Booklet - Institut für Stochastik und Anwendungen

Finanzmathematik
Vorlesung WS 2010/11
Jürgen Dippon
28. März 2011
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Einführung
3
1.1
Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Put-Call-Parität
1.3
Schranken für Optionen
1.4
Ein-Perioden-Marktmodelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
11
11
12
Bedingte Erwartungen und Martingale
19
2.1
Bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Finanzmärkte in diskreter Zeit
28
3.1
Risikoneutrale Bewerung von Finanzderivaten . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Vollständige Märkte
31
3.3
Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
3.4
Binomialapproximation
3.5
Bewertung amerikanischer Optionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Stochastische Prozesse in stetiger Zeit
42
4.1
Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.2
Klassen von Prozessen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.3
Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.4
Das Itô-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Zeitstetige Finanzmärkte
55
5.1
Risikoneutrale Bewertung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.2
Das Black-Scholes-Modell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.3
Black-Scholes mittels risikoneutraler Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.4
Black-Scholes mittels No-Arbitrage-Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.5
Die Feynman-Kac-Formel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.6
Risikokennziern
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5.7
Hedging-Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.8
Schätzung der Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Spezielle Derivate
72
6.1
Kreditderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.2
Credit Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.3
Bewertung des CDS
74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatur
75
2
1 Einführung
Die klassische Finanzmathematik beschäftigt sich in erster Linie mit grundlegenden Finanzinstrumenten oder Anlageformen (basic securities)
•
Aktien (stocks)
•
festverzinsliche Wertpapiere (bonds)
•
Währungen (foreign exchange)
•
Rohstoe (commodities)
•
Energie
Die moderne Finanzmathematik untersucht derivative Finanzinstrumente (derivatives, derivative securities, contingent claims), die von einfacheren Finanzinstrumenten (underlyings) abgeleitet werden.
Beispiele für Derivate:
•
Forwards
•
Futures
•
Optionen (options, contingent claims)
Geschichte
•
17. Jahrhundert in den Niederlanden: Put-Optionen auf Tulpen
•
18. Jahrhundert in London: Problem kein gesetzlicher Rahmen beim Ausfall eines
Vertragspartners
•
1930: Gesetzliche Regulierung
•
1970: Bedeutende Zunahme von Termingeschäften
•
1973: Gründung der Chicago Board Options Exchange
•
1990: Deutsche Terminbörse (DTB) nimmt Handel mit Optionen auf
•
1998: Fusion der DTB mit der SDFEX (Schweizerische Terminbörse) zur EUREX
Wissenschaftliche Untersuchung
•
1900: Louis Bachelier modelliert in seiner Dissertation Theorie de la spéculation
den Aktienkurs als Brownsche Bewegung
•
1965: Paul Samuelson modelliert den Aktienkurs als geometrische Brownsche Bewegung
•
1973: Fischer Black und Myron Scholes geben explizite Formeln zur Optionspreisbewertung an unabhängig davon auch Robert Merton
•
1981: M. Harrison und S. Pliska führen Martingalmethoden in die Optionspreisbewertung ein
•
1997: Ökonomie-Nobelpreis für Scholes und Merton (Black 1995 gestorben)
•
2003: Ökonomie-Nobelpreis für Robert F. Engle (ARCH-Zeitreihen)
3
Quantitative Fragen
•
Bewertung (pricing) von Derivaten
•
Hedging Strategien für Derivate (Absicherung)
•
Risikomanagement von Portfolios
•
Portfoliooptimierung
•
Modellwahl und Kalibrierung
Aktuelle Fragestellungen
•
Verbesserung der Modellierung der Underlyings: Lévy Prozesse, fraktale Brownsche
Bewegung, Sprünge in den Aktienkursen, Insider-Information, stochastische Volatilitäten, . . .
•
Modellierung des Korrelationsrisikos in groÿen Portfolios
•
Bewertungsmethoden für hochdimensionale und pfadabhängige Auszahlunsprole in
komplexeren Modellen
•
Modellierung der Marktliquidität und des Ausfallrisikos
•
Risikomanagement bei extremer Entwicklung von Märkten
1.1 Grundbegrie
Finanzinstrumente:
•
primäre Finanzinstrumente: Basisgüter
•
sekundäre Finanzinstrumente: Derivate
Denition 1.1. Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert zum Verfallszeitpunkt
T
T
(expiry date) vom Wert eines einfacheren Finanzinstruments (underlying) zum Zeitpunkt
(oder auch vom Werteverlauf bis zum Zeitpunkt
T)
abhängt.
Beispiele für Basisgüter (underlying securities)
•
Aktien (stocks)
•
Zinsraten (interest rates)
•
Währungen (currencies)
•
Rohstoe (commodities)
•
Wetter
•
Indizes wie DAX, Dow Jones, CAT-Index (catastrophe losses)
•
Firmenwerte (rm values)
•
Bonitäten (rating)
Die Preisentwicklung eines Basisgutes wird üblicherweise mit
bezeichnet.
4
S = (St ) = {St | t ≥ 0}
Festverzinsliche Wertpapiere
Startkapital zum Zeitpunkt
annum:
Kapital nach
t=n
t = 0: B0
Bei jährlicher Zinsausschüttung mit Zinsrate
r
per
Jahren
Bn(1) = B0 (1 + r)n
Zinsausschüttung nach
r
1
1
k Jahren und Zinsrate k pro k Jahre: Kapital nach
n
Jahren
r nk
Bn(k) = B0 1 +
k
Bei stetiger Verzinsung mit dem Momentanzins (short rate)
r:
Kapital nach
n
Jahren
Bn := lim Bn(k) = B0 enr
k→∞
Märkte:
•
Börsen
•
OTC (Over-the-Counter)
Typen von Händlern:
•
Hedgers versuchen ihre Institution gegen Risiken abzusichern
•
Spekulanten versuchen durch Wetten Prot zu machen
•
Arbitrageure versuchen durch simultane Transaktionen auf verschiedenen Märkten
Prot aus Kursdierenzen zu ziehen
Modellannahmen (perfekter Finanzmarkt)
•
reibungsloser Markt: keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkungen
für short sales, Kaufs- und Verkaufspreise sind identisch
•
kein Ausfallrisiko, Soll- und Habenzinsen sind identisch
•
Wettbewerbsmarkt: der Preis wird vom Markt und nicht von einzelnen Marktteilnehmern festgelegt
•
Kapitalanlagen sind beliebig teilbar
•
NO ARBITRAGE!!!
Short Selling ist eine Handelsstrategie, bei der der Investor Objekte, z.B. Aktien, die ihm
nicht selbst gehören, von einem Partner für eine gewisse Zeit ausleiht, diese verkauft, später
wieder zurückkauft und an den Partner zurückgibt. In der Zwischenzeit anfallende Erträge
des Objekts (z.B. Dividenden) muss der Investor an den Partner erstatten.
Short Selling ist nur dann für den Investor interessant, wenn der Rückkaufswert
lich) kleiner als der Verkaufswert
S0
St
(deut-
ist.
Short Selling ist in der Praxis zahlreichen Restriktionen unterworfen.
Ein Portfolio ist eine Kombination mehrerer Finanzinstrumente, deren Wertentwicklung
als Ganzes gesehen wird.
Finanzmärkte bieten
5
•
risikolose Anlagen (z.B. festverzinsliche Wertpapiere)
•
risikobehaftete Anlagen (z.B. Aktien)
Ein Anleger ist nur bereit, in risikoreichere Anlagen zu investieren, wenn er die Möglichkeit
sieht, einen höheren Prot als in risikoärmeren Anlagen zu erzielen.
Arbitrage ist die Möglichkeit, ohne Kapitaleinsatz einen risikolosen Prot zu erzielen (formale Denition später).
Würde diese Möglichkeit bestehen, so könnte man damit risikolos riesige Geldsummen
erwirtschaften. Märkte im Gleichgewicht neutralisieren solche Arbitrage-Möglichkeiten.
Es wird sich zeigen, dass die No-Arbitrage-Annahme direkt zu einer Methode zur Bewertung von Derivaten führt.
Beispiel eines einfachen Derivates:
Denition 1.2 Ein Forward-Kontrakt (Terminkontrakt) vereinbart den Kauf oder Verkauf
eines Finanzgutes zu einem festen zukünftigen Zeitpunkt
Preis
K,
T
(delivery date) zu einem festen
dem sog. Terminkurs (delivery price, strike price).
Häug wählt man den Terminkurs
tragsabschluss (t
= 0)
K
so, dass der Wert der Forward-Kontraktes bei Ver-
den Wert Null hat. Bei dieser Wahl des Terminkurses ist bei Ver-
tragsabschluss also nichts zu bezahlen, erst zum Zeitpunkt
Bei Vertragsabschluss (t
= 0)
T.
führt der Verkäufer des Kontraktes die beiden folgenden
Aktionen durch:
•
Er nimmt einen Kredit über
•
Er kauft das Underlying mit diesem Geldbetrag
Bei Vertagsablauf (t
= T)
S0
zur risikofreien Zinsrate
r
auf
führt der Verkäufer des Kontraktes die beiden folgenden Aktio-
nen durch:
•
Er übergibt dem Käufer des Underlying (welches jetzt den Wert
Preis von
•
K = S0
ST
besitzt) zum
erT .
Zur Tilgung des Kredits bezahlt er
S0 erT .
Damit hat er alle Verbindlichkeiten aufgelöst.
Würde der Verkäufer einen Betrag
K > S0 erT
fordern, könnte er einen risikolosen Gewinn
K < S0 erT
fordern, könnte der Käufer einen risikolosen
einstreichen.
Würde der Verkäufer einen Betrag
Gewinn einstreichen.
Dies würde jeweils der Forderung nach arbitragefreien Preisen zuwiderlaufen.
Damit ist der arbitragefreie Terminkurs
K = S0 erT
Beachte: Es wurden keine Annahmen über die Kursentwicklung von
Beispiel:
6
(St )
gemacht!
Ein Investor erwirbt am 1. September einen Forward-Kontrakt mit dem Inhalt, in 90 Tagen
106 e
zum Umtauschkurs von
0.9
US $ zu kaufen.
Falls der Kurs nach Ablauf der 90 Tage auf
$, da
106 e
dann am Markt für
0.95 · 106
0.95 $ gestiegen ist, gewinnt der Investor 5 · 104
$ verkauft werden können.
Hier also
t = 1.
September
T − t = 90
Tage
T = 30.
November
K = 0.9 · 106 $
Pay-o-Prol (Auszahlungsprol) eines Forward-Kontraktes zur Zeit
T:
payoff
long position
K
ST
short position
Pay-o eines Forward-Kontraktes zum Laufzeitende
T:
Pay-o eines Forward-Verkaufskontraktes zum Laufzeitende
T:
ST − K
K − ST
Forwards sind nicht standardisiert und bergen das Risiko in sich, dass eine Vertragsseite
ausfällt (default risk). Sie werden deshalb an Börsen kaum gehandelt, sondern nur over
the counter (OTC).
Eine Variante sind Futures, welche in standardisierter Form an Börsen gehandelt werden.
Hierbei wird, z.B. täglich, die Wertveränderung des Futures (aufgrund von Wertänderungen
des zugrundeliegenden Finanzgutes) zwischen den Vertragsparteien ausgeglichen, so dass
der Wert des Futures anschlieÿend wieder gleich Null ist. Unter schwachen Voraussetzungen
stimmen Terminkurse (delivery prices) von Forwards und Futures überein.
Futures werden z.B. an der CBOT gehandelt.
Ein etwas komplizierteres Derivat:
Denition 1.3
Eine Option gibt dem Käufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut bis
zu einem zukünftigen Verfallszeitpunkt
übungspreis
K
T
(expiry, maturity) zu einem vereinbarten Aus-
(strike price) zu kaufen oder verkaufen.
Der Optionskontrakt beinhaltet im Unterschied zum Forward oder Future jedoch nicht die
Picht zur Ausübung.
7
Beim Kaufrecht wird die Option als Call (Kaufoption), beim Verkaufsrecht als Put (Verkaufsoption) bezeichnet.
Ist die Ausübung der Option nur zum Verfallszeitpunkt
T
möglich, so spricht man von einer
europäischen Option. Kann die Option jederzeit bis zum Zeitpunt
T
ausgeübt werden, wird
diese amerikanische Option genannt.
Der Käufer bendet sich in einer long position, der Verkäufer bendet sich in einer short
position.
Pay-o einer long position bei einem Call zum Verfallszeitpunkt
T
payoff
K
Pay-O
Sei
ST
= (ST − K)+ = max{ST − K, 0} = max{ST , K} − K
t ≤ T.
S(t) < K :
S(t) = K :
S(t) > K :
die Option ist out of the money
die Option ist at the money
die Option ist in the money
Problem: Wie lautet der faire Preis
C0
und
P0
für eine Call- bzw. Put-Option?
Gewinn (yield) einer long position bei einer Call-Option
yield
K
−C0
8
K+C0
ST
Beispiel
Markt mit drei Anlagemöglichkeiten:
•
(risikoloser) Bond B
•
Aktie S
•
europäische Call-Option mit Strike
Investition zum Zeitpunkt
t=0
K=1
mit Preisen (in
und Expiry
t=T
auf die Aktie
S
e)
• B(0) = 1
• S(0) = 1
• C(0) = 0.2
Zum Zeitpunkt
t = T
soll sich die Welt (der Markt) in nur zwei möglichen Zuständen
benden können:
u
mit Preisen (in
d
(= up) oder
(= down)
e)
B(T, u) = 1.25, S(T, u) = 1.75,
also
C(T, u) = 0.75
und
B(T, d) = 1.25, S(T, d) = 0.75,
Startkapital sei
Portfolio
also
C(T, d) = 0
25 e.
A:t=0
Anlage
Anzahl
Betrag in
e
Bond
10
10
Aktie
10
10
Call
25
5
25
Portfolio
A:t=T
Anlage
up
down
Bond
12.5
12.5
Aktie
17.5
7.5
Call
Portfolio
18.75
0
48.75
20.0
B:t=0
Anlage
Anzahl
Betrag in
e
Bond
11.8
11.8
Aktie
7
7
Call
29
5.8
24.6
Portfolio
B:t=T
9
Anlage
up
down
Bond
14.75
14.75
Aktie
12.25
5.25
Call
21.75
0
48.75
20.0
Oensichtlich existiert in diesem Markt eine Arbitrage-Möglichkeit, da Portfolio
Portfolio
B
denselben Gewinn erwirtschaften Portfolio
B
A
und
jedoch mit einem geringeren
Einsatz!
=⇒
Call-Option besitzt falschen Preis!
Stelle zum Zeitpunkt
t=0
das Dierenzportfolio
Portfolio
C
auf:
C := Portfolio B − Portfolio A
= (11.8, 7, 29) − (10, 10, 25)
= (1.8, −3, 4)
Portfolio
C
zum Zeitpunkt
t = 0:
Anlage
Aktion
Bond
Kaufe
Aktie
1.8 Einheiten
Verkaufe 3 geliehene
-1.8
Einheiten,
welche zum Zeitpunkt
3
t=T
wieder zurückgegeben werden
Call
kaufe 4 Einheiten
-0.8
0.4
Dies ergibt zum Zeitpunkt
Portfolio
C
zum Zeitpunkt
Anlage
Zum Zeitpunkt
einen Gewinn von
0.4 e.
t=T :
Aktion
up
1.8
Bond
Verkaufe
Aktie
Kaufe 3 Einheiten zurück
Call
Zum Zeitpunkt
t=0
Einheiten
Option ausüben, falls sinnvoll
down
2.25
2.25
-5.25
-2.25
3
0
0
0
t = T ist das Portfolio C also ausgeglichen.
t = 0 wurde damit ein risikoloser Gewinn von 0.4 e
realisiert.
Weitere Beobachtung:
Mit
1.8 Bonds und 3 Aktien short kann die Wirkung der Call-Option zum Zeitpunkt t = T
neutralisiert werden.
Man sagt:
Die Bond- und die Aktienposition bilden einen Hedge gegen die Position des Calls. Dies
gilt unabhängig davon, wie groÿ die Wahrscheinlichkeiten für den Zustand up/down der
Welt sind!
10
1.2 Put-Call-Parität
Seien
St
der Spot-Preis einer Aktie,
Ct
und
Pt
die Werte von auf der Aktie denierten
europäischen Call- bzw. Put-Optionen mit Verfallsdatum
Πt
T
und Ausübungspreis
K.
bezeichne den Wert eines Portfolios bestehend aus einer Aktie, einem Put und einer
short position in einem Call:
Πt = St + Pt − Ct
Satz 1.1
Aktie
St
Ct
Für europäische Call- und Put-Optionen
und
Pt
auf der zugrunde gelegten
(ohne Dividendenzahlung) gilt die Put-Call-Parität
Π(t) = St + Pt − Ct = Ke−r(T −t)
∀
0≤t≤T
Beispiel: Aktie der Deutschen Bank (alle Preise in DM)
t = 23.
Juni 1997,
T = 18.
Juni 1998,
K = 80.00, r = 3.15% p.a.
S(t)
C(t)
P (t)
S(t) + P (t) − C(t)
Aktie
Call
Put
Diskontierter Strike-Preis:
=
=
=
=
97.70
23.30
4.16
78.66
K
80
=
= 77.56
1+r
1.0315
Ursachen für Dierenz: Dividendenzahlung vor
T,
Nachfrageeekte, . . .
1.3 Schranken für Optionen
Satz 1.2 Für
europäische und amerikanische Call-Optionen gilt:
+
C(t) ≥ S(t) − e−r(T −t) K
∀
t∈[0,T ]
C(t) ≤ S(t)
∀
t∈[0,T ]
Satz 1.3
Es ist nicht sinnvoll, eine amerikanische Call-Option vor ihrem Verfallsdatum
auszuüben, da
∀
CA (t) = CE (t)
t∈[0,T ]
Satz 1.4 (i) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Verfallsdatum,
aber unterschiedlichen Ausübungspreisen
K1 < K2 ,
gilt für alle
(a)
CK1 (t) ≥ CK2 (t)
(b)
CK1 (t) − CK2 (t) ≤ e−r(T −t) (K2 − K1 )
(c)
∀
λ∈[0,1]
t ∈ [0, T ]
CλK1 +(1−λ)K2 (t) ≤ λCK1 (t) + (1 − λ)CK2 (t)
11
(ii) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Ausübungspreis, aber
unterschiedlichen Verfallsdaten
T1
und
T2 ,
gilt
T1 ≤ T2 =⇒ C(T1 ) ≤ C(T2 )
Satz 1.5 Für
amerikanische Optionen gilt die folgende Put-Call-Beziehung:
S(t) − K ≤ CA (t) − PA (t) ≤ S(t) − Ke−r(T −t)
∀
t∈[0,T ]
1.4 Ein-Perioden-Marktmodelle
1 Aktie mit Preis
1 Bond mit Preis
S0 = 150
B0 = 1 mit
Zinsrate
Zustand
ST
BT
Aktienpreis
Bondpreis
r
im Zeitraum
ω1
mit W
p
T
Zustand
ω2
mit W
180
90
1+r
1+r
Gesucht: Preis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum
T
1−p
und Ausübungspreis
K = 150
Auszahlung
(
30
XT (ω) = (ST − K)+ (ω) =
0
Erwartungswert von
falls
falls
ω = ω1
ω = ω2
XT
E(XT ) = 30 · p + 0 · (1 − p) = 30p
Mögliche Denition des Call-Preises zum Zeitpunkt
X0 = E
Spezialfall: Für
p=
1
2 und
r=0
folgt
XT
1+r
=
t=0
30p
1+r
X0 = 15
Wir zeigen: Dieser Optionspreis lässt jedoch Arbitrage zu!
Dazu konstruieren wir aus Sicht des Käufers der Option ein Portfolio, das Arbitrage zulässt.
Zeitpunkt t = 0:
Aktion
Cash Flow
Kaufe die Option zum Preis von
15
1
150
Leihe
3 der Aktie und verkaufe diese zum Preis von 3
Kaufe festverzinsliches Wertpapier zum Preis von 35 (r
= 0)
Bilanz
Zeitpunkt t = T :
Zustand ω1
(Wert der Aktie
Zustand
ST = 180)
Option wird ausgeübt
Kaufe
1
3 Aktie und Rückgabe
Verkauf des Wertpapiers
Bilanz
ω2
(Wert der Aktie
30
−60
35
5
ST = 90)
Option wertlos
Kaufe
1
3 Aktie und Rückgabe
Verkauf des Wertpapiers
12
−15
50
−35
0
0
−30
35
5
Mit dieser Strategie wäre ein risikoloser Gewinn von 5 Geldeinheiten möglich. Also kann
X0 = 15
kein arbitragefreier Preis der Option sein!
Aufgabe:
Konstruiere aus Sicht der die Option verkaufenden Seite ein Portfolio, bestehend aus
•
•
und Zinsrate
a festverzinslicher Wertpapiere (jeweils mit Wert 1 zum Zeitpunkt t = 0
r während der Laufzeit) und
einer Anzahl
b
einer Anzahl
von Aktien,
welches das Auszahlungsprol (zum Zeitpunkt
t = T)
der Option repliziert. Bestimme
damit den arbitragefreien Wert der Option (zum Zeitpunkt
Lösung: Zum Zeitpunkt
t = 0).
t = 0:
a · 1 + b · S0 = X 0
Zum Zeitpunkt
t = T:
a · (1 + r) + b · ST (ω1 ) = (ST (ω1 ) − K)+
a · (1 + r) + b · ST (ω2 ) = (ST (ω2 ) − K)+
Mit Werten: Zum Zeitpunkt
t = 0:
a · 1 + b · 150 = X0
Zum Zeitpunkt
t = T:
a · (1 + r) + b · 90 = 0
(1)
a · (1 + r) + b · 180 = 30
(2)
Auösen des linearen Gleichungssystems mit den beiden Unbekannten
(1) zunächst
b
· 90
a = − 1+r
a
und
b
liefert aus
und damit
b=
also
a=−
1
3
30
1+r
und
X0 = 50 −
30
1+r
Man sagt, das o.g. Portfolio repliziert zu jedem Zeitpunkt die Call-Option.
Mit dieser Replikationsstrategie kann
•
der arbitragefreie Preis der Option ermittelt werden
•
die die Option ausstellende Institution sich gegen Preisrisiken absichern (Hedging)
Eine modernere Lösung des Problems besteht in der Anwendung der Methode der risikoneutralen Bewertung:
13
(i) Ersetze
p
durch
p∗
so, dass der diskontierte Aktienpreisprozess ein faires Spiel ist:
∗
S0 = E
Hier:
Für
150 =
r=0
1
1+r
folgt
(p∗ · 180 + (1 − p∗ ) · 90),
p∗ =
P ∗ = (p∗ , 1 − p∗ )
ST
1+r
also
p∗ =
2+5r
3
2
3
ist das zum Aktienpreisprozess risikoneutrale Wahrscheinlichkeits-
maÿ
(ii) Berechne den fairen Preis der Option bzgl.
∗
X0 := E
Für
r=0
folgt
Xt
1+r
E∗
30p∗
2 + 5r
30
= 10
= 50 −
1+r
1+r
1+r
=
X0 = 20
Denition des Ein-Perioden-Modells: Der Finanzmarkt kennt nur die beiden Zeitpunkte
t=0
und
Es werden
t = T.
d+1
Finanzgüter gehandelt mit Preisen zu den Zeitpunkten

t=0:
S0 (0)
.
.
.

S(0) = 


d+1
 ∈ R+
Sd (0)

t=T :
S0 (T )
.
.
.

S(T ) = 



Rd+1
+ -wertige
ZV
Sd (T )
Si (T ), i ∈ {0, . . . , d}, R+ -wertige Zufallsvariablen auf dem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit |Ω| = N, F = P(Ω) und P({ω}) > 0 für alle ω ∈ Ω = {ω1 , . . . , ωN }
Hier: R+ := [0, ∞)
Kauf und Verkauf der Finanzgüter zum Zeitpunkt t = 0 gemäÿ der Handelsstrategie


ϕ0


ϕ =  ...  ∈ Rd+1
ϕd
wobei
Zum Zeitpunkt
t=0
Investition der Summe
hS(0), ϕi =
d
X
ϕi Si (0) ∈ R
i=0
Zum Zeitpunkt
t=T
liegt das vom Zufall abhängige Kapital vor:
hS(T ), ϕi =
d
X
ϕi Si (T )
i=0
14
reellwertige ZV
Denition 1.4 Der (oben denierte) Finanzmarkt lässt eine Arbitrage-Möglichkeit zu, falls
es ein Portfolio
ϕ ∈ Rd+1
hS(0), ϕi ≤ 0
gibt, so dass die folgende Bedingung gilt:
∀ hS(T, ω), ϕi ≥ 0
und
und
ω∈Ω
Gibt es kein solches
ϕ,
∃ hS(T, ω), ϕi > 0
ω∈Ω
so heiÿt der Finanzmarkt arbitragefrei.
Bemerkung: Falls es im oben denierten Finanzmarkt ein Portfolio
hS(0), ϕi < 0
und
ϕ ∈ Rd+1
mit
∀ hS(T, ω), ϕi ≥ 0
ω∈Ω
gibt, ist
ϕ
Satz 1.6
eine Arbitrage-Möglichkeit.
Der (oben denierte) Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, falls es einen
ψ ∈ RN mit ψi > 0 für alle i ∈ {1, . . . , N } gibt, so dass
sogenannten Zustandspreis-Vektor
Sψ = S(0),
wobei

S0 (T, ω1 ) · · ·
S0 (T, ωN )
.
.
.

S=
.
.
.
Sd (T, ω1 ) · · ·



Sd (T, ωN )
Kurz: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es einen Zustandspreis-Vektor (state
price vector, pricing kernel) gibt.
ψ
Sei
Mit
ein solcher Zustandspreis-Vektor.
ψ0 :=
N
P
ψi
gilt für
qj :=
i=1
ψj
ψ0
∈ (0, 1]
N
X
qj = 1
j=1
d.h. durch
(q1 , . . . , qN )
wird ein
Damit
W -Maÿ Q
auf
Ω
deniert.
N
Si (0) X
=
Si (T, ωj )qj = EQ (Si (T ))
ψ0
j=1
Unter
Q
sind die mit
ψ0
standardisierten Preise der Finanzgüter
i ∈ {0, . . . , d}
deshalb
risikoneutral.
Ist
i
ein Finanzgut mit
Si (T, ωj ) > 0
j ∈ {1, . . . , N }, so können die Preise der
Si (T, ωj ) ausgedrückt werden. Das Finanzgut i
für alle
anderen Finanzgüter als Vielfaches von
wird dann Numéraire gennant.
Sei z.B. Finanzgut
i=0
ein risikoloser Bond mit
∀
ω∈Ω
S0 (T, ω) = 1
Damit
15
N
N
j=1
j=1
X
S0 (0) X
=
qj S0 (T, ωj ) =
qj = 1
ψ0
Ist
r
die Zinsrate pro Zeiteinheit, dann gilt
S0 (0) = ψ0 = (1 + r)−T
Damit ergibt sich der Preis von Finanzgut
Si (0) =
N
X
qj
j=1
i
t = 0 zu
Si (T )
(1 + r)T
zum Zeitpunkt
Si (T, ωj )
= EQ
(1 + r)T
d.h.
Si (0)
= EQ
(1 + r)0
Si (T )
(1 + r)T
In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie: Der stochastische Prozess
Si (t)
: t ∈ {0, T }
(1 + r)t
ist ein
Q-Martingal
Achtung:
Im allgemeinen ist dieser Prozess aber kein
Maÿ
P,
• P ({ω}) > 0
(nach Annahme) und
• Q({ω}) > 0
(wie gezeigt)
P
für ein von
Q
verschiedenes
W-
ω∈Ω
Da für alle
sind
P -Martingal
welches z.B. die Einschätzung eines Anlegers widerspiegelt.
und
Q
zwei sog. äquivalente Maÿe.
Also ist
Q
Damit:
Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein äquivalentes Martingalmaÿ
ein zu
P
ein äquivalentes Martingalmaÿ.
gibt
Bewertung eines neu eingeführten Finanzinstrumentes mit vom Zufall abhängigen Auszahlungen
δ(T )
zum Zeitpunkt
t=T
durch
δ(0) = EQ
mit einem äquivalenten Martingalmaÿ
Problem: Der Preis
Denition 1.5
δ(0)
Q.
ist nur eindeutig, falls
Q
eindeutig.
Der (oben denierte) Finanzmarkt heiÿt vollständig, falls es zu jedem
Finanzinstrument
δ(T ) (das
d+1
variable) ein aus den
δ(T )
δ(T )
(1 + r)T
ist eine auf
Ω = {ω1 , . . . , ωN }
denierte reellwertige Zufallsϕ ∈ Rd+1 gibt, das
Basisinstrumenten bestehendes Portolio
repliziert, d.h. falls
∃
∀
ϕ∈Rd+1 ω∈{ω1 ,...,ωN }
d
X
i=0
16
Si (T, ω)ϕi = δ(T, ω)
oder kompakter falls

δ(T, ω1 )
.
.
.

S0 ϕ = δ(T) := 
∃
ϕ∈Rd+1



δ(T, ωN )
(d + 1)




Sd (T, ω1 ) 

 S0 (T, ω1 )





.
.
.
.
,
.
.
.
,




.
.




S0 (T, ωN )
Sd (T, ωN )
Ein Finanzmarkt ist also genau dann vollständig, wenn die
den gesamten
RN
Vektoren
aufspannen.
Satz 1.7 Der (oben denierte) Finanzmarkt sei arbitragefrei. Dann ist dieser Markt genau
dann vollständig, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-Vektor
ψ
gibt.
Eine Kombination der Sätze 1.6 und 1.7 ergibt:
Ein Finanzmarkt ist genau dann vollständig und arbitragefrei, wenn es einen eindeutigen
Zustandspreis-Vektor gibt.
Probabilistische Interpretation unserer Ergebnisse:
•
Ein Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein äquivalentes Martingalmaÿ
existiert.
•
Ein arbitragefreier Finanzmarkt ist genau dann vollständig, wenn genau ein äquivalentes Martingalmaÿ existiert.
Beispiel: Binäres Einperiodenmodell
d+1=2
Ω = {ω1 , ω2 }
r=0
Basisinstrumente
Raum der möglichen Zustände
Zinsrate
S0 (0)
1
S(0) =
=
S1 (0)
150
1
180
S0 (T ) =
, S1 (T ) =
1
90
Also
S=
Zustandspreis-Vektor
ψ ∈ R2+ :
1
1
180 90
Sψ = S(0)
1
1
180 90
ψ=
17
1
150
wird (in eindeutiger Weise) gelöst durch
ψ=
2/3
1/3
(=⇒ ψ0 = ψ1 + ψ2 = 1)
Also existiert (zu jedem nichtdegenerierten W-Maÿ
tingalmaÿ
Q
P)
ein eindeutiges äquivalentes Mar-
mit
Q(ω1 ) =
2
ψ1
=
ψ0
3
Q(ω2 ) =
und
ψ2
1
=
ψ0
3
Der oben denierte Finanzmarkt ist vollständig, da zu jedem (neuen) Finanzinstrument
δ(T ) mit Zahlungen δ(T, ω1 ) und δ(T, ω2 ) ein replizierendes Portfolio ϕ ∈ R2
S0 ϕ = δ(T )
da die Spalten von
Sei
δ(T )
S0
den
Rd+1 = RN
aufspannen.
die im letzten Beispiel genannte europäische Call-Option
(
30
δ(T, ω) = (S(T, ω) − K) =
0
+
Dann wird
durch
ϕ0 = −30
und
ϕ1 =
1 180
1 90
ϕ0
ϕ1
1
3 (eindeutig) gelöst.
18
=
ω = ω1
für ω = ω2
für
30
0
existiert, d.h.
2 Bedingte Erwartungen und Martingale
Eine gut lesbare Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie:
J. Jacod and P. Protter. Probability Essentials. 2nd Ed. Springer 2004.
Eine klassische Einführung in die Martingal-Theorie:
D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge 1991.
Ein schönes Lehrbuch, das einen weiten Bogen von der Maÿtheorie bis zur Stochastischen
Analysis schlägt:
D. Meintrup, S. Schäer. Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer 2005.
Etwas anspruchsvoller:
J. Wengenroth. Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter 2008.
A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auage, Springer 2008.
Im Folgenden sei
(Ω, F, P )
immer ein Wahrscheinlichkeitsraum.
(Eingeführt durch Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933)
2.1 Bedingte Erwartungen
Denition.
Seien
P
und
Q
σ -Algebra F
zwei auf derselben
denierte Maÿe.
Q
heiÿt
P-
stetig, falls
P (A) = 0 =⇒ Q(A) = 0
∀
A∈F
In Zeichen:
QP
Satz von Radon-Nikodým.
endliche Maÿe. Es gilt
Funktion
f
Seien
Q P
P
und
Q
genau dann, wenn es eine
gibt mit
∀
Satz 2.1. Integrierbare
σ -Algebra F
F -B -messbare
denierte
nichtnegative
Z
Q(A) =
A∈F
eine ZV
zwei auf derselben
X : (Ω, F, P ) → (R, B). σ -Algebra C ⊂ F .
ZV
Z : (Ω, F, P ) → (R, B)
Z
Dann existiert
mit folgenden Eigenschaften:
ist integrierbar und
Z
C
C -B -messbar
(∗)
Z
X dP =
∀
C∈C
f dP
A
Z dP
C
19
(∗∗)
Z
ist eindeutig bis auf die Äquivalenz =
Denition 2.1.
Integrierbare ZV
P |C -f.ü..
X : (Ω, F, P ) → (R, B). σ -Algebra C ⊂ F . Die ÄquivaZ : (Ω, F, P ) → (R, B) mit (∗) und (∗∗) Äquivalenzklasse heiÿt bedingte Erwartung von X bei
lenzklasse (im eben denierten Sinne) der ZVn
oder auch ein Repräsentant dieser
gegebenem
C.
E(X | C)
In Zeichen:
Häug wird ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse als eine Version von
E(X | C)
be-
zeichnet.
E(X | C)
ist eine Vergröberung von
Bemerkung 2.4.
X.
Geometrische Interpretation des bedingten Erwartungswertes: Es sei
L2 (Ω, F, P ) der Hilbertraum der Äquivalenzklassen quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen auf
•
M
Es sei
(Ω, F, P )
C
eine Teil-σ -Algebra von
der lineare Teilraum von
C -B -messbare
•
und
L2 (Ω, F, P ),
F.
dessen Elemente als Repräsentanten
Zufallsvariablen haben. Man kann zeigen, dass
M
abgeschlossen ist.
b ∈ L2 (Ω, F, P ) mit Repräsentanten X und Y := E(X | C) mit zugehöriger
X
b . Man kann zeigen, dass Yb die orthogonale Projektion von X
b auf
Äquivalenzklasse Y
2
M ist und das Proximum (bestapproximierendes Element im Sinne der L (Ω, F, P )b darstellt. Mit anderen Worten: Y := E(X | C) minimiert unter
Norm) in M zu X
allen C -B -messbaren Zufallsvariablen den Ausdruck
Sei
E|X − Y |2
•
Unter Verwendung eines Stutzungargumentes kann diese Denition auch auf die Klasse der integrierbaren Zufallsvariablen fortgesetzt werden.
Beispiele
• C = F . . . E(X | C) = X
f.s.
• C = {∅, Ω} . . . E(X | C) = EX
• C = {∅, B, B c , Ω}
0 < P (B) < 1.
Z

1


X dP =: E(X | B), ω ∈ B

 P (B) B
(E(X | C))(ω) =
Z

1



X dP, ω ∈ B c
P (B c ) B c
E(X | B)
heiÿt bedingter Erwartungswert von
Satz 2.2. X, Xi
∀
C∈C
X
unter der Hypothese
σ -Algebra C ⊂ F ; c, α1,2 ∈ R.
Z
E(X | C)dP =
X dP
Z
a)
mit
integrierbar;
C
C
b)
X=c
P-f.s.
=⇒ E(X | C) = c
f.s.
c)
X≥0
P-f.s.
=⇒ E(X | C) ≥ 0
f.s.
d)
E(α1 X1 + α2 X2 | C) = α1 E(X1 | C) + α2 E(X2 | C)
20
f.s.
B
e)
X1 ≤ X2
f)
X C -B -messbar =⇒ X = E(X | C)
g)
X
g')
h)
P-f.s.
integrierbar,
=⇒ E(X1 | C) ≤ E(X2 | C)
σ -Algebra C1,2
f.s.
Y C -B -messbar, XY
X, X 0 integrierbar, XE(X 0 | C)
C)E(X 0 | C) f.s.
mit
f.s.
integrierbar
integrierbar
E(E(X | C1 ) | C2 ) = E(X | C1 )
f.s.
E(E(X | C2 ) | C1 ) = E(X | C1 )
f.s.
Hier f.s. im Sinne von
P |C2 -f.s.
bzw.
P |C1 -f.s.
Denition 2.2. σ -Algebra C ⊂ F . A ∈ F . P (A | C) := E(1A | C)
A
scheinlichkeit von
f.s.
=⇒ E(XE(X 0 | C) | C) = E(X |
integrierbar
C1 ⊂ C2 ⊂ F , X
=⇒ E(XY | C) = Y E(X | C)
heiÿt bedingte Wahr-
σ -Algebra C .
bei gegebener
Bemerkung 2.1. Zu Denition 2.2.
Z
P (A | C) dP = P (A ∩ C).
∀
C∈C
C
Beispiel. C = {∅, B, B c , Ω} mit 0 < P (B) < 1.
(P (A | C))(ω) =

P (A ∩ B)


=: P (A | B), ω ∈ B

 P (B)


P (A ∩ B c )


=: P (A | B c ), ω ∈ B c .
P (B c )
Denition 2.3.
X : (Ω, F, P ) → (R, B). ZV Y : (Ω, F, P ) → (Ω0 , F 0 ). E(X | Y ) :=
E(X | Y (F ))
[kleinste σ -Algebra in Ω, bzgl. der Y messbar ist . . . F(Y )(⊂
| {z }
F)] . . . bedingte Erwartung von X bei gegebenem Y
a) Integrierbare ZV
−1
0
X : (Ω, F, P ) → (R, B). ZVn Yi : (Ω, F, P ) → (Ω0i , Fi0 ) (i ∈ I)
kleinste σ -Algebra in Ω, bzgl. der alle Yi messbar sind
b) Integrierbare ZV
C(⊂ F)
sei die
[C = F( ∪ Yi−1 (Fi )) . . . F(Yi , i ∈ I)]
i∈I
E(X | (Yi )i∈I ) := E(X | C)
c)
A ∈ F;
ZV
. . . bedingte Erwartung von
. . . bedingte Wahrscheinlichkeit von
Bemerkung 2.2. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P ) → (R, B).
σ -Algebra C
in
(X −1 (B), C)
unabhängig
b) ZV
F
=⇒ E(X | C) = EX
Y : (Ω, F, P ) =⇒ (Ω0 , F 0 )
(X, Y )
bei gegebenem
Yi , i ∈ I
Y : (Ω, F, P ) → (Ω0 , F 0 ).
P (A | Y ) := E(1A | Y )
a)
X
unabhängig
=⇒ E(X | Y ) = EX
21
f.s.
f.s.
A
bei gegebenem
Y
Satz 2.3.
ex. Abb.
g
g
X : (Ω, F, P ) → (R, B).
g : (Ω , F ) → (R, B) mit E(X | Y ) = g ◦ Y .
Integrierbare ZV
0
0
ZV
Y : (Ω, F, P ) → (Ω0 , F 0 ).
Dann
ist die sog. Faktorisierung der bedingten Erwartung.
ist eindeutig bis auf die Äquivalenz =
PY -f.ü.
.
Denition 2.4. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P ) → (R, B) bzw. A ∈ F . ZV Y : (Ω, F, P ) →
(Ω0 , F 0 ).
gA eine bis auf Äquivalenz = PY - f.ü. eindeutig bestimmte Faktorisierung von E(X|Y ) bzw. von P (A|Y ).
E(X | Y = y) := g(y) . . . bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y = y
P (A | Y = y) := gA (y) . . . bed. Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypoth. Y = y
E(X | Y = ·) = g
P (A | Y = ·) = gA
Satz 2.4. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P ) → (R, B) bzw. A ∈ A. ZV Y : (Ω, F, P ) → (Ω0 , F 0 )
R
R
a)
∀
0 E(X | Y = y) PY (dy) = Y −1 (A0 ) X dP ,
A
A0 ∈F 0
R
insbesondere Ω0 E(X | Y = y) PY (dy) = EX .
R
−1 (A0 ) ∩ A) ,
b)
∀
A0 P (A | Y = y) PY (dy) = P (Y
A0 ∈F 0
R
insbesondere Ω0 P (A | Y = y) PY (dy) = P (A) .
Sei
Beispiel. X
a)
g
bzw.
bzw.
sowie
y ∈ Ω0
wie zuvor. Sei
mit
{y} ∈ F 0
und
PY ({y}) > 0.
s. Beispiel nach Def. 2.1.
P (A | Y = y) = P (A | [Y = y])
|
{z
}
|
{z
}
s. Def. 2.4.
s. Beispiel nach Def. 2.2.
Satz 2.5. Integrierbare
ZV
Y
E(X | Y = y) = E(X | [Y = y])
|
{z
}
|
{z
}
s. Def. 2.4.
b)
A
ZV
X : (Ω, F, P ) → (R, B).
Y : (Ω, F) → (Ω0 , F 0 ).
a)
X=c
f.s.
=⇒ E(X | Y = ·) = c PY -f.ü.
b)
X≥0
f.s.
=⇒ E(X | Y = ·) ≥ 0 PY -f.ü.
c)
E(αX1 + βX2 | Y = ·)
d)
X1 ≤ X2
f.s.
= αE(X1 | Y = ·) + βE(X2 | Y = ·) PY -f.ü.
=⇒ E(X1 | Y = ·) ≤ E(X2 | Y = ·) PY -f.ü.
2.2 Martingale
Denition 2.6. Eine Folge (Xn )n∈N
Xn : (Ω, F, P ) → (R, B) heiÿt
bei gegebener monoton wachsender Folge (Fn )n∈N von σ -Algebren Fn ⊂ F mit Fn -B Messbarkeit von Xn [wichtiger Fall Fn = F(X1 , . . . , Xn ) (n ∈ N)]
a) ein Martingal bzgl.
(Fn ),
von integrierbaren ZVn
wenn
∀
n∈N
E(Xn+1 | Fn ) = Xn
Z
[d.h.
∀
Z
Xn+1 dP =
∀
n∈N C∈Fn
f.s.
C
22
Xn dP ] ,
C
Abbildung 1: P. Lévy und J.L. Doob
b) ein Submartingal bzgl.
(Fn ),
wenn
Z
∀
n∈N
E(Xn+1 | Fn ) ≥ Xn
c) ein Supermartingal bzgl.
f.s., d.h.
(Fn ),
∀
∀
n∈N C∈Fn
wenn
(−Xn )
Z
Xn+1 dP ≥
C
Xn dP
C
ein Submartingal bzgl.
Die in Denition 2.6 genannte Folge von aufsteigenden
(Fn )
ist.
σ -Algebren wird auch als Filtration
bezeichnet (P.A. Meyer).
Bemerkung 2.3.
. . . , Xn )).
Ein Martingal
(Xn )
bzgl.
(Fn )
ist auch ein Martingal bzgl.
(F(X1 ,
Entsprechend für Sub-, Supermartingal.
Die Herkunft der Bezeichnung Martingal (engl. martingale) ist nicht genau geklärt.
•
Teil des Zaumzeuges, um die Kopfbewegung des Pferdes zu kontrollieren
•
Eine Seil, um den Klüverbaum zu verspanen
•
Ein Wettsystem, bei dem nach einem Verlust der Einsatz verdoppelt wird
Der Begri des Martingals im mathematischen Sinne wird J. Ville (1939) zugeschrieben.
Paul Lévy (18861971) und Joseph Leo Doob (19112004) lieferten wichtige Beiträge zur
Martingal-Theorie.
Beispiele für Martingale:
1. Partialsummenfolge
P
( ni=1 Vi )n∈N
zu einer unabhängigen Folge
(Vn )n∈N
von inte-
grierbaren reellen ZVn mit Erwartungswerten 0.
2. Aktienpreise:
Sn = S0 ξ1 · · · ξn
mit unabhängigen positiven Zufallsvariablen
Eξi = 1.
23
ξi
mit
3. Sammeln von Information über eine Zufallsvariable (Williams 1991): Sei
fallsvariable mit endlichem erstem Moment und
ξ
eine Zu-
(Fn ) eine Filtration in F . Dann wird
durch
Mn := E(ξ | Fn )
ein Martingal deniert. Mit den nachfolgend vorgestellten Martingalkonvergenzsätzen
kann gezeigt werden, dass
Mn → M∞ := E(ξ | F∞ )
wobei
S
F∞ := σ( ∞
n=1 Fn )
f.s. und in
L1
die sogenannte Doomsday-σ -Algebra.
Satz 2.6 (Martingalkonvergenzsatz von Doob)
X
Ist
ein
L1 -beschränktes
Sub- oder
Supermartingal, d.h.
sup E(|Xn |) < ∞,
n
so existiert eine Zufallsvariable
X∞
mit
Xn → X∞
(n → ∞)
f.s.
Satz 2.7 (Konvergenzsatz für UI-Martingale)
(i)
(ii)
Xn
X
konvergiert in
ist
Für ein Martingal
X
sind äquivalent:
L1
L1 -beschränkt
und der f.s.-Limes
X∞
erfüllt
Xn = E(X∞ | Fn )
(iii)
X
ist gleichgradig integrierbar (uniformly integrable), d.h.
lim sup E(|Xn | · 1[|Xn |>K] ) = 0
K→∞ n
Denition 2.7.
riablen
Eine auf einem gemeinsamen W-Raum denierte Familie von Zufallsva-
X = {Xi | i ∈ I} mit Indexmenge I heiÿt stochastischer
I = {0, 1, . . . , T } oder I = {0, 1, 2, . . .} gewählt.
Prozess. Im Folgenden
wird häug
Denition 2.8.
X = (Xn )∞
n=0
Der stochastische Prozess
heiÿt zur Filtration
(Fn )∞
n=0
adaptiert, falls
∀
n∈N
Sei
Xn − Xn−1
Xn
ist
Fn -messbar
der zufällige Gewinn pro Einheit des Wetteinsatzes in Spiel
n (n ∈ N)
in
einer Serie von Spielen.
Ist
X = (Xn )
ein Martingal, d.h.
E (Xn − Xn−1 | Fn−1 ) = 0,
so kann dieses Spiel als fair bezeichnet werden.
Denition 2.9.
Ein stochastischer Prozess
C = (Cn )n∈N
heiÿt vorhersagbar (predictable,
previsible), falls
Cn
ist
Fn−1 -messbar
24
für alle
n∈N
(C0 existiert nicht).
Ist
Cn
der Wetteinsatz in Spiel
n,
liesslich auf die bis zum Zeitpunkt
Gewinn zum Zeitpunkt
so ist die Entscheidung über die Höhe von
n−1
Cn
aussch-
verfügbare Information gegründet.
n:
Cn (Xn − Xn−1 )
Gewinn bis einschlieÿlich Zeitpunkt
Yn =
n
X
n:
Ck (Xk − Xk−1 ) =: (C • X)n =:
C dX
0
k=1
Sinnvoll:
n
Z
(C • X)0 := 0
Klar:
Yn − Yn−1 = Cn (Xn − Xn−1 )
Denition 2.10.
Der durch
C • X = ((C • X)n ) denierte
X unter C (D.L. Burkholder).
stochastische Prozess heiÿt
Martingal-Transformation von
Dies ist das diskrete Analogon zum später noch zu denierenden stochastischen Integral
R
C dX .
Satz 2.8.
Sei
reelle Zahl
K
C
ein beschränkter vorhersagbarer stochastischer Prozess, d.h. es gibt eine
mit
ein Martingal mit
Satz 2.9.
|Cn (ω)| ≤ K für
(C • X)0 = 0.
Eine zur Filtration
n
alle
und alle
F = (Fn )n∈N0
ω,
und
X
ein Martingal. Dann ist
adaptierte Folge
M = (Mn )n∈N0
C •X
von Zu-
fallsvariablen ist genau dann ein Martingal, wenn für jede beschränkte vorhersagbare Folge
H = (Hn )n∈N0
∀
E
n∈N
n
X
!
Hk ∆Mk
=0
k=1
Stoppzeiten
Denition 2.11
Eine Zufallsvariable
T
mit Werten in
{0, 1, 2, . . . , ∞}
heiÿt Stoppzeit,
falls
[T ≤ n] := {ω | T (ω) ≤ n} ∈ Fn
∀
n∈{0,1,2,··· ,∞}
oder äquivalent [T = n] ∈ Fn
∀
n∈{0,1,2,··· ,∞}
Eine Stoppzeit kann z.B. dazu verwendet werden zu entscheiden, ob ein Spiel zum Zeitpunkt
n
abgebrochen oder fortgeführt wird. Hierbei wird nur die Information verwendet, die bis
einschlieÿlich Zeitpunkt
n vorliegen kann. Wird z.B. beim Verkauf einer Aktie Insiderwissen
verwendet, ist die vorgenannte Eigenschaft verletzt.
Satz 2.10 (Doob's Optional Sampling Theorem) Sei T
ein Supermartingal. Ist
T
oder
X
beschränkt, so ist
EXT ≤ EX0
Ist
X
ein Martingal, dann gilt sogar
EXT = EX0
25
XT
eine Stoppzeit und
integrierbar und
X = (Xn )
Proposition 2.1
(Xn∧T ).
•
Stoppen der Folge
X = (Xn )
zur (zufälligen) Zeit
T : X T := (XnT ) :=
Dann gilt:
Ist
(Xn )
adaptiert und
T
eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge
(Xn∧T )
adaptiert.
•
(Xn ) ein (Super-) Martingal und T eine Stoppzeit, so ist auch
(Xn∧T ) ein (Super-)Martingal (Optional Stopping Theorem).
Ist
die gestoppte Folge
Ein faires Spiel bleibt fair, wenn es ohne Vorkenntnis über ein zukünftiges Ereignis gestoppt
wird.
P
Sn := ni=1 Xi mit unabhängigen Zup = 1/2 und Xi = −1 mit W. p = 1/2. Sei
Beispiel: Einfache Irrfahrt (simple random walk)
Xi , wobei Xi = 1 mit W.
T := inf{n | Sn = 1}, d.h., wir hören auf zu
fallsvariablen
spielen, sobald wir eine Geldeinheit gewonnen
haben.
Man kann zeigen, dass
T eine Stoppzeit
E(ST ∧n ) = E(S0 ) = 0 für jedes n.
1 = E(ST ) 6= E(S0 ) = 0
Beachte:
S = (Sn )
P (T < ∞) = 1.
ist ein Martingal und
Mit obiger Proposition:
Jedoch:
Also kann auf die Beschränktheitsbedingungen in Satz 2.10 nicht gänzlich verzichtet werden!
Man kann zeigen, dass weder
T
noch der Verlust vor dem ersten Netto-Gewinn beschränkt
sind. Dieses Spiel kann in der Praxis also nicht realisiert werden!
Die Snell-Einhüllende
Denition 2.12 Ist X = (Xn )N
n=0
eine (endliche) Folge von zur Filtration
(Fn )
adaptier-
ten Zufallsvariablen, so heiÿt die durch
ZN := XN
Zn := max{Xn , E(Zn+1 | Fn )}
denierte Folge
Satz 2.11
die Folge
Z = (Zn )N
n=0
die Snell-Einhüllende von
(Zn ) von (Xn ) ist
Zn ≥ Xn für alle n).
Die Snell-Einhüllende
(Xn )
dominiert (d.h.
(n ≤ N )
X.
das kleinste Supermartingal, welches
Proposition 2.2 T0 := inf{n ≥ 0 | Zn = Xn }
ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge
T
0
(Zn ) ist ein Martingal.
Satz 2.12 Sei Tn,N eine Familie von Stoppzeiten mit Werten in {n, . . . , N }. Dann löst die
Stoppzeit
T0
das optimale Stoppproblem für
X:
Z0 = E(XT0 | F0 ) = sup{E(XT | F0 ) | T ∈ T0,N }
Sind die Werte von
X
bis zum Zeitpunkt
das optimale Stoppproblem für
n bereits bekannt, löst Tn := inf{j ≥ n | Zj = Xj }
X:
Zn = E(XTn | Fn ) = sup{E(XT | Fn ) | T ∈ Tn,N }
26
Bei der Bewertung von amerikanischen Optionen soll zu dem Zeitpunkt die Option ausgeübt werden, zu dem die erwartete Auszahlung maximal ist. Die beiden letzten Aussagen
zeigen, dass
T0
bzw.
Tn
die hierfür optimalen Zeitpunkte liefern bei Verwendung der bis
zu diesem Zeitpunkt zur Verfügung stehenden Information (ohne Vorgri auf zukünftige
Ereignisse).
Der folgende Satz zeigt, dass die oben denierte Stoppzeit
für
(Xt )
T0 die kleinste optimale Stoppzeit
ist.
Satz 2.13
Eine Stoppzeit
T
ist genau dann optimal für die Folge
(Xt ),
falls die beiden
folgenden Bedingungen gelten:
(i)
(ii)
XT = ZT
ZT
ist ein Martingal
Satz 2.14
(Doobsche Zerlegung von Submartingalen) Sei
(Xn )n∈N
ein Submartingal be-
(Fn )n∈N von wachsenden σ -Algebren. Dann existieren ein
(Mn )n∈N und ein wachsender vorhersagbarer Prozess (An )n∈N (d.h. An+1 ≥ An
Fn -messbar) so, dass
züglich einer Folge
Xn = X0 + Mn + An ,
für alle
n ∈ N.
wobei
Diese Zerlegung ist f.s. eindeutig.
27
M0 = A0 = 0,
Martingal
f.s.,
An+1
3 Finanzmärkte in diskreter Zeit
Wir betrachten folgenden Finanzmarkt
• (Ω, F, P )
W-Raum mit
|Ω| < ∞
• F0 ⊆ F1 ⊆ . . . ⊆ FT ⊆ F
• F0 = {∅, Ω},
•
M:
aufsteigende Folge
F
von in
F
enthaltenen
σ -Algebren
FT = F = P(Ω)
P ({ω}) > 0
∀
ω∈Ω
• d + 1 Finanzgüter mit Preisen S0 (t), S1 (t), . . . , Sd (t) zum Zeitpunkt t ∈ {0, 1, . . . , T },
welche Ft -messbare Zufallsvariable seien
Dann ist

S0 (t)
.
.
.

S(t) = 



Sd (t)
ein
Ft -messbarer
Zufallsvektor mit mit Werten in
Rd+1
Denition 3.1. Ein Numéraire ist ein Preisprozess (Xt )t∈{0,1,...,T }
Prozess), welcher strikt positiv ist für alle
Das mit
i = 0
(also ein stochastischer
t ∈ {0, 1, . . . , T }.
indizierte Finanzinstrument wird als Numéraire verwendet und ist meist
eine risikolose Kapitalanlage mit
S0 (0) = 1
Ist
r
der während einer Zeitperiode
(t → t + 1)
gewährte Zins, so gilt
S0 (t) = (1 + r)t
Damit denieren wir den Diskont-Faktor
Denition 3.2 Eine
Rd+1 -wertiger
β(t) := 1/S0 (t)
Handelsstrategie (oder dynamisches Portfolio) ist ein vorhersagbarer
stochastischer Prozess

ϕ0 (t)
 ϕ1 (t) 


ϕ= . 
 .. 
ϕd (t) t∈{1,...,T }

d.h. eine Folge von
ϕi (t)
T
Zufallsvektoren mit Werten in
Rd+1 .
ist die Anzahl von Anteilen des Finanzgutes i, basierend auf den Informationen zum
t − 1. Die Adjustierung des
S0 (t − 1), . . . , Sd (t − 1) statt.
Zeitpunkt
Preise
Denition 3.3.
hϕ(1), S(0)i
Portfolios fand also kurz nach Bekanntgabe der
Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt
t
ist gegeben durch
Vϕ (0) =
und
Vϕ (t) := hϕ(t), S(t)i =
d
X
ϕi (t)Si (t),
t ∈ {1, . . . , T }
i=0
Der dadurch denierte stochastische Prozess
Vϕ
28
heiÿt Wertprozess der Handelsstrategie
ϕ.
Vϕ (0)
ist das Anfangskapital des Investors.
Denition 3.4. Der
Zuwachsprozess
Gϕ (t) :=
t
X
Gϕ
der Handelsstrategie
hϕ(τ ), S(τ ) − S(τ − 1)i =
τ =1
für
Sei
t
X
ϕ
ist gegeben durch
hϕ(τ ), ∆S(τ )i
τ =1
t ∈ {1, . . . , T }.
e = (1, β(t)S1 (t), . . . , β(t)Sd (t))0
S(t)
der auf den Zeitpunkt
t=0
abdiskontierte Preis-
vektor.
Ähnlich: Abdiskontierter Wertprozess
e
Veϕ (t) = βt hϕ(t), S(t)i = hϕ(t), S(t)i
für
t ∈ {1, . . . , T }.
Abdiskontierter Zuwachsprozess
e ϕ (t) =
G
t
X
e )i
hϕ(τ ), ∆S(τ
τ =1
für
t ∈ {1, . . . , T }.
Denition 3.5 Eine
Handelsstrategie
ϕ
heiÿt selbstnanzierend, falls
hϕ(t), S(t)i = hϕ(t + 1), S(t)i
∀
t∈{1,...,T −1}
t werden die neuen Preise S(t) bekannt. Das Portfolio hat dann den Wert hϕ(t), S(t)i. Aufgrund der Kenntnis der neuen Preise S(t) schichtet
der Investor sein Portfolio mit Anteilen ϕ(t) zu einem Portfolio mit ϕ(t + 1) Anteilen um
Interpretation: zum Handelszeitpunkt
ohne jedoch Kapital abzuziehen oder einzubringen.
Behauptung 3.1. Sei X(t) ein Numéraire. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstnanzierend bzgl.
S(t),
falls
ϕ
Also ist eine Handelsstrategie
nanzierend bzgl.
e
S(t)
selbstnanzierend bzgl.
ϕ
S(t)/X(t)
ist.
genau dann selbstnanzierend bzgl.
S(t),
falls
ϕ
selbst-
ist.
Behauptung 3.2. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstnanzierend, wenn
∀
t∈{0,1,...,T }
e ϕ (t)
Veϕ (t) = Veϕ (0) + G
Die nächste Behauptung zeigt, dass der Wert des Portfolios vollständig durch das Anfangsvermögen und die Handelsstrategie
(ϕ1 (t), . . . , ϕd (t))t∈{1,...,T }
bestimmt ist vor-
ausgesetzt der Investor folgt einer selbstnanzierenden Strategie.
Behauptung 3.3. Für jeden vorhersagbaren Prozess (ϕ1 (t), . . . , ϕd (t))t∈{1,...,T }
F0 -messbare V0
existiert genau ein vorhersagbarer Prozess
Handelsstrategie


ϕ0 (t)
 ϕ1 (t) 


ϕ= . 
 .. 
ϕd (t)
29
(ϕ0 (t))t∈{1,...,T } ,
und jedes
so dass die
selbstnanzierend und
Denition 3.6. Eine
V0 = Vϕ (0)
der Anfangswert des Portfolios ist.
selbstnanzierende Strategie
ϕ
heiÿt Arbitrage-Strategie, falls
Vϕ (0) = 0
mit Wahrscheinlichkeit
1
Vϕ (T ) ≥ 0
mit Wahrscheinlichkeit
1
Vϕ (T ) > 0
mit Wahrscheinlichkeit
>0
Der (oben denierte) Finanzmarkt
M
heiÿt arbitragefrei, falls es keine Arbitrage-Strategie
in der Klasse aller Handelsstrategien gibt.
Denition 3.7.
Ein zu
P
Martingalmaÿ für den stochastischen Prozess
Filtration
e
P(S)
P ∗ auf (Ω, FT ) heiÿt ein
∗
ein P -Martingal bezüglich der
äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaÿ
F = (Ft )t∈{0,1,...,T }
Se
, falls
Se
ist.
bezeichne die Klasse aller äquivalenten Martingalmaÿe (für
Se).
Behauptung 3.4. Sei P ∗ ein äquivalentes Martingalmaÿ und ϕ eine selbstnanzierende
eϕ (t) ein P ∗ -Martingal bezüglich der Filtration
Handelstrategie. Dann ist der Wertprozess V
F.
Behauptung 3.5.
Existiert ein äquivalentes Martingalmaÿ, dann ist der Markt
M
arbi-
tragefrei.
Setze
X + := {X : Ω → R+
0 |X
Γ := {X ∈ X
+
| ∀
ist eine Zufallsvariable}
X(ω) ≥ 0
und
ω∈Ω
Γ
∃
X(ω) > 0}
ω∈Ω
ist ein Kegel.
Ist
M
ein arbitragefreier Markt, so gilt für jede selbstnanzierende Strategie
ϕ
Vϕ (0) = 0 =⇒ Veϕ (T ) 6∈ Γ
Mit Behauptung 3.2 folgt:
e ϕ (T ) 6∈ Γ
G
ϕ∗ = (ϕ1 , . . . , ϕd ) ein
vorhersagbarer Prozess ist und ϕ0 so gewählt wird, dass die Strategie ϕ = (ϕ0 , . . . , ϕd ) das
Startkapital V0 = 0 besitzt und selbstnanzierend ist.
Das nächste Lemma zeigt, dass
Lemma 3.1.
(ϕ1 , . . . , ϕd )
e ϕ (T ) 6∈ Γ
G
immer noch gilt, falls
In einem arbitragefreien Markt erfüllt jeder vorhersagbare Prozess
ϕ∗ =
die Relation
e ϕ∗ (T ) 6∈ Γ
G
Behauptung 3.6.
Ist der Markt
M
arbitragefrei, dann existiert ein zu
P
äquivalentes
∗
Martingalmaÿ P .
Eine Kombination der Behauptungen 3.5 und 3.6 liefert
Satz 3.1 (No-Arbitrage-Satz). Der Finanzmarkt M ist genau dann arbitragefrei, wenn
es ein zu P äquivalentes Martingalmaÿ
∗
ein P -Martingal ist.
P∗
gibt, unter dem der diskontierte Preisprozess
30
Se
3.1 Risikoneutrale Bewerung von Finanzderivaten
Denition 3.8.
Ein Finanzderivat mit Verfallszeitpunkt
messbare Zufallsvariable
X.
T
ist eine nichtnegative
FT -
Das Derivat heiÿt erreichbar (attainable), falls es eine das
Derivat replizierende Handelsstrategie
ϕ
gibt, die selbstnanzierend ist und für die gilt,
dass
Vϕ (T ) = X
Zwei Handelsstrategieen werden als äquivalent angesehen, wenn sie denselben Wertprozess
besitzen.
X
ist meist eine Funktion des Preisprozesses
X := (ST − K)+
Ausübungszeitpunkt T
Beispiel:
Behauptung 3.7.
nanzderivat
X
Ist
M
S : X = f (S)
für eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis
K
und
ein arbitragefreier Finanzmarkt, dann ist jedes erreichbare Fi-
eindeutig in
M
replizierbar.
Grundidee der Arbitrage-Bewertung von Derivaten: Da der Wert eines erreichbaren Derivates
X
zu einem Zeitpunkt
t ≤ T
eindeutig sein sollte (sonst existiert eine Arbitra-
gemöglichkeit), muss der Preis des Derivates zum Zeitpunkt
des Portfolios zur replizierenden Handelsstrategie
ϕ
t≤T
zum Zeitpunkt
mit dem Wert
t
Vϕ (t)
übereinstimmen.
Deshalb ist folgende Denition sinnvoll:
Denition 3.9. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei und X
Verfallszeitpunkt
Wertprozess der
ein erreichbares Derivat mit
T . Dann ist der Arbitragepreisprozess (πX (t))t∈{0,...,T }
X replizierenden Strategie ϕ.
gegeben durch den
Da die Arbitrage-Bewertungsmethode oensichtlich unabhängig vom zugrundeliegenden
Maÿ
P
ist also unabhängig vom Modell, das sich ein Investor vom weiteren Kursver-
lauf macht sollte ein Investor, welcher statt dem Maÿ
P
das risikoneutrale Maÿ
P∗
zugrundelegt, das Derivat mit demselben Preis bewerten.
Behauptung 3.8. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei. Dann ist der Arbitragepreisprozess
(πX (t))t∈{0,...,T }
jedes erreichbaren Finanzderivats
X
durch die Formel der risikoneu-
tralen Bewertung
∀
t∈{0,...,T }
gegeben, wobei
E∗
πX (t) = β(t)−1 E∗ (β(T )X | Ft )
die Erwartung bezüglich eines (zu
(für den auf den Zeitpunkt
t=0
P)
äquivalenten Martingalmaÿes
P∗
abgezinsten Preisprozess) darstellt.
Frage: Unter welchen Bedingungen ist jedes Finanzderivat erreichbar, also mittels einer
Handelsstrategie replizierbar?
3.2 Vollständige Märkte
Denition 3.10.
Der Finanzmarkt
M
heiÿt vollständig, wenn jedes Derivat erreichbar
+ eine replizierende
ist, also für jede nichtnegative FT -messbare Zufallsvariable X ∈ X
selbstnanzierende Handelsstrategie
ϕ
mit
Vϕ (T ) = X
31
existiert.
Satz 3.2 (Vollständigkeitssatz).
vollständig, wenn es genau ein zu
S
abgezinste Preisprozess
Ein arbitragefreier Finanzmarkt
P
M
ist genau dann
äquivalentes Martingalmaÿ gibt (unter welchem der
ein Martingal ist).
Die Kombination des No-Arbitrage- und des Vollständigkeitssatzes (Sätze 3.1 und 3.2)
ergibt den
Fundamentalsatz der Preistheorie für Derivate:
In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt
M
existiert genau ein äquivalentes
∗
Martingalmaÿ P .
Ferner mit Behauptung 3.8:
In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt
πX (t)
eines Derivates
X
M
ergibt sich der arbitragefreie Preis
als (bedingter) Erwartungswert des Derivates unter dem risiko-
neutralen (d.h. äquivalenten Martingal-) Maÿ
∀
t∈{0,...,T }
P ∗:
πX (t) = β(t)−1 E∗ (β(T )X | Ft )
3.3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell
Wir betrachten folgenden Finanzmarkt
•
B
risikolose Anlage
M
mit
Handelsperioden:
(Bond) mit
B(t) = (1 + r)t ,
•
T
risikobehaftete Anlage
S
t ∈ {0, . . . , T }
(z.B. Aktie) mit
(
uS(t) mit W p,
S(t + 1) =
dS(t) mit W 1 − p,
wobei
•
0<d<u
und
Die Veränderung
t ∈ {0, . . . , T }
S0 ≥ 0
S(t+1)
S(t)
∈ {u, d}
ist unabhängig von
S(0), . . . , S(t)
für alle
t ∈
{0, . . . , T }
S(2)=uuS(0)
p
S(1)=uS(0)
p
1−p
S(2)=udS(0)
S(0)
1−p
p
S(1)=dS(0)
1−p
S(2)=ddS(0)
T=0
T=1
T=2
Die ersten beiden Handelsperioden eines Binomialmodells
Explizite Konstruktion eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes
tration
F:
32
(Ω, P, F) und einer Fil-
T
• Ω := × Ω̃t
t=1
wobei
Ω̃t := Ω̃ := {u, d},
wobei
P̃t := P̃
Ω = {u, d}T
also
• F := P(Ω)
T
• P := ⊗ P̃t
t=1
mit
P̃ ({u}) := p
P ({ω}) =
und
T
Y
P̃ ({d}) := 1 − p,
also
P̃t ({ωi })
t=1
mit
ω = (ω1 , . . . , ωT )
• F = (Ft )t∈{0,...,T }
und
ωt ∈ {u, d}
mit
F0 := {∅, Ω}
Ft := σ(S(1), . . . , S(t)),
t ∈ {1, . . . , T − 1}
FT := F = P(Ω)
Bemerkung. Sei Z(t+1) :=
vom Zeitpunkt
t
S(t+1)
S(t) die relative Preisänderung der risikobehafteten Anlage
zum Zeitpunkt
t + 1 (t ∈ {0, . . . , T − 1}).
Dann folgt aus den Modellannahmen:
• S(t) = S(0)
t
Q
Z(τ ),
t ∈ {1, . . . , T − 1}
τ =1
• Z(1), . . . , Z(T )
Denition 3.11.
sind unabhängige Zufallsvariablen
Der oben denierte Finanzmarkt
M
heiÿt Cox-Ross-Rubinstein-Modell
(CRR-Modell).
Behauptung 3.9.
Q,
Im CRR-Modell existiert genau dann ein äquivalentes Martingalmaÿ
wenn
0<d<1+r <u
Existiert ein äquivalentes Martingalmaÿ
Q,
q=
so ist dieses eindeutig und durch
1+r−d
u−d
festgelegt, es gilt also
T
Q = ⊗ Q̃t
t=1
mit
Q̃t ({u}) = q
und
Q̃t ({d}) = 1 − q
Aufgrund von Behauptung 3.9 gehen wir bei CRR-Modellen im Folgenden immer davon
aus, dass
0<d<1+r <u
gilt.
Behauptung 3.10. Das CRR-Modell ist arbitragefrei.
Behauptung 3.11. Das CRR-Modell ist vollständig.
33
Behauptung 3.12. Ein Mehrperioden-Marktmodell ist genau dann vollständig, wenn jedes darin enthaltene Einperioden-Modell vollständig ist.
Behauptung 3.13. Im CRR-Modell ist der Arbitragepreis eines Derivates X
πX (t) = B(t) E∗ (X/B(T ) | Ft )
∀
t∈{0,...,T }
gegeben, wobei
E∗
durch
die Erwartung bezüglich des eindeutigen (zu
∗
galmaÿes P (für den auf den Zeitpunkt
t=0
durch
p∗ =
P)
äquivalenten Martin-
abgezinsten Preisprozess) darstellt, welches
1+r−d
u−d
über
T
P ∗ = ⊗ Q̃t
t=1
mit
Q̃t ({u}) = p∗
und
Q̃t ({d}) = 1 − p∗
festgelegt ist.
Behauptung 3.14. Der Arbeitragepreis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum
T
und Ausübungspreis
K,
basierend auf einer Aktie
S,
ist im CRR-Modell gegeben durch
∀
t∈{0,...,T }
−(T −t)
C(t) = (1 + r)
T −t X
T − t ∗j
p (1 − p∗ )T −t−j (S(t)uj dT −t−j − K)+
j
j=0
Behauptung 3.15.
datum
T
Im CRR-Modell ist die eine europäischen Call-Option mit Verfalls-
und Ausübungspreis
K
replizierende Handelsstrategie
ϕ = (ϕ0 (t), ϕ1 (t))0t∈{1,...,T }
gegeben durch
C(t, St−1 u) − C(t, St−1 d)
St−1 (u − d)
uC(t, St−1 d) − dC(t, St−1 u)
ϕ0 (t) =
(1 + r)t (u − d)
ϕ1 (t) =
3.4 Binomialapproximation
Modellierung von Preisprozessen in stetiger Zeit mittels
•
eines stochastischen Prozesses in stetiger Zeit
•
einer Approximation mit einer Folge stochastischer Prozessen in diskreter Zeit
Jetzt: Approximation der Preisprozesse in stetiger Zeit
CRR-Modellen in diskreter Zeit mit
kn
Modellierung des Bonds:
Sei
rn
∆n = kTn
= j∆n , j ∈ {0, . . . , kn }
Teilintervalle der Länge
Handel nur in den Zeitpunkten:
tn,j
mittels einer Folge von
Handelszeitpunkten, wobei
Folge aus
Teile
N sei
[0, T ] in kn
t ∈ [0, T ]
der risikolose Zins Preisentwicklung des Bonds:
B(tn,j ) = (1 + rn )j ,
34
j ∈ {0, . . . , kn }
(kn )
eine wachsende
Im zeitstetigen Modell:
B(t) = ert
mit stetiger Zinsrate
r>0
Falls für
rn
gilt
1 + rn = er∆n
folgt
(1 + rn )j = erj∆n = ertn,j
Modellierung der risikobehafteten Anlage:
S(t
)
∈ {un , dn }
Zn,i = S(tn,i+1
n,i )
(i ∈ {0, . . . , kn − 1}) mit
Sei
die relative Veränderung in der Handelsperiode
i → i+1
P (Zn,i = un ) =: pn = 1 − P (Zn,i = dn )
pn ∈ (0, 1)
mit einem noch zu bestimmenden
Aktienpreisprozess im
n-ten
kn
CRR-Modell (mit
Sn (tn,j ) = Sn (0)
j
Y
Zn,i ,
Handelsperioden)
j ∈ {1, . . . , kn }
i=1
Annahme: Für jedes feste
n
gilt:
Zn,1 , . . . , Zn,kn
n-te
Nach Behauptung 3.9 ist das
unabhängige ZV'n
CRR-Modell genau dann arbitragefrei, wenn
d n < 1 + r n < un
Dieses ist in eindeutiger Weise charakterisiert durch
p∗n =
Damit ist das
n-te
1 + rn − d n
un − dn
CRR-Modell bis auf die Parameter
un
und
dn
festgelegt.
Wir wählen
un = eσ
Das risikoneutrale Maÿ für das
n-te
√
∆n
dn = e−σ
und
√
∆n
CRR-Modell ist dann gegeben durch
√
p∗n
Mögliche Preise der Aktie
S
er∆n − e−σ ∆n
1 + rn − d n
√
= √
=
un − dn
eσ ∆n − e−σ ∆n
zum Zeitpunkt
S(0)ujn dknn −j ,
T:
j ∈ {0, . . . , kn }
Mit Behauptung 3.13 folgt der Arbitragepreis
S
mit Strike
K
und Expiry
T
im
n-ten
Cn (0)
des europäischen Calls auf die Aktie
CRR-Modell:
C(0) = (1 + rn )−kn E∗ (S(T ) − K)+
kn +
X
kn ∗j
= (1 + rn )−kn
pn (1 − p∗n )kn −j S(0)ujn dknn −j − K
j
j=0
35
Mit
an = min{j ∈ N0 | S(0)ujn dknn −j > K} folgt
kn X
kn ∗j
−kn
Cn (0) = (1 + rn )
pn (1 − p∗n )kn −j S(0)ujn dknn −j − K
j
j=an


j kn −j 
kn ∗
X
∗
(1 − pn )dn
kn
pn u n
= S(0)


1 + rn
1 + rn
j
j=an


kn X

kn ∗j
−kn
∗ kn −j
− (1 + rn )
K
pn (1 − pn )


j
j=an
∗
pn u n
, kn (an − 1)
= Sn (0) 1 − Bin
1 + rn
− K(1 − rn )−kn {1 − Bin (p∗n , kn ) (an − 1)}
Bemerkung:
0<
p∗n un
1+rn
<1
Satz 3.3 (Black-Scholes-Formel für den Preis einer europäischen Call-Option).
Mit obiger Notation gilt:
C(0) := lim Cn (0) = S(0)Φ(d1 (S(0), T ) − Ke−rT Φ(d2 (S(0), T ))
n→∞
wobei
2
log(s/K) + (r + σ2 )t
√
σ t
√
log(s/K) + (r −
√
d2 (s, t) = d1 (s, t) − σ t =
σ t
d1 (s, t) =
und
Φ
σ2
2 )t
die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichne.
Der Preis für die europäische Put-Option ergibt sich sofort über die Put-Call-Parität.
Dieses Resultat wurde 1997 mit dem Nobelpreis für Ökonomie gewürdigt.
Bemerkung: Sei t ∈ [0, T ] mit t/T
rational, also gibt es
T
kn
jn := na, kn := nb und ∆n =
t = tn,jn = jn ∆n
betrachten den Preisprozess Sn im n-ten
Wähle
a, b ∈ N0
mit
t = ab T
Dann gilt
Wir
Sn (tn,j ) = Sn (0)
j
Y
CRR-Modell
Zn,i ,
j ∈ {0, . . . , kn }
i=1
Also gilt speziell
Sn (t) = Sn (tn,jn ) = Sn (0)
jn
Y
Zn,i
i=1
Mit Methoden wie im Beweis zu Satz 3.3 kann gezeigt werden:
1
D
Sn (t) → S(t) := S(0) · exp(tr) · exp tσ 2 Z −
2
N (0, 1)-verteilten Zufallsvariablen Z
Der stochastische Prozess S = (St )t∈T (Q∩[0,1])
stetiger Zeit t ∈ [0, T ] fortgesetzt werden.
(n → ∞)
mit einer
kann zu einem stochastischen Prozess in
r
log(St /S0 )
Dieser Prozess ist dann eine sogenannte geometrische Brownsche Bewegung mit Drift
St
ist lognormalverteilt mit Erwartungswert
t(r −
36
σ 2 /2) und Varianz
tσ 2 von
Schätzung der Volatilität
unter Verwendung
•
der historischen Werte des Aktienkurses
•
der an der Börse notierten Preise ähnlicher Optionen
S
Schätzung der Volatilität aus historischen Aktienkursen
kurse <- read.csv("table.csv")
attach(kurse)
## Aktienpreisprozess
plot(Close)
lines(Close)
## log-Returns
n <- length(Close)
R <- log(Close[2:n]/Close[1:(n-1)])
plot(R)
lines(R)
## Schätzung der Volatilität
sqrt(var(R)*n)
q()
Dann: Berechnung des Preises eines europäischen Calls über einen Optionspreisrechner,
z.B.
http://www.numa.com/derivs/ref/calculat/option/calc-opa.htm
von Numa Fi-
nancial Systems
3.5 Bewertung amerikanischer Optionen
Bewertung amerikanischer Optionen
Betrachte ein allgemeines Mehrperioden-Marktmodell. Der Besitzer einer amerikanischen
Option kann diese zu jedem Zeitpunkt
f (St )
oder allgemeiner
t ∈ {0, 1, . . . , T } ausüben und erhält die Geldsumme
ft .
Gesucht: Selbstnanzierende Handelsstrategie
zess
Vϕ
ϕ,
so dass für den dazugehörigen Wertpro-
gilt:
Vϕ (0) = x
(Startkapital)
Vϕ (t) ≥ ft
∀t ∈ {0, 1, . . . , T }
Ein solches Portfolio heiÿt minimal, falls es eine Stoppzeit
τ : Ω → {0, 1, . . . , T }
gibt mit
Vϕ (τ ) = fτ
Problem: Existenz und (gegebenenfalls) Konstruktion einer solchen Stoppzeit
Annahme: Das Marktmodell
(Ω, F, F, P )
ist vollständig und
äquivalente Martingalmaÿ.
Dann gilt für jede Hedging-Strategie
ϕ,
dass
Mt = Ṽϕ (t) = β(t)Vϕ (t)
37
P∗
ist das eindeutige zu
P
ein
P ∗ -Martingal
ist.
Also folgt mit Satz 2.10, dass für jede Stoppzeit
τ ∈ T0,T
M0 = Vϕ (0) = E ∗ (Ṽϕ (τ ))
Da aus den Annahmen über
ϕ
Vϕ (τ ) ≥ f τ
folgt, dass
für jede Stoppzeit gelten muss,
erhalten wir für das Startkapital
x ≥ sup E ∗ (β(τ )fτ )
τ ∈T0,T
Sei jetzt
τ∗
eine Stoppzeit mit
Vϕ (τ ∗ ) = fτ ∗ .
Dann ist die Handelsstrategie
ϕ
minimal und
es gilt
x = E ∗ (β(τ ∗ )fτ ∗ ) = sup E ∗ (β(τ )fτ )
τ ∈T0,T
Diese Relation (erstes Gleichheitszeichen) ist also eine notwendige Bedingung für die Existenz einer minimalen Handelsstrategie.
Wir werden zeigen, dass dies zugleich auch eine hinreichende Bedingung darstellt.
Der Preis
x
heiÿt rationaler Preis einer amerikanischen Option.
Berechnung des Optionspreises
Zum Zeitpunkt
T
ist der Wert
ZT
der Option gleich dem Pay-O der Option:
ZT := fT
Zum Zeitpunkt
trag
fT −1
T −1 kann der Besitzer der Option diese entweder ausüben und den Geldbe-
einstreichen oder die Option bis zum Verfallsdatum behalten, wobei im letzteren
Falle der Betrag
βT−1−1 E ∗ (βT fT | FT −1 )
abgesichert werden muss. Also hat die Option zum Zeitpunkt
T
den Wert
ZT −1 := max{fT −1 , βT−1−1 E ∗ (βT fT | FT −1 )}
Mittels Rückwärtsinduktion zeigt man, dass zum Zeitpunkt
t ∈ {1, . . . , T }
der folgende
Wert abgesichert werden muss:
−1 ∗
Zt−1 = max{ft−1 , βt−1
E (βt Zt | Ft−1 )}
oder mit
f˜t := βt ft
diskontiert auf den Zeitpunkt t=0:
Z̃t−1 = max{f˜t−1 , E ∗ (Z̃t | Ft−1 )}
Also ist
(Z̃t )t∈{0,...,T }
die Snell-Einhüllende von
(f˜t )t∈{0,...,T }
Nach Satz 2.12 gilt, dass
Z̃t = sup E ∗ (f˜τ | Ft )
τ ∈Tt,T
und die Stoppzeit
τt∗ := min{s ≥ t : Z̃s = f˜s }
optimal ist und dass
Z̃t = E ∗ (f˜τt∗ | Ft )
Speziell kann im Fall
t=0
die Stoppzeit
τ0∗ := min{s ≥ 0 : Z̃s = f˜s }
und
x = Z̃0 = E ∗ (f˜τ0∗ ) = sup E ∗ (f˜τ0 )
τ0 ∈T0,T
38
verwendet werden
ist der rationale Preis der amerikanischen Option.
Konstruktion des Hedging-Portfolios
Da
Z̃
tingal
ein Supermartingal ist, existieren nach dem Zerlegungssatz 2.14 von Doob ein Mar-
M̃
Ã
und ein wachsender vorhersagbarer Prozess
mit
Z̃ = M̃ − Ã
Setze
Mt := M̃t /βt
und
At := Ãt /βt .
Da der zugrundeliegende Finanzmarkt vollständig
ist, existiert eine selbstnanzierende Handelsstrategie
ϕ
mit
M̃t = Ṽϕ (t)
(Betrachte den Positiv- und den Negativteil von
MT
jeweils als ein Derivat.)
Dann
Zt := Z̃t /βt = Vϕ (t) − At
Damit ist der Zeichner der Option in der Lage, sich perfekt zu hedgen: Durch den Verkauf
Z0 = Vϕ (0) kann er unter Verwendung der Handelsstrategie ϕ
zu jedem Zeitpunkt t ein Kapital Vϕ (t) erwirtschaften, welches gröÿer oder gleich Zt ist,
und damit auch gröÿer oder gleich dem zum Zeitpunkt t eventuell fälligen Pay-O ft .
der Option zum Preis von
Aus Sicht des Käufers der Option ist die
punktes von elementarem Interesse:
Ermittlung des optimalen Ausübungszeit-
Der Ausübungszeitpunkt ist aus der Menge der Stoppzeiten auszuwählen.
Es ist nicht sinnvoll, die Option zu einem Zeitpunkt
Verkauf der Option ihr Wert
nur
ft
Zt
t mit Zt > ft
auszuüben, da durch den
erlöst werden kann, wohingegen die Ausübung der Option
erbringt.
Für einen optimalen Ausübungspunkt
τ
gilt also
Zτ = fτ
Andererseits ist es auch nicht sinnvoll, die Option nach dem Zeitpunkt
τmax := inf{t : At+1 6= 0} (= inf{t : Ãt+1 6= 0})
auszuüben, da ein Verkauf der Option zum Zeitpunkt
τmax
und Anlage des Erlöses gemäÿ
ϕ ein für alle nachfolgenden Zeitpunkte τmax +1, τmax +2, . . . , T
Z.
Stoppzeiten τ mit τ ≤ τmax , dass
der Handelsstrategie
gröÿeres Kapital
Vϕ
Dann gilt für alle
strikt
einbringt als der Verkauf der Option zu ihrem Wert
(Z̃tτ )t = (Z̃τ ∧t )t
ein Martingal bzgl.
P∗
ist.
Damit sind nach Satz 2.13 optimale Ausübungszeiten auch optimale Stoppzeiten für die
Folge
(f˜t )t∈{0,1,...,T } .
Daraus folgt: Verwendet der Zeichner der Option die oben konstruierte Handelsstrategie
ϕ
zum Hedgen und übt der Käufer der Option diese zu einer nicht optimalen Stoppzeit
aus, so gilt
risikolosen
Zτ > fτ oder Aτ > 0. In beiden Fällen
Gewinn Vϕ (τ ) − fτ = Zτ + Aτ − fτ > 0.
Bewertung eines amerikanischen Puts im CRR-Modell
Teile das Zeitintervall
[0, T ]
Risikofreie Zinsrate im
N Teilintervalle
Intervall ∆ sei ρ
in
der Länge
Die zugehörige stetige Zinsrate berechnet sich aus:
1 + ρ = er∆
39
τ
macht der Zeichner der Option einen
∆
Wähle
u
und
d
gemäÿ
u = eσ
√
∆
und
d = e−σ
√
∆
Das risikoneutrale W-Maÿ für die dazugehörigen Einperioden-Modelle berechnet sich aus
√
1+r−d
er∆ − e−σ ∆
√
p =
= √
u−d
eσ ∆ − e−σ ∆
∗
Die Aktie mit Startwert
S(0) ist nach i Schritten aufwärts und j Schritten abwärts S(0)ui dj
Einheiten wert.
Es gibt dann
N +1
mögliche Preise und
2N
mögliche Pfade durch das Baumdiagramm.
Aus rechen- und nanztechnischen Gründen wird
N
häug in der Gröÿenordnung von 30
gewählt.
Wie in der dynamischen Optimierung (Richard Bellman), wird eine Rückwärtsrekursion
gewählt, um sowohl die Preise als auch die optimale Ausübungsstrategie zu ermitteln:
1. Zeichne das Baumdiagramm, beginnend mit dem Startwert (Zeitpunkt 0) und den
N +1
Endwerten (Zeitpunkt
(wie in der Einführung zu den CRR-Modellen).
(i, j), der nach i
S(0)ui dj = S(0)ui−j
2. Trage am Knoten
wird, den Preis
N)
Aufwärts- und
j
Abwärtsbewegungen erreicht
ein.
3. Trage an den Endknoten unter die Endpreise die Pay-Os
A
fi,j
= max{K − S(0)ui dj , 0}
ein.
4. Angenommen, die Werte der Option liegen an den Knoten
bereits vor. Wird die Option am Knoten
(i, j)
(i + 1, j)
und
(i, j + 1)
nicht ausgeübt, muss der Betrag
A
A
fi,j = e−r∆ p∗ fi+1,j
+ (1 − p∗ )fi,j+1
abgesichert werden. Wird die Option am Knoten
(i, j) aber ausgeübt, so ist der Wert
(K − S(0)ui dj )+
abzusichern. Der Wert des amerikanischen Puts im Knoten
(i, j)
ist nun das Maxi-
mum dieser beiden Werte:
A
fi,j
= max{fi,j , K − S(0)ui dj }
5. Der Wert
PA (0)
des amerikanischen Puts zum Zeitpunkt 0 ist dann am linken Wur-
zelkonten abzulesen:
f0,0 .
6. Bendet man sich an einem inneren Knoten
(i, j),
so ist es rational, die Option
vorzeitig auszuüben (early exercise), falls die Ausübung der Option einen höheren
Erlös bietet als der Verkauf der Option um den Wert
40
fi,j .
132.25
t=0:
Options−Wert: 2.18
Hedging−Portfolio:
Anteile Aktie = −0.48
Anteile Bond= 50.18
0
115
0
100
0
103.5
●
0
2
2.18
90
●
●
●
●
●
Aktienwert
Early Exercise
Pay−Off
Hedge−Wert
12
3.82
81
21
Bewertung einer Amerikanische Put−Option mit K=102 und r=10%
41
4 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit
Dieses Kapitel der Vorlesung orientiert sich teilweise an dem Buch
•
Sondermann D. Introduction to Stochastic Calculus for Finance A New Didactic
Approach. Springer 2006.
4.1 Grundbegrie
(Ω, F, P )
mit Filtration
F = (Ft )t≥0
X = (Xt )t≥0
(Ω, F, P ).
Ein stochastischer Prozess
fallsvariablen auf
Der Prozess
X
heiÿt (zur Filtration
Xt
∀
t1 , . . . , tn ∈ [0, ∞).
[0, ∞)
ist eine Familie von Zu-
adaptiert, falls
F)
t≥0
Seien
mit Indexbereich
ist
Der Zufallsvektor
Ft -messbar
(Xt1 , . . . , Xtn )
besitzt Werte in
Rn .
Durch
PX1 ,...,Xtn (B) := P ((Xt1 , . . . , Xtn ) ∈ B) , B ∈ B n
wird eine endlich dimensionale Verteilung von
sionalen Verteilungen von
X
X
deniert. Die Menge aller endlich dimen-
erfüllen die folgenden Konsistenzbedingungen von Kolmogo-
rov:
•
Für jede Permutation
(s1 , . . . , sn )
von
(t1 , . . . , tn )
gilt
PXt1 ,...,Xt (At1 × . . . × Atn ) = PXs1 ,...,Xsn (As1 × . . . × Asn ) (Ati ∈ B 1 )
n
•
Für jedes
A ∈ B n−1
gilt
PXt1 ,...,Xtn (A × R) = PXt1 ,...,Xtn−1 (A)
Man kann auch folgende Umkehrung zeigen:
K von endlich dimensionalen Verteilungen existiert ein
Q auf (R[0,∞) , B(R[0,∞) )), dessen Menge der endlich dimensionalen
Familie K umfasst.
Zu jeder konsistenten Familie
Wahrscheinlichkeitsmaÿ
Randverteilungen die
Sei
ω ∈ Ω.
Die Abbildung
(
[0, ∞) → R
X.(ω) :
t
7→ Xt (ω)
heiÿt Trajektorie oder Pfad von
Die Zufallsvariable
τ
X.
mit Werten in
∀
t≥0
[0, ∞]
heiÿt Stoppzeit, falls
[τ ≤ t] = {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft
In der Theorie der Stochastischen Prozesse in stetiger Zeit treten u.a. folgende Probleme
auf:
•
Pfadregularität
•
überabzählbare Operationen wie
supt∈[0,1] Xt
42
4.2 Klassen von Prozessen
Martingale. Ein adaptierter stochastischer Prozess X
mit
E(|Xt |) < ∞
für alle
t≥0
ist
ein
•
Submartingal, falls
∀
t > s =⇒ E(Xt | Fs ) ≥ Xs
∀
t > s =⇒ E(Xt | Fs ) ≤ Xs
∀
t > s =⇒ E(Xt | Fs ) = Xs
t,s≥0
•
Supermartingal, falls
t,s≥0
•
Martingal, falls
t,s≥0
Beispiele: (Standard-) Brownsche Bewegung, kompensierter Poisson-Prozess.
Semimartingale. Prozesse, welche sich aus einem vorhersagbaren und einem vollständig
unvorhersagbaren Teil modelliert durch ein Martingal zusammensetzen. Formale
Denition später.
Markov-Prozesse.
Ein adaptierter stochastischer Prozess
für jede beschränkte messbare Funktion
f :R→R
X
heiÿt Markov-Prozess, falls
gilt
E(f (Xt+s ) | Ft ) = E(f (Xt+s ) | Xt )
∀
t,s>0
Intuitive Deutung: Zukünftige Werte von
X
hängen nur von der Gegenwart, nicht jedoch
von der Vergangenheit ab.
Gilt obige Eigenschaft auch dann noch, wenn die deterministische Zeit
zeit
τ
ersetzt wird, so heiÿt
X
Diusionen. Eine Diusion ist ein starker Markov-Prozess X
für alle
t≥0
und alle
x∈R
t durch eine Stopp-
starker Markov-Prozess.
mit stetigen Pfaden, für den
die folgenden Grenzwerte existieren:
1
E(Xt+h − Xt | Xt = x)
h→0 h
1 σ 2 (t, x) := lim E (Xt+h − Xt )2 | Xt = x
h→0 h
µ(t, x) := lim
µ(t, x)
heiÿt Drift von
X , σ 2 (t, x)
heiÿt Diusionskoezient von
X.
Beispiele: Brownsche Bewegung, Lösungen stochastischer Dierenzialgleichungen.
Punktprozesse
und
Poisson-Prozesse.
Punktprozesse sind stochastische Prozesse, de-
ren Realisierungen nicht Pfade, sondern Zählmaÿe sind.
Seien z.B.
τ0 < τ1 < . . .
die zufälligen Zeitpunkte von gewissen Ereignissen.
Der dazugehörige Punktprozess
(Nt )t≥0
ist gegeben durch
Nt := sup{n | τn ≤ t}, t ≥ 0
43
Abbildung 2: R. Brown, L. Bachelier, A. Einstein und N. Wiener
Die Zufallsvariable
Nt
t an.
Y1 , Y2 , . . . unabhängige exp(λ)-verteilte ZVn
gibt die Anzahl der Ereignisse bis zum Zeitpunkt
Poisson-Prozesse sind spezielle Punktprozesse:
τn :=
n
X
Yj
j=1
τn ist also die Zeit bis zum n-ten Ereignis und Yn ist die Wartezeit zwischen den Ereignissen
zu den Zeitpunkten τn−1 und τn .
Nt := sup{n | τn ≤ t}
deniert dann einen Poisson-Prozess mit Rate
λ > 0.
Eigenschaften:
k
• P (Nt = k) = e−λt (λt)
k! , k ∈ N0 , t ≥ 0
• ∀ ∀
s<t u>0
Nt+u − Nt
• Nt+u − Nt ∼ π(λu)
•
unabhängig von
Ns
(stationäre Zuwächse)
Der sog. kompensierte Poisson-Prozess
speziell gilt
(unabhängige Zuwächse)
M
mit
Mt := Nt − λt
ist ein Martingal;
ENt = λt
Man kann zeigen, dass jeder stochastische Prozess
(Nt )
mit Werten von
Nt
in
N0 ,
der die
ersten drei obigen Eigenschaften erfüllt, ein Poisson-Prozess ist.
Stochastische Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen heiÿen Lévy-Prozesse.
4.3 Brownsche Bewegung
•
1830 Robert Brown (17731858), schottischer Botaniker
•
1900 Louis Bachelier (18701946)
•
1905 Albert Einstein (18791955)
•
1923 Norbert Wiener (18941964)
Denition 4.1.
Ein stochastischer Prozess
W = (Wt )t≥0
auf
(Ω, F, P )
sierte 1-dimensionale Brownsche Bewegung oder Wiener-Prozess, falls
• W0 = 0 P -f.s.
44
heiÿt standardi-
• W
hat unabhängige Zuwächse:
Wt+u − Wt
∀ ∀
s<t u≥0
• W
ist unabhängig von
Ws
hat stationäre normalverteilte Zuwächse:
∀
t,u≥0
• W
Wt+u − Wt ∼ N (0, u)
hat stetige Pfade
Bemerkungen zu Denition 4.1:
• Wt = Wt − W0 ∼ N (0, t)
• cov(Wt , Ws ) = min{s, t},
∀
t>s
da
cov(Wt , Ws ) = E(Wt Ws )
= E((Wt − Ws )Ws ) + E(Ws2 )
= E(Wt − Ws )E(Ws ) + s = s
Denition 4.2.
Prozess
in
Wt =
d
Eine standardisierte Brownsche Bewegung in R ist ein d-dimensionaler
(Wt1 , . . . , Wtd ) mit unabhängigen standardisierten Brownschen Bewegungen
R.
Satz 4.1. Der in Denition 4.1 (und 4.2) denierte Prozess existiert.
Behauptung 4.1. Seien W = (Wt )t≥0 eine standardisierte Brownsche
Ft := σ(Ws : s ≤
F = (Ft )t≥0 .
t). Dann sind (Wt )t≥0 und (Wt2
Nachfolgend legen wir das endliche Zeitintervall
Denition 4.3.
− t)t≥0
[0, T ]
Bewegung und
Martingale bzgl. der Filtration
für unser Modell zugrunde.
t0 = 0 < t1 < . . . < tn = T deniert eine
Partition τ := {t0 , . . . , tn } von [0, T ]; |τ | := sup{|ti −ti−1 | : 1 ≤ i ≤ n} heiÿt Feinheitsgrad
von τ .
Die Menge der Zeitpunkte
Denition 4.4. Die
Totalvariation der Funktion
X : [0, T ] → R
ist deniert durch
(
Var(X) := sup
)
X
|X(ti ) − X(ti−1 )| : τ
ist eine Partition von
[0, T ]
ti ∈τ
Falls
Var(X) < ∞,
Bemerkung.
sagt man,
Die Variation
einer Zufallsvariablen
Y
X
sei von endlicher Variation.
Var(f )
einer Funktion
darf nicht mit der Varianz
var(Y )
verwechselt werden.
Denition 4.5.
Sei X : [0, T ] → R eine Funktion und (τn ) eine Folge von Partitionen
[0, T ] mit |τn | → 0 für n → ∞. Die quadratische Variation von X über dem
[0, t] ≤ [0, T ] entlang der Partition τn ist deniert durch
X
Vt2 (X, τn ) :=
(X(ti ) − X(ti−1 ))2
des Intervalls
Intervall
f
ti ∈τn ∪{t}, ti ≤t
45
Existiert
hXit := lim Vt2 (X, τn ) für alle t ∈ [0, T ], und ist dieser Grenzwert unabhängig
n→∞
von der speziellen Wahl der Partitionenfolge
[0, T ]
die dadurch auf
Behauptung 4.2.
die quadratische
Korollar 4.1.
denierte Funktion
(τn ), für die ein Grenzwert existiert so heiÿt
t 7→ hXit quadratische Variation hXi von X .
X : [0, T ] → R stetig und von endlicher
Variation hXit = 0 für alle t ∈ [0, T ].
Ist
(erster) Variation, so ist
X : [0, T ] → R stetig und ist die quadratische Variation t 7→ hXit
wachsend, so ist X auf jedem Intervall [a, b] ⊆ [0, T ] von unendlicher
Ist
streng monoton
Totalvariation.
Behauptung 4.3. Sei X : [0, T ] → R
stetig mit stetigem quadratischer Variation. Ferner
A : [0, T ] → R stetig und von endlicher Totalvariation.
X(t) + A(t) denierte Funktion Y : [0, T ] → R von stetiger
hY it = hXit für alle t ∈ [0, T ].
sei
Dann ist die durch
Y (t) :=
quadratischer Variation mit
Also ist die quadratische Variation eines stetigen Semimartingals gleich der quadratischen
Variation des Martingalanteils.
Satz 4.2. Für
alle
t ∈ [0, T ]
gilt:
E Vt2 (W, τn ) − t
für jede Folge von Partitionen
Korollar 4.2.
τn
2
→0
des Intervalls
(n → ∞)
[0, T ]
mit
limn |τn | = 0.
τn
von
[0, T ]
Es gibt eine Folge von Partitionen
mit
limn |τn | = 0
so, dass
P -f.s.
∀
t∈[0,T ]
Lemma 4.1. X : [0, T ] → R
lim Vt2 (W, τn ) = t
n
stetig mit stetiger quadratischer Variation,
g : [0, T ] → R
messbar und beschränkt. Dann gilt:
X
lim
n→∞
2
Z
g(ti−1 )(Xti − Xti−1 ) =
t
g(s) dhXis
0
ti ∈τn ∪{t}, ti ≤t
Eine Kombination von Satz 4.2 und Korollar 4.2 liefert
Korollar 4.3.
Fast alle Pfade der Brownschen Bewegung sind von unendlicher Totalva-
riation.
Zusammenfassung: Die Brownsche Bewegung ist ein Martingal mit stetigen Pfaden und
quadratischer Variation
hW it = t P -f.s.
Es gilt jedoch auch umgekehrt
Satz 4.3. (Charakterisierung der Brownschen Bewegung von Lévy).
quadratisch integrierbares Martingal mit stetigen Pfaden,
dann ist
M
eine Brownsche Bewegung.
46
M0 = 0
und
hM it = t
Ist
M
ein
für alle
t,
4.4 Das Itô-Integral
F :R→R
und
X : R+ → R
C 1 -Funktionen
seien
(d.h. stetig dierenzierbar).
Dann gilt nach dem Hauptsatz der Dierenzial- und Integralrechnng
Zt
F (X(t)) − F (X(0)) =
0
Zt
0
0
0
Die Voraussetzung, dass
X
eine
F 0 (Xs ) dXs
F (X(s))X (s) ds =
C 1 -Funktion
ist, kann auf stetige Funktionen
X
mit end-
licher Totalvariation abgeschwächt werden, wie nachfolgend gezeigt wird.
Behauptung 4.4. X : [0, T ] → R
eine
C 1 -Funktion.
Sei
(τn )
F : R → R
limn |τn | = 0.
stetig und von endlicher Totalvariation,
eine Folge von Partitionen von
[0, T ]
mit
Dann existiert
X
lim
n→∞
Zt
0
F (Xti−1 )(Xti − Xti−1 ) =:
ti ∈τn ∪{t},ti ≤t
F 0 (Xs ) dXs
0
und es gilt
Zt
F (Xt ) − F (X0 ) =
F 0 (Xs ) dXs
0
Diese Behauptung ist ein Spezialfall der Itô-Formel (Satz 4.4).
X : [0, T ] → R
hXi = (hXit )t∈[0,T ] .
Bis auf Weiteres sei
Variation
immer eine stetige Funktion mit stetiger quadratischer
Dies gilt z.B. für die Pfade der Brownschen Bewegung
W
(Korollar 4.2) und allgemeiner
für die Pfade jedes stetigen Semimartingals mit stetiger quadratischer Variation.
t 7→ hXit monoton wachsend in t, ist das Integral
g : [0, T ] → R im Riemann-Stieltjes-Sinne deniert.
Da
Da
t 7→ hXit
0
g(s) dhXis für jede stetige Funktion
stetig ist, ist dieses Integral eine stetige Funktion der oberen Grenze
Satz 4.4 (Itô-Formel). X : [0, T ] → R
F :R→R
Rt
t.
stetig mit stetiger quadratischer Variation
hXi.
C 2 -Funktion.
eine
Dann gilt
Z
F (Xt ) − F (X0 ) =
∀
t∈[0,T ]
0
t
1
F (Xs ) dXs +
2
0
Z
t
F 00 (Xs ) dhXis
0
wobei der Grenzwert
Z
t
X
F 0 (Xs ) dXs := lim
n→∞
0
ti ∈τn ∪{t},ti ≤t
für jede zu der quadratischen Variation
Intervalls
[0, T ]
Das Integral
Rt
0
mit
limn |τn | = 0
F 0 (Xs ) dXs
Bemerkungen.
F 0 (Xti−1 )(Xti − Xti−1 )
hXi
führenden Folge
(τn )
existiert (gemäÿ Denition 4.5).
heiÿt Itô-Integral.
47
von Partitionen des
Rt
X von endlicher Totalvariation, verschwindet der Korrekturterm 21 0 F 00 (Xs ) dhXis
(da hXi ≡ 0 nach Behauptung 4.2). Dies liefert die klassische Behauptung 4.4.
1) Ist
2) Kurzform der Itô-Formel:
1
dF (Xt ) = F 0 (Xt ) dXt + F 00 (Xt ) dhXit
2
3) Man beachte, dass in den Summen, deren Grenzwerte das Itô-Integral liefern, der
Integrand
4) Sei
X
F 0 (Xs )
am linken Intervallende von
[ti−1 , ti ]
ausgewertet wird.
jetzt allgemeiner ein stochastischer Prozess (hinge also zusätlich noch vom Zu-
W
fall ab), dessen Pfade die einer Brownschen Bewegung
sind. Dann kann in Satz 4.4
zur Denition des Itô-Integrals die nach Korollar 4.2 existierende pfadunabhängige
Folge von Partitionen verwendet werden. Der Grenzwert ist bis auf eine
P -Nullmenge
eindeutig.
5) Die hier gewählte pfadweise Denition des Itô-Integrals geht auf Hans Föllmer (1981)
zurück. Allgemeinere Integranden der Form
Ys
anstelle von
F 0 (Xs ) werden in der sto-
chastischen Analysis behandelt. Solche allgemeinere Integranden tauchen in unserer
Vorlesung Finanzmathematik jedoch nicht auf.
Beispiele
• F (x) = xn .
Mit Itô-Formel
Xtn
−
X0n
t
Z
Xsn−1 dXs
=n
0
kurz:
dXtn = nXtn−1 dXt +
Ist
X
n(n − 1)
+
2
t
Z
=2
Xsn−2 dhXis
0
n(n − 1) n−2
Xt dhXit
2
W
speziell der Pfad einer Brownschen Bewegung
Wt2
t
Z
mit
W0 = 0,
t
Z
dhW is
Ws dWs +
0
0
t
Z
=2
Ws dWs + t
0
Also
Z
t
0
• F (x) = ex .
1
t
Ws dWs = Wt2 −
2
2
Mit Itô-Formel
Xt
e
X0
−e
Z
=
t
Xs
e
0
oder kurz
1
dXs +
2
Z
t
eXs dhXs is
0
1
deXt = eXt dXt + eXt dhXit
2
48
so gilt
Speziell für
X=W
folgt
t
Z
1 t Ws
e dhW is
=1+
e dWs +
2 0
0
Z
Z t
1 t Ws
e ds
=1+
eWs dWs +
2 0
0
Z t
1 Wt
e − e0
=1+
eWs dWs +
2
0
Z
eWt
Also
Ws
t
Z
1 Wt
e −1
2
eWs dWs =
0
Behauptung 4.5.
F (Xt )
Sei
F : R → R
C 1-
eine
Funktion. Dann bestitzt die Funktion
t 7→
die quadratische Variation
t
Z
2
F 0 (Xs ) dhXis
0
Korollar 4.4. Für
jedes
f ∈ C 1 (R)
ist das Itô-Integral
t
Z
It :=
f (Xs ) dXs
0
wohldeniert und besitzt die quadratische Variation
t
Z
f 2 (Xs ) dhXis
hIit =
0
Beispiel.
Für
X=W
gilt
Wt2
Z
t
=
2Ws dWs + t
0
Mit
It :=
Rt
0
2Ws dWs
folgt
Z
2
hW it = hIit =
t
4Ws2 ds
0
Bisher haben wir nur analytische Eigenschaften des Integrators
M ein Martingal
C 1 -Funktion.
Sei
verwendet.
mit stetigen Pfaden und stetiger quadratischer Variation und
Frage: Überträgt sich die Martingal-Eigenschaft des Integrators
Zt

I = It :=
f (Ms ) dMs 
∀
n
auf das Itô-Integral
?
heiÿt lokales Martingal, falls es Stoppzeiten
gibt mit
∀
eine
t≥0
Denition 4.6. Ein stochastischer Prozess M
ω∈Ω
M
f

0
T1 ≤ T2 ≤ . . .
X
lim Tn (ω) = ∞
n→∞
(MTn ∧t )t≥0
ist ein Martingal
49
Klar: Jedes Martingal ist ein lokales Martingal. Die Umkehrung ist jedoch falsch!
Satz 4.5.
Variation
Sei
M
hM i,
ein lokales Martingal mit stetigen Pfaden und stetiger quadratischer
f ∈ C 1 (R). Dann gilt
ferner
Zt


f (Ms ) dMs 
It :=
0
Behauptung 4.6. Sei M
ist ein lokales Martingal
t≥0
ein lokales Martingal mit stetigen Pfaden und
M0 = 0.
Äquiva-
lent sind:
(i)
(ii)
M
ist ein Martingal mit
(i)
oder
(ii)
für alle
t≥0
EhM it < ∞
∀
t≥0
Im Falle von
EMt2 < ∞
gilt
∀
t≥0
EMt2 = EhM it
Behauptung 4.7.
lokales Martingal mit stetigen Pfaden und quadratischer
Variation
Dann gilt
Sei M ein
hM it = 0 f.s. (t ≥ 0).
∀
t≥0
Korollar 4.5. Sei M
Mt = M0
f.s.
ein lokales Martingal mit stetigen Pfaden von endlicher Totalvaria-
tion. Dann gilt
∀
t≥0
Mt = M0
f.s.
Bemerkung: Mit Kor. 4.5 können wir zeigen, dass bei stetigen lokalen Martingalen (mit
stetigem quadratischem Variationsprozess) der quadratische Variationsprozess in Def. 4.5
f.s. unabhängig von der Wahl der Partitionenfolge
(τn )
Denition 4.7. Ein
Xt = Mt + At
tingal
M
X
stochastischer Prozess
und einem adaptierten Prozess
A
mit
ist.
mit einem lokalen Mar-
mit linksseitig stetigen Pfaden von endlicher
Totalvariation heiÿt Semimartingal.
Bemerkungen.
1) Die linksseitige Stetigkeit von
der Werte
As , s < t,
A
hat zur Folge, dass der Wert von
At
bei Kenntnis
vorhergesagt werden kann.
2) Die Zerlegung eines Semimartingals
X
in einen Martingalanteil und einen Anteil
von endlicher Totalvariation ist eindeutig (bis auf additive Konstanten). Ist
so ist auch
M
(und somit
A)
X
A
stetig,
stetig.
A als vorhersagbar angenommen,
A adaptiert ist und die Pfade von A
3) In der allgemeinen Theorie der Semimartingale wird
was etwas schwächer ist als die Forderung, dass
linksseitig stetig sind.
50
Denition 4.8.
|τn | → 0. X
und Y seien stetige Funktionen mit stetiger quadratischer Variation entlang der Folge (τn ).
Existieren die Grenzwerte und zwar unabhängig von der speziellen Wahl von (τn ) X
(Xti − Xti−1 )(Yti − Yti−1 ),
∀ hX, Y it := lim
Sei
(τn )
eine Folge von Partitionen des Intervalls
n→∞
t≥0
so heiÿt
hX, Y i := (hX, Y it )t≥0
Satz 4.6. hX, Y it
[0, T ]
mit
ti ∈τn ,ti ≤t
Kovariation von
existiert genau dann, wenn
X
Y.
und
hX + Y it
existiert. In diesem Fall gilt die
Polarisationsgleichung
hX, Y it =
1
(hX + Y it − hXit − hY it )
2
Bemerkungen.
1)
X
stetige Funktion mit stetiger Variation
hXi, A
stetige Funktion mit endlicher
Totalvariation. Dann gilt
hX + Ait = hXit
und damit
hX, Ait = 0
2) Für zwei unabhängige Brownsche Bewegungen
∀
t≥0
3)
X
B (1)
und
gilt
hB (1) , B (2) it = 0
stetige Funktion mit stetiger quadratischer Variation,
Zt
Yt :=
B (2)
f, g ∈ C 1 (R),
Zt
f (Xs ) dXs ,
Zt :=
0
g(Xs ) dXs
0
Dann gilt
Zt
hY, Zit =
f (Xs )g(Xs ) dhXis
0
Dies folgt aus der Polarisationsgleichung und
Zt
hY + Zit =
(f + g)2 (Xs ) dhXis
0
Zt
= hY it + hZit + 2
f (Xs )g(Xs ) dhXis
0
Satz 4.7
(d-dimensionale Itô-Formel). Sei
X = (X 1 , . . . , X d ) : [0, T ] → Rd
stetigen Kovariationen
(
hX k it ,
hX , X it = 1
k
l
k
l
2 hX + X it − hX it − hX it ,
k
l
51
k=l
falls k 6= l
falls
stetig mit
Ferner sei
F ∈ C 2 (Rd , R).
Dann gilt
F (Xt ) − F (X0 )
d Zt
d Zt
X
X
∂
∂2
1
=
F (Xs ) dXsi +
F (Xs ) dhX i , X j is
∂xi
2
∂xi ∂xj
i=1 0
i,j=1 0
In Kurzform:
dF (Xt ) =
d
X
Fxi (Xt ) dXti +
i=1
d
1 X
Fxi ,xj (Xt ) dhX i , X j it
2
i,j=1
Beispiel.
Sei
W = (W 1 , . . . , W d )
eine
d-dimensionale
Brownsche Bewegung. Also
(
t,
hW k , W l it =
0,
falls
falls
k=l
k 6= l
Mit obiger Itô-Formel
F (Wt ) − F (W0 ) =
d Z
X
t
d
Fxi (Ws ) dWsi
Zt
Fxi ,xi (Ws ) ds
i=1 0
i=1 0
Korollar 4.6
1X
+
2
X und Y stetige
hX, Y i. Dann gilt
(Itôsche Produktformel). Seien
quadratischer (Ko-)Variation
hXi, hY i
bzw.
Zt
Xt Yt = X0 Y0 +
Funktionen mit stetiger
Zt
Ys dXs + hX, Y it
Xs dYs +
0
0
Kurzschreibweise:
d(XY )t = Xt dYt + Yt dXt + dhX, Y it
Korollar 4.7 (Itô-Formel für zeitabhängige Funktionen). Sei X
stetiger quadratischer Variation
hXi
und
F : (t, x) 7→ F (t, x)
mit
eine stetige Funktion mit
F ∈ C 1,2 . Dann gilt
F (t, Xt )
Zt
= F (0, X0 ) +
Zt
Ft (s, Xs ) ds +
0
Kurzschreibweise:
1
Fx (s, Xs ) dXs +
2
0
Zt
Fxx (s, Xs ) dhXis
0
1
dFt = Ft dt + Fx dXt + Fxx dhXit
2
Beispiel.
W
Brownsche Bewegung,
S0 > 0
Startwert,
µ ∈ R, σ > 0
52
Konstanten
Der durch
1 2
St = S0 exp σWt + µ − σ t , t ≥ 0
2
denierte stochastische Prozess
S
heiÿt geometrische Brownsche Bewegung.
Herleitung einer Itô-Integralgleichung für
S:
Xt = σWt
1 2
Yt =
µ− σ t
2
hXit = σ 2 t und hY it = hX, Y it = 0
Für F (x, y) := S0 exp(x + y) gilt Fx = Fy = Fxx = F
Wegen St = F (Xt , Yt ) folgt
Klar:
Zt
Zt
1
F (Xs , Ys ) dYs +
2
F (Xs , Ys ) dXs +
St = S0 +
= S0 +
Zt
F (Xs , Ys )σ dWs +
0
F (Xs , Ys ) dhXis
0
0
0
Zt
Zt
1
F (Xs , Ys ) µ − σ 2
2
0
+
1
2
Zt
F (Xs , Ys )σ 2 ds
0
Zt
= S0 +
Zt
σSs dWs +
µSs ds
0
0
In Kurzform:
dSt = µSt dt + σSt dWt
Falls
µ = 0,
ist
Zt
St = S0 +
σSs dWs
0
nach Satz 4.4 ein lokales Martingal.
Wegen
Zt
EhSit = E
σ 2 Ss2 dhW is
0
2
Zt
=σ E
Ss2 ds
0
für alle
t ≥ 0,
ist
S
nach Behauptung
4.6
=σ
2
Zt
ESs2 ds < ∞
0
sogar ein Martingal.
53
ds
Abbildung 3: Kiyoshi Itô (19152008), Wolfgang Döblin (19151940)
54
5 Zeitstetige Finanzmärkte
Marktmodell
M
•
WR
(Ω, F, P )
•
Filtration
F
von aufsteigenden in
F
enthaltenen
σ -Algebren
mit
F0 = {∅, Ω}
und
FT = F
• d+1 Finanzgüter mit Preisprozessen S0 , S1 , . . . , Sd , welche zu F adaptiert und streng
positiv seien
Weitere technische Regularitätsvoraussetzungen (abhängig z.B. davon, wie allgemein das
stochastische Integral sein soll und was man beweisen will):
• F
ist
• F0
• F
P -vollständig
enthält alle
P -Nullmengen
ist rechtsstetig, d.h.
Ft =
∀
t∈[0,T ]
• S0 , S 1 , . . . , S d
\
Fs
s>t
sind stetige Semimartingale
S = (St )t∈[0,T ]) in
Prozess A mit (lokal)
Zur Erinnerung: Per denitionem lässt sich ein stetiges Semimartingal
ein stetiges (lokales) Martingal
M
und einen stetigen adaptierten
beschränkter Variation zerlegen.
H = (Ht )t∈[0,T ]
Ein vorhersagbarer Prozess
ist ein stochastischer Prozess
H : Ω × [0, T ] →
R, welcher messbar ist bezüglich der vorhersagbaren σ -Algebra, welche von den adaptierten
Prozessen mit linksseitig stetigen Pfaden erzeugt wird.
Denition 5.1. Ein
Numéraire ist ein Preisprozess
Xt > 0
∀
X = (Xt )t∈[0,T ]
mit
P − f.s.
t∈[0,T ]
Denition 5.2.
Der
Rd+1 -wertige
stochastische Prozess
ϕ
ist eine Handelsstrategie oder
dynamisches Portfolio, falls
ϕ(t) = (ϕ0 (t), . . . , ϕd (t)) , t ∈ [0, T ]
ein vorhersagbarer lokal beschränkter Prozess ist.
Unter diesen Bedingungen existiert das stochastische Integral
ϕi (t)
ϕi (t)
bezeichnet die Anteile des Finanzgutes
i
Denition 5.3
Vϕ = (Vϕ (t))t∈[0,T ]
des Portfolios
Vϕ (t) := hϕ(t), S(t)i =
d
X
i=0
55
0 hϕ(u), dS(u)i.
im Portfolio zum Zeitpunkt
basiert auf der Information, welche vor dem Zeitpunkt
(i) Der Wertprozess
Rt
ϕ
t
t.
erhältlich ist.
ist gegeben durch
ϕi (t)Si (t),
t ∈ [0, T ]
Gϕ = (Gϕ (t))t∈[0,T ] ist gegeben durch
Z t
d Z t
X
Gϕ (t) :=
hϕ(u), dS(u)i =
ϕi (u) dSi (u)
(ii) Der Zuwachsprozess
0
(iii) Die Handelsstrategie
ϕ
i=0
0
heiÿt selbstnanzierend, falls
Vϕ (t) = Vϕ (0) + Gϕ (t)
∀
t∈[0,T ]
Behauptung 5.1. Ein selbstnanzierendes Portfolio bleibt nach einem Wechsel des Numéraires
X
selbstnanzierend.
Sei
S0
der risikolose Bond.
S̃ := 1, SS01 , . . . , SSd0
Diskontierter Preisprozess:
Diskontierter Wertprozess:
d
Ṽϕ :=
X
Vϕ
= ϕ0 +
ϕi S̃i
S0
i=1
G̃ϕ :
Diskontierter Zuwachsprozess
G̃ϕ (t) :=
d Z
X
i=1
Behauptung 5.2. ϕ
t
t ∈ [0, T ]
ϕi (u) dS̃i (u),
0
ist genau dann selbstnanzierend, wenn
Ṽϕ (t) = Ṽϕ (0) + G̃ϕ (t)
∀
t∈[0,T ]
Es gilt
Vϕ (t) ≥ 0
genau dann, wenn
Denition 5.4. Eine
Ṽϕ (t) ≥ 0.
selbstnanzierende Handelsstrategie ermöglicht Arbitrage, falls
Vϕ (0) = 0
P (Vϕ (T ) ≥ 0) = 1
P (Vϕ (T ) > 0) > 0
Denition 5.5. Das auf (Ω, F) denierte Wahrscheinlichkeitsmaÿ Q wird (stark) äquivalentes Martingalmaÿ genannt, falls
Martingal (Martingal) bzgl.
Die Menge der zu
P
Q
Q∼P
und der diskontierte Preisprozess
äquivalenten Martingalmaÿe werde mit
Denition 5.6. Eine
S̃
ein lokales
ist.
selbstnanzierende Handelsstrategie
ϕ
P
bezeichnet.
heiÿt zahm (tame), falls
Vϕ (t) ≥ 0
∀
t∈[0,T ]
Die Menge der zahmen Handelsstrategien werde mit
Behauptung 5.3.
Sei
ϕ ∈ Φ.
Dann ist
Ṽϕ
Φ
bezeichnet.
unter jedem
Q∈P
ein nichtnegatives lokales
Martingal und ein Supermartingal.
Satz 5.1. Existiert ein zu P
Handelsstrategie aus
Φ,
äquivalentes Martingalmaÿ (d.h.
P=
6 ∅),
dann existiert keine
welche Arbitrage ermöglicht.
Bemerkung. Um in zeitstetigen Märkten eine auch hinreichende Bedingung für die Existenz eines äquivalenten Martingalmaÿes zu nden, muss der Begri der Arbitragefreiheit
noch verschärft werden.
56
5.1 Risikoneutrale Bewertung
Annahme:
Im Weiteren exisitiere immer ein zu
S̃
unter welchem der diskontierte Preisprozess
Nach Satz 5.1 ndet man dann in
P
stark äquivalentes Martingalmaÿ
P ∗,
ein Martingal ist.
Φ
keine Handelsstrategie, welche in
X
mit
M
Arbitrage er-
möglicht.
Im Folgenden werden nur Derivate
X
∈ L1 (F, P ∗ )
S0 (T )
betrachtet.
Denition 5.7.
Eine selbstnanzierende Handelsstrategie
diskontierte Zuwachsprozess
G̃ϕ
ϕ
heiÿt
P ∗ -zulässig,
falls der
mit
Z
t
hϕ(u), dS̃(u)i
G̃ϕ (t) =
0
P ∗ -Martingal
ein
ist.
Die Menge dieser Handelsstrategien wird mit
Es wird nicht vorausgesetzt, dass eine
Satz 5.2. Eine P ∗ -zulässige
Φ(P ∗ )
P ∗ -zulässige
bezeichnet.
Handelsstrategie auch zahm ist.
Handelsstrategie ermöglicht keine Arbitrage in
M.
Existieren keine Arbitrage-Möglichkeiten, so kann das Problem der Bewertung und des
Hedgings von Derivaten auf die Existenz das Derivat replizierender selbstnanzierender
Handelsstrategien zurückgeführt werden.
Denition 5.8.
(i) Eine Derivat
X
heiÿt erreichbar, falls es eine
P ∗ -zulässige
Handelsstrategie
ϕ
gibt
mit
Vϕ (T ) = X
In diesem Fall wird
(ii) Der Finanzmarkt
ϕ
M
die das Derivat
X
replizierende Handelsstrategie genannt.
heiÿt vollständig, falls jedes Derivat erreichbar ist.
Bemerkungen.
•
Erreichbarkeit und Vollständigkeit hängen von der betrachteten Klasse von Handelsstrategien ab!
•
Erreichbarkeit und Vollständigkeit hängen nicht von der Wahl des Numéraires ab.
•
Die Eigenschaft einer Handelsstrategie, ein Derivat zu replizieren, bleibt bei einem
Wechsel des Numéraires erhalten.
X erreichbar, kann es durch ein Portfolio ϕ ∈ Φ(P ∗ ) repliziert
Preisprozess ΠX = (ΠX (t))t∈[0,T ] des Derivates muss deshalb gelten
Ist das Derivat
den
ΠX (t) = Vϕ (t)
57
werden. Für
Satz 5.3.
ΠX
Der sogenannte arbitragefreie Preisprozess
jedes erreichbaren Derivates
X
ist gegeben durch die Formel der risikoneutralen Bewertung
ΠX (t) = S0 (t) EP ∗
∀
t∈[0,T ]
X
| Ft
S0 (T )
Was passiert, wenn es zwei verschiedene Portfolios gibt, die
Korollar 5.1. Für
zwei das Derivat
X
X
replizierende Portfolios
replizieren?
ϕ
und
ψ
gilt
Vϕ (t) = Vψ (t)
∀
t∈[0,T ]
Für Fragen der Bewertung ist es hinreichend, ein stark äquivalentes Martingalmaÿ zu
nden. Aus der Sicht des Risikomanagements ist es jedoch wichtig, das das Derivat replizierende Portfolio zu nden.
Lemma 5.2 Das
denierte
X/S0 (T ) sei P ∗ -integrierbar.
X
| Ft
M (t) = EP ∗
S0 (T )
diskontierte Derivat
P ∗ -Martingal
Besitzt das durch
eine Integral-Darstellung
M (t) = x +
d Z
X
i=1
t
ϕi (u) dS̃i (u),
0
mit vorhersagbaren und lokal beschränkten Prozessen
ϕ1 , . . . , ϕ d ,
so ist
X
erreichbar.
Den folgenden Vollständigkeitssatz werden wir nicht beweisen:
Satz 5.4. Ist das starke Martingalmaÿ P ∗
M,
dann ist
M
das einzige Martingalmaÿ für den Finanzmarkt
vollständig in dem eingeschränkten Sinne, dass jedes Derivat
X
mit
X
∈ L1 (F, P ∗ )
S0 (T )
erreichbar ist.
Im Beweis wird ein sogenannter Martingaldarstellungssatz benötigt.
5.2 Das Black-Scholes-Modell
Es gibt verschiedene Möglichkeiten den Preisprozesses
S
der risikobehafteten Anlage zu
modellieren
Bachelier (1900): Brownsche Bewegung mit Drift µ und Volatilität σ
St = S0 + σWt + µt
µ ∈ R, σ > 0 und einer Standard-BB W bzgl. P .
St ∼ N (S0 + µt, σ 2 t) wird St < 0 mit Wahrscheinlichkeit 1
mit Konstanten
Wegen
Nach Itô ist dieser Prozess Lösung der stochastischen Dierenzialgleichung
dSt = µ dt + σ dWt
58
Samuelson (1965): Geometrische Brownsche Bewegung mit Drift µ und Volatilität σ
1
St = S0 exp σWt + (µ − σ 2 )t
2
Hier
St > 0
1
mit Wahrscheinlichkeit
Nach Itô ist dieser Prozess Lösung der stochastischen Dierenzialgleichung
dSt = St (µ dt + σ dWt )
oder
dSt
= µ dt + σ dWt
St
Für die GBB gilt:
St+h
St
d.h.
ist lognormalverteilt
St+h
log
∼N
St
1
(µ − σ 2 )h, σ 2 h
2
da für den sog. log-Return
St+h
σ2
log
= log St+h − log St = σ(Wt+h − Wt ) + µ −
h
St
2
gilt und damit
N ((µ −
σ2
2
2 )h, σ h)-verteilt ist.
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Preise ist also lognormalverteilt.
Ferner: Die log-Returns zu sich nicht überlappenden Zeitintervallen sind stochastisch unabhängig.
Wird die geometrische Brownsche Bewegung zur Modellierung des Preisprozesses der risikobehafteten Anlage gewählt, so spricht man auch von einem Black-Scholes-Modell.
Warum wird die geometrische Brownsche Bewegung häug zur Modellierung des Aktienpreisprozesses verwendet?
•
(Häug) gute Übereinstimmung mit empirischen Daten
•
GBB führt zu expliziten Bewertungsformeln für viele Derivate
•
Wenn der wahre Preisprozess von der GBB nicht zu sehr abweicht, liefern die auf
dem BS-Modell beruhenden Hedging-Strategien gute Ergebnisse
•
das BS-Modell ist arbitragefrei und vollständig
Marktmodell M:
•
WR
(Ω, F, P )
•
Bond
B
mit Filtration
F
(wie oben)
mit Preisprozess
Bt = B0 exp(rt),
mit stetigem Zinssatz
r>0
und Startkapital
59
t ∈ [0, T ]
B0 = 1.
•
Aktie
σ,
S
mit Aktienpreisprozess einer geometrische BB mit Trend
µ
und Volatilität
d.h.
1 2
St = S0 exp σWt + (µ − σ )t ,
2
t ∈ [0, T ]
Wähle den Bond als Numéraire
Diskontierter Preisprozess der Aktie
σ2
St
S̃t =
= S0 exp σWt + (µ − r − )t
Bt
2
Mit Itô
dS̃t = S̃t ((µ − r) dt + σ dWt )
Falls
µ 6= r
ist
(S̃t )
kein Martingal bzgl.
PROBLEM: Gibt es ein zu
P
P.
Q
äquivalentes Maÿ
so, dass der diskontierte Preisprozess
(S̃t )0≤t≤T ein Martingal bzgl. Q ist?
(S̃t )0≤t≤T ist ein Q-Martingal
⇐⇒ σWt + (µ − r)t ist bzgl. Q eine BB ohne Drift
µ−r
t ist bzgl. Q eine Standard BB
⇐⇒ Wt +
σ }
| {z
=:γ
Betrachte bzgl.
P
die BB mit Drift
γ
W̃t := Wt + γt,
Gesucht ist ein W-Maÿ
Q,
unter welchem
0≤t≤T
(W̃t )0≤t≤T
eine BB mit Drift
0.
Vorbetrachtung:
X sei N (0, σ 2 )-verteilt bezüglich P .
2
X̃ := X + µ, also ist X̃ ist N (µ,
σ )-verteilt
Die ZV
Q
sei deniert durch
Q := exp
−µX− 12 µ2
σ2
Z
Q(A) =
exp
A
Dann ist
X̃
unter unter dem W-Maÿ
bezüglich
· P,
P.
d.h.
−µX − 21 µ2
σ2
!
dP
für alle
A∈F
Q N (0, σ 2 )-verteilt.
Begründung:
Q(X̃ ≤ a) = EQ 1[X̃≤a]
Z
=
1[X+µ≤a] exp
!
−µX − 21 µ2
dP
σ2
Ω
!
Z
−µx − 12 µ2
1
x2
√
=
1[x+µ≤a] exp
exp − 2 dx
σ2
2σ
2πσ
R
Z
1
(x + µ)2
dx
=
1[x+µ≤a] √
exp −
2σ 2
2πσ
R
Z
x̃2
1
=
exp − 2 dx̃
1[x̃≤a] √
2σ
2πσ
R
Z a
2
1
x̃
√
=
exp − 2 dx̃
2σ
2πσ
−∞
60
Q ist (W̃t )0≤t≤T eine BB mit Drift 0?
Der Einfachheit halber sei T = 1.
i
Diskretisiere das Intervall [0, 1] durch ti :=
n für i = 0, . . . , n.
Setze ∆t := 1/n.
Frage: Unter welchem W-Maÿ
j
n
W̃ j = W j + γ
n
n
=
j X
=:
i=1
j
X
W i − W i−1 + γ∆t
n
n
(Xi + γ∆t) =:
i=1
Unter
P
i
j
X
X̃i
i=1
Xi unter P N (0, ∆t)-verteilt.
X̃i N(γ∆t, ∆t)-verteilt.
−γ∆tXi − 12 (γ∆t)2
· P = exp −γXi − 12 γ 2 ∆t · P
Qi := exp
∆t
Für festes
Unter
ist die Zufallsvariable
ist
ist
X̃i N (0, ∆t)-verteilt.
Wir zeigen: Durch
1
Q := E(−γW1 ) · P = exp −γW1 − γ 2 · P
2
wird ein W-Maÿ deniert, unter welchem
(X̃1 , . . . , X̃n )
dieselbe Verteilung besitzt wie
(X1 , . . . , Xn ) unter P
(X̃1 , . . . , X̃n ) besitzt unter P die Verteilung N (0, ∆t) ⊗ . . . ⊗ N (0, ∆t).
Für festes n und beliebige a1 , . . . , an ∈ R gilt dann:
1 2
Q(X̃1 ≤ a1 , . . . , X̃n ≤ an ) = EP 1[X̃1 ≤a1 ,...,X̃n ≤an ] exp −γW1 − γ
2
!
n
Y
1 2
= EP
1[X̃i ≤ai ] exp −γXi − γ ∆t
2
i=1
n
Y
1 2
=
EP 1[X̃i ≤ai ] exp −γXi − γ ∆t
2
Klar:
=
i=1
n
Y
EP 1[Xi ≤ai ]
(Mit Vorbetrachtung)
i=1
= P (X1 ≤ a1 , . . . , Xn ≤ an )
(W̃0 , W̃∆t , . . . , W̃1 ) unter Q mit der gemeinsamen Verteilung von (W0 , W∆t , . . . , W1 ) unter P überein. Der folgende Satz behauptet,
dass dies nicht nur für die endlichdimensionalen Randverteilungen von W̃ und W gilt,
Also stimmen die gemeinsame Verteilung von
sondern auch für die Prozesse selber gilt:
Satz von Girsanov
Standard-BB bzgl.
P
(für Brownsche Bewegungen mit konstantem Drift). Ist
und
W̃
W̃t = Wt + γt,
eine Brownsche Bewegung mit Driftrate
γ ∈ R,
dann ist
W̃
eine Standard-BB bzgl.
Z
∀
eine
t ∈ [0, T ],
(ohne Drift!), wobei
A∈FT
W
mit
QT (A) := E(1A MT ) =
MT dP
A
61
QT
1.0
0.5
Y
0.0
−0.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Abbildung 4: Pfade einer geometrischen Brownschen Bewegung, die unter dem der Simulation zugrunde gelegten W-Maÿ eine Drift besitzt. Unter dem äquivalenten
Martingalmaÿ wird die Drift zu Null. Dies entspricht einer Neubewertung der
Pfade gemäÿ der Girsanov-Dichte, angedeutet durch die Farbtemperatur.
und
ein Martingal
1
Mt := E(−γWt ) := exp(−γWt − γ 2 t),
2
M bzgl. P darstellt.
t ∈ [0, T ]
Bemerkung. Man kann zeigen, dass dieses Martingalmaÿ das einzige äquivalente Martingalmaÿ ist!
Anwendung des Satzes von Girsanov auf unser Ausgangsproblem:
W̃t = Wt +
ist bzgl.
QT
µ−r
t,
σ
t ∈ [0, T ],
mit
µ−r
1
QT (A) :=
exp −
WT −
σ
2
A
Z
∀
A∈FT
µ−r
σ
2 !
T dP
eine Standard-BB.
Also ist
ein
σ2
S̃t = S̃0 exp σWt + µ − r −
t ,
2
QT -Martingal
Satz 5.5. Im
also eine geometrische
BB
t ∈ [0, T ],
ohne Drift bzgl.
QT !
Black-Scholes-Modell mit Bond-Preisprozess
Bt = B0 exp(rt), t ∈ [0, T ]
(B0
= 1, r > 0)
und Aktien-Preisprozess
1 2
St = S0 exp σWt + µ − σ t ,
2
62
t ∈ [0, T ]
(S0 > 0, µ ∈ R, σ > 0)
ist das W-Maÿ
QT
mit
P -Dichte
dQT
1 2
= MT := exp −γWT − γ T
dP
2
ein äquivalentes Martingalmaÿ.
Das Black-Scholes-Modell ist also (nach Satz 5.2) arbitragefrei bezüglich den
Handelsstrategien.
P -Dynamik
von
S : dSt = St (µ dt + σ dWt )
P -Dynamik
von
S̃ : dS̃t = S̃t ((µ − r) dt + σ dWt )
Wegen
dW̃t =
Q-Dynamik
µ−r
σ
von
dt + dWt
folgt:
S:
dSt = St (r dt + σ dW̃t )
Q-Dynamik
von
S̃ :
dS̃t = S̃t (0 dt + σ dW̃t )
Unter
Q
wird die Drift
µ
der Aktie zur Zinsrate
r!
5.3 Black-Scholes mittels risikoneutraler Bewertung
X = (ST − K)+
europäischen Call-Option zum Zeitpunkt t = 0
C0 = EQ e−rT (ST − K)+
= EQ e−rT ST 1[ST >K] − e−rT KQ(ST > K)
Payo der europäischen Call-Option
Wert der
=: I1 + I2
wobei
Q
Zu Term
das nach Satz 5.5 spezizierte äquivalente Martingalmaÿ ist.
I2 :
Mit
1
St = S0 exp σWt + (µ − σ 2 )t
2
µ−r
t
Wt = W̃t −
σ
folgt
Q(ST > K) = Q(log ST > log K)
σ2
= Q(σWT + (µ − )T > log K − log S0 )
2 2
σ
= Q σ W̃T + r −
T > log K − log S0
2
!
2
log K − log S0 − (r − σ2 )T
σ W̃T
√ >
√
=Q
σ T
σ T
63
QT -zulässigen
W̃
Da √ T
T
∼ N (0, 1)
unter
Q,
folgt
log K − log S0 − (r − σ 2 /2)T
√
Q(ST > K) = Φ −
σ T
log(S0 /K) + (r − σ 2 /2)T
√
=Φ
σ T
Zu Term
I1 :
Es gilt
−rT
e
σ2
ST = S0 exp σWT + (µ − r − )T
2
2
σ
= S0 exp σ W̃T − T
2
=: S0 MT
Denition eines neuen Maÿes
Q̂
mittels
dQ̂
dQ
= MT
Damit
EQ e−rT ST 1[ST >K] = S0 EQ MT 1[ST >K]
= S0 EQ̂ (1[ST >K] )
= S0 Q̂(ST > K)
= S0 Q̂(log ST > log K)
Mit Satz von Girsanov:
Ŵt := W̃t − σt,
t ∈ [0, T ]
Q̂ eine BB ohne Drift!
σ W̃T = σ ŴT + σ 2 T
ist unter
Wegen
I = Q̂(log ST > log K)
σ2
)T > log K)
2
σ2
= Q̂(log S0 + σ W̃T + (r − )T > log K)
2
σ2
= Q̂(log S0 + σ ŴT + (r + )T > log K)
2
!
2
− log SK0 − (r + σ2 )T
σ ŴT
√ >
√
= Q̂
σ T
σ T
| {z }
= Q̂(log S0 + σWT + (µ −
∼N (0,1)
=Φ
log SK0 + (r +
√
σ T
σ2
2 )T
!
Also:
Satz 5.6. Der arbitragefreie Preis des europäischen Calls mit Ausübungspreis K
zeitende
T
im Black-Scholes-Modell mit Volatilität
σ
und stetiger Zinsrate
durch
∀
C(t) = St Φ(d1 ) − e−r(T −t) KΦ(d2 )
t∈[0,T ]
mit
d1 =
log St /K + (r + 21 σ 2 )(T − t)
√
σ T −t
64
und
√
d2 = d1 − σ T − t
r
und Lauf-
ist gegeben
Vollständigkeit des klassischen Black-Scholes Modells
Zur Konstruktion eines Hedging-Portfolios benötigen wir den folgenden
Satz 5.7 (Martingal-Darstellungssatz)
Sei
F = (Ft )t∈[0,T ]
die von der Brownschen
W = (Wt )t∈[0,T ] erzeugte vollständige Filtration und M = (Mt )t∈[0,t] ein zu
2
dieser Filtration adaptiertes Martingal mit E(MT ) < ∞. Dann gibt es einen (bis auf
Bewegung
Modikation) eindeutig bestimmten vorhersagbaren adaptierten Prozess
mit
T
Z
Hs2 ds
E
H = (Ht )t∈[0,T ]
<∞
0
so dass für alle
t ∈ [0, T ]
gilt:
t
Z
Mt = M0 +
Hs dWs
f.s.
0
Wir wissen bereits, dass der klassische BS-Markt ein eindeutiges zu
∗
Maÿ P mit
P
äquivalentes Martingal-
γ2
dP ∗
= e−γWT − 2 T
dP
γ = (µ − r)/σ (Marktpreis des Risikos).
1
L (P ), dann gilt auch X ∈ L1 (P ∗ ), also existiert das
besitzt, wobei
Sei
X∈
Mt = EP ∗ (e−rT X | Ft ),
P ∗ -Martingal
t ∈ [0, T ]
Unter Verwendung des Martingal-Darstellungssatzes 5.7 folgt, dass es einen adaptierten
vorhersagbaren Prozess
H = (Ht )t∈[0,T ]
P∗
gibt, so dass unter
t
Z
Mt = M0 +
Hs dW̃s
f.s.
0
Da für die
P ∗ -Dynamik
von
S̃
dS̃t = S̃t σ dW̃t
gilt, folgt
t
Z
Mt = M0 +
ϕ1 (s) dS̃s
f.s.
0
wobei
ϕ1 (t) :=
Ht
σ S̃t
Mit
ϕ0 (t) := Mt − ϕ1 (t)S̃t = Mt −
wird
(ϕ(t))t∈[0,T ] = (ϕ0 (t), ϕ1 (t))t∈[0,T ] ,
Ht
σ
zu einer seibstnanziererenden (vorhersagbaren
lokalbeschränkten) Handelsstrategie, welche
e−rT X
repliziert.
Also:
X
ist erreichbar
Da
X
beliebig aus
L1 (P ),
ist der klassische BS-Markt vollständig.
Damit ist zwar die Existenz einer selbstnanzierenden replizierenden Handelsstrategie gesichert, ihre explizite Konstruktion aber noch oen!
Unter Verwendung des Martingaldarstellungssatzes konnten wir zeigen, dass ein vorhersagbarer Prozess
ϕ
existiert, so dass
EP ∗ (e−rT X | Ft ) = V0 +
Z
t
ϕ1 (s)σ S̃s dW̃s
0
65
f.s.
(t ∈ [0, T ])
Wäre das Integral auf der rechten Seite ein gewöhnliches Riemann-Integral, könnte
durch Dierentation dieser Integralgleichung nach
ϕ1 (t) =
t
ϕ1
bestimmt werden:
1 d −rT
e
EP ∗ (X | Ft )
σ S̃t dt
Unter Verwendung der Malliavin-Ableitungsoperators
Dt
kann gezeigt werden, dass
1 −rT
e
EP ∗ (Dt X | Ft )
σ S̃t
ϕ1 (t) =
5.4 Zur Black-Scholes-Formel mittels einer No-Arbitrage-Bewertung
Wir betrachten wieder das Marktmodell
•
WR
(Ω, F, P )
•
Bond
B
mit Filtration
M:
(wie oben)
F
mit Preisprozess
Bt = B0 exp(rt),
mit stetigem Zinssatz
•
Aktie
σ,
S
r>0
und Startkapital
t ∈ [0, T ]
B0 = 1.
mit Aktienpreisprozess einer geometrische BB mit Trend
µ
und Volatilität
d.h.
1 2
St = S0 exp σWt + (µ − σ )t ,
2
und ein Portfolio
und
ψt
(ϕ, ψ) = (ϕt , ψt )t∈[0,T ] ,
t ∈ [0, T ]
welches zum Zeitpunkt
t ϕt
Einheiten der Aktie
Einheiten im Bond beinhaltet
Wert des Portfolios zum Zeitpunkt
t:
V (t, St ) := Vt = ψt Bt + ϕt St
Im Folgenden betrachten wir der Einfachheit halber nur Derivate der Form
X = h(ST )
(die europäische Call-Option ist von diesem Typ).
Satz 5.8. Sei V : [0, T ] × R+ → R
eine stetige Funktion, welche die PDG
1
Vt (t, s) + σ 2 s2 Vss (t, s) + rsVs (t, s) = rV (t, s),
2
(t, s) ∈ [0, T ) × R+
löst.
(ϕ, ψ) mit ϕ(t, St ) = ϕt = Vs (t, St ) und Wertprozess V (t, St )
∈ [0, T ]) selbstnanzierend.
Erfüllt V die Randbedingung V (T, ST ) = h(ST ), ist (ϕ, ψ) eine das Derivat X replizierende
Handelsstrategie. Der faire Wert des Derivats X ist V (t, St ) (t ∈ [0, T ]).
+
Payo der europäischen Call-Option: h(ST ) = (ST − K)
Dann ist die Handelsstrategie
(t
Bestimmung der dazugehörigen Lösung der PDG in Satz 5.8:
Lemma 5.3. Seien τ (t) = σ 2 (T − t)
z(t, s) = log s − ( 12 σ 2 − r)(T − t).
Die Funktion u(t, z) : [0, T ] × R → R löse die Wärmeleitungsgleichung ut =
z
+
Anfangsbedingung u(0, z) = (e − K) .
und
Dann löst
C(t, s) := e−r(T −t) u(τ (t), z(t, s))
66
1
2 uzz mit
das Randwertproblem für den Preis des europäischen Calls.
Satz 5.9. Der arbitragefreie Preis des europäischen Calls mit Ausübungspreis K
zeitende
T
im Black-Scholes-Modell mit Volatilität
σ
und stetiger Zinsrate
r
und Lauf-
ist gegeben
durch
C(t) = St Φ(d1 ) − e−r(T −t) KΦ(d2 )
∀
t∈[0,T ]
mit
d1 =
log St /K + (r + 21 σ 2 )(T − t)
√
σ T −t
√
d2 = d1 − σ T − t
und
Das dazugehörige Hedge-Portfolio besteht aus
• ϕt =
∂
∂s C(t)
= Φ(d1 ) ∈ (0, 1)
Einheiten der Aktie und
• ψt = (C(t) − Φ(d1 )St )/ert = −e−rt KΦ(d2 ) < 0
Einheiten des Bonds
5.5 Die Feynman-Kac-Formel
Die Feynman-Kac-Formel stellt die Lösung einer partiellen Dierentialgleichung in Form
einer bedingten Erwartung dar.
Satz 5.10 (Feynman-Kac-Formel) Seien µ : R → R und σ : R → (0, ∞) zwei Lipschitzstetige Funktionen,
F
die Lösung der PDG
1
Ft + µ(x)Fx + σ 2 (x)Fxx = 0
2
mit Randbedingung
F (T, x) = h(x),
wobei
h ∈ C02 .
Dann besitzt
F
die Darstellung
F (t, x) = E(h(XT )|Xt = x),
wobei
X
die stochastische Dierentialgleichung
dXu = µ(Xu )du + σ(Xu )dWu
mit Anfangsbedingung
Wir betrachten einen
Xt = x
Bond B
(t ≤ u ≤ T )
löst (W Standard-BB bzgl.
und eine Aktie
S,
P ).
die sich gemäÿ
dBt = rBt dt
dSt = µSt dt + σSt dWt
entwickeln.
Unter dem risikoneutralen Maÿ
P∗
genügt der Aktienpreisprozess der SDG
dSt = rSt dt + σSt dW̃t
W̃ bzgl. P ∗ eine Standard-BB.
µ(s) = rs und σ(s) = σs hat diese
wobei
Mit
SDG die Form der SDG in der Feynman-Kac-
Formel.
Sei jetzt
X
Ferner löse
ein Derivat der Form
F : [t, T ] × R → R
X = h(ST ).
die PDG
1
Fs + µ(s)Fs + σ 2 (s)Fss = 0
2
67
mit Randbedingung
F (T, s) = e−rT h(s).
Mit der Formel für die risikoneutrale Bewertung von Derivaten folgt
ΠX (t) = ert E ∗ (e−rT X|Ft ) = ert F (t, St )
Unter Verwendung der Tatsache, dass durch
Mt := F (t, St )
ein
P ∗ -Martingal
deniert
wird, zeigen wir, dass durch
ϕ0 (t) := F (t, St ) − Fs (t, St )St
ϕ1 (t) := Fs (t, St )Bt
ein das Derivat
X
replizierendes Portfolio
ϕ = (ϕ0 , ϕ1 )
gegeben ist.
5.6 Risikokennziern im Black-Scholes-Modell
Hedgeratio oder Delta:
∆ :=
Interpretation des Wertes
Ct
∂C
= . . . = Φ(d1 ) ∈ (0, 1)
∂s
eines europäischen Calls als Portfolios bestehend aus
heiten der zugrundeliegenden Aktie und
ψt
Einheiten des Bonds (short!)
Ct = Φ(d1 ) ·St + (−Ke−r(T −t) Φ(d2 )) ·1
| {z }
|
{z
}
(ϕt , ψt )
Hedgeratio
Kassa-Hedge
=:ϕt ∈(0,1)
=:ψt ∈(−∞,0)
Portfolio zur Duplizierung des europäischen Calls
Gamma-Faktor:
γ :=
1
∂2C
√
= ... =
φ(d1 )
∂S 2
S σ T −t
{z
}
|t
monoton wachsend in S
>0
=⇒
mit steigendem Aktienkurs wächst die Hedgeratio
Theta-Faktor
∂C
σ
−σ(T −t)
√
Θ :=
= . . . = −Ke
Φ(d2 ) + rΦ(d2 ) < 0
∂t
2 T −t
=⇒
Wert des europäischen Calls ist wachsend in der Restlaufzeit (T
Rho-Faktor
ρ :=
=⇒
∂C
= . . . = (T − t)Ke−r(T −t) Φ(d2 ) > 0
∂r
Wert des Calls steigt mit wachsendem Zins
Omega- oder auch Vega-Faktor
ω :=
=⇒
√
∂C
= . . . = T − t St φ(d1 ) > 0
∂σ
Wert des europäischen Calls steigt mit wachsender Volatilität
68
− t)
ϕt
Ein-
5.7 Hedging-Strategien
Beispiel: Europäischer Call
t
6 Wochen
26 Wochen
Restlaufzeit τ = T − t
20 Wochen = 0.3846
Stetiger Jahreszins r
5% p.a.
Jahresvolatilität σ
20%
aktueller Aktienkurs St
98 e
Ausübungspreis K
100 e
5
Bank verkauft europäischen Call auf 10 Aktien
Aktueller ZP
Laufzeit
T
a
für
(≈)
Wert nach Black-Scholes
Risikoprämie
6.0 · 105 e
4.8 · 105 e
1.2 · 105 e
Wir betrachten im Folgenden verschiedene Risikomanagementstrategien
1. Ungedeckte Position (naked position): Nichts tun
Falls
ST = 120 e
entstehen für die Bank Kosten in Höhe von
105 · (ST − K)+ = 2 · 106 e 6 · 105 e
| {z }
20 Euro
Falls
ST ≤ 100 e
beträgt der Gewinn der Bank
6 · 105 e
2. Gedeckte Position (covered position)
Nach Verkauf der Option zum Zeitpunkt
105
· 98 e = 9.8 ·
ST > K , Lieferung
t kauft die Bank sofort 105
Falls
der Aktien zum Zeitpunkt
T
zum Preis von
105 · 100 e = 107 e
Dieser Betrag wird abgezinst auf den Zeitpunkt
t
und beträgt dann
≈ 9.8 · 106
Der Gewinn der Bank beträgt in diesem Fall also
≈ 6 · 105 e
Falls
Aktien zum Preis von
106 e
ST ≤ K ,
z.B.
ST = 80 e,
entsteht ein Kursverlust in Höhe von
105 · 18 e = 106 · 1.8 e 6 · 105 e
Ergo: Die beiden Strategien 1 und 2 sind unbefriedigend!
Nach Black-Scholes entstehen im Mittel Kosten von
3. Stop-Loss-Strategie
St0 > K
Verkauf der Aktien sobald St0 < K
=⇒ Kosten entstehen nur, falls S0 > K
=⇒ Kosten für Stop-Loss-Hedgen:
Kauf der Aktien sobald
− K, 0)
{z
}
max(S0
|
<C(S0 ,T )!
Arbitrage-Möglichkeit?
69
4.8 · 105 e
•
Transaktionskosten nicht berücksichtigt
•
Zinsverluste durch Kapitalbindung
•
Verluste durch Einkaufspreis
K +δ
und Verkaufspreis
K −δ
für ein
δ>0
4. Delta-Hedgen
Mache Wert des Portfolios unempndlich gegen kleine Schwankungen der zugrundeliegenden Aktie innerhalb kleiner Zeitintervalle
Kaufe
∆t:
∂C
∂S
|{z}
∆C ≈ ∆S ·
Anteile an Aktie
Delta-/Hedgeratio
Beispiel:
Bank verkaufe europäischen Call auf
Ferner sei
2000
Aktien zum Preis von
∆ = 0.4
Zum Hedgen kauft die Bank
1 e =⇒
∆ · 2000 = 800
Aktien
800 e
1 Aktie: ∆C = ∆ · ∆S = 0.4 e
Wertsteigerung aller Calls 0.4 e · 2000 = 800 e
( =
Also nimmt die Bank eine sog. ∆-neutrale Position ein.
Aktie steigt um
=⇒
=⇒
C = 10 e/Aktie
Wert des Portfolios steigt um
Wertsteigerung des Calls auf
Verlust für die Bank)
5. Dynamisches Hedgen
Umstrukturierung des Portfolios gemäÿ der die Option duzplizierenden Handelsstrategie
Probleme:
•
Transaktionskosten
•
Dierenz zwischen Kauf- und Verkaufspreis der Aktien
6. Verfeinerung des Delta-Hedgens
∆C = (S + ∆S, t + ∆t) − C(S, t)
∂C
1 ∂2C
∂C
·∆t +
=
·∆S +
∆S 2 +0(∆t)
2 |{z}
∂S
∂t
2
∂S
|{z}
|{z}
| {z }
∼∆t
∆
Θ
Zeitverfall
Also
Γ
1
∆C ≈ ∆ · ∆S + Θ · ∆t + Γ · ∆S 2
2
Liegt beim Verkäufer der Call-Option ein bereits ∆-neutrales Portfolio vor, so kann dieses
durch Kauf oder Verkauf von Derivaten auch Γ-neutral gemacht werden (Aktien oder
Terminkontrakte sind dazu nicht geeignet, da diese ein konstantes ∆ besitzen, also Γ = 0).
5.8 Schätzung der Volatilität
•
aus historischen Daten
Probleme:
log-Returns sind nicht unabhängig
Volatilität zeitlich nicht konstant
70
•
mittels impliziter (implizierter) Volatilität
Beobachtung: implizite Volatilität hängt vom Strike
K
und der Restlaufzeit
τ = T −t
ab (bei demselben Underlying).
Die Wahrscheinlichkeit von Börsencrashs wie 1987 ist bei Annahme des BS-Modells praktisch gleich Null
=⇒
linke Tails (Flanken) der rechtsschiefen Lognormalverteilung zu dünn
Die tatsächlich höher liegende Wahrscheinlichkeit eines Crashs wird durch eine Erhöhung
der angenommenen Volatility in der Bewertung von Optionen mit niedrigem Strike
Markt vorgenommen
71
K
vom
6 Spezielle Derivate
Beispiele für spezielle Derivate:
•
Aktien-, Devisen-, Rohsto- und Energiederivate
•
Zinsderivate
•
Kreditderivate
•
Realoptionen
6.1 Kreditderivate
Das Risiko, dass eine Einzelperson, eine Firma oder ein Staat einen Kredit nicht wie vereinbart zurückzahlt, wird als Kreditrisiko bezeichnet. Kreditderivate dienen zur Absicherung
dieses Risikos.
•
Ausfallwahrscheinlichkeit (probability of default,
P D):
Wahrscheinlichkeit, dass ein
Kredit oder eine Anleihe nicht wie vereinbart zurückgezahlt wird
•
Verlustquote (loss given default,
LGD): prozentualer Verlust gemessen am gesamten
Kreditvolumen, den ein Kreditgeber verliert, wenn der Schuldner ausfällt.
•
Erlösquote (recovery rate,
RR): 1 − LGD
•
Nominal (N ): Nominalbetrag, z.B. die Kreditsumme oder eine frei vereinbarte Gröÿe
6.2 Credit Default Swaps
Das am häugsten gehandelte Kreditderivat ist der Credit Default Swap (CDS).
Denition. Ein Credit Default Swap ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien A und B , dass
A
an
B
eine Zahlung in Höhe von
Verlustquote
· Nominalbetrag
(= LGD · N )
τ innerhalb eines Zeitraumes [0, T ]
A regelmäÿig einen festen Betrag s
bezahlt, falls bei Partei C zu einem zufälligen Zeitpunkt
ein Kreditereignis auftritt. Im Gegenzug zahlt
B
an
(Prämie).
• A:
Sicherungsverkäufer (protection seller), z.B. Versicherung
• B:
Sicherungskäufer (protection buyer), z.B. Bank, Spekulant
• C:
Referenzaddresse (reference entity), z.B. Firma oder Staat
• τ:
zufälliger Zeitpunkt des Kreditereignisses (credit event), z.B. Verzug oder Ausfall
der Zins- oder Tilgungszahlungen, Insolvenz
T
Laufzeitende des CDS
0 = t0 < t1 < . . . < tn = T
Die Prämienzahlung
s
vorgegebene Zeitpunkte
bei einem CDS wird in der Regel in Basispunkten angegeben (Viel-
fache von hundertstel Prozent, bezogen auf den vereinbarten Nominalbetrag
72
N)
und dann
über die Laufzeit des CDS bis zum (zufälligen) Ausfallzeitpunkt
ginnend mit
s
bezieht sich dabei auf die gewählte Zeiteinheit (typischerweise 1 Jahr). Bei einer viertel-
Tritt das Kreditereignis
s
regelmäÿig gezahlt (be-
t1 ).
jährlichen Zahlweise muss
B
τ
τ
A
also
N s/4
Geldeinheiten an
B
leisten.
zwischen zwei Zeitpunkten auf, so bezahlt der Sicherungskäufer
noch die anteilige Prämie (accrued premium)
τ −ti−1
ti −ti−1 s an den Sicherungsverkäufer
A.
wird auch CDS-Spread genannt.
Der oben denierte CDS ist ein single name CDS, da er sich nur auf eine Referenzadresse
stützt.
Es gibt auch multi name CDS, die auf einem Pool von Referenzadressen basieren, z.B. die
Collateralized Debt Obligation (CDO) oder die Index-CDS.
Ähnlich einem Zinsswap, bei dem feste Zinszahlungen mit variablen Zinszahlungen getauscht werden, weist ein CDS zwei Zahlungsströme auf:
•
den Premium Leg, der bis zum Kreditereignis
•
den Protection Leg, der, falls das Kreditereignis
τ
feste Zahlungen garantiert, und
τ
zum Verfallsdatum
T
eingetreten
ist, eine Zahlung in einer von der zufallsabhängigen Verlustquote abgeleiteten Höhe
garantiert.
Zur Bewertung eines CDS gehen wir davon aus, dass der Werteprozess
S
der Referenz-
adresse C (z.B. Unternehmenswert) bekannt ist und diese Werte wie eine Aktie handelbar
sind. Man könnte z.B. im einfachsten Fall davon ausgehen, dass dieser Werteprozess einer
geometrischen Brownschen Bewegung folgt. Weiter gehen wir davon aus, dass ein Tagesgeldkonto mit möglicherweise zeitabhängiger stochastischer Zinsrate
r
verfügbar ist. Unter
geeigneten Voraussetzungen an diesen Werteprozess kann angenommen werden, dass dieser
Markt arbitragefrei und vollständig ist.
Desweiteren nehmen wir an, dass die zugrundeliegende Filtration die von der zufälligen
Zeit
τ
erzeugte
σ -Algebra
enthält.
Unter gewissen Voraussetzungen kann dann angenommen werden, dass ein zum zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaÿ
P
äquivalentes W-Maÿ
P∗
existiert, unter dem der
abgezinste Werteprozess der Referenzadresse C ein Martingal ist.
Für den nächsten Satz verwenden wir:
∆i := ti − ti−1
∆(ti−1 , u) := u − ti−1
und
S(t, u) := P ∗ (τ > u | Ft )
die bedingte Wahrscheinlichkeit ist, dass bis
geben die bis zum Zeitpunkt
t
u
kein Kreditereignis stattgefunden hat, ge-
verfügbare Information.
73
6.3 Bewertung des CDS
Satz 6.1. Der zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] gültige Wert eines CDS mit Nominal N , bekannter
Recovery Rate
RR,
s und Fälligkeit in T ,
τ > t bezieht, lautet aus
CDS-Spread
mit zufälligem Ausfallzeitpunkt
der sich auf eine Referenzadresse
Sicht des Sicherungsnehmers
VCDS (t) = VProtection (t) − VPremium (t),
t ∈ [0, T ]
wobei
VProtection (t) = N (1 − RR)
VPremium (t) = N s
n
X
T
Z
Z
exp −
0
rv dv (−dS(t, u))
t
Z
∆i exp −
ti
rv dv S(t, ti )
t
i=1
+ Ns
u
n
X
Laufzeit
rv dv (−dS(t, u))
t
i=1
VCDS (t) = 0 für einen festen
[t, T ] fairen CDS-Spread sfair .
Löst man
u
Z
∆(ti−1 , u) exp −
Zeitpunkt
t
nach
s
auf, erhält man den für die
Die obigen Integrale werden in der Praxis mittels numerischer Integration approximiert.
Im Intensitätsmodell wird der zufällige Ausfallzeitpunkt
variable
τ
als exponentialverteilte Zufalls-
Z t
S(0, t) = P (τ > t) = exp −
h(s) ds
∗
0
mit einer integrierbaren nichtnegativen deterministischen Funktion
h (Intensitätsfunktion,
Hazardrate) modelliert.
In der Praxis wird zur Bestimmung der Hazardrate
h angenommen, dass h zwischen den am
Markt notierten Spreads stückweise konstant ist. Unter Verwendung der laufzeitabhängigen
Zinsraten kann daraus
Im Fall
h(s) = λ > 0
h
geschätzt werden (Bootstrapping).
gilt
S(0, t) = e−λt
r, eine konstante Hazardh(s) = λ, eine feste Erlösquote RR und eine zeitstetige Prämienzahlung (∆i → 0)
Nimmt man eine konstante laufzeitunabhängige stetige Zinsrate
funktion
an, so ergibt sich die als credit triangle bezeichnete Formel:
λ=
sfair
1 − RR
74
7 Literatur
Zur Einstimmung:
•
Adelmeyer M, Warmuth E. Finanzmathematik für Einsteiger Eine Einführung für
Studierende, Schüler und Lehrer. 2. Au., Vieweg 2004.
Lehrbücher, Monographien und Originalarbeiten zur Finanzmathematik (insbesondere zur Bewertung von Derivaten)
•
Bingham NH, Kiesel R. Risk-Neutral Valuation Pricing and Hedging of Financial
Derivatives. 2nd ed. Springer 2004.
•
Delbaen F, Schachermayer W. The Mathematics of Arbitrage. Springer 2006.
•
Di Nunno G, Øksendal B, Proske F. Malliavin Calculus for Lévy Processes with
Applications to Finance. Springer 2009.
•
Elliot RJ, Kopp PE. Mathematics of Financial Markets. 2nd ed. Springer 2005.
•
Franke J, Härdle W, Hafner C. Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer 2001.
•
Hausmann W, Diener K, Käsler J. Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection Stochastische Finanzmarktmodelle und ihre Anwendungen. Vieweg 2002.
•
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•
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•
Hull JC. Fundamentals of Futures and Options Markets. 4th ed. Prentice Hall 2001.
•
Hunt PJ, Kennedy JE. Financial Derivatives in Theory and Practice. Rev. ed. Wiley
2005.
•
Irle A. Finanzmathematik: die Bewertung von Derivaten. 2. Au., Vieweg+Teubner
2003.
•
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Springer 2009.
•
Korn R, Korn E. Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung. Vieweg 1999.
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Lamberton D, Lapeyre B. Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman and
Hall 1996
•
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Applications, Springer 1997.
•
Reitz S. Mathematik in der modernen Finanzwelt: Derivate, Portfoliomodelle und
Ratingverfahren. Vieweg+Teubner 2010.
•
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•
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Springer 2004.
•
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2004.
•
Sondermann D. Introduction to Stochastic Calculus for Finance A New Didactic
Approach. Springer 2006.
•
Wilmott, P. Howison S, Dewynne, J. The Mathematics of Financial Derivatives: A
Student Introduction. Cambridge 1997.
•
Wilmott P, Dewynne J, Howison S. Option Pricing: Mathematical Models and Computation. Oxford Financial Press 1997.
Eine gut lesbare Einführung in die Theorie der Stochastischen Prozesse
•
Brzezniak Z, Zastawniak T. Basic Stochastic Processes. Springer 1999.
Lehrbücher und Monographien zu Stochastischen Dierenzialgleichungen und
zur Stochastischen Analysis auf mittlerem Niveau
•
Arnold L. Stochastische Dierentialgleichungen. Oldenbourg 1973.
•
Durrett R. Stochastic Calculus A Practical Introduction. CRC Press 1996.
•
Gard, TC. Introduction to Stochastic Dierential Equations. Marcel Dekker 1988.
•
Klebaner FC. Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 2nd ed. Imperial
College Press 2005.
•
Øksendal B. Stochastic Dierential Equations: An Introduction with Applications.
6th ed. Springer 2005.
Anspruchsvolle Theorie zur Stochastischen Analysis
•
Karatzas I, Shreve SE. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer 1999.
•
Malliavin P. Stochastic Analysis. Springer 1997.
•
Protter P. Stochastic Integration and Dierential Equations: A New Approach. 2nd
ed. Springer 2004.
•
Revuz D, Yor M. Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer 1999.
•
Rogers LCG, Williams D. Diusions, Markov Processes and Martingales. Vol 1 and
2. 2nd edition. Cambridge Mathematical Library 2000
76