Mathetreff: Lösungen der Knobelaufgaben für die Klassen 9 und 10

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Mathetreff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10 – Sekundarstufe I
Januar - Februar 2015
Aufgabe 1
Schneeballschlacht
a) Der Schnee hatte eine besonders
gute Konsistenz, so dass Susi und
Calvin pro Sekunde einen
Schneeball zusammenpappen konnten. Sie brauchten eine
Stunde und knapp 22 Minuten, um 4900 Bälle zu formen. Es
braucht nur der Bedarf an Bällen für die Pyramide untersucht und
deren Summe geprüft zu werden, ob sie eine Quadratzahl ist. Da
Susi eine Pyramide mit quadratischen Ebenen baut, ist die Anzahl
der für eine vollständige Pyramide notwendigen Bälle die Summe
von Quadratzahlen.
Ebene
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Summe 1
5
14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240
Ebene
16
117
18
19
20
21
22
23
24
25
Summe
1496
1785
2109
2470
2870
3311
3795
4324
4900
…..
Die Tabelle weist zwei Quadratzahlen aus, 1 (aus Sonderfall für eine „Schneeballschlacht“) und
4900.
Calvin hat 4900Bälle zu einem Quadrat mit 70 Bällen an der Kante gelegt.
Calvin und Susi konnten (einen oder) 4900 Schneebälle geformt haben.
Hannes G. aus Brühl (Stufe 7) schrieb ein Programm in Python:
Summe=0
for x in range(1,100000):#Zahl zwischen 1 und 100000 wird ermittelt
Summe=Summe+x**2#Zahl wird quadriert und zu der Summe addiert
Wurzel=Summe**0.5#Wurzel der Summe wird errechnet
if Wurzel%1==0:#Wenn Wurzel= ganze Zahl wird die Summe ausgegeben
print(Summe)
Die Variable namens „Summe“ stellt alle möglichen Anzahlen von Schneebällen in Susis Pyramide
dar, denn in jedem Schleifendurchlauf wird eine Quadratzahl addiert, im nächsten Durchlauf die
nächst größere Quadratzahl und so weiter. Lässt man das Programm laufen, ergibt sich folgende
Ausgabe: >>> 1 , 4900 >>>
b) Mit Balldurchmesser d wird Susis
Ballpyramide
hoch.
Dem Bild entnehmen wir die Höhen für
eine Anzahl von Schichten (Etagen) der
Pyramide:
Eine Schicht hat als Höhe den Balldurchmesser d. Bei zwei Schichten
kommt die Hälfte der Diagonale des
Quadrates, das die Mittelpunkte von vier
benachbarten Bällen bilden, hinzu also
. Bei drei Schichten (für 14 Schneebälle) ergibt sich als Höhe
; bei 24 Schichten
.
Aufgabe 2
Teiler 6?
Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen n und (n+1) haben als Summe (2n+1). Das Produkt p
dieser drei Zahlen ist p=n(n+1)(2n+1).
p ist durch 6 teilbar genau dann, wenn p durch 2 und durch 3 teilbar ist. Wir erkennen an den ersten
beiden Faktoren (das sind zwei aufeinanderfolgende Zahlen), dass p eine gerade Zahl ist. Bleibt
noch die Prüfung, ob p auch durch 3 teilbar ist.
Falls n oder (n+1) Vielfaches von 3 ist, ist die Teilbarkeit von p offensichtlich. Falls dies nicht gilt, ist
(n+2) Vielfaches von 3; damit aber auch das Doppelte 2(n+2) = 2n+4 = (2n+1)+3; also muss (2n+1)
Vielfaches von 3 sein. Damit ist die Behauptung als wahr erwiesen.
Aufgabe 3
Gelegenheit zum Meditieren
In Bad Schwefelstein
nimmt der rechteckige
Kiesweg ein Drittel der
geplanten zwölfeckigen
Grünanlage ein.
Begründung: Der Kiesweg hat die Fläche des
Rechtecks ABGH; die
Diagonalen AG und BH
schneiden sich im Mittepunkt M des Zwölfeckumkreises. PQ und
RS schneiden sich als
Mittelparallele ebenfalls
in M. ABM bildet einen
Sektor des Zwölfecks;
und
; denn Diagonalen halbieren die
Rechteckflächen APMS
und PBRM. Folglich hat
das Rechteck ABRS,
das die Hälfte des Kiesweges ausmacht, eine
Fläche von zwei Zwölfecksektoren.
Damit ist obige Aussage nachgewiesen.