Extremwertaufgaben II

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Extremwertaufgaben II
14.) Der Parabel y2 = 2px ist das flächengrößte gleichschenklige Dreieck einzuschreiben, dessen
a
2ap
Spitze in S(a|0) liegt. Berechen Basis und Höhe des Dreiecks
(x  , y 
)
3
3
15.) Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis c und der Höhe h soll das flächengrößte
gleichschenklige Dreieck eingeschrieben werden, dessen spitze im Halbierungspunkt der Basis
des gegebenen Dreiecks liegt. Berechne Basis und Höhe des eingeschriebenen Dreiecks. ( x  c , y  h )
2
16.) Über der gegebenen Hypothenuse c ist ein rechtwinkliges Dreieck von größtem Inhalt zu
c 6
c 3
c2 2
errichten. Wie groß ist dieser?
(x 
,y
, A
FE)
3
3
6
17.) Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wenn
sein Umfang u = 4 m sein soll, wie sind die Abmessungen zu wählen, damit möglichst viel
4
Licht durch das Fenster fällt?
(x  y 
)
4 
18.) Aus einem Dreieck mit der Grundlinie c und der Höhe h ist ein Rechteck auszuschneiden, das
zusammengerollt einen Zylinder von maximalem Volumen umschließen soll. Berechne dessen
h
c
Maße!
(y  , x 
)
3
3
19.) Aus drei gleich breiten Brettern mit Breite b soll eine Rinne von möglichst großem
trapezförmigen (gleichschenklig) Querschnitt gebildet werden. Unter welchem Winkel müssen
die Seitenwände geneigt sein?
(=60°)
20.) Aus einem Kreis mir r = 10 LE ist ein Sektor auszuschneiden,der zusammengerollt einen
Drehkegel von größtem Volumen umschließt. Wie groß ist der Zentriwinkel des
auszuschneidenden Kreissektors?
(=294°)
21.) Eine Wasserleitung soll zu drei Häusern A, B und C verzweigt werden, von denen das mittlere
(C) 350 m östlich von der zentralen Wasserentnahmestelle Z entfernt an einer in West-OstRichtung verlaufenden Straße liegt. Die Häuser A bzw. B liegen 50 m nördlich von C bzw. 50
m südlich von C (also nordöstlich bzw. südöstlich von Z) in einer Wiese. An welcher Stelle
zwischen Z und C soll die Abzweigung zu den Häusern A und B liegen, wenn die Baukosten
für die Leitung entlang der Straße 40 % der Kosten querfeldein betragen?
( )
22.) Zwei Gebäude mit einer gegenseitigen Entfernung von 130 m liegen 50 m bzw. 100 m vom
geradlinigen Ufer eines Flusses entfernt (auf derselben Uferseite). Die Bewohner des einen
Hauses eilen zum Wasser, um mit gefüllten Kübeln an der Löschung des anderen in Brand
geratenen Hauses teilzunehmen. Welches ist der kürzeste Weg, den sie nehmen können?
(vom Schnittpunkt der Normalen auf den Fluss durch A bis zum optimalen Punkt am Fluss sind es 40 m)
23.) Ein Kanal, dessen trapezförmiger (gleichschenklig) Wasserquerschnitt den Flächeninhalt A und
dessen Seitenwände eine Neigung  (mit tan  = 0,75) gegen die Horizontale haben, soll so
gestaltet werden, dass der benetzte Umfang und damit der Reibungswiderstand beim
Durchfließen des Wassers möglichst klein ausfallen. Wie ist das Trapez zu dimensionieren?
(y 
A
)
sin   (2  cos  )
24.) Der stündliche Treibstoffverbrauch y eines Schiffes ist durch y = a + bvc gegeben. Bestimme
die Konstanten a, b, c aus: Bei v = 30 sm/h war der Treibstoffverbraucht y = 28,5 t/h, bei
v = 20 sm nur mehr y = 9,5 t/h und bei Stillstand y = 1,5 t/h. Berechne, bei welcher
Geschwindigkeit das Schiff mit einem Treibstoffvorrat von 500 t am weitesten kommt (9,1 sm)
Reifeprüfungsvorbereitung 2001/2002
Peter Graf
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