Unterrichtsentwurf
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E-UNIVERSI T Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie MAGDEBU R G O-V TT ÄT ON-GU ER K IC O Unterrichtsentwurf Kürzeste Wege Angefertigt von: Nadine Herber Matrikelnummer: 175407 Studiengang: Lehramt an Gymnasien für die Fächer Mathematik und Physik Matrikel: 2005 Betreuer: Prof. Bräsel 1 Einblick Diese Belegarbeit umfasst eine Unterrichtsplanung zum Thema Kürzeste We” ge“, welche für 2 Doppelstunden konzipiert wurde. Die Unterrichtseinheit ist so geplant, dass sie als Fortführung des Unterrichts eingesetzt oder als eigenständiges Projekt durchgeführt werden kann. Es wird vermehrt Wert auf heuristische Arbeitsweisen gelegt, da diese besser eine offene Unterrichtsgestaltung ermöglichen. 2 Einführung in die Graphentheorie Soll das Thema Kürzeste Wege“ als Projektarbeit behandelt werden, können ” die beiden folgenden Seiten als Vorlage für die Einführung in die Graphentheorie genutzt werden. Es bietet sich an, sie als unausgefüllte Arbeitsblätter auszuteilen und die Schüler ergänzen dann die Lücken nach eigenen Recherchen (Bibliothek, Internet). Die beiden Seiten können aber auch als Vorlage für ein Tafelbild genutzt werden. Ob die Begriffe eulersch“ und hamiltonsch“ im Zusammenhang der Proble” ” matik des kürzesten Weges aufgegriffen oder eingeführt werden hängt davon ab, ob die Schüler auf heuristischem Weg Rundreisen, bei denen jede Stadt (jeder Knoten) oder jede Straße (jede Kante) mindestens einmal besucht oder befahren werden soll, finden sollen. Die Schüler können mit diesen Begriffen die Mathematik auf einfache Alltagsprobleme anwenden. Seite 1 von 23 Arbeitsblatt 0 Graphentheorie • Teilgebiet (der diskreten) Mathematik, eigenständiges Forschungsgebiet • noch recht jung, jedoch reichen einige ihrer Wurzeln mehr als 250 Jahre zurück • viele Probleme lassen sich mit Hilfe von Graphen modellieren Geschichtliches • erste graphentheoretische Arbeit: solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1736); Euler beschäftigte sich in dieser Arbeit mit dem KÖNIGSBERGER BRÜCKENPROBLEM: In der Stadt Königsberg (heute Kaliningrad) führten Mitte des 17. Jahrhunderts sieben Brücken über den Pregel, der den Kneipenhof umschließt; der damalige Bürgermeister der Stadt Danzig fragte Euler, ob es einen Rundgang durch Königsberg gäbe, bei dem jede Brücke genau einmal überquert wird • Kirchhoffs Arbeit über elektrische Netzwerke 1847 und Cayleys Anzahluntersuchungen von chemischen Verbindungen in den 70er und 80er Jahren des 19. Jahrhunderts enthalten grundlegende Resultate der Graphentheorie • heute wichtig für Probleme aus der Informatik und Optimierung Wichtige Begriffe • Ein GRAPH G ist ein Paar (V,E), wobei V die Menge der Knoten (engl. vertices) und E die Menge der Kanten (engl. edges), die bestimmte Knoten verbinden, des Graphens sind. Seite 2 von 23 • Ein Graph G ist EULERSCH, wenn G einen Eulerschen Kreis besitzt, d.h. einen Kreis, in dem jede Kante von G genau einmal vorkommt. • Ein Graph G ist HAMILTONSCH, wenn G einen Hamiltonschen Kreis besitzt, d.h. einen Kreis, in dem jeder Knoten aus G vorkommt. Aufgabe Sind folgende Graphen hamiltonsch und eulersch? a) b) c) d) Lösungsskizze a) hamiltonsch b) hamiltonsch c) hamiltonsch und eulersch d) hamiltonsch Seite 3 von 23 3 1. Doppelstunde Eine Möglichkeit der Einführung des Themas Kürzeste Wege“ ist, dass sich die ” Schüler in einer Gruppe Gedanken machen, in welchen (Alltags-)Situationen es wichtig und einfacher ist, den kürzesten Weg herauszufinden (Arbeitsblatt 1). Diese können zum Beispiel sein: • der Weg zur Schule, • der Weg zur Freundin/zum Freund, • die Tour um die Zeitungen auszutragen, • die Shopping-Tour, • der Weg eines Vertreters, • ... Im zweiten Schritt sollen die Schüler eine Möglichkeit finden, wie sie die Mathematik auf diese Probleme anwenden können. Da Graphen entweder die Stunden zuvor oder in der Einführungsphase des Projektes behandelt wurden, sollten die Schüler darauf kommen, dass Wege und Touren durch Knoten und Kanten, also durch Graphen dargestellt werden können. Hierbei kann auf die Modellbildungsfunktion der Mathematik eingegangen, da ein Ziel des Mathematikunterrichts ist, dass die Schüler Modelle entwickeln und anwenden können. Seite 4 von 23 Arbeitsblatt 1 Kürzeste Wege 1. Frage Besprecht in der Gruppe, in welchen Situationen es wichtig ist, den kürzesten Weg zu finden. Macht euch ein paar Stichpunkte. 2. Frage Wie kann die Mathematik helfen, kürzeste Wege zu finden? Skizziert euren Vorschlag. Seite 5 von 23 Arbeitsblatt 2 1. Aufgabe Das Pizza-Hut-Restaurant befindet sich in Magdeburg in der Kantstraße (Knoten a). Von dort aus werden auch die Bestellungen außer Haus geliefert. Der folgende Graph zeigt Adressen, zu denen ein Pizza-Bote die Bestellungen bringen soll. Die Kantenbewertungen stellen die Entfernungen in km dar. a) Finde den kürzesten Weg von Knoten a zum Knoten d. Schreibe in Stichpunkten deine Vorgehensweise auf. b) • Ist der Graph hamiltonsch? • Der Graph zeigt Adressen (Knoten b - g), zu denen ein Pizza-Bote die Bestellungen bringen soll, er startet bei Knoten a (Kantstraße). Nach der Auslieferung hat der Pizza-Bote Feierabend und muss nicht noch mal ins Restaurant zurück, da er die Bestellungen mit seinem eigenen Auto ausliefert. Sein Ziel wird durch Knoten e repräsentiert. Finde die kürzeste Ausliefertour. Seite 6 von 23 Aufgabe 1 (Arbeitsblatt 2) dient als Einstiegsaufgabe. Um die Aufgabe für die Schüler attraktiv zu gestalten, kann Bezug zum Schulort oder zum Wohnort der Schüler hergestellt werden. zu a) Die Schüler probieren ihre Ideen aus. Die meisten werden als ersten Teilweg die Kante mit der geringsten Bewertung aussuchen, bei jedem erreichten Knoten werden sie weiter so verfahren. Es bietet sich an, den gefundenen Algorithmus der Schüler mit ihnen gemeinsam an der Tafel zu erarbeiten. Eine Möglichkeit für die Gestaltung des Tafelbildes ist auf der nächsten Seite dargestellt. Den Schülern sollte am Ende deutlich gemacht werden, dass dieser Algorithmus nicht auf alle Graphen (Problemstellungen) anwendbar ist. Wenn die Graphen umfangreicher und komplizierter sind, kann man den kürzesten Weg von einem Rechner ermitteln lassen, so weit man ihm genau sagt, was er zu tun hat. Ein solcher Algorithmus stammt vom Mathematiker Dijkstra; dieser Algorithmus ist auf alle Graphen anwendbar. Der Bezug des Algorithmus auf das PizzaBoten-Problem folgt im Tafelbild 2. zu b) Der Graph ist hamiltonsch: e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 c 1,9 0,4 1,2 2 1,8 g a 2,2 1,4 f Seite 7 von 23 Auch im zweiten Teil werden die Schüler ausprobieren, welche Route die kürzeste ist: Mögliche Lösungen der Schüler: a-c-b-g-f-e-d-e 8,7 km a-c-e-d-b-g-f-e 9,1 km a-f-g-b-d-e-c-e 9,5 km a-f-g-d-b-c-e 9,8 km a-g-d-b-c-a-f-e 10,4 km a-b-d-g-f-e-c-e 11,2 km Seite 8 von 23 Tafelbild 01 Kürzeste Wege b c 1,9 Der erste Teilabschnitt des Weges führt zum Knoten c, da die Kante zwischen den Knoten a und c die geringste Bewertung hat. 0,4 1,8 1,4 a g f e 0,6 0,9 b c Von Knoten c geht es zum Knoten e. a 1 e d c Von Knoten e führt der Weg zum Knoten d. 1,2 a f d e 1 0,9 b 3 c 1,9 0,4 1,2 2 1,8 g Der kürzeste Weg von Knoten a zum Knoten d hat eine Länge von 2 km. a 2,2 f Seite 9 von 23 Tafelbild 02 e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 c 1,9 1,2 0,4 • Ausgangsgraph 2 1,8 g a 1,4 2,2 f e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 c 1,9 1,2 0,4 • Startknoten (a) rot markieren 2 1,8 g a 1,4 2,2 f e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 • Nachbarknoten rot markieren c 1,9 1,2 0,4 • Kante zwischen Startknoten und Nachbarn grün markieren, da es kürzeste Wege sind 2 1,8 g a 1,4 2,2 f e d 1 1,7 • den roten Knoten mit minimalem Abstand zum Startknoten auswählen 0,6 0,9 b 3 c 1,9 0,4 1,2 • seinen Nachbarn rot markieren 2 1,8 g a 2,2 1,4 f • Kante ab rot und Kante bc grün markieren, da bc und ac nun die kürzeste Verbindung von b nach a darstellen Seite 10 von 23 • den roten Knoten mit minimalem Abstand zum Startknoten auswählen e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 • seinen (neuen) Nachbarn rot markieren c 1,9 1,2 0,4 • ed grün markieren, da über diese Kante die kürzeste Verbindung von d nach a verläuft 2 1,8 g a 1,4 2,2 f e d • ef rot markieren, da über diese Kante keine kürzeste Verbindung zu a hergestellt wird 1 1,7 0,6 0,9 b 3 • den roten Kntoen mit minimalem Abstand zum Startknoten auswählen c 1,9 1,2 0,4 2 1,8 g a 1,4 2,2 f • bd und bg rot markieren, da über diese Kanten keine kürzeste Verbindung von d bzw. g zu a hergestellt wird e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 c 1,9 1,2 0,4 2 1,8 g a • f g rot markieren, da über diese Kante keine kürzeste Verbindung zu a hergestellt wird 1,4 2,2 • den roten Kntoen mit minimalem Abstand zum Startknoten auswählen f e d 1 1,7 0,6 0,9 b 3 c 1,9 1,2 0,4 2 1,8 g a • dg rot markieren, da über diese Kante keine kürzeste Verbindung zu a hergestellt wird 1,4 2,2 f e d • den letzten roten Knoten grün markieren 1 1,7 0,6 0,9 b 3 • den roten Kntoen mit minimalem Abstand zum Startknoten auswählen c 1,9 0,4 1,2 • es sind keine weiteren Nachbarknoten zu betrachten 2 1,8 g a 2,2 1,4 f • die kürzeste Verbindung eines Knotens zum Startknoten a verläuft nun genau auf dem grünen Graphen Seite 11 von 23 Arbeitsblatt 3 2. Aufgabe Ein Vertreter aus Bremen soll die Städte Berlin, Dresden und Düsseldorf besuchen und dann nach Bremen zurückkehren, ohne jeweils eine Stadt zweimal zu besuchen. Die Städte sind in folgendem Graphen dargestellt, die Kantenbewertung gibt die Entfernung der Städte in km an. In welcher Reihenfolge sollte der Vertreter die Städte besuchen, damit sein zurückgelegter Reiseweg möglichst kurz ist? a) Prüfe zuerst folgende mögliche Vorgehensweise: Von Bremen fährt der Vertreter in die nächstgelegene noch nicht besuchte Stadt. Dort verfährt er genauso. Wenn er in allen Städten war, kehrt er nach Bremen zurück (Nearest-Neighbour-Heuristik). Wie lang ist sein Weg? b) Gibt es kürzere Wege? Seite 12 von 23 Bei Aufgabe 2 soll die kürzeste Reiseroute eines Vertreters gefunden werden. Das Problem an sich lässt sich wieder mit der Frage: Gibt es einen hamiltonschen Kreis? mathematisch beschreiben und modellieren. Lösungsvorschläge a) Bremen - Düsseldorf - Berlin - Dresden - Bremen insgesamt 1513 km b) Bremen - Berlin - Dresden - Düsseldorf - Bremen insgesamt 1488 km Seite 13 von 23 Stundenverlaufsplanung Zeit 10 10 (20 10 (30 20 (50 10 (60 10 (70 10 (80 10 (90 4 min min min) min min) min min) min min) min min) min min) min min) Lehrertätigkeit L. führt in das Thema ein L. teilt die Schüler in Gruppen ein L. bespricht mit S. das Arbeitsblatt 1 Schülertätigkeit S. bearbeiten in den Gruppen das Arbeitsblatt 1 S. diskutieren untereinander und mit dem L. ihre Ideen L. stellt Aufgabe 1 vor L. entwickelt mit den S. das Tafelbild S. bearbeiten Aufgabe 1 S. stellen ihre Ideen vor L. zeigt den S. den Algorithmus von Dijkstra L. stellt Aufgabe 2 vor S. bearbeiten Aufgabe 2 S. stellen ihre Ergebnisse vor 2. Doppelstunde Die 3. Aufgabe ist eine komplexe Aufgabe, bei der zum einen das Gelernte aus der Doppelstunde zuvor angewendet werden kann, die aber auch andere Themen der Graphentheorie streift. Der Lehrende soll entscheiden, welche Aufgabenteile und Themen mehr gewichtet werden sollen, deshalb wird auf eine Stundenverlaufsplanung verzichtet. Seite 14 von 23 Arbeitsblatt 4 3. Aufgabe Im folgenden Graphen sind die Fielmann - Niederlassungen in der Nähe von Magdeburg als Knoten dargestellt. Die Kanten stellen jeweils die Verbindung zwischen den Ortschaften dar, die angegebene Bewertung gibt jeweils die Länge der Verbindung (in km) an. Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 42 59 16 Quedlinburg 38 26 21 Bernburg Aschersleben 26 Köthen a) Eine Angestellte wohnt in Helmstedt, arbeitet aber in der Niederlassung in Bernburg. Welcher Weg ist der kürzeste zwischen ihrem Wohnort und Arbeitsplatz? b) Die Zentrale in Magdeburg möchte ein Computernetz aufbauen, so, dass jede Niederlassung mit der Zentrale verbunden ist. Dabei müssen die Verbindungskabel entlang der vorgegebenen Straßen verlegt werden. Bestimme die kürzeste Kabellänge, die die gewünschten Verbindungen herstellt. Die Verbindung muss nicht direkt sein, die Zentrale ist z.B. auch mit Bernburg verbunden, wenn Bernburg mit Schönebeck und Schönebeck mit der Zentrale in Magdeburg verbunden ist. c) Ein Lieferwagen verlässt täglich die Zentrale und liefert benötigtes Material in jede einzelne Niederlassung. Anschließend fährt der Lieferwagen nach Magdeburg zurück. Bestimme eine solche Tour. Seite 15 von 23 Lösungsskizze zu a) Nach der Vorgehensweise aus der letzten Doppelstunde ergibt sich: Helmstedt - Halberstadt - Quedlinburg - Aschersleben - Bernburg =⇒ 114 km zu b) Wurden im Unterricht zuvor minimale Spannbäume behandelt, können die Schüler hier den Algorithmus von Prim anwenden. Eine Abfolge ist im Tafelbild 3 dargestellt. Ansonsten können sie die minimale Kabellänge über probieren herausbekommen. Sie beträgt 230 km. zu c) Dieses Problem kann wieder mithilfe des Hamiltonkreises modelliert werden. Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 42 59 16 Quedlinburg 38 26 21 Bernburg Aschersleben 26 Köthen Seite 16 von 23 Tafelbild 03 Algorithmus von Prim Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg • Ausgangsgraph 42 38 59 Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg • Startknoten markieren 42 38 59 Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck • Kante minimalen Gewichts auswählen 56 Halberstadt 68 42 38 59 16 Quedlinburg Köthen 26 21 Bernburg 26 • Knoten, der über diese Kante mit dem Startknoten verbunden wird zum Spannbaum hinzufügen Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 • Kante minimalen Gewichts auswählen 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 42 38 59 16 Quedlinburg Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 • Knoten, der über diese Kante mit dem (bisherigen) Spannbaum verbunden wird diesem hinzufügen Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg 26 • (siehe letzter Schritt) 42 38 59 26 21 Bernburg Köthen Aschersleben Seite 17 von 23 Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg • (siehe letzter Schritt) 42 38 59 Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg • (siehe letzter Schritt) 42 38 59 Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg • (siehe letzter Schritt) 42 38 59 Köthen 26 21 Bernburg 26 Aschersleben Helmstedt 71 Burg 29 Magdeburg 54 99 46 28 Schönebeck 56 Halberstadt 68 16 Quedlinburg 26 • (siehe letzter Schritt) 42 38 59 26 21 Bernburg Köthen Aschersleben Seite 18 von 23 5 Additum Bisher wurden nur kürzeste Wege in Bezug auf die Entfernung betrachtet, jedoch gibt es auch die Möglichkeit, einen Weg über die Anzahl von Stationen zu optimieren. Dazu dient die Breitensuche, welche sich von einem Startknoten ausgehend schichtweise in den Graphen hineinarbeitet. Vorgehensweise: 1. Wähle einen Startknoten. 2. Markiere alle Kanten, die von diesem Knoten ausgehen. 3. Schreibe alle Nachbarknoten des Startknotens in eine Liste. 4. Streiche den ersten Knoten aus der Liste. 5. Markiere alle von diesem Knoten ausgehenden Kanten, sofern sie noch nicht markiert sind, und nicht im Endknoten auf bereits markierte Kanten treffen. 6. Schreibe die Knoten, die am Ende dieser neu markierten Kanten sind, hinten in die Liste. 7. Wiederhole die Schritte 4., 5. und 6. so lange, bis die Liste leer ist. Die Breitensuche eignet sich um einen Einblick in das Grenzgebiet zwischen Mathematik und Informatik zu gewähren, da die für die Breistensuche verwendete Liste, welche nach dem Prinzip first in first out“ funktioniert, eine ” elemtare Datenstruktur, eine Queue“ ist. ” Beispiel: a b e c d f Seite 19 von 23 Startknoten: a α(v) = v abcdef α(v) = −v a|bcd|ef α(v) = 0 bcdef Alle Nachbarn von v sind schon untersucht. Die Nachbarn von v sind noch nicht untersucht, aber es steht schon fest, dass v zur Zusammenhangskomponente des Startknotens gehört. Man weiß noch nichts über v. Breitensuche auf dem Graphen von Aufgabe 1: e d c b a g f Startknoten: a α(v) = v α(v) = −v α(v) = 0 abcfgde a|bcfg|d|e bcdefg Seite 20 von 23 6 Buchtipp Graphentheorie im Dialog - zwischen Ruth, die die Lust an der Mathematik verloren hat, und VIM, einem Computerprogramm, welches Ruth die Mathematik erfolgreich näher bringt. Viele Themen der Graphentheorie werden angerissen, unter anderem: • Kürzeste-Wege-Probleme • Projektplanung (auch Routenplanungsprobleme, z.B. Organisation eines Rockkonzerts) • Komplexitätstheorie • Spannbaumproblen • Königsberger-Brücken-Problem • Paarungsproblem • Chinesisches Postbotenproblem • platonische Körper • Hamiltonweg(kreis)-Problem • Entscheidungsprobleme • NP-Probleme Mit diesem Buch wird der Bezug der Mathematik zur Welt verdeutlicht, die häufig gestellte Frage von Schülern Wozu brauch’ ich das??“ wird anhand ” vieler Beispiele beantwortet. Seite 21 von 23 7 Ausblick Die Kantenbewertungen stellen in diesem Beleg immer Entfernungen in km dar, um die kürzesten Wege berechnen zu können. Weitere Möglichkeiten sind, dass Zeiträume, Kosten oder Höchstgeschwindigkeiten als Bewertungen dienen. Die Vorgehensweisen ändern sich nicht, aber es entsteht eine Variation in der Aufgabenstellung. Seite 22 von 23 8 Quellen • mathematik lehren“, Heft 84 (Oktober 1994), S. 60 ff ” • mathematik lehren“, Heft 129 (April 2005), S. 38 ff ” • Das Geheimnis des kürzesten Weges - Ein mathematisches Abenteuer; Gritzmann, Brandenburg; Springer Verlag; 2002 • http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~braesel/d_graphentheorie. html • http://www.fielmann.de/niederlassungen/suche.php • http://maps.google.de/ • http://www.mapquest.de/mq/directions/mapbydirection.do • http://www.stadtplan.net/index.asp?direct=brd/sachsen_anhalt/ magdeburg/home.html Seite 23 von 23
