Symmetrien in der Quantenmechanik - 1. Institut für Theoretische

Symmetrien in der Quantenmechanik
Armin Krauß
HS: Theoretische Physik
06. Juni 2012
Armin Krauß (HS: Theoretische Physik)
Symmetrien in der Quantenmechanik
06. Juni 2012
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Gliederung
1
Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
2
Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Vorbemerkungen
Zeitumkehr
Dirac-Matrizen
Transformationsoperatoren, Drehimpuls, Parität
Zeitumkehr und Ladungskonjugation
3
Chaos in der Quantenmechanik?
Zeitumkehr und Kramers Entartung
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
4
Zusammenfassung
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik
Klassische Mechanik
Allgemeine Koordinatentransformation mit dem kontinuierlichen
Parameter α:
qi −→ qi′ = qi′ (q1 , . . . , q3N−k , t, α)
i = 1, . . . , 3N − k
Diese ist invertierbar:
′
, t, α
qi = qi q1′ , . . . , q3N−k
i = 1, . . . , 3N − k
Muss für α stetig und differenzierbar sein. Und für α = 0 muss gelten:
qi′ (q1 , . . . , q3N−k , t, α = 0) = qi ⇒ Identische Transformation
Abkürzende Schreibweise:
qi′ = qi′ (q, t, α)
und
qi = qi (q ′ , t, α)
Substitution der
neuen Koordinaten
liefert:
alten mit den
d
q (q ′ , t, α) , t =: L′ (q ′ , q̇ ′ , t, α)
L (q, q̇, t) = L q (q ′ , t, α) , dt
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik
Klassische Mechanik
′
Erhaltungssatz
Funktion
L von α:
aus Abhängigkeit der
3N−k
d
′
P ∂L ∂qi (q′ ,t,α)
∂ ( dt qi (q ,t,α))
∂L′
+ ∂∂L
∂α =
∂qi
∂α
q̇i
∂α
i =1
=
=
3N−k
P
i =1
d
dt
h
d ∂L
dt ∂ q̇i
3N−k
P
i =1
∂qi (q ′ ,t,α)
∂α
∂L ∂qi (q ′ ,t,α)
∂ q̇i
∂α
+
∂L
∂ q̇i
d ∂qi (q ′ ,t,α)
dt
∂α
i
Dies gilt ∀α ∈ R
⇒
α=0
3N−k
P ∂L ∂qi (q′ ,t,α) ∂L′ d
= dt
∂α ∂ q̇i
∂α
α=0
i =1
α=0
Interessant: Koordinatentransformationen, die Lagrange invariant
lassen:
L (q, q̇, t) = L′ (q ′ , q̇ ′ , t, α) = L (q ′ , q̇ ′ , t)
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik
Klassische Mechanik
Die neuen Koordinaten qi′ erfüllen dieselbe Lagrange-Funktion und
somit dieselben Bewegungsgleichungen.
Die neuen Bewegungsgleichungen
hängen nicht mehr von α ab, so
∂L′ =0
dass:
∂α α=0
Dies führt zum Noether-Theorem:
Die Funktion: I (q, q̇, t) :=
3N−k
P
i =1
∂L ∂qi (q ′ ,t,α) ∂ q̇i
∂α
α=0
ist eine Erhaltungsgröße, wenn die Langrange-Funktion unter der
kontinuierlichen, stetigen Koordinatentransformation invariant ist.
Zu jeder Transformation, die die Lagrange-Funktion nicht ändert,
gehört eine Erhaltungsgröße [1].
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Lagrange-Dichte
Übergang zu Lagrange-Dichte:
qi (t) −→ q (x, t):
Z Feld
L (qi , q̇i , t) −→
L (q (x, t) , ∂x q (x, t) , ∂t q (x, t)) dx
Bewegungsgleichungen haben die Gestalt:
∂L
∂L
∂
∂µ ∂q,
−
=
0
mit
∂
=
,
∇
µ
∂q
∂(ct)
µ
und
q,µ = ∂µ q
Beispiel: (i) Spin-0-Felder
Aus Lagrange-Dichte: Lφ = 12 φ,µ φ,µ − m2 φ2
folgt direkt
aus der Euler-Lagrange-Gleichung:
+ m2 φ = 0
die Klein-Gordon Gleichung.
Komplexe Felder: φ, φ∗ , ∂µ φ und ∂µ φ∗ müssen als unabhängige
Variable betrachtet werden. ⇒ zwei Bewegungsgleichungen.
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Lagrange-Dichte
Beispiel: (ii) Spin- 21 -Felder (explizit)
Lagrangedichte: Lψ =
i
2
ψγ µ ψ,µ −ψ, µ γ µ ψ − mψψ
mit ψ = ψ † γ0
∂L
∂ψ,k
∂L
∂ψ
=
= − 2i
∂L
∂ψ,k
⇒
ψγ k
∂µ ψ γ µ − mψ
∂L
∂ψ
= − 2i γ k ψ
=
i
2
∂L
∂k ∂ψ,
=
k
⇒
∂L
−
∂µ ∂ψ,
µ
⇒
∂L
∂ψ
i
2
γ µ ∂µ ψ
∂L
∂µ ∂ψ,
−
µ
=0
⇔
i
2
∂k ψγ k
i ∂µ ψγ µ + mψ = 0
∂L
∂k ∂ψ,
= − 2i γ k ∂k ψ
⇒
k
− mψ
∂L
∂ψ
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=0
⇔
i γ µ ∂µ ψ − mψ = 0
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Lagrange-Dichte
Beispiel: (iii) Spin-1-Felder: e.m. Feld
Lagrangedichte: L = 12 Aµ,ν Aµ,ν − m2 Aµ Aµ φ ~
1
µ,ν
µ
mit A = c , A
bzw.:
L = 2 Aµ,ν A
Nebenbedingung:
∂µ Aµ = 0
(Lorenzeichung)
Jedoch nicht Eichinvariant.
Eichinvariante L-Dichte lautet:
⇒
Aµ − ∂ µ ∂ν Aν = Aµ = 0
L = − 14 Fµν F µν
mit Fµν = ∂ν Aµ − ∂µ Aν
Lagrangedichte für massives Feld:
L = − 41 Fµν F µν + 12 m2 Aµ Aµ
⇒
Aµ − ∂ µ ∂ν Aν + m2 Aµ = Aµ + m2 Aµ = 0
Eichinvarianz wird durch Masseterm zerstört!
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem
Spin-0-Felder und Spin- 21 -Felder zeigen bei folgender Ersetzung
ebenso Invarianzeigenschaften:
φ −→ φ′ = exp (i α) φ
ψ −→ ψ ′ = exp (i α) ψ
α = const: Eichtransformation 1. Art (globale Eichtransformation)
α = α (x): Eichtransformation 2. Art (lokale Eichtransformation)
Gegenüber lokalen Eichtransformation sind Lψ und Lφ nicht invariant!
Betrachte Invarianzeigenschaften der L-Dichten gegenüber inneren
Symmetrietransformationen
Unitäre Transformationen werden durch eine gewisse Anzahl von
Generatoren Mi erzeugt.
n
P
αk Mk
Darstellung eines Symmetrieelements: T = exp −i
k=1
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem
Symmetriegruppe charakterisiert durch Strukturkonstanten:
k
P
cikl Ml
[Mi , Mk ] = i
l=1
Transformation der Felder:
n
P
′
αk Mk φ
φ −→ φ = exp −i
k=1
n
P
∗
∗′
∗
φ −→ φ = φ exp i
αk Mk
k=1
∂L ∂
′ , φ∗′ , φ′ , φ∗′ =
L
φ
,µ
,µ
∂αk α =0
∂αk
αk =0
k′
′
∗′
∂φ∗′
∂φ,µ ∂L
∂φ ∂L
∂φ ∂L
,µ ∂L
= ∂α
+
+
+
′
∂αk ∂φ∗′
∂αk ∂φ′
∂αk ∂φ∗′ k ∂φ
,µ
∂φ′j
∂αk
= −i
∂φ∗′
l
∂αk
=i
P
l
P
j
,µ
αk =0
(⋆)
Mjlk φl = −iMk φ
φ∗j Mjlk = i φ∗ Mk
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Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik
Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem
⇒ (⋆)=
1
i
∂L
∂φ Mk φ −
∂L
φ∗ Mk ∂φ
∗ +
∂L
∂φ,µ Mk φ,µ
∂L
− φ∗,µ Mk ∂φ
∗
,µ
Euler-Lagrange
∂L
∂L
∂L
∂L
bzw.
∂φ = ∂λ ∂φ,λ
∂φ∗ = ∂λ ∂φ∗,λ
∂L
∗ M ∂ ∂L + ∂L M φ − φ∗ M ∂L
⇒ (⋆)= 1i ∂λ ∂φ
M
φ
−
φ
∗
∗
,µ
k
k
λ
k
k
,µ
∂φ,λ
∂φ,µ
∂φ,µ
,λ
∂L
∂L
∂L
mit
= ∂λ jkλ
Mk φ − φ∗ Mk ∂φ
⇒ ∂α
jkλ := 1i ∂φ
∗
k
,λ
,λ
Invarianz heißt hierbei:
L (φ, φ∗ , φ,µ , φ∗ ) = L φ′ , φ∗′ , φ′,µ , φ∗′ ⇐⇒
∂L
∂αk
= 0 ∀k ⇒ ∂k jkλ = 0
“Zu jeder Erzeugenden einer Symmetriegruppe, unter der eine
gegebene Lagrange-Dichte invariant ist, gehört ein erhaltener
Strom. Dies ist das Noether-Theorem”[2]
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Vorbemerkungen
Symmetrie des H-Operators und Erhaltungssätze
Sei der H-Operator bei Transformationen der Gruppe G invariant:
[H, Ti ] = 0 ∀Ti ∈ G
Invarianz der Observable Q wird ausgedrückt durch:
Ti QTi† = Q
Falls Ti† = Ti−1 gilt, ist dies gleichbedeutend mit:
[Q, Ti ] = 0
Beispiel: Drehinvarianz und erhaltung
des Drehimpulses:
Drehoperator: R̂~u (ǫ) = 1 − i ǫ ~J~u
Wellenfunktion |ψi ist genau dann drehinvariant, wenn: Ĵ |ψi = 0 gilt.
Notwendig und hinreichend, dass Observabe S bei einer Drehung
invariant ist: [~J, S] = 0
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Vorbemerkungen
Symmetrie des H-Operators und Erhaltungssätze
Analogie zur kl. Mechanik: Symmetrien des H-Operators führen zu
Erhaltungsaussagen.
(i) Translationsinvarianz und Gesamtimpulserhaltung:
Translationsoperator: T̂ (ǫ) ≈ 1 − ~i (Pǫ)
H-Operator in Bezug zu Translation invariant, wenn gilt:
[H, P] = 0
⇒ Gesamtimpuls bleibt erhalten.
(ii) Spiegelungsinvarianz und Paritätserhaltung:
Einfachste Gruppe, 2 Elemente: S0 und I .
Genügt folgenden Vertauschungsrelationen:
S0~rS0† = −~r
S0~p S0† = −~p
S0~s S0† = ~s
Reflexion der Wellenfunktion: S0 ψ (~r , µ) = ψ (−~r , µ)
S0 ≡ P̃: Paritätsoperator
H-Operator in Bezug zu Punktspiegelung invariant, wenn gilt:
[H, S0 ] = 0
⇒ Parität bleibt erhalten.
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Zeitumkehr
Zeitumkehr in der kl. Mechanik und der QM
kl. Mechanik: Lkl (q̇, q) = Lkl (−q̇, q)
2
~p
+ V (~r ) = H (−~p ,~r )
H (~p ,~r ) = 2m
Ist ~r (t) Lösung der Bewegungsgleichung, so auch ~rUmk (t) := ~r (−t)
Für Impuls gilt: ~pUmk (t) := −~p (−t)
~
Analog für QM: i ~∂t ψ (~r , t) = − 2m
∇2 + V (~r ) ψ (~r , t)
t −→ −t
H-Operator reell, Übergang zur komplex konjungierter Gleichung:
~
∇2 + V (~r ) ψ ∗ (~r , −t)
i ~∂t ψ ∗ (~r , −t) = − 2m
Ist ψ (~r , t) Lösung der Bewegungsgleichung, so auch
ψ ∗ (~r , −t) =: ψUmk (~r , t)
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Zeitumkehr
Zeitumkehroperator
Definition des Zeitumkehroperators: K~r K † = ~r
K~p K † = −~p
Zuerst: K = K0
K0 Operator der Komplexkonjungation: K0 φ = φ∗
[H, K0 ] = 0
Anwendung auf Schrödingergleichung liefert:
−i ~∂t K |ψ (t)i = HK |ψ (t)i
t −→ −t
i ~∂t (K |ψ (−t)i) = H (K |ψ (−t)i)
Genügt |ψ (t)i der Bewegungsgleichung, so auch
K |ψ (−t)i =: |ψ (t)iUmk
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Zeitumkehr
allgemeiner Zeitumkehroperator
Allgemeinere Teilchensysteme erfordern:
K~s K † = −~s
K ~JK † = −~J
Ansatz: K = TK0
Z.B. für Drehung
der sy -Komponente um den Winkel π:
Sy
K = exp −i π ~ K0
Für Spin 21 -Teilchen gilt:
K = −i σy K0
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen
Gamma-Matrizen
γ µ erfüllen die Dirac-Algebra:
γ 0γ 0 = 1
γ i γ i = −1
0
i
i
0
γ γ = −γ γ
γ i γ j = −γ j γ i
⇒
für i 6= j
{γ µ , γ ν } = 2g µν I
Hermitisch bzw. antihermitisch:
γ0
†
= γ0
γi
†
= −γ i
Äquivalenztransformation zu adjungierten Matrizen: γ 0 γ µ γ 0 = (γ µ )†
γ 5 := γ 0 γ 1 γ 2 γ 3
Antivertauscht: γ 5 γ µ = −γ µ γ 5
γ µ in der Dirac-Darstellung:
1 0
0
0
µ
γ =
γ =
−σ i
0 −1
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σi
0
γ5
=
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0 1
1 0
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Transformationsoperatoren, Drehimpuls, Parität
Transformation des Dirac-Operators, Erhaltungssätze
Definition: D (A) := γ µ (i ∂µ − eAµ )
Dirac-Operator
Invarianzbedingung für Bewegungsgleichung: A′µ = Aµ
Transformation der Wellenfunktion:
ψ′ = T ψ
T : passender linearer Operator
Forminvarianz der Dirac-Gleichung:
T D (A) T −1 = D (A′ )
Invarianzbedingung somit: [T , D (A)] = 0
Aµ Translationsinvarianz → [~p , HD ] = 0
Aµ Kugelsym. → [~J, HD ] = 0
⇐⇒
⇒
[T , HD ] = 0
Impulserhaltung
⇒ Gesamtdrehimpulserhaltung
Aµ Punktsym. → [P, HD ] = 0 ⇒ Paritätserhaltung
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Zeitumkehr und Ladungskonjugation
Ladungskonjugation
Definiton antiunitärer Operator K
K~r K † = ~r K~p K † = −~p K γ µ K † = γ µ
Nicht zu verwechseln mit dem Zeitumkehroperator KT
(γ µ (i ∂µ − eAµ ) − m) ψ (x) = 0
von rechts K ·
K vertauscht mit γ µ , ∂µ und Aµ
(γ µ (−i ∂µ − eAµ ) − m) K ψ (x) = 0
von rechts γ 5 ·
{γ 5 , γ µ } = 0
(γ µ (i ∂µ + eAµ ) − m) ψ c (x) = 0
Kc := γ 5 K
ψ c (x) := Kc ψ (x)
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Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung
Zeitumkehr und Ladungskonjugation
Zeitumkehr
Aµ (x) transformiert wie ein Pseudovektor
A′ (t,~r ) = −A (−t,~r )
A′0 (t,~r ) = A0 (−t,~r )
(γ µ (i ∂µ + eAµ (t,~r )) − m) ψ c (t,~r ) = 0
t −→ −t
−γ 0 (i ∂0 − eA0 (−t,~r )) + γ k (i ∂k − eAk (−t,~r )) − m ψ c (−t,~r ) =
Multiplikation mit γ 5 γ 0 von rechts. Antivertauscht
mit γ 0 :
{γ 5 γ 0 , γ 0 } = 0 und vertauscht mit γ k : γ 5 γ 0 , γ k = 0
(γ µ (i ∂µ − eAµ (−t,~r )) − m) γ 5 γ 0 ψ c (−t,~r ) = 0
γ µ i ∂µ − eA′µ (t,~r ) − m ψ ′ (t,~r ) = 0
mit ψ ′ (t,~r ) = γ 5 γ 0 ψ c (−t,~r ) = γ 0 K ψ (−t,~r )
also KT = γ 0 K
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Zeitumkehroperator [3]
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Chaos in der Quantenmechanik?
Zeitumkehr und Kramers Entartung
Kramers Entartung
Invarianter H-Operator unter Zeitumkehr: [H, KT ] = 0
⇒
Wenn ψ Eigenfunktion zum Eigenwert E , so auch KT ψ
Wenn KT2 = 1
ψi := ai φi + KT ai φi
KT ψi = ψi
Wenn hφj | ψi i = 0 ⇒ hψj | ψi i = 0
Matrixelemente Hij = Hij∗ sind reell.
Transformation O ∈ O (n)
ai ∈ C
| ψi i:Basis
H ′ = OHO −1 : orthogonale
Wenn KT2 = −1, dann sind
∗ ψ und KT ψ orthogonal:
2
hψ| KT ψi = hKT ψ| KT ψ = − hKT ψ| ψi∗ = − hψ| KT ψi = 0
Demzufolge sind alle Eigenwerte 2-fach entartet.
(Kramers Entartung)
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Chaos in der Quantenmechanik?
Zeitumkehr und Kramers Entartung
Kramers Entartung
Hamiltonian H =
H11 H12
∗
H12
H22
mit Eigenwerte E± =
1
2
(H11 + H22 ) ±
q
1
4
(H11 − H22 )2 + |H12 |2
Wichtiger Unterschied zwischen orthogonaler und unitärer
Transformation hier sichtbar.
Diskriminate D = 41 (H11 − H22 )2 + (Re{H12 })2 + (Im{H12 })2
Orthogonale Transformation ⇒
Allgemeinste unitäre Matrix: F =
Im{H12 } = 0
α + iβ γ + iδ
−γ + i δ α − i β
α2 + β 2 + γ 2 + δ2 = 1
p
und Eigenwerten e± = α ± i β 2 + γ 2 + δ2
mit
Wiederum 3 nichtnegative Parameter als Diskriminate.
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Chaos in der Quantenmechanik?
Zeitumkehr und Kramers Entartung
Energieniveaufolgen
(
n = 2,
|E+ − E− | abhängig von
n = 3,
orthogonal
unitär
Parametern.
Betrachte Energieeigenwerte, deren klassisches Analogon sich
chaotisch verhält.
Bemerkenswert: Verteilung der Energieniveauwerte zeigt universelles
Verhalten
Vergleichbare Ergebnisse erfordert Transformation des Spektrums:
ZE
ρ E ′ dE ′
Mittlere Zahl der Niveaus N (E ) =
−∞
Wahrscheinlichkeitsverteilung benachbarter Niveausysteme
durch Wigner-Fkt. beschrieben: PW (S) = π2 S exp − π4 S 2
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Chaos in der Quantenmechanik?
Zeitumkehr und Kramers Entartung
Ordnung und Chaos
~
Im starken B-Feld
hochangeregtes H-Atom:
Abbildung: Absorptionsspektrum: Theorie vs. Experiment [4]
H = 12 pρ2 +
lz2
ρ2
+ pz2 − √
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1
ρ2 +z 2
− γ2 lz +
γ2 2
8 ρ
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Chaos in der Quantenmechanik?
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
Z∞
dH11 dH22 dH12 P (H) = 1
Normierung
−∞
P (H) = P (H ′ )
H ′ = OHO −1
orthogonale Transformation
P (H) = P11 (H11 ) · P22 (H22 ) · P12 (H12 )
keine Korrelation
1 −ε
Infinitesimale Transformation: O =
ε 1
⇒
H ′ = OHO −1
⇔
′
H11
= H11 − 2εH12
′
H22
= H22 + 2εH12
′
H12
= H12 + ε (H11 − H22 )
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Chaos in der Quantenmechanik?
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE)
Und somit:
dP12
dP22
dP11
−
2H
−
(H
−
H
)
P (H ′ ) = P (H) 1 − ε 2H12 dH
12
11
22
dH22
dH12
11
⇒
dP11
dP12
dP22
2H12 dH
−
2H
−
(H
−
H
)
=0
12
11
22
dH
dH
11
22
12
⇒
2 + H 2 + 2H 2 − b (H + H )
P (H) = c · exp −a H11
11
22
22
12
b=0
durch Wahl des Nullenergielevels.
a: durch Skalierung der Energie
P (H) = c · exp −a SpH 2
⇒
c: Normierung
Reduktion von P (H) mittels Transformation in den Eigenraum:
(H11 , H22 , H12 ) −→ (E+ , E− , θ)
P (H) −→ P (E ) = a |E+ − E− | exp −a E+2 + E−2
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Chaos in der Quantenmechanik?
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE)
Niveauabstandsverteilung über: P (S) =
Z∞
Z∞
c
dE+
dE− δ [S − |E+ − E− |] |E+ − E− | exp −a E+2 + E−2
−∞
−∞
Über Erwartungswert
und Normierung
a und b bestimmen:
Z
Z
hSi = dS SP (S) = 1
dS P (S) = 1
Damit: P (S) = π2 S exp − π4 S 2
[5]
Abbildung: Reguläres Rechteck [4]
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Symmetrien in der Quantenmechanik
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Chaos in der Quantenmechanik?
Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE)
Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE)
Abbildung: Billiards [4]
Abbildung: GOE-Verteilung [4]
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Zusammenfassung
Zusammenfassung
Noethertheorem: Symmetrien in der QM führen zu
Kontinuitätsgleichungen (Stromerhaltung)
Anderer Zugang über verschwinden von Kommutatoren: Aus
Symmetrien folgen entsprechende Erhaltungsgrößen
Forminvarianz der Diracgleichung bei gleichzeitiger
Ladungskonjugation und Zeitumkehr (CT-Symmetrie)
Letzte Symmetrie: Zeitumkehr-Symmetrie:
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Niveauabstände über GOE
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Zusammenfassung
[1] Kuypers, Friedhelm Klassische Mechanik. Weinheim : Wiley-VCH,
2010
[2] I. Bender Die Weinbergtheorie der schwachen und
elektromagnetischen Wechselwirkung. Institut für Hochenergiephysik
der Universität Heidelberg. Herbstschule für Hochenergiephysik, Maria
Laach 11.-20. Sept. 1974 (Skriptum)
[3] Albert Messiah Quantenmechanik 2. Walter de Gruyter. Aus dem
Franz. übers. von Joachim Streubel.-Berlin ; New York de Greuyter 3.,
verb. Aufl. -1990 2010
[4] Wunner Günther Gibt es Chaos in der Quantenmechanik?
Physik-Verlag GmbH, D-6940 Weinheim, 1989; Phys. Bl.45 (1989)
[5] Fritz Haake Quantum Signatures of Chaos. Second Revised and
Enlarged Edition Springer Verlag Berlin Heidelber New York 1921,
2001
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