap (Tan), Surface Revolve, Polar Array
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Kugelleuchte
Drei gleich große Kugeln vom Radius
r = 20 cm werden mit langen dünnen Stangen der Länge l = 50 cm im selben Punkt S
der Decke aufgehängt und berühren daher
einander paarweise.
Wieviel länger muss die Stange der vierten
ebenso großen Kugelleuchte sein, damit auch
die vierte Kugel alle anderen berührt, wenn sie
ebenfalls mit dem Endpunkt der Stange in S
aufgehängt wird?
Neue Rhino Befehle: Sphere (Center, Radius)
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Übungen zum Thema Freihandzeichnen I
Parallele Geraden
• Zeichnen Sie in dem oberen Kasten parallele Linien zu den horizontalen Kanten. Der
Abstand der parallelen Geraden soll 5 mm sein.
• Zeichnen Sie im unteren Kasten parallele Linien zu beiden Seiten des Rechtecks.
• Sobald Sie merken, dass eine Linie krumm wird, beenden Sie den Stricht und beginnen
von vorne.
• Versuchen Sie verschiedene Zeichentechniken (ziehen oder schieben, schnell oder langsam, senkrecht oder waagrecht) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.
I
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Felder schraffieren
• Schraffieren Sie die angegebenen Felder mit horizontalen, vertikalen oder schrägen Linien.
• Experimentieren Sie mit unterschiedlichen Strichstärken, sowohl einheitlich als auch
verlaufend innerhalb eines Feldes.
II
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Verbinden von Punkten
• Verbinden Sie alle markierten Punkte mit geraden Linien.
• Versuchen Sie verschiedene Zeichentechniken (schnell, langsam, markieren von Zwischenpunkten, . . . ) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse.
III
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Halbieren und Verdoppeln (1)
• Markieren Sie die Mittelpunkte aller eingezeichneten Strecken.
• Verdoppeln Sie die Länge der kürzeren Strecken.
• Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse unmittelbar durch Nachmessen und notieren Sie das Ergebnis.
Was fällt Ihnen leichter: Verdoppeln oder Halbieren?
IV
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Halbieren und Verdoppeln (2)
Wiederholen Sie die Übung des vorhergehendes Blattes mit den unten abgebildeten Strecken!
V
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Halbieren und Verdoppeln (3)
• Ermitteln Sie die Seitenmittelpunkte der abgebildeten Parallelogramme.
• Zeichnen Sie auch die Mittellinien und Diagonalen der Parallelogramme ein.
• Betrachten Sie Ihre Ergebnisse kritisch: Sind die Mittellinien zu den Parallelogrammseiten parallel und treffen sie die Diagonalen im Mittelpunkt?
VI
Arbeitsbereich für Geometrie und CAD
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Teilen
• Teilen Sie die angegebenen Strecken in drei, vier, fünf, sechs bzw. acht gleiche Teile.
• Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse unmittelbar durch Nachmessen.
VII
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Parallelgeraden
• Zeichnen Sie auf beiden Seiten der Geraden Parallelgeraden mit unterschiedlichen Abständen.
• Überprüfen Sie die Genauigkeit Ihrer Zeichnung durch Nachmessen der Abstände an
unterschiedlichen Stellen. Notieren Sie Ihre Ergebnisse.
VIII
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Orthogonalität
Fällen Sie das Lot aus dem Punkt P auf die Seiten des umschließenden Polygons. Überprüfen
Sie Ihr Resultat durch Nachmessen.
P
Zeichnen Sie durch die Eckpunkte und Seitenmittelpunkte des Polygons die Normalgeraden
auf die jeweils anliegenden Seiten.
IX
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Merkwürdige Punkte im Dreieck
Zeichnen Sie in das abgebildete Dreieck den Umkreismittelpunkt U, den Schwerpunkt S und
den Höhenschnittpunkt H ein. Diese Punkte liegen auf der Eulerschen Gerade. Versuchen Sie
auch, den Umkreis zu skizzieren.
X
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Normale Axonometrie
Skizzieren Sie ein Ikosaeder und ein Pentagondodekaeder in Axonometrie. Verwenden Sie als
Basis zuerst die vorgegebenen Würfelbilder. Zeichnen Sie anschließend Ikosaeder und Pentagondodekaeder in einer anderen Ansicht mit Hilfe selbst angefertigter Würfelbilder.
XI
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Übungen zum Thema Freihandzeichnen II
Kreiseübungen
Füllen Sie das Zeichenblatt spielerisch mit Kreisen und kreisartigen Ornamenten (konzentrische Kreise, Kreise, die sich in einem Punkt berühren, Mäanderlinien). Es handelt sich um eine
Aufwärmübung. Noch ist es nicht wichtig, schöne Kreise zu zeichnen. Experimentieren Sie
aber bereits jetzt mit verschiedenen Arten, die Kreise zu zeichnen (schnell, langsam, im Uhrzeigersinn, im Gegenuhrzeigersinn . . . ).
I
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Vorkurs Übungen WS 2008/2009
Kreise (1)
• Füllen Sie die angegebenen Kreise mit konzentrischen Kreisen. Beginnen Sie in der Nähe der Kreislinie und arbeiten Sie sich bis zum Mittelpunkt vor.
• Sie können auch einige konzentrische Kreise außerhalb der gegebenen Kreise zeichnen.
II
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Vorkurs Übungen WS 2008/2009
Kreise (2)
• Zeichnen Sie freihändig und ohne weitere Hilfsmittel einige Kreise.
• Markieren Sie jeweils den Mittelpunkt der Kreise und messen Sie die Entfernung zu verschiedenen Punkten auf der Kreislinie.
• Experimentieren Sie mit verschiedenen Zeichenmethoden:
– Zeichnen Sie Kreise in einem Zug einmal im Uhrzeigersinn, dann gegen den Uhrzeigersinn.
– Zeichnen Sie einzelne Bögen des gesamten Kreises separat ein.
– Zeichnen Sie zunächst ein Quadrat und schreiben Sie diesem den Kreis ein.
• Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse kritisch: Schließen sich Ihre Kreise sauber? In welchen
Bereichen der Kreislinie haben Sie die größten Schwierigkeiten? Welche Zeichenmethode sagt Ihnen am besten zu?
III
Arbeitsbereich für Geometrie und CAD
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Vorkurs Übungen WS 2008/2009
Ellipsen (1)
Schreiben Sie den Rechtecken Ellipsen so ein, dass die Rechteckseiten die Tangenten in den
Hauptscheiteln der Ellipse sind. Achten Sie vor allem auf die zweifache Symmetrie der Ellipsen.
Parabel
Skizzieren Sie die durch zwei Linienelemente gegebenen Parabeln.
IV
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Ellipsen (2)
Schreiben Sie den Parallelogrammen Ellipsen so ein, dass die Parallelogrammseiten die Tangenten in den Endpunkten konjugierter Durchmesser sind. Zeichnen Sie auch die Hauptachsen
der Ellipsen ein.
V
Arbeitsbereich für Geometrie und CAD
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Normale Axonometrie
Skizzieren Sie die Durchdringung der beiden Drehzylinder mit gleichem Radius r. Die Zylinderachsen sind die x- bzw. y-Achse des abgebildeten Koordinatensystems. Erstellen Sie
anschließend eine analoge Zeichnung (eventuel nur ein Rohrknie oder einen Rohrabzweiger)
nach eigener Angabe.
z
y
x
VI