Grundwissen Mathematik 7.Klasse

MTG
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Seite
1
Grundwissen Mathematik 7.Klasse
Terme
Buchstaben, die Zahlen vertreten, nennt man Variablen.
Gleichartige Terme unterscheiden sich nur im Koeffizienten (Vorzahl) der Variablen,
3
z.B. 3xy²; 0,5xy²; xy² sind gleichartig.
4
Terme addieren und subtrahieren
Nur gleichartige Terme kann man zusammenfassen, z.B. 2x²y – 0,5y + 4x²y – 3y = 6x²y – 3,5y
Terme multiplizieren
Koeffizienten und Variable darf man als einzelne Faktoren vertauschen und multiplizieren,
z.B. 3ab²⋅ 4abc = 3⋅ 4⋅ a⋅a⋅ b²⋅b ⋅ c = 12 a²b³c
Ausmultiplizieren
Das Distributivgesetz (D-Gesetz): a ⋅ (b + c) = ab + ac
z.B. 3a ⋅ ( 2ab – 3 b² + 4a²c) = 6a²b – 9ab² + 12a³c ; -x ( x²y + xyz) = - x³y – x²yz
Ausklammern (Faktorisieren)
z.B. 6mn² + 15m = 3m (2n² + 5) ;
-xy² - xyz² - yz = -y (xy + xz² + z)
Das Lösen von Gleichungen
Gleichung
Lösungsstrategie
3x – 6(x + 2) = 2(x –1) + 4
3x – 6x – 12 = 2x – 2 + 4
aufräumen:
vereinfachen
-3x – 12 = 2x + 2
| +3x
- 12 = 5x + 2
| -2
-14 = 5x
| :5
x= −
14
= - 2,8
5
beide
Äquivalenzumformung
Seiten ausmultiplizieren und gleichartige
Terme zusammenfassen
trennen: alle x-Terme auf eine addieren oder subtrahieren des
gleichen Terms
Seite bringen
trennen: alle Zahlen auf eine addieren oder subtrahieren der
gleichen Zahl
Seite bringen
x isolieren
multiplizieren oder dividieren der
gleichen Zahl (≠ 0)
Lösung
Lösen einer Textaufgabe mit Hilfe eines x-Ansatzes
1.
2.
3.
4.
5.
Bezeichne eine der gesuchten Größen mit x.
Drücke alle vorkommenden Größen durch x aus.
Stelle passend zum Text eine Gleichung auf.
Löse die Gleichung und berechne mit der Lösung alle gesuchten Größen.
Prüfe, ob die Ergebnisse die Forderungen erfüllen.
Produkte von Summen
Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. Die
entstehenden Produkte werden addiert: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
z.B. (5a – 3xy)(2x + 0,5) = 10ax +2,5a – 6x²y – 1,5xy
MTG
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Seite
2
Binomische Formeln (nur vom Produkt zur Summe !)
Plusformel:
Minusformel:
Plus-Minus-Formel:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)⋅(a – b) = a² - b²
Grundgleichung der Prozentrechnung
Alle Fragen der Prozentrechnung lassen sich mit der Grundgleichung der Prozentrechnung
„Prozentsatz ⋅Grundwert = Prozentwert“ lösen.
Das arithmetische Mittel (Mittelwert, Durchschnitt)
Das arithmetische Mittel der Zahlen x1, x2, x3, ... xn ist
x 1 + x2 + x3 + ... + xn
n
Achsenspiegelung
Die Verbindungsstrecke von einem Punkt P und seinem Bildpunkt P’ wird von der Symmetrieachse
halbiert.
Konstruktionen bei der Achsenspiegelung
1. Zu einem Punkt P den Bildpunkt P’
a
P
M2
2. Zu einem Punkt P und seinem Bildpunkt P’ die Achse a
a
P’
P
M1
P’
Grundkonstruktionen
1. „Ein Lot von P auf g fällen“
2. „Ein Lot in P auf g errichten“
P
M1
g
S2
M2
P
g
Lot
3. “Mittelsenkrechte errichten” bzw. „Strecke halbieren“
B
M
A
S1
Lot
MTG
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Seite
3
4. “Winkel halbieren”
S2
S
S1
Punktspieglung am Zentrum Z
Konstruktion des Bildpunktes P’ zu P
Z
P
P’
Winkel
Winkel an einer Geradenkreuzung
Nebenwinkel
ergänzen sich zu 180°
Scheitelwinkel
sind gleich groß
Winkelsummen:
1. In einem Dreieck ist die Winkelsumme 180°.
α + β + γ = 180°
Winkel an einer Doppelkreuzung
An parallelen Geraden gilt:
Stufenwinkel (F-Winkel) Wechselwinkel (Z-Winkel)
sind gleich groß.
2. In einem Vieleck mit n–Ecken ist die Winkelsumme
(n - 2)⋅ 180°
Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent, wenn sie
1. in drei Seiten (sss)
2. in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel (sws)
3. in einer Seite und zwei anliegenden Winkel (wsw)
4. in einer Seite, einem anliegenden Winkel und dem Gegenwinkel (sww)
5. in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite (Ssw)
übereinstimmen.
Gleichschenkliges Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig.
Schenkel
• Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.
• In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß.
Gleichseitiges Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig.
Im gleichseitigen Dreieck misst jeder Innenwinkel 60°.
Schenkel
Basiswinkel
Basis
MTG
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Seite
4
Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck mit einem 90°-Winkel heißt rechtwinklig.
Kathete
Hypotenuse
Kathete
C
Satz des Thales
Liegen die Ecken eines Dreiecks so auf einem Kreis,
dass eine Seite Kreisdurchmesser ist,
so ist das Dreieck rechtwinklig.
90°
A
M
B
Besondere Linien eines Dreiecks
Höhe: Lotstrecke von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite.
• Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Mittelsenkrechte: Lot durch den Mittelpunkt einer Strecke.
• Alle Punkte, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten der
Verbindungsstrecke.
• Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der
Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
Winkelhalbierende: Halbiert den Innenwinkel eines Dreiecks.
• Alle Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden gleichen Abstand haben, liegen auf der
Winkelhalbierenden.
• Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist der Mittelpunkt
des Inkreises des Dreiecks.
Seitenhalbierende: Verbindungsstrecke einer Ecke mit der Seitenmitte der gegenüberliegenden Seite.
• Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks scheiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des
Dreiecks.