Grundwissen Klasse 7 - am Hanns-Seidel

Grundwissen Klasse 7
1.
„Lot errichten“:
Geometrie – Konstruktionen
1.1. Achsensymmetrie / Achsenspiegelung
Die Punkte der Symmetrieachse sind genau die
Punkte, die von zwei symmetrischen Punkten
gleich weit entfernt sind.
Konstruktion des Bildpunktes:
„Winkel halbieren“:
Konstruktion der Spiegelachse:
2.
1.2. Punktspiegelung und Punktsymmetrie
Die Verbindungsstrecke zweier punktsymmetrischer Punkte wird vom Zentrum
halbiert.
Konstruktion des Bildpunktes:
Geometrie – Winkel
2.1. Winkel an der Geradenkreuzung
und bzw. und sind
Scheitelwinkel.
und , und , und
sowie und sind jeweils
Nebenwinkel.
Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel
ergänzen sich zu 180°.
2.2. Winkel an Doppelkreuzungen
Stufenwinkel (F-Winkel) an
parallelen Geraden sind gleich groß.
Wechselwinkel (Z-Winkel) an
parallelen Geraden sind gleich groß.
2.3. Innenwinkelsummen
In jedem Dreieck beträgt die Summe der
Innenwinkel 180°.
In jedem Viereck beträgt die Summe der
Innenwinkel 360°.
In jedem n-Eck beträgt die Summe der
Innenwinkel
.
Zentrum: Mittelpunkt der Verbindungsstrecke
1.3. Grundkonstruktionen
„Lot fällen“:
3.
Mittelsenkrechte / Strecke halbieren:
©Hanns-Seidel-Gymnasium Hösbach 2011
Terme
3.1. Termwerte berechnen
Den Wert eines Terms berechnet man durch
Einsetzen.
Beispiel:
3.2. Äquivalente Terme
Zwei Terme, die bei jeder Einsetzung denselben
Termwert liefern, heißen äquivalent.
3.3. Terme zusammenfassen
Beim Addieren und Subtrahieren dürfen nur
gleichartige Terme (Terme, die in allen Variablen
und deren Potenzen übereinstimmen)
zusammengefasst werden:
oder
6.
Geometrie – Dreiecke
6.1. Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen
Seiten heißt gleichschenklig. Die
Basiswinkel des gleichschenkligen
Dreiecks sind gleich groß, die
Mittelsenkrechte der Basis ist
Symmetrieachse des Dreiecks.
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt
gleichseitig. Im gleichseitigen Dreieck betragen
alle Winkel 60°.
6.2. Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck mit einem
rechten Winkel heißt
rechtwinklig.
Liegen die Ecken eines
Dreiecks so auf einem Kreis,
dass eine Dreieckseite der
Durchmesser ist, so ist das
Dreieck rechtwinklig. (Satz des
Thales)
6.3. Besondere Linien im Dreieck
Die Höhen eines Dreiecks stehen jeweils
senkrecht auf einer Seite und laufen durch die
gegenüberliegende Ecke. Sie schneiden sich in
einem Punkt.
Auf der Mittelsenkrechten liegen genau die
Punkte, die den gleichen Abstand von den
Eckpunkten der Strecke haben. Die
Mittelsenkrechten schneiden sich im
Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
Die Seitenhalbierenden sind die Verbindungsgeraden von Streckenmittelpunkt und gegenüber
liegendem Eckpunkt. Sie schneiden sich im
Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Winkelhalbierenden schneiden sich im
Inkreismittelpunkt. Auf der Winkelhalbierenden
liegen genau die Punkte, die denselben Abstand
von den zwei Schenkeln des Winkels haben.
6.4. Konstruktion von Vielecken
Für eine Konstruktion dürfen nur Zirkel und Lineal
als Hilfsmittel verwendet werden. Zu jeder
Konstruktion gehören eine Planfigur und ein
Konstruktionsplan.
7.
Der arithmetische Mittelwert
Achtung:
, denn und
sind keine gleichartigen Terme, dürfen also nicht
weiter zusammengefasst werden.
Bei der Multiplikation werden Assoziativgesetz
und Kommutativgesetz angewendet:
3.4. Klammerregeln
Ausmultiplizieren
Ausklammern
„Ein Minus vor der Klammer verändert alle
Vorzeichen in der Klammer.“
z.B.:
3.5. Multiplizieren von Summen
3.6. Produkte mit mehreren Faktoren (A-Gesetz):
3.7. Rechenregeln für Potenzen
gleiche
Basis
gleicher
Exponent
Produkt
4.
Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der
Variablen nur ohne Potenzen auftreten.
Eine Zahl ist Lösung einer Gleichung, wenn sich beim
Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Prüfe
ist eine Lösung.
Lösen einer linearen Gleichung:
„Vereinfachen, Sortieren, Isolieren – Lösungsmenge“
5.
Geometrie – Kongruenz
Zwei Figuren, die sich durch Drehen, Spiegeln und
Verschieben zur Deckung bringen lassen, heißen
deckungsgleich oder kongruent.
Zwei Dreiecke sind bereits kongruent, wenn sie
 in drei Seiten übereinstimmen. (SSS)
 in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel
übereinstimmen. (SWS)
 in einer Seite und zwei anliegenden Winkeln
übereinstimmen. (WSW)
 in einer Seite, einem anliegenden Winkel und dem
Gegenwinkel übereinstimmen. (SWW)
 in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren
Seite übereinstimmen (SsW)
©Hanns-Seidel-Gymnasium Hösbach 2011
Die Zahl
heißt arithmetischer
Mittelwert (oder arithmetisches Mittel) der Zahlen
. Bei vielen Größen (Längen, Massen,
Preisen,…) beschreibt das arithmetische Mittel den
Durchschnitt.
Vorsicht: Für manche Größen (z.B. Geschwindigkeiten)
lässt sich der Durchschnitt nicht durch das
arithmetische Mittel berechnen.