Grundwissen Jahrgangsstufe 7 - Gymnasiums Ernestinum Coburg

Grundwissen Jahrgangsstufe 7
GM 7.1 Achsensymmetrie
Definition
Zwei Punkte liegen symmetrisch bezüglich einer Achse,
wenn ihre Verbindungsstrecke von der Achse senkrecht
halbiert wird.
M
P
P’
a
P und P’ liegen symmetrisch bezüglich der
Achse a, weil PM = P' M und PP' ⊥ a
Konstruktionen
1. Konstruktion des Spiegelpunkts P’, wenn P und die
Achse a gegeben sind
Wähle auf der Achse zwei beliebige Punkte A
und B.
Zeichne einen Kreis um A mit Radius AP und
einen Kreis um B mit Radius BP .
Die beiden Kreise schneiden sich in P und im
gesuchten Punkt P’.
2. Konstruktion der Symmetrieachse a wenn P und
sein Bildpunkt P’ gegeben sind
Zeichne einen Kreis um P mit genügend
großem Radius r.
Zeichne einen Kreis um P’ mit dem gleichen
Radius r.
Die gesuchte Achse ist die Gerade, die durch
die zwei Schnittpunkte dieser Kreise verläuft.
P
B
A
P'
a
P'
P
a
16
Eigenschaften der Achsenspiegelung
In der folgenden Figur wurde das Dreieck ABC an der Achse a gespiegelt.
C
C'
β
β’
B
B'
a
A
A'
P
Bei einer Achsenspiegelung gilt:
Zueinander symmetrische Strecken sind gleich lang.
z.B. A' B' = AB
Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß.
z.B. β’ = β
Zueinander symmetrische Geraden schneiden sich auf der Symmetrieachse oder sind zu ihr
parallel.
z.B. A’C’ und AC schneiden sich auf der Achse a
Jeder Punkt der Symmetrieachse ist von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
z.B. PA' = PA
Jeder Punkt der Symmetrieachse ist zu sich selbst symmetrisch, ein sog. Fixpunkt. Die
Symmetrieachse ist zu sich selbst symmetrisch, eine sog. Fixgerade.
z.B. ist P ein Fixpunkt
Wichtige Folgerungen aus den Eigenschaften der Achsenspiegelung
Alle Punkte, die von zwei
gegebenen Punkten A und B
gleich weit entfernt sind, liegen
auf der Mittelsenkrechten m von
[AB]
Alle Punkte, die von zwei
parallelen Geraden g und h
gleich weit entfernt sind, liegen
auf der Mittelparallelen p von g
und h.
Alle Punkte, die von zwei sich
schneidenden Geraden g und h
gleich weit entfernt sind, liegen
auf den Winkelhalbierenden w1
und w2 von g und h.
h
h
w1
w2
p
A
m
B
17
g
g
GM 7.2 Punktsymmetrie
Definition
Zwei Punkte liegen symmetrisch bezüglich
eines Punktes (Zentrums) Z, wenn Z der
Mittelpunkt ihrer Verbindungsstrecke ist.
Z
P
P'
P und P’ liegen symmetrisch
bezüglich Z, weil Z ∈ [PP’] und
ZP = ZP' .
Konstruktionen
1. Konstruktion des Spiegelpunktes P’, wenn P und das
Zentrum Z gegeben sind
Zeichne die Halbgerade [PZ.
Zeichne einen Kreis um Z mit Radius ZP
Die Halbgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt P
und im gesuchten Punkt P’.
2. Konstruktion des Zentrums Z, wenn P und P’
gegeben sind
Zeichne die Strecke [PP’].
Konstruiere die Symmetrieachse von P und P’,
d.h. die Mittelsenkrechte von [PP’] (vgl.
GM7.1).
Der Schnittpunkt von [PP’] mit der Achse ist
der Mittelpunkt von [PP’], also der gesuchte
Punkt Z.
P'
Z
P
P
Z
P'
Eigenschaften der Punktspiegelung
Zueinander punktsymmetrische Strecken sind stets gleich lang und zueinander parallel.
Zueinander punktsymmetrische Winkel sind stets gleich groß.
Jede Gerade durch das Symmetriezentrum ist eine Fixgerade.
Zwei zueinander punktsymmetrische Geraden sind zueinander parallel.
Beispiel für eine punktsymmetrische Figur:
Weil zueinander punktsymmetrische Strecken stets auch zueinander parallel sind, ist jedes
punktsymmetrische Viereck ein Parallelogramm. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt Z der
beiden Diagonalen.
D
C
Z
A
B
18
GM 7.3 Winkelgesetze
Winkel an einer Geradenkreuzung
Nebenwinkel
Scheitelwinkel
β
α
γ
α
α und β sind Nebenwinkel. Sie haben einen
Schenkel gemeinsam. Ihre beiden anderen
Schenkel bilden eine Gerade.
α und γ sind Scheitelwinkel. Sie haben einen
gemeinsamen Scheitel. Ihre Schenkel ergänzen
sich jeweils zu einer Geraden.
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
α + β = 180°
Scheitelwinkel sind gleich groß.
α=γ
Winkel an parallelen Geraden
Stufenwinkel
Wechselwinkel
β
g2
g2
γ
g1
α
g1
α
s
s
α und β sind Stufenwinkel. Sie liegen auf der
gleichen Seite von s und auf einander
entsprechenden Seiten von g1 und g2.
α und γ sind Wechselwinkel. Sie liegen auf
verschiedenen Seiten von s und auf
entgegengesetzten Seiten von g1 und g2.
Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich
groß.
α=β
Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich
groß.
α=γ
Umgekehrt gilt: Wenn Stufenwinkel gleich groß
sind, dann sind die zugehörigen Geraden parallel.
Umgekehrt gilt: Wenn Wechselwinkel gleich groß
sind, dann sind die zugehörigen Geraden parallel.
Innenwinkel
Innenwinkel im Dreieck
Innenwinkel im Viereck
γ
γ
δ
β
α
In jedem Dreieck beträgt die Summe der
Innenwinkel 180°.
α + β + γ = 180°
α
β
Man kann ein Viereck durch eine Diagonale in
zwei Dreiecke zerlegen.
In jedem Viereck beträgt die Summe der
Innenwinkel also 2 ⋅ 180° = 360°.
α + β + γ + δ = 360°
19
GM 7.4 Terme
Terme und Variablen
In Termen können auch Variablen auftreten. Die Variablen sind Stellvertreter für Zahlen oder für
Größen. Wird in einen Term für jede vorkommende Variable eine Zahl eingesetzt, kann man den
Termwert berechnen.
Beispiele:
T( x ) = x 2 − 4x
T(3) = 3 2 − 4 ⋅ 3 = 9 − 12 = −3
T( −3) = ( −3) 2 − 4( −3) = 9 + 12 = 21
T(a; b) = 12 a + b 2
T(5;2) =
1
2
⋅ 5 + 2 2 = 2,5 + 4 = 6,5
T(0; − 32 ) =
1
2
( )2 = 49
⋅ 0 + − 32
Aufstellen und Interpretieren von Termen
Viele Sachverhalte lassen sich kurz und präzise durch Terme beschreiben. Dabei ist es sinnvoll den
Sachverhalt zunächst anhand konkreter Zahlenbeispiele zu untersuchen. Dann kann man eine Variable
einführen und einen Term aufstellen, der den betreffenden Zusammenhang allgemein beschreibt.
Beispiel:
Aus Würfeln wird ein Turm zusammengeklebt. Wie viele Würfelflächen sind insgesamt aneinander geklebt?
1. Schritt: Betrachtung konkreter Beispiel, z.B. mit Hilfe einer Tabelle
Anzahl der Würfel
1
2
3
4
5
Anzahl der geklebten Flächen
0
2
4
6
8
2. Schritt: Suchen und Begründen einer Gesetzmäßigkeit und Aufstellen eines Terms
Bei 4 Würfeln sind 3 Klebeflächen vorhanden. An jeder Klebefläche sind zwei Würfelflächen „beteiligt“. Also gibt
es in diesem Fall 3 ⋅ 2 = 6 geklebte Flächen.
Bei n Würfeln sind (n – 1) Klebeflächen vorhanden, an denen jeweils zwei Würfelflächen „beteiligt“ sind. Es gibt
also (n – 1) ⋅ 2 = 2 ⋅ (n – 1) geklebte Flächen.
Umformen von Termen
1. Umformungen in Produkten
In einem Produkt können gleiche Faktoren zu Potenzen zusammengefasst werden.
Beispiel: 4a ⋅ 2b ⋅ a 2 ⋅ 3b 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ b = 24a 3 b 4
2. Addieren und Subtrahieren gleichartiger Terme
Zwei Produkte, in denen die gleichen Variablen in jeweils gleicher Potenz auftreten, nennt man
gleichartig. Sie können addiert bzw. subtrahiert werden.
Beispiel: 6a 2 b + 4a 2 b = 10a 2 b
3. Klammerregeln
Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, kann die Klammer einfach weggelassen werden.
Beispiel: 3x + (2x − 4 y ) − 8y = 3x + 2x − 4 y − 8y = 5x − 12y
Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so ändert man die Vorzeichen in der Klammer und lässt
die Klammer und das Minuszeichen vor der Klammer weg.
Beispiel: 3x − (2x − 4 y ) − 8y = 3x − 2x + 4 y − 8y = x − 4 y
4. Ausmultiplizieren: „Faktor mal Klammer“
Eine Summe wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summanden mit dem Faktor
multipliziert und die entstehenden Produktwerte addiert.
Beispiel: 2a(3a − 4 b ) = 2a ⋅ 3a − 2a ⋅ 4 b = 6a 2 − 8ab
5. Ausmultiplizieren: „Klammer mal Klammer“
Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Summe mit jedem
Summanden der zweiten Summe multipliziert und die entstehenden Produktwerte addiert.
Beispiele:
(2a + 3b)(4a − b) = 2a ⋅ 4a + 2a ⋅ ( −b) + 3b ⋅ 4a + 3b ⋅ ( −b) = 8a 2 − 2ab + 12ab − 3b 2 = 8a 2 + 10ab − 3b 2
Vorsicht, wenn vor der ersten Klammer ein Minuszeichen steht, dann muss das gesamte
Produkt subtrahiert werden. Setze sicherheitshalber zunächst eine zusätzliche Klammer:
4a − (a − 1)(2 + 5a ) = 4a − 2a + 5a 2 − 2 − 5a = 4a − 2a − 5a 2 + 2 + 5a = 7a − 5a 2 + 2
(
)
20
GM 7.5 Lineare Gleichungen
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden
sind.
2x − 4 = 5(x + 1)
Beispiel:
Wenn man anstelle der Variablen eine Zahl in die Gleichung einsetzt, kann sich eine wahre oder eine
falsche Aussage ergeben. Im Falle einer wahren Aussage ist die eingesetzte Zahl eine Lösung der
Gleichung.
Beispiel:
Einsetzen der Zahl 2:
2 ⋅ 2 − 4 = 5(2 + 1)
0 = 15
ist keine wahre Aussage.
Die Zahl 2 ist keine Lösung der Gleichung.
2 ⋅ (− 3) − 4 = 5(− 3 + 1)
Einsetzen der Zahl (−3):
−10 = −10
ist eine wahre Aussage.
Die Zahl −3 ist eine Lösung der Gleichung.
Alle Lösungen einer Gleichung fasst man zur Lösungsmenge zusammen. Gleichungen, die die gleiche
Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent. Komplizierte Gleichungen kann man mit Hilfe von
Äquivalenzumformungen, d.h. Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern,
vereinfachen.
Äquivalenzumformungen sind:
Auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl bzw. derselbe Term addiert (subtrahiert).
Auf beiden Seiten der Gleichung wird mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert
(durch dieselbe von Null verschiedene Zahl dividiert).
Beispiel:
15(x − 1) − 16x = x (2 − x ) + x 2
2
15x − 15 − 16x = 2x − x + x
− x − 15
Klammern auflösen und zusammenfassen
2
= 2x
|+x
− 15 = 3x
−5 = x
x = −5
„x isolieren“
|: 3
Anwendungen
Viele Textaufgaben lassen sich mit Hilfe von Gleichungen lösen. Dazu legt man die Bedeutung der
Variablen fest, übersetzt die Problemstellung in eine Gleichung, löst diese und formuliert einen
Antwortsatz.
Beispiel: In einem Dreieck mit den Innenwinkeln α, β und γ ist β doppelt so groß wie α
und γ um 5° größer als β. Wie groß sind die Winkel?
x = Größe des Winkels α (in °)
x + 2x + (2x + 5) = 180
x + 2x + 2x + 5 = 180
5x + 5
= 180 | −5
5x
= 175 |: 5
x
= 35
Die Winkelgrößen sind α = 35°, β = 70° und γ = 75°.
Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich oft mit Hilfe von Gleichungen besonders einfach lösen.
Beispiel:
Der Preis von Skiern wird um 15% gesenkt. Die Skier kosten dann 323 €. Wie
hoch war der ursprüngliche Preis?
x = ursprünglicher Preis
Der neue Preis beträgt 85 % des ursprünglichen Preises, also
0,85 ⋅ x = 323 €
|: 0,85
x
= 380 €
Die Skier kosteten ursprünglich 380 €.
21
GM 7.6 Besondere Dreiecke
Kongruenzsätze für Dreiecke
Dreiecke, die sich vollständig miteinander zur Deckung bringen lassen, heißen kongruent. Ein Dreieck
ist in Form und Größe bereits durch drei geeignete Bestimmungsstücke festgelegt. Dreiecke, die aus
diesen Bestimmungsstücken konstruiert werden, sind kongruent.
Kongruenzsätze:
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen. (SSSSatz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen von zwei Seiten und in der Größe von deren
Zwischenwinkel übereinstimmen. (SWS-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite und in den Größen der beiden
dieser Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. (WSW-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und in der Größe des der
längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkels übereinstimmen. (SsW-Satz)
C
Gleichschenklige Dreiecke
Ein Dreieck, in dem zwei Seiten gleich lang sind, heißt
gleichschenkliges Dreieck. Die beiden gleichlangen
Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite Basis des
Dreiecks. Die der Basis anliegenden Innenwinkel
heißen Basiswinkel. Der Eckpunkt, welcher der Basis
gegenüberliegt, heißt Spitze.
Eigenschaften:
Die Basiswinkel sind gleich groß.
Jedes gleichschenklige Dreieck besitzt eine
Symmetrieachse, die Mittelsenkrechte der Basis.
Sie ist zugleich die Winkelhalbierende des Winkels
an der Spitze.
Schenkel
a
b
Schenkel
α
Basis
A
β
a=b
α=β
B
Rechtwinklige Dreiecke
Ein Dreieck, bei dem ein Innenwinkel 90° groß ist, heißt rechtwinkliges Dreieck. Die den rechten
Winkel einschließenden Seiten heißen Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt,
heißt Hypotenuse.
Satz des Thales:
Wenn ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig ist, dann liegt C auf
dem Thaleskreis über [AB]. Der Thaleskreis über [AB] ist der
Kreis, dessen Mittelpunkt die Mitte M von [AB] ist und der [AB]
als Durchmesser besitzt.
Umgekehrt gilt:
Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf dem Thaleskreis über
[AB] liegt, dann ist das Dreieck bei C rechtwinklig.
C
A
M
Hypotenuse [AB],
Katheten [AC] und [BC]
22
B
C
GM 7.7 Besondere Linien im Dreieck
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks
Alle Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten A und B gleich weit
entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten m[AB] der Strecke
[AB].
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau
einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt M des Dreiecks.
M
A
B
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks
C
Alle Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden gleich
weit entfernt sind, liegen auf den Winkelhalbierenden dieser
beiden Geraden.
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in
genau einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt W des Dreiecks.
W
A
B
Die Höhen eines Dreiecks
C
Das Lot vom Eckpunkt eines Dreiecks auf die gegenüberliegende
Dreiecksseite oder deren Verlängerung heißt Höhe des
Dreiecks. Der Schnittpunkt einer Höhe mit der zugehörigen
Dreiecksseite oder deren Verlängerung heißt Höhenfußpunkt.
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in genau einem
Punkt H.
H
B
A
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks
C
Die Verbindungslinie vom Eckpunkt eines
Dreiecks zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden
Dreiecksseite heißt Seitenhalbierende des
Dreiecks.
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks
schneiden sich in genau einem Punkt, dem
Schwerpunkt S des Dreiecks.
S
B
A
23