Quantenphysik II

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Quantenphysik II
Quantenphysik in Beispielen
Die Quantenphysik findet bereits in sehr vielen Gebieten moderner
Technologie Anwendung. So etwa im medizinischen Bereich in zahlreichen
Untersuchungsmethoden, wie etwa der Kernspintomographie. In der
Materialwissenschaft, wo mittels Neutronenstreuung die magnetischen
Eigenschaften von Festkörpern untersucht werden. Oder denken wir an die
unzähligen Anwendungen der Lasertechnologie. All das kann mittlerweile
bereits als Standard betrachtet werden. Die Quantenphysik hat aber noch viel
mehr in ihrem Repertoire und es hat den Anschein, daß wir erst beginn die
Vielzahl von Möglichkeiten zu erkunden. Erst kürzlich wurden Systeme zur
Übermittlung von Nachrichten entwickelt (Quantenkryptographie), die
absolut abhörsicher sind. Es läßt sich nämlich beweisen, daß prinzipiell jeder
Versuch die übermittelte Nachricht abzufangen sofort nachweisbar wäre.
Man nützt hier eine Eigenschaft von Quantensystemen. Diese verhalten sich,
sobald man sie beobachtet, grundlegend anders als wenn sie nicht beobachtet
werden.
Natürlich können wir hier nicht auf alle modernen Entwicklungen eingehen,
aber wir werden anhand von Beispielen grundlegende Aspekte der
Quantenphysik behandeln, die all diesen Entwicklungen zugrunde liegen.
In einem virtuellen Experiment werden sie die Möglichkeit haben eine erst
kürzlich entdeckte Methode zur wechselwirkungsfreien Messung selbst
auszuprobieren.
Der Doppelspalt
Das Mach-Zehnder Interferometer
Interferenz
Wechselwirkungsfreie Messung
Das folgende virtuelle Experiment dient zur Demonstration der Nichtlokalität
in der Quantenmechanik und gehört nicht zum regulären Stoffumfang.
Der interessierte Leser kann sich aber auf freiwilliger Basis ein besseres
Verständnis der Problematik der Nichtlokalität erarbeiten. (Leider zur Zeit
nur in Englisch verfügbar.)
Das GHZ-Experiment
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Der Doppelspalt
R.P.Feynman behauptet in seinen berühmten "Feynman Lectures", die
Interferenz enthalte das einzige Geheimnis der Quantenmechanik. Dies
deshalb, da es absolut unmöglich sei, sie in irgendeiner Weise innerhalb der
klassischen Physik zu erklären oder mit klassischen Begriffen zu begreifen.
Folgen wir in diesem Abschnitt kurz Feynmans Gedankengang um diese
Aussage zu verstehen.
Dazu betrachten wir zunächst ein Experiment mit Kugeln. Eine Quelle
emittiert Kugeln die durch einen Doppelspalt auf einen Schirm treffen.
Ein Doppelspaltexperiment mit Kugeln
Ist nur der linke Spalte geöffnet, so werden die Kugeln vor allem auf der
linken Seite des Schirms ankommen und wir sehen folglich einen grünen
Streifen links. Jedes Teilchen hinterläßt nämlich auf dem Schirm einen
grünen Punkt und so bildet sich nach einiger Zeit dieser Streifen aus. Wir
beschreiben die Intensitätsverteilung der Teilchen am Schirm durch
Plinks.
Intensitätsverteilung bei
geöffnetem linken Spalt
Ist nur der rechte Spalt geöffnet, werden die Kugeln vor allem auf der
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rechten Seite des Schirms ankommen. Der grüne Streifen bildet sich also auf
der rechten Seite aus. Diese Intensitätsverteilung beschreiben wir nun durch
Prechts.
Intensitätsverteilung bei
geöffnetem rechten Spalt
Was passiert nun, wenn wir beide Spalte öffnen? Natürlich ist zu erwarten,
daß es einfach zu einer Überlagerung der beiden Intensitätsverteilungen
kommt. Also eine Intensitätsverteilung, die durch Pdoppel= Plinks+Prechts
beschrieben wird.
Intensitätsverteilung beim
Doppelspaltexperiment mit Kugeln
Diese Verteilung können wir tatsächlich im Experiment beobachten, was in
keiner Weise überraschend ist.
Was passiert nun, wenn wir ein ähnliches Experiment mit Elektronen
durchführen?
Ist nur ein Spalt geöffnet so gleichen die Intensitätsverteilungen am Schirm
denen, wie wir sie mit Kugeln erhalten haben.
Wie die Kugeln erzeugt jedes Elektron am Schirm einen grünen Punkt. Wir
können also annehmen, daß jedes Elektron eine Einheit darstellt, die einem
Teilchen im herkömmlichen Sinn sehr ähnlich ist.
Nachdem wir uns überzeugt haben, daß sich die Elektronen im Falle eines
offenen Spaltes ähnlich verhalten wie Kugeln, gehen wir nun zum
Doppelspalt über. Wir machen zunächst folgende Annahme:
Jedes Elektron geht entweder durch den rechten oder durch den linken
Spalt.
Unter dieser Annahme können alle Elektronen, die am Schirm ankommen, in
solche eingeteilt werden, die durch den rechten Spalt gegangen sind und in
solche, die durch den linken Spalt gegangen sind. Da wir aber wissen, daß
die Intensitätsverteilung jener Elektronen, die durch den rechten (linken)
Spalt gehen durch Prechts (Plinks) beschrieben werden kann, erwarten wir, daß
beim Doppelspalt die Inensitätsverteilung ebenso wie bei den Kugeln durch
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Pdoppel= Plinks+Prechts gegeben ist.
Diese Erwartung wird jedoch durch das Experiment nicht bestätigt. Vielmehr
beobachten wir eine Intensitätsverteilung, die der Funktion PIFM entspricht.
Intensitätsverteilung beim
Doppelspaltexperiment mit Elektronen
Beobachten Sie im folgenden Experiment den wesentlichen Unterschied
zwischen Kugeln und Elektronen. Beide werden als Teilchen am Schirm
detektiert. Jedoch ist die Verteilung der registrierten Elektronen am Schirm
gänzlich anders als die der Kugeln.
Wählen Sie durch Klicken auf das Symbol rechts unten die Quelle aus
(Zylinder für Kugeln und Kegel für Elektronen). Legen Sie eine Spaltbreite
durch Klicken auf die Pfeilfelder fest. Starten Sie das Experiment durch
Klicken auf den Druckknopf links oben.
Die Intensität der Quellen ist klein, sodaß Sie etwas Geduld haben müssen,
bis Sie ein Muster am Schirm erkennen können.
Aufgaben:
Vergleich Sie das Muster der Kugeln mit dem der Elektronen. Wo
werden am häufigsten Elektronen beobachtet? Sind an dieser Stelle
auch häufig Kugeln zu finden? Versuchen Sie eine Erklärung zu geben.
Ändern sie die Spaltbreite und beobachten sie das Muster der
Elektronen. Was ändert sich und wie ist die Abhängigkeit von der
Spaltbreite.
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Wie können wir uns dieses Resultat erklären? Ist vielleicht unsere Annahme,
daß jedes Teilchen durch einen der beiden Spalte geht nicht zutreffend?
Vielleicht teilen sich die Elektronen und ein Teil geht durch den rechten und
der andere durch den linken Spalt. Das würde aber der Beobachtung
widersprechen, daß wir am Schirm einzelne Teilchen detektieren. Was
immer wir auch versuchen um das eigenartige Verhalten der Elektronen zu
verstehen bzw. zu erklären, es wird erfolglos bleiben.
Auch die Quantenmechanik gibt keine Erklärung dafür auf welche Art sich
die Elektronen durch die beiden Spalte bewegen, sodaß sie am Schirm eine
derartige Intensitätsverteilung erzeugen können. Die Quantenmechanik
liefert nur die mathematischen Hilfsmittel, die es uns erlauben diese
Verteilung zu berechnen. Was wir dazu wissen müssen, sind die
geometrischen Verhältnisse im Experiment (Breite des Spaltes usw.) sowie
die kinetische Energie der Elektronen. Alles andere folgt aus dem
Formalismus.
Das wesentliche im Formalismus ist dabei, daß wir nicht mehr mit
Wahrscheinlichkeiten, sondern mit komplexwertigen Wellenfunktionen
rechnen. An die Stelle von Prechts tritt Ψrechts und an die Stelle von Plinks
Ψlinks. Diese Funktionen sind durch die Beziehungen
Plinks=|Ψlinks|2 bzw.Prechts=|Ψrechts|2
miteinander verbunden.
Um die Intensitätsverteilung nach dem Doppelspalt zu berechnen dürfen wir
nun nicht, wie im klassischen Fall mit den Kugeln, Prechts und Plinks addieren,
sondern wir müssen Ψrechts und Ψlinks addieren. Dies ist einer der
wesentlichsten Grundzüge der Quantenmechanik.
Für die Funktion PIFM heißt das, daß wir sie aus
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PIFM=|Ψrechts+Ψlinks|2
erhalten.
Da Ψrechtsund Ψlinks komplexwertig sind, können wir den Ausdruck links
auch schreiben als:
PIFM=|Ψrechts+Ψlinks|2= |Ψrechts|2 +|Ψlinks|2 + 2 (ΨrechtsΨ links)1/2 cos(δ).
Den letzten Ausdruck auf der rechten Seite bezeichnet man als
Interferenzterm. Seine Bedeutung wird aus der komplexen Zahlenebene
ersichtlich auf der zwei Zahlen einen Winkel δ zueinander einschließen.
Physikalisch hat δ die Bedeutung einer Phase und dementsprechend gibt PIFM
eine Intensitätsverteilung wieder, wie sie für ein Interferenzexperiment mit
Wellen typisch ist.
Das Verhalten des Elektrons wird also durch einen Formalismus, wie er für
Wellen (etwa Schallwellen) typisch ist beschrieben. Genaugenommen wird
aber nicht das Verhalten der Elektronen, sondern nur die Häufigkeit
beschrieben mit der sie an bestimmten Stellen des Schirmes auftreffen. Wie
jedes einzelne Elektron von der Quelle durch den Doppelspalt schließlich an
den Ort gelangt, wo es letztlich detektiert wird, bleibt ein Geheimnis.
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Das Mach-Zehnder Interferometer
Das sogenannte Mach-Zehnder Interferometer (vor ca. 100 Jahren von Mach und
Zehnder erfunden) besteht aus zwei vollständig reflektierenden und zwei
halbdurchlässigen Spiegeln (auch Strahlteiler genannt). Für den weiteren Verlauf
der Diskussion nehmen wir an, daß die Spiegel ideal seien, d.h. das Licht
unabhängig von der Wellenlänge entweder völlig reflektieren bzw. zur Hälfte
reflektieren und zur Hälfte durchlassen.
Das Mach-Zehnder Interferometer:
S ist die Lichtquelle, H1 und H2 sind halbdurchlässige, M1 und M2
vollständig reflektierende Spiegel. A und B sind Detektoren.
Das Licht geht von der Quelle S aus, trifft zunächst auf den Strahlteiler
(halbdurchlässigen Spiegel) H1 und wird dort aufgeteilt. Die eine Hälfte der
Intensität geht geradlinig zu M1 weiter, die andere Hälfte wird nach unten
reflektiert und trifft auf M2. Die beiden Teilstrahlen treffen einander wieder am
Strahlteiler H2.
Die Anordnung der Spiegel ist derart, daß der Weg von H1 über M1 zu H2
gleich lang ist wie der Weg von H1 über M2 zu H2.
Da Strahlteiler 2 genauso wirkt wie Strahlteiler 1 sollte man erwarten, daß am
Strahlteiler 2 nun jeder der beiden Teilstrahlen seinerseits zur Hälfte
durchgelassen und zur Hälfte reflektiert wird. Folglich würde im Endeffekt die
Hälfte des einfallenden Lichtes im Detektor A und die andere Hälfte im Detektor
B ankommen. Mit einer Glühbirne als Lichtquelle würden wir auch genau das
beobachten.
Intensitätsverteilung in einem Mach-Zehnder Interferometer bei Verwendung einer
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inkohärenten Quelle (z.B.: Glühbirne). (Die Farben beziehen sich nicht auf die
Lichtwellenlänge sondern dienen nur zur Unterscheidung der Lichtwege)
Die Situation ändert sich jedoch, wenn wir einen Laser als Lichtquelle verwenden.
In diesem Fall können wir nämlich nicht mehr mit klassischen Intensitäten
rechnen, sondern müssen die quantenmechanische Wellenfunktion verwenden.
Dies findet formal seinen Ausdruck darin, daß das Licht, wie es eine Glühbirne
emittiert, quantenmechanisch nicht durch eine einzige Wellenfunktion, sondern
nur durch ein Gemisch von Wellenfunktionen beschrieben werden kann. Diese
Wellenfunktionen stehen zueinander in keinerlei Beziehung. Die Situation ist
vergleichbar mit Wasserwellen, die entstehen, wenn Regen auf eine glatte
Wasseroberfläche fällt. Die Bewegungen zweier beliebiger Punkte auf der
Oberfläche weisen zueinander im allgemeinen keine Beziehung auf und demnach
ist eine Beschreibung der Bewegungen durch Angabe einer mittleren Amplitude
(Intensität) ausreichend.
Anders bei einem Laser. Das emittierte Licht wird im Idealfall durch eine einzige
Wellenfunktion beschrieben (man spricht auch von kohärentem Licht im
Gegensatz zu inkohärentem Licht etwa einer Glühbirne). Wie bei einer ebene
Welle, die sich im Wasser ausbreitet, stehen nunmehr die Bewegungen an
verschiedenen Orten sehr wohl zueinander in Beziehung und zwar in einer
Phasenbeziehung. Alle Punkte der Welle vollziehen die selbe
Schwingungsbewegung jedoch mit unterschiedlicher Phase. Durch Teilung der
Welle und spätere Zusammenführung sind Auslöschungen und Verstärkungen
(Interferenz) möglich. Dieser Tatsache müssen wir durch Verwendung der
Wellenfunktion Rechnung tragen.
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Interferenz
Um es uns leichter zu machen, gehen wir in der quantenmechanischen
Beschreibung des Mach-Zehnder Interferometers von einer sehr einfachen
Wellenfunktion aus. Wir nehmen an, das von der Quelle emittierte Licht werde
durch die konstante Wellenfunktion 1 beschrieben. Außerdem wenden wir in der
Rechnung 2 einfache Regeln an:
Jede Reflexion wird durch eine Multiplikation der Wellenfunktion mit i
(imaginäre Einheit) beschrieben. Dies drückt einen Phasensprung um π aus.
Bei Transmission bzw. Reflexion an einem halbdurchlässigen Spiegel wird
die Wellenfunktion mit dem Faktor (1/2)1/2 multipliziert. Dies drückt die
Tatsache aus, daß die Wahrscheinlichkeit für eine Transmission bzw.
Reflexion 1/2 ist.
Wir sind jetzt in der Lage die Wellenfunktionen in den beiden Ausgängen (Wege
von H2 zu Detektor A bzw. B) des Interferometers zu berechnen. Da der
Phasensprung bei jeder Reflexion π beträgt, kann man sich auch ohne Rechnung
leicht überlegen zu welcher Interferenz es nach dem Strahlteiler H2 in den beiden
Ausgängen kommt (Übung!).
Wellenfunktion (Wahrscheinlichkeitsamplitude) in einem
Mach-Zehnder Interferometer mit halbdurchlässigen Strahlteilern.
Beginnen wir mit dem blauen Lichtweg:
Transmission durch H1 => (1/2)1/2
Reflexion an M1 => i (1/2)1/2
Reflexion an H2, Ausgang A => i (1/2)1/2i (1/2)1/2 = -1/2
Transmission durch H2, Ausgang B => i (1/2)1/2(1/2)1/2 = i 1/2
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Analog gehen wir für den roten Lichtweg vor:
Reflexion an H1 => i (1/2)1/2
Reflexion an M2 => i i (1/2)1/2 = -(1/2)1/2
Transmission durch H2, Ausgang A => -(1/2)1/2(1/2)1/2 = -1/2
Reflexion an H2, Ausgang B => -i (1/2)1/2(1/2)1/2 = -i 1/2
Um die Gesamtwellenfunktion im Ausgang A bzw. B zu erhalten, müssen wir die
Wellenfunktionen des blauen und roten Lichtweges in den jeweiligen Ausgängen
summieren. Für Ausgang A erhalten wir -1, für Ausgang B 0. Wie wir wissen, ist
das Quadrat des Absolutbetrages der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit ein
Teilchen an einem bestimmten Ort anzutreffen. Die Wahrscheinlichkeit ein Photon
im Ausgang A zu finden ist also gleich 1. Daraus folgt, daß das gesamte
einfallende Licht im Detektor A ankommen wird. In Detektor B werden wir kein
Licht registrieren.
Dies ergibt sich auch aus folgender Überlegung:
Licht das von H2 zu Detektor A geht, wurde, egal auf welchem der beiden Wege,
zweimal reflektiert, ist also in Phase und interferiert konstruktiv.
Licht das von H2 zu Detektor B geht, wurde am roten Weg einmal und am blauen
Weg dreimal reflektiert, ist also um π phasenverschoben und interferiert
destruktiv.
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Wechselwirkungsfreie Messung
Wir wir im vorigen Abschnitt gezeigt haben, wird im Mach-Zehnder
Interferometer jedes einfallende Photon (d.h. Licht, sofern es kohärent ist) im
Detektor A registriert. Photonen sind die elementaren Bestandteile des Lichtes
und es ist mit modernen Technologien möglich Experimente mit einzelnen
Photonen zu machen. Das heißt es kann ein einziges Photon durch das
Interferometer geschickt werden und es wird mit Sicherheit im Detektor A
ankommen. Dies ist der Ausgangspunkt für eine Entdeckung, die 1993 von zwei
Physikern (Elitzur und Vaidman) gemacht wurde. Sie stellten folgende
Überlegung an:
Wir wissen, daß jedes Photon nach dem Durchgang durch das Interferometer
im Detektor A ankommt.
Wir werden also niemals ein Photon im Detektor B registrieren.
Sollte dennoch einmal ein Photon in Detektor B ankommen, ....
Zu welchem Schluß sind wir gezwungen, wenn ein Photon im Detektor B
ankommt? Offensichtlich wurde durch irgendeine Ursache die Interferenz
verhindert, sodaß die Wahrscheinlichkeit ein Photon im Detektor B zu beobachten
nicht mehr 0 ist. Eine derartige Ursache kann aber nur sein, daß einer der beiden
Wege blockiert ist und demnach dieser Teil der Wellenfunktion fehlt.
Angenommen der blaue Pfad ist blockiert, so müssen wir nur die
Wellenfunktionen des roten Pfades heranziehen um die Wahrscheinlichkeiten
dafür zu erhalten ein Photon in Detektor A bzw. B zu registrieren. Erinnern wir
uns an die Wellenfunktionen, wie wir sie im vorigen Abschnitt angeschrieben
haben, so sehen wir sofort, daß die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/4 ist um ein
Photon in A bzw. B zu beobachten.
Wahrscheinlichkeiten bei blockiertem
blauen Pfad
Wir können also die obige Überlegung fortsetzen:
Sollte dennoch einmal ein Photon in Detektor B ankommen, so wissen wir,
daß der blaue Pfad blockiert ist.
Da immer nur ein Photon in das Interferometer geschickt wird und dieses
Photon im Detektor B angekommen ist, gab es keinerlei Wechselwirkung
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zwischen dem Hindernis (das den blauen Pfad blockiert) und dem Photon.
Es ist also möglich festzustellen, ob sich ein Hindernis im blauen Pfad befindet
ohne dabei mit dem Hindernis wechselzuwirken. Natürlich ist das keine absolut
sichere Methode. Das Photon kann ja auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 vom
Hindernis absorbiert werden oder mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 im Detektor A
ankommen. Im ersten Fall wissen wir zwar, daß das Hindernis da ist, aber es gab
eine Wechselwirkung. Im zweiten Fall können wir aus dem Resultat (Photon in A)
nicht schließen, daß ein Hindernis anwesend ist, da ja auch im Normalfall (ohne
Hindernis) jedes Photon in A ankommt. Nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4
wird das Photon in B beobachtet werden und nur in diesen Fällen können wir mit
Sicherheit auf die Anwesenheit einer Unterbrechung des blauen Pfades schließen.
Dennoch ist selbst diese eingeschränkte Effizienz noch absolut erstaunlich.
Immerhin ist es mit herkömmlichen Methoden niemals (also mit
Wahrscheinlichkeit 0) möglich die Anwesenheit eines Objektes mit Sicherheit
festzustellen ohne "hinzusehen" (jede Form des "Hinsehens" bedeutet schließlich
Wechselwirkung).
Im folgenden Experiment können Sie sehen wie die wechselwirkungsfreie
Messung praktisch funktioniert. Durch Klicken auf das Feld "start" schicken Sie
ein einzelnes Photon in das Interferometer (IFM). Die roten Linien symbolisieren
die möglichen Wege, die dem Photon offenstehen. Auf welchem Weg es
tatsächlich geht wissen wir nicht. Würden wir versuchen es herauszufinden, würde
es nicht mehr interferieren und sich verhalten wie das Licht der Glühbirne.
Die Ankunft des Photons in Detektor A wird durch das rote Licht symbolisiert.
Um erneut ein Photon ins IFM zu schicken klicken Sie auf das Feld "eval." und
anschließend wieder auf "start".
Indem Sie auf das schwarze Feld "Stop" klicken, können Sie den oberen Pfad
blockieren.
Auf der linken Seite sehen Sie 10 schwarze Quadrate. Es sind dies Schachteln die
von außen nicht unterscheidbar sind. Jedoch befinden sich in manchen Schachteln
lichtempfindliche Filme. In den anderen befinden sich Attrappen, die sich nur
dadurch von den Filmen unterscheiden, daß sie die Photonen durchlassen. Wie
können wir feststellen in welcher Schachtel ein Film ist, ohne ihn zu belichten
(bereits ein Photon würde ihn belichten)?
Bringen wir eine Schachtel ins IFM (durch Klicken auf die Schachtel). Das IFM
befinde sich in völliger Dunkelheit. Es werden nun zwei Löcher in der Schachtel
geöffnet, sodaß ein Photon hindurchfliegen könnte, wenn kein Film in der
Schachtel wäre.
Schicken wir nun ein Photon ins IFM. Natürlich wissen wir nicht, ob der obere
Pfad im IFM für das Photon frei ist oder nicht (symbolisiert durch das "?"). Das
hängt ja davon ab, ob in der Schachtel ein Film ist oder eine Attrappe.
Das Ergebnis des Experimentes kann durch Klicken auf das Feld "eval."
ausgewertet werden. Die Schachtel erscheint links unten versehen mit einem
Symbol:
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"!": Erfolgreiche Messung. In der Schachtel ist mit Sicherheit ein
unbelichteter Film.
"?": Das Ergebnis ist nicht eindeutig. Wir wissen nicht, ob in der Schachtel
ein Film ist.
"X": In der Schachtel ist ein Film, aber er hat das Photon absorbiert, ist also
belichtet.
Sind alle Schachteln verbraucht, kann der Versuch durch Klicken auf "reset"
rechts oben mit 10 neuen Schachteln wiederholt werden.
Durch Klicken auf die Felder "open" können Sie in die Schachteln hineinsehen.
Die Schachteln mit Film sind durch einen Strich in der Mitte gekennzeichnet.
Aufgaben:
Überzeugen Sie sich von der Wirkungsweise des Experimentes.
Wie groß ist die Erfolgsrate?
Was könnte man besser machen (um die Erfolgsrate zu erhöhen)?
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