Ähnlichkeit - Duden Schulbuch
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Kap_4_S_125_154.fm Seite 125 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 125 Ähnlichkeit 4 Kap_4_S_125_154.fm Seite 126 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit Modelle Im Modellpark Brieske wird ein Ausschnitt aus einer Tagebaulandschaft im Maßstab 1 : 25 dargestellt. Welche Länge hat der Zug im Modell? In welchem Maßstab wurde das Modell im Bild dargestellt? Försterdreieck Baumhöhe 126 Zur Bestimmung von Baumhöhen benutzt man ein Försterdreieck. Nach welchen Prinzipien (Gesetzmäßigkeiten) funktioniert es? Försterdreieck Abstand Landvermessung Landvermesser können mit ihren Geräten (auch in unwegsamem Gelände) die Länge von Strecken bestimmen. Welchen mathematischen Sachverhalt nutzen die Landvermesser? Kap_4_S_125_154.fm Seite 127 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Rückblick 127 Rückblick Rüc kbl ick Maßstab Bei der Vergrößerung (Verkleinerung) einer Figur werden alle Strecken im gleichen Maßstab vergrößert (verkleinert). Die Winkelgrößen bleiben unverändert. Der Maßstab ist das Verhältnis von Bildgröße zu Originalgröße. Der Maßstab einer Landkarte ist das Verhältnis der Länge einer Strecke auf der Karte zu der Originalstrecke. Beispiel: Länge der Strecke auf der Karte: 4 cm Maßstab: 1 : 10 000 Länge der Strecke in der Wirklichkeit: 4 cm · 10 000 = 40 000 cm = 400 m Winkelsätze C β h δ β α γ α g A gh Scheitelwinkel: α = β Stufenwinkel: α = β Wechselwinkel: γ = δ D M B Peripheriewinkel über demselben Bogen AB: ACB = ADB Kongruenzsätze für Dreiecke sss: sws: Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, sind zueinander kongruent. Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind zueinander kongruent. wsw: Dreiecke, die in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind zueinander kongruent. Ssw: Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind zueinander kongruent. Vierecke Trapez Parallelogramm Rhombus Drachenviereck Rechteck Quadrat Kap_4_S_125_154.fm Seite 128 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 128 Ähnlichkeit Flächeninhalte a g a a a a A = a2 g A= b b h c b a A = a·b g·h 2 r h a A = a2· b g A = g·h A = π·r Abbildungen Kongruenzabbildungen (Verschiebung, Drehung, Spiegelung und Zusammensetzungen aus ihnen) liefern eine zur Originalfigur kongruente Figur. Original- und Bildfigur haben gleiche Form und gleiche Größe. Verschiebung Drehung Spiegelung Verschiebungspfeil PP' um Z mit Winkel α ( AZA') an der Geraden s B' C' C A A' P' B C' B' Z P α B C A A' C A C Q Q' P = P' C A' am Punkt Z B B A A C' B' s A' B B' Z A A' B' A' C' C' Original- und Bildpunkte liegen auf Geraden parallel zu PP' mit AA' = PP'. Kreisbögen um Z mit AZA' = α. Geraden senkrecht zu s, Geraden durch Z mit s halbiert AA'. mit AZ = A'Z. Gemeinsame Eigenschaften: AB = A'B' ; BAC = B'A'C' ; wenn g h, dann g'h' Unterschiedliche Eigenschaften: AB A'B' keine Fixpunkte für g PP' gilt: g = g' Z = Z' s = s', Fixgerade für g ⊥ s gilt: g = g' AB A'B' Z = Z' für g durch Z gilt: g = g' Aufgaben 1. Berechne die Länge einer Strecke von 50 cm bei einer maßstäblichen Vergrößerung bzw. Verkleinerung mit folgendem Maßstab. a) 1 : 2 b) 3 : 1 c) 10 : 1 d) 1 : 50 e) 1 : 200 2. Ermittle den Maßstab, wenn eine Originalstrecke von 8 cm bei einer maßstäblichen Vergrößerung bzw. Verkleinerung folgende Länge hat. a) 16 cm b) 2 cm c) 8 m d) 1 cm e) 1,4 mm Kap_4_S_125_154.fm Seite 129 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Rückblick 3. Eine Wanderkarte hat einen Maßstab von 1 : 50 000. Berechne die Entfernung zweier Punkte in der Wirklichkeit, wenn die entsprechende Strecke auf der Karte folgende Länge hat. a) 2 cm b) 3,5 cm c) 11 cm d) 7,3 cm e) 0,8 cm 4. AB hat im Original folgende Länge. Wie lang ist sie auf einer Karte im Maßstab 1 : 2 000 000 ? a) 20 km b) 400 km c) 10 km d) 536 km e) 1250 m 5. Modelleisenbahnen werden u.a. im Maßstab 1 : 87 (H0), 1 : 120 (TT) und 1 : 160 (N) angeboten. Die Spurweite der meisten europäischen Bahnen, auch der in Deutschland, betägt 1 435 mm. Der Triebkopf eines ICE-Zuges ist im Original 20,56 m lang, 3,07 m breit und 3,84 m hoch. Berechne Spurbreite und Abmessungen des Triebkopfes bei diesen drei Modelltypen. 6. Welche der abgebildeten Figuren sind Trapeze? Begründe. C D D ➀ A B AB DC C D ➄ AB DC B BC AD A 7. C C ➁ F A B D a C a ➅ a a B A E D A α ➂ A β B D ➃ AB ED FE = DC C B α = 140°; β = 60°; Untersuche, welche Eigenschaft (Die Eigenschaft soll für alle Vierecke des betreffenden Typs gelten.) für welches Viereck zutrifft. Übernimm die Tabelle in dein Heft und kennzeichne Zutreffendes. Das Viereck hat a) Mindestens ein Paar parallele Seiten b) Zwei Paar parallele Seiten c) Gleich lange Diagonalen d) Diagonalen halbieren einander e) Mindestens einen rechten Innenwinkel f) Jede Seite hat eine gleich lange Nachbarseite g) Gleich lange Gegenseiten h) Mindestens eine Symmetrieachse i) Ein Symmetriezentrum Trapez Parallelogramm Rhombus Rechteck Quadrat Drachen 129 Kap_4_S_125_154.fm Seite 130 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 130 Ähnlichkeit 8. Welche der Figuren sind kongruent zueinander? F3 F5 F4 F2 F1 F11 F8 F6 9. F9 F7 F12 F10 Die Dreieckspaare stimmen in den markierten Stücken überein. Prüfe, ob man in jedem Fall auf die Kongruenz der Dreiecke schließen kann. Begründe mit einem Kongruenzsatz. a) b) e) d) c) f) g) 10. Konstruiere im Maßstab 1 : 10 000 ein Parallelogramm ABCD mit a = 700 m; b = 300 m; α = 100˚. 11. Konstruiere in einem geeigneten Maßstab ein Drachenviereck ABCD mit b = 0,2 cm; c = 0,5 cm; α = 25˚. 12. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC, dessen Katheten AB und AC eine Länge von 3 cm haben. Verschiebe das Dreieck in Richtung der Höhe auf die Hypotenuse um 5 cm. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 13. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck RST mit der Seitenlänge von 4 cm. a) Spiegele das Dreieck am Punkt R. b) Verbinde Punkte, die noch nicht verbunden sind. Was für ein Viereck ist entstanden? 14. Konstruiere ein Parallelogramm ABCD aus a = 5 cm; b = 4 cm; α = 70˚. Spiegle das Parallelogramm a) an der Geraden AD, b) an der Geraden AC. 15. Berechne die Flächeninhalte folgender Figuren. a) Rechteck ABCD: c = 2,4 m; d = 4,8 m b) Dreieck ABC: a = 5 cm; b = 7 cm; ha = 4,5 cm c) Trapez ABCD (ABDC, AD ⊥ AB): AB = 3,5 cm; CD = 6,5 cm; AD = 3,6 cm 16. Zeichne in einen Kreis um M zwei beliebige Sehnen AB und CD ein. Verbinde die Endpunkte der Sehnen. Kennzeichne alle Winkel, die die gleiche Größe haben. Begründe. Kap_4_S_125_154.fm Seite 131 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung 4.1 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung Die nebenstehenden Abbildungen zeigen den Park Sanssouci auf zwei verschiedenen Stadtplänen von Potsdam. Bildet man das Verhältnis der Ost-West-Ausdehnung zur Nord-Süd-Ausdehnung, so beträgt dieses Verhältnis in beiden Darstellungen etwa 2 : 1. Der Park Sanssouci hat in Wirklichkeit eine Ost-West-Ausdehnung von etwa 1930 m und eine Nord-SüdAusdehnung von etwa 1000 m. Das Verhältnis beider Strecken beträgt also 1930 m : 1000 m ≈ 1,93 ≈ 2. Streckenverhältnisse Das Verhältnis der Längen zweier Strecken, die in der gleichen Einheit angegeben sind, heißt Streckenverhältnis. Es kann als Verhältnis zweier Zahlen, als Bruch oder als Dezimalbruch angegeben werden. Der Maßstab ist ein spezielles Streckenverhältnis. AB : BC = AB ------BC = 4,5 : 3 = 4,5 -------3 = 1,5 = 1,5 : 1 BC : AB = BC ------AB = 3 : 4,5 = 3-------4, 5 = 0,6 = 1 : 1,5 C D AB = 4,5 cm BC = 3 cm B A Bei maßstäblichen Vergrößerungen oder Verkleinerungen bleibt das Verhältnis der Längen entsprechender Strecken stets gleich. Die Länge der Bildstrecken ist proportional zur Länge der dazu gehörigen Originalstrecken. Das konstante Streckenverhältnis ist der Proportionalitätsfaktor. Originalstrecke 1 cm 1,5 cm 2 cm Bildstrecke 2 cm 3 cm 4 cm Streckenverhältnis 2 --1 3------1,5 4 --2 C' 2 cm cm 5 1, 3 A'B' = 2 · AB ; B'C' = 2 · BC ; C'D' = 2 · CD A A' C 1,5 cm cm D 1 =2 cm =2 2 cm 4 cm 3 cm D' =2 B B' 131 Kap_4_S_125_154.fm Seite 132 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 132 Ähnlichkeit Begriff der Ähnlichkeit – Eigenschaften zueinander ähnlicher Figuren Die Figuren F, ➀, ➁, ➂, … j, lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten einteilen, z.B. 1. nach den Winkeln oder/und nach den Seiten, 2. nach der Größe oder/und nach der Form. Bei 1. unterscheidet man: – rechtwinklige, stumpfwinklige, spitzwinklige Dreiecke oder – gleichschenklige und unregelmäßige Dreiecke oder – gleichschenklig-spitzwinklige Dreiecke, gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke, … Bei 2. kann man folgende „Verwandtschaften“ erkennen: – Es gibt Dreiecke, die die gleiche Form und die gleiche Größe (Flächeninhalt) haben wie das Dreieck F, sie sind zueinander kongruent (deckungsgleich) (F; ➀, f). – Es gibt Dreiecke, die die gleiche Größe haben wie F, sie sind flächengleich (F; ➀, ➄, ➅, ➆, f, j) – Es gibt Dreiecke, die die gleiche Form haben wie F (F; ➀, ➁, ➂, ➃, ➇, ➈, ➉, f, g, h, i) ➀ ➆ ➁ ➂ ➉ ➅ ➄ ➇ ➃ ➈ F f Es sollen nun solche Figuren genauer untersucht werden, die die gleiche Form haben. Man kann zu einer vorgegebenen Figur F1 eine Figur F2 mit der gleichen Gestalt wie F1 durch maßstäbliches Vergrößern (Verkleinern) erzeugen. F1 und F2 heißen zueinander ähnlich. D Eine Figur F2 heißt ähnlich zur Figur F1, wenn sie durch eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung aus F1 hervorgegangen ist. Das konstante Verhältnis der einander entsprechenden Strecken heißt Ähnlichkeitsfaktor k. G C Schreibweise: F2 ~ F1 D Ist F2 ähnlich zu F1 mit dem Ähnlichkeitsfaktor k, so ist auch F1 ähnlich zu F2, jedoch mit dem Ähnlichkeitsfaktor 1--- . Man sagt, F1 k und F2 sind zueinander ähnlich. A H F2 F1 B E F Kap_4_S_125_154.fm Seite 133 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung Bei maßstäblichen Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen müssen alle Streckenlängen im gleichen Verhältnis vergrößert bzw. verkleinert werden. Viereck EFGH ist nicht ähnlich zum Viereck ABCD, da die Diagonalenlängen ein anderes Verhältnis als die Seitenlängen der beiden Figuren haben. Es gilt: d' < 2d 2a H D a C 2a a A G d a d' 2a a B E 2a F Auch krummlinig begrenzte Figuren (z.B. Kreise) und Körper (z.B. Zylinder) können zueinander ähnlich sein. Da alle Kreise die gleiche Form haben, sind sie zueinander ähnlich. Der Ähnlichkeitsfaktor ist das Verhältnis der Radien bzw. der Durchmesser. Z2 ~ Z1 F2 ~ F1 k2 1,2 F2 2,4 Z1 2,4 Z2 1 8,4 cm 2 F1 k1 12 cm 1 2 k2 ~ k1 r1 = 0,8 M r2 = 1,6 1,2 10 cm k = 1,2 = 3,2 cm---------------4 cm = 0,8 und b' ----b = 2 cm ---------------2,5 cm = 0,8, D also: --ab = --ab = 4 cm ---------------2,5 cm = 1,6 und a'---b' A = 3,2 cm---------------2 cm C D' b = 2,5 cm also ist der Ähnlichkeitsfaktor k = 0,8. Es gilt aber auch: k=2 k = 0,7 Die Rechtecke ABCD (a = 4 cm; b = 2,5 cm) und A'B'C'D' (a' = 3,2 cm; b' = 2 cm) sind zueinander ähnlich, denn a' ---a 7 cm a = 4 cm C' b' = 2 cm B A' a' = 3,2 cm B' = 1,6, a'---b' Allgemein gilt: S Sind zwei Figuren zueinander ähnlich, so ist das Verhältnis zweier beliebiger Strecken in einer Figur genauso groß wie das Verhältnis der entsprechenden Strecken in der anderen Figur. Ähnliche Figuren haben die gleiche Gestalt (Form). Das kann man etwas genauer formulieren: S Sind zwei Figuren zueinander ähnlich, so sind alle einander entsprechenden Winkel gleich groß. Um diesen Satz für Vielecke zu beweisen, reicht es aus, rechtwinklige Dreiecke zu untersuchen, da sich alle Vielecke in Dreiecke und alle Dreiecke in rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen. 133 Kap_4_S_125_154.fm Seite 134 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 134 Ähnlichkeit Zunächst soll ein einfacherer Fall betrachtet werden. Man wählt zwei Dreiecke ABC und DEF, die zueinander ähnlich sind mit dem Ähnlichkeitsfaktor k = 2. C a b A α β c F γ B 2b Voraussetzung: ABC ∼ DEF mit k = 2 Behauptung: α = δ; β = ε; γ = 90˚ 2a ε δ D 2c E Beweis: 1. Man konstruiert ein Dreieck ARS, das die gleichen Innenwinkel wie Dreieck ABC hat. 2. Man zeigt, dass gilt: ARS ≅ DEF. zu 1. Man zeichnet ABC und verlängert AC über C hinaus und trägt die Strecke AS von A aus ab ( AC = CS ). In S wird an AS ein rechter Winkel angetragen. Sein freier Schenkel schneidet AB in R. ABC und ARS stimmen in zwei Winkeln überein und damit nach dem Satz über die Innenwinkelsumme in Dreiecken auch im dritten Winkel. Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes gilt außerdem CB SR . S C A β α R B zu 2. Nachweis der Kongruenz von ARS und DEF mithilfe von sss Nach Konstruktion gilt: AS = 2b = DF . Es ist noch zu zeigen: AR = DE = 2c und RS = FE = 2a Zum Nachweis können Aussagen zu den Flächeninhalten verwendet werden. Betrachtet werden ABC Flächeninhalt A CBS Flächeninhalt A1 CBR Flächeninhalt A2 BRS Flächeninhalt A3 CRS Flächeninhalt A4 Es gilt: A= 1 --2 a⋅b = ➀ ➁ S A 1 --2 c ⋅ hc CBS und CBR sind flächengleich (gleichlange Grundseiten, gleiche Höhe; Abb. ➀) A1 = A2 b C C A1 b hc A2 β α A c B ➂ R A S b A C A4 b hc A3 β α A c B R ABC und CBS sind flächengleich (gleichlange Grundseiten AC = CS und gleiche Höhe CB ; Abb. ➁) A = A1 und wegen A1 = A2 somit auch A = A2 Wegen A = 1 --2 S b c ⋅ hc und A2 = 1 --2 BR · hc gilt: BR = c und damit AR = 2c b α A A1 β c B A3 R Kap_4_S_125_154.fm Seite 135 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung Es gilt: BRS und CRS sind flächengleich (gleiche Grundseiten RS , C und B liegen auf einer Parallelen zu RS , also gleiche Höhe b; Abb. ➂) A3 = A4 = 1--- RS · b 2 ARS (Abb. ➂) wird betrachtet: A ARS = A + A1 + A3 = 1--- · 2 · b · a + 2 Damit gilt: a·b + 1 --2 1 --2 RS ⋅ b = a · b + 1 --2 RS · b oder A ARS = 1 --2 RS · 2b = RS · b RS · b = RS · b a·b = 1 --2 RS · b 2a · b = RS · b 2a = RS Nach sss gilt: ARS ≅ DEF Daraus folgt: ARS und DEF haben die gleichen Innenwinkel und damit haben auch ABC und DEF die gleichen Innenwinkel. Also sind α = δ, β = ε, γ = 90˚. Die Allgemeingültigkeit für beliebiges k kann gezeigt werden, indem ein RST betrachtet wird mit den Seitenlängen k · a, k · b, k · c. Ähnlichkeit von Dreiecken Der Nachweis der Ähnlichkeit zweier beliebiger Figuren F1 und F2 kann unter Umständen schwierig sein, da alle entsprechenden Seitenverhältnisse und Winkel betrachtet werden müssen. Allein aus der Winkelgleichheit kann nicht in jedem Fall auf die Ähnlichkeit der Figuren geschlossen werden, wie das Beispiel zeigt: Ein beliebiges Rechteck ABCD und ein Quadrat RSTU stimmen zwar in allen Innenwinkeln überein, sind aber nicht in jedem Fall zueinander ähnlich. Allerdings sind Figuren, in denen entsprechende Winkel verschieden groß sind, auf jeden Fall nicht ähnlich zueinander. Wie zum Nachweis der Kongruenz von Dreiecken lassen sich auch zum Nachweis der Ähnlichkeit von Dreiecken Kriterien finden, die Ähnlichkeitssätze. Es wurde gezeigt, dass aus der Ähnlichkeit zweier Figuren auf die Winkelgleichheit der Figuren geschlossen werden kann. Für Dreiecke kann dieser Satz auch umgekehrt werden: Aus der Winkelgleichheit zweier Dreiecke kann auf die Ähnlichkeit der Dreiecke geschlossen werden. Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, stimmen sie auch im dritten Winkel überein, da die Winkelsumme immer 180˚ beträgt. S Hauptähnlichkeitssatz Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Analog zu den Kongruenzsätzen sws, sss und SsW können weitere Paare von Stücken zweier Dreiecke betrachtet werden. Dies führt zu folgenden weiteren drei Ähnlichkeitssätzen für Dreiecke: S Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie übereinstimmen: – in einem Winkel und im Verhältnis der beiden dem Winkel anliegenden Seiten (sws), – im Verhältnis aller drei Seiten zueinander (sss) oder – im Verhältnis zweier Seiten und in dem Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt (SsW). 135 Kap_4_S_125_154.fm Seite 136 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 136 Ähnlichkeit Damit stehen Kriterien zum Nachweis der Ähnlichkeit zweier Dreiecke zur Verfügung. Es ist zweckmäßig, zuerst immer die Möglichkeit der Anwendung des Hauptähnlichkeitssatzes zu prüfen, da der Winkelvergleich im Allgemeinen einfacher ist. Flächeninhalt und Volumen zueinander ähnlicher Figuren Ein Rechteck mit der Seitenlänge a = 4 cm und b = 3 cm hat einen Umfang u1 = 14 cm und einen Flächeninhalt A1 = 12 cm2. Werden in dem Rechteck beide Seitenlängen verdoppelt, so hat das neue Rechteck einen Umfang u2 = 28 cm und einen Flächeninhalt A2 = 48 cm2. Beide Rechtecke sind zueinander ähnlich mit dem Ähnlichkeitsfaktor k = 2. Ein Vergleich der Umfänge und Flächeninhalte zeigt: u2 = 2 · u1 und A2 = 4 · A1. Allgemein: u2 = k · u1 und A 2 = k2 · A1 S Ist die Figur F2 ähnlich zur Figur F1 mit dem Ähnlichkeitsfaktor k, so gilt für deren Umfänge, Flächeninhalte bzw. Rauminhalte: u2 = k · u1 A2 = k2 · A1 V2 = k3 · V1 Der Beweis soll zunächst für ein Rechteck geführt werden. Rechteck ABCD mit den Seitenlängen a, b, Umfang u1, Flächeninhalt A1 Rechteck RSTU mit den Seitenlängen k · a, k · b, Umfang u2, Flächeninhalt A2 u1 = 2(a + b) u2 = 2(ka + kb) u2 = k · 2(a + b) u2 = k · u1 A1 = a · b A2 = k · a · k · b A2 = k2 · a · b A2 = k2 · A1 Analog kann der Nachweis für alle berechenbaren ebenen und räumlichen Figuren geführt werden. Zentrische Streckung Zu einer geometrischen Figur F1 kann man kongruente Figuren erzeugen, indem man auf F1 Abbildungen anwendet, z.B. eine Verschiebung, eine Drehung, eine Spiegelung oder Abbildungen, die sich aus Verschiebung, Drehung, Spiegelung zusammensetzen. Wie kann man zu einer Figur F1 ähnliche Figuren konstruieren? Mithilfe einer Taschenlampe wird in einem dunklen Raum ein Schattenbild an der Wand erzeugt. Der Schatten ist dem Original ähnlich. Bei der Verschiebung und Spiegelung liegen Original- und Bildpunkt jeweils auf einer Geraden, bei der Drehung auf Kreisbögen. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung (Verkleinerung) liegen Original- und Bildpunkt jeweils auf Geraden mit gemeinsamem Anfangspunkt Z (Taschenlampe). Kap_4_S_125_154.fm Seite 137 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung Der Bildpunkt von P liegt also auf dem Strahl ZP, aber wo genau? Eine Analyse des Bildes zeigt z. B. A liegt näher an Z als B, A' liegt auch näher an Z als B', A' ist von Z doppelt so weit entfernt wie A, ebenso B' ist doppelt so weit von Z entfernt wie B. Das gilt auch für C', D'. Q C' C D' D P Z B A Also gilt: ZP' = 2 · ZP , ZQ' = 2 · ZQ B' A' Die Abbildung, die hier einer Figur F1 eine ähnliche Figur zuordnet, heißt zentrische Streckung. D Eine zentrische Streckung (Zk) mit dem Streckungszentrum Z und dem Streckungsfaktor k (k > 0) ist eine Abbildung, die jedem Punkt P einen Punkt P' auf folgende Art zuordnet. 1. Für P ≠ Z liegt P' auf dem Strahl ZP 2. ZP' = k · ZP 3. Z' = Z Durch die Angabe des Streckungszentrums Z und des Streckungsfaktors k ist eine zentrische Streckung eindeutig festgelegt. Aus der Definition kann man sofort die Konstruktionsschritte ablesen. 1. Ein Streckungszentrum Z festlegen. 2. Den Punkt Z mit einem Punkt P der Originalfigur verbinden und die Strecke ZP mit dem Streckungsfaktor k vervielfachen. Man erhält den Bildpunkt P' mit ZP' = k · ZP . (Z2) R' R Q' Q Z P ZP' = 2 · ZP P' 3. Konstruktionsschritt 2 auf die Punkte Q und R anwenden (und eventuell auf weitere Punkte). k>1 Das Bild ist eine maßstäbliche Vergrößerung. 0<k<1 Das Bild ist eine maßstäbliche Verkleinerung. k<0 P' liegt auf PZ . k=1 Das Bild fällt mit dem Original zusammen. Die Streckung (Z–k) k > 0 kann ersetzt werden durch die zentrische Streckung (Zk) und die Punktspiegelung an Z. Z k = – 23 k= 2 3 k=1 k = 1,5 137 Kap_4_S_125_154.fm Seite 138 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:36 15 Ähnlichkeit Eigenschaften der zentrischen Streckung (Zk) 1. 2. 3. 4. 5. Die Winkelgrößen werden nicht verändert. Die Originalstrecke PR ist parallel zur Bildstrecke P'R' . Es gilt: P'R' = k · PR . Parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet: gh ⇒ g'h' Zueinander senkrechte Geraden werden auf zueinander senkrechten Geraden (Folgerung aus 1) abgebildet: g ⊥ h ⇒ g' ⊥ h' 6. Das Bild eines n-Ecks ist ein n-Eck. 7. Das Bild eines Kreises ist ein Kreis mit k-fachem Radius. (Auf die Beweise wird an dieser Stelle verzichtet.) Durch die Eigenschaft 2. lässt sich die Konstruktion vereinfachen: 1. Ein Streckungszentrum Z festlegen. 2. Den Punkt Z mit einem Punkt P der Originalfigur verbinden und die Strecke ZP mit dem Streckungsfaktor k vervielfachen. Man erhält den Bildpunkt P' mit ZP' = k · ZP. 3. Von Z aus Strahlen durch alle anderen Originalpunkte zeichnen. Bei P' beginnend schrittweise alle Bildstrecken als parallele Strecken zu Originalstrecken konstruieren. Aufgaben 1. ABBestimme das Verhältnis ------der Strecken AB = a und CD = b. Gib es in Bruch- und in DeziCD malschreibweise an. a) a = 3 cm b) a = 144 m c) a = 125 dm d) a = 12,5 km b = 15 cm b = 36 m b = 10 m b = 500 m 2. Gib jeweils die fehlende Größe an. a) a : b = 1 : 4 b) a : b = 1 : 2,5 a = 1 250 m b = 1 000 m c) a : b = 3 : 5 a = 630 m d) a : b = 5 a = 25 mm 3. Gib jeweils drei unterschiedliche Streckenpaare an, deren Längen folgende Verhältnisse haben. a) a : b = 1 : 4 b) a : b = 0,5 : 3 c) a : b = 4 : 3 d) a : b = 1,2 : 2,3 4. Ermittle folgende Streckenverhältnisse. Gib jeweils in Bruch- und in Dezimalschreibweise an. AB------CD a) b) EF -------GH c) LM -------IK d) RS -----ST e) XY --------VW T A C X B D Y E G V F K I L H M W R S Begriff der Ähnlichkeit – Eigenschaften zueinander ähnlicher Figuren Die Figur F2 ist ähnlich zu F1. Ermittle den Ähnlichkeitsfaktor und die fehlenden Seitenlängen. a) b) C F O K A c B F2 D 15 ,5 s 42 a F1 18 r 22 H M t F2 F1 N C P 32 G 24 12 24 5. 20 138 E Maßangaben in Zentimeter Kap_4_S_125_154.fm Seite 139 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Ähnlichkeit von Figuren, zentrische Streckung 6. Welche der Figuren A, B, C, D bzw. E ist jeweils zur links stehenden Figur ähnlich? Begründe. a) E D C B A b) E C 7. * 8. D B A Entscheide ob wahr oder falsch. Begründe. a) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich. b) Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich. c) Alle gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. d) Es gibt Parallelogramme, die zueinander ähnlich sind. e) Rhomben sind immer zueinander ähnlich. f) Wenn F1 und F2 zueinander kongruent sind, dann sind sie auch zueinander ähnlich. g) Alle rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. Untersuche, welche Figuren zueinander ähnlich sind. a) b) c) H1 S2 H2 S1 F1 F2 H3 S3 S4 H4 F3 H5 F4 S6 S5 Ähnlichkeit von Dreiecken 9. Welche Dreiecke sind ähnlich zueinander? Begründe. 70 ° 70 ° B D 30° A 70° E 70 ° C 80 ° 70° 40° 70° 80° 10. Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Gib mehrere Möglichkeiten an, wie ein dazu ähnliches Dreieck gezeichnet werden kann. 139 Kap_4_S_125_154.fm Seite 140 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 140 Ähnlichkeit 11. Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB . CD sei Höhe auf die Hypotenuse. a) Untersuche, welche Dreiecke zueinander ähnlich sind. b) Stelle Verhältnisgleichungen für die ähnlichen Dreiecke auf. (Kennzeichne einander entsprechende Winkel in der gleichen Farbe.) c) Erkennst du in einigen dieser Gleichungen dir bekannte Sätze? 12. Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Wähle auf AC einen beliebigen Punkt E. Zeichne durch E eine Parallele zu AB . Die Parallele schneidet BC in F. Was kannst du über die Dreiecke ABC und EFC aussagen? Begründe. 13. Zwei beliebige Sehnen AB und CD eines Kreises schneiden einander im Punkt P. Verbinde die Endpunkte der Sehnen. Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich? Begründe. 14. Zeichne jeweils zwei Dreiecke mit folgenden Eigenschaften. a) α = 58° und β = 67° b) a : b : c = 5 : 6 : 7 c) b : c = 4 : 3 und α = 120° 15. Wenn zwei Figuren zueinander ähnlich sind, so ist das Verhältnis zweier beliebiger Strecken in einer Figur genau so groß wie das Verhältnis der entsprechenden Strecken in der anderen Figur. Beweise diesen Satz. Flächeninhalt und Volumen zueinander ähnlicher Figuren 16. Die Dreiecke D1 und D2 sind zueinander ähnlich. a) Was gilt für die Flächeninhalte A1 und A2 beim Ähnlichkeitsfaktor k = 0,5 2 : 1; 0,8; 5 : 3; 4 --- 7 ? b) Ermittle den Ähnlichkeitsfaktor, wenn für die Flächeninhalte A1 und A2 gilt A2 = 4A1 (A2 : A1 = 0,25; A2 = 2,25 A1; A2 : A1 = 49 : 25). 17. Die Figur F2 sei ähnlich zur Figur F1 mit dem Ähnlichkeitsfaktor k. Weise die Beziehungen für einander entsprechende Umfänge, Flächeninhalte bzw. Rauminhalte nach. a) Quadrate b) Dreiecke c) Kreise d) Würfel e) Quader 18. Ein Würfel hat ein Volumen von 1000 m3. Seine Kanten werden verdoppelt. Wie groß ist das Volumen des neuen Würfels? Berechne die Oberflächeninhalte beider Würfel. Zentrische Streckung 19. Zeichne ein Rechteck ABCD mit den Seitenlängen a = 6 cm und b = 2,5 cm. Konstruiere ein ähnliches Rechteck mithilfe der zentrischen Streckung (S2), wenn S der Schnittpunkt der Diagonalen ist. 20. Zeichne ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 4 cm, b = 3 cm und c = 6 cm. Konstruiere das Bild A'B'C' des Dreiecks ABC bei einer zentrischen Streckung. a) (C2) b) (B0,5) c) (A– 1--- ) 2 Verbinde in der Zeichnung der Aufgabe c) die noch nicht miteinander verbundenen Punkte. Was für ein Viereck ist entstanden? Begründe. 21. a) Die Abbildung zeigt einen rechteckigen Bilderrahmen. Gibt es eine zentrische Streckung, die das äußere Rechteck auf das innere Rechteck abbildet? b) Untersuche einen quadratischen Rahmen wie in Aufgabe a). Kap_4_S_125_154.fm Seite 141 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Strahlensätze und ihre Anwendungen 4.2 Strahlensätze und ihre Anwendungen Bei der Projektion eines Dias an eine Projektionswand entsteht eine maßstäbliche Vergrößerung des Dias, wenn das Dia und die Projektionsfläche parallel zueinander sind. Sonst kommt es zu Verzerrungen. Je weiter der Diaprojektor von der Wand entfernt ist, desto größer ist das entstehende Bild. Die Höhe des Bildes ist proportional zur Entfernung des Projektors von der Wand. Wie kann man diesen physikalischen Sachverhalt mathematisch beschreiben und untersuchen? Die Figur enthält Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt und zueinander parallelen Geraden. Hohlspiegel Kondensor Objektiv Bild h2 h1 h2 l2 = h1 l1 l1 l2 Lampe Dia Projektionsflächen Eine Figur aus zwei Strahlen mit dem gemeinsamen Anfangspunkt Z, die von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, heißt Strahlensatzfigur mit dem Zentrum Z. Die Strecken ZA , ZB , ZC , ZD , AB und CD heißen Strahlenabschnitte. Die Strahlenabschnitte ZA und ZC , ZB und ZD sowie AB und CD heißen gleich liegend. Die Strecken AC und BD heißen Parallelenabschnitte. Dem Parallelenabschnitt AC sind die Strahlenabschnitte ZA und ZC und dem Parallelenabschnitt BD sind die Strahlenabschnitte ZB und ZD zugeordnet. ➀ s2 D C Zentrum Z ➁ h g h g C γ g h Parallelenabschnitte Strahlenabschnitte Z α β A B s2 D γ s1 A β B s1 Gleich liegende Strahlenabschnitte: ZA und ZC; ZB und ZD; AB und CD Zugeordnete Strahlen- und Parallelenabschnitte: AC zu ZA bzw. ZC; BD zu ZB bzw. ZD Eine Strahlensatzfigur enthält zwei Dreiecke, das Dreieck ZAC und das Dreieck ZBD. Die Dreiecke sind zueinander ähnlich, da die Innenwinkel gleich groß sind (Stufenwinkel). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ergeben sich sofort Streckenverhältnisse, die einander gleich sind. S 1. Strahlensatz In einer Strahlensatzfigur ist das Verhältnis zweier Strahlenabschnitte auf einem Strahl genauso groß wie das Verhältnis der gleich liegenden Strahlenabschnitte auf dem anderen Strahl. z.B. ZA ------ZB = ZC ------ZD 2. Strahlensatz In einer Strahlensatzfigur ist das Verhältnis der Parallelenabschnitte genauso groß wie das Verhältnis der zugeordneten Strahlenabschnitte auf demselben Strahl. z.B. AC -------BD = ZA ------ZB 141 Kap_4_S_125_154.fm Seite 142 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 142 Ähnlichkeit Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke gewinnt man auch die Verhältnisgleichungen ZA ------ZC = ZB-----ZD (1. Strahlensatz) ZA------AC = ZB ------BD (2. Strahlensatz). und Im 1. Strahlensatz treten bisher nicht die Strahlenabschnitte AB und CD auf. Hält man in der Strahlensatzfigur z. B. die Gerade AC fest und verschiebt die Gerade DB, so werden beide Abschnitte AB und CD entweder größer oder kleiner. Voraussetzung: AC BD (Strahlensatzfigur) ZA ------AB = D C Behauptung: ZC------CD Z A B Beweis: Für den Beweis wird der 1. Strahlensatz genutzt. Aus folgt ZB-----ZA = ZD ------ZC ZA + AB-------------------ZA und wegen ZB = ZA + AB sowie ZD = ZC + CD = ZC + CD--------------------ZC ZA ------ZA Also gilt auch + . AB ------ZA = ZC ------ZC + CD -------ZC und damit 1 + und damit AB ------ZA AB ------ZA = =1+ CD -------ZC Die Strahlensätze gelten analog für die sich in Z schneidenden Geraden g1 und g2, die von zwei parallelen Geraden geschnitten werden. und ZA ------ZB = ZC ------ZD und AC -------BD = ZA ------AB = ZC------CD . w.z.b.w. γ β α γ ZA ------ZB g1 D A Wegen ZAC ≅ ZBD (Hauptähnlichkeitssatz) gilt: CD -------ZC Z α β C h i h B g2 i Betrachtet man mehr als zwei Strahlen mit dem gemeinsamen Anfangspunkt Z, so findet man den 3. Strahlensatz. S 3. Strahlensatz In einer Strahlensatzfigur aus drei Strahlen und zwei Parallelen ist das Verhältnis der Abschnitte auf einer Parallelen genauso groß wie das Verhältnis der gleichliegenden Abschnitt auf der anderen Parallelen. Es gilt z.B.: AC -------CE = BD ------DF AE BF Z F E D C A B Der Beweis des 3. Strahlensatzes ergibt sich durch zweimaliges Anwenden des 2. Strahlensatzes. Mithilfe der Strahlensätze lassen sich, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, Streckenlängen berechnen. Kap_4_S_125_154.fm Seite 143 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Strahlensätze und ihre Anwendungen Beispiel: Gegeben: SC = 4 m; CD = 9 m; BD = 16 m Gesucht: AC Analyse: ➀ AC ist kürzer als BD . ➁ AC ist Parallelenabschnitt. BD ist ein weiterer Parallelenabschnitt. Es können der 2. oder 3. Strahlensatz angewendet werden. Da nur zwei Strahlen gegeben sind, kommt aber nur der 2. Strahlensatz infrage. Dazu sind dann aber die Strahlenabschnitte SC und SD erforderlich. Lösung: SD = SC + CD D C S A AC BD B SD = 4 m + 9 m = 13 m AC -------BD Antwort: = SC ------SD AC = SC ⋅ BD ------------------SD AC = 4m ⋅ 16m-----------------------13m Hinweis: Beginne beim Aufstellen der Verhältnisgleichung möglichst mit der gesuchten Strecke. ≈ 4,9 m Die Strecke ist etwa 4,9 m lang. Teilen und Vervielfachen einer Strecke Soll eine Strecke in 2 (4; 8; 16; …) gleich lange Abschnitte geteilt werden, so kann das mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden. Man kann auch eine beliebige Strecke im Verhältnis 3 : 1 teilen (oder 7 : 1; 5 : 3; …). Mithilfe der Strahlensätze kann man eine Strecke mit Zirkel und Lineal in einem beliebigen rationalen Verhältnis teilen bzw. mit einem beliebigen rationalen Faktor vervielfachen. Teilen einer Strecke AB in n gleiche Abschnitte 1. Im Punkt A einen Strahl antragen. 2. Auf dem Strahl vom Punkt A aus n-mal die gleiche Strecke mit einem Zirkel abtragen. 3. Den letzten Endpunkt der abgetragenen Strecken mit dem Punkt B verbinden. 4. Die Parallelen der Verbindungsstrecken durch die Endpunkte der Strecken ergeben die gesuchten Teilungspunkte T1 und T2 auf AB . 3 gleich lange Strecken A 1 1 T1 T2 1 B Hilfsstrahl Teilen einer Strecke AB im Verhältnis p : q 1. Im Punkt A einen Strahl antragen. 2. Auf dem Strahl von A aus (p + q)-mal die gleiche Strecke mit einem Zirkel abtragen. 3. Den letzten Endpunkt der abgetragenen Strecken mit dem Punkt B verbinden. 4. Eine Parallelverschiebung durch den p-ten Endpunkt ergibt den gesuchten Teilungspunkt T auf AB . 2 + 3 = 5 gleich lange Strecken A 2 AT : TB = 2 : 3 T 3 B Hilfsstrahl 143 Kap_4_S_125_154.fm Seite 144 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 144 Ähnlichkeit Vervielfachen einer Strecke AB mit dem Faktor k = z --n 1. Im Punkt A einen Strahl antragen. 2. Auf dem Strahl vom Punkt A aus p-mal die gleiche Strecke abtragen. (p ist die größere der beiden Zahlen z und n.) 3. Den n-ten Endpunkt der abgetragenen Strecken mit B verbinden. 4. Die Parallele zur Verbindungsstrecke durch den z-ten Endpunkt der abgetragenen Strecken liefert den gesuchten Punkt B’ auf AB. Vervielfachen einer Strecke mit dem Faktor AB' = 5 3 5 3 Vervielfachen einer Strecke mit dem Faktor AB' = AB 3 5 3 5 AB 5 5 3 3 B A A B' B B' Umkehrung der Strahlensätze Unter der Umkehrung eines Satzes versteht man des Vertauschen der Voraussetzung bzw. von Teilen der Voraussetzung mit der Behauptung. Durch die Umkehrung eines Satzes können neue Sätze gefunden werden, deren Gültigkeit aber noch bewiesen werden muss, da die Umkehrung auch eine falsche Aussage sein kann. 1. Strahlensatz 1. Umkehrung des Satzes 2. Umkehrung des Satzes Voraussetzung 1 s1 und s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. s1 und s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. ZA -------ZB Voraussetzung 2 g h ZA -------ZB g h Behauptung ZA -------ZB = ZC------ZD = ZC------ZD g h Der Nachweis der Gültigkeit der ersten Umkehrung des 1. Strahlensatzes kann indirekt geführt werden. (Umkehrungen werden häufig indirekt bewiesen, da man so den Satz selbst anwenden kann.) Beim indirekten Beweis nimmt man an, dass die Behauptung nicht richtig ist (also das Gegenteil wahr sei) und zeigt dann, dass ein Widerspruch entsteht. Also ist die Annahme (Gegenteil der Behauptung) falsch, die Behauptung also wahr. = ZC------ZD s1 und s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. h s2 g D C s1 Z A B gh Kap_4_S_125_154.fm Seite 145 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Strahlensätze und ihre Anwendungen Voraussetzung: ZA ------ZB = ZC ------ZD g Behauptung: g h s2 D' D C s1 Beweis: Z Annahme: g h Dann gibt es eine Parallele h' zu g durch B. h' schneidet s2 in D' ≠ D. Nun gilt nach dem 1. Strahlensatz: ZA ------ZB ZC------ZD' = B A (∗) Nach der Voraussetzung 2 der Umkehrung gilt aber auch: ZA ------ZB = ZC ------ZD (∗∗) Aus (∗) und (∗∗) folgt nun aber ZD = ZD'. Das ist aber ein Widerspruch zu D ≠ D', damit ist die Annahme g h falsch. Dass eine Aussage für alle Objekte nicht wahr ist, kann durch Angabe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Das trifft auf die 2. Umkehrung des 1. Strahlensatzes zu. S h h' ; s1 und s2 gehen durch Z w.z.b.w. g Z2 Z1 h C D A s2 s1 B Umkehrung des 1. Strahlensatzes Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt durch zwei Geraden geschnitten und ist das Verhältnisse zweier Strahlenabschnitte auf dem einen Strahl genauso groß wie das Verhältnis der gleichliegenden Strahlenabschnitte auf dem anderen Strahl, so sind die schneidenden Geraden parallel zueinander. Beispiel: Werden in einem Dreieck ABC die Mittelpunkte D und E der Seiten AC und BC verbunden, so gilt: DE AB C Voraussetzung: AD = DC , BE = EC Behauptung: DE AB Beweis: CD -------CA = 1 --2 CE ------CB = 1 --2 D , also CD -------CA = CE ------CB E B A Die Voraussetzungen der Umkehrung des 1. Strahlensatzes sind erfüllt. Es gilt also DE AB. Auch für den 2. Strahlensatz gibt es zwei Umkehrungen. 2. Strahlensatz 1. Umkehrung des Satzes 2. Umkehrung des Satzes Voraussetzung 1 s1, s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. s1, s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. ZA -------ZB Voraussetzung 2 g h ZA -------ZB g h Behauptung ZA -------ZB = AC -------BD = g h AC -------BD = AC -------BD s1, s2 haben einen gemeinsamen Anfangspunkt Z. 145 Kap_4_S_125_154.fm Seite 146 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 146 Ähnlichkeit Die 1. Umkehrung gilt nicht (siehe Gegenbeispiel). h' Die 2. Umkehrung ist ein wahre Aussage. C' s1 Z S D C Der Beweis erfolgt ebenfalls indirekt. s2 h g A B Umkehrung des 2. Strahlensatzes Wird ein Strahl mit dem Anfangspunkt Z durch zwei parallele Geraden in den Punkten A und B geschnitten und gilt für zwei Punkte C und D, die auf je einer der parallelen Geraden und auf der------- = AC -------- , so liegen die Punkte Z, C und D auf einem Strahl mit dem selben Seite des Strahles liegen, ZA ZB BD Anfangspunkt Z. Mithilfe der Umkehrung des 2.Strahlensatzes kann man z.B. nachweisen, dass drei Punkte auf einer Geraden liegen. Beispiel: Gegeben ist ein Trapez ABCD ( AB CD ) mit den Seitenlängen AB = 6 cm, CD = 2 cm und AD = 8 cm. Auf der Verlängerung von AD über D hinaus wird von D bis S eine Strecke der Länge SD = 4 cm abgetragen. Es ist nachzuweisen, dass die Gerade BC durch S geht. S Voraussetzung: AB CD , AB = 6 cm, CD = 2 cm, AD = 8 cm SD = 4 cm D () Behauptung: B, C, S liegen auf einer Geraden Beweis: SA = 12 cm SA ------SD = 12cm --------------4cm C B A AB------DC =3 = 6cm ----------2cm SA ------SD = 3, also = AB------DC () Mit () und () sind die Voraussetzungen der Umkehrung des 2. Strahlensatzes erfüllt. Damit geht die Gerade BC durch S. Aufgaben 1. Löse die Gleichungen nach x auf. -----a) --x- = 4--b) --x- = 13 3 2. e) --xa i) x ----------a+b = 4 --cd = c----------+ dc 12 f) x---m j) x---------e+f = m ----r = e---------+ fg c) 2 --x = 1 --5 d) 5 --x = 2 --3 g) a--x = m ----n h) -r s = -tx k) a----------+ bx = l) c-x = a + b----------c+d d) ZA ------ZB c----------+ da Leite durch Umstellen jeweils eine weitere Verhältnisgleichung her. a) 3. 5 5 --4 10= ----8 b) --ab = x-y c) ZA ------ZB = ZC ------ZD a) Gib jeweils einen gleich liegenden Strahlenabschnitt an. SL ; MN; SN ; SK b) Gib jeweils zugeordnete Strahlen- bzw. Parallelenabschnitte an. KL ; NO ; SM ; SP ; SO g3 g2 = AC -------BD O N P g1 K S M L g1g2g3 Kap_4_S_125_154.fm Seite 147 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Strahlensätze und ihre Anwendungen SM -------SN = SO ------- b) SM -------- = MO ---------NP c) SP ------OP = SN ------- d) SM--------MO = ------NP e) ------NP = SM -------SN f) ------SN = MO ---------SM c) a--c --ab = e--f b) d) a ----------a+b = e---------e+f g) c----------+ dd = a ----------a+b O N g2 P g1g2 e) --ab = c ----------c+d g --h = g --h f) g --h = = f b --d m e l c l---m d g a h b Berechne jeweils die farbig gekennzeichnete Größe. (g h) 5m 12 m 9m g a x 4m 6m 10 m 7,5 h 2,5 m 4 cm b) 1 cm c) 18 cm d) e) 3 cm 8 cm 14 cm 2 cm 6 cm 4 cm 48 cm 10,5 cm 12 cm 46 cm 6,3 cm m z 8. Beweise den 3. Strahlensatz. 9. Gegeben ist die Strahlensatzfigur mit f e d. Berechne jeweils die fehlenden Stücke. a) f = 12 cm b) a = 5,5 cm c) e = 2,6 cm g = 8 cm b = 3 cm d = 5,7 cm i = 6 cm e = 2,5 cm f = 4,6 cm e = 18 cm c = 4 cm h = 2 cm b + c = 27 cm i = 2,5 cm b + c = 7 cm 5m c+d f e d 18 cm 24 cm c 96 cm 144 cm 15,5 cm h g r Übertrage die Tabelle in dein Heft. Berechne die fehlenden Größen. a b c d e f a+b a) d) h g 6m c) b) h 4m g a) 7. M g1 Überprüfe ob wahre Aussagen vorliegen. a) 6. S a) m 5. Ergänze so, dass wahre Aussagen entstehen. 10 4. e Z f a b 24,5 cm 10. In einem Dreieck ABC wird durch den Mittelpunkt M der Seite AB die Parallele zur Seite AC gezeichnet. Die Parallele schneidet die Seite BC in N. a) Vergleiche die Längen der Strecken BN und NC . b) Was lässt sich über die Länge der Strecke MN aussagen? c) Vergleiche die Flächeninhalte von Dreieck MBN und Trapez AMNC. Begründe alle Aussagen. i d h a f e c b g C N A M B 147 Kap_4_S_125_154.fm Seite 148 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 148 Ähnlichkeit 11. Teile eine Strecke von 10 cm durch Konstruktion in gleiche Teile. a) in 3 b) in 5 c) in 7 d) in 11 e) in 10 12. Teile eine Strecke von 8 cm durch Konstruktion im folgenden Verhältnis. a) 2 : 1 b) 2 : 3 c) 5 : 4 13. Teile eine beliebige Strecke im folgenden Verhältnis. a) 1 : 3 b) 1 : 1 c) 5 : 3 d) 1 : 7 Gib nach Möglichkeit verschiedene Konstruktionen an. 14. Vervielfache eine Strecke von 5 cm durch Konstruktion mit folgenden Faktoren. Kontrolliere durch Messen. -----a) 2--b) 5--c) 1,5 d) 0,8 e) 0,5 f) 11 g) 3 3 4 10 Bei welchen Faktoren findest du verschiedene Vorgehensweisen? 15. Begründe die Konstruktion zur a) Teilung einer Strecke in 3 (n) gleiche Teile, b) Teilung einer Strecke im Verhältnis 2 : 3 (p : g), c) Vervielfachung einer Strecke mit dem Faktor k = --zn . 16. Erläutere, wie man die Umkehrung eines Satzes bilden kann. Begründe, warum die Gültigkeit der Umkehrung eines Satzes bewiesen werden muss. * 17. Beweise die Umkehrung des 2. Strahlensatzes indirekt. 18. In einem beliebigen Viereck ABCD werden die Mittelpunkte M und N zweier benachbarter Seiten verbunden. Begründe, dass die Strecke MN parallel zu einer Diagonalen des Vierecks verläuft und halb so lang wie diese ist. 19. Begründe die Eigenschaften der zentrischen Streckung (Zk). a) Die Bildstrecke P'Q' ist k-mal so lang wie die Originalstrecke PQ . b) Bild- und Originalstrecke sind parallel zueinander. Hinweis: Wähle für k einen konkreten Wert z.B. k = 2 und übertrage dann die Überlegung auf beliebiges k. 20. In einem Gelände befindet sich ein Sumpfgebiet, dessen Längenausdehnung ermittelt werden soll. Wie könnte man vorgehen? Entwirf Skizzen und erläutere. Suche nach mehreren Möglichkeiten. x * 21. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC C C a b mit der Seitenlänge a. S S a) R, S, T teilen die Dreieckseiten im VerhältT nis 2 : 1. Gib alle möglichen Beziehungen T zwischen Dreieck ABC und den entstanB A B A denen Dreiecken an. Begründe. R R b) Teile die Seiten im Verhältnis 2 : 1 bzw. 1 : 2 wie in Abbildung b . Verbinde die Teilungspunkte R, S, T. Gib wie oben möglichst viele Beziehungen zwischen den Dreiecken an. Was kannst du über die Seitenlängen, Umfänge, Flächeninhalte aussagen? Kap_4_S_125_154.fm Seite 149 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Gemischte Aufgaben 149 4.3 Gemischte Aufgaben Überprüfe, ob folgende Aussagen wahr sind. a) Wenn zwei Figuren zueinander kongruent sind, so sind sie auch zueinander ähnlich. b) Wenn zwei Figuren zueinander ähnlich sind, so sind sie auch zueinander kongruent. c) Wenn zwei Figuren zueinander kongruent sind, so sind sie auch flächengleich. d) Wenn zwei Figuren zueinander ähnlich und flächengleich sind, so sind sie zueinander kongruent. Bilde weitere Aussagen dieser Art und überprüfe sie. fläche ng ich le 1. ruent ng o k h Ähnlichkeiten in der Mathematik ähn li c 2. Ergänze die Formulierungen der folgenden Sätze in deinem Heft zu wahren Aussagen. a) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn … b) Zwei gleichschenklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn … c) Zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn … d) Zwei gleichseitige Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn... 3. Unter welchen Bedingungen sind F1 und F2 zueinander ähnlich? (Gib mehrere Möglichkeiten an, komme mit einer minimalen Anzahl von Bedingungen aus.) a) F1, F2 sind Rechtecke b) F1, F2 sind Parallelogramme c) F1, F2 sind Drachenvierecke d) F1, F2 sind Kreise e) F1, F2 sind Rhomben f) F1, F2 sind Trapeze 4. Gib jeweils zueinander ähnliche Dreiecke an. Begründe. a) D b) C c) C C D AB CD A 5. E DE AC S B A ABCD ist ein Rechteck, E und F sind Mittelpunkte der Seiten AB bzw. BC . Welche Dreiecke sind ähnlich zueinander? Begründe. A B B D H D C F G A B E 6. In das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ABC wurde das Quadrat RSTU einbeschrieben. a) Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich, welche sogar kongruent? Begründe. b) Vergleiche den Flächeninhalt des Quadrates mit dem Flächeninhalt von Dreieck ARU. c) Welchen prozentualen Anteil an der Gesamtfläche des Dreiecks ABC nimmt die Fläche des Quadrates ein? C U A R T S B Kap_4_S_125_154.fm Seite 150 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Ähnlichkeit 7. Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und DEF. Stelle anhand der gegebenen Stücke fest, ob die Dreiecke einander ähnlich sind. F C b A φ γ α d e a c ε β B 8. D δ E f Dreieck ABC Dreieck DEF a) α = 42°; b = 4 cm; γ = 76° d = 6 cm; φ = 76°; δ = 42° b) a = 2,1 cm; b = 3 cm; c = 1 cm d = 6 cm; e = 4,2 cm; f = 2 cm c) β = 68°; a = 4 cm; c = 3 cm d = 8 cm; ε = 68°; f = 9 cm d) b = 4,5 cm; c = 7,5 cm; a = 1,5 cm f = 2 cm; d = 5 cm; e = 8 cm Berechne die mit x oder y gekennzeichneten Streckenlängen. a) b) 8 c) 10 6 y g 25 x 10 h 16 x x 10 12 7 y 150 20 gh Maßangaben in Meter 9. Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC. D und E seien die Mittelpunkte der Seiten AC bzw. BC . In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte von Viereck ABED und Dreieck DEC? Begründe. 10. Begründe, dass gilt: AC -------BD = EC ------FD Stelle weitere gültige Verhältnisgleichungen auf. (Benutze die nebenstehende Abbildung.) ACBD CEDF F E S 11. Zwei beliebige Sekanten schneiden einen Kreis in A und B bzw. C und D und einander im Punkt P. Beweise, dass gilt: PA · PB = PC · PD Unterscheide zwei Fälle: ➀ P liegt im Kreis (Sehnensatz) ➁ P liegt außerhalb des Kreises (Sekantensatz) Hinweis: Fertige eine Skizze an. Forme die Behauptung geeignet um. C D A 12. ABCD sei ein beliebiges Viereck. R, S, T, U seien die Mittelpunkte der Vierecksseiten. Beweise, dass Viereck RSTU ein Parallelogramm ist. B Kap_4_S_125_154.fm Seite 151 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Gemischte Aufgaben Ähnlichkeit im Alltag 13. Familie Wander besucht Berlin und will vom Ernst-Reuter-Platz bis zum Brandenburger Tor zu Fuß gehen. Im Stadtplan von Berlin mit dem Maßstab 1 : 50000 messen sie eine Entfernung von 4,9 cm vom Ernst-Reuter-Platz entlang der Straße des 17. Juni bis zum Großen Stern und von dort bis zum Brandenburger Tor 4,8 cm. Wie lange werden sie etwa unterwegs sein? 14. Vergrößerungen und Verkleinerungen können heute mit Kopiergeräten durchgeführt werden. Der „Zoom-Faktor“ wird dabei in Prozent angegeben. a) Welchem Ähnlichkeitsfaktor entsprechen die Prozentangaben 50 %; 71 %; 120 %; 200 %? b) Welcher Zoom-Faktor muss eingestellt werden, um ein Verkleinerung bzw. Vergrößerung im Maßstab 1 : 4; 3 : 8; 7 : 9; 3 : 2 oder 9 : 5 zu erreichen? c) Wie kann man eine Verkleinerung von 40 % bzw. eine Vergrößerung von 275 % erreichen, wenn der Kopierer nur Einstellungen zwischen 50 % und 200 % erlaubt? Hinweis: Bei einer Vergrößerung von A4 auf A3 stellt man 200% ein. 15. Unsere gängigen Papiergrößen werden in DIN-Formaten angegeben. Der Ausgangspunkt A0 ist ein Rechteck mit der Fläche von 1 m 2. Die DIN-Norm ist so festgelegt, dass durch fortgesetzte Halbierung der jeweils längeren Seite das neue kleinere Format entsteht. Die Formate sind zueinander ähnlich. b0 = a1 A1 b1 = Deshalb gilt für jedes Format: A0: 1 m2, Seitenlängen a0, b0 A1: Seitenlängen a1, b1; a1 = b0, b1 = A2: Seitenlängen a2, b2; a2 = b1, b2 = a -----02 a1 -----2 a) Weise nach, dass für A0 gilt: a0 ≈ 1,189 m, b0 ≈ 0,841 m. b) Bestimme die Abmessungen der weiteren Formate A1, A2, A3, A4, A5, A6 und vergleiche die berechneten Maße mit deinen Heft- und Buchformaten. a0 2 a0 A3 A2 A5 A4 A6 A7 16. Ein Hühnerei ergibt eine Portion Rührei. Wie viele Portionen lassen sich dann aus einem Straußenei herstellen, dessen Abmessungen etwa dreimal so groß wie die des Hühnereis sind? 17. Im holländischen Naturkundemuseum befindet sich eines der größten Eier der Erde, das vom Madagaskar-Strauß, einem etwa 450 kg schweren und vor ca. 200 Jahren ausgerotteten Strauß. Das Ei ist 38 cm hoch und sein Inhalt entspricht etwa sieben „normalen“ Straußeneiern oder etwa 180 Hühnereiern. Bestimme die Höhe der einzelnen Eier. 18. Miss Durchmesser und Höhe von Konservendosen verschiedener Größe. a) Welche Dosen sind einander ähnlich? b) Vergleiche die Oberflächeninhalte und die Volumina der Dosen, die einander ähnlich sind. c) Welche Verpackungen haben einen günstigen Materialverbrauch? Wie ändert sich das Verhältnis von Volumen und Oberflächeninhalt, wenn Durchmesser und Höhe gleichzeitig verdoppelt bzw. gleichzeitig halbiert werden? 151 Kap_4_S_125_154.fm Seite 152 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Ähnlichkeit Ähnlichkeiten in Natur und Technik ,3 25 0, 7 19. Planung eines Tunnelbaus: 534,2 5,00 Um eine durch einen tafelförmigen Berg un21 5,00 2, zugängliche Strecke BE zu vermessen, ist das 0 18 dargestellte Verfahren geeignet. ,8 5,00 5,00 In den Punkten B und E (am Anfang und am F E D B C A Ende der zu vermessenden Strecke) werden 20,0 20,0 5 m hohe Fluchtstangen lotrecht aufgestellt. Angaben in Meter Von diesen Fluchtstangen aus werden zwei auf dem Berg ebenfalls lotrecht aufgestellte 5 m hohe Fluchtstangen angepeilt. Mit Lasermessgeräten werden die in der Abbildung angegebenen Entfernungen ermittelt. Berechne die Länge der Strecke BE . 22 152 20. Mit den dargestellten drei Verfahren kann die Breite x eines Flusses bestimmt werden, indem man jeweils die Strecken a, b und c misst und anschließend x berechnet. Begründe die drei Verfahren und ermittle durch Zeichnung und Rechnung die Flussbreite x für die angegebenen Maße. a 30 m 48 m 20 m b 14 m 9m 64 m c 80 m 16 m 58 m a) b) c) c b x x a x α c b b α a c a 21. Die Abbildung zeigt einen Proportionalzirkel. A Mit dem Zirkel können Vergrößerungen bzw. a Verkleinerungen von Strecken in einem beS stimmten Maß vorgenommen und auch Strecken in gleiche Abschnitte geteilt werden. Der Zirkel besteht aus zwei Schenkeln gleicher Länge, die mit einer Feststellschraub be verbunden werden. Die Schraube kann innerhalb der Ausschnitte verschoben werden. B Erkläre, wie mit dem Zirkel verschiedene Strecken in eine bestimmte Anzahl gleicher Abschnitte geteilt werden können bzw. wie eine Strecke in eine unterschiedliche Anzahl gleicher Abschnitte geteilt werden kann. Kap_4_S_125_154.fm Seite 153 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 Teste dich selbst! 153 Teste dich selbst! C cm AB = 4 cm, BE = 3,3 cm CF = 6,6 cm, DG = 16,5 cm AD = 20 cm, FG = 14 cm Berechne möglichst viele der fehlenden Strecken. Begründe dein Vorgehen. J D 5 A 2. F 5, Welche Dreiecke sind zueinander ähnlich? Begründe. Berechne möglichst viele der fehlenden Seitenlängen. 50° 3,5 cm 11, 4c m 14,3 cm 1. 40° E B 70° G G F E H A B C D AEB = AFC 4. 5. a) Zeichne zwei regelmäßige Sechsecke mit den Seitenlängen a1 = 3 cm und a2 = 5 cm. Sind die beiden Sechsecke zueinander ähnlich? Begründe. *b) Zeichne ein regelmäßiges Fünfeck mit den Seitenlängen a1 = 2,5 cm. Konstruiere ein dazu ähnliches Fünfeck. Wähle das Streckungszentrum so, dass die Konstruktion möglichst einfach wird. Teile eine Strecke AB mit a = 12 cm a) in fünf gleiche Teile, b) im Verhältnis 2 : 5. Mit dem Messkeil werden sehr kleine Abstände (z.B. Innendurchmesser eines Rohres) ermittelt. Welches Messprinzip wird bei einem Keil verwendet? Berechne x. x 1 cm 3. 5,8 cm 10 cm Beweise (ohne Kongruenzsätze zu verwenden): Im Parallelogramm halbieren die Diagonalen einander. 7. Wäschespinnen sollen eine lange Wäscheleine ersetzen. Auf kleinem Raum können sie viele Wäschestücke zum Trocknen aufnehmen. a) Berechne, wie viel cm Meter Wäscheleine bei 40 der vierarmigen Spinne zur Verfügung steht. b) Wie viele Handtücher von 47 cm Breite kön17 nen straff gespannt und 5c m „nicht über Eck“ aufgehangen werden? 8. Wie hoch ist ein Baum, der einen Schatten von 8 m wirft, wenn der Schatten eines 1,85 m hohen senkrechten Stabes zur gleichen Zeit 1,5 m beträgt? 200 cm 6. Tes te dic h sel bst ! Kap_4_S_125_154.fm Seite 154 Donnerstag, 8. Mai 2003 3:39 15 154 Ähnlichkeit Zusammenfassung Beziehungen zwischen Figuren F1 und F2 sind zueinander nicht flächengleich flächengleich nicht kongruent (und damit auch nicht ähnlich) kongruent (und damit auch ähnlich) F2 F1 F1 gleiche Größe gleiche Form nicht ähnlich (damit aucht nicht kongruent) ähnlich (aber nicht kongruent) F1 F2 gleiche Größe ungleiche Form F1 F2 gleiche Form ungleiche Größe F2 ungleiche Form ungleiche Größe Ähnlichkeit von Figuren Ist die Figur F1 ähnlich zu einer Figur F2 mit dem Ähnlichkeitsfaktor k, so gilt: – – – einander entsprechende Winkel haben die gleiche Größe das Verhältnis aller Strecken von F2 zu den entsprechenden Strecken von F1 ist gleich k (Jede Strecke von F2 ist das k-fache der entsprechenden Strecke von F1), die Seiten von F2 stehen im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Strecken von F1. b1 a2 -----a1 = b -----2b1 c2 ----c1 = a2 = k · a1 c2 = k · c1 c -----2b2 = c -----1b1 a1 F1 b2 F2 a2 =k c1 c2 b2 = k · b1 a -----2b2 = a -----1b1 a -----2c2 = a -----1c1 A2 = k2 · A1 Strahlensätze 1. Strahlensatz ZA ------ZB = ZC ------ZD ; ZA ------AB = ZC------CD ; = AC -------BD SE ------GE = SG ------SH G D C = SF-----FH F S Z 2. Strahlensatz ZA ------ZB SE -----SF E H A ACBD (k > 0) Einander entsprechende Seiten liegen gleich großen Winkeln gegenüber. Es gilt: ZAC ~ ZBD, ESG ~ FSH B EGFH (k < 0)
