1.) Zahlensysteme (10 Punkte)

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Matrikelnummer:
1.) Zahlensysteme
(10 Punkte)
(a) Stellen Sie die folgenden zur Basis 8 (oktal) angegebenen Ganzzahlen als vorzeichenbehaftete
Binärzahlen in 7 Bit dar. Negative Binärzahlen sollen im Zweierkomplement repräsentiert werden.
ˆ (17)8 :
ˆ (−37)8 :
(b) Führen Sie die folgenden arithmetischen Operationen auf den ganzen Zahlen in der vorzeichenbehafteten 7 Bit-Binärdarstellung schriftlich durch. Negative Binärzahlen sollen im Zweierkomplement repräsentiert werden. Ergebnisse ohne Rechenweg werden nicht bewertet.
ˆ (−17)10 − (17)10
ˆ (−41)10 + (41)10
(c) Übertragen Sie die Zahl (1ABC)16 vom Hexadezimalsystem in das Binärsystem.
(d) Übertragen Sie die Zahl (10)10 vom Dezimalsystem in das Hexadezimalsystem:
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Matrikelnummer:
(e) Gegeben sei die Dezimalzahl -0,125. Die Zahl sei als Gleitkommazahl analog zur IEEE-Norm 754
mit 1 Vorzeichenbit, 2 Bit Mantisse und 4 Bit Exponent gespeichert. Geben Sie für diese Zahl
die nächstkleinere Zahl an, die man im selben Gleitkomma-Format kodieren kann. Geben Sie Ihr
Ergebnis als Dezimalzahl an.
(f) Stellen Sie die Dezimalzahl -40,375 als Gleitkommazahl im Binärformat nach der IEEE-Norm 754
dar. Verwenden Sie 1 Bit für das Vorzeichen, 8 Bit für den Exponenten und 23 Bit für die Mantisse.
Vorzeichen:
Exponent:
Mantisse:
(g) Die Java-Funktion mult16 erhält als Argument eine positive Hexadezimalzahl, deren Ziffern (0-9
bzw. A-F) als Elemente des Feldes char[] a gespeichert sind. Die Ziffern sind dabei in aufsteigender Wertigkeit beginnend ab dem ersten Element des Feldes abgelegt.
Die Funktion soll die übergebene Hexadezimalzahl mit 16 multiplizieren und das Ergebnis als
neues Feld wiederum in der beschriebenen Repräsentation als Hexadezimalzahl zurückliefern. Das
ursprüngliche Feld darf dabei nicht verändert werden! Die Zahl bzw. ihre Ziffern dürfen
nicht in ein anderes Zahlensystem konvertiert werden!
public static char [] mult16 ( char [] a ) {
}
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2.) Grammatiken
(6 Punkte)
(a) Gesucht ist die vollständige Beschreibung einer Grammatik G für die folgende Sprache L(G):
L(G) = {baum, krone, baumkrone, baumstamm, zierbaum, tannenbaum, tannenbaumschmuck}.
Die Menge der Terminalsymbole sei
P
= {baum, krone, stamm, zier, tannen, schmuck}.
Geben Sie die Menge der Nichtterminalsymbole N und der Produktionen (Ersetzungsregeln) P
für eine Grammatik an, welche exakt die in L(G) definierte Sprache akzeptiert. Dabei darf auf
der rechten Seite einer Produktion maximal ein Terminal und höchstens zwei Nichtterminale
vorkommen, und das leere Wort darf nicht vorkommen.
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(b) Gegeben sei die folgende Grammatik mit den Terminalsymbolen ’(’ und ’)’. ist das leere Wort:
S→(S)
S→SS
S→
Geben Sie den Ableitungsbaum für das Wort ’()((()()))(())’ an.
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3.) Reguläre Ausdrücke und Zustandsautomaten
(7 Punkte)
(a) Geben Sie für jedes der folgenden Wörter mit JA“ oder NEIN“ an, ob es sich aus dem regulären
”
”
Ausdruck a∗ |(a∗ ba∗ ba∗ ba∗ )∗ bilden lässt.
Richtige Antworten bringen 0,5 Punkte, falsche Antworten kosten 0,5 Punkte, Enthaltungen bringen 0 Punkte. Für diese Teilaufgabe erhalten Sie als Gesamtpunktzahl keine negativen Punkte.
ˆ ’’
ˆ ’bbb’
ˆ ’aaa’
ˆ ’abbbaaa’
ˆ ’abbaaaa’
ˆ ’bbbaababbaa’
ˆ ’baabbbaa’
ˆ ’aaabbbab’
(b) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automaten (DEA), der alle Folgen von Nullen
und Einsen akzeptiert, die die Folge ’01011’ enthalten. Gehen Sie davon aus, dass der Automat
eine Folge nicht akzeptiert, wenn die Eingabe in einem beliebigen Zustand ausser dem Endzustand
bereits vollständig abgearbeitet sein sollte. Sie müssen dann keinen zusätzlichen Endzustand verwenden.
(c) Geben Sie einen regulären Ausdruck für die Sprache über dem binären Alphabet an, die alle Wörter
enthält, in denen mindestens 3 mal das Zeichen ’1’ vorkommt.
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4.) Funktionen und Rekursion
(10 Punkte)
(a) Die McCarthy-Funktion ist folgendermaßen definiert:
n − 10
für n > 100
M (n) =
M (M (n + 11)) für n ≤ 100
Im Folgenden ist die Implementierung einer rekursiven Funktion in Java angegeben, die McCarthyZahlen gemäß der obigen Definition für eine übergebene Ganzzahl berechnet und zurückliefert:
int mccarthy ( int n ) {
if ( n > 100) {
return n - 10;
} else {
return mccarthy ( mccarthy ( n + 11));
}
}
Schreiben Sie nun eine Prozedur in Java, welche die implementierte McCarthy-Funktion verwendet.
Die Prozedur soll für alle ganzen Zahlen von 0 bis 100 die McCarthy-Zahlen berechnen. Falls die
McCarthy-Funktion für eine Zahl nicht den Wert 91 zurückliefert, so soll diese Zahl ausgegeben
werden. Falls außerdem eine Prüfung ergibt, dass alle Zahlen den Funktionswert 91 haben, so soll
ausgeben werden: Alle Zahlen haben den Funktionswert 91.“.
”
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(b) Implementieren Sie eine rekursive Funktion int search(int n, int vec[], int elem), die
-1 zurückliefert, wenn das Feld vec das Element elem nicht enthält, oder andernfalls den größten
Index zurückliefert, an dem das Element im Feld steht. Gehen Sie davon aus, dass Ihre Methode
initial mit n = 0 aufgerufen wird.
int search ( int n , int vec [] , int elem ) {
}
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(c) Schreiben Sie zwei Funktionen boolean even(int n) und boolean odd(int n), die sich wechselseitig rekursiv aufrufen, um zu berechnen, ob die positive Zahl n gerade oder ungerade ist.
Beachten Sie hierbei, dass
ˆ keine Schleifen verwendet werden dürfen,
ˆ eine if-Anweisung nur mit dem Vergleichsoperator > verwendet werden darf,
ˆ nur das Dekrementieren von Variablen sowie die return-Anweisung verwendet werden dürfen,
ˆ die Funktionen sich nur gegenseitig aufrufen dürfen.
boolean even ( int n ) {
}
boolean odd ( int n ) {
}
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5.) Gray-Codes
(8 Punkte)
Der Gray-Code für ein gegebenes N ist eine Folge von N -stelligen Codewörtern aus binären Ziffern, bei
der sich benachbarte Codewörter immer nur in einer einzigen Stelle unterscheiden. Beispiel:
N =2
N =3
Codewörter
00, 01, 11, 10
000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100
Man kann alle Codewörter des Gray-Codes für ein gegebenes N ausgeben, indem man rekursiv
ˆ zuerst die Folge der (N − 1)-stelligen Gray-Codes mit vorangestellter "0" und
ˆ anschließend die Folge der (N − 1)-stelligen Gray-Codes in umgekehrter Reihenfolge mit vorangestellter "1"
ausgibt.
Gegeben sei nun das folgende Java-Programm zur Ausgabe des Gray-Codes für ein übergebenes N :
public class GrayCode {
// Gibt alle N - stelligen Codewoerter in umgekehrter Reihenfolge
// mit vorangestelltem prefix aus
public static void yarg ( String prefix , int N ) {
if ( N == 0) {
System . out . println ( prefix );
} else {
_______________________________________________
// (1)
_______________________________________________
// (2)
}
}
// Gibt alle N - stelligen Codewoerter mit vorangestelltem prefix aus
public static void gray ( String prefix , int N ) {
if ( N == 0) {
System . out . println ( prefix );
} else {
gray ( prefix + " 0 " , N - 1);
yarg ( prefix + " 1 " , N - 1);
}
}
public static void main ( String [] args ) {
int N = Integer . parseInt ( args [0]);
gray ( " " , N );
}
}
(a) Vervollständigen Sie die Methode yarg an den Stellen (1) und (2) im obigen Quelltext so, dass
die Codewörter des Gray-Codes für N durch das Programm wie beschrieben ausgegeben werden.
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(b) Illustrieren Sie graphisch durch Angabe eines sogenannten Aufrufbaumes die Reihenfolge der Aufrufe der Methoden gray(String prefix, int N) und yarg(String prefix, int N).
Die Wurzel des Aufrufbaumes besteht aus einem Knoten (als Kreis dargestellt) mit Inhalt ("", 3)
und repäsentiert den initialen Aufruf von
gray("", 3)
Alle weiteren rekursiven Aufrufe von gray bzw. yarg werden als neue Knoten dargestellt, die mit
demjenigen Knoten über eine Linie verbunden werden, der zur aufrufenden Methode korrespondiert. Jeder neue Knoten wird wiederum als Kreis dargestellt, in dem die Werte der dazugehörigen
Methodenargumente dargestellt sind.
Ordnen Sie die Elemente des Aufrufbaums entsprechend ihrer Aufrufreihenfolge bzw. Rekursionstiefe jeweils von links nach rechts bzw. oben nach unten.
Hinweis: Sie müssen den Unterschied zwischen gray und yarg nicht graphisch kennzeichnen.
"", 3
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6.) Typverträglichkeit und Polymorphie
(9 Punkte)
(a) Gegeben sei das folgenden Java-Programm:
public interface PinKeyboard {}
public interface QwertyKeyboard {}
public class Automat {}
public class Geldautomat extends Automat
implements PinKeyboard {}
public class K on t o au s z ug s D ru c k er extends Automat
implements PinKeyboard {}
public class U e b e r w e i s u n g s A u t o m a t extends K on t o au s z ug s D ru c k er
implements QwertyKeyboard {}
Gegeben seien außerdem die folgenden Variablen:
Automat a
Geldautomat g
K on t o a us z u gs D r uc k e r k
UeberweisungsAutomat u
=
=
=
=
new
new
new
new
Automat ();
Geldautomat ();
K o nt o a us z u gs D r uc k e r ();
U e b e r w e i s u n g s A u t o m a t ();
PinKeyboard p = new PinKeyboard () {
public void enterPin ( int pin ) {
System . out . println ( " Anonymous PinKeyboard : " + pin );
}
};
QwertyKeyboard q = new QwertyKeyboard () {
public void pressKey ( char c ) {
System . out . println ( " Anonymous QwertyKeyboard : " + c );
}
};
Geben Sie für die folgenden Anweisungen an, ob sie jeweils RICHTIG“ sind oder einen LAUF”
”
ZEITFEHLER“ oder einen COMPILERFEHLER“ verursachen.
”
ˆ a = u = k;
ˆ k = u;
ˆ g = u;
ˆ g = (Geldautomat) u;
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Name:
Matrikelnummer:
ˆ u = (UeberweisungsAutomat) g;
ˆ p = k; q = k;
ˆ k = u; q = (UeberweisungsAutomat) k;
ˆ p = q; q = p;
ˆ p = (PinKeyboard) q;
ˆ q = (QwertyKeyboard) p;
(b) Gegeben sei das folgenden Java-Programm:
class X {
int a = 4;
int get () { return a ; }
}
class Y extends X {
static int a = 7;
int get () { return a ; }
static void set ( int x ) { a = x ; }
static void set ( char c ) { a = 2 * c ; }
}
class Z extends Y {
static int b = 3;
int get () { return b + a ; }
static int get ( X x ) { return x . a ; }
static void set ( int i ) { a = 3 * i ; }
static void set ( X x , int i ) { a = i ; }
static void test () {
Z z = new Z ();
System . out . println ( z . a );
// 1) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
System . out . println ( get ( z ));
// 2) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
System . out . println ((( X ) z ). get ());
// 3) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
z . set ( ’c ’ - ’a ’ -1);
System . out . println ( get ( z ));
// 4) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
System . out . println ( z . get ());
// 5) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
Y y = z;
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Name:
Matrikelnummer:
y . set (2);
System . out . println ( z . get ());
// 6) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
z . set (y ,0);
System . out . println ( y . get ());
// 7) _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __
}
}
Geben Sie zu den Anweisungen in der Methode test, die mit einer Nummer im Kommentar
gekennzeichnet sind, die enstprechenden Ausgaben an. Schreiben Sie Ihre Antworten hinter die
jeweilige Nummer im Kommentar.
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